MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen izvor napona, odrediti napon otvorenih krajeva -'. Kako lasi izraz za napon u slučaju da je koeficijent manetne spree zavojnica maksimalan? ješenje: Kompleksne jednačine mreže mou se napisati u obliku: = ( ) j(ω kω) jω = j(ω kω) = j( ω kω) odnosno u sređenoj formi kao: [ ] = j( k) ω () jω = j( k) ω () = j( k) ω (3) z jednačine () slijedi jednačina: = ( k) pa se njenim uvrštavanjem u jednačinu () dobija izraz: [ ] = (3 k) j( k) ω (5) z odnosa napona / (relacija (3) i (5)), dobija se izraz za napon otvorenih krajeva - oblika: j( k) ω = k j k odnosno: [(3 ) ( ) ω ] j( k) ω = [(3 k ) j( k) ω] slučaju da je koeficijent manetne spree zavojnica maksimalan, izraz za napon otvorenih krajeva - je oblika: jω = 5 j4ω
Zadatak broj. mreži poznatih parametara, i k, djeluje prostoperiodični naponski enerator napona. Sekundar induktivno sprenutih zavojnica je otvoren. Odrediti fazore napona i. ješenje: Analizirana mreža može se predstaviti i na način kako je to ilustrovano na slici. = 0 = 0 slika. Analizirana mreža z usvojene smjerove i oznake fazora struja u ranama mreže, te uz izvršenu transformaciju mreže koristeći se T šemom, mreža sa slike dobija oblik kao na slici za koju se prema KZN mou postaviti kompleksne jednačine ( = 0 ): = jω j jω ω = jkω odnosno, u sređenom obliku kao: = j( ω ) ω = jkω Fazor struje može se odrediti direktno iz prve jednačine u obliku: ω = j = j ( ω ) ω ω pa su fazori napona i određeni kao: kω = jkω = ω = j = ω ω
Zadatak broj 3. Analizira se mreža sa manetno sprenutim zavojnicama. Aktivne otpornosti zavojnica i su male, a učestanost prostoperiodično eneratora napona: ut () = sinω t je podešena tako da odovara sopstvenim učestanostima oba kola: = = ω Sprea među zavojnicama je podešena tako da je struja u sekundarnom kolu maksimalna. Ako je aktivna otpornost primarno kola, koliku aktivnu snau ulaže enerator u oba kola? ješenje: Pod pretpostavkom da su otpornosti oba kola male, približne vrijednosti njihovih sopstvenih učestanosti jednake su učestanosti naponsko eneratora: = = ω pa su reaktanse oba kola jednake nuli: X =ω ω = 0 X =ω ω = 0 z kompleksnih jednačina kola: = jx 0 = jx određuju se fazori struja u obliku: = X X = j X Međusobna reaktansa zavojnica dobija se iz uslova da je efektivna vrijednost struja u sekundarnom kolu maksimalna: d 0 dx = z jednačine d d X = 0 dx dx = X dobija se: 3
X = = kω, pa je fazor struje u primarnom kolu određen kao: =, a snaa koju enerator ulaže u oba kola: * * * S = = ( ) = = je čisto aktivna pošto je X = X = 0, pa je reaktivna snaa jednaka nuli. Zadatak broj 4. Tri idealne zavojnice sopstvenih induktivnosti, i 3, vezane su u mreži predstavljenoj na slici. Koeficijenti spree sve tri zavojnice su jednaki i iznose k. Krajevi zavojnice induktivnosti 3 su otvoreni. mreži djeluje prostoperiodičnoi enerator čiji je fazor napona. Odrediti fazore struja i, te fazor napona 3. * 3 * 3 ješenje: Kompleksne jednačine mreže napisane prema KZN imaju oblik: = jω jkω () 0 = jkω jω () 3 = jkω 3 jkω 3 (3) z jednačina () i () određuju se fazori struja i : = j ( k ) ω k = j ( k ) ω (5) a iz jednačina (3), i (5) fazor napona otvorenih krajeva zavojnice induktivnosti 3 : k 3 3 = k (6) 4
Zadatak broj 5. mreži poznatih parametara, i k djeluje prostoperiodični enerator fazora napona. Pri kojoj je učestanosti eneratora ulazna admitansa mreže jednaka nuli? Kolika se ukupna reaktivna snaa troši na zavojnicama, a kolika na kondenzatorima? ješenje: Analizirana mreža može se predstaviti u ekvivalentnoj formi kao što je to ilustrovano na sljedećoj slici, pri čemu je: Y Y = j ( k) ω ; Y = j ω Y lazna admitansa mreže jednaka je zbiru admitansi rana: Yul = Y Y = j jω ( k) ω i da bi ona bila jednaka nuli potrebno je ispuniti uslov: ω = ( k) ω odakle se može odrediti tražena učestanost eneratora: ω= =ωa ( k ) koja predstavlja antirezonantnu učestanost pri kojoj je ulazna susceptansa mreže jednaka nuli, Yul = jbul = 0. Pri učestanosti izvora ω=ω a, admitanse rana mreže su: Y = j = j ( k) ω a ( k) Y = jω a = j ( k ) a prividne snae koje enerator ulaže u njih: * * * * * S = = ( Y) = Y = Y = j ( k ) * * * * * S = = ( Y) = Y = Y = j ( k ) kupna reaktivna snaa koja se troši na zavojnicama je: 5
Q = ( k ) a na kondenzatorima: Q = ( k ) Dakle, za analiziranu mrežu može se zaključiti da je pri antirezonantnoj učestanosti izvora ukupna snaa enerisana izvorom jednaka nuli. Zadatak broj 6. Analizira se reaktivna mreža predstavljena na slici kod koje su zavojnice u manetnoj sprezi. Parametri mreže, i k, te fazor napona naponsko eneratora su poznate veličine. Odrediti ulaznu impedansu mreže, te pokazati da je ulazna admitansa mreže jednaka nuli pri učestanosti naponsko izvora jednakoj: ω= ( k ) ješenje: Kompleksne jednačine mreže napisane prema KZS i KZN imaju oblik: = jω jkω 0 = jkω jω = jω Njihovim rješavanjem dobija se ulazna impedansa mreže oblika: ( k ) ω Zul = = j = jx ul ( k ) ω odnosno, ulazna admitansa mreže: ( k ) ω Yul = = j = jb ul Z ul ( k ) ω koja je jednaka nuli pri učestanosti izvora (koja predstavlja antirezonantnu učestanost): ω= =ω a ( k ) Zadatak broj 7. Analizira se manetno sprenuto kolo kao na slici u kojem djeluje prostoperiodični naponski enerator čiji je fazor napona = 5 ( V). kolu je postinut uslov = ω. Potrebno je: a) odrediti fazor struje eneratora ; b) odrediti fazor napona koji vlada na manetno sprenutim zavojnicama ab ; c) odrediti aktivnu i reaktivnu snau koju enerator ulaže u kolo, polazeći od izraza za prividnu snau eneratora S * =. 6
Poznate su vrijednosti: = 4( Ω ), ( ω ) = 6 ( Ω ), k = 0, 5. a ješenje: a) Jednačine dinamičke ravnoteže kola napisane prema KZS i KZN lase: = () j = ω () = j ω jk ω (3) jω jkω = jω jkω z jednačine slijedi: = (5) na osnovu čea jednačina (3) postaje: j ( k ) = ω, odnosno, uz = =, k = ( j ω ) (6) odnosno, uz uslov zadatka = ω : = ( j ( k )) (7) Na osnovu relacija () i (7), jednačina () postaje: = jω = (4 j4) ( A) ( j( k)) () k b b) Fazor napona na zavojnicama može se odrediti polazeći od relacije: =, odakle je prema relaciji (7): = = = (36 j4) ( V) ( j( k)) ili kao: = ω ω, odakle je uz = i jednačinu (7): j jk ( k) ω = j( k) ω = j = j( k) = (36 j4)( V) ( j( k)) ( j( k)) c) Polazeći od izraza za prividnu snau eneratora: * * S = = 5 (4 j4) = 5 (4 j4) = (08 j08) ( VA) = P jq, može se zaključiti da je aktivna snaa eneratora P = 08 ( W ), a reaktivna snaa eneratora Q = 08 ( VAr). 7
Zadatak broj 8. Mreža sa sprenutim zavojnicama napaja se iz prostoperiodično naponsko eneratora čiji je fazor napona. a) Odrediti fazor struje naponsko eneratora. b) Za koju će vrijednost koeficijenta spree k fazori napona eneratora i struje eneratora biti u fazi? mreži je postinut uslov ω =. Poznate vrijednosti su: G = 0, ( S ), ω = 0 ( Ω), = 00 ( V ), k = 0, 5. G ješenje: = () = ω ω () = j( ω ) jkω ω (3) Oduzimanjem jednačine () od jednačine (3), dobija se: jω jkω j( ω ) jkω = 0, odnosno: ω j( k) ω j ( k) ω = ω 0, odakle je: ( k) ω ω ( k) ω = = ω ( k) ( k) ω vrštavanjem jednačine u jednačinu (), dobija se: ( k ) ω = j, odakle je: ( k) ω ( k) ω = j ( k ) ω (5) vrštavanjem jednačine (5) u jednačinu, ona postaje: ( k) ω = j (6) ω ( k ) ω vrštavanjem jednačina (5) i (6) u jednačinu () dobija se izraz za fazor ulazne struje kola: ( k) ω = G j ω ( k ) ω (7) Koristeći uslov dat u formulaciji zadatka, ω =, to se izraz (7) za struju eneratora svodi na jednostavniji oblik: k k = G j = ω G j k ω k odakle je uz date brojne vrijednosti fazor struje eneratora određen iznosom: = (0 j80) ( A ). 8
Da bi fazori napona eneratora i struje eneratora bili u fazi, potrebno je ispuniti uslov pri kojem će imainarni dio u relaciji za fazor ulazne struje kola biti jednak nuli, a što je postinuto pri koeficijentu manetne spree k = 0, 5, pa je struja eneratora = G =0 ( A ). Zadatak broj 9. Mreža sa idealno sprenutim zavojnicama ( k = ) napaja se iz prostoperiodično strujno eneratora čiji je fazor struje i prostoperiodično naponsko eneratora čiji je fazor napona. Odrediti fazor napona na kondenzatoru ab. mreži su postinuti uslovi: =ω i ω =. Poznate su sljedeće vrijednosti: = 0 ( Ω), = j00 ( V ), = ( j3) ( A ). a b (k=) ješenje: Jednačine ravnoteže za analiziranu mrežu, napisane prema KZS i KZN, lase: = ab jω ab ab = j ω jk ω () = j ω jk ω j ω jk ω (3) vrštavanjem jednačine () u jednačinu () ona poprima oblik: = ( jω) jω( k) Jednačina (3) može se napisati u sređenijem obliku kao: = j( k) ω j( k) ω (5) Pošto su zavojnice idealno sprenute ( k = ), to relacije i (5) postaju: = jω ( jω)( ) = (7) odakle je fazor struje naponsko eneratora: = Koristeći uslove zadatka =ω i ω =, kao i jednačinu (8), relacija (6) postaje: = ( j )( ), odnosno: ( j ) = j, odakle je: = j Fazor napona na kondenzatoru ab može se odrediti polazeći od relacije (), uz k = i uz uslov zadatka = ω : ab = j ω ( ) = = (0 j30)( V ) () (6) (8) (9) 9
Zadatak broj 0. Mreža sa manetno sprenutim zavojnicama napaja se iz prostoperiodično strujno eneratora čiji je fazor struje. mreži su postinuti sljedeći uslovi: =ω i ω =. Odrediti fazor napona na strujnom eneratoru ab. Poznate su sljedeće vrijednosti: = 40 ( Ω), k = 0, 5, = ( j4) ( A ). b ab ješenje: Jednačine ravnoteže za analiziranu mrežu, napisane prema KZS KZN, lase: = () jω jkω j = 0 ω j ω jk ω = ab (3) z jednačine () slijedi: = pa se nakon uvrštavanja jednačine u jednačinu () dobija: ω j ( ) jkω = 0, odnosno: ω ω ω j jkω = j, odnosno ω ω ω j jk ω = ω ω j ω Koristeći uslove zadatka =ω i ω =, jednačina (5) dobija jednostavniju formu: = jk (6) pa je na osnovu jednačine : = jk = ( jk ) (7) Fazor napona na strujnom eneratoru ab može se odrediti polazeći od relacija (3), (6) i (7), kao i uslova zadatka =ω i ω = : ab = jk j jk( jk) = ( k j( k)) = (0 j40)( V ) () (5) a 0