Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013

2

Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni brojevi............................. 18 I.4 Realni brojevi............................... 22 I.5 Kompleksni brojevi............................ 24 II Elementi kombinatorike 25 II.1 Formula uključenja-isključenja...................... 25 III Neke elementarne nejednakosti 27 III.1 AG nejednakost.............................. 27 IV Diferencne jednačine 31 IV.1 Linearna homogena jednačina...................... 31 V Neke teme o polinomima 37 V.1 Šturmov algoritam............................ 37 V.2 Rezultanta dva polinoma......................... 45 V.3 O simetričnim polinomima više promenljivih.............. 50 3

4 ˇ SADRZAJ

Deo I Zasnivanje prirodnih, celih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva I.1 Peanove aksiome Definicija 1 Za ured enu trojku (P, 1, f) kažemo da je struktura prirodnih brojeva ako je 1 P, f je funkcija pri čemu f : P P i važi: (P1) x P (1 f(x)) (P2) x, y P (x y f(x) f(y)) (P3) ako je M P tako da 1 M i x P (x M f(x) M) onda je M = P. Za elemente skupa P kažemo da su prirodni brojevi te strukture. Za f(x) kažemo da je sledbenik broja x. Konvencija Umesto f(x) pisaćemo kraće x. U skladu sa prethodnom konvencijom osobine (P1) (P3) se mogu zapisati na sledeći način: (P1) x P (1 x ) (P2) x, y P (x y x y ) (P3) ako je M P tako da 1 M i x P (x M x M) onda je M = P. Stav 1 x P (x x ). Dokaz. Pretpostavimo, suprotno tvrd enju stava, da postoji neko q P tako da q = q. Neka M := P \ {q}. 5

6 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA - Na osnovu (P1) ne može biti 1 = 1 pa je 1 M. - Neka x M. Pokazujemo x M. Ako bi bilo x P \ M = {q} onda x = q = q pa, na osnovu (P2), x = q, tj. x / M, kontradikcija. Dakle na osnovu prethodnog i (P3) imamo da je M = P. S druge strane q P \ M, što je nemoguće. Stav 2 x P \ {1} y P (x = y ). Dokaz. Pretpostavimo, suprotno tvrd enju stava, da postoji neko q P \ {1} tako da x P (q x ). Neka M := P \ {q}. - Kako q 1 to 1 M. - Neka x M. Ne može biti x = q zbog izbora prirodnog broja q. Zato je x M. Na osnovu (P3) je M = P, tj. q P = M i q / M, protivurečnost. Teorema 1 (o rekurziji) Neka su dati struktura prirodnih brojeva (P, 1, ), skup S, preslikavanje T : P S S i a 0 S. Tada postoji jedinstveno preslikavanje k : P S tako da važi: - k(1) = a 0 ; - k(x ) = T (x, k(x)), za svako x P. Teorema o rekurziji dozvoljava definisanje dveju osnovnih operacija u strukturi prirodnih brojeva na sledeći način. Definicija 2 (Sabiranje prirodnih brojeva) Neka je (P, 1, ) s.p.b. i neka je x P fiksirano. Posmatrajmo T : P P P definisano sa T ((y, z)) := z. Na osnovu teoreme o rekurziji postoji prelikavanje σ x : P P tako da je (i) σ x (1) = x, (ii) σ x (y ) = (σ x (y)) za svako y P. Na taj način je za svako x P definisano po jedno preslikavanje σ x : P P tako da važe uslovi (i) i (ii). Ako su x, y P proizvoljni definišimo x + y := σ x (y). Sada se koristeći ovu novu notaciju uslovi (i) i (ii) mogu zapisati i ovako: (S1) x + 1 = x, (S2) x + y = (x + y) odakle se jasnije vidi način na koji operacija + funkcioniše. Definicija 3 (Množenje prirodnih brojeva) Neka je (P, 1, ) s.p.b. i neka je x P fiksirano. Posmatrajmo T : P P P definisano sa T ((y, z)) := z + x. Na osnovu teoreme o rekurziji postoji preslikavanje δ x : P P tako da je (i) δ x (1) = x, (ii) δ x (y ) = δ x (y) + x za svako y P.

I.1. PEANOVE AKSIOME 7 Ako su x, y P proizvoljni definišimo Uslovi (i) i (ii) poprimaju sledeći oblik: (M1) x 1 = x, (M2) x y = (x y) + x. x y := δ x (y). Stav 3 Za ovako uvedene operacije + i važi sledeći zakoni: 1) x + (y + z) = (x + y) + z 2) x + y = y + x 3) x (y + z) = (x y) + (x z) 4) (x + y) z = (x z) + (y z) 5) x (y z) = (x y) z 6) x 1 = 1 x = x 7) x y = y x Dokaz. 1) Pokazujemo x, y P (x + (y + z) = (x + y) + z) indukcijom po z. Ovo zapravo znači da za skup M := { z P x, y P (x + (y + z) = (x + y) + z) } pokazujemo da važi 1 M i z (z M z M). 1 M: Za z = 1 imamo x + (y + 1) = (S1): x + y = (S2): (x + y) = (S1): (x + y) + 1. z (z M z M): Neka za dato z važi x + (y + z) = (x + y) + z za svako x, y. Imamo x + (y + z ) = (S2): x + (y + z) = (S2): (x + (y + z)) = I.H.: ((x + y) + z) = (S2): (x + y) + z. 2) Pokazujemo x (x + y = y + x) indukcijom po y. y = 1 : Pokazujemo x (x + 1 = 1 + x) indukcijom po x. Za x = 1 imamo 1 + 1 = 1 + 1. Neka sada za dato x važi x + 1 = 1 + x. Imamo x + 1 = (S1): (x + 1) + 1 = I.H.: (1 + x) + 1 = 1): 1 + (x + 1) = (S1): 1 + x. Neka sada za dato y važi x (x + y = y + x). x + y = x + (y + 1) = (x + y) + 1 = (y + x) + 1 = y + (x + 1) = y + (1 + x) = (y + 1) + x = y + x, gde smo koristili (S1), I.H., 1) i 2). 3) Indukcijom po z. Za z = 1 imamo x (y + 1) = x y = (x y) + x = (x y) + (x 1), gde smo koristili (S1), (M2) i (M1). Neka sada važi x (y + z) = (x y) + (x z) za svako x, y. Imamo x (y + z ) = x (y+z) = (x (y+z))+x = ((x y)+(x z))+x = (x y)+((x z)+x) = (x y)+(x z ), gde smo koristili (S2), (M2), I.H. i 1). 4) Indukcijom po z.

8 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA Za z = 1 imamo (x + y) 1 = x + y = (x 1) + (y 1), gde je korišćeno (M1). Neka sada važi (x + y) z = (x z) + (y z) za svako x, y. Imamo (x + y) z = ((x+y) z)+(x+y) = ((x z)+(y z))+(x+y) = ((x z)+x)+((y z)+y) = (x z )+(y z ), gde je korišćeno (M2), I.H., 1) i 2). 5) Indukcijom po z. Za z = 1 imamo x (y 1) = x y = (x y) 1, gde je korišćeno (M1). Neka sada važi x (y z) = (x y) z za svako x, y. Imamo x (y z ) = x ((y z) + y) = (x (y z)) + (x y) = ((x y) z) + (x y) = (x y) z, gde smo koristili (M2), 3) i I.H. 6) Dokazujemo x (1 x = x) indukcijom po x. Za x = 1 imamo 1 1 = 1 zbog (M1). Neka sada za dato x važi 1 x = x. Imamo 1 x = (1 x) + 1 = x + 1 = x, gde smo koristili (M2), I.H. i (S1). 7) Indukcijom po y. Za y = 1 imamo x 1 = 1 x (= x) na osnovu 6). Neka sada važi x (x y = y x). Imamo x y = (x y) + x = (y x) + (1 x) = (y + 1) x = y x, gde smo koristili (M2), I.H., 6), 4) i (S1). Stav 4 x, y, z (x + z = y + z x = y). Dokaz. Indukcijom po z pokazujemo x, y (x + z = y + z x = y). Za z = 1: x + 1 = y + 1 x = y x = y. Neka za broj z važi x, y (x + z = y + z x = y). Imamo x + z = y + z (x + z) = (y + z) x + z = y + z I.H.: x = y. Stav 5 x, y (x x + y). Dokaz. Ako je x = 1 onda x = x + y znači 1 = y, a ovo po prvoj Peanovoj aksiomi nije moguće. Ako je x 1 onda na osnovu Stava 2 postoji z P tako da je x = z, pa iz x = x + y sada sledi z + 1 = z + 1 + y, odnosno 1 = y (nakon primene Stava 4) - što je nemoguće. Stav 6 x, y, z (x z = y z x = y). Dokaz. Indukcijom po x. Za x = 1 : Neka važi 1 z = y z. Pokažimo da je x = y, tj. y = 1. Kad bi bilo y 1 onda a (y = a+1) pa z = (a+1) z = (a z)+1 z = (a z)+z tj. z = (a z) + z, a ovo je nemoguće prema Stavu 5. Dakle mora biti y = 1. Neka za x važi x z = y z x = y i pretpostavimo x z = y z, tj. (x + 1) z = y z odnosno x z + z = y z. Kad bi bilo y = 1 imali bi smo x z + z = z, što je nemoguće prema Stavu 5. Dakle mora biti y 1. Zato u (y = u + 1). Sada iz x z + z = y z sledi x z + z = (u + 1) z = u z + z x z = u z I.H.: x = u x = x + 1 = u + 1 = y.

I.1. PEANOVE AKSIOME 9 Definicija 4 Za prirodne brojeve x i y definisaćemo da je x < y ako postoji prirodan broj z tako da je y = x + z. Definišemo i x y sa x < y x = y. Stav 7 Relacija na strukturi prirodnih brojeva je relacija poretka. Dokaz. Refleksivnost. Sledi direktno iz definicije. Antisimetričnost. Neka je x y i y x. Na osnovu definicije postoje četiri mogućnosti: 1) x = y i y = x; 2) x = y i x = y + v za neko v; 3) y = x + u za neko u i y = x; 4) y = x + u za neko u i x = y + v za neko v. U slučajevima 1), 2) i 3) trivijalno važi x = y (uzgred, slučajevi 2) i 3) nisu zapravo ni mogući - zašto?). U slučaju 4) imamo (x+u)+v = x odnosno x+(u+v) = x, te na osnovu Stava 5 zaključujemo da je ovaj slučaj zapravo nemoguć. Tranzitivnost. Neka važi x y i y z. Na osnovu definicije postoje četiri mogućnosti: 1) x = y i y = z; 2) x = y i z = y + v za neko v; 3) y = x + u za neko u i y = z; 4) y = x + u za neko u i z = y + v za neko v. Lako je videti da u slučajevima 1), 2) i 3) važi x z. U slučaju 4) imamo (x + u) + v = z tj. z = x + (u + v) pa je ponovo x z. Stav 8 Ured enje je linearno. Dokaz. Indukcijom po x pokazujemo da važi y (x y y x). Za x = 1 : Treba pokazati da 1 y y 1. Ako je y = 1 onda je ovo trivijalno zadovoljeno a ako y 1 onda postoji neko z tako da y = z = z + 1 = 1 + z odakle vidimo da je 1 y. Neka za x važi indukcijska hipoteza i neka je dat y. Pokažimo x y y x. Po I.H. važi x y y x pa postoje tri mogućnosti: 1) y = x + u za neko u; 2) x = y + v za neko v; 3) x = y. U slučaju 1) imamo da, ako je u = 1 onda y = x te x y, a ako je u 1 onda w (u = w + 1) pa je y = x + w + 1 = (x + 1) + w = x + 1 odakle se vidi da važi x y. Analognim razmatranjem se pokazuje da u slučaju 2) važi y x. Najzad, ako važi 3) onda je y = x x + 1 = x.

10 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA Stav 9 je dobro ured enje. Dokaz. Neka je data s.p.b. (P, 1, ). Na osnovu Stava 8 preostaje da se pokaže da ako je A P neprazan skup onda postoji x A tako da y A (x y). Neka je dat takav A. Primetimo najpre da x (1 x). Zaista ako je x = 1 onda 1 x trivijalno važi, a ako je x 1 onda postoji y tako da x = y + 1 = 1 + y pa je opet 1 x. Pretpostavimo suprotno, tj. da ne postoji x A tako da je y A (x y). Tada za B := {x y A (x y)} imamo A B = i 1 B. Pokažimo da za svako x važi x B x B. Neka x B i pretpostavimo da je x / B. Tada postoji y A tako da ne važi x y. Kako je x B, y A to zaključujemo x y a iz A B = dobijamo da x y. Zato je x < y tj. postoji neko v tako da y = x + v. Kad bi bilo v = 1 onda y = x+1 tj. x = x+1 y, što je nemoguće. Dakle mora biti v 1 pa je v = u+1 za neko u. Zato je y = x + u + 1 = (x + 1) + u tj. x + 1 y, kontradikcija. Dakle mora biti x B. Na osnovu dokazanog dobijamo B = P pa, zbog A B =, imamo A =, suprotno polaznoj pretpostavci. Stav 10 x y (x + z y + z x z y z). Dokaz. Sledi direktno iz definicije razlikujući slučajeve x = y i x < y. Dokaz Teoreme o rekurziji: Definišimo skupove F := {f f je funkcija, 1 dom(f) P, ran(f) S, f(1) = a 0 i i važi x dom(f) (x dom(f) f(x ) = T (x, f(x)) )} U := {x P f F(x dom(f)) i važi da ako su f, g F takve da x dom(f) dom(g) onda f(x) = g(x)}. (1) Pokazujemo 1 U. Definišimo h : {1} S sa h(1) := a 0. Kako x P (1 x ) to h F. Ako f, g F onda f(1) = g(1)(= a 0 ). Zato 1 U. (2) Pokazujemo x U x U. Neka x 0 U.

I.1. PEANOVE AKSIOME 11 Postoji f 0 F tako da x 0 dom(f 0 ). Označimo A := dom(f 0 ) {x 0} i definišimo funkciju g 0 : A S sa: ako y dom(f 0 ) onda g 0 (y) := f 0 (y); ako y A \ dom(f 0 ) onda g 0 (y) := T (x 0, f 0 (x 0 )). Pokažimo da je g 0 F. - 1 dom(f 0 ) A dom(g 0 ) i po definiciji preslikavanja g 0 je g 0 (1) = f 0 (1) = a 0. - Neka je z dom(g 0 ) ( A). Ako z dom(f 0 ) onda, zbog f 0 F, z dom(f 0 ) i f 0 (z ) = T (z, f 0 (z)). Odatle na osnovu definicije preslikavanja g 0, a zbog z, z dom(f 0 ), imamo z dom(g 0 ) i g 0 (z ) = T (z, g 0 (z)). Ako z / dom(f 0 ) onda z = x 0, tj. z = x 0 dom(f 0 ) dom(g 0 ) pa, na osnovu definicije preslikavanja g 0, dobijamo g 0 (z ) = T (x 0, f 0 (x 0 )) = T (z, g 0 (z)). Dakle, g 0 F. Upravo je pokazano da x 0 dom(g 0 ) gde g 0 F. Neka f 1, f 2 F i x 0 dom(f 1 ) dom(f 2 ). Pošto f i F to x 0 dom(f i ) i f i (x 0) = T (x 0, f i (x 0 )), i = 1, 2. Kako je x 0 U, x 0 dom(f 1 ) dom(f 2 ) i f 1, f 2 F to f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 ) i najzad f 1 (x 0) = T (x 0, f 1 (x 0 )) = T (x 0, f 2 (x 0 )) = f 2 (x 0). U skladu sa prethodnim zaključujemo da je x 0 U. Na osnovu (1), (2) i (P3) je U = P. Definišimo traženo preslikavanje k : P S. Neka x P. Kako je P = U to je skup D x := {f(x) f F, x dom(f)} jednočlan. Definišimo k(x) S sa D x = {k(x)}. P = U te postoji f F tako da 1 dom(f). Tada je k(1) = f(1) = a 0 (jer f F). Neka x P. Imamo da je k(x ) = f(x ) za neko (bilo koje) f F, gde x dom(f). No tada je x dom(f) i f(x ) = T (x, f(x)), tj. k(x ) = T (x, k(x)). Dakle k zaista ima tražene osobine. Dokažimo sada da je ovakvo preslikavanje jedinstveno. Neka su k, l : P S preslikavanja sa osobinama iz formulacije teoreme. G := {x P k(x) = l(x)}. Imamo da k(1) = l(1) = a 0 pa je 1 G. S druge strane ako

12 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA x G onda je k(x) = l(x) pa je k(x ) = T (x, k(x)) = T (x, l(x)) = l(x ), tj. x G. Otuda je G = P, odnosno k = l. Jedna od najvažnijih posledica Teoreme o rekurziji jeste činjenica da u suštini, ako se zanemari priroda elemenata u strukturama prirodnih brojeva, postoji tačno jedna takva struktura. Preciznije, imamo da važi sledeća Teorema 2 Neka su (P, 1, ) i (P 0, 1 0, ) strukture prirodnih brojeva. Tada postoji jedinstveno preslikavanje f : P P 0 sa osobinama: f(1) = 1 0, f(x ) = (f(x)) za svako x P. To jedinstveno f je usto i bijekcija. Dokaz. (I) (Egzistencija i jedinstvenost) Definišimo T : P P 0 P 0 sa T ((x, y)) := y. Imajući u vidu da je T (x, h(x)) = (h(x)) za proizvoljno h : P P 0 to, na osnovu teoreme o rekurziji, postoji tačno jedno preslikavanje k : P P 0 za koje važi k(1) = 1 0, k(x ) = (k(x)) za svako x P. (II) (Bijektivnost) Na osnovu upravo pokazanog postoji neko k 0 : P 0 P tako da važi k 0 (1 0 ) = 1, k 0 (x ) = (k(x)) za svako x P 0. Dokažimo da je k 0 k = id P. Neka L := {x P (k 0 k)(x) = x}. (k 0 k)(1) = k 0 (k(1)) = k 0 (1 0 ) = 1 pa je 1 L. Neka je sada x L, tj. (k 0 k)(x) = x. (k 0 k)(x ) = k 0 (k(x )) = k 0 ((k(x)) ) = (k 0 (k(x))) = ((k 0 k)(x)) = x te je x L. Zaključujemo da je L = P, tj. da k 0 k = id P, a odavde sledi da je k injektivno. Na sličan način se pokazuje i da je k k 0 = id P0 odakle zaključujemo da k mora da bude i na preslikavanje.

I.2. CELI BROJEVI 13 I.2 Celi brojevi Neka je data struktura prirodnih brojeva (N, 1, ). Na skupu N 2 definišemo relaciju sa (a, b) (c, d) akko a + d = b + c. Pokažimo da je relacija ekvivalencije. Refleksivnost. Imamo a + b = b + a pa je (a, b) (a, b). Simetričnost. Neka je (a, b) (c, d). Tada a + d = b + c tj. c + b = d + a odnosno (c, d) (a, b). Tranzitivnost. Neka je (a, b) (c, d) i (c, d) (e, f). Tada je a+d = b+c i c+f = d + e pa sabiranjem ove dve jednakosti dobijamo (a + f) + (c + d) = (b + e) + (c + d), odakle korišćenjem Stava 4 dobijamo a + f = b + e, tj. (a, b) (e, f). Klase ekvivalencije ove relacije zovemo celim brojevima date strukture prirodnih brojeva. Skup celih brojeva označimo sa Z := N 2 /. Ako je (m, n) N 2 sa [(m, n)] ćemo označavati klasu ekvivalencije para (m, n). Stav 11 Neka je (a, b) (a 1, b 1 ) i (c, d) (c 1, d 1 ). Tada (a + c, b + d) (a 1 + c 1, b 1 + d 1 ). Dokaz. Imamo da je a + b 1 = b + a 1 i c + d 1 = d + c 1. Sabiranjem dobijamo (a + c) + (b 1 + d 1 ) = (b + d) + (a 1 + c 1 ), tj. (a + c, b + d) (a 1 + c 1, b 1 + d 1 ). Na osnovu Stava 11 operacija na skupu Z odred ena sa [(a, b)] [(c, d)] := [(a + c, b + d)] je korektno definisana. Tu operaciju nazivamo sabiranje celih brojeva i nadalje ćemo je označavati sa + ukoliko je jasno iz konteksta na koju se operaciju, sabiranje prirodnih ili sabiranje celih brojeva, misli. U nastavku ćemo za prirodne brojeve a i b umesto a b pisati ab. Stav 12 Neka je (a, b) (a 1, b 1 ) i (c, d) (c 1, d 1 ). Tada (ad + bc, ac + bd) (a 1 d 1 + b 1 c 1, a 1 c 1 + b 1 d 1 ). Dokaz. Imamo da je a + b 1 = b + a 1 i c + d 1 = d + c 1. Izvedimo sledeći niz transformacija: prvu jednakost pomnožimo sa d; prvu pomnožimo sa c i zamenimo strane; drugu pomnožimo sa a 1 i zamenimo strane; drugu pomnožimo sa b 1. Dobijamo, u tom redosledu, sledeće jednakosti: ad + b 1 d = bd + a 1 d bc + a 1 c = ac + b 1 c da 1 + c 1 a 1 = ca 1 + d 1 a 1 cb 1 + d 1 b 1 = db 1 + c 1 b 1.

14 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA Sabiranjem ove četiri jednakosti dobija se (ad + bc) + (a 1 c 1 + b 1 d 1 ) + (b 1 d + a 1 c + da 1 + cb 1 ) = (ac + bd) + (a 1 d 1 + b 1 c 1 ) + (a 1 d + b 1 c + ca 1 + db 1 ) odakle na osnovu Stava 4 dobijamo konačno (ad + bc) + (a 1 c 1 + b 1 d 1 ) = (ac + bd) + (a 1 d 1 + b 1 c 1 ), tj. (ad + bc, ac + bd) (a 1 d 1 + b 1 c 1, a 1 c 1 + b 1 d 1 ). Na osnovu Stava 12 imamo da je operacija na skupu Z zadata sa [(a, b)] [(c, d)] := [(ad + bc, ac + bd)] korektno definisana. Nju nazivamo množenje celih brojeva a nadalje u pisanju najčešće izostavljamo oznaku isto onako kako je to dogovoreno da se radi sa oznakom kod množenja prirodnih brojeva. Stav 13 Operacije sabiranja i množenja celih brojeva su asocijativne i komutativne. Množenje je distributivno prema sabiranju. Dokaz. Utvrd uje se direktnom proverom na osnovu definicije. Stav 14 (Z, +) je Abelova grupa. Dokaz. Preostaje da se utvrdi postojanje neutrala i postojanje suprotnog elementa za svaki element skupa Z. Imamo (x, x) (y, y) za svako x, y N. Takod e, ako je (u, v) (c, c) onda u + c = v + c odnosno, posle skraćivanja, u = v. Zato je [(x, x)] = [(y, y)] = {(z, z) z N}. Označimo ovaj element skupa Z sa 0. [(a, b)] + 0 = [(a, b)] + [(c, c)] = [(a + c, b + c)] = [(a, b)] jer je očigledno (a + c, b + c) (a, b). Zato je 0 neutral za sabiranje. [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(a + b, a + b)] = 0 pa postoji suprotan element elementu [(a, b)] u odnosu na sabiranje i to je [(b, a)]. Oznaka 0 će se i u daljem tekstu odnositi na neutralni element za sabiranje u Z opisan u dokazu prethodne teoreme. Suprotan element elementu x Z u odnosu na sabiranje označavaćemo sa x. Primetimo da je (n, n + 1) (m, m + 1) za proizvoljne n, m N. Takod e, ako je (u, v) (x, x + 1) onda je u + x + 1 = v + x, odnosno u + 1 = v. Zato je [(n, n + 1)] = [(m, m + 1)] = {(x, x + 1) x N}. Označimo ovaj element skupa Z sa 1. Lako je videti da je on jedinični za množenje celih brojeva: [(a, b)] [(n, n + 1)] = [(an + bn + a, an + bn + b)] = [(a, b)] jer je očigledno (an + bn + a, an + bn + b) (a, b).

I.2. CELI BROJEVI 15 Stav 15 Ako je x Z i x 0 onda za svako y, z Z važi xy = xz y = z. Dokaz. Neka je x = [(a, b)] 0, y = [(c, d)], z = [(e, f)] i neka važi [(a, b)] [(c, d)] = [(a, b)] [(e, f)] odnosno, prema definiciji [(ad + bc, ac + bd)] = [(af + be, ae + bf)] ili, drugim rečima ad + bc + ae + bf = ac + bd + af + be. ( ) Kako je x 0 = {(n, n) n N}, to je a b. Neka je npr. a < b (za slučaj b < a dokaz je analogan), što znači da je b = a + k za neko k N. Zamenjujući ovo u ( ) dobijamo: ad + ac + kc + ae + af + kf = ac + ad + kd + af + ae + ke odnosno k(c + f) = k(d + e) i najzad c + f = d + e, što znači da je (c, d) (e, f), tj. y = z. Na osnovu prethodno ustanovljenih činjenica u vezi sa strukturom (Z,, ) možemo konstatovati da je (Z,, ) integralni domen. Uočimo skup N := {[(x, y)] Z x, y N, x < y} i preslikavanje CB : N Z definisano sa CB(n) := [(1, 1 + n)]. Stav 16 Preslikavanje CB je injektivno i CB[N] = N. Dokaz. Neka CB(n) = CB(m) za n, m N. Ovo znači da je (1, 1 + n) (1, 1 + m) odnosno da 1 + 1 + m = 1 + n + 1, tj. m = n. Dakle CB je injektivno. Jasno je da 1 < 1 + n pa je CB(n) N, tj. važi CB[N] N. Uočimo proizvoljno a N. Postoje x, y N, pri čemu x < y, tako da je a = [(x, y)]. Postoji k N tako da y = x + k. Ako je x = 1 onda dobijamo (x, y) = (1, 1 + k) tj. a = CB(k). Ako je x 1 tada postoji u N tako da x = u + 1 pa imamo da (x, y) = (u + 1, u + 1 + k) (1, 1 + k), tj. a = CB(k). Odavde vidimo da je N CB[N]. Stav 17 Za svako n, m N je CB(n + m) = CB(n) + CB(m) i CB(nm) = CB(n)CB(m). Dokaz. Sledi direktnom proverom.

16 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA Definicija 5 Na Z definišemo relaciju < sa x < y ako i samo ako z N (y = x + z). Relacija na skupu Z se definiše uobičajeno: x y akko x = y x < y. Stav 18 Za svako x, y N je x < y CB(x) < CB(y). Za svako x, y N je x y CB(x) CB(y). Dokaz. Neka je x, y N i x < y. Tada k N tako da y = x + k. Odavde na osnovu Stava 17 imamo da je CB(y) = CB(x) + CB(k) pri čemu je CB(k) N po Stavu 16, te vidimo da je CB(x) < CB(y). Neka sada CB(x) < CB(y). Tada postoji z N tako da CB(y) = CB(x) + z. Na osnovu Stava 16 postoji k N tako da je z = CB(k). Zato je CB(y) = CB(x) + CB(k) = CB(x + k), po Stavu 17, a kako je CB injektivno zaključujemo da je y = x + k, tj. x < y. Preostali deo tvrd enja sada sledi neposredno. Stav 19 Relacija je linearno ured enje na skupu Z. Dokaz. Refleksivnost sledi direktno iz definicije. Antisimetričnost. Neka važi x y i y x. Pretpostavimo najpre da je x < y i y < x. Tada postoje u, v N tako da je y = x + v i x = y + u. Zato je y = (y + u) + v pa je 0 = u + v, tj. u = v. Ako je u = [(1, 1+n)] i v = [(1, 1+m)] za neke n, m N imamo da je v = [(1+m, 1)] (vidi dokaz Stava 14) pa dobijamo (1+m, 1) (1, 1+n) odnosno m+1+1+n = 1+1 odakle je 1 = m + n + 1 = (m + n) kontradikcija. Zato ne može biti istovremeno i x < y i y < x, odakle neposredno zaključujemo da je x = y. Tranzitivnost. Neka je x y i y z. Jedini slučaj kada je uopšte i potrebno nešto dokazivati jeste slučaj x < y y < z pa pretpostavimo da se o njemu i radi. Postoje n, m N tako da je y = x + n i z = y + m. Tada je z = x + (n + m). Odavde sledi da je x < z jer je n + m N : n = CB(p), m = CB(q) za neke p, q N po Stavu 16, pa je n + m = CB(p) + CB(q) = CB(p + q) po Stavu 17, tj. n + m CB[N] = N. Pokažimo najzad da su x i y iz Z uvek uporedivi. Dakle, neka je x = [(a, b)], y = [(c, d)] i pretpostavimo da je x y. Tada je a + d b + c, tj. l r gde l := a + d i r := b + c. Zato je l < r ili r < l jer je na skupu N linearno.

I.2. CELI BROJEVI 17 Pretpostavimo da je l < r (preostali slučaj je analogan), tj. da postoji k N tako da je r = l + k odnosno b + c = a + d + k. Odavde sledi da je b + c + 1 = a + d + k + 1 te je x = [(a, b)] = [(c + 1, d + k + 1)] = [(c, d)] + [(1, 1 + k)], tj. x = y + z gde je z := [(1, 1 + k)] N. Drugim rečima y < x. Stav 20 x < y y < x za svako x, y Z. Dokaz. Neka x < y. Tada postoji k N tako da y = x + k. Zato y = x + ( k) odnosno x = ( y) + k, što znači da je y < x. Stav 21 Za svako x, y, z Z važi x y x + z y + z. Stav 22 Ako je 0 < a i x < y onda ax < ay. Dokaz. Iz x < y imamo da je y = x + k za neko k N. Zato je ay = ax + ak te bi ax < ay sledilo ako se pokaže da je ak N : 0 < a znači da je a N pa je zato a = CB(a 1 ) i k = CB(k 1 ) za neke a 1, k 1 N; otuda ak = CB(a 1 ) CB(k 1 ) = CB(a 1 k 1 ) N. Stav 23 U skupu celih brojeva važi: (1) x, y > 0 (x + y > 0 xy > 0) (2) x, y < 0 xy > 0 (3) (x > 0 y < 0) xy < 0. Definišemo Z + := N, Z := { x x Z + }. Jednostavno je pokazati da je Z + = {x Z 0 < x}, Z = {x Z x < 0} i Z + Z = kao i da važi Z = Z {0} Z +.

18 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA I.3 Racionalni brojevi U ovom odeljku ćemo sa 0 (umesto sa 0 ) označavati nulu prstena celih brojeva. Na skupu (Z \ {0}) Z definišimo relaciju sa (a, b) (c, d) akko ad = bc. je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije ove relacije nazivamo racionalnim brojevima a skup svih racionalnih brojeva označavaćemo sa Q := ((Z \ {0}) Z)/. Stav 24 Neka je (a, b) (a 1, b 1 ) i (c, d) (c 1, d 1 ). Tada važi: (ac, ad + bc) (a 1 c 1, a 1 d 1 + b 1 c 1 ) i (ac, bd) (a 1 c 1, b 1 d 1 ). Dokaz. Sledi iz pretpostavke ab 1 = a 1 b cd 1 = c 1 d i definicije relacije. Prethodni stav dozvoljava da se definišu sabiranje racionalnih brojeva sa i množenje racionalnih brojeva sa [(a, b)] + [(c, d)] := [(ac, ad + bc)] [(a, b)] [(c, d)] := [(ac, bd)]. Konvencija Umesto [(x, y)] pisaćemo y x. Stav 25 Za svako x, y Z i svako z, t Z \ {0} važi: xz 1) tz = x t ; x + y 2) = x z z + y z.

I.3. RACIONALNI BROJEVI 19 Dokaz. Tvrd enja slede direktnom proverom, npr.: x z + y xz + yz = a sada se lako vidi da je (z z, xz + yz) (z, x + y). z z z Stav 26 (Q, +, ) je polje. Dokaz. Sledi direktnom proverom uz korišćenje Stava 25. Istaknimo da je nula ovog polja 0 1, suprotni element (za sabiranje) elementa x y je ( x), jedinica ovog y 1 polja je 1 a inverzni element (u odnosu na množenje) elementa x y 0 1 je y x (gde ne može biti x = 0 jer bi tada imali (y, x) (1, 0)). Za u Q kažemo da je pozitivan ako za svako (a, b) u važi ab > 0. Definišimo Q + := { b a, b Z, ab > 0}. a b Neka je a = d i neka ab > 0. Pokažimo da mora biti i cd > 0. c Imamo da je ad = bc. Stav 23 kaže da je a, b > 0 ili a, b < 0. Neka važi a, b > 0, pri čemu se u preostalom slučaju rezonuje identično. Iz cd = 0, zbog c 0, sledi d = 0 a onda bc = 0 pa b = 0 te i ab = 0, što je nemoguće. Iz cd < 0, na osnovu Stava 23, sledi c > 0, d < 0 ili c < 0, d > 0. U prvom slučaju dobijamo bc > 0 i ad < 0 a u drugom bc < 0 i ad > 0. Dakle, u oba slučaja je ad = bc Z + Z =. Prema tome važi jedini preostali slučaj. Upravo utvrd ena činjenica govori da je u Q pozitivan akko postoji neko (a, b) u tako da je ab > 0. U skladu s tim je Q + {u Q u je pozitivan}. Definišemo da za dva racionalna broja x, y važi x < y akko y x Q +. Lako je videti da važi x Q + x > 0. Kao i ranije, x y skraćuje x = y x < y. 1 Stav 27 Ako je x, y Q onda: 1) x > 0 x < 0 1 1 ; 2) x, y > 0 1 x + y, xy > 0 1 ; 3) x, y < 0 1 x + y < 0 1 xy > 0 1 ; 4) x > 0 1, y < 0 1 xy < 0 1.

20 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA Dokaz. 1) x > 0 1 x 0 1 Q + x Q +. S druge strane x < 0 1 0 1 ( x) Q + x Q +. 2) Neka x = b a i y = d c. x, y > 0 1 znači da je x, y Q +, tj. ab, cd > 0. Kako je a, c 0 to je lako pokazati da je a 2, c 2 > 0. Otuda abc 2 > 0 i a 2 cd > 0 pa je abc 2 + a 2 bc + ad cd > 0, tj. ac(bc + ad) > 0. Zato je x + y = Q + odnosno ac x + y > 0 1. Na osnovu Stava 23 imamo da je abcd > 0, tj. xy 0 1 znači da xy > 0 1. = xy = bd ac Q +, što 3) Ako je x, y < 0 1 onda je, na osnovu 1), x, y > 0, pa zbog 2) imamo 1 x + ( y), ( x)( y) > 0 1, tj. xy > 0 1 i (x + y) > 0, te koristeći 1) dobijamo 1 i x + y < 0 1. 4) se slično dokazuje. Stav 28 Relacija je linearno ured enje na skupu Q. Dokaz. Refleksivnost sledi iz same definicije. Neka važi x y i y x. Kad ne bi važilo x = y onda bi imali x < y y < x. Neka dakle {y x, x y} Q +. Iz y x > 0 1 i x y > 0 1 sledi (y x)+(x y) > 0 1, 0 tj. 1 Q +. Odatle sledi 0 = 0 1 > 0, što je jednostavno proveriti da ne može da važi. Neka je sada x y i y z. Ako je x = y ili y = z onda direktno sledi x z. Neka je x y z. Imamo da je x < y i y < z, tj. y x > 0 1 i z y > 0 1. Odatle se dobija z x = (z y) + (y x) > 0, tj. x < z. 1 Neka je sada x, y Q. Pokažimo da su x i y uporedivi. b Neka je y x =. Razlikujemo tri slučaja: ab = 0, ab < 0 i ab > 0 a (odgovarajuće ured enje na Z je linearno). U prvom slučaju dobijamo da je b = 0, tj. y x = 0, pa su x i y = x uporedivi. U 1 drugom slučaju imamo (ab) > 0, tj. a( b) > 0. Zato je x y = b a = b a Q + pa je y < x. U trećem slučaju jasno važi x < y. Stav 29 Za svako x, y, z Q važi 1) x < y x + z < y + z; 2) Ako je z > 0 onda x < y xz < yz.

I.3. RACIONALNI BROJEVI 21 Dokaz. 1) x < y (y + z) (x + z) = y x > 0, tj. x + z < y + z. 1 Tvrd enje pod 2) sledi direktno iz y x > 0 1 i Stava 27. Stav 30 Definišimo RC : Z Q sa RC(x) := x 1. 1) RC je injektivno preslikavanje; 2) RC(x + y) = RC(x) + RC(y); 3) RC(xy) = RC(x)RC(y); 4) x < y RC(x) < RC(y). x Dokaz. 1) Neka je RC(x) = RC(y). Tada 1 = y pa je (1, x) (1, y), tj. 1 x = y. 2) RC(x + y) = x + y = x 1 1 + y = RC(x) + RC(y). 1 3) RC(xy) = xy 1 = xy 1 1 = x 1 y = RC(x) RC(y). 1 4) Neka važi x < y, tj. y = x + k za neko k N. Tada RC(y) = RC(x + k) = k RC(x) + RC(k). Preostaje da se pokaže da je 1 RC(k) Q + ali ovo direktno sledi iz k 1 = k N = Z + = {a Z 0 < a}. Neka sada važi RC(x) < RC(y). Kako su celi brojevi x i y -uporedivi, a kako je očigledno x y, to je dovoljno pokazati da ne važi y < x. Kad bi to važilo na osnovu upravo pokazanog bi imali da je RC(y) < RC(x). Dakle RC(y) RC(x) > 0 1 i RC(x) RC(y) > 0 1 Stava 27) dobijamo 0 1 > 0 1, tj. 0 pokazati da je nemoguće. pa sabiranjem ovih nejednakosti (preciznije: na osnovu 1 Q +, odnosno 0 = 0 1 > 0, što je jednostavno Stav 31 Ured enje < na skupu racionalnih brojeva je gusto. Dokaz. Neka su p, q Q, p < q. Treba pokazati da postoji x Q tako da je p < x < q. Neka je 2 := 1 + 1 Z i x := 1 (p + q). 2 1 Primetimo najpre da je na osnovu Stava 25: 1 1 2 = 2 2 + ( 1) = 2 1 = 2 2 (1 + 1) 1 = 1 2 2 kao i da je 1 2 > 0 jer 1 2 = 2 = 1 + 1 = CB(1) + CB(1) = 1 CB(1 + 1) N = Z +, pa je 1 2 > 0. Imamo q x = q 1 2 p 1 2 q = 1 1 q 1 2 q 1 2 p = ( 1 1 1 2 )q + 1 2 ( p) = 1 2 (q p) > 0 1 na osnovu Stava 27 jer je p < q i 1 2 > 0. Zato je x < q. Slično se 1 utvrd uje da je i p < x.

22 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA I.4 Realni brojevi x, ako je x 0 1, Za x Q definišemo x := x, ako je x < 0 1. Za niz a racionalnih brojeva kažemo da je Košijev ako n N m N k, l N (m k, l a(k) a(l) 1 ). Označimo sa R skup svih Košijevih nizova racionalnih n brojeva i na tom skupu definišimo relaciju = sa a = b n N m N k N ( m k a(k) b(k) 1 n ). Može se pokazati da je = relacija ekvivalencije na skupu R. Skup R/ = svih klasa ekvivalencije ove relacije označimo sa R a njegove elemente nazovimo realnim brojevima. Za a R sa [a] = označimo klasu niza a. Na skupu R definišimo operacije i relaciju < sa [a] = + [b] = := [a + b] =, [a] = [b] = := [a b] =, [a] = < [b] = [a] = [b] = n N k N ( n k a(k) < b(k) ). Može se pokazati da su ove definicije korektne (tj. da ne zavise od izbora predstavnika). Kao i obično: x y x < y x = y za x, y R. Definicija 6 Za strukturu (A, +,, ) kažemo da je kompletno ured eno polje ako je (A, +, ) polje, linearno ured enje na skupu A i, ako je a 0 nula tog polja, važe uslovi (1) x y x + z y + z, (2) (x y a 0 z) x z y z i (3) svaki odozgo ograničen podskup od A ima supremum. Stav 32 Struktura (R, +,, ) je kompletno ured eno polje. O tome da su realni brojevi u potpunosti odred eni svojom ovakvom relacijskooperacijskom strukturom govori sledeća teorema. Teorema 3 Za svaka dva (A, +,, ) i (B,,, ) kompletno ured ena polja postoji bijekcija f : A B tako da važi (1) f(x + y) = f(x) f(y), (2) f(x y) = f(x) f(y), (3) x y f(x) f(y).

I.4. REALNI BROJEVI 23 Pomenimo da su nula i jedinica polja (R, +, ) klase ekvivalencije, tim redom, nizova 0 n N i 1 + 1n n N. Klase konstantnih nizova glume racionalne brojeve: Stav 33 Preslikavanje f : Q R definisano sa f(x) := [ x n N ] = je injektivno i važi (1) f(x + y) = f(x) + f(y), (2) f(x y) = f(x) f(y), (3) x y f(x) f(y) i (4) ako su x, y R različiti realni brojevi takvi da je x y tada postoji z f[q] \ {x, y} tako da je x z y.

24 DEO I. ZASNIVANJE BROJEVA I.5 Kompleksni brojevi Na skupu C := R 2 definišimo operacije (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc). Neka u ovom odeljku simboli 0 i 1 označavaju, redom, nulu i jedinicu polja realnih brojeva. Stav 34 (C, +, ) je polje. Elemente ovog polja nazivamo kompleksnim brojevima. Nula ovog polja je (0, 0) a jedinica (1, 0). Kompleksan broj 0 := (0, 1) se naziva imaginarna jedinica i za njega važi i 2 = ( 1, 0) = (1, 0). Ovo polje je proširenje polja realnih brojeva što je sadržaj narednog stava. Stav 35 Preslikavanje f : R C definisano sa f(x) := (x, 0) je injektivno i važi: (1) f(x + y) = f(x) + f(y), i (2) f(x y) = f(x) f(y). Kompletno ured enje polja realnih brojeva se ne može proširiti na polje kompleksnih brojeva. Štaviše Stav 36 Ne postoji linearno ured enje na skupu C za koje bi važilo (1) x y x + z y + z i (2) (x y (0, 0) z) x z y z. Dokaz. Neka je takvo ured enje. Zbog linearnosti ovog ured enja brojevi (0, 0) i imaginarna jedinica su uporedivi. Ako je (0, 0) 0 onda (0, 0) = (0, 0) 0 0 0, tj. (0, 0) ( 1, 0). Ako je 0 (0, 0) onda je 0 + ( 0) (0, 0) + ( 0) tj. (0, 0) 0. Odavde imamo (0, 0) ( 0) ( 0) ( 0), tj. (0, 0) ( 1, 0). Dakle, u svakom slučaju važi (0, 0) ( 1, 0) pa sledi da je (0, 0) = (0, 0) ( 1, 0) ( 1, 0) ( 1, 0), tj. (0, 0) (1, 0). Zato je (0, 0)+( 1, 0) (1, 0)+( 1, 0) odnosno ( 1, 0) (0, 0). Antisimetričnost relacije sada povlači (0, 0) = ( 1, 0), kontradikcija.

Deo II Elementi kombinatorike II.1 Formula uključenja-isključenja Notacija Za i N i proizvoljan skup M definišemo M (i) : df = {S M S = i}. Takod e, za proizvoljan konačan skup M sa M označavamo broj njegovih elemenata. Teorema 4 (Formula uključenja-isključenja) Za svako n N važi n n A i = ( 1)i+1 A j, S {1,...,n} (i) j S kad god su A i, 1 i n, konačni skupovi. (II.1) Dokaz. Indukcijom po n. Za n {1, 2} tačnost tvrd enja se direktno proverava. Neka (II.1) važi za neki prirodan broj n > 2. n+1 n Zbog A i = (A i A n+1 ) imamo: n+1 n n A i = (A i A n+1 ) = ( 1)i+1 (A j A n+1 ) = S {1,...,n} (i) j S [ koristimo: (A j A n+1 ) = A n+1 A j = j S j S = A n+1 + A j A n+1 ] A j j S j S = K + L + M, gde je n K := ( 1)i+1 A n+1 = A n+1 S {1,...,n} (i) 25 n ( ) n ( 1) i+1 = A n+1, i

26 DEO II. ELEMENTI KOMBINATORIKE i pa je L := M := = ( 1) n+2 + n ( 1)i+1 + n i=2 n ( 1)i+1 ( 1)i+2 n+1 = ( 1) i+1 i=2 j {1,...,n+1} A j S {1,...,n} (i) j S S {1,...,n} (i) S {1,...,n} (i) + S {1,...,n+1} (i) \S {1,...,n} (i) A j = 1 j n A j, j S ( ) A j j S n ( 1) i+1 i=2 n+1 n+1 A i = A i + ( 1) n+2 n ( 1) i+1 A j + S {1,...,n} (i) j S i=2 n+1 = A i + ( 1) n+2 j {1,...,n+1} A j + n+1 n+1 = A i + ( 1)i+1 i=2 n+1 = ( 1)i+1 n i=2 S {1,...,n+1} (i) A j + A n+1 A j = j S S {1,...,n+1} (i) \S {1,...,n} (i) j {1,...,n+1} S {1,...,n+1} (i) \S {1,...,n} (i) ( 1)i+1 S {1,...,n+1} (i) = A j, j S A j + A j = j S S {1,...,n+1} (i) j S A j. j S A j = j S A j =

Deo III Neke elementarne nejednakosti III.1 AG nejednakost Ako je n N i x = (x 1,..., x n ) [0; + ) n onda definišemo Aritmetičku sredinu n-torke x : A n ( x ) : df = 1 n Geometrijsku sredinu n-torke x : G n ( x ) : df = Takod e, u x u v v će značiti: n x i i { n x i } 1 n. ( ) u = v (x i = x j za sve 1 i, j n). Stav 37 Za svako n N i svako x [0; + ) n važi G n ( x ) x A n ( x ). Dokaz. Za svako k N označimo sa T k iskaz: za svako x [0; + ) k važi G k ( x ) x A k ( x ). (A) Pokazujemo da je T 2 tačno. Ako su x 1, x 2 0 imamo x1 x 2 x 1 + x 2 2 0 ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 2 x 1 x2 0 ( x 1 x 1 ) 2 odakle se vidi da je T 2 je tačno ( obzirom da je x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 0 = ( x 1 x 1 ) 2). 27

28 DEO III. NEKE ELEMENTARNE NEJEDNAKOSTI (B) Pokazujemo T k T 2k. Neka važi T k i neka je x [0; + ) 2k proizvoljno. Imamo, za a := 1 k x i i b := 1 2k x i, k k k x i 2k i=k+1 x i (1) k k x i k i=k+1 2k i=k+1 k x i k (2) (a,b) k x i + 2k 2k i=k+1 x i 2 k = ( 1 = 2k 2k x i ) 2k gde na mestu (1) stoji na osnovu T k. Ovim je pokazano da važi G 2k ( x ) A 2k ( x ). Pretpostavimo sada da je G 2k ( x ) = A 2k ( x ). Tada mestu (2) stoji = pa je a = b. Kako i na mestu (1) stoji = to mora biti: Slučaj 1: ako x i0 = 0 za neko 1 i 0 2k onda iz 2k x i = 0, a kako je x i 0 za svako 1 i 2k, sledi da je x i = 0 za svako 1 i 2k; ( Slučaj 2: ako x i > 0 za svako 1 i 2k onda zbog T k a na osnovu jednostavne činjenice da (r < s p q 0) rp < sq) ) zaključujemo da je ( ) k ( ) k k 1 k 2k 1 2k x i = x i i x i = x i ; sada na osnovu T k dobijamo k k i=k+1 i=k+1 x i = x j za sve 1 i, j k kao i x i = x j za sve k + 1 i, j 2k, pa je i x i = a = b = x j za 1 i k i k + 1 j 2k; dakle x je konstantna 2k-torka. (C) Pokazujemo T n za proizvoljno n 2. Najpre primetimo da se iz (A) i (B) induktivnim rezonovanjem može zaključiti da je T 2 k tačno za svako k N. Neka je x [0; + ) n i neka je k N takvo da je 2 k > n. Definišimo y = (y 1,..., y 2 k) [0; + ) 2k sa y i = x i za 1 i n, i y i = A n ( x ) =: α za n < i 2 k. Stavimo m := 2 k n. Kako važi T 2 k to je G 2 k( y ) A 2 k( y ) pa je n x i α m n x i + mα 2 k 2 k = ( ) 2 k n + m α = α 2k... ( ) 2 k Ako je α = 0 onda je x i = 0 za svako 1 i n te važi G n ( x ) A n ( x ). Ako je α > 0 onda iz ( ) sledi n x i α n, tj. G n ( x ) A n ( x ).

III.1. AG NEJEDNAKOST 29 Dakle nejednakost G n ( x ) A n ( x ) je dokazana. Pretpostavimo sada da je G n ( x ) = A n ( x ), tj. n x i α n. Množenjem ove jednakosti sa α m odavde sledi n x i α m = n x i + mα 2 k 2 k tj. G 2 k( y ) = A 2 k( y ), pa obzirom na to da važi T 2 k x i = y i = y j = x j za sve 1 i, j n. zaključujemo da mora biti

30 DEO III. NEKE ELEMENTARNE NEJEDNAKOSTI

Deo IV Diferencne jednačine IV.1 Linearna homogena diferencna jednačina sa konstantnim koeficijentima Neka su dati n N i c 0, c 1,..., c n 1 C. Linearna homogena diferencna jednačina n-tog reda sa n-torkom koeficijenata (c 0, c 1,..., c n 1 ) je diferencna jednačina a k+n = c n 1 a k+n 1 + + c 1 a k+1 + c 0 a k ( ) gde je c 0 0, a njeno rešenje je svaki niz a k k N kompleksnih brojeva za koji ( ) važi za svako k N. Polinom q(x) := x n c n 1 x n 1 c 1 x c 0 naziva se karakteristični polinom diferencne jednačine ( ). Primetimo da je q(0) 0. Neka je V vektorski prostor svih nizova kompleksnih brojeva sa uobičajenim sabiranjem nizova i množenjem kompleksnim brojem. k-ti element nekog niza a označavaćemo podjednako i sa a k i sa a(k). Neka je definisano preslikavanje L : V V sa L(a) = b akko k N (b k = a k+1 ). Jasno, ako je i nenegativan ceo broj, L i (a) = b akko b k = a k+i za svako k N. Jednostavno je videti da je L linearno preslikavanje. Zadatak. Za prirodne brojeve s 1 i p gde 0 p s 1 označimo f(s, p) = s ( ) s ( 1) i i p. Dokazati da je uvek f(s, p) = 0. i i=0 Rešenje. Indukcijom po s 1 pokazujemo da važi 0 p s 1 f(s, p) = 0. 31

32 DEO IV. DIFERENCNE JEDNAČINE Za s = 1 direktnom proverom se utvrd uje tačnost tvrd enja. Neka je f(s, p) = 0 za neko s 1 i svako p gde 0 p s 1. Pokažimo najpre f(s + 1, p) = 0 za p = 0. s+1 ( ) s + 1 f(s + 1, 0) = ( 1) i = (1 1) s+1 = 0. i i=0 Neka je sada 1 p s. f(s + 1, p) = s+1 ( ) s + 1 ( 1) i i p = i i=0 ( ) s + 1 ( 1) 0 0 p + (s + 1) 0 0 + (s + 1) (s + 1) s m=0 s m=0 s+1 ( ) s ( 1) i i p 1 = i 1 ( ) s ( 1) m+1 (m + 1) p 1 = m ( p 1 s )( 1) m m p 1 ( ) s p 1 (s + 1) r r=0 m=0 r=0 ( s m ( p 1 r ) m r = ) ( 1) m m r = p 1 ( ) p 1 (s + 1) f(s, r) = 0 r r=0 po indukcijskoj hipotezi jer je 0 r p 1 s 1. Stav 38 Neka je R C koren višestrukosti l karakterističnog polinoma q(x) jednačine ( ), gde 1 l n. Ako je 0 s < l onda je niz k s R k k N rešenje jednačine ( ). Dokaz. Kako je višestrukost nule R polinoma q(x) jednaka l > s to je q(x) = (x R) s+1 g(x) za neki polinom g stepena n s 1. Primetimo da je a k+n c n 1 a k+n 1 c 1 a k+1 c 0 a k = L n (a)(k) c n 1 L n 1 (a)(k) c 1 L 1 (a)(k) c 0 L 0 (a)(k) =

IV.1. LINEARNA HOMOGENA JEDNAČINA 33 (L n (a) c n 1 L n 1 (a) c 1 L 1 (a) c 0 L 0 (a))(k) = = (q(l)(a))(k) pa zapravo treba pokazati da je za svako k N (q(l)(a))(k) = 0. Neka je I = L 0 identičko preslikavanje prostora V. q(l)(a) = [(L R I) s+1 g(l)](a) = [g(l) (L R I) s+1 ](a) = g(l)((l R I) s+1 (a)) pa je dovoljno, budući da je g(l) linearno preslikavanje, pokazati da je z := (L R I) s+1 (a) konstantan nula niz, tj. z k = 0 za svako k N. Imamo z k = [ s+1 ( ) s + 1 ( 1) s+1 i R s+1 i L i (a)](k) = i i=0 i=0 s+1 ( ) s + 1 ( 1) s+1 i R s+1 i a k+i = i i=0 s+1 ( ) s + 1 ( 1) s+1 i R s+1 i (k + i) s R k+i = i s+1 ( ) s + 1 R s+1+k ( 1) s+1 ( 1) i i R s+1+k ( 1) s+1 R s+1+k ( 1) s+1 i=0 s j=0 ( s s+1 )k j j s j=0 i=0 s j=0 ( s + 1 i ( ) s k j i s j = j ) ( 1) i i s j = ( ) s k j f(s + 1, s j) = 0 j gde f(s+1, s j) označava istu sumu kao i u prethodnom zadatku, a za koju znamo da je jednaka nuli na osnovu istog jer je 0 s j s. Skup Λ := {a V a je rešenje jednačine ( )} je podprostor od V, što se lako uočava. Preslikavanje CUT : Λ C n definisano sa CUT (a) := (a 1,..., a n ) je linearno i bijektivno te je izomorfizam prostora Λ i C n. Imamo, specijalno, da je dimλ = n. Neka je R C koren višestrukosti l karakterističnog polinoma q(x) jednačine ( ), gde 1 l n. Pokažimo da su vektori k s R k k N, 0 s < l, prostora Λ linearno nezavisni. Ekvivalentno, pokažimo da su njihove slike preslikavanjem CU T linearno nezavisni vektori prostora C n.

34 DEO IV. DIFERENCNE JEDNAČINE Kako je R 1 R... 1 l 1 R R 2 2 R 2... 2 l 1 R 2 =...... R l l R l... l l 1 R l 1 1... 1 l 1 R l(l+1) 1 2... 2 l 1 2 =...... 1 l... l l 1 R l(l+1) 2 W (1, 2, 3,..., l) 0 (gde W (x 1,..., x l ) označava determinantu Vandermonde-ove matrice koja odgovara l-torci brojeva (x 1,..., x l )) to je rang matrice R 1 R... 1 l 1 R R 2 2 R 2... 2 l 1 R 2...... R n n R n... n l 1 R n jednak l, te su kolone ove matrice linearno nezavisni vektori prostora C n. h Neka je sada q(x) = (x R i ) l i, gde je R i R j za i j. Jasno l 1 + +l h = n. Za 1 i h i 0 j < l i označimo u i,j := k j R k i k N i pokažimo da je sistem rešenja u(i, j) 1 i h, 0 j < l i linearno nezavisan sistem vektora prostora Λ. Ako uvedemo oznake Q i := L(u i,j 0 j < l i ), za 1 i h, za to je dovoljno, obzirom na upravo utvrd enu linearnu nezavisnost u prethodnoj analizi, pokazati da je suma Q 1 + + Q h direktna. Kako je CUT izomorfizam, ova suma je direktna ako i samo ako je suma P 1 + + P h direktna, gde je P i := {CUT(x) : x Q i } C n za i = 1, h. Da je suma P 1 + + P h direktna slediće iz naredne dve leme. Lema 1 Preslikavanje A : C n C n definisano sa A((x 1,..., x n 1, x n )) := (x 2, x 3,..., x n, n 1 m=0 c m x m+1 ) je linearno. Ako je α koren višestrukosti p karakterističnog polinoma q, i ako je b i := k i α k k N za 0 i < p, tada je P := {CUT(x) : x L(b 0,..., b p 1 )} A-invarijantan podprostor od C n, i pritom je jedina sopstvena vrednost restrikcije operatora A na podprostor P upravo broj α.

IV.1. LINEARNA HOMOGENA JEDNAČINA 35 Dokaz. Da je preslikavanje A linearno je očigledno. Ako stavimo v i := CUT(b i ), za 0 i < p, imamo da je sistem v = (v 0,..., v p 1 ) je baza za P (jer je CUT linearni izomorfizam). Preslikajmo vektore sistema v preslikavanjem A: m=0 ( A(v(i)) = A ( (1 i α 1, 2 i α 2,..., n i α n ) ) = 2 i α 2, 3 i α 3,..., n i α n, n 1 m=0 c m (m + 1) i α m+1 ) = ( 2 i α 2, 3 i α 3,..., n i α n, (n + 1) i α n+1) = α ((1 + 1) i α 1, (2 + 1) i α 2,..., ((n 1) + 1) i α n 1, (n + 1) i α n) = ( i ( ) i i ( ) i i ( ) i i ( ) i α 1 m α 1, 2 m α 2,..., (n 1) m α n 1, )n m α n m m m m = m=0 i m=0 m=0 ( ) i α (1 m α 1, 2 m α 2,..., n m α n ) m = i m=0 ( ) i α v m. m Iz ovog zaključujemo da je A(v i ) P za svako 0 i < p, te da je A[P ] P. Zato je restrikcija, u oznaci A 1, operatora A na podprostor P endomorfizam prostora P. Iz prethodnog se takod e vidi da je matrica operatora A 1 u odnosu na bazu v gornja trougaona pri čemu su joj vrednosti na glavnoj dijagonali uvek jednake α. Zato je karakteristični polinom operatora A 1 polinom (x α) p pa je jedina sopstvena vrednost operatora A 1 broj α. Lema 2 Neka je A : V V endomorfizam konačnodimenzionalnog vektorskog prostora V. Ako je k N ako su Q 1,..., Q k V A-invarijantni podprostori od V takvi da, kakvi god da su 1 i < j k, ne postoji zajednička sopstvena vrednost restrikcija A i := A Q i i A j := A Q j, onda je suma Q 1 + + Q k direktna. Dokaz Indukcijom po k N. Neka je najpre k = 2. Pokazujemo da je Q 1 Q 2 = {0}. Pretpostavimo suprotno, tj. neka je Q 1 Q 2 pozitivne dimenzije. Kako su i Q 1 i Q 2 A-invarijantni podprostori, to je takav i Q 1 Q 2. Ako stavimo A 0 := A (Q 1 Q 2 ), onda je A 0 endomorfizam konačnodimenzionalnog nenula vektorskog prostora Q 1 Q 2 pa postoji neko λ C koje je sopstvena vrednost operatora A 0. No tada je λ sopstvena vrednost i operatora A 1 i operatora A 2, suprotno pretpostavci. Pretpostavimo sada da je trd enje tačno za svako k < m i neka su Q 1,..., Q m V A-invarijantni podprostori od V takvi da, kakvi god da su 1 i < j m, ne postoji zajednička sopstvena vrednost restrikcija A i i A j. Neka je i 0 {1,..., m} m=0

36 DEO IV. DIFERENCNE JEDNAČINE ) proizvoljno i stavimo (Q 1,..., Q i0 1, Q i0 +1,..., Q m, Q i0 = (P1,..., P m ). pokazati da je M := P m P j = {0} 1 j<m Treba Kako presek A-invarijantnih podprostora i sam M je A-invarijantan podprostor. Označimo sa A 0 restrikciju A M End(M). Ako pretpostavimo da M nije nula podprostor, tj. da je dimenzije bar 1, onda postoji bar jedna sopstvena vrednost λ C operatora A 0. Dakle za neki z M \ {0} važi A(z) = λz. Imamo P m z = p 1 + + p m 1, za neke p i P i, i = 1, m 1. Otuda je λp 1 + + λp m 1 = λz = A(z) = A(p 1 ) + + A(p m 1 ) Suma P 1 + + P m 1 je direktna, prema indukcijskoj hipotezi, i važi A(p i ) P i za svako i = 1, m 1, pa sledi da mora biti A(p i ) = λp i za svako i = 1, m 1 Postoji neko i 0 {1,..., m 1} tako da je p i0 0 (u suprotnom bi bilo z = 0). Tada je λ sopstvena vrednost za operator A i0. No, zbog 0 z M P m, λ je sopstvena vrednost i za operator A m kontradikcija. Kao što smo ranije zapazili, iz ove leme sada sledi da nizovi u(i, j) 1 i h, 0 j < l i čine linearno nezavisan sistem vektora prostora Λ, te kako je dužina ovog sistema jednaka l 1 + +l h = n = dimλ ovaj sistem je zapravo baza ovog prostora. Zato je svako rešenje jednačine ( ), tj. svaki vektor iz Λ linearna kombinacija vektora te baze. Ukratko važi sledeća teorema. Teorema 5 Niz a je rešenje jednačine ( ) akko za svako i, gde 1 i h, postoji polinom z i (x) stepena ne većeg od l i 1, tako da važi a k = z 1 (k)r k 1 + + z h (k)r k h.

Deo V Neke teme o polinomima V.1 Šturmov algoritam Neka je dat polinom q sa realnim koeficijentima. Niz p i 0 i k, k 1, polinoma sa realnim koeficijentima se naziva Šturmov niz za polinom q ako je p 0 = q i ako važi: (i) p k nema realnih korena; (ii) p i i p i+1 nemaju zajedničkih korena ni za jedno 0 i < k ; (iii) ako je p i (α) = 0 za neko 1 i < k i neko α R onda je p i 1 (α)p i+1 (α) < 0; (iv) ako je q(α) = 0 za neko α R onda postoji ϵ > 0 tako da je q(x)p 1 (x) < 0 za svako x (α ϵ, α) i q(x)p 1 (x) > 0 za svako x (α, α + ϵ). Neka je p i 0 i k, k 1, konačan niz polinoma sa realnim koeficijentima. Ako je x 0 R onda ćemo za i I := {0,..., k} reći da je indeks promene u tački x 0 u odnosu na dati niz ako postoji neko j I, j > i, tako da je - p i (x 0 )p j (x 0 ) < 0 i - ako je s I takvo da i < s < j onda mora biti p s (x 0 ) = 0. [ Neka jednostavna zapažanja koja treba upamtiti: Primetimo da iz same definicije sledi da k nikad nije indeks promene u tački x 0, kao i da ako je i I takvo da p i (x 0 ) = 0 onda i nije indeks promene u tački x 0. Takod e, ako je 0 i < k takvo da je p i (x 0 ) ] 0 i p i+1 (x 0 ) 0 onda važi: i je indeks promene u tački x 0 akko p i (x 0 )p i+1 (x 0 ) < 0. Sa S(x 0 ) ćemo označavati skup svih indekasa promene u tački x 0, tj. S(x 0 ) : df = {i I i je indeks promene u tački x 0 }. Funkcija promena znaka u datom nizu je funkcija W : R R definisana sa W (x) = card ( S(x) ) (tj. W (x) je broj indekasa promene u tački x) za x R. 37

38 DEO V. NEKE TEME O POLINOMIMA Primer. Neka je p 0 (x) = x 1, p 1 (x) = x + 1, p 2 (x) = x 2 1, p 3 (x) = (x 1) 2, p 4 (x) = x + 2, p 5 (x) = x 3 1, p 6 (x) = x 2 3x + 2, p 7 (x) = x i p 8 (x) = x 2. Tada je sgn ( p 0 (1) ) sgn ( p 1 (1) ) sgn ( p 2 (1) ) sgn ( p 3 (1) ) sgn ( p 4 (1) ) sgn ( p 5 (1) ) sgn ( p 6 (1) ) sgn ( p 7 (1) ) sgn ( p 8 (1) ) = 0 +1 0 0 +1 0 0 1 +1 pa je S(1) = {4, 7} i W (1) = 2. Teorema 6 Ako je q polinom sa realnim koeficijentima, p i 0 i k, k 1, neki njegov Šturmov niz i a, b R onda je broj realnih korena polinoma q koje se nalaze u poluzatvorenom intervalu (a, b] upravo W (a) W (b), gde je W funkcija promena znaka u tom Šturmovom nizu. Dokaz. Neka je I := {0, 1,..., k} i N := {x R i I(p i (x) = 0)}. N je konačan skup. Pomoćno tvrd enje 1. Neka su u, v R, u < v takvi da je N (u, v) =, i neka su t 1, t 2 (u, v). Tada za svako i I važi sgn ( p i (t 1 ) ) = sgn ( p i (t 2 ) ) 0 (gde je sgn(0) = 0, sgn(x) = 1 ako x > 0 i sgn(x) = 1 ako x < 0). Takod e je S(t 1 ) = S(t 2 ) kao i W (t 1 ) = W (t 2 ). Dokaz. Neka je i I. Kako je (u, v) N = to za svako x (u, v) važi p i (x) 0. Specijalno sledi sgn ( p i (t j ) ) { 1, 1} za j = 1, 2. Kad bi bilo sgn ( p i (t 1 ) ) sgn ( p i (t 2 ) ) < 0 onda bi (zbog neprekidnosti funkcije p i ) za neko t 1 < w < t 2 moralo biti p i (w) = 0; no znamo da je p i (x) 0 za svako x (u, v). Dakle sgn ( p i (t 1 ) ) = sgn ( p i (t 2 ) ) 0. Imamo da je i S(t 1 ) akko i I \ {k} i sgn ( p i (t 1 ) ) sgn ( p i+1 (t 1 ) ) < 0 (jer je p j (t 1 ) 0 za svako j I) akko i I \ {k} i sgn ( p i (t 2 ) ) sgn ( p i+1 (t 2 ) ) < 0 akko i S(t 2 ) (jer je p j (t 2 ) 0 za svako j I). Dakle S(t 1 ) = S(t 2 ), a otuda dobijamo i W (t 1 ) = W (t 2 ). Pomoćno tvrd enje 2. Neka su u < y < γ < x < v tako da je N (u, γ) = i N (γ, v) =. Tada važi: - ako je q(γ) 0 onda je W (y) = W (γ) = W (x); - ako je q(γ) = 0 onda je W (y) = W (γ) + 1 i W (γ) = W (x). Dokaz. Kako su polinomi neprekidne funkcije to za svako i {j I p j (γ) 0} =: R možemo izabrati po neko ε i > 0 takvo da t (γ ε i, γ + ε i ) ( p i (t) > 0 ) ili t (γ ε i, γ + ε i ) ( p i (t) > 0 ).

V.1. ŠTURMOV ALGORITAM 39 Neka su y 0 (y, γ) i x 0 (γ, x) takvi da je y 0 γ < min ε i i x 0 γ < min ε i. Tada i R i R za svako i R važi sgn ( p i (y 0 ) ) = sgn ( p i (γ) ) = sgn ( p i (x 0 ) ) 0. Zato na osnovu Pomoćnog tvrd enja 1 mora biti: sgn ( p i (y) ) = sgn ( p i (γ) ) = sgn ( p i (x) ) 0, za svako i I takvo da je p i (γ) 0. Označimo I := {i I 1 i k p i (γ) = 0} i, za i I, P i := {i 1, i}. Primetimo da 0 / I čak iako možda važi p 0 (γ) = 0. Pokažimo najpre da je za i, j I, i j P i P j =. Neka je, odred enosti radi, i < j. Kad bi bilo {i 1, i} {j 1, j} = onda bi imali i = j 1 ili i = j, pa kako je i j to je i = j 1, te je p j 1 (γ) = p i (γ) = 0, jer i I, što protivureči činjenici da p j (γ) = 0 jer bi onda p j i p j 1 imali zajednički koren γ. Stavimo P := [ P i I. Jedno jednostavno zapažanje: Primetimo da i I ] je 0 P akko p 1 (γ) = 0, u kom slučaju naravno mora biti p 0 (γ) 0. Pokažimo: (1) Iz i I \ P p i (γ) 0 sledi i S(y) i S(γ) i i S(γ) i S(x). Zaista, kako je p i (γ) 0 to imamo 0 sgn ( p i (y) ) = sgn ( p i (γ) ) = sgn ( p i (x) ). Ako je i = k onda i / S(y), i / S(γ) i i / S(x), te gornje dve ekvivalencije važe. Neka je i < k. Tada i + 1 I. Ako p i+1 (γ) = 0 onda i + 1 I i i P i+1 P, kontradikcija. Dakle mora biti p i+1 (γ) 0. Zato je 0 sgn ( p i+1 (y) ) = sgn ( p i+1 (γ) ) = sgn ( p i+1 (x) ). Odavde sada imamo: p i (y) p i+1 (y) < 0 akko p i (γ) p i+1 (γ) < 0 akko p i (x) p i+1 (x) < 0. Drugim rečima i S(y) akko i S(γ) akko i S(x). Pokažimo: (2) Iz i I \ P 1 i k sledi i S(y) i S(γ) i i S(γ) i S(x). Ovo direktno proizilazi iz (1) jer za takvo i mora biti p i (γ) 0 obzirom da bi u suprotnom, zbog 1 i k, imali i I te i i P i P.

40 DEO V. NEKE TEME O POLINOMIMA Pokažimo: (3) Ako p 0 (γ) 0 onda iz i I \ P sledi i S(y) i S(γ) i i S(γ) i S(x). Neka je i I \ P. Ako 1 i k onda gornje dve ekvivalencije slede iz (2). Ako je i = 0 onda gornje dve ekvivalencije slede iz (1). Pokažimo: (4) Ako je p 0 (γ) = 0 onda: (a) 0 / P ; (b) 0 S(y), 0 / S(γ) i 0 / S(x). (a) je ustvari deo onog Jednog jednostavnog zapažanja: kad bi bilo 0 P onda bi iz 0 {j 1, j} i j I sledilo j = 1 I odakle je p 1 (γ) = 0 pa bi p 0 i p 1 imali zajednički koren. Zato mora da važi (a). Iz p 0 (γ) = 0 direktno sledi 0 / S(γ). p 0 (γ) = 0 takod e povlači prema uslovu (iv) iz definicije Šturmovog niza postoji ϵ > 0 tako da p 0(t)p 1 (t) < 0 za svako t (γ ϵ, γ) i p 0 (t)p 1 (t) > 0 za svako t (γ, γ + ϵ). Neka su y 1 (y, γ) i x 1 (γ, x) takvi da je y 1 γ < ε kao i x 1 γ < ε. Na osnovu Pomoćnog tvrd enja 1 imamo - 0 sgn ( p 0 (y) ) = sgn ( p 0 (y 1 ) ) i 0 sgn ( p 1 (y) ) = sgn ( p 1 (y 1 ) ) ; - 0 sgn ( p 0 (x) ) = sgn ( p 0 (x 1 ) ) i 0 sgn ( p 1 (x) ) = sgn ( p 1 (x 1 ) ). Otuda je 0 S(y) akko p 0 (y) p 1 (y) < 0 akko p 0 (y 1 ) p 1 (y 1 ) < 0 akko 0 S(y 1 ). No y 1 (γ ε, γ) pa je p 0 (y 1 ) p 1 (y 1 ) < 0, tj. 0 S(y 1 ). Ovim smo pokazali 0 S(y). Takod e je 0 S(x) akko p 0 (x) p 1 (x) < 0 akko p 0 (x 1 ) p 1 (x 1 ) < 0 akko 0 S(x 1 ). No x 1 (γ, γ + ε) pa je p 0 (x 1 ) p 1 (x 1 ) > 0, tj. 0 / S(x 1 ). Ovim smo pokazali 0 / S(x). Pokažimo: (5) Ako je i I onda ) ) ) card (S(y) P i = card (S(γ) P i = card (S(x) P i = 1. Neka je i I, drugim rečima 1 i k i p i (γ) = 0. Jasno i < k, pa je i + 1 I. Takod e je i 1 I. Zbog uslova (iii) iz definicije Šturmovog niza je p i 1 (γ)p i+1 (γ) < ) 0. Specijalno, zbog p i (γ) = 0, imamo i 1 S(γ) i i / S(γ) pa je card (S(γ) P i = 1. Kako je očigledno p i 1 (γ) 0 i p i+1 (γ) 0 to imamo da je sgn ( p i 1 (y) ) = sgn ( p i 1 (γ) ) = sgn ( p i 1 (x) ) =: s 0 { 1, 1} i sgn ( p i+1 (y) ) = sgn ( p i+1 (γ) ) = sgn ( p i+1 (x) ) =: s 1 { 1, 1}.