Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva
Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti dejstva drugih kvantifikatora, kao, na primer, u ( x)( y)(x+ y=0). Takve kvantifikatore nazivamo ugnježdeni kvantifikatori, na engleskom nested quantifiers. 1. Primer Neka je sa Q(x, y) označen predikat x+y=0. Ako je domen skup realnih brojeva, koji od iskaza je tačan? ( y)( x)q(x, y) i ( x)( y)q(x, y) Rešenje: Formulom ( y)( x)q(x, y) je predstavljen iskaz: Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x važi x+y=0. Ako bi to bilo tačno, onda bi bilo x= y, za svaki realan broj x, što očigledno nije moguće. Dakle, ovo tvrdenje nije tačno.
Ugnježdeni kvantifikatori (cont.) 1. Primer (cont.) Formulom ( x)( y)q(x, y) je predstavljen iskaz: Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x+y=0. Ovo tvrdenje je tačno, jer za proizvoljan realan broj x možemo uzeti da je y= x, i za tako izabrano y očigledno važi x+y=0. Napomena Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u formuli bitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli može potpuno izmeniti njen smisao. 2. Primer Na jezik predikatske logike prevesti rečenicu Postoji neko ko poznaje svakog. Koristićemo oznaku K(x, y) za x poznaje y. Rešenje: Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pišemo ( x)(x poznaje svakog).
Ugnježdeni kvantifikatori (cont.) 2. Primer (cont.) Izraz x poznaje svakog je i dalje u običnom govornom jeziku, i znači da za svako y važi da x poznaje y. Prema tome, x poznaje svakog se može izraziti sa ( y)k(x, y). Dakle, postoji neko ko poznaje svakog se može izraziti sa ( x)( y)k(x, y). 3. Primer Sledeću rečenicu izraziti na jeziku predikatske logike: Ako je osoba ženskog pola i ako je roditelj, tada je ta osoba nečija majka. Rešenje: Ova rečenica zapravo znači sledeće: Za svaku osobu x, ako je osoba x ženskog pola i osoba x je roditelj, tada postoji osoba y tako da je osoba x majka osobe y. Dakle, uzećemo da je univerzum razmatranja skup svih ljudi (osoba), i uvešćemo sledeće predikate: F(x): x je ženskog pola ; P(x): x je roditelj ; M(x, y): x je majka od y.
Ugnježdeni kvantifikatori (cont.) 3. Primer (cont.) Sada se gornja rečenica može zapisati u obliku ( x) ( (F(x) P(x)) ( y)m(x, y) ) Kako se y ne javlja u formuli F(x) P(x), to kvantifikator y možemo izvući skroz levo, i na taj način dobijamo ekvivalentnu formulu ( x)( y) ( (F(x) P(x)) M(x, y) ) O pravilu na osnovu koga je u ovakvom slučaju ispravno izvlačiti kvantifikator, više ćemo govoriti kasnije. 4. Primer Sledeću rečenicu izraziti na jeziku predikatske logike: Svako ima tačno jednog najboljeg prijatelja. Rešenje: Ova rečenica se može izraziti na sledeći način: Za svaku osobu x, osoba x ima tačno jednog najboljeg prijatelja. Dekle, neformalno možemo pisati ( x)(osoba x ima tačno jednog najboljeg prijatelja) gde se univerzum razmatranja za x sastoji od svih ljudi.
Ugnježdeni kvantifikatori (cont.) 4. Primer (cont.) Dalje, treba simbolički da izrazimo da osoba x ima tačno jednog najboljeg prijatelja. Da osoba x ima tačno jednog najboljeg prijatelja znači da postoji osoba y koja je najbolji prijatelj osobe x, i takode, ako je osoba z najbolji prijatelj osobe x, onda osoba z mora biti isto što i osoba y. Dakle, ako uvedemo predikat B(y, x) sa značenjem y je najbolji prijatelj od x, onda se ovo može izražiti sa ( y) ( B(y, x) ( z)(b(z, x) z=y) ) Prema tome, polazna rečenica se može simbolički izraziti sa ( x)( y) ( B(y, x) ( z)(b(z, x) z=y) ) Prema zakonu kontrapozicije, ovo je logički ekvivalentno formuli ( x)( y) ( B(y, x) ( z)(z y B(z, x)) ) 5. Primer Sledeću rečenicu prevesti u logički izraz: Zbir dva pozitivna cela broja je pozitivan broj.
Ugnježdeni kvantifikatori (cont.) Rešenje: Pre no što prevedemo ovu rečenicu u logički izraz, primetimo da ona zapravo znači Za svaka dva pozitivna cela broja, njihov zbir je pozitivan broj. Uvodimo promenljive x i y, za koje je univerzum razmatranja skup svih celih brojeva, kao i oznaku+za operaciju sabiranja, i dobijamo Za sve pozitivne cele brojeve x i y, x+yje pozitivan broj, i dakle, dolazimo do logičkog izraza ( x)( y) ( (x>0) (y>0) (x+y>0) ) 6. Primer Sledeću rečenicu prevesti u logički izraz: Svaki realan broj, osim nule, ima multiplikativni inverz. Rešenje: Neka je dat realan broj a. Za realan broj b kaže se da je multiplikativni inverz od a ako je ab=1. Za svaki realan broj x, ako je x 0, onda postoji realan broj y takav da je xy=1. Simbolički se ovo može izraziti sa ( x) ( (x 0) ( y)(xy= 1) ).
Restrikcija kvantifikatora Primeri: Ponekad se kvantifikovanje vrši samo nad nekim podskupom univerzuma razmatranja. Neka je domen kolekcija svih životinja. Treba izraziti rečenice: Svi psi su sisari ili Neki psi su ridi. Razmotrimo prvo tvrdenje Svi psi su sisari. Ovo tvrdenje možemo preformulisati na sledeći način: Ako je x pas, onda je x sisar, što dovodi do formule ( x) ( P(x) S(x) ). Generalno, ta formula može da se prevede sa Sve individue sa svojstvom P(x) imaju svojstvo S(x). Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikaciju da bi ograničili domen. Umesto ( x) ( P(x) Q(x) ) obično pišemo ( x D) Q(x) gde je D={x P(x)} skup svih vrednosti promenljive x za koje je P(x) tačno, odnosno, skup svih objekata iz univerzuma razmatranja koji imaju svojstvo P(x).
Restrikcija kvantifikatora (cont.) Primeri: Razmotrimo sada tvrdenje Neki psi su ridi. Jasno, tvrdenje x je pas i x je rid se može prevesti u P(x) R(x), pa se postoje neki ridi psi može prevesti u ( x) ( P(x) R(x) ). Generalno, ta formula može da se prevede sa Neke individue sa svojstvom P(x) imaju i svojstvo R(x). Dakle, kada želimo da ograničimo primenu egzistencijalnog kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju. Umesto ( x) ( P(x) Q(x) ) pišemo 7. Primer ( x D) Q(x). Definiciju granične vrednosti napisati kao logički izraz. Rešenje: Setimo se da se granična vrednost funkcije definiše na sledeći način: lim f (x)=b x a znači da za svaki realan brojδ>0postoji realan brojε>0tako da kad god je x a <δ onda je f (x) b <ε.
Restrikcija kvantifikatora (cont.) 7. Primer (cont.) Ovo možemo simbolički napisati na sledeći način: ( δ) ( (δ>0) ( ( ε)(ε>0) ( x)( x a <δ f (x) b <ε) )) Za sve tri promenljiveε,δix, univerzum razmatranja je skup svih realnih brojeva. Ako ovde upotrebimo restrikciju kvantifikatora, onda se gornja formula može pojednostaviti, čime dobijamo formulu ( δ>0)( ε>0)( x)( x a <δ f (x) b <ε) Pri tome, ε>0zapravo znači ε R +, a δ>0 znači δ R +, gde je sar + označen skup svih realnih brojeva većih od nule. Umesto poslednje formule često pišemo i ( δ>0)( ε>0)( x R)( x a <δ f (x) b <ε) Dakle, ovaj izraz znači da ako je x dovoljno blisko broju a, onda f (x) mora biti dovoljno blisko broju b. Pitanje: Šta je negacija od ( x D) Q(x)?
Restrikcija kvantifikatora (cont.) Negacija restrikcije kvantifikatora Imamo sledeće: ( x D) Q(x) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x D) Q(x) ( x D) Q(x) ( x D) Q(x) Negacija restrikcije kvantifikatora Odredimo negaciju za ( x D) Q(x): ( x D) Q(x) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x) ( P(x) Q(x) ) ( x D) Q(x) ( x D) Q(x) ( x D) Q(x)
Restrikcija kvantifikatora (cont.) 8. Primer Jezikom predikatske logike izraziti činjenicu da ne postoji lim x a f (x). Rešenje: Postojanje ove granične vrednosti može se neformalno izraziti sa ( b R)(lim x a f (x)=b) ( b R)( ε>0)( δ>0)( x R)( x a <δ f (x) b <ε) Dakle, negaciju prethodne formule možemo izraziti na sledeći način: ( b R)( δ>0)( ε>0)( x R)( x a <δ f (x) b <ε) ( b R) ( δ>0)( ε>0)( x R)( x a <δ f (x) b <ε) ( b R)( δ>0) ( ε>0)( x R)( x a <δ f (x) b <ε) ( b R)( δ>0)( ε>0) ( x R)( x a <δ f (x) b <ε) ( b R)( δ>0)( ε>0)( x R) ( x a <δ f (x) b <ε) ( b R)( δ>0)( ε>0)( x R)( x a <δ ( f (x) b <ε)) ( b R)( δ>0)( ε>0)( x R)( x a <δ f (x) b ε).
Redosled kvantifikatora Tačnost formula Razmotrimo formulu ( x)( y) P(x, y), i pretpostavimo da je ona tačna. To znači da postoji neko x 0 tako da je tačno ( y) P(x 0, y). Dalje, da je ( y) P(x 0, y) tačno znači da postoji neko y 0 tako da je tačno P(x 0, y 0 ). Dakle, pronašli smo x 0 i y 0 takve da je P(x 0, y 0 ) tačno. Sada se vraćamo unazad, i zaključujemo sledeće. Prvo, zaključujemo da je tačno ( x)p(x, y 0 ), i dalje, zaključujemo da je tačno ( y)( x)p(x, y). Prema tome, dobili smo da iz tačnosti formule ( x)( y) P(x, y) sledi tačnost formule ( y)( x) P(x, y). Na isti način dokazujemo da iz tačnosti formule ( y)( x) P(x, y) sledi tačnost formule ( x)( y) P(x, y).
Redosled kvantifikatora (cont.) Komentar Slično se može zaključiti i za formule ( x)( y) P(x, y) i ( y)( x) P(x, y) ( x)( y) P(x, y) je tačno ( x)( y) P(x, y) je netačno ( x)( y) P(x, y) je netačno ( y)( x) P(x, y) je netačno ( y)( x) P(x, y) je netačno ( y)( x) P(x, y) je tačno. Zaključak Dakle, iz svega ovoga zaključujemo da važi ( x)( y) P(x, y) ( y)( x) P(x, y) ( x)( y) P(x, y) ( y)( x) P(x, y) To važi i za proizvoljan konačan broj univerzalnih, odnosno egzistencijalnih kvantifikatora. Medutim, ovo važi samo za istorodne kvantifikatore, dok raznorodni kvantifikatori ne mogu zameniti svoja mesta.
Redosled kvantifikatora (cont.) 9. Primer Neka je sa P(x, y) označen predikat x+y=0, pri čemu je univerzum razmatranja skup svih realnih brojeva. Koja je istinitosna vrednost izraza ( x)( y)p(x, y) i ( y)( x)p(x, y)? Rešenje: Izraz ( x)( y)p(x, y) ima značenje Za svaki realan broj x postoji realan broj y takav da je x+y=0. Ovo tvrdenje je tačno jer, bilo koji realan broj x da izaberemo, postoji realan broj y, obično ga označavamo sa x, takav da je x+y=0. Prema tome, izraz ( x)( y)p(x, y) je tačan. Sa druge strane, izraz ( y)( x)p(x, y) ima značenje Postoji realan broj y takav da za svaki realan broj x važi x+y=0. Ako bi zaista postojao takav broj y, onda bi za x=0 dobili da je y=0, a za x= 1 bi dobili da je y=1, i time smo došli do kontradikcije. Dakle, ne postoji realan broj y sa takvim svojstvom, što znači da je izraz ( y)( x)p(x, y) netačan.
Redosled kvantifikatora (cont.) 9. Primer Ovim smo dokazali da izrazi ( x)( y)p(x, y) i ( y)( x)p(x, y) nisu logički ekvivalentni. Drugim rečima, univerzalni i egzistencijalni kvantifikator ne mogu menjati svoja mesta. 10. Primer Neka je sa P(x, y) označen predikat x y, pri čemu je univerzum razmatranja skup svih prirodnih brojeva. Koja je istinitosna vrednost izraza ( x)( y)p(x, y) i ( y)( x)p(x, y)? Rešenje: Izraz ( x)( y)p(x, y) ima značenje Za svaki prirodan broj x postoji prirodan broj y koji je veći ili jednak broju x. Sa druge strane, izraz ( y)( x)p(x, y) ima značenje Postoji najveći prirodan broj što je netačno.
Redosled kvantifikatora (cont.) Napomena Za izraze ( x)( y)p(x, y) i ( y)( x)p(x, y) smo videli da nisu logički ekvivalentni. Medutim, i izmedu njih postoji izvestan odnos. Naime, važi sledeće: Ako je ( y)( x)p(x, y) tačan izraz, onda je i ( x)( y)p(x, y) tačan izraz. Obratna implikacija ne važi. Zaista, neka je tačno ( y)( x)p(x, y), odnosno neka postoji y 0 tako da važi ( x)p(x, y 0 ). To znači da za svaki x važi P(x, y 0 ), odakle sledi da za svaki x važi i ( y)p(x, y), odakle dobijamo da je tačan i izraz ( x)( y)p(x, y). Komentar Ako je univerzum razmatranja skup pozitivnih celih brojeva, onda je izraz ( y)( x)(y x) tačan, jer ako promenljiva y uzme vrednost 0, onda je tačno ( x)(0 x). Odavde sledi da je tačno i ( x)( y)(y x), jer bilo koju vrednost za x da izaberemo, uvek možemo za y uzeti neku vrednost (na pr. 0), takvu da je y x.
Redosled kvantifikatora (cont.) Obratna implikacija Zašto iz tačnosti izraza ( x)( y)p(x, y) ne sledi tačnost izraza ( y)( x)p(x, y)? Razlog leži u tome što u izrazu ( x)( y)p(x, y) vrednost za y koju biramo tako da važi ( y)p(x, y) zavisi od toga koju vrednost za x smo prethodno izabrali. Naime, za različite vrednosti za x moramo uzimati različite vrednosti za y, kao, na primer, u izrazu ( x)( y)(x+ y=0) gde za x=0 uzimamo y=0, za x=1 uzimamo y= 1, itd. Sa druge strane, u izrazu ( y)( x)p(x, y) vrednost za y koju biramo tako da važi ( x)p(x, y) mora biti zajednička za sve vrednosti za x koje potom biramo. Tako u slučaju izraza ( y)( x)(x+ y=0) imamo da ne postoji takva vrednost za y koja bi kasnije bila zajednička za sve vrednosti promenljive x koje bi smo izabrali. Ako bi uzeli bilo koje y 0, onda bi x+y=0važilo za x= y 0, ali ne bi vazilo ni za jednu drugu vrednost za x. Zato ovaj izraz nije tačan.
Argumentacija u predikatskoj logici Napomena Sva pravila zakljkučivanja koja smo koristili u iskaznoj logici važe i u predikatskoj logici. Pored toga, u predikatskoj logici postoje i pravila koja u sebe uključuju predikate i kvantifikatore. Argumentacija u predikatskoj logici Argumentacija u predikatskoj logici je niz izraza predikatske logike, gde poslednji izraz u tom nizu nazivamo zaključkom, a ostale premisama. Forma argumentacije je ispravna ako, bez obzira na to kojim smo konkretnim predikatima zamenili predikatske simbole u premisama i zaključku, ako su tako dobijene premise tačne, onda mora biti tačan i zaključak. 11. Primer - Univerzalna instancijacija Termin instanca može se shvatiti kao poseban slučaj nečega, a instancijacija kao izvlačenje posebnog slučaja iz nečeg opšteg.
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) Univerzalna instancijacija Univerzalna instancijacija je sledeća argumentacija: ( x) P(x) P(c) gde je c neki poseban član univerzuma razmatranja. Naziv univerzalna instancijacija treba da naznači da se važenje svojstva P u nekom pojedinačnom slučaju dobija kao poseban slučaj važenja tog svojstva u opštem slučaju, za sve objekte nekog univerzuma razmatranja. 12. Primer Pretpostavimo da treba da pojednostavimo algebarski izraz r k+1 r, gde je r neki poseban realan broj, a k neki poseban ceo broj. Iz algebre znamo da važe sledeća opšta tvrdenja: (1) Za svaki realan broj x i sve cele brojeve m i n je x m x n = x m+n. (2) Za svaki realan broj x je x 1 = x.
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) 12. Primer Sada gornji izraz uprošćavamo na sledeći način: Zaključujemo na sledeći način: r k+1 r=r k+1 r 1 Korak 1 = r (k+1)+1 Korak 2 = r k+2 asocijativnost za sabiranje Korak 1: Za svaki realan broj x je x 1 = x opšte tvrdenje (2) r je poseban realni broj poseban slučaj r 1 = r zaključak Korak 2: Za svaki realan broj x i sve cele brojeve m i n je x m opšte tvrdenje (1) x n = x m+n r je poseban realni broj i k+1 i 1 su posebni poseban slučaj celi brojevi r k+1 r 1 = r (k+1)+1 zaključak Dakle, u oba ova slučaja smo koristili univerzalnu instancijaciju.
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) 13. Primer - Univerzalna generalizacija Univerzalna generalizacija je sledeća argumentacija: P(c) za proizvoljan c ( x) P(x) Ovo je pravilo zaključivanja koje tvrdi je ( x) P(x) tačno, ako je data premisa P(c) tačna za proizvoljan element c univerzuma razmatranja. Univerzalnu generalizaciju koristimo tako što uzimamo proizvoljan element c univerzuma razmatranja, dokazujemo da je P(c) tačno, i onda na osnovu toga zaključujemo da je tačno ( x) P(x). 14. Primer - Egzistencijalna instancijacija Egzistencijalnom instancijacijom nazivamo sledeću argumentaciju: ( x) P(x) P(c) za neki element c
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) 14. Primer - Egzistencijalna instancijacija Ovo je pravilo zaključivanja koje koristimo da, u slučaju kada je poznato da je ( x) P(x) tačno, iz toga zaključimo da postoji neki poseban element c univerzuma razmatranja za koji važi P(c). 15. Primer - Egzistencijalna generalizacija Egzistencijalnom generalizacijom nazivamo sledeću argumentaciju: P(c) za neki element c ( x) P(x) Ovo je pravilo zaključivanja se koristi da se zaključi da je ( x) P(x) tačno, ukoliko je poznat neki poseban element c za koji važi P(c). Drugim rečima, ako znamo za neki elementr c univerzuma razmatranja za koji je P(c) tačno, onda znamo da je ( x) P(x) tačno.
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) 16. Primer Dokazati ispravnost sledeće argumentacije: Neki student prve godine nije procitao knjigu Svaki student prve godine je položio ispit Neko ko je položio ispit nije pročitao knjigu Rešenje: Uvedimo oznake P(x) : x je student prve godine, K(x) : x je pročitao knjigu, i I(x) : x je položio ispit. Tada se gornja argumentacija može izraziti sa ( x) ( P(x) K(x) ) ( x) ( P(x) I(x) ) ( x) ( I(x) K(x) )
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) Ispravnost argumentacije Korak Razlog 1. ( x) ( P(x) K(x) ) prva premisa 2. P(a) K(a) egzistencijalna instancijacija iz 1. 3. P(a) specijalizacija iz 2. 4. ( x) ( P(x) I(x) ) druga premisa 5. P(a) I(a) univerzalna instancijacija iz 4. 6. I(a) modus ponens iz 3. i 5. 7. K(a) specijalizacija iz 2. 8. I(a) K(a) konjunkcija iz 6. i 7. 9. ( x) ( I(x) K(x) ) egzistencijalna generalizacija iz 8. Univerzalni modus ponens Univerzalni modus ponens je kombinacija univerzalne instancijacije i modus ponensa. ( x) ( P(x) Q(x) ) P(a) za neki poseban a Q(a)
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) Najpoznatiji primer argumentacije - Aristotel Svi ljudi su smrtni Sokrat je čovek Sokrat je smrtan 17. Primer Neka je data sledeća argumentacija: Ako je broj paran, onda je njegov kvadrat paran k je poseban broj koji je paran k 2 je paran broj Izraziti ovu argumentaciju jezikom predikatske logike i odrediti da li je ispravna. Rešenje: Uvedimo oznake za predikate E(x) : x je paran S(x) : x 2 je paran i neka je sa k, kao i gore, označen neki poseban broj koji je paran.
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) 17. Primer Tada se gornja argumentacija može izraziti sa ( x) ( E(x) S(x) ) E(k), za neki poseban broj k S(k) Očigledno, ova argumentacija ima formu univerzalnog modus ponensa, pa je ispravna. Univerzalni modus tolens Univerzalni modus tolens je kombinacija univerzalne instancijacije i modus tolensa. ( x) ( P(x) Q(x) ) Q(a) za neki poseban a P(a)
Argumentacija u predikatskoj logici (cont.) Univerzalni modus tolens Primer ovakve argumentacije takode srećemo još kod Aristotela: Sva ljudska bića su smrtna Zevs nije smrtan Zevs nije ljudsko biće