Kompleksna analiza. Dragan S. Dor dević

Kompleksna analiza Dragan S. Dor dević 20.5.2014.

2

Sadržaj Predgovor 7 1 Elementarne osobine kompleksnih funkcija 1 1.1 Skup C............................... 1 1.1.1 Algebarska svojstva.................... 1 1.1.2 Geometrijska interpretacija................ 2 1.1.3 Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja...... 3 1.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja....... 4 1.1.5 Topološka svojstva.................... 6 1.1.6 Redovi u C........................ 9 1.2 Proširena kompleksna ravan................... 10 1.3 Kompleksne funkcije realne promenljive............. 13 1.3.1 Granična vrednost funkcija................ 13 1.3.2 Neprekidnost funkcija.................. 14 1.3.3 Diferencijabilnost funkcija................ 15 1.3.4 Rimanov integral..................... 16 1.3.5 Putanje u C........................ 18 1.3.6 Oblasti u C........................ 20 1.4 Kompleksne funkcije kompleksne promenljive............................ 22 1.4.1 Granična vrednost funkcije................ 22 1.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost funkcija na skupu..................... 23 1.4.3 Nizovi i redovi funkcija.................. 25 1.4.4 Stepeni redovi....................... 26 1.5 Elementarne kompleksne funkcije................ 27 1.5.1 Eksponencijalna funkcija................. 27 1.5.2 Trigonometrijske funkcije................. 28 3

4 SADRŽAJ 1.5.3 Hiperboličke funkcije................... 29 1.5.4 Logaritamska funkcija.................. 29 1.5.5 Koren kompleksnog broja................ 30 2 Topološki i metrički prostori 31 2.1 Topološki prostori......................... 31 2.2 Metrički prostori......................... 34 2.3 Konvergencije nizova neprekidnih funkcija............ 38 3 Analitičke funkcije 41 3.1 Diferencijabilne (holomorfne) funkcije.............. 41 3.1.1 Izvod funkcije....................... 41 3.1.2 Koši Rimanovi uslovi................... 45 3.1.3 Neprekidna diferencijabilnost.............. 47 3.1.4 Koši Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama.... 48 3.1.5 Analitičke (regularne) funkcije.............. 50 3.2 Integracija po putanji....................... 53 3.2.1 Definicija i osobine integrala............... 53 3.2.2 Indeks zatvorene putanje u odnosu na tačku...... 60 3.3 Teoreme Košija.......................... 62 3.3.1 Lokalna verzija Košijeve teoreme............ 62 3.3.2 Koši-Gursaova teorema.................. 65 3.3.3 Posledice prethodnih teorema.............. 69 3.4 Integralna formula Košija i posledice.............. 71 3.4.1 Integralna formula Košija................ 71 3.4.2 Svojstva analitičkih funkcija............... 72 4 Meromorfne funkcije 81 4.1 Loranov red i račun ostatka................... 81 4.1.1 Izolovani singulariteti................... 81 4.1.2 Tipovi singulariteta.................... 85 4.1.3 Red pola.......................... 88 4.1.4 Slučaj a =....................... 89 4.1.5 Ostaci (rezidumi)..................... 89 4.1.6 Izračunavanje ostatka funkcije u polu.......... 90 4.2 Princip argumenta i princip maksimuma modula........ 96 4.2.1 Red nule i red pola.................... 96 4.2.2 Geometrijska interpretacija................ 98

SADRŽAJ 5 5 Prostori funkcija 103 5.1 Relativna kompaktnost...................... 103 5.2 Prostori analitičkih funkcija................... 112 5.3 Prostor meromorfnih funkcija.................. 117 6 Harmonijske funkcije 121 6.1 Osobine harmonijskih funkcija.................. 121 6.2 Princip maksimuma i osobina srednje vrednosti.............................. 125 6.3 Poasonova integralna formula.................. 127 6.4 Osobina srednje vrednosti na malim kružnicama............................ 132 6.5 Harnakov princip......................... 135 7 Konformna preslikavanja 137 7.1 Otvorena preslikavanja...................... 137 7.2 Švarcova lema........................... 141 7.3 Analitičke funkcije i uglovi izme du putanja.......................... 142 7.4 Analitički automorfizmi...................... 143 7.5 Izomorfizmi gornje poluravni................... 144 7.6 Švarcov princip refleksije..................... 145 7.7 Rimanova teorema o prosto povezanim oblastima....... 149 7.8 Neprekidnost na granici..................... 151 7.9 Analitički izomorfizmi prstena.................. 153 7.10 Bilinearna preslikavanja..................... 154 7.11 Modularne funkcije i mala Pikarova teorema.......... 154 7.12 Švarc-Kristofelove formule.................... 154 8 Analitička produženja 155 8.1 Analitička produženja lanacima oblasti............. 155 8.2 Analitička produženja stepenim redovima............ 157 8.3 Analitička produženja duž krivih................ 159 8.4 Analitička produženja integralima................ 164 8.5 Izdvajanje regularnih grana................... 164

9 Aproksimacija racionalnim funkcijama 165 9.1 Rungeova teorema........................ 165 9.2 Mitag-Leflerova teorema..................... 170 Literatura 173

Predgovor Tekst sadrži osnove elemente kompleksne analize, koji su potrebni studentima osnovnih i master akademskih studija matematike. Neki delovi teksta su od interesa studentima fizike ili tehnike. Kompleksna analiza je prirodni nastavak realne analize, i nije moguće kompletno razumevanje izloženog materijala ukoliko nije savladano prethodno gradivo. Očekuje se da čitalac uspešno vlada metodama diferencijalnog i integralnog računa funkcija jedne ili više realnih promenljivih. Razumevanje metoda kompleksne analize je kvalitetnije, ako postoji izvesno poznavanje topologije i funkcionalne analize. Stoga je uključena posebna glava, koja čitaocu može služiti kao podsetnik. Tekst Kompleksna analiza sadrži gradivo predmeta Uvod u kompleksnu analizu i Kompleksna analiza, koje slušaju studenti matematike (na osnovnim i master akademskim studijama). Početne glave (1,3,4) sadrže rezultate koji su osnova teorije kompleksnih funkcija, i nepohodne su studentima osnovih akademskih studija. Odre dene glave (5-9) su posvećene ozbiljnijim rezultatima, i one su neophodne studentima master akademskih studija. U ovom trenutku tekst nije kompletan, a tako de ima slovnih i drugih grešaka. Konstantno se radi na poboljšanju materijala namenjenog studientima (obratiti pažnju na datum upisan na prvoj strani). Studenti su u obavezi da konsultuju dodatnu literaturu, koja je navedena u spisku referenci. Obavezno posetiti bilioteku Fakulteta. 7

8 SADRZ AJ

Glava 1 Elementarne osobine kompleksnih funkcija 1.1 Skup C 1.1.1 Algebarska svojstva Skup svih kompleksnih brojeva označen je sa C, odnosno C = {z = x + iy : x, y R}, pri čemu je i imaginarna jedinica, odnosno i 2 = 1. Ako je z = x+iy C, onda je x = Re z realni deo kompleksnog broja z, a y = Im z je imaginarni deo broja z. U skupu C operacije sabiranja i množenja definisane su na sledeći način. Ako je z = x + iy, w = u + iv, pri čemu je x, y, u, v R, onda je z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v), z w = (x + iy) (u + iv) = (xu yv) + i(xv + yu). Teorema 1.1.1. Struktura (C, +, ) je polje. Dokaz. Dokaz je jednostavan. Nula pomenutog polja je broj 0 = 0 + i 0, a jedinica je 1 = 1 + i 0. Ako je z = x + iy, onda je inverzni elemenat od z u odnosu na sabiranje jeste z = x iy. U slučaju z = x + iy 0, inverzni elemenat od z u odnosu na množenje jeste z 1 = x iy x 2 + y = x 2 x 2 + y 2 y x 2 + y 2 i. Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridružuje se konjugovan broj z = x iy. Nije teško proveriti da je Re z = 1(z + z) i Im z = 1 (z z). Važi 2 2i 1

2 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA sledeći rezultat, koji ostavljamo čitaocu za samostalnu proveru. Teorema 1.1.2. Konjugovanje kompleksnih brojeva ima svojstva: z ± w = z ± w, zw = z w, ( z ) = z w w (w 0), za svako z, w C. 1.1.2 Geometrijska interpretacija Svaki kompleksan broj z = x + iy je jedinstveno odre den svojim realnim i imaginarnim delom. Prema tome, kompleksan broj z jeste ure den par, odnosno z = (x, y). Skup C prikazan je kao ravan sa Dekartovim 1 (pravouglim) koordinatnim sistemom, pri čemu horizontalna osa (x-osa) jeste realna osa, a vertikalna osa (y-osa) jeste imaginarna osa. Kompleksna ravan se naziva i Gausova 2 ravan (videti Sliku 1). Svaka tačka z identifikovana je sa geometrijskim vektorom čiji se početak poklapa sa koordinatnim početkom, a kraj je tačka z. Ovaj vektor se naziva radijus vektor kompleksnog broja z. Sabiranje kompleksnih brojeva ekvivalentno je sabiranju odgovarajućih radijus vektora u ravni. Predstavljanje skupa kompleksnih brojeva jednom ravni ekvivalentno je predstavljanju skupa R 2 istom ravni. Ono što suštinski odvaja polje C od vektorskog prostora R 2 jeste množenje kompleksnih brojeva, koje po svojoj formi ne odgovara ni skalarnom ni vektorskom proizvodu vektora u ravni. Primetimo da su kompleksni brojevi z i z simetrični u odnosu na realnu osu. 1 René Descartes - Renatus Cartesius - (1596-1650), francuski matematičar i filozof 2 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemački matematičar

1.1. SKUP C 3 Slika 1. 1.1.3 Rastojanje u C i moduo kompleksnog broja Rastojanje, ili metrika, u skupu C, definisana je na isti način kao Euklidovo 3 rastojanje u R 2. Ako je z = x+iy, w = u+iv C, onda je njihovo rastojanje d(z, w) = (x u) 2 + (y v) 2 (Slika 2). Specijalno, rastojanje od z do koordinatnog početka naziva se moduo kompleksnog broja z i označava sa z. Moduo kompleksnog broja odgovara intenzitetu vektora u R 2, odnosno z = x 2 + y 2, te je z intenzitet radijus vektora kompleksnog broja z. Tako de važi d(z, w) = z w. Slika 2. Nije teško pokazati sledeće tvr denje. 3 Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki matematičar

4 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Teorema 1.1.3. Funkcija z z na skupu C ima sledeća svojstva: Re z z, Im z z, z + w z + w, z w z w, ( ) 0 = 0, z = 0 z = 0, zw = z w, z = z (w 0), w w z = z, z 2 = zz. Dokaz. Ako je z = x + iy, tada je z = x 2 + y 2 x, a slično i z y. Time su dokazane prve dve nejednakosti. Očigledno je z = z i zz = z 2. Ako je w = u + iv, tada je z + w 2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = z 2 + w 2 + 2 Re(zw) z 2 + w 2 + 2 z w = ( z + w ) 2. Time je dokazano z + w z + w. Sada je z = (z w)+w z w + w, odakle sledi z w z w. Analogno, w z w z, te je i z w z w. Ostala tvr denja ostavljamo čitaocu za samostalan rad. 1.1.4 Trigonometrijski zapis kompleksnog broja Tačke kompleksne ravni (različite od koordinatnog početka) reprezentuju se korišćenjem polarnih koordinata (Slika 3). Neka je r = z, a φ neka je ugao koji radijus vektor broja z zaklapa sa pozitivnim delom realne ose, meren počev od pozitivnog dela realne ose suprotno kretanju kazaljke na časovniku. Ugao φ jeste argument kompleksnog broja z i označen je sa arg z. U polarnim koordinatama sada važi x = r cos φ, y = r sin φ, z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja z. Lako je proveriti da važi φ = arctg y x, r = x 2 + y 2, cos φ = x x2 + y 2, sin φ = y x2 + y 2. Trigonometrijska reprezentacija kompleksnog broja nije jedinstvena. Promena argumenta φ za 2π ne dovodi do promene kompleksnog broja. Stoga,

1.1. SKUP C 5 precizno govoreći, sve argumente kompleksnog broja z možemo opisati kao skup arg z = {φ 0 + 2kπ : k = 0, ±1, ±2,... }, pri čemu je φ 0 jedan (bilo koji) konkretan argument broja z. Formalni dokaz sledi. Neka je z = r(cos φ + i sin φ) = R(cos ψ + i sin ψ). Kako je cos φ + i sin φ = cos ψ + i sin ψ = 1, sledi da je r = R. Preostaje cos φ + i sin φ = cos ψ + i sin ψ, te je cos φ = cos ψ i sin φ = sin ψ (na osnovu jedinstvenosti prikaza kompleksnog broja preko realnog i imaginarnog dela). Odmah sledi da se uglovi φ i ψ mogu razlikovati samo za 2kπ, pri čemu je k Z. Od interesa je slučaj kada je argument broja z ugao izme du 0 i 2π. Takav argument se naziva glavna vrednost argumenta kompleksnog broja z, u oznaci Arg z. Alternativno, može se posmatrati glavna vrednost argumenta izme du π i π. Slika 3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je od naričite koristi ako se posmatra proizvod brojeva. Naime, ako je z = z (cos φ + i sin φ) i w = w (cos ψ + i sin ψ), tada je zw = z (cos φ + i sin φ) w (cos ψ + i sin ψ) ( ) = z w (cos φ cos ψ sin φ sin ψ) + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ) = z w (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)). Sledi da je zw = z w (što nam je poznato od ranije), kao i arg(zw) = arg(z)+arg(w). Poslednju jednakost treba shvatiti skupovno: svaki argument

6 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA broja zw jednak je zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja w; obrnuto, zbir nekog argumenta broja z i nekog argumenta broja w jeste neki argument broja zw. Ako je n N i z = z (cos φ + i sin φ), tada na osnovu prethodnog razmatranja sledi z n = z n (cos nφ + i sin φ). Specijalno, (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ, i ova jednakost poznata je kao Moavrova 4 formula. 1.1.5 Topološka svojstva Neka je (z n ) n niz kompleksnih brojeva i a C. Niz (z n ) n konvergira ka tački a (u oznaci lim z n = a), ako i samo ako važi lim z n a = 0, odnosno ako n n i samo ako važi: ( ϵ > 0)( n 0 N)( n N) (n n 0 = z n a < ϵ). Tada je a granična vrednost niza (z n ) n. Niz (z n ) n je divergentan, ako nije konvergentan. Teorema 1.1.4. Niz kompleksnih brojeva može imati najviše jednu graničnu vrednost. Ako je z n = x n + iy n i a = b + ic, tada je lim z n = a ako i samo ako je n lim x n = b i lim y n = c. n n Dokaz. Jedinstvenost granične vrednosti konvergentnog niza dokazuje se uobičajeno. Na osnovu x n b, y n c z n a = x n b + y n c sledi preostali deo teoreme. Sledeći rezultat ostavljen je čitaocu za samostalnu proveru. Teorema 1.1.5. Neka su (z n ) n i (w n ) n nizovi u C, i neka je λ C. Ako je lim z n = z i lim w n = w, tada je: n n lim λz n = λz, n lim (z n ± w n ) = z ± w, n z Ako je pri tome w 0, tada je lim n n w n = z. w 4 Abraham de Moivre (francuski matematičar), 1667-1754 lim z n w n = zw. n

1.1. SKUP C 7 Otvoren disk, zatvoren disk i kružnica sa centrom u a C poluprečnika r > 0, jesu, redom sledeći skupovi: Specijalno, D(a; r) = {z : z a < r}, D[a; r] = {z : z a r}, Važi sledeći rezultat. T (a; r) = {z : z a = r}. D = D(0; 1), T = T (0; 1). Teorema 1.1.6. Neka je (z n ) n niz u C i neka je a C. Tada su sledeća tvr denja ekvivalentna: (1) lim n z n = a; (2) Za svako ϵ > 0 postoji n 0 N, tako da za svako n N sa svojstvom n n 0, važi z n D(a; ϵ). Skup V C je otvoren u C, ako za svako a V postoji r > 0 tako da je D(a; r) V. Skup F C je zatvoren u C, ako je skup F c = C \ F otvoren u C. Jednostavno sledi da su i C jedini skupovi koji su istovremeno otvoreni i zatvoreni u C. Teorema 1.1.7. Ako je V otvoren skup u C, onda je V najviše prebrojiva unija otvorenih diskova. Dokaz. Uvedimo oznaku V Q = {a = p + iq V : p, q Q}. V Q je skup tačaka skupa V sa racionalnim koordinatama, i skup V Q je najviše prebrojiv. Neka je V otvoren i neka je a = p + iq V Q. Postoji r > 0 tako da je D(a; r) V. Sledi da je skup M a = {r > 0 : D(a; r) V } neprazan. Neka je R a = sup M a. Pretpostavimo da je z D(a; R a ). Tada postoji r sa svojstvom z a < r < R a. Dakle, z D(a; r) V. Na taj način je dokazano da je D(a; R a ) V. Pretpostavimo da je D[a; R a ] V. Tada je ϵ = d(d[a; R a ], V c ) > 0. Sledi da je D(a; R a + ϵ ) V, što nije moguće prema izboru broja R. Prema 2 tome, D[a; R a ] nije sadržan u V. Dokazali smo da je D(a; R a ) najveći mogući disk sa centrom u a koji je sadržan u V. Ovakve diskove nazivamo maksimalnim diskovima sa racionalnim centrima, i ovih diskova ima prebrojivo mnogo.

8 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Sledi V D(a; R a ). a V Q Neka je w V. Tada je δ = d(w, V c ) > 0, te postoji b V Q tako da je w b < δ. Tada je w D(b; R 2 b). Time je dokazano V = D(a; R a ). a V Q U prethodnoj teoremi diskovi nisu obavezno uzajamno disjunktni (za razliku od odgovarajućeg rezultata za otvorene podskupove realne prave R). Primer 1.1.1. Neka je Q otvoreni kvadrat sa temenima u tačkama 0, 1, 1 + i, i. Drugim rečima, duži koje ograničavaju ovaj kvadrat ne pripadaju skupu Q. Pretpostavimo da je Q = D n, pri čemu su D n uzajamno disjunktni otvoreni diskovi. Neka je d dijagonala skupa Q, kojoj ne pripadaju krajnje tačke. Tada je d otvoren skup na pravoj. Me dutim, tada važi d = (d D n ), pri čemu su d D n uzajamno disjunktni otvoreni intervali na n N pravoj. Poslednja konstatacija nije moguća, te sledi da diskovi D n ne mogu biti uzajamno disjunktni. Tačka a je tačka nagomilavanja skupa E C, ako svaki krug sa centrom u a sadrži neku tačku skupa E različitu od a. Ekvivalentno, a je tačka nagomilavanja skupa E, ako i samo ako postoji niz različitih tačaka (z n ) n skupa E, tako da je lim z n = a. n Svaka tačka skupa E, koja nije njegova tačka nagomilavanja, jeste izolovana tačka skupa E. Neka je a C i 0 r < R. Tada je prsten sa centrom u tački a, unutrašnjeg poluprečnika r i spoljneg poluprečnika R, definisan kao Specijalno, ako je r = 0, onda je n N P (a; r, R) = {z C : r < z a < R}. P (a; 0, R) = P (a; R) = {z C : 0 < z a < R}. Prsten P (a; R) se naziva i probušena okolina tačke a u C. Skup C je kompletan u odnosu na standardnu metriku. Drugim rečima, važi Košijeva 5 teorema za konvergenciju nizova: Teorema 1.1.8. Niz (z n ) n u C je konvergentan, ako i samo ako: ( ϵ > 0)( n 0 N)( m, n N)(m, n n 0 5 Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematičar = z m z n < ϵ).

1.1. SKUP C 9 1.1.6 Redovi u C Neka je (z n ) n niz kompleksnih brojeva. Beskonačna suma z n = z 1 + z 2 + + z n + n=1 n=1 naziva se brojni red u C. Svakom redu pridružen je niz delimičnih suma S n = z 1 + + z n. Red z n je (obično) konvergentan, ako je niz delimičnih suna (S n ) n konver- gentan. U tom slučaju je granična vrednost S = lim S n suma reda z n, n n=1 odnosno S = z n. n=1 Ako niz (S n ) n divergira, tada je red z n divergentan. Primer 1.1.2. Neka je q C i posmatrajmo qeometrijski red n=1 n=0 q n = 1 + q + q 2 +. n-ta delimična suma ovog reda je S n = 1 + q + + q n 1 = 1 q n. Dakle, ako je q < 1, onda polazni geometrijski red konvergira i 1 q q n = 1. Ako je q 1, onda (S 1 q n) n divergira, stoga i polazni geometrijski n=0 red divergira. Važi Košijeva teorema za konvergenciju redova: Teorema 1.1.9. Red z n konvergira, ako i samo ako ( ϵ > 0)( n 0 N)( m, n N)(m > m n 0 = z n +z n+1 + +z m < ϵ). Brojni red z n apsolutno konvergira, ako konvergira red z n. Teorema 1.1.10. Ako red z n apsolutno konvergira, onda red z n obično konvergira. Dokaz. Pretpsotavimo da je red z n apsolutno kovnergentan. Neka je ϵ > 0 i neka je m > n. Tada je z n + + z m z m + + z n.

10 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Na osnovu Košijevog kriterijuma primenjenog na red z n, sledi da postoji n 0 N tako da za m > n n 0 važi z m + + z n < ϵ. Na osnovu dokazanog, sledi da je i z m + + z n < ϵ. Primenimo Košijev kriterijum na red z n. Sledi da je red z n obično konvergentan. Obrnuto tvr denje ne važi: postoje redovi koji konvergiraju obično, a divergiraju apsolutno. Na primer, red ( 1) n konvergira obično (prema Lajbnicovom kriterijumu), ali divergira apsolutno (prema Košijevom integralnom n kriterijumu). 1.2 Proširena kompleksna ravan Kompleksnoj ravni pridružena je jedna beskonačno daleka tačka, označena sa. Skup C = C { } je proširena kompleksna ravan. Interesantno je definisati algegarske operacije u C, naravno u slučaju kada je jedan od činilaca ili faktora upravo jednak. Sabiranje u skupu C definisano je na sledeći način: z + =, + =, za svako z C. Za elemenat ne postoji inverzni elemenat u skupu C u odnosu na sabiranje, odnosno veličina nije odre dena. Množenje u skupu C definisano je kao: z = (z 0), =. Vrednost 0 nije odre dena. Za elemenat ne postoji inverzni elemenat u odnosu na množenje u skupu C, odnosno ne postoji z C tako da je z = 1. Sa druge strane, važi 1 = 0.

1.2. PROŠIRENA KOMPLEKSNA RAVAN 11 Slika 4. Neka je S 3 = {x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 1} jedinična sfera u R 3, neka je MN prečnik te sfere i neka je C ravan koja je normalna na duž MN i prolazi kroz centar sfere S 3 (Slika 4). Svaka prava p kroz tačku N preseca sferu S 3 u nekoj tažki Z, ako i samo ako p preseca ravan C u nekoj tački z. Na taj način je uspostavljena bijekcija Z z izme du skupova S 3 \ {N} i C. Preslikavanje koje realizuje ovu bijekciju, označava se sa s. Ako prava p sadrži tačku N i paralelna je ravni C, onda p ne seče ni sferu S 3 u tački različitoj of N. Prirodno je uzeti da važi s(n) =. Preslikavanje s je stereografska projekcija sfere S 3 na proširenu kompleksnu ravan, odnosno s : S 3 C. Rastojanje izme du tačaka z 1, z 2 C može se razmatrati kao rastojanje izme du tačaka Z 1, Z 2 S 3 : Ako je z 1, z 2 C, tada postoje jedinstvene tačke Z 1, Z 2 S 3, tako da je s(z 1 ) = z 1, s(z 2 ) = z 2. Neka je d 3 (z 1, z 2 ) = d(z 1, Z 2 ), pri čemu je d(z 1, Z 2 ) Euklidovo rastojanje u R 3. Rastojanje d 3 u prostoru C ima zanimljive osobine. Teorema 1.2.1. Ako je z, z 1, z 2 C, tada je: ( 2 z 1 z 2 1 d 3 (z 1, z 2 ) = [(1 + z 1 2 )(1 + z 2 2 )] = d 1/2 3, 1 ), z 1 z ( ) 2 2 1 d 3 (z, ) = (1 + z 2 ) = d 1/2 3 z, 0.

12 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Diskove u prostoru (C, d 3 ) označavamo sa D 3 (a; r). Specijalno, od interesa su diskovi sa centrom u tački. Kako je D 3 ( ; ϵ) = {z C : d 3 (z, ) < ϵ} za ϵ > 0, prirodno je uvesti i skup D( ; R) = {z C : z > R} za R > 0. Metrički prostor (C, d 3 ) indukuje očekivanu topologiju na C, što proizilazi iz sledećeg rezultata. Teorema 1.2.2. (1) Ako je a C i r > 0, onda postoji R > 0, tako da je D 3 (a; R) D(a; r). (2) Ako je R > 0 i a C, onda postoji r > 0 tako da je D(a; r) D 3 (a; R). (3) Ako je R > 0, onda postoji kompakt K u C tako da je C \ K D 3 ( ; R). (4) Ako je K kompakt u C, tada postoji broj R > 0 tako da je D 3 ( ; R) C \ K. Posledice prethodnih tvr denja slede. Posledica 1.2.1. Neka je (z n ) n niz u C, i neka je a C. Tada su sledeća tvr denja ekvivalentna: (1) lim z n = a, odnosno lim z n a = 0; n n (2) lim d 3 (z n, a) = 0. n Posledica 1.2.2. Neka je (z n ) n niz u C. Tada su sledeća tvr denja ekvivalentna: (1) Za svako R > 0 postoji n 0 N, tako da za svako n N sva svojstvom n n 0 važi z n > R; (2) lim n d 3 (z n, ) = 0. (3) lim n z n =. Prethodni rezultati, izme du ostalog, pokazuju da metrički prostori (C, d) i (C, d 3 ) indukuju jednake topologije u kompleksnoj ravni. Osim toga, konvergencija niza tačaka u smislu metrike d u skupu C, ekvivalenta je konvergenciji u smislu metrike d 3. Analogno tvr denje važi i za Košijeve nizove. Kako je (C, d) kompletan metrički prostor, sledi da je i (C, d 3 ) kompletan metrički prostor.

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 13 1.3 Kompleksne funkcije realne promenljive Neka je M R i f : M C. Tada je f kompleksna funkcija realnog argumenta. Za svako x M neka je u(x) = Re f(x) i v(x) = Im f(x). Tada su u i v realne funkcije, definisane na M. Teorija kompleksnih funkcija realne promenljive, dakle, jeste teorija vektorskih funkcija jednog realnog argumenta. 1.3.1 Granična vrednost funkcija Neka je M R i f : M C neka je kompleksna funkcija na M. Neka je x 0 tačka nagomilavanja skupa M. Broj A C je granična vrednost funkcije f na skupu M kada x x 0 (u oznaci A = f(x)), ako lim x x 0 ;x M ( ϵ > 0)( δ > 0)( x M)(0 < x x 0 < δ = f(x) A < ϵ). Ako je x 0 (a, b) M, tada je umesto lim f(x) = A jednostavna x x 0 ;x M oznaka lim f(x) = A. x x0 Sledeći rezultat je jednostavno dokazati, istim metodama kao u slučaju realnih funkcija jedne realne promenljive. Alternativno, ovo tvr denje sledi na osnovu osobina realnih vektorskih funkcija. Teorema 1.3.1. Neka je M R, f, g : M C, λ C, i x 0 neka je tačka nagomilavanja skupa M. Tada: (1) Postoji lim f(x) = A, ako i samo ako za svaki niz (x n) n u skupu x x 0 ;x M M sa svojstvom lim x n = x 0, važi lim f(x n ) = A; n n važi (2) Ako postoji lim x x 0 ;x M lim x x 0 ;x M važi f(x), tada postoji i lim lim λf(x) = λ lim f(x); x x 0 ;x M x x 0 ;x M λf(x), i pri tome x x 0 ;x M (3) Ako je f = u + iv, pri čemu je u = Re f i v = Im f, tada postoji f(x) ako i samo ako postoje lim u(x) i lim v(x), i pri tome x x 0 ;x M x x 0 ;x M lim f(x) = x x 0 ;x M lim u(x) + i lim v(x); x x 0 ;x M x x 0 ;x M

14 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA (4) Ako postoje lim f(x) i x x 0 ;x M g(x)), pri čemu je lim (f(x) + g(x)) = lim x x 0 ;x M (5) Ako postoje lim f(x) i x x 0 ;x M (x)), pri čemu je lim (f(x) g(x)) = lim x x 0 ;x M lim g(x), tada postoji i lim x x 0 ;x M f(x) + x x 0 ;x M lim g(x); x x 0 ;x M lim g(x), tada postoji i lim x x 0 ;x M f(x) x x 0 ;x M lim g(x). x x 0 ;x M (f(x)+ x x 0 ;x M (f(x) x x 0 ;x M (6) Ako postoje lim f(x) i x x 0 ;x M ), pri čemu je lim x x 0 ;x M ( f(x) g(x) lim g(x) 0, tada postoji i x x 0 ;x M lim x x 0 ;x M ( ) f(x) = g(x) 1.3.2 Neprekidnost funkcija lim f(x) x x 0 ;x M lim g(x). x x 0 ;x M Neka je M R, neka je f : M C, i neka je x 0 M. Funkcija f je neprekidna u tački x 0 na skupu M, ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svako x M važi: ako je x x 0 < δ, onda je f(x) f(x 0 ) < ϵ. Funkcija f je neprekidna na skupu M, ako je f neprekidna u svakoj tački skupa M. Dakle, ako je x 0 izolovana tačka skupa M, onda je funkcija f (koja je definisana na M) uvek neprekidna u tački x 0. Ako je x 0 tačka nagomilavanja skupa M, onda je funkcija f (koja je definisana na M) neprekidna u tački x 0 na skupu M ako i samo ako je lim f(x) = f(x 0). x x 0 ;x 0 M Formulišemo očekivana tvr denja. Teorema 1.3.2. Neka je M R, neka je x 0 M, i neka je f = u + iv : M C kompleksna funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Funkcija f je neprekidna u tački x 0 na skupu M, ako i samo ako su obe funkcije u, v neprekidne u tački x 0 na skupu M. Teorema 1.3.3. Neka je M R, neka su f, g : M C funkcije, neka je λ C, i neka je x 0 M. Ako su funkcije f, g neprekidne u tački x 0 na

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 15 skupu M, tada su i funkcije λf, f + g, fg neprekidne u tački x 0 na skupu M. Štaviše, ako je pri tome i g(x 0) 0, tada je f g neprekidna u tački x 0 na skupu M. 1.3.3 Diferencijabilnost funkcija Neka je f : (a, b) C funkcija, i neka je x 0 (a, b). Prvi izvod funkcije f u tački x 0 jeste sledeća granična vrednost (ukoliko postoji): f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Funkcija f je diferencijabilna u tački x 0, ako postoji f (x 0 ). Navodimo najvažnije rezultate o izvodu funkcije. Teorema 1.3.4. Ako je funkcija f : (a, b) C diferencijabilna u tački x 0 (a, b), tada je funkcija f neprekidna u tački x 0 na (a, b). Teorema 1.3.5. Neka je f = u + iv : (a, b) C, pri čemu su u, v realne funckije, i neka je x 0 (a, b). Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x 0, tada su i funkcije u, v diferencijabilne u tački x 0, i pri tome važi: f (x 0 ) = u (x 0 ) + iv (x 0 ). Teorema 1.3.6. Neka su date funkcije f, g : (a, b) C i neka je λ C. Ako su funkcije f, g diferencijabilne u tački x 0, tada su i funkcije λf i f + g diferencijabilne u x 0, i tada važi (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ), (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Pretpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u svakoj tački intervala (a, b). Tada se svakom x (a, b) može pridručiti broj f (x). Ova funkcija (pridruživanje) se, naravno, označava sa f. Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x 0 (a, b), tada je (f ) (x 0 ) = f (x 0 ) drugi izvod funkcije f u tački x 0. Ako postoji f (x 0 ) u svakoj tački x 0 (a, b), tada je definisana funkcija f na (a, b). Na ovaj način mogu postojati viši izvodi funkcije f na segmentu (a, b).

16 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA 1.3.4 Rimanov integral Neka je f : [a, b] C funkcija definisana na segmentu [a, b]. Pretpostavimo da je a = x 0 < x 1 < < x n = b, i neka je ξ i [x i 1, x i ] za svako i = 1,..., n. Skup P = {x 1,..., x n } jeste podela segmenta [a, b]. Rimanova suma funkcije f na segmentu [a, b] definisana je kao S(f; P, ξ) = n f(ξ i )(x i x i 1 ). i=1 Neka je d P = max x i x i 1 dijametar podele P. i Rimanov 6 integral funkcije f na segmentu [a, b] je sledeća granična vrednost: b a f(x)dx = lim d P 0 n f(ξ i )(x i x i 1 ), i=1 pod pretpostavkom da ova granična vrednost postoji i pri tome ne zavisi od podele P, kao ni od izbora tačaka ξ i [x i 1, x i ]. Drugim rečima, kompleksan broj I = b a f(x)dx je Rimanov integral funkcije f na segmentu [a, b], ako za svako ϵ > 0 postoji δ > 0, tako da za svaku podelu P = {x 0,..., x n } segmenta [a, b] sa osobinom d P < δ, i za svako ξ k [x k 1, x k ] važi n I f(ξ k )(x k x k 1 ) < ϵ. k=1 Ako postoji Rimanov integral b a f(x)dx, tada je funkcija f integrabilna (u Rimanovom smislu) na segmentu [a, b]. Važe sledeća tvr denja, analogna tvr denjima za realne funkcije. Teorema 1.3.7. Neka je f = u + iv : [a, b] C kompleksna funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Tada važi: 6 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemački matematičar

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 17 (1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako funkcije u, v jesu integrabilne na [a, b]; tada je ispunjeno b f(x)dx = b b u(x)dx + i v(x)dx. a a a (2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je i funkcija f integrabilna na [a, b], i važi b b f(x)dx f(x) dx. a Teorema 1.3.8. (1) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], tada je f integrabilna na [a, b]. (2) Ako je f ograničena na [a, b], i pri tome f je neprekidna svuda osim u konačno mnogo tačaka segmenta [a, b], tada je f integrabilna na [a, b]. Ako je f definisana i ograničena na [a, b], i pri tome f ima konačno mnogo tačaka prekida na [a, b], tada je f deo po deo neprekidna funkcija. Teorema 1.3.9. Neka su f, g : [a, b] C funkcije, a < c < b i λ C. (1) Funkcija f je integrabilna na [a, b], ako i samo ako je funckija f integrabilna na oba segmentu [a, c] i [c, b]; u tom slučaju je b a f(x)dx = c a a f(x)dx + b c f(x)dx; (2) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], tada je funkcija λf integrabilna na [a, b], i važi b b λf(x)dx = λ f(x)dx. a (3) Ako su funkcije f, g integrabilne na [a, b], tada je funkcija f + g integrabilna na [a, b], i tako de je b (f(x) + g(x))dx = b a f(x)dx + b g(x)dx. a a a

18 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Na kraju, formulišemo rezultat poznat pod imenom Njutn 7 -Lajbnicova 8 formula za kompleksne funkcije realne promenljive. Teorema 1.3.10. Ako je f kompleksna neprekidna funkcija na [a, b], tada važi formula b a f (x)dx = f(b) f(a). Dokaz prethodnog tvr denja analogan je odgovarajućem dokazu za realne funkcije. Primer 1.3.1. 2π (cos t + i sin t)dt = 0, iako funkcija t (cos t + i sin t) 0 nema nula u segmentu [0, 2π]. Ovaj primer pokazuje da ne važi teorema o srednjoj vrednosti integrala kompleksne funkcije realne promenljive. Naime, ukoliko bi teorema o srednjoj vrednosti integrala važila, onda bi postojala tačka ξ [0, 2π] tako da je 0 cos ξ + i sin ξ = 1 2π što očigledno nije moguće. 2π 0 (cos t + i sin t)dt = 0, Napomena 1.3.1. Posmatramo uvek Rimanov integral dopustivih funkcija. Me dutim, ovaj integral može biti posmatran i kao Lebegov, posebno ukoliko postoji potreba za korišćenjem moćnog aparate teorije mere i integrala. 9 1.3.5 Putanje u C Neprekidno preslikavanje γ : [a, b] C jeste kriva u C. Tačka γ(a) je početak, a γ(b) je kraj krive γ. Kriva je orijentisana u smislu rasta parametra t, odnosno od γ(a) ka γ(b). Dve krive se mogu nastaviti, ako se kraj jedne krive poklapa sa početkom druge krive. 7 Isaac Newton (1642-1727), engleski matematičar, fizičar i astronom 8 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nemački matematičar 9 Euklid iz Aleksandrije, Eυκλειδηζ (oko 325. p.n.e. - 265. p.n.e.), grčki matematičar

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 19 Ako je γ : [a, b] C kriva u C, onda je γ = {γ(t) : t [a, b]} grafik krive γ. Oǧledno, γ C. Skup [a, b] je kompaktan u R, γ je neprekidno preslikavanje, te je i γ kompaktan skup u C. Kriva γ : [a, b] C je rektificijabilna, ako i samo ako je γ funkcija ograničene varijacije na [a, b]. Drugim rečima, γ je rektificijabilna, ako postoji konstanta M > 0, tako da za svaku podelu P : a = x 0 < x 1 < < x n = b segmenta [a, b] važi: Pri tome je n γ(x k ) γ(x k 1 ) < M. k=1 l(γ) = sup P n γ(x k ) γ(x k 1 ) k=1 dužina krive γ (ili, varijacija funkcije γ), pri čemu je supremum uzet po svim podelama P segmenta [a, b]. Geomterijska interpretacija pojma dužine krive je jednostavna. Naime, izraz n k=1 γ(x k ) γ(x k 1 ) predstavlja dužinu poligonalne linije upisane u grafik krive γ, posmatrano u odnosu na podeone tačke x 0, x 1,..., x k. Supremum svih mogućih dužina ovih poligonalnih linija (ukoliko ovaj supremum postoji kao konačan realan broj) jeste dužina krive γ. Na osnovu primera realne analize, poznato je da postoje funkcije koje su neprekidne, ali ipak nisu ograničene varijacije. Dakle, postoje krive koje nisu rektificijabilne, odnosno nemaju dužinu. Napomenimo i da postoje funkcije koje su ograničene varijacije, ali nisu neprekidne. U najvažnijim slučajevima, krive koje posmatramo u kompleksnoj analizi, imaju dužinu. Kriva γ je deo po deo glatka, ako je γ ograničena i deo po deo neprekidna funkcija. Deo po deo glatka kriva jeste putanja u C. Putanje u C imaju svoje dužine, što pokazuje sledeći rezultat. Teorema 1.3.11. Ako je γ putanja u C, tada je γ = x + iy rektificijabilna i l(γ) = b (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt = b γ (t) dt. a a

20 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Dokaz. Neka je γ : [a, b] C deo po deo neprekidno diferencijabilna, i neka je P : a = x 0 < x 1 < < x n = b proizvoljna podela segmenta [a, b]. Bez gubljenja opštosti (zašto?) pretpostavimo da su tačke prekida funkcije γ sadržane me du tačkma (x j ) j podele P. Prema Lagranžovoj teoremi o srednjoj vrednosti, za svako j = 1,..., n postoji ξ j (x j 1, x j ), tako da je γ(x j ) γ(x j 1 ) = γ (ξ j ). Stoga je n γ(x j ) γ(x j 1 ) = k=1 n γ (ξ j ) (x j x j 1 ). j=1 Poslednja suma je upravo Rimanova suma funkcije γ na segmentu [a, b]. U cilju dobijanja veličine l(γ) sa leve strane poslednje jednakosti, treba preći na supremum po svim podelama P segmenta [a, b]. Dakle, l(γ) = sup P n γ (ξ j ) (x j x j 1 ). k=1 Funkcija γ je nenegativna, ograničena i deo po deo neprekidna. Stoga je ova funkcija Riman integrabilna na [a, b] i b a γ (x) dx = lim d P 0 n k=1 γ (ξ j ) (x j x j 1 ) = sup P n γ (ξ j ) (x j x j 1 ). Primećujemo da prva jednakost važi na osnovu definicije integrala, a druga jednakost se lako proverava na osnovu γ 0. Putanja γ je zatvorena, ako je γ(a) = γ(b), odnosno početak te putanje poklapa se sa njenim krajem. Tačka z C je tačka samopreseka krive γ : [a, b] C, ako postoje tačke t 1, t 2 [a, b], sa svojstvima γ 1 γ 2 i z = γ(t 1 ) = γ(t 2 ). Izuzetno, ako se početna i krajnja tačka krive poklapaju, onda to nije tačka samopreseka. Putanja γ je prosta, ako nema tačaka samopreseka, osim eventualno početne i krajnje tačke te putanje. Prosta, zatvorena, deo po deo glatka kriva naziva se kontura. k=1 1.3.6 Oblasti u C Skup A u C nije povezan, ako je A = U V, pri čemu su U, V otvoreni i uzajamno disjunktni skupovi u C. Neophodno je primetiti da su u ovom slučaju

1.3. KOMPLEKSNE FUNKCIJE REALNE PROMENLJIVE 21 skupovi U i V istovremeno i otvoreni i zatvoreni u A. Dakle, A je povezan, ako A nije jednak uniji dva otvorena i uzajamno disjunktna podskupa od C. Skup A u C je put-povezan, ako za svake dve tačke z, w A postoji neprekidno preslikavanje f : [0, 1] A, tako da je f(0) = z i f(1) = w. Teorema 1.3.12. Podskup A od C je povezan, ako i samo ako je A putpovezan. Analogno tvr denje važi za R n, samim tim i za C n. Neka je C A C. Ako je C povezan skup, i pri tome ne postoji povezan skup D sa svojstvima C D A i C D, onda je C povezana kompomenta skupa A. Otvoren skup G je oblast, ako je G povezan skup u C. Svaki otvoren skup V je najviše prebrojiva unija otvorenih diskova, svaki otvoren disk je povezan skup, te sledi zaključak. Teorema 1.3.13. Svaki otvoren skup V je najviše prebrojiva unija uzajamno disjunktnih oblasti, odnosno V = G j, pri čemu je svako G j oblast u C, i G j G k za svako j k. j=1 Formulišemo bez dokaza Žordanovu10 teoremu o zatvorenim putanjama. Teorema 1.3.14. (Žordanova teorema o zatvorenoj putanji) Neka je γ : [a, b] C zatvorena putanja u C bez tačaka samopreseka. Tada C \ γ = G 0 γ G γ, pri čemu je G 0 γ ograničena oblast, a G γ neograničena oblast u C. Pri tome je G 0 γ = G γ = γ. Prethodna teorema može biti dokazana, izme du ostalog, metodama algebarske topologije, primenom Brauerove teoreme o fiksnim tačkama, kao i metodama nestandardne analize. Ako je γ kontura u C, tada se može primeniti prethodna Žordanova teorema. Oblast G 0 γ je oblast ograničena konturom γ. Kontura γ je orijentisana pozitivno u odnosu na oblast G 0 γ (ili jednostavno, kontura je orijentisana pozitivno), ako pri obilasku konture γ u smeru orijentacije oblast G 0 γ ostaje sa leve strane. 10 Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematičar

22 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Geomtrijska definicija pozitivne orijentacije konture saglasna je sa standardnom orijentacijom jedinične kružnice sa centrom u koordinatnom početku, odnosno sa načinom merenja ugla koji predstavlja argument kompleksnog broja. Naime, kružnica γ(t) = e it, t [0, 2π], je pozitivno orijentisana u odnosu na disk D(0; 1). 1.4 Kompleksne funkcije kompleksne promenljive Kompleksne funkcije kompleksne promenljive predstavljaju glavnu temu istraživanja. 1.4.1 Granična vrednost funkcije Neka je G podskup od C i neka je f : G C preslikavanje. Tada je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive. Za svako z G neka je u(z) = Re f(z) i v(z) = Im f(z). Funkcije u, v : G R realne funkcije kompleksne promenljive z. Na osnovu činjenice z = x + iy važi u(z) = u(x, y) i v(z) = v(x, y), odnosno u i v jesu realne funkcije realnih promenljivih x i y. Prema tome, f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z = x + iy G. Neka je a tačka nagomilavanja skupa G i f : G C neka je kompleksna funkcija. Kompleksan broj A je granična vrednost funkcije f u tački a na skupu G, ako važi: ( ϵ > 0)( δ > 0)( z G) (0 < z a < δ = f(z) A < ϵ). U tom slučaju je A = lim f(z). Ako je skup G = P (a; r) probušena z a;z G okolina tačke a, onda je broj A granična vrednost funkcije f u tački a, u oznaci A = lim f(z). z a Upravo uvedena definicija ekvivalentna je sledećoj karakterizaciji. Broj A je granična vrednost funkcije f u tački a na skupu G, ako i samo akoza svaki niz (z n ) n tačaka za koje je z n G, z n a i lim z n = a, važi lim f(z n ) = A. n n Na isti način kao u realnoj analizi moguće je dokazati sledeći rezultat.

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 23 Teorema 1.4.1. Pretpostavimo da je G C, neka je a = α + iβ tačka nagomilavanja skupa G, i neka je f = u + iv : G C funkcija, pri čemu su u, v realne funkcije. Tada: Postoji lim z a;z G lim (x,y) (α,β);(x,y) G f(z), ako i samo ako postoje u(x, y) i U tom slučaju važi lim f(z) = z a;z G lim v(x, y). (x,y) (α,β);(x,y) G lim (x,y) (α,β);(x,y) G u(x, y) + i lim (x,y) (α,β);(x,y) G v(x, y). Neka je f definisana u skupu D( ; r) = {z C : z > r} za neko r > 0. Tada je lim f(z) = A, ako za svako ϵ > 0 postoji R > 0, tako da za svako z z C važi implikacija z > R = f(z) A < ϵ. Konačno, lim f(z) =, ako i samo ako je lim f(z) = +. Primetimo z a z a da je lim f(z) = ako i samo ako je lim d 3 (f(z), ) = 0. z a z a Granična vrednost funkcije kompleksne promenljive ima analogna svojstva kao i granična vrednost realnih funkcija više promenljivih. 1.4.2 Neprekidnost i ravnomerna neprekidnost funkcija na skupu Pretpostavimo da je kompleksna funkcija f definisana na skupu G C i neka je a G. Funkcija f je neprekidna u tački a na skupu G, ako važi: ( ϵ > 0)( δ > 0)( z G) ( z a < δ = f(z) f(a) < ϵ). Formulišemo nekoliko rezultata o neprekidnosti funkcije. Teorema 1.4.2. Neka je G C, a G, i neka je f : G C kompleksna funkcija. (1) Pretpostavimo da je a tačka nagomilavanja skupa G. Funkcija f je neprekidna u tački a na skupu G, ako i samo ako je f(a) = lim f(z). z a;z G (2)Ako je a izolovana tačka skupa G, onda je funkcija f neprekidna u tački a.

24 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Funkcija f je (obično) neprekidna na skupu G, ako je f neprekidna u svakoj tački a G na skupu G. Teorema 1.4.3. Neka je G C, a = α + iβ g, i neka je f = u + iv : G C. Funkcija f je neprekidna u tački a na skupu G, ako i samo ako su obe funkcije u, v neprekidne u istoj tački (α, β) na skupu G. Funkcija f je ravnomerno neprekidna na skupu G, ako važi: ( ϵ > 0)( δ > 0)( z 1, z 2 G) ( z 1 z 2 < δ = f(z 1 ) f(z 2 ) < ϵ). U definiciji neprekidnosti funkcije u nekoj tački a broj δ je izabran u zavisnosti od tačke a i unapred zadanog ϵ > 0. Sa druge strane, u definiciji ravnomerne neprekidnosti na skupu, broj δ je izabran u zavisnosti od ϵ, a nezavisno od izbora tačaka skupa G. Dakle, važi sledeći rezultat. Teorema 1.4.4. Ako je f ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu G, onda je f neprekidna funkcija na G. Iz obične neprekidnosti funkcije na odre denom skupu sledi ravnomerna neprekidnost te funkcije, samo u odre denim specijalnim slučajevima. Teorema 1.4.5. (Hajne 11 -Kantor 12 ) Ako je G kompaktan podskup od C, i ako je f : G C neprekidna funkcija na G, onda je f ravnomerno neprekidna na G. Teorema 1.4.6. Ako je f(z) = u(x, y) + i v(x, y), onda je ravnomerna neprekidnost funkcije f na nekom skupu G ekvivalentna ravnomernoj neprekidnosti funkcija u i v na skupu G. Dokaz. Rezultat sledi na osnovu sledećih nejednakosti: pri čemu je w = f(z), z G. Re w, Im w w = Re w 2 + Im w 2, 11 Heinrich Eduard Heine (1821-1881), nemački matematičar 12 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemački matematičar

1.4. KOMPLEKSNE FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE 25 1.4.3 Nizovi i redovi funkcija Neka je (f n ) n niz funkcija definisan na skupu G, G C. Ako je z G konkretna tačka skupa G, tada je (f n (z)) n brojni niz u C. Niz funkcija (f n ) n (obično, tačkasto) konvergira ka funkciji f na skupu G, ako za svako z G važi lim f n (z) = f(z). n Niz (f n ) n ravnomerno konvergira na skupu G ka funkciji f, ako: ( ϵ > 0)( n 0 N)( z G)( n N) (n n 0 = f n (z) f(z) < ϵ). Iz ravnomerne konvergencije niza funkcija na nekom skupu G sledi obična konvergencija tog niza ka istoj graničnoj funkciji na skupu G. Obrnuto tvr denje ne važi u opštem slučaju, kao što je to pokazivano u realnoj analizi. Neka je (g n ) n niz funkcija definisanih na skupu G C. Red g n je obično konvergentan na skupu G, ako niz delimičnih suma S n = g 1 + + g n obično konvergira na skupu G. Analogno, red g n je ravnomerno konvergentan na skupu G, ako niz delimičnih suma S n = g 1 + + g n ravnomerno konvergira na skupu G. Ako red funkcija ravnomerno konvergira na nekom skupu, onda taj red i obično konvergira ka istoj graničnoj funkciji na posmatranom skupu. Obrnuto tvr denje ne važi u opštem slučaju. Formulišemo sledeći rezultat. Teorema 1.4.7. (1) (Košijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju nizova) Niz (f n ) n ravnomerno konvergira na skupu G, ako i samo ako važi : ( ϵ > 0)( n 0 N)( z G)( n, m N) (m > n n 0 = f n (z) f m (z) < ϵ). (2) (Košijev kriterijum za ravnomernu konvergenciju redova) Red gn ravnomerno konvergira na skupu G ako i samo ako važi: ( ϵ > 0)( n 0 N)( z G)( n, m N) ( ) m m > n n 0 = g k (z) < ϵ. (3) (Vajerštrasov 13 kriterijum za ravnomernu konvergenciju) Ako članovi reda g k zadovoljavaju uslov g k (z) c k za svako z G i svako k = k=n 13 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemački matematičar

26 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA 1, 2,..., a brojni red c k konvergira, onda red g k ravnomerno konvergira na skupu G. (4) Neka je f(z) = lim f n (z), z G, gde su f n (n = 1, 2,... ) neprekidne n funkcije na skupu G. Ako je niz (f n ) n ravnomerno konvergentan na skupu G, onda je funkcija f neprekidna na skupu G. (5) Neka su g n (n = 1, 2,... ) neprekidne funkcije na skupu G. Ako red gk konvergira ravnomerno na skupu G, njegova suma g k (z) = s(z), z G, je tako de neprekidna funkcija na G. 1.4.4 Stepeni redovi Najvažniji specijalan slučaj reda funkcija, jeste stepeni red. Neka je (c n ) n niz kompleksnih brojeva, i neka je a C. Red c n (z a) n n=0 je stepeni red oko tačke a (u tački a; ili sa centrom u tački a). Za kompleksne stepene redove važi rezultat analogan realnim stepenim redovima. Teorema 1.4.8. Neka je a C i neka je (c n ) n niz kompleksnih brojeva. Tada postoji jedinstven R [0, + ] sa sledećim svojstvima: (1) Stepeni red c n (z a) n konvergira za svako z D(a; R). n=0 (2) Ako je R > 0, onda stepeni red c n (z a) n konvergira ravnomerno n=0 na skupu z D[a; r] za svako r (0, R). (3) Ako je R < +, onda stepeni red svojstvom z > R. (4) 1 = lim sup c R n 1/n = lim sup c n+1 c n. n=0 k=0 divergira za svako z C sa Broj R u prethodnoj teoremi naziva se poluprečnik konvergecije stepenog reda c n (z a) n. Disk D(a; R) je disk (krug) konvergencije posmatranog n=0 stepenog reda. Imajući u vidu da je stepeni red ravnomerno konvergentan na zatvorenim diskovima sadržanim u D(a; R), kao i činjenicu da su sve funkcije

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 27 z c n (z a) n neprekidne, jednostavno dolazimo do zaključka da suma stepenog reda jeste neprekidna funkcija na disku na kome red konvergira. Dokazaćemo kasnije ozbiljnije tvr denje: suma stepenog reda je beskonačno puta diferencijabilna funkcija na disku na kome polazni red konvergira. 1.5 Elementarne kompleksne funkcije 1.5.1 Eksponencijalna funkcija Neka je z = x + iy C. Eksponencijalna funkcija z e z definisana je na sledeći način: e z = e x (cos y + i sin y). Ako je y = 0, odnosno z = x R, onda se, očigledno, kompleksna eksponencijalna funkcija svodi na dobro poznatu realnu eksponencijalnu funkciju. Funkcije y cos y i y sin y su periodične sa periodom 2π. Stoga je funkcija z e z periodična sa periodom 2πi. Na osnovu neprekidnosti funkcija x e x, y cos y i y sin y za svako x, y R, sledi neprekidnost funkcije z e z za svako z C. Važi e x > 0 za svako x. Osim toga, ni za jedno y R ne može istovremeno biti cos y = 0 i sin y = 0. Prema tome, e z 0 za svako z C. Neka je w = u + iv i e w = e u (cos v + i sin v). Važi formula: e z e w = e x+u [cos y cos v sin y sin v + i(cos y sin v + sin y cos v)] = e x+u [cos(y + v) + i sin(y + v)] = e z+w. Jednostavno je dokazati i sledeći rezultat odakle neposredno proizilazi (e z ) 1 = e z, e z e w = ez w. Posebno je interesantan slučaj z = y, odnosno x = 0. Tada je e iy = cos y + i sin y. Očigledno važi e iy = 1, odakle sledi da je e iy tačka kružnice sa centrom u koordinatnom početku poluprečnika 1. Obrnuto, ako je w tačka jedinične

28 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA kružnice sa centrom u koordinatnom početku i y = arg w, tada je e iy = w. Prema tome, preslikavanje y e iy je bijekcija iz skupa {y : 0 y < 2π} na jediničnu kružnicu u skupu C. Ako je z C proizvoljan kompleksan broj različit od nule, tada je z tačka z jedinične kružnice sa istim argumentom kao z. Prema prethodno rečenom, ako je φ = arg z, onda je z = z e iφ i ovaj zapis je eksponencijalni (Ojlerov 14 ) oblik kompleksnog broja z. Sldedi da preslikavanje z e z jeste bijekcija iz skupa {z = x + iy : x R, 0 y < 2π} na skup C \ {0}. Osim toga, važi z = z e iφ i arg z = arg z (poslednju jednakost treba shvatiti skupovno). Ako je n N, onda je cos nφ + i sin nφ = e niφ = ( e iφ) n = (cos φ + i sin φ) n, koja je već ranije navedena kao formula Moavra (videti sekciju o trigonometrijskom zapisu kompleksnog broja). Za brojeve z = z e iφ i w = w e iψ važi zw = z w e i(φ+ψ), z w = z w ei(φ ψ). Prema tome, arg(zw) = arg z + arg w, arg(z/w) = arg z arg w (ove jednakosti treba shvatiti skupovno). 1.5.2 Trigonometrijske funkcije Na osnovu formula e iy = cos y + i sin y i e iy = cos y i sin y za realan broj y, sledi cos y = 1 2 (eiy + e iy ) i sin y = 1 2i (eiy e iy ). Osnovne trigonometrijske funkcije kompleksne promenljive z definisane su analogno: cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz ), tg z = sin z cos z, ctg z = cos z sin z. Trigonometrijske funkcije su, očigledno, neprekidne funkcije na podskupovima od C na kojima su definisane. Na osnovu osobina eksponencijalne funkcije, lako je proveriti da su preslikavanja z cos z i z sin z periodična sa periodom 2π, dok su preslikavanja z tg z i z ctg z periodična sa periodom 14 Leonhard Euler (1707-1783), švajcerski matematičar i fizičar

1.5. ELEMENTARNE KOMPLEKSNE FUNKCIJE 29 π. Važe sledeći osnovni trigonometrijski identiteti, koje ostavljamo čitaocu za samostalnu proveru: (sin z) 2 + (cos z) 2 = 1, sin(z ± w) = sin z cos w ± cos z sin w, cos(z ± w) = cos z cos w sin z sin w. 1.5.3 Hiperboličke funkcije Hiperboličke funkcije definisane su na sledeći način: ch z = ez + e z 2, sh z = ez e z 2, th z = sh z ch z, cth z = ch z sh z. Očigledno, hiperboličke funkcije predstavljaju neposredna uopštenja realnih hiperboličkih funkcija. Hiperboličke funkcije su neprekidne na podskupovima od C na kojima su definisane. Funkcije ch z i sh z su periodične sa periodom 2πi, a funkcije th z i cth z su periodične sa periodom πi. 1.5.4 Logaritamska funkcija Kompleksan broj z C \ {0} nema jedinstven argument. Preciznije, ako je poznat jedan argument φ broja z, onda se svi ostali argumenti broja z od razlikuju od broja φ za celobrojni umnožak broja 2π. Stoga pridruživanje z arg z nije preslikavanje u pravom smislu reči. Ako je Arg z glavna vrednost argumenta kompleksnog broja z, odnosno 0 Arg z < 2π, tada je z Arg z preslikavanje iz skupa C\{0} na skup [0, 2π). Za svako z C\{0} postoji jedinstvena reprezentacija z = z e i Arg z. Prirodni logaritam broja z C \ {0} definiše se na sledeći način: Ln z = ln z + i Arg z, gde je ln z uobičajeni logaritam pozitivnog broja z. Ako je z = x > 0, onda je Arg z = 0 i uvedena definicija logaritma kompleksnog broja poklapa se sa ranijom definicijom logaritma pozitivnog broja. Nije teško proveriti sledeća svojstva: e Ln z = z, z C \ {0}, kao i Ln e z = z, ako je z = x + iy, 0 y < 2π.

30 GLAVA 1. ELEMENTARNE OSOBINE KOMPLEKSNIH FUNKCIJA Opštije, ako je z, w C i e w = z, logaritam kompleksnog broja z definisan je kao ln z = w. Ako je z = z e i Arg z+2kπi, k Z, onda se svaki broj w k = ln z + i Arg z + 2kπi može reći da je logaritam broja z, odnosno w k = ln z. Ovako shvaćeno pridruživanje z w k nije preslikavanje, jer jednom broju z odgovara više različitih brojeva w k. Prirodnije je pisati z {w k : k Z} i ovo pridruživanje se naziva višeznačna funkcija. Jedna (neprekidna) grana ove višeznačne funkcije jeste ln k z = ln z + i Arg z + 2kπi, pri čemu je k konstantna vrednost. Funkcija ln k z je jednoznačna, odnosno funkcija (preslikavanje) u pravom smislu reči. 1.5.5 Koren kompleksnog broja Kompleksan broj z je n-ti koren kompleksnog broja a (u oznaci z = n a), ako je z n = a. Korenovanje je tako de višeznačna funkcija u skupu kompleksnih brojeva, odnosno svaki kompleksan broj a 0 ima n različitih korena. Ako je a = a e i Arg a, tada je n-ti koren od a svaki od brojeva z k = n Arg a+2kπ a e n, k = 0, ±1, ±2,.... Pri tome, samo su n korena me dusobno različita. Dovoljno je posmatrati n uzastopnih vrednosti za k, na primer k = 1,..., n. Piše se n a = {z1,..., z n }.