Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu da je (,, f) funkcija obično iskazujemo sa f :, a ponekad i sa Neka f :. Skup je domen funkcije: = dom(f). Skup je kodomen 2 funkcije. Skup f je graf funkcijea a često se funkcija (,, f) poistovećuje sa samim skupom f i kaže se da je f funkcija, ili preslikavanje skupa u skup. (a, b) f zapisujemo i sa f(a) = b i kažemo da se element a preslikava funkcijom f u element b, ili da je b f-slika elementa a. Definicija = {f f : }. Primetimo da je P( ). Predstavljanje funkcija Funkcije predstavljamo grafički kao binarne relacije. Uslov funkcionalnosti ( ) je: iz svakog elementa skupa polazi tačno jedna strelica ka skupu.; tom strelicom se element a preslikava u element f(a). Sledeća dva primera ne predstavljaju funkciju: Iz a 2 polaze dve strelice: 1 engleski: function, mapping 2 engleski: range 1
a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 Iz a 4 ne polazi ni jedna strelica. a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 Funkciju f : {a 1, a 2, a 3, a 4 } {, b 2, } f = {(a 1, ), (a 2, ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 2 )} (t.j. definisanu sa predstavljamo grafički: f(a 1 ) = f(a 2 ) =, f(a 3 ) = f(a 4 ) = b 2 a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 2
Ukoliko je relacija f predstavljena grafikom, uslov funkcionalnosti znači: svaka vertikalna prava sadrži tačno jednu tačku grafika. Relacija zadata sledećim grafikom ne zadovoljava uslov funkcionalnosti iz dva razloga: 1) Vertikalna prava koja sadrži a 2 sadrži dve tačke grafika; 2) Vertikalna prava koja sadrži a 5 ne sadrži ni jednu tačku grafika. b 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Funkcija f : {a 1, a 2, a 3, a 4 } {, b 2, } definisana sa f = {(a 1, ), (a 2, ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 2 ), (a 5, )} (ili f(a 1 ) = f(a 5 ) =, f(a 2 ) = f(a 4 ) =, f(a 3 ) = b 2 ) ima grafik b 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3
Kompozicija funkcija Kompozicija funkcija, definisana kao kompozicija relacija, je funkcija: Stav Neka su f : i g : C funkcije. Tada važi: (a) (, C, g f) je funkcija.; (b) Za svaki a važi g f(a) = g(f(a)). Dokaz (a) Treba dokazati da za svaki element a postoji tačno jedan c C takav da (a, c) g f. Fiksirajmo a i neka je f(a) = b, g(b) = c. Drugim rečima, (a, b) f i b, c g. Prema definiciji kompozicije, važi (a, c) g f, pa preostaje da dokažemo da je c jedinstven element skupa C koji zadovoljava taj uslov. Pretpostavimo sada da za neki c C važi (a, c ) g f. Prema definiciji kompozicije, postoji b takav da (a, b ) f i (b, c ) g. Iz (a, b) f i činjenice da je f funkcija sledi da je b = f(a), pa je b = b. Slično, iz (b, c ) g (i b = b ) sledi c = g(b), pa je c = c. Time smo dokazali da za svaki element a postoji jedinstven c C takav da (a.c) g f. (b) Iz dokaza dela (a) sledi da za svaki a važi g f(a) = c, gde je c = g(b) i b = f(a). Prema tome: g f(a) = g(b) = g(f(a). Oznaka f za funkciju f : je zgodna za predstavljanje više funkcija dijagramima. Na primer, kompoziciju funkcija f : i g : C predstavljamo na dijagramu: g f f C g Verzija stava 1.15 [MP] Za f sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f : (t.j. (,, f) je funkcija). (2) f 1 f i f f 1. Direktna slika Neka je f : funkcija, X i Y. Definišemo: Direktna slika skupa X funkcijom f je: ko je f(a) = b tada je f[{a}] = {b}. f[x] = {b postoji x X tako da je f(x) = b} Grafički, direktnu sliku skupa X čine svi elementi skupa u koji ulazi neka strelica iz elementa skupa X. 4
a 4 X f[x] a 3 b 2 a 2 a 1 Ili: projektujemo tačke grafika čija prva koordinata pripada skupu X na vertikalnu osu. b 2 f[x] a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 X Zadatak (a) ko je f : i X, tada f[ X] f[] f[x]. Dokazati. (b) Naći primer skupova,, X i funkcije f : tako da važi f[ X] f[] f[x]. Inverzna slika Neka je f :, X i Y. Inverzna slika skupa Y funkcijom f je: f 1 [Y ] = {a postoji y Y tako da je f(a) = y} Grafički, skup f 1 [Y ] se sastoji od svih elemenata skupa iz kojih f-strelica vodi do elementa skupa Y. 5
a 4 Y a 3 b 2 f 1 [Y ] a 2 a 1 Primetimo da je u ovom primeru f 1 [{b 2 }] = ; znači: inverzna slika nepraznog skupa može biti prazan skup. Ili: projektujemo tačke grafika čija druga koordinata pripada skupu Y na horizontalnu osu. b 2 Y a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 f 1 [Y ] Stav 1.16 u [MP] sadrži osnovne osobine direktne i inverzne slike. Zadatak (a) Dokazati da za svaku funkciju f : i za svaki skup X važi: f 1 [f[x]] X. (b) Naći primer skupova,, X i funkcije f : tako da važi f 1 [f[x]] X. Zadatak ((a) Za svaku funkciju f : i za svaki skup Y važi: f[f 1 [Y ]] Y. (b) Naći primer skupova,, Y i funkcije f : tako da važi f[f 1 [Y ]] Y. Dirihleov princip 3 i funkcije Dirihleov princip glasi: ako mn + 1 zeca rasporedimo u m kaveza, tada se u bar jednom kavezu nalazi bar n + 1 zec. 3 Engleski: Pigeonhole principle 6
Dirihleov princip ko r : Z K, skup Z ima mn + 1 elementi i skup K ima m elemenata, tada postoji k K tako da r 1 [{k}] ima bar n + 1 element. Sužavanje domena: restrikcija funkcije Neka je f : funkcija i X. Definišemo f X = {(x, y) f x X}. Grafički, relacija f X X se dobija iz relacije f brisanjem svih elemenata skupa X, kao i svih f-strelica koje vode iz njih. Lako se vidi da tako dobijena relacija zadovoljava uslov funkcionalnosti ( ), pa je funkcija, koja je restrikcija funkcije f na skup X. f X : X Sužavanje i širenje kodomena ko je f : funkcija i f[] C, tada je i f : C funkcija; Primetimo da može važiti f[] C ili f[] C. U matematici, f je realna funkcija na skupu X, označava da se radi o funkciji čiji je domen skup X, a kodomen je podskup skupa realnih brojeva: f : X C gde je C R. Kaže se i da je f realno-vrednosna funkcija. f je funkcija realne promenljive znači da je domen funkcije f podkup skupa realnih brojeva. Slično i za kompeksne i celobrojne funkcije. Često se funkcije realne promenljive zadaju eksplicitno, izrazom 4. Na primer Izraz f(x) = x 2 zadaje funkciju f : R R gde je {(a, a 2 ) a R}. Ukoliko se posebno naglasi, izraz može zadavati i neku varijantu ove funkcije dobijenu sužavanjem domena i/ili kodomena. f(x) = x zadaje f : [0, + ) R, gde je f = {(a, a) a [0, )}. f(x) = 1 x 2 zadaje f : [ 1, 1] R; f = {(a, 1 a 2 ) a [ 1, 1]} 1-1 funkcije Definicija Funkcija f : je 1-1, ili injekcija 5, akko različite elemente skupa preslikava u različite elemente skupa. U tom slučaju kažemo i da je f injektivna funkcija (preslikavanje). Simbolički: Za sve x 1, x 2 iz x 1 x 2 sledi f(x 1 ) f(x 2 ); ili 4 Pojam izraza ćemo kasnije precizirati 5 engleski: injection, injective function 7
Za sve x 1, x 2 iz f(x 1 ) = f(x 2 ) sledi x 1 = x 2 ; ili Za svaki element b skup f 1 [{b}] ima najviše jedan element. Grafički: f-strelice iz različitih elemenata skupa idu ka različitim elementima skupa ; ili: U svaki element skupa ulazi najviše jedna f-strelica; ili: Svaka horizontalna prava grafika sadrži najviše jednu tačku grafika. Stav Neka je f : funkcija. Sledeći iskazi su ekvivalentni: (1) f je 1-1 funkcija. (2) Za svaki skup X važi f 1 [f[x]] = X. N funkcije Definicija Funkcija f : je N, ili sirjekcija 6 akko je svaki element skupa f-slika nekog elementa skupa. Simbolički: Za sve b postoji a tako da je f(a) = b; ili f[] =. Grafički: U svaki element skupa ulazi bar jedna f-strelica; ili: Svaka horizontalna prava grafika sadrži bar jednu tačku grafika. Stav Neka je f : funkcija. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f je N funkcija. (2) Za svaki skup Y važi f[f 1 [Y ]] = Y. Dokaz. Neka je f : funkcija. (1) povlači (2) Pretpostavimo da je f N funkcija i dokažimo da za svaki skup Y važi f[f 1 [Y ]] = Y. Fiksirajmo Y. Prema prethodnom zadatku važi f[f 1 [Y ]] Y, pa preostaje da dokažemo obrnutu inkluziju. Neka y Y. Kako je f na funkcija, postoji a tako da je f(a) = y. Tada iz definicije inverzne slike sledi da a f 1 [Y ], pa iz definicije direktne slike (skupa f 1 [Y ]) imamo y = f(a) f[f 1 [Y ]]. Time smo dokazali da za svaki y Y važi y f 1 [Y ], odnosno Y f[f 1 [Y ]]. (1) povlači (2) Pretpostavimo da f nije N funkcija; tada postoji b f[]. Važi f 1 [{b}] =. Kako je f[ ] =, imamo f[f 1 [{b}] = {b}, pa uslov (2) nije ispunjen. 6 engleski: surjection, onto 8
ijekcije Definicija Funkcija f : je bijekcija ako je i 1-1 i N. Grafički, to znači da iz svakog elementa skupa ide jedna f-strelica i da u svaki element skupa ulazi tačno jedna f-strelica. Fakt Za funkciju f : sledeći uslovi su ekvivalentni: (1) f je bijekcija. (2) (,, f 1 ) je funkcija (f 1 je inverz relacije f ). (3) f 1 : je bijekcija. ijekciju f : shvatamo kao uspostavljanje jednoznačne veze izmedju elemenata skupa i elemenata skupa : svakom elementu a odgovara tačno jedan element f(a) skupa i svakom elementu b odgovara tačno jedan element f 1 (b) skupa. U tom smislu je kopija skupa i je kopija skupa. Identičko preslikavanje id : je definisano sa id (x) = x Definicija Neka je f : bijekcija. Tada je f 1 : inverzna funkcija funkcije f. Stav Neka su f : i g : C bijekcije. (1) (f 1 ) 1 = id. (2) g f : C je bijekcija i važi: (g f) 1 = f 1 g 1. Projekcije Za funkciju f : C, radi jednostavnije notacije, umesto f((a, b)) pišemo f(a, b) za (a, b). Slično i za funkcije čiji je domen Dekartov proizvod više skupova. Funkcija π 1 : definisana sa π 1 (x, y) = x za sve x, y je prva projekcija skupa ; π 2 (x, y) = y definiše drugu projekciju π 2 :. i-ta projekcija skupa 1... n (za 1 i n) je preslikavanje definisano sa π i (x 1,..., x i,..., x n ) = x i. π i : 1... i... n i Familije i nizovi skupova {X i i I} označava familiju skupova indeksiranih skupom I. Ova oznaka se vrlo često koristi u matematici. Formalno familiju skupova definišemo na sledeći način: Neka je I neki skup (čije elemente zovemo indeksima) i X : I W funkcija. Označimo X i = X(i). Skup X[I] = {x W x = X i ) za neki i I} označavamo sa {X i i I} 9
i njegovi jedini elementi su skupovi oblika X i. Familije skupova koristimo kada Obično se radi o nekoj familiji podskupova nekog skupa (t.j W = P()), ili o nekoj familiji funkcija (W = ),... {X i i I} označavamo sa i I X i, ili sa {X i i I} označavamo sa i I X i, ili sa {x postoji indeks i I takav da x X i }. {x za svaki indeks i I važi x X i }. Ukoliko je (I, <) (striktno) linearno uredjenje i X : I W, tada (X i i I) možemo shvatiti i kao niz elemenata skupa W dobijen iz uredjenja I zamenom svakog elementa uredjenja I skupom X i. Zato kažemo i da je (X i i I) I-niz elemenata skupa W. Niz realnih brojeva (a n n N) je odredjen funkcijom a : N ω. Karakteristične funkcije podskupova Notacija 1 = def {0}, 2 = def {0, 1}, 3 = def {0, 1, 2} (su različiti skupovi). Fiksirajmo skup U i posmatrajmo njegove podskupove,,...; c označava komplement skupa, odnosno skup U. Karakteristična funkcija podskupa je funkcija χ : U 2 definisana sa { 1 x χ (x) = 0 x c (formalno: χ = ( {1}) ( c {0})). Stav 1.19 [MP] Funkcija Φ : P(U) 2 U definisana sa Φ(X) = χ X (za X U) je bijekcija. Kantorova teorema (Stav 1.21 [MP]) Za proizvoljan skup X postoji injekcija skupa X u skup P(X), ali ne i sirjekcija. Ne postoji bijekcija izmedju tih skupova Zadatak Odrediti bijekciju izmedju skupova 2 i, 3 i ( ),... (ovde je 2 skup svih f : 2 ) 10
Količničko (faktor) preslikavanje Neka je E relacija ekvivalencije na skupu i /E = {[a] E a } količnički skup. Količničko preslikavanje, ili faktor preslikavanje je funkcija π : /E definisana sa π(x) = [x] E. Ovo preslikavanje je uvek N i za njega važi π 1 [{[x] E }] = [x] E ; ovo tumačimo kao imenovanje klasa ekvivalencije. Sam faktor skup je skup imena klasa ekvivalencije. Kako iz svih elemenata iste E-klase idu π-strelice u istu tačku faktor skupa, možemo prikazati samo jednu strelicu: [a 1 ] E [a 2 ] E [a 5 ] E a 1 a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 π π π /E [a 1 ] E [a 2 ] E [a 5 ] E Funkcije, particije skupa i relacije ekvivalencije Svakoj funkciji f : prirodno odgovara jedna particija skupa (i odgovarajuća relacija ekvivalencije). Fakt Za svaku funkciju f : skup je particija skupa. {f 1 [{b}] b } Za f : definišimo binarnu relaciju na skupu : x E f y akko f(x) = f(y). Klasu ekvivalencije elementa a čine svi a za koje je f(a) = f(a ). Da pojednostavimo sliku funkcije sa f-strelicama, skup prikazujemo kao pravougaonik, a klase kao njegove trake. Stav (1) E f je relacija ekvivalencije na skupu čije su klase skupovi oblika f 1 [{y}] za y f[]. 11
(2) ko je π : /E f faktor preslikavanje i φ = f π 1 kompozicija relacija, tada je (/E f,, φ) funkcija. (3) φ : /E f f[] je bijekcija. (3) φ : /E f je bijekcija ako i samo ako je f N. f[] b 2 b 5 f f f f f a 1 f a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 Da pojednostavimo sliku, crtamo samo po jednu strelicu iz svake trake: f[] b 2 b 5 b 6 f f f a 1 a 1 a 5 a 1 a 2 a 5 12
ZDCI 1. Koristeći prethodnu ilustraciju utvrdi koja od sledećih tvrdjenja su tačna za sve skupove, i f :. (a) Za svaki X je f 1 [f[x]] X. (b) Postoji X takav da je f 1 [f[x]] X. (c) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (d) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (e) Za sve Y, Z je f 1 [Y Z] = f 1 [Y ] f 1 [Z]. (f) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. (g) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. (h) Za sve X, X je f[x X ] = f[x] f[x ]. 2. Koja od sledećih tvrdjenja su tačna za sve skupove, i f :. (a) Za svaki X je f 1 [f[x]] X. (b) Postoji X takav da je f 1 [f[x]] X. (c) Za svaki Y je f[f 1 [Y ]] Y. (d) Postoji Y takav da je f[f 1 [Y ]] = Y. 3. Dokazati ili opovrgnuti: (a) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (b) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (c) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. (d) Za sve skupove,, X, Y i funkcije f : važi f[x f 1 [Y ]] = f[x] Y. 4. Dokazati da je f : 1-1 funkcija ako i samo ako za sve jednočlane skupove X važi f 1 [f[x]] = X. 5. Neka je f : 1-1 funkcija i X. Dokazati da važi f[f 1 [f[x]]] = f[x]. 6. Dokazati da je funkcija f : injekcija ako i samo ako za sve X, Y važi f[x Y ] = f[x] F [Y ]. 7. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X i Y važi f[x g 1 [Y ]] = g[x] Y 8. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X važi g 1 [f[x]] X, tada je f = g. 9. Date su funkcije f, g :. Dokazati da ako za sve skupove X i Y važi f[x g 1 [Y ]] = f[x] Y, tada je f = g. 10. Date su funkcije f, g :. Dokazati da je f = g ako i samo ako za sve skupove X važi g 1 [f[x]] X, tada je f = g. 13