UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET mr Dejan D. Ili Analiza prebrojivih modela potpunih teorija linearno ureenih struktura Doktorska disertacija Beograd, 2016.
UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MATHEMATICS M.Sc. Dejan D. Ilić An analysis of countable models of complete theories of linearly ordered structures Doctoral Dissertation Belgrade, 2016
Podaci o mentoru i qlanovima komisije Mentor: prof. dr Predrag Tanovi, vanredni profesor Univerzitet u Beogradu, Matematiqki fakultet Qlanovi komisije: dr Nebojxa Ikodinovi, docent Univerzitet u Beogradu, Matematiqki fakultet prof. dr Milox Kurili, redovni profesor Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematiqki fakultet prof. dr Aleksandar Perovi, vanredni profesor Univerzitet u Beogradu, Saobraajni fakultet prof. dr Zoran Petrovi, vanredni profesor Univerzitet u Beogradu, Matematiqki fakultet prof. dr Predrag Tanovi, vanredni profesor Univerzitet u Beogradu, Matematiqki fakultet Datum odbrane:
Izjave zahvalnosti Ova doktorska disertacija predstav a deo rezultata vixegodixeg istra- ivaa pod mentorstvom profesora Predraga Tanovia i u saradi sa Slavkom Mocoom. Svom mentoru, Predragu Tanoviu, dugujem neizmernu zahvalnost: Sve xto znam iz teorije modela ili me je on nauqio ili me je motivisao da nauqim ili sam otkrio u saradi sa im. Slavku Mocoi sam zahvalan na sugestijama i pomoi u izradi ove disertacije. Osim toga, rezultati posledeg poglav a su nastali u saradi sa Slavkom Mocoom i Predragom Tanoviem. Zahvalnost dugujem i qlanovima komisije na korisnim savetima i komentarima. Aleksandru Peroviu sam naroqito zahvalan na dugogodixoj podrxci. Zoranu Petriu i Borixi Kuze eviu takoe dugujem zahvalnost na savetima i komentarima. Zahvalan sam i kolegama sa katedre i prijate ima sa Matematiqkog instituta na podrxci. Porodici sam zahvalan na velikoj podrxci koju su mi pruali tokom godina. Branki sam zahvalan na podrxci i strp eu. Bez e ove disertacije ne bi bilo. Dejan Ili
Analiza prebrojivih modela potpunih teorija linearno ureenih struktura Rezime: U ovoj tezi izuqavamo linearno ureene strukture i ihove potpune teorije. Glavni tehniqki alat koji koristimo u naxoj analizi su kondenzacije, tj. razlagae ureea u konveksne delove i izuqavae koliqniqke strukture i strukture delova. Uvodimo uniformno definabilnu kondenzaciju c δ koja razlae ureee u najvee konveksne delove qije su teorije prvog reda jednostavne: oni su ili gusta ili diskretna ureea. Izuqavamo c δ koliqniqke strukture koje su ekspanzije odreenih prostih prebrojivih diskretnih ureea i dajemo deta an opis onih koje imaju Kantor-Bendiksonov rang 1. Takoe koristimo kondenzaciju c δ da dokaemo da je svako linearno ureee proxireno sa konaqno mnogo unarnih predikata i relacija ekvivalencija sa konveksnim klasama interpretabilno u qistom linearnom ureeu. Uvodimo svojstva linearne i jake linearne binarnosti za linearno ureene strukture i ihove potpune teorije. U sluqaju teorije, definicija opisuje osobinu grupe automorfizama enog zasienog modela. Dokazujemo da je svaka potpuna teorija linearnog ureea sa unarnim predikatima i relacijama ekvivalencije sa konveksnim klasama jako linearno binarna. Glavni rezultat tvrdi da je jako linearno binarna struktura definiciono ekvivalentna linearnom ureeu sa dodatim unarnim predikatima i relacijama ekvivalencije sa konveksnim klasama. U dokazu dajemo opis definabilnih skupova proizvonog linearnog ureea sa unarnim predikatima i relacijama ekvivalencije sa konveksnim klasama. K uqne reqi: Linearna ureea, ekspanzije linearnih ureea, definabilne kondenzacije, prost tip, binarne teorije, linearna binarnost, jaka linearna binarnost, konveksne ekvivalencije, definiciona ekvivalentnost, eliminacija kvantifikatora Nauqna oblast: Matematika Ua nauqna oblast: Matematiqka logika UDK broj: 510.67 (043.3) AMS klasifikacija: 03C10, 03C64, 06A05
An analysis of countable models of complete theories of linearly ordered structures Abstract: We study linearly ordered structures and their complete theories. The main technical tools used in the analysis are condensations, i.e. partitioning the ordering into convex parts and then studying the quotient structure and that of the parts. We introduce a uniformly definable condensation relation c δ that decomposes the ordering into largest convex pieces whose first order theory is simple: they are either dense or discrete orderings. We study c δ quotient structures that are expansions of certain simple countable discrete orderings and give a precise description of those having Cantor Bendixson rank 1. We also use the condensation c δ to prove that any linear ordering expanded by finitely many unary predicates and equivalence relations with convex classes is interpretable in a pure linear ordering. We introduce notions of linear and strong linear binarity for linearly ordered structures and their complete theories. In the case of a theory, the defining condition expresses a property of the automorphism group of its saturated model. We prove that any complete theory of a linear ordering with unary predicates and equivalence relations with convex classes is strongly linearly binary. The main result states that a strongly linearly binary structure is definitionally equivalent to a linear ordering with unary predicates and equivalence relation with convex classes added. In the proof we give a description of definable sets in any linear ordering with unary predicates and equivalence relations with convex classes. Key words: Linear orderings, expansions of linear orderings, definable condensations, simple type, binary theories, linear binarity, strong linear binarity, convex equivalences, definitional equivalence, quantifier elimination Scientific area: Mathematics Scientific field: Mathematical logic UDC number: 510.67 (043.3) AMS subject classification: 03C10, 03C64, 06A05
Sadraj Uvod 1 Poglav e 1. Pregled pojmova i notacija 5 1. Notacija i osnovni pojmovi 5 2. Linearna ureea 5 3. Strukture 8 4. Zasiene strukture, univerzum teorije 15 5. Definiciona ekvivalentnost 18 6. Linearno ureen univerzum 22 Poglav e 2. Definabilne kondenzacije 23 1. Oznake i uvodni pojmovi 24 2. Kompozicije i iteracije L, -definabilnih kondenzacija 27 3. Diskretne/guste kondenzacije c δ 30 Poglav e 3. Prosti tipovi i ekspanzije diskretnih ureea 40 1. Definicija i osnovna svojstva C-tipa 43 2. Definicija i osnovna svojstva prostog tipa 44 3. Struktura na lokusu prostog tipa 48 4. Ekspanzije CB ranga 1 i stepena k 56 Poglav e 4. Linearna binarnost, jaka linearna binarnost 62 1. Linearna binarnost 63 2. Jaka linearna binarnost 75 Zak uqak 84 Literatura 85
Uvod U ovoj tezi izuqavamo linearno ureene strukture i ihove potpune teorije. Pod linearno ureenom strukturom podrazumevamo strukturu prvog reda A = (A, <,... ) takvu da je (A, <) linearno ureee koje u strukturi A moe imati dodate relacije i operacije na skupu A. Osnovna pitaa teorije modela koja se prirodno nameu za strukture istog jezika su: 1. Kada su strukture izomorfne? 2. Kada su strukture elementarno ekvivalentne? 3. Kako izgledaju definabilni skupovi u takvim strukturama? Ova pitaa su veoma opxta i ne moe se oqekivati deta an odgovor u sluqaju generalnih linearno ureenih struktura, ve se va a ograniqiti na neke potklase. Hauzdorf se u svom quvenom radu iz 1908. godine ([4]) bavio pitaem izomorfizma linearnih ureea i opisom ureajnih tipova, tj. klasa ekvivalencije u odnosu na izomorfizam. Dokazao je da je svako linearno ureee ili rasuto (ne sadri podureee izomorfno ureeu racionalnih brojeva) ili je gusta suma rasutih konveksnih podureea, a zatim je opisao ordinalnu hijerarhiju rasutih ureea. Jedna od k uqnih Hauzdorfovih ideja u analizi tipa izomorfizma ureea je ideja kondenzacije: pogodno rastav ae datog ure- ea na konveksne delove koji su u nekom smislu jednostavni. Ovakvim rastav aem se analiza sloenosti ureea prenosi na analizu sloenosti linearnog ureea tih delova nasleenog prirodno iz polaznog ureea. Sam pojam kondenzacije linearnih ureea, kao i opis nekih osnovnih tipova kondenzacija, dali su Duxnik i Miler 1940. godine u radu [2]. Modelsko teorijska analiza linearnih ureea zapoqeta je poqetkom pedesetih godina proxloga veka u radovima Tarskog, Mostovskog, Beta i Fresea. Najznaqajniji rezultat iz tog perioda dobili su Feferman i Vot 1959. godine u radu [3]. Dokazali su da su sume linearnih ureea I A i i I B i, gde je I linearno ureee, elementarno ekvivalentne ukoliko su svi odgovarajui parovi sumanada A i i B i elementarno ekvivalentni. Time je aktuelizovan problem elementarne ekvivalencije linearnih ureea i problem odre- ivaa broja prebrojivih modela date potpune teorije linearnih ureea. U periodu nakon toga brojni matematiqari su dali delimiqne rezultate na tu temu, a najznaqajniji doprinos je dao Rubin 1974. godine u radu [15] u kome 1
je izuqavao klasu linearnih ureea sa pridodatim unarnim predikatima i potpune teorije takvih struktura. Napomenimo da ta klasa nije suxtinski xira od klase linearnih ureea, jer je svako linearno ureee sa unarnim predikatom interpretabilno u nekom qistom linearnom ureeu. Iako Rubin nije uspeo da pronae opis definabilnih skupova u takvim strukturama, dokazao je da svaka takva teorija ima ili konaqno mnogo ili 2 ℵ 0 neizomorfnih prebrojivih modela. Prvi priblian opis definabilnih skupova u linearnim ureeima dao je Simon 2011. godine u radu [16]. On je uoqio znaqaj monotonih binarnih relacija u linearnim ureeima; binarna relacija R je monotona ukoliko iz x 1 x, x R y i y y 1 sledi x 1 R y 1. Dokazao je da ukoliko dato linearno ureee sa unarnim predikatima proxirimo dodavaem svih definabilnih unarnih predikata i monotonih binarnih relacija, dobijamo strukturu qija teorija eliminixe kvantifikatore, tj. u kojoj je svaki definabilan skup n-torki domena definisan Bulovom kombinacijom formula sa jednom slobodnom promen ivom i formula koje definixu monotone binarne relacije. Simonov opis definabilnih skupova se moe smatrati priblinim, jer linearno ureee dodava- em monotone binarne relacije moe postati suxtinski sloenija struktura od ma kog (qistog) linearnog ureea. U disertaciji izuqavamo modelsko teorijske osobine linearnih ureea. U prvom poglav u dajemo pregled svih osnovnih pojmova i tvrea teorije modela koje koristimo. U drugom poglav u izuqavamo uniformno definabilne kondenzacije, tj. homomorfizme linearnih ureea, i osnovne operacije sa ima: kompozicije i iteracije. Uvodimo kondenzaciju c δ (originalno uvedenu u koautorskom radu [7]) koja je definabilna formulom prvog reda δ(x, y) u jeziku {<}, a qije su klase u svakom ureeu maksimalni konveksni diskretno ureeni i maksimalni konveksni gusto ureeni podskupovi. Dobijene klase razlikujemo po ihovim elementarnim svojstvima, odnosno ihovim potpunim teorijama prvog reda. Tu imamo prebrojivo mnogo mogunosti i u svim, osim u jednoj, radi se o konaqno aksiomatizabilnim potpunim teorijama, tj. o teorijama koje moemo aksiomatizovati jednom reqenicom prvog reda. Teorija gustih ureea bez krajeva je potpuna, dok teoriju diskretnih ureea kompletiramo dodava- em informacija o postojau ili nepostojau svakog od krajeva, kao i da li se radi o konaqnom ureeu u kom sluqaju preciziramo i broj egovih elemenata. Jedina meu ima koja nije konaqno aksiomatizabilna je teorija beskonaqnih diskretnih ureea sa najmaim i sa najveim elementom. Konaqno aksiomatizabilnim dode ujemo unarne predikate {W, W, Z, G, C n } n ω ; predikat G 2
teoriji Th(Q, <) gustih ureea bez krajeva, W odgovara teoriji Th(ω, <) diskretnih ureea sa levim ali bez desnog kraja, W teoriji Th(ω, >), Z teoriji Th(Z, <) i C n teoriji ureea sa n elemenata. Analiza datog ureea A se sastoji u sledeem: faktorisaem relacije c δ dobijamo faktor uree- e c δ (A) kome dodajemo unarne relacije X A za X {W, W, Z, G, C n } n ω tako da X([x] cδ ) oznaqava da teorija Th([x] cδ, < A ) odgovara predikatu X. Na taj naqin dobijamo strukturu c # δ (A) linearnog ureea sa prebrojivo mnogo disjunktnih unarnih relacija. Ista struktura c # δ (A) se obiqno moe dobiti ovim postupkom ne samo iz ureea A nego iz vixe linearnih ureea; sva ona su meusobno elementarno ekvivalentna i ihove ureajne tipove moemo lako opisati. Takoe, dokazaemo da elementarno ekvivalentnim ureeima A B odgovaraju elementarno ekvivalentne strukture c # δ (A) i c# δ (B), kao i obrnuto tvree. Time smo problem opisa tipa izomorfizma linearnog ureea sveli na problem opisa tipa izomorfizma jednostavnijeg linearnog ureea, ali sa pridodatim unarnim predikatima. Motivacija za rezultate dobijene u treem poglav u je izuqavae jednostavnih prebrojivih diskretno ureenih c δ klasa sa dodatom strukturom. To su ekspanzije ureea (ω, <), (ω, <) i (ω + ω, <). U opxtem sluqaju takve strukture mogu biti veoma komplikovane, pa uvodimo dodatnu pretpostavku, konaqnost Kantor Bendiksonovog ranga. Time sloenost svakog tipa i definabilnog skupa merimo prirodnim brojem. Pitae na koje elimo da odgovorimo je: da li se takve ekspanzije, do na definicionu ekvivalentnost, mogu dobiti dodavaem unarnih predikata? Potvrdan odgovor dajemo u sluqaju ekspanzija ranga 1. Rezultati ovog poglav a su objav eni u autorovom radu [6]. Razmatraemo ekspanzije diskretno ureenih struktura oblika (ω + L, <,... ) gde je (L, <) linearno ureee. Uvodimo pojam prostog tipa u ovakvim ureeima i dokazujemo strukturnu teoremu za takve tipove. Zatim posmatramo ekspanzije struktura (ω, <) i (ω + ω, <) Kantor Bendiksonovog ranga 1, a to su one u kojima ne postoji beskonaqna familija meusobno disjunktnih, beskonaqnih definabilnih podskupova domena. Primeri takvih ekspanzija su strukture (ω, <, P d ), gde je P d (x) predikat,,d deli x" i (ω + ω, <, B d,l ), gde je B d,l skup (P d +l)(ω) P d (ω) koji je unija translata skupa P d (ω) za l mesta udesno i skupa svih n ω za koje je n de ivo sa d. Pokazujemo da u takvim ekspanzijama postoji prost tip i zatim dokazujemo sledeu teoremu. Teorema 1. (1) Svaka ekspanzija strukture (ω, <) koja zadovo ava CB(x = x) = 1 je definiciono ekvivalentna strukturi (ω, <, P d ) gde je d = deg(x = x). (2) Svaka ekspanzija strukture (ω + ω, <) u kojoj ω nije definabilan skup je definiciono ekvivalentna strukturi (ω+ω, <, B d,l ) pri qemu je d = deg(x = x) a l je neki ceo broj. 3
Kao posledicu ove teoreme dobijamo sledeu teoremu koja uopxtava rezultat Pilaja i Xtajnhorna iz rada [12]. Teorema 2. Ne postoji prava ekspanzija strukture (ω, <) ili (ω + ω, <) koja zadovo ava CB(x = x) = deg(x = x) = 1. Qetvrto poglav e sadri glavne rezultate teze. Svi rezultati u emu su dobijeni u saradi sa Predragom Tanoviem i Slavkom Mocoom. Posmatramo linearna ureea sa pridodatim unarnim predikatima i konveksnim relacijama ekvivalencije. Jedan od glavnih rezultata ovog poglav a je opis definabilnih skupova u ovakvim strukturama. Teorema 3. (Ili, Mocoa, Tanovi) Neka je A = (A, <, P i, E j, S n j ) i I, j J linearno ureee sa pridodatim unarnim predikatima (P i i I), konveksnim relacijama ekvivalencije (E j j J) u kome su relacije sledbenika za klase definisane sa:,,s n j (x, y) ako i samo ako izmeu klasa x/e j i y/e j ima taqno n 1 E j - klasa". Ukoliko (P i i I) i (E j j J) sadre sve unarne predikate i konveksne relacije ekvivalencije koje su definabilne u strukturi A, tada Th(A) eliminixe kvantifikatore. Poseban sluqaj teoreme je opis definabilnih skupova u proizvo nom linearnom ureeu koji je precizniji od Simonovog opisa iz rada [16]. Teorema 3 sledi iz preciznog opisa definabilnih skupova u jako linearno binarnim strukturama, koje uvodimo i izuqavamo u ovom poglav u. Dodatna skupovno teorijska pretpostavka koju koristimo je postojae jako nedostinih kardinala kojom obezbeujemo postojae zasienih struktura. Uz ovu pretpostavku svojstvo jake linearne binarnosti se moe jednostavno opisati na sledei naqin: teorija zasiene linearno ureene strukture ima to svojstvo ako i samo ako od svaka dva ena automorfizma koji se poklapaju na konveksnom skupu moemo napraviti automorfizam tako xto na uoqenom konveksnom skupu primeujemo jedan automorfizam, a na ostatku drugi. Pokazujemo da teorije linearnog ureea sa pridodatim unarnim predikatima i konveksnim relacijama ekvivalencije imaju to svojstvo, kao i da su to esencijalno jedine linearno ureene strukture qije teorije imaju to svojstvo. Napomenimo da su dve strukture (razliqitih jezika) definiciono ekvivalentne ukoliko imaju isti domen i iste definabilne podskupove. Teorema 4. (Ili, Mocoa, Tanovi) Neka je A = (A <,... ) linearno ureena struktura koja ima svojstvo jake linearne binarnosti. Tada je struktura A definiciono ekvivalentna strukturi A = (A, <, P i, E j ) i I, j J u kojoj su (P i i I) svi unarni predikati i (E j j J) sve konveksne relacije ekvivalencije definabilne u strukturi A. 4
POGLAVE 1 Pregled pojmova i notacija 1. Notacija i osnovni pojmovi Za neprazan skup X sa X <ω oznaqavamo skup n ω Xn+1. Svako preslikavae F : X Y odreuje preslikavae iz P(X) u P(Y ) tako xto skupu A X dode uje skup egovih slika F (A) = {F (a) a A}. Uobiqajeno je da se koristi oznaka F [A], meutim, mi emo koristiti oznaku F (A), jer ne postoji bojazan da e to izazvati zabunu. Takoe, sa F ((a i ) i I ) = (F (a i )) i I je odreeno preslikavae iz X I u Y I. Neka je X neprazan i A = (A i ) i I kolekcija podskupova skupa X <ω. Tada je F (A) = (F (A i )) i I. Strukture obeleavamo slovima M, N, A, B itd., pri qemu qesto koristimo i indekse i stepene. Tako se, na primer, moe pojaviti M 0 kao oznaka strukture. Konaqne nizove (a 1,..., a n ) qesto obeleavamo sa ā i umesto ā A n ili ā A <ω nekad pixemo ā A. Nekad umesto {a 1,..., a n } pixemo ā, kao i Bā umesto B {a 1,..., a n } i ā b umesto (a 1,..., a n, b 1,..., b k ). Ovakve zloupotrebe notacije su standardne u literaturi iz teorije modela. Jezike oznaqavamo simbolima L, L, L 1, L 2, L A, L(M) i sl. Posleda oznaka u nizu je rezervisana za jezik strukture M. Oznakom L A obeleavamo jezik koji se dobija kad skup A apsorbujemo u jezik L. Formule oznaqavamo malim grqkim slovima φ, φ( x), ϕ, ψ, θ itd. Zapis φ( x) znaqi da je skup slobodnih promen ivih podskup skupa x. Skupove formula oznaqavamo velikim grqkim slovima Σ, Π, Σ( x) itd. Izuzetak su teorije koje oznaqavamo sa T, T 1, T 2, T i potpuni tipovi koje oznaqavamo sa p, q, r, p 0, p E itd. Potpuni tip elementa a sa parametrima iz E obeleavamo sa tp(a/e). Sliqno vai za konaqne nizove (a 1,..., a n ), s tim xto ne pixemo tp((a 1,..., a n )/E), nego tp(a 1,..., a n /E). Oznaka ā b(e) znaqi tp(ā/e) = tp( b/e). Za unarne predikate qesto kaemo da su boje: za element a takav da vai P (a) kaemo da je obojen bojom P. 2. Linearna ureea Neka je A relacijom < linearno ureen skup. Tada za (A, <), kao i za samu relaciju <, kaemo da je linearno ureee. U da em tekstu, kada kaemo ureee, mislimo na linearno ureee. Standardna je oznaka: x y ako i samo ako je x = y ili x < y. 5
2. LINEARNA UREE A Skup je konveksan ako je neprazan i ako za svako a i b koje mu pripadaju sadri i sve taqke izmeu taqaka a i b. U literaturi se nalazi dvojaka upotreba termina intervala. Na primer u [14] se termini intervala i konveksnih skupova poklapaju. Meutim, u modernijoj literaturi je termin intervala rezervisan za skupove jednog od sledeih devet oblika (za a i b elemente skupa A takve da je a b): (a, b) za skup {x A a < x < b}; [a, b] za skup {x A a x b}; (a, b] za skup {x A a < x b}; [a, b) za skup {x A a x < b}; [a, ) za skup {x A a x}; (a, ) za skup {x A a < x}; (, b] za skup {x A x b}; (, b) za skup {x A x < b}; (, ) za skup A i mi emo slediti ovaj primer. U takvoj terminologiji, za ureee kaemo da je kompletno ako je svaki konveksan skup interval. Ekvivalentna definicija bi bila da je ureee kompletno ako i samo ako svaki odozgo (odozdo) ograniqen skup ima supremum (infimum). Ureee (A, <) je podureee ureea (B, < B ) ako je A B i ako za svako a 1, a 2 A vai a 1 < a 2 akko a 1 < B a 2. Tada kaemo i da je (B, < B ) nadureee ureea (A, <). Ureee (B, < B ) je kompletirae ureea (A, <), ako mu je nadureee, ako je kompletno i ako svako drugo kompletno nadureee ureea (A, <) ima podureee izomorfno ureeu (B, < B ). Klasiqan primer i inspiracija za uvoee pojma kompletiraa su linearno ureeni skupovi racionalnih i realnih brojeva: (R, <) je kompletirae ureea (Q, <). U standardnoj literaturi, na primer u [14], moe se nai dokaz sledeeg tvr- ea: Tvree 1.1. Svako ureee ima jedinstveno kompletirae. Posmatrajmo sledeu situaciju. Neka je (B, < B ) kompletirae ureea (A, <) i neka su I 1 i I 2 odozgo ograniqeni podskupovi skupa A. Skupovi I i imaju supremum u ureeu (B, < B ), ali ne moraju imati supremum u ureeu (A, <). Meutim, qak i u sluqaju kad I 1 i I 2 u ureeu (A, <) nemaju supremum, da li u (B, < B ) vai sup I 1 < B sup I 2, sup I 1 = sup I 2 ili sup I 1 > B sup I 2 potpuno je odreeno u ureeu (A, <). Naime, vai: sup I 1 = sup I 2 u (B, < B ) akko I 1 i I 2 u (A, <) imaju isti skup majoranti; 6
2. LINEARNA UREE A sup I 1 B sup I 2 u (B, < B ) akko je svaka majoranta u (A, <) skupa I 2 ujedno i majoranta skupa I 1 ; sup I 1 < B sup I 2 akko je sup I 1 B sup I 2 i nije sup I 1 = sup I 2. Naravno, sup I 1 < B sup I 2 je moglo da se okarakterixe i ovako: Postoji a A takvo da je majoranta skupa I 2 i nije majoranta skupa I 1. Za (konveksan) skup K kome je (, k] podskup za svaki k K emo rei da je poqetni komad, dok za skup K = k K [k, ) kaemo da je zavrxni komad. Intervali oblika (, a), (, a] su poqetni intervali. Sliqno, za intervale [a, ) i (a, ) kaemo da su zavrxni intervali. Ureee je diskretno ako svaki element sem najmaeg, ako postoji, ima neposrednog prethodnika i svaki element, sem najveeg, ako postoji, ima neposrednog sledbenika. Ureee je gusto ako izmeu svaka dva elementa postoji jox neki element ureea. Oqigledno, to je ekvivalento uslovu da izmeu svaka dva elementa postoji beskonaqno mnogo drugih elemenata ureea. Ureee je rasuto ako ne sadri gusto beskonaqno podureee. Za ureee (A, <) obrnuto ureee oznaqavamo sa (A, < ): a 1 < a 2 ako i samo ako a 2 < a 1. Za linearno ureene skupove L 1 i L 2, sa L 1 + L 2 oznaqavamo linearno ureen skup u kome je L 2 nalep en na kraj ureea L 1. Za A i B, podskupove ureea, oznaka A < B znaqi: a < b za svaki a A i svaki b B. Sliqno vai za a < B, A < b, a B i A b. Neka je K = {K i i I} particija ureenog skupa A konveksnim skupovima, tj. neka je za svako i I skup K i konveksan podskup skupa A, neka je za i j ispueno K i K j = i i I K i = A. Tada je (K, < K ) linearno ureee pri qemu je < K nasleeno ureee opisano ranije sa K i < K K j akko a < b kad god je a K i i b K j. S obzirom da su K i i K j konveksni, meusobno disjunktni skupovi, uslov da je a < b kad god je a K i i b K j ekvivalentan uslovu da je a < b za bar jedan par (a, b) takav da je a K i i b K j. Ovo jednostavno razmatrae je osnov za kasnije uvoee pojma kondenzacije. Primetimo da smo na ovaj naqin zapravo uredili skup indeksa I: i < I j ako je K i < K K j. Dualno ovom razmatrau, moe se definisati suma ureea na sledei naqin: Neka je (I, < I ) (linearno) ureen skup i neka je (A i, < i ) linearno ureee za svako i I. Tada je suma ureea (A i, < i ) ureee koje se dobija tako xto svaki element skupa I zamenimo ureeem A i. Taqnije suma (I,<I )(A i, < i ) je ureee (A, <) koje se definixe na sledei naqin: 1. A = i I {i} A i 2. (i, a) < (j, b) ako i samo ako je i < I j ili je i = j i a < j b. Leksikografski proizvod (I, < I ) (A, <) je (I,<I )(A i, < i ) gde je (A i, < i ) = (A, <) za svako i. Uobiqajeno je da izostav amo indekse u zapisu relacija i 7
3. STRUKTURE da umesto < I, < i, < B < K pixemo samo <, jer je iz konteksta jasno na xta se oznaka odnosi. Izomorfizam je relacija ekvivalencije na klasi svih linearnih ureea. Za klase te relacije kaemo da su ureajni tipovi. 3. Strukture U ovom poglav u emo uvesti notaciju i dati kratki pregled osnovnih pojmova i tvrea. Struktura je neprazan skup (za koji kaemo da je skup nosaq ili da je domen strukture) snabdeven istaknutim konstantama i (finitarnim) relacijama i funkcijama: (M, c i, R j, f k ) i I,j J,k K pri qemu neki (ili svaki) od skupova I, J i K moe biti prazan. Strukture obeleavamo slovima M, N, A, B itd., pri qemu qesto koristimo i indekse i stepene. Tako se, na primer, moe pojaviti M 0 kao oznaka strukture. Za kardinalni broj strukture uzimamo kardinalni broj skupa nosaqa. Kada istovremeno radimo sa vixe struktura, qesto istaknute konstante, relacije i funkcije obeleavamo sa stepenom M, tj. koristimo zapis M = (M, c M i, Rj M, fk M) i I,j J,k K. Posmatrajmo strukturu M = (M, c M i, Rj M, fk M) i I,j J,k K. Neka su I 0 I, J 0 J i K 0 K takvi da je I 0 J 0 K 0 pravi podskup skupa I J K i neka je M 1 = (M, c M i, Rj M, fk M) i I 0,j J 0,k K 0. Kaemo da je M ekspanzija strukture M 1 i da je M 1 redukt strukture M. Neka je N M. Ako je c M i N za svako i I i ako je za svako k K ispu- eno fk M(N n k ) N, tada za strukturu N = (N, c N i, Rj M N n j, fk N M ) i I,j J,k K kaemo da je podstruktura strukture M, pri qemu je fk N M restrikcija preslikavaa fk M na skup N n k. U tom sluqaju pixemo N M. Za datu strukturu M = (M, c M i, Rj M, fk M) i I,j J,k K, preslikavae F : M N odreuje strukturu F (M) = (F (M), F (c i ), F (R j ), F (f k )) i I,j J,k K, pri qemu je F (f k ) preslikavae odreeno sa: Graf(F (f k )) = F (Graf(f k )). Posmatrajmo strukture M = (M, c M i, Rj M, fk M) i I,j J,k K i N = (N, c N i, Rj N, fk N ) i I,j J,k K. Ako postoji injektivno preslikavae F : M N, takvo da je F (M) podstruktura strukture N, onda za F kaemo da je utapae. Bijektivno utapae je izomorfizam. Izomorfizam strukture u u samu je automorfizam. Sa Aut(M) oznaqavamo skup svih automorfizama strukture M. Za A M, sa Aut A (M) oznaqavamo skup svih automorfizama strukture M koji fiksiraju svaki element skupa A. Uobiqajeno u teoriji modela je poqeti pojmom jezika i signature. Posmatrajmo strukturu M = (M, c M i, R M j, f M k ) i I,j J,k K. Za svaku istaknutu konstantu c M i uvedimo simbol c i tako da su simboli c i1 i c i2 razliqiti za razliqite i 1 i i 2. Sliqno, za svaku relaciju R M j uvedimo simbol R j tako da su simboli R j1 8
3. STRUKTURE i R j2 razliqiti za razliqite j 1 i j 2 i za svaku funkciju fk M uvedimo simbol f k tako da su simboli f k1 i f k2 razliqiti za razliqite k 1 i k 2. Pored toga, uoqavamo preslikavae ar : {R j j J} {f k k K} N koje svakom R j dode uje n j, duinu relacije Rj M i svakom f k broj n k, broj argumenata funkcije fk M. Skup S = {c i, R j, f k i I, j J, k K} sa preslikavaem ar je signatura strukture M, ali qesto kaemo i da je M struktura signature S. Tada za c M i, Rj M i fk M kaemo da su interpretacije simbola c i, R j i f k. Moglo se krenuti i obrnutim smerom: za zadatu signaturu S i neprazan skup M, ako svakom simbolu c i dodelimo jedan element skupa M i oznaqimo ga sa c M i, svakom simbolu R j dodelimo jednu relaciju na M duine ar(r j ) i oznaqimo je sa Rj M i svakom simbolu f k dode ujemo jednu funkciju iz M ar(f k) u M i oznaqimo je sa fk M, onda je M = (M, c M i, Rj M, fk M) i I,j J,k K struktura signature S. Napomenimo da u ovom pridruivau razliqitim simbolima signature ne moramo obavezno dodeliti razliqite konstante, relacije i funkcije. Kada se signaturi doda skup {,,, =,,,, } i prebrojiv skup promen ivih, dobijamo jezik. Jezike obeleavamo sa L, L 1, L, itd. S obzirom da je signatura odreena jezikom, qesto,,zamag ujemo" razliku izmeu jezika i signature i kad zadajemo ili istiqemo jezik, navodimo ime odreenu signaturu, a logiqke simbole,,, =,,,, 1 podrazumevamo i za strukturu te signature qexe kaemo da je struktura jezika. Za kardinalnost signature kaemo da je kardinalnost jezika koji je odreen tom signaturom. Definicija formule, reqenice, slobodne i vezane promen ive, relacije zadovo ea, logiqke (semantiqke) i sintaksne posledice, kao i osnovna tvrea se mogu nai u bilo kom uvodnom ubeniku iz teorije modela, na primer [10, 11, 5]. Ovde emo navesti samo neke. Kardinalni broj skupa svih formula jezika L oznaqavamo sa L. Vai L = L +ℵ 0. Teorija jezika L je skup (nekih) egovih reqenica. Za strukturu M kaemo da je model teorije T i pixemo M = T ako za svaku reqenicu ϕ T vai M = ϕ. Za teoriju kaemo da je zadovo iva ako ima model. Osnovno polazixte u teoriji modela je sledea teorema. Teorema 1.2. Kompaktnost: konaqna podteorija ima model. Teorija ima model ako i samo ako svaka ena Na da e, ako nije drugaqije reqeno, kad kaemo teorija, mislimo na zadovo ivu teoriju. Teorija je deduktivno zatvorena ako sadri svaku svoju logiqku posledicu. Teorija je potpuna ako za svaku reqenicu ϕ vai taqno jedno od 1 U praksi qexe koristimo,, =" i za,,=" i za,, ", a iz konteksta je jasno na xta se misli. Tako na primer, umesto φ(x) = x x qexe kaemo,,φ(x) je formula x = x" 9
3. STRUKTURE T = ϕ ili T = ϕ. Neka je M struktura jezika L. Za skup svih reqenica jezika L koje vae u M kaemo da je potpuna teorija strukture M i obeleavamo je sa Th(M). Ona je potpuna, deduktivno zatvorena teorija. Neka je A M, neka je C A = {c a a A} skup simbola konstanti koje se ne pojav uju u jeziku L. Ako jeziku L dodamo skup C A i dobijeni jezik obeleimo sa L A, onda, uz ograniqee da svaki simbol konstante c a interpretiramo u M kao a, kaemo da smo A apsorbovali u jezik, a tako dobijenu strukturu obeleavamo sa M A. Umesto ϕ( x, c a ) qexe pixemo ϕ( x, ā). Takoe, M A = ϕ( b, ā) qexe pixemo M = ϕ( b, ā). Kad ne dovodi do zabune, umesto c a koristimo a, tj. i simbole konstanti i same elemente obeleavamo istim slovima. Najqexe ne xirimo jezik eksplicitno ve ostajemo u jeziku L a za formule jezika L A kaemo da su A formule ili formule sa parametrima iz A. Ako je ϕ( x) formula (sa ili bez parametara), onda za skup { m M M = ϕ( m)} kaemo da je skup rexea formule ϕ u strukturi M i obeleavamo ga sa ϕ(m). Takoe kaemo i da ϕ definixe ϕ(m) i da je ϕ(m) definisan formulom ϕ. Skup je definabilan sa parametrima iz A (bez parametara) ako je rexee formule sa parametrima iz A (formule bez parametara). Za skup definabilan formulom sa parametrima iz A jox kaemo da je A definabilan. Treba napomenuti dve stvari: -Isti skup moe se definisati razliqitim formulama: ϕ i ψ definixu isti skup ako i samo ako je M = x(ϕ( x) ψ( x)); -Poxto je formula sa slobodnim promen ivim iz skupa {x 1,..., x n } istovremeno i iz svakog nadskupa {x 1,..., x n, y 1,..., y k }, onda takva formula istovremeno definixe i podskup skupa M n i podskup skupa M n+k. Recimo, formula ϕ(x 1,..., x n ) definixe i skup {(m 1,..., m n ) M = ϕ(m 1,..., m n )} i skup {(m 1,..., m n, m n+1,..., m n+k ) M = ϕ(m 1,..., m n )}. Ako iz konteksta nije jasno, eksplicitno emo navesti na koji stepen skupa M mislimo. Familiju skupova definabilnih formulama sa parametrima iz skupa A obeleavamo sa D M (A), a familiju D M (A) P(M n ) sa D M n (A). Skupove definabilne formulama bez parametara qexe obeleavamo sa D M i D M n umesto sa D M ( ) i D M n ( ). Za M definabilni skup kaemo da je definabilan parametrima. Element b je definabilan nad A ako je {b} D M (A). Skup svih elemenata definabilnih nad A obeleavamo sa dcl M (A). Formula je algebarska ako joj je skup rexea neprazan i konaqan. Element je algebarski nad A ako je rexee algebarske L A -formule. Skup svih elemenata algebarskih nad A oznaqavamo sa acl M (A). 10
3. STRUKTURE Ako je M 2 ekspanzija strukture M 1 i ako je D M 1 = D M 2, onda za M2 kaemo da je definiciono raxiree ili definiciona ekspanzija strukture M 1. Ako je M 2 ekspanzija strukture M 1, oqigledno je da je uslov {c M 2 i } D M 1 za svako ci koje nije u jeziku strukture M 1 ; R M 2 j D M 1 za svako Rj koje nije u jeziku strukture M 1 ; Graf funkcije f M 2 k pripada familiji D M 1 za svako fk koje nije u jeziku strukture M 1 potreban i dovo an da M 2 bude definiciona ekspanzija strukture M 1. Ako su M 1 i M 2 dve strukture (razliqitih) signatura sa istim skupom nosaqem i ako imaju iste definabilne skupove, onda kaemo da su M 1 i M 2 definiciono ekvivalentne strukture. O definiciono ekvivalentnim strukturama e biti vixe reqi kasnije. Neka je T potpuna zadovo iva teorija jezika L i neka je Σ(x 1,..., x n ) skup nekih L formula oblika ϕ(x 1,..., x n ). Neka je {c 1,..., c n } skup simbola konstanti koji se ne jav a u jeziku L, neka je L 1 = L {c 1,..., c n } i neka je T 1 = T Σ(c 1,..., c n ). Ako je T 1 zadovo iva teorija, onda za Σ(x 1,..., x n ) kaemo da je n-tip (teorije T). Kao posledicu teoreme kompaktnosti imamo da je prethodna definicija tipa ekvivalentna sledeoj: Za Σ kaemo da je n-tip teorije T, ako je konaqno zadovo iv: za svaki konaqan Γ Σ vai T = x 1... x n ϕ(x 1,..., x n ). Formula φ( x) je zadovo iva u teoriji T, ako je {φ( x)} n-tip teorije T. ϕ Γ Posmatrajmo strukturu M, A M i Σ(x 1,..., x n ), skup nekih A formula oblika ϕ(x 1,..., x n ). Ako je Σ(x 1,..., x n ) n-tip teorije Th(M A ), onda kaemo da je n-tip nad A ili n-tip sa parametrima iz A. Kao i u prethodnom sluqaju imamo ekvivalentnu definiciju: Za Σ( x) kaemo da je n-tip nad A ili n-tip sa parametrima iz A ako je konaqno zadovo iv: za svaki konaqan Γ Σ vai M = x 1... x n ϕ(x 1,..., x n ). Kaemo da je Σ( x) potpun n-tip nad A ako za svaku formulu ϕ( x) sa parametrima iz A vai ϕ( x) Σ( x) ili vai ϕ( x) Σ( x). Iz ove definicije neposredno sledi da za potpuni tip Σ( x) vai Th(M A ) Σ( x). Uobiqajeno je da potpune tipove obeleavamo sa p, q, r, p( x) itd. Nekad emo (nepotpune) tipove kao i (mogue protivreqne) skupove formula obeleavati sa Σ, Γ, Π itd. 11 ϕ Γ
3. STRUKTURE Svakom n-tipu Σ sa parametrima iz A odgovara T(Σ) M A podfamilija familije D M (A) koja ima svojstvo konaqnog preseka: svaka konaqna podfamilija T 0 T(Σ) M A ima neprazan presek. Ako je Σ potpun, onda je T(Σ) M A maksimalan (u smislu inkluzije): za svaki D D M n (A) vai taqno jedno od D T(Σ) M A i M n D T(Σ) M A. Vai i obrnuto: Neka je T M A familija skupova iz D M n (A) koja ima svojstvo konaqnog preseka. oj odgovora tip sa parametrima iz A: Σ T M A = D T M A {ϕ( x) ϕ(m) = D}. = {ϕ(m) ϕ Σ}, Ako je T M A maksimalan, onda je Σ T M A potpun, deduktivno zatvoren tip. Korespodencija izmeu tipova i familija definabilnih skupova je takva da vai: T(Σ T M A ) M A = TM A i Σ T(Σ) M A = {ψ T = (ψ ϕ), ϕ Σ}. Skup realizacija tipa Σ u M je skup T(Σ) M A. Oznaqavamo ga sa Σ(M). Kaemo da m realizuje Σ i pixemo m = Σ ako je m Σ(M). Drugim reqima, m realizuje Σ ako je rexee svake formule koja pripada tipu Σ. Ako postoji m M koji realizuje Σ, onda kaemo da M realizuje Σ, a u suprotnom da ga ispuxta. Σ je izolovan ako je Σ(M) D M (A) { } i tada za bilo koju formulu koja definixe Σ(M) kaemo da izoluje tip Σ. Ako φ( x) izoluje tip Σ( x), onda za svaku formulu ψ( x) Σ( x) vai M = x(φ( x) = ψ( x). Oqigledno, M realizuje sve izolovane tipove. Stonova teorema svakoj Bulovoj algebri pridruuje topoloxki prostor ultrafiltera koji je kompaktan, totalno nepovezan Hauzdorfov prostor. U sluqaju Bulove algebre D M n (A), odgovarajui Stonov prostor odgovara prostoru svih potpunih n-tipova nad A koji oznaqavamo sa S M n (A) i u kome je topologija zadata bazom otvoreno-zatvorenih skupova {[ϕ( x)] ϕ( x) je L A formula}, pri qemu je [ϕ( x)] = {p S M n (A) ϕ p}. Direktna posledica Stonove teoreme je sledea teorema. Teorema 1.3. Kompaktnost prostora tipova: Prostor S M n (A) je kompaktan, totalno nepovezan Hauzdorfov prostor. Qesto emo se u situaciji kada pokrijemo neki zatvoren skup u S M n (A) pozivati na ovu teoremu da bismo izvukli konaqan potpokrivaq. Jedini otvoreno-zatvoreni skupovi u S M n (A) su oblika [ϕ] za L A -formule ϕ. Tipovi Σ( x) odreuju zatvorene skupove u S M n (A) na sledei naqin: skup svih potpunih tipova koji sadre (produuju) Σ je ϕ Σ [ϕ]. 12
3. STRUKTURE Iz definicije izolovanog tipa koju smo naveli sledi da je potpun tip p izolovan ako i samo ako je [ϕ] = {p} za neko ϕ p i tada ϕ (kao i svaka oj ekvivalentna (modulo Th(M A )) formula) izoluje p. Ponovimo, skup realizacija izolovanog tipa se poklapa sa skupom rexea formule koja izoluje tip. Tip je algebarski ako je neka konaqna konjunkcija formula tipa algebarska. Potpuni tip koji ne sadri algebarsku formulu je nealgebarski. Za m M sa tp M ( m/a) obeleavamo potpun n-tip {ϕ( x) ϕ( x) je L A formula i M = ϕ( m)}. U svakom topoloxkom prostoru se moe definisati Kantor-Bendiksonov rang elementa. Specijalno za topoloxki prostor S n (A) vai sledee: (1) CB n A(p) 0 vai za svako p S n (A); (2) CB n A(p) α + 1 akko je p taqka nagomilavaa skupa {q CB n A(q) α}; (3) Za graniqni ordinal α: CB n A(p) α akko CB n A(p) β za svako β < α. Ako postoji ordinal α takav da je CB n A(p) α i CB n A(p) α + 1 onda za α kaemo da je Kantor-Bendiksonov rang tipa p i pixemo CB n A(p) = α; Ako takav ordinal ne postoji, onda kaemo da p nema ordinalni CB n A rang (u literaturi se u sluqaju da ne postoji ordinalni rang moe nai zapis CB n A(p) = ). Ako je S n (A) prebrojiv, tada svaki egov element ima ordinalni CB n A rang. U kompaktnim Hausdorfovim prostorima definicija CB n A ranga se prirodno produ- ava na zatvorene skupove: CB n A(F ) = max{cb n A(p) p F } (po kompaktnosti maksimum postoji). S obzirom da je S n (A) kompaktan Hauzdorfov prostor a zatvoreni skupovi predstav aju nepotpune tipove, za posledicu imamo definiciju CB n A ranga za sve nepotpune tipove, a time i za zadovo ive formule, 2 kao specijalan sluqaj (najqexe nepotpunih) tipova. CB n A stepen (zadovo ive) formule φ( x) sa parametrima iz A je broj tipova iz S n (A) koji sadre φ i imaju isti rang kao sama formula; obeleavamo ga sa deg n A(φ). Kad god je CB n A(φ) ordinal, deg n A(φ) je prirodan broj. Ako je CB n A(p) = α onda postoji φ( x), formula sa parametrima iz A takva da je CB n A(φ) = α i {q φ( x) q, CB n A(q) α} = {p}. Za takvu formulu kaemo da izoluje tip relativno u egovom CB rangu. CB rang formule smo definisali kao rang zatvorenog skupa u S n (A): CB n A(φ) = max{cb n A(p) p φ}. Alternativna definicija CB n A ranga formula, odnosno definabilnih skupova je sledea: (1) CB n A(D) 0 akko je D neprazan A definabilan skup; 2 Bihler u [1] za formule koje nisu zadovo ive uvodi da su ranga 1 13
3. STRUKTURE (2) CB n A(D) α+1 akko postoji beskonaqno mnogo meusobno disjunktnih A definabilnih skupova D i D takvih da je CB n A(D i ) α; (3) Za graniqni ordinal α: CB n A(D) α akko CB n A(D) β za svako β < α. CB n A(D) = α ako je CB n A(D) α i nije CB n A(D) α + 1. Dakle, ako je A definabilni skup D ranga α, onda moe biti najvixe konaqna disjunktna unija A definabilnih skupova ranga α. Ako se D ne moe rasparqati na dva A definabilna skupa istog ranga, onda kaemo da je Kantor-Bendiksonov stepen skupa D jedan i pixemo deg n A(D) = 1. Ako se D moe napisati kao disjunktna unija familije A definabilnih skupova {D 1,..., D k } istog ranga kao D, onda je deg n A(D) k. deg n A(D) = k ako je deg n A(D) k i nije deg n A(D) k + 1. Primetimo da ako je CB n A(D) = α i deg n A(D) = k i to svedoqi familija {D 1,..., D k }, onda je CB n A(D i ) = α i deg n A(D i ) = 1. Ako je CB n A(D) = α za A definabilni skup D, onda: (1) deg n A(D) k akko postoje A definabilni skupovi D 1,... D k, takvi da (a) D D 1 D k ; (b) CB n A(D i D j ) < α, za i j; (c) CB n A(D i ) = α. (2) deg n A(D) = k akko postoje A definabilni skupovi D 1,... D k, takvi da (a) D = D 1 D k ; (b) CB n A(D i D j ) < α, za i j; (c) CB n A(D i ) = α; (d) deg n A(D i ) = 1. Ako postoje A definabilni skupovi D 1,... D k i E 1,..., E m, takvi da vai (1) D 1 D k = E 1 E m ; (2) CB n A(D i D j ) < α, za i j; (3) CB n A(E i E j ) < α, za i j; (4) CB n A(D i ) = α = CB n A(E j ); (5) deg n A(D i ) = 1 = deg n A(E j ), onda je k = m i postoji σ, permutacija skupa {1,..., k} takva da je CB n A(D i E σ(i) ) < α. Primetimo da CB M (D) = 0 vai taqno za konaqne neprazne skupove i tada je deg M (D) = k ako i samo ako je D = k. Za M definabilan skup D za koji je CB M (D) = 1 i deg M (D) = 1 kaemo da je minimalan. Dakle, D M je minimalan ako je beskonaqan definabilan skup i ne moe se podeliti na dva beskonaqna definabilna skupa. Ako su D 1 i D 2 dva minimalna skupa, onda za ih postoje taqno dve mogunosti: 14
4. ZASIENE STRUKTURE, UNIVERZUM TEORIJE 1) D 1 D 2 je konaqan skup; 2) D 1 D 2 je konaqan skup. CB M (D) = 1 i deg M (D) = k ako i samo ako postoje minimalni skupovi {D 1,..., D k } takvi da je D i D j konaqan skup kad god je i j i D = {D 1,..., D k }. Neka je M podstruktura strukture N. Kaemo da je M elementarna podstruktura strukture N i pixemo M N ako za svaku L formulu ϕ( x) i svako m M vai: N = ϕ( m) akko M = ϕ( m). Tvree 1.4. Votov test: Ako je M podstruktura strukture N, onda je M N akko za svaku formulu ϕ( t, x) jezika L i svako m M vai: Ako je N = xϕ( m, x), onda postoji a M takvo da je N = ϕ( m, a). Neka su M i N strukture jezika L, neka je A M i F : A N takvo da za svaku formulu ϕ( x) jezika L i svako ā A koje je iste duine kao x vai M = ϕ(ā) ako i samo ako N = ϕ(f (ā)), onda za F kaemo da je elementarno preslikavae. Navodimo nekoliko qienica vezanih za elementarna preslikavaa: Neka je M N. Tada je M N akko je identiteta elementarno preslikavae. Neka je A M i F : A N. Tada je F elementarno preslikavae akko je tp(ā) = tp(f (ā)) za svaki konaqan niz elemenata ā iz A. Izomorfizam je elementarno preslikavae. Neka je A M i neka je F : A N elementarno preslikavae. Tada postoje N 1 i G : M N 1 takvi da je N N 1 i da je G elementarno utapae koje produava F. Neka je A M i neka je F : A M elementarno preslikavae. Tada postoje M 1 i G Aut(M 1 ) takvi da je M M 1 i da G produava F. Specijalno, ako je tp(ā) = tp( b) za neka dva konaqna niza elemenata iz M, onda postoji M 2 elementarno raxiree strukture M i automorfizam strukture M 2 takav da ā slika u b. 4. Zasiene strukture, univerzum teorije Tvree 1.5. Neka je ℵ 0 κ M. Sledei iskazi su ekvivalentni. (1) Svaki 1-tip nad A je realizovan u M kad god je A M takvo da je A < κ; (2) Za svaki prirodan broj n, svaki n-tip nad A je realizovan u M kad god je A M takvo da je A < κ. Definicija 1.6. Neka je κ beskonaqan kardinal. 15
4. ZASIENE STRUKTURE, UNIVERZUM TEORIJE (1) Struktura M je κ zasiena ako realizuje svaki tip nad A, kad god je A M takvo da je A < κ. Ona je zasiena ako je M zasiena. (2) Struktura M je κ homogena ako se svako elementarno preslikavae F : A M, za svako m M moe produiti do elementarnog F 1 : A {m} M, kad god je A M takvo da je A < κ. Ona je homogena ako je M homogena. (3) Struktura M je jako κ homogena ako se svako elementarno preslikavae f : A M moe produiti do automorfizma kad god je A M takvo da je A < κ. (4) Struktura M je κ univerzalna ako se svaki N = Th(M) kardinalnosti mae od κ elementarno utapa u M. Ona je univerzalna ako je M + univerzalna. Napomena 1.7. Struktura M je κ zasiena ako za svako A M takvo da je A < κ i svako T M A, familiju skupova iz D M n (A) koja ima svojstvo konaqnog preseka vai da ima neprazan presek. Tvree 1.8. Neka je T potpuna teorija jezika L i κ = 2 <κ L. Postoji zasien model teorije T kardinalnosti κ. Tvree 1.9. Ako je struktura M homogena, onda je jako M homogena. Tvree 1.10. Struktura M je κ zasiena akko je κ homogena i κ + univerzalna. Tvree 1.11. Neka je M zasiena struktura, D M n skup definabilan parametrima iz M i A M takav da je A < M. Skup D je definabilan formulom sa parametrima iz A ako i samo ako svaki automorfizam strukture M koji fiksira sve elemente skupa A fiksira skup D. Neka je M zasiena struktura moi κ i T ena potpuna teorija. Zbog univerzalnosti se svaki model teorije T kardinalnosti ne vee od κ elementarno utapa u M. Drugim reqima, ako je N = T i N κ, onda postoji egova kopija N M. Zato je svako svojstvo prvog reda koje je invarijantno pod izomorfizmima i koje imaju modeli teorije T kardinalnosti ne vee od κ saquvano u nekoj elementarnoj podstrukturi strukture M. Pri tom je svaka elementarna podstruktura strukture M odreena svojim skupom nosaqem. Druga vana osobina zasienih struktura je homogenost. Ako je N M i A M, onda se svako elementarno preslikavae iz A u N produava do automorfizma strukture M. Specijalno ako su N i M, i F elementarno utapae iz N 1 u N 2, onda se F produava do utapaa iz N 2 u M. Posmatrajmo sledeu situaciju: recimo da elimo da pokaemo da svaki model potpune teorije T ima neko svojstvo. Pretpostavimo da T ima zasiene 16
4. ZASIENE STRUKTURE, UNIVERZUM TEORIJE modele prozvo no velike kardinalnosti (u opxtem sluqaju, za to su potrebne dodatne skupovno teorijske pretpostavke; u svetlu tvrea 1.8, dovo no je pretpostaviti da za svaki kardinal λ postoji κ = 2 <κ λ). Ako fiksiramo M zasien model teorije T kardinalnosti κ i dokaemo tvree za sve elementarne podstrukture strukture M qija kardinalnost je maa od M, onda smo dokazali tvree za sve modele teorije T koji su kardinalnosti mae od κ. Ako nax dokaz ne zavisi od κ, onda je to zapravo dokaz tvrea za sve modele teorije T. Ta nezavisnost od κ se postie na sledei naqin: Ako se nax dokaz relativizacije tvrea,,za sve modele teorije T" na,,za sve elementarne podstrukture strukture M" prostom zamenom M sa N prevodi na dokaz relativizacije poqetnog tvrea na dokaz relativizacije istog tvrea na drugu zasienu strukturu N, onda ne zavisi od κ, tj. to je dokaz origalnog tvrea. Iz tog razloga se qesto zasien model teorije T,,velike" kardinalnosti moe smatrati univerzalnim (u zavisnosti od toga xta je predmet naxeg istraivaa) za modele teorije T koje vidimo kao elementarne podmodele izabranog zasienog modela. Definicija 1.12. Neka je T potpuna teorija i U en zasien model proizvo no velike kardinalnosti. Za U kaemo da je univerzalni domen teorije T ili da je univerzum teorije T. U literaturi se moe nai i naziv,,monstrum model" za univerzum. Kada se radi u univerzumu, onda za skupove A U n takve da je A < U kaemo da su mali, za strukture qiji je skup nosaq mali kaemo da su male i kad kaemo,,m je model teorije T" mislimo na,,m U", gde je M mala struktura. Qesto izostav amo pridev mali i samo kaemo skup ili model. Qienica da radimo sa elementarnim podstrukturama univerzuma dovodi do sledee situacije: kada kaemo da je a element, mislimo na element strukture U, ako je M model teorije T = Th(U), koji sadri element a i ϕ formula, tada vai M = ϕ(a) ako i samo ako U = ϕ(a). Zato pixemo = ϕ(a) umesto U = ϕ(a) ili M = ϕ(a). Poxto je termin,,model teorije T" rezervisan za elementarne podstrukture strukture U, onda, ako apsorbujemo elemente strukture M u jezik imamo jedinstveno odreenu interpretaciju simbola novih konstanti. Kad kaemo tip, mislimo na tip sa parametrima iz nekog malog skupa. Za skup realizacija p(u) kaemo da je lokus tipa p. Za tip iz S U (U) je rezervisan termin globalni tip. Za ā, niz elemenata iz U i mali skup A, vai sledee: Kad god je A ā M, onda je tp M (ā/a) = tp U (ā/a). Zato koristimo oznaku tp(ā/a) mislei na tp U (ā/a) i na tp M (ā/a) kad god je A ā M. Takoe, umesto dcl U (A) pixemo dcl(a). 17
5. DEFINICIONA EKVIVALENTNOST Definicija 1.13. Neka je T potpuna teorija i Π( x) neki skup formula enog jezika. a) Kaemo da Π( x) forsira formulu σ( x), u oznaci Π( x) T σ( x), ako je svaka realizacija skupa Π( x) u svakom modelu teorije T ujedno i rexee formule σ( x). b) Kaemo da Π( x) forsira skup formula Σ( x), u oznaci Π( x) T Σ( x) ako za svaku formulu σ( x) Σ( x) vai Π( x) T σ( x). Zbog kompaktnosti, lako je videti da Π( x) T ϕ( x) vai ako i samo ako za neki konaqan podskup Π 0 ( x) Π( x) vai T = ( x) ( Π 0 ( x) = ϕ( x)). Jox jedan ekvivalentan uslov je da Π(U) ϕ(u) vai u bar jednom (ekvivalentno svakom) zasienom modelu U teorije T. Sliqno je i Π( x) T Σ( x) ekvivalentno sa Π(U) Σ(U). Ukoliko je p( x) potpuni tip, on sadri potpunu teoriju T, pa je tada p( x) T ϕ( x) isto xto i p( x) ϕ( x). Primetimo da formula ϕ p izoluje tip p ako i samo ako ϕ forsira p. Oqigledno je da je T tranzitivna relacija. Ukoliko je T jasna iz konteksta izostav amo indeks. 5. Definiciona ekvivalentnost Pojam definicione ekvivalentnosti se moe uvesti na dva naqina: semantiqki i sintaksni. Semantika: Ako dve strukture sa istim skupom nosaqem imaju iste definabilne skupove, onda za ih kaemo da su definiciono ekvivalentne. Kaemo da je M definiciona ekspanzija strukture M ako je ekspanzija (novim relacijama, funkcijama i konstantama) i ako su strukture M i M definiciono ekvivalente. To praktiqno znaqi da se definicione ekspanzije strukture M dobijaju tako xto se enom jeziku dodaju imena nekih definabilnih elemenata, funkcija i relacija (i onda se novi simboli interpretiraju kao definabilni skupovi qija su imena). Standardan primer je struktura po a realnih brojeva M = (R, +,, 0, 1) u kojoj se moe definisati linearno ureee,, x je mae od y" formulom t 0(y = x + t t). Dodavaem imena < za novu relaciju, proxirili smo jezik i dobili ureeno po e realnih brojeva M = (R, +,, 0, 1, <), ali nismo dodali nove definabilne skupove. Sa druge strane, ako,,zaboravimo" konstante u strukturi M i na taj naqin dobijemo strukturu M = (R, +,, <) i da e imamo iste definabilne skupove jer M = x = 0 ϕ(x), gde je ϕ(x) formula y(x + y = y) i M = x = 1 ψ(x), gde je ψ(x) formula y(x y = y). 18
5. DEFINICIONA EKVIVALENTNOST Iz tog razloga formule θ( x, 0, 1) u M definixu iste skupove koje formule ( y, z)(θ( x, y, z) ϕ(y) ψ(z)) definixu 3 u M. Dakle, struktura M je definiciono ekvivalentna strukturi M, a time i strukturi M. Nije texko zak uqiti da vai sledee tvree, kao xto je to ilustrovano za strukture M i M prethodnim primerom. Tvree 1.14. (1) Dve strukture sa istim skupom nosaqem su definiciono ekvivalentne ako i samo ako je interpretacija simbola jezika jedne strukture definabilan skup u drugoj strukturi. (2) Dve strukture sa istim skupom nosaqem su definiciono ekvivalentne ako i samo ako imaju zajedniqku definicionu ekspanziju. Dokaz. (1) S obzirom na to kako se definabilni skupovi u strukturi M grade od skupova {c M }, R M i grafova funkcija f M, to e svaki definabilni skup u M biti i definabilan u N (gde je M = N) ako su definabilni pomenuti skupovi {c M }, R M i grafovi funkcija f M. (2) Ako M 1 i M 2 imaju zajedniqku definicionu ekspanziju M, jasno je da su definicione ekvivalentne. Za drugi smer, ako su M n = (M, c Mn i n ekvivalentne strukture, onda je, R Mn j n, f Mn k n ) in In,j n J n,k n K n definiciono M = (M, c M 1 i 1, c M 2 i 2, R M 1 j 1, R M 2 j 2, f M 1 k 1, f M 2 k 2 ) i1 I 1,i 2 I 2 I 1,j 1 J 1,j 2 J 2 J 1,k 1 K 1,k 2 K 2 K 1 zajedniqka definiciona ekspanzija. Sintaksa: Neka je L 1 L 2 i T i potpuna teorija jezika L i. Kaemo da je T 2 definiciona ekspanzija teorije T 1 ako: (1) T 1 T 2 ; (2) za svaku L 2 -formulu ϕ( x) postoji L 1 -formula ψ( x) takva da vai T 2 = x(ϕ( x) ψ( x)). Za potpune teorije T 1 i T 2 kaemo da su definiciono ekvivalentne ako imaju zajedniqku definicionu ekspanziju u nekom jeziku L L(T 1 ) L(T 2 ). Napomena 1.15. Ako je T definiciona ekspanzija teorije T, jasno je da se onda svaki model M teorije T moe proxiriti do modela M teorije T i tada je M definiciona ekspanzija strukture M. Ako su teorije T 1 i T 2 definiciono ekvivalentne, onda, po definiciji imaju zajedniqku definicionu ekspanziju. Oznaqimo je sa T. Ako je M = T ekspanzija modela M 1 = T 1 i M 2 redukt strukture M na jezik teorije T 2, onda su M 1 i M 2 definiciono ekvivalentne strukture. 3 Ovde smo malo zloupotrebili notaciju: zapisom θ( x, 0, 1) smo istakli sva eventualna pojav ivaa konstanti 0 i 1. 19
5. DEFINICIONA EKVIVALENTNOST Tvree 1.16. Ako je struktura M definiciona ekspanzija strukture N, onda je teorija Th(M) definiciona ekspanzija teorije Th(N ). Dokaz. Neka je φ( x) formula bez parametara jezika L(M) saglasna sa Th(M). Tada je skup φ(m) definabilan u strukturi N (jer je M definiciona ekspanzija strukture N ). Neka je ψ( x) formula bez parametara jezika L(N ) takva da je φ(m) = ψ(n ). Tada φ(m) = ψ(m), pa vai Th(M) = x(φ( x) ψ( x)). Dakle, Th(M) je definiciona ekspanzija teorije Th(N ). Ako je M definiciona ekspanzija strukture M, onda svaki n-tip strukture M (zapravo svaki skup formula jezika L(M )) ima jedinstveno suee na tip strukture M: Suee tipa je prosto skup L(M)-formula koje mu pripadaju. Kada su u pitau potpuni tipovi, onda je ta korespodencija uzajamno jednoznaqna, pa elemente prostora S M (A) i S M (A) moemo u izvesnom smislu poistovetiti. Xtavixe, u pitau je izomorfizam topoloxkih prostora S M (A) i S M (A). Ovu qienicu ne istiqemo u iskazu tvrea jer je ne koristimo u ostatku rada. Tvree 1.17. Neka su M i N definiciono ekvivalentne strukture, onda: (1) Svaki automorfizam strukture M je ujedno i automorfizam strukture N ; (2) Ako je M zasiena struktura onda su i N i ihova zajedniqka definiciona ekspanzija zasiene strukture. Dokaz. (1) Neka je F automorfizam strukture M. Da bismo pokazali da je F automorfizam strukture N, dovo no je pokazati da za svaku formulu ψ( x) jezika L(N ) i svako ā N = M vai N = ψ(ā) akko N = ψ(f (ā)). S obzirom da su M i N definiciono ekvivalentne, za svaku formulu ψ( x) jezika L(N ), postoji formula ϕ( x) jezika L(M) takva da je ψ(n ) = ϕ(m). Zato vai niz ekvivalencija N = ψ(ā) akko ā ψ(n ) akko ā ϕ(m) akko M = ϕ(ā). S obzirom da je F automorfizam strukture M vaie M = ϕ(ā) akko M = ϕ(f (ā)). Ponovo zbog definicione ekvivalentnosti i qienice da je ψ(n ) = ϕ(m) vaie M = ϕ(f (ā)) akko F (ā) ϕ(m) akko F (ā) ψ(n ) akko N = ψ(ā). 20
5. DEFINICIONA EKVIVALENTNOST Spajajui istaknute ekvivalencije zak uqujemo da vai xto je trebalo pokazati. N = ψ(ā) akko N = ψ(f (ā)), (2) Dokaz ovog dela sledi direktno iz napomene 1.7. Sledea lema daje kriterijum za utvrivae definicione ekvivalentnosti. Lema 1.18. Neka su T T redom potpune teorije jezika L i L, pri qemu je L L. Teorija T je definiciona ekpanzija teorije T ako i samo ako sledei uslov vai za svako n i svaku L formulu φ(x 1,..., x n ): za svaki tip p S n (T ) koji sadri φ postoji L -formula ψ p (x 1,..., x n ) p takva da T = ψ p (x 1,..., x n ) = φ(x 1,..., x n ). Dokaz. Dokazaemo netrivijalan smer. Pretpostavimo da je uslov iz iskaza leme ispuen. Skup [φ( x)] je otvoreno-zatvoreni podskup prostora S n (T ) koji se sastoji od svih tipova koji sadre formulu φ( x). Kako se za svako p [φ( x)] moe nai L -formula ψ p ( x) takva da je zadovo en uslov iz iskaza leme, tada p [ψ p ( x)] [φ( x)]. Iz qienice da je za svako p [φ( x)] ispueno {p} [ψ p ( x)] sledi da je [φ( x)] = p [φ( x)] {p} p [φ( x)] [ψ p ( x)]. Dakle, {[ψ p ( x)] p [φ( x)]} je pokrivaq skupa [φ( x)] koji je zatvoreni podskup prostora S n (T ). S obzirom da je S n (T ) kompaktan Hauzdorfov prostor, iz uoqenog pokrivaqa moe se izvui konaqan potpokrivaq skupa [φ( x)]. Neka je to {[ψ pi ( x)] i m}. Dakle vai [φ( x)] i m[ψ pi ( x)]. Sa druge strane, iz [ψ pi ( x)] [φ( x)] sledi da vai pa mora biti [ψ pi ( x)] [φ( x)], i m [φ( x)] = i m[ψ pi ( x)]. To upravo znaqi da je T = φ( x) i m ψ p i ( x), tj. postoji L -formula koja je T-ekvivalentna formuli φ( x). 21
6. LINEARNO UREEN UNIVERZUM 6. Linearno ureen univerzum Neka je U = (U, <,... ) univerzum teorije T = Th(U) velike kardinalnosti i neka relacija < linearno ureuje univerzum. Da zasiena neprebrojiva linearno ureena struktura nije kompletna vidi se iz sledeeg rezonovaa. Neka je A = {a n n N} ograniqen i strogo rastui niz elemenata. Ako bi (U, <) bilo kompletno ureee, onda bi skup A imao supremum u U. Tada je skup formula Σ(x) = {a n < x < a n N}, gde je a = sup A, konaqno zadovo iv (za svaki konaqan podskup Σ 0 (x) skupa Σ(x), nae se k - najvei indeks elemenata (a n ) n N koji uqestvuju u formuli iz skupa Σ 0 i onda a k+1 zadovo ava svaku formulu iz Σ 0 ), ali nije zadovo iv, jer bi svaka egova realizacija bila majoranta, a element a je najmaa majoranta skupa A, budui da je egov supremum. To je u kontradikciji sa qienicom da je U zasien. Dakle, (U, <) ne moe biti kompletno ureee. Zato neki odozgo ograniqeni skupovi nemaju supremum u U, ali se, kao xto je navedeno u poglav u 1.2 (,,Linearna ureea"), sup B sup A moe korektno definisati, jer u kompletirau ureea (U, <) vai sup B sup A ako i samo ako su sve majorante skupa A (u ureeu (U, <)) ujedno i majorante skupa B, pa emo mi tu oznaku koristiti i za rad u univerzumu. Ako je (U, <) ureee bez krajeva i ako kompletirau ureea (U, <) dodamo najmai i najvei element i u emu posmatramo supremum, onda je sup B sup A dobro definisano za svaki (ne obavezno odozgo ograniqen) skup. Primetimo da ukoliko su skupovi D 1 i D 2 podskupovi univerzuma definabilni formulom sa parametrima iz skupa A, onda je svojstvo sup D 1 sup D 2 opisivo formulom prvog reda sa parametrima iz skupa A. Naime, definabilno je svojstvo,, d je majoranta skupa D i " (za koje mi koristimo oznaku,,d i d"), pa je definabilno i svojstvo,,za svako d vai: ako je d majoranta skupa D 2, onda je d majoranta skupa D 1 ". Sliqno rezonovae koristimo za infimum. Za formulu ϕ(x), neka je cvx ϕ(x) = ( y, z)(y x z ϕ(y) ϕ(z)). Ako je ϕ(u) = D, onda je cvx ϕ(u) = cvx D = [d 1, d 2 ]. d 1,d 2 D, d 1 d 2 Formula cvx ϕ(x) definixe konveksno zatvoree skupa koji definixe formula ϕ(x). Za linearno ureenu strukturu M = (M, <,... ) kaemo da je diskretna, gusta ili rasuta ako je (M, <) diskretno, gusto ili rasuto ureee. 22
POGLAVE 2 Definabilne kondenzacije Ideja tehnika kondenzacija je sledea: Linearno ureee se rasparqa pogodnim naqinom na konveksne delove, tako da je ureajni tip originalnog uree- a odreen (u vrlo slabom smislu) ureajnim tipom delova i ureajnim tipom koliqniqkog ureea. Ako na linearno ureee gledamo kao na algebru sa jednom binarnom operacijom min, onda kondenzacije odgovaraju relacijama kongruencije, pa se ureee moe prouqavati tako xto prouqavamo koliqniqku algebru i klase kongruencije. Ako nas interesuju klase elementarno ekvivalentnih linearnih ureea, na primer klasa svih modela potpune teorije linearnih ureea, onda kongruencija mora biti definabilna. Uslov da kondenzacija bude definabilna je bitan jer elementarno ekvivalentne strukture imaju elementarno ekvivalentne koliqniqke strukture. Idealno okruee za izuqavae struktura prvog reda i ihove koliqniqke strukture je Xelahov (Shelah) vixesortni eq univerzum u kome se nalaze sve koliqniqke strukture kao zasebne sorte. Glavni ci ovog poglav a je da motivixemo upotrebu modelsko teorijskih metoda u izuqavau svojstava prvog reda linearnih ureea, naroqito elementarnu ekvivalentnost. U delu 1 uvodimo notaciju i navodimo poznate qienice. Zatim ukratko uvodimo pojam iteriraa kondenzacija iz ugla teorije modela. Potom uvodimo novu definabilnu kondenzaciju c δ i pokazujemo kako se od linearnog ureea A dobija c # δ (A), linearno ureee sa unarnim predikatima takvo da se iz c # δ (A) moe,,proqitati" teorija ureea A. To postiemo zahva ujui qienici da c # δ (A) dobijamo tako xto svaki maksimalni1 konveksni komad ureea A elementarno ekvivalentan ureeu (Q, <) zamenimo taqkom obojenom bojom G, svaki maksimalni konveksni komad ureea A elementarno ekvivalentan ureeu (ω, <) zamenimo taqkom obojenom bojom W i sliqno za maksimalne konveksne komade elementarno ekvivalentnim ureeima (ω, <), (Z, <) i za maksimalan konveksan komad koji ima konaqno mnogo elemenata. Kao primenu metoda ove analize dokazaemo da je potpuna teorija linearnih ureea sa najvixe prebrojivo mnogo meusobno disjunktnih unarnih predikata, kao i potpuna teorija linearnih ureea sa konaqno mnogo unarnih 1 u smislu da nije pravi podskup nijednog drugog konveksnog komada koji mu je elementarno ekvivalentan 23
1. OZNAKE I UVODNI POJMOVI predikata i konaqno mnogo konveksnih relacija ekvivalencije interpretabilna u kompletnoj teoriji (qistog) ureea, odnosno da je klasa linearnih ureea jednake sloenosti kao klasa linearnih ureea kojoj je pridodato najvixe prebrojivo mnogo unarnih predikata ili klasa linearnih ureea kojima je pridodato konaqno mnogo konveksnih ekvivalencija i unarnih predikata. 1. Oznake i uvodni pojmovi Do kraja ovog poglav a, kad kaemo ureee mislimo na linearno ureee. Podsetimo se da je zatvoreni interval u ureeu A = (A, <) skup [a, b] = {x a x b}, gde su a i, b A krajevi ili kraje taqke intervala a sve ostale taqke intervala su unutraxe. Sliqno vai za otvoreni interval. Kaemo da je b A neposredni sledbenik taqke a A ako je a < b i ako interval [a, b] nema unutraxe taqke. Tada kaemo i da je a neposredni prethodnik taqke b. Neposredni sledbenik i neposredni prethodnik taqke a su ene susedne taqke. Teorija gustih ureea nije potpuna. Jedna mogunost za kompletirae je da posmatramo gusta ureea bez krajeva. Radi kraeg zapisa i lakxeg praea usvajamo sledeu konvenciju (a time i nestandarnu definiciju). Do kraja ovog poglav a, pod gustim ureeem podrazumevamo ure- ee bez krajeva u kome nijedan element nema susedne elemente. Izomorfizam linearnih ureea je relacija ekvivalencije: za ene klase kaemo da su ureajni tip ili da su tip ureea. Neki od ureajnih tipova su oznaqeni karakteristiqnim elementima. Na primer: α i α su ureajni tipovi ureea (α, <) i (α, >) tim redom, za svaki ordinal α; ζ je ureajni tip ureea (Z, <); η je ureajni tip ureea (Q, <). Podsetimo se osnovnih operacija sa ureeima: sume i proizvoda ureea. Neka je (I, < I ) (linearno) ureen skup i neka je (A i, < i ) linearno ureee za svako i I. Tada je suma ureea (A i, < i ) ureee koje se dobija tako xto svaki element skupa I zamenimo ureeem A i. Taqnije suma (I,<I )(A i, < i ) je ureee (A, <) koje se definixe na sledei naqin: 1. A = i I {i} A i 2. (i, a) < (j, b) ako i samo ako je i < I j ili je i = j i a < i b. Leksikografski proizvod (I, < I ) (A, <) je (I,<I )(A i, < i ) gde je (A i, < i ) = (A, <) za svako i. Uobiqajeno je da izostav amo indekse u zapisu relacija i da umesto < I, < i pixemo samo <, jer je iz konteksta jasno na xta se oznaka odnosi. 24
1. OZNAKE I UVODNI POJMOVI A je linearno ureena struktura sa unarnim predikatima ako su ureeu dodate samo unarne relacije. Linearno ureee (A, <) je diskretno ako svaki element koji nije minimum ima neposrednog sledbenika i ako svaki element koji nije maksimum ima neposrednog prethodnika. Primeri diskretnih ureajnih tipova su ω, ω i ζ, dok ω + 1 nije diskretno zato xto maksimum nema neposrednog prethodnika. Sliqno, 1 + ω nije diskretno. Qienica da je linearno ureee diskretno se lako izraava reqenicom prvog reda pa je klasa diskretnih linearnih ure- ea konaqno aksiomatizabilna. Teoriju diskretnih linearnih ureea obeleavamo sa dlo. To nije potpuna teorija, ali se kompletiraa mogu lako opisati. Poxto je svako konaqno ureee diskretno, za svako n je teorija linearnog ureea sa taqno n elemenata jedno kompletirae teorije dlo. Xto se tiqe beskonaqnih diskretnih linearnih ureea, razgraniqee je postojae ili nepostojae maksimalnog i/ili minimalnog elementa. Zato postoje taqno qetiri kompletiraa teorije beskonaqnih diskretnih linearnih ureea. Deta i se mogu nai u [10]. Na primer, teorija Th(ω, <, S, 0), gde je S funkcija sledbenika, je oznaqena sa dlo +. Pokazaje se da dlo + ima eliminaciju kvantifikatora i da su eni modeli taqno neograniqena diskretna linearna ureea koja imaju minimum i funkciju sledbenika. Ureajni tip modela teorije dlo + je ω + ζ L za jedinstven ureajni tip L (ili L = ). Postoje sledee klase ureajnih tipova diskretnih ureea: (W) ω + ζ L (W ) ζ L + ω (Z) ζ L (C ) ω + ζ L + ω (C n ) n. Neka je dlo (i,j) za i, j {0, 1} teorija dlo sa dve dodate aksiome; jedna koja kae da postoji minimalni element ako i samo ako je i = 1 i druga koja kae da postoji maksimalni element ako i samo ako je j = 1. Primetimo da svaka od teorija dlo (i,j) ima konaqan skup aksioma. Napomena 2.1. (1) dlo (1,0) je potpuna i aksiomatizuje tip ureea (W ). (2) dlo (0,1) je potpuna i aksiomatizuje tip ureea (W ). (3) dlo (0,0) je potpuna i aksiomatizuje tip ureea (Z). (4) dlo (1,1) je nepotpuna i aksiomatizuje linearna ureea qiji je tip ureea u nekom (C ξ ) za ξ N { }. 25
1. OZNAKE I UVODNI POJMOVI Neka je A = (A, <) linearno ureee. Kaemo da je relacija ekvivalencije na A konveksna ako su ene klase konveksni podskupovi skupa A. Za svaku konveksnu relaciju e na A neka je e(a) = {[a] e a A} en koliqniqki skup na kome definixemo: [a] e e [b] e ako i samo ako je a b za neko a [a] e i b [b] e. Tada je e(a) = (e(a), < e ) linearno ureee za koje kaemo da je kondenzacija ureea A konveksnom ekvivalencijom e. Takoe, za e kaemo da je relacija kondenzacije na A. Notacija e(a) nije sluqajna; oznaku e koristimo i za kanoniqko preslikavae koje A slika na e(a). Dakle, e e oznaqavati i relaciju ekvivalencije i preslikavae. Kad god znaqee oznake e nije jasno iz konteksa, eksplicitno emo navesti da li se oznaka odnosi na relaciju ili preslikavae e. Preslikavae e je epimorfizam (surjektivni homomorfizam) linearnih ureea; podsetimo se da je f : A B homomorfizam iz A u linearno ureee B = (B, < ) ako a a povlaqi f(a) f(a ) za sve a, a A. Sa druge strane, svaki homomorfizam g : A B indukuje relaciju ekvivalencije e na A odreenu sa g(x) = g(y). Kopiju ureea A rekonstruixemo iz egove kondenzacije e(a) tako xto svaki element [x] e zamenimo kopijom ureea ([x] e, <): A = [x]e e(a)([x] e, <). Kao xto je spomenuto u uvodu, idealno okruee za analizu strukuture prvog reda u kojoj posmatramo i definabilne homomorfizme su Xelahove eq- -ekspanzije originalne strukture, u kojoj se nalaze kopije svih homomorfnih slika. Za M, strukturu prvog reda jezika L, struktura M eq je vixesortna struktura koja xiri strukturu M. Jezik strukture M eq ima imena sorti S E za svaku definabilnu relaciju ekvivalencije E na skupu M n (podsetimo se da ovde pod definabilnoxu podrazumevamo L ω,ω -definabinost). Podsetimo se da u jeziku vixesortne strukture svaka promen iva ima naznaqeno ime (svoje) sorte, kao i mesto u relacijskom i funkcijskom simbolu; nijedna promen iva se ne interpretira van sorte qije ime nosi. Sliqno vai za relacijske i funkcijske simbole. Za svako E postoji funkcijski simbol π E takav da su promen ive x 1,..., x n u π E (x 1,..., x n ) = Y iz sorte S = i Y je iz sorte S E. Svi ostali simboli jezika su oni koji se interpretiraju u M i odnose se samo na sortu S =. M eq se definixe na sledei naqin. Sorta S = (M eq ) je M i za u kaemo da je originalna sorta. Skup nosaq sorte S E (M) je M n /E i za E razliqito od relacije =, nijedan simbol jezika se ne interpretira u oj. Sva struktura koju sorta S E (M) ima se nasleuje iz originalne sorte (kanoniqkom) projekcijom π E iz M n na M n /E. Ispostav a se da je definabilni skup u sorti S E ( (M/E) m ) projekcija pri π E nekog definabilnog podskupa skupa M; specijalno, u sorti S = (tj. M) nema novih definabilnih skupova. Posebno, 26
2. KOMPOZICIJE I ITERACIJE L, -DEFINABILNIH KONDENZACIJA ako je M algebra i E definabilna kongruencija, tada je koliqniqka algebra reprezentovana u sorti S E. Posebno, ako je M linearno ureee, tada kopiju svake egove definabilne kondenzacije moemo pronai u nekoj sorti M eq. Struktura M eq sadri i sortu koja odgovara skupu M n : uzmimo jednakost kao relaciju ekvivalencije na skupu M n. Ovu sortu oznaqavamo i sa S = n, ili samo sa S n. Deta e o M eq qitalac moe nai u [9] i [11]. Ovde emo navesti neke osnovne qienice. Qienica 2.2. (a) Svaki u M eq definabilni podskup skupa M n je definabilan u M. (b) Svako elementarno utapae iz M u N produava se jedinstveno do elementarnog utapaa iz M eq u N eq. (v) M N povlaqi M eq N eq. (g) Potpuna teorija prvog reda T ima prirodno vixesortno proxiree T eq takvo da M = T ako i samo ako M eq = T eq. (d) Neka je E definabilna ekvivalencija na M n i π : S n (M) S E (M) prirodna projekcija. Ako je N elementarna podstruktura sorte S E (M), tada je i π 1 [N ] elementarna podstruktura strukture sorte S n (M). Neka je M = (M,... ) struktura jezika L i neka je M 1 = (M 1, R,..., f... ) struktura jezika L 1. Kaemo da je struktura M 1 interpretabilna u strukturi M ako postoji n, definabilna ekvivalencija E na M n, definabilan skup D M n i bijekcija F : D/E M 1 takva da je za svaku osnovnu relaciju R M m 1 skup F 1 (R) M m n definabilan u M i sliqno za svaku osnovnu funkciju. Na primer, kad god imenujemo neke definabilne podskupove u fiksiranoj sorti iz M eq, tada je tako dobijena struktura (qiji je skup nosaq sorta) interpretabilna u M. 2. Kompozicije i iteracije L, -definabilnih kondenzacija Podsetimo da je L κ,λ formula (ovde su κ i λ beskonaqni kardinali) ona qije su kon junkcije veliqine < κ dok joj se kvantifikatori primeuju na < λ promen ivih. Kad za φ kaemo da je L, formula mislimo da je φ L κ,λ formula za neko κ, λ. L, reqenice se quvaju izomorfizmima. U linearnim ureeima su obiqno interesantne konveksne ekvivalencije koje su definisane L, formulama jezika {<} takve da ihova definiciona formula definixe ekvivalenciju sa konveksnim klasama u bilo kom linearnom ureeu. U ovom sluqaju tip izomorfizma strukture e(a) zavisi samo od tipa izomorfizma strukture A, pa takve formule mogu biti posmatrane kao formule koje definixu kondenzacije na ureajnim tipovima. Zato za L κ,λ 27
2. KOMPOZICIJE I ITERACIJE L, -DEFINABILNIH KONDENZACIJA formulu jezika {<} kaemo da je kondenzujua formula ako definixe kondenzujue relacije na bilo kom linearnom ureeu. Za kondenzujue relacije definisane ima kaemo da su uniformno definabilne; ako je definiciona formula L κ,λ, onda za relaciju kaemo da je uniformno L κ,λ definabilna. Za kondenzacionu formulu ϵ(x, y), odgovarajuu kondenzaciju shvaenu kao preslikavae ureajnih tipova emo oznaqavati sa c ϵ, kondenzaciju linearnog ureea A = (A, <) emo oznaqavati sa c ϵ (A), en skup nosaq sa c ϵ (A) Duxnik i Miler su u [2] uveli pojam kondenzacija i naveli ihove osnovne osobine. Najpoznatiji primeri uniformno definabilnih kondenzacija su: c F c W c S gde je F (x, y),,[x, y] je konaqno"; gde je W (x, y),,[x, y] je dobro ureeno"; gde je S(x, y),,[x, y] je rasuto". Formule W i S su L ω1,ω 1 formule, dok je F L ω1,ω formula. Vixe o primenama kondenzacija na analizu linearnih ureea se moe nai u kizi Rozenxtajna ([14]), a ovde navodimo samo neke interesantne primere iteriranih kondenzacija. Primer 2.3. Posmatrajmo (ω ω, <) i kondenzaciju c F. Za dobro ureee (A, <) neka je Γ(A) A skup svih elemenata skupa A koji nemaju neposrednih prethodnika; takve elemente nazovimo graniqnim. Tada je Γ(A) i sam dobro ureen, pa se moe definisati Γ(Γ(A)). Prirodno je obeleiti ga sa Γ 2 (A) i induktivno nastaviti sa Γ β+1 (A) = Γ(Γ β (A)). Neka je a ω ω i b najvei element skupa Γ(ω ω ) koji je mai od a. Tada je a na konaqnom rastojau od elementa b, pa je c F (a) = c F (b). Zato za predstavnika klase {b + m m ω} moemo uzeti bax graniqni b. Dakle, svaka klasa ekvivalencije sadri taqno jedan graniqni ordinal, tako da se c F (ω ω ) moe identifikovati sa Γ(ω ω ), skupom svih graniqnih ordinala ispod ω ω koji je takoe dobro ureen i izomorfan poqetnom ureeu (ω ω, <): ω ω = c F (ω ω ). U prvoj iteraciji se element a slikao u prvi graniqni mai od ega c F (a) = b. Sliqno prethodnom razmatrau, za svaki element b Γ(ω ω ), element c F (b) je najvei element iz Γ 2 (ω ω ) koji je mai od b. Dakle, c F 2 (a) = c F (b) je najvei element skupa Γ 2 (ω ω ) koji je mai od a. Vai: ω ω = c 2 F (ωω ). Sliqnim rezonovaem se zak uquje da e za svaki n ω vaiti da je c F n (a) je najvei element skupa Γ n (ω ω ) koji je mai od a. Dakle za svako n ω e vaiti: ω ω = c n F (ωω ), ali ne i ω ω = c ω F (ωω ). Naime, za svaki n ω vai: c F (ω n ) = ω n 1, c 2 F (ωn ) = c F (ω n 1 ) = ω n 2,..., c n 1 F (ωn ) = c F (ω 2 ) = ω i c n F (ωn ) = c F (ω) = 1. To zapravo znaqi da se element ω n, kao i svi mai od ega, u n-toj iteraciji slikao u 0. Kako za svaki a ω ω postoji n takav da je a ω n, onda e za 28
2. KOMPOZICIJE I ITERACIJE L, -DEFINABILNIH KONDENZACIJA takvo a i n biti c n F (a) cn F (ωn ) = 0. Dakle, svaki element se u konaqno mnogo iteracija slika u 0. To upravo znaqi da na nivou ω imamo samo jednu klasu: ω ω = c F (ω ω ) = c 2 F (ωω ) =... i c ω F (ωω ) = 1. Pretpostavimo da je c uniformno definabilna kondenzujua relacija ure- ajnih tipova. Kao preslikavae, prirodno se iterira n puta, tj. c n se definixe kao odgovarajua kompozicija. U naxem okrueu odgovarajua definicija je u terminima relacija ekvivalencija. Za L ω,ω definabilne relacije, svako konaqno iterirae moe se identifikovati kao sorta u eq univerzumu. Neka je ϵ(x, y) kondenzujua L κ,λ formula i neka je ϕ bilo koja L κ,λ formula (koja moe imati mnogo slobodnih promen ivih). U lemi 2.4 emo pokazati da je,,ϕ([x] ϵ, [y] ϵ ) vai u koliqniqkoj strukturi" izraeno formulom ϕ ϵ(x, y) definisanom na sledei naqin: Formula ϕ ϵ(x, y) se dobija iz formule ϕ(x, y) tako xto: - svako pojav ivae podformule u < v zamenimo podformulom u v (ϵ(u, u ) ϵ(v, v ) u < v ), (gde se promen ive u, v ne pojav uju u ϵ, ϕ); na ovaj naqin transformixemo x < y u [x] ϵ < [y] ϵ. - svako pojav ivae podformule u = v zamenimo podformulom ϵ(u, v). Primetimo da je ϕ ϵ(x, y) L κ,λ formula. Kako smo oznaku x rezervisali za konaqan niz (x i ) i {1,...,n}, za potencijalno beskonaqan niz (x i ) i<α (za neki ordinal α) emo koristiti oznaku x. Lema 2.4. Neka je A = (A, <) linearno ureee i ϵ(x, y) kondenzujua L, formula.tada za svaku L, formulu ϕ( x ) i svaki niz b elemenata iz A vai: A = ϕ ϵ( b ) ako i samo ako c ϵ (A) = ϕ( [b] ϵ ). Dokaz. Indukcijom po ordinalnoj kompleksnosti formule ϕ. Ako je ϕ atomska zak uqak sledi iz definicije; krucijalno je da je c ϵ konveksna. Indukcioni korak je direktan, razmatraemo samo egzistencijalni kvantifikator. Prvo pretpostavimo da A = y ϕ ϵ( y, b ) i izaberimo c u A takvo da A = ϕ ϵ( c, b ). Indukciona hipoteza povlaqi da je c ϵ (A) = ϕ( [c] ϵ, [b] ϵ ), a time i c ϵ (A) = x ϕ( x, [b] ϵ ). Za drugi smer pretpostavimo da c ϵ (A) = x ϕ( x, [b] ϵ ) i izaberimo c takvo da c ϵ (A) = ϕ( [c ] ϵ, [b] ϵ ). Indukciona hipoteza povlaqi da je A = ϕ ϵ( c, b ), a odatle sledi da je A = x ϕ ϵ( x, b ). Qienica 2.5. Ako su ϵ(x, y) i δ(x, y) kondenzacione L κ,λ formule, tada je i δ ϵ(x, y) kondenzaciona L κ,λ formula. Xtavixe, ako je L ureajni tip, onda je c δ ϵ (L) = c δ (c ϵ (L)). 29
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Neka je ϵ(x, y) L κ,λ formula. Formula ϵ α (x, y) se definixe rekurzivno za ordinal α na sledei naqin: (1) ϵ 0 (x, y) je x = y, ϵ 1 (x, y) je ϵ(x, y). (2) ϵ β+1 (x, y) = ϵ ϵ β (x, y) (3) Za graniqni ordinal α definiximo: ϵ α (x, y) = ξ<α ϵξ (x, y). Oqigledno, svaka formula ϵ α (x, y) je L κ+ α +,λ+ α formula. U sledeem zapa- + au navodimo osnovne osobine iteracija kondenzujuih formula. Zapaae 2.6. Neka je ϵ(x, y) kondenzujua L κ,λ formula i neka je A = (A, <) linearno ureee. a) Svako c α ϵ je konveksna ekvivalencija na A. b) c α ϵ c α+1 ϵ i c ϵ (c α ϵ (A)) = c α+1 ϵ (A). v) Ako je α graniqni ordinal, onda je c α ϵ = ξ<α cξ ϵ. g) {c ξ ϵ ξ 0} je niz neopadajuih podskupova skupa A 2. Ako je c α ϵ = c α+1 ϵ, onda je c α ϵ = c β ϵ za svako β > α. Po delu (g) prethodnog zapaaa, niz {c ξ ϵ 0 ξ} (podskupova skupa A 2 ) je neopadajui, pa je neminovno konstantan poqevxi od nekog ξ. Za najmai ordinal α za koje je c α+1 ϵ = c α ϵ kaemo da je c ϵ rang ureea A. Za linearna ureea za koja je c ϵ (A) = id A kaemo da su c ϵ inertna. L, definabilnost preslikavaa c ξ ϵ garantuje da c ϵ rang zavisi samo od ureajnog tipa linearnog ureea, pa je c ϵ rang ureajnih tipova dobro definisan. Proces iteracija se koristi za analizu strukture A i predstav a niz kondenzacijskih relacija koji raste do jednog trenutka kad je homomorfna slika c ϵ inertna. Od naroqitog interesa su uniformne L ω,ω definabilne kondenzacije. Za dato linearno ureee A razmatramo odgovarajui deo strukture A eq gde su svi definabilni homomorfizmi imenovani projekcijskim preslikavaima. c(a), c 2 (A),... mogu biti identifikovani sa A eq sortama. 3. Diskretne/guste kondenzacije c δ Za konveksan podskup linearnog ureea (A, <) kaemo da je: - diskretno ureen ako je diskretno ureen restrikcijom relacije <; - gusto ureen ako nema ni maksimalni ni minimalni element i ako je restrikcijom relacije < gusto ureen. Definicija 2.7. Za zatvoreni interval kaemo da je: - gustog tipa ako je pravi podskup gusto ureenog konveksnog podskupa (setimo se da taj konveksni podskup nema krajeve); - diskretnog tipa ako nije gustog tipa i ako je diskretno ureen (restrikcijom relacije <). 30
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Interval [a, a] ima odreen tip: ako nije gustog tipa, s obzirom da je diskretno ureen, onda je diskretnog tipa. To nam omoguava da definixemo tip elementa a: kaemo da je a gustog (diskretnog) tipa ako je takav interval [a, a]. Postoje intervali koji nisu ni diskretnog ni gustog tipa. Primer je ure- en jediniqni interval realnih brojeva A = ([0, 1], <). U ovom ureeu sam interval [0, 1] nije ni diskretnog ni gustog ureenog tipa. Lema 2.8. Neka je (A, <) linearno ureee. (a) Zatvoren interval je gustog tipa ako i samo ako je svaka egova taqka gustog tipa. (b) Sve taqke zatvorenog intervala diskretnog tipa imaju diskretan tip. (v) Ako je zatvoreni interval gustog (diskretnog) tipa, onda svaki egov zatvoreni podinterval ima gusti (diskretni) tip. (g) Zatvoreni intervali razliqitog tipa su disjunktni. (d) Ako dva zatvorena intervala istog tipa imaju neprazan presek, onda je ihova unija zatvoreni interval koji ima isti tip kao poqetni. Dokaz. (a) Dokazaemo netrivijalan smer. Pretpostavimo da je svaka taqka intervala [a, b] gustog tipa. Za svako c [a, b] neka je I c konveksan gusto ureen podskup skupa A koji sadri taqku c i neka je I unija svih takvih I c. Nijedan element skupa I nije kraja taqka jer nijedan I c nema kraju taqku. Direktno se proverava da je I konveksan i da je gusto ureen. Poxto I a ima taqke van intervala [a, b] i poxto I sadri ceo [a, b], zak uqujemo da I svedoqi da je [a, b] gustog tipa. (b) Neka je [a, b] diskretnog tipa i neka je c [a, b]. Ako je a = b, po definiciji tipa taqke sledi da je c diskretnog tipa. Pretpostavimo da je a b. Tada c ima neposrednog prethodnika ili neposrednog sledbenika, pa ne moe biti sadran u konveksnom gustom skupu. Dakle, c je diskretnog tipa. (v) Neka je [c, d] [a, b]. Ako je [a, b] gustog tipa, onda je, po delu (a), svaka taqka intervala [a, b], a time i intervala [c, d] gustog tipa. Ponovo po delu (a) sledi da je [c, d] gustog tipa. U sluqaju kad je [a, b] diskretnog tipa, dovo no je primetiti da je konveksni podskup diskretnog ureea diskretno ureen. (g) Po delu (a) je svaka taqka intervala gustog tipa i sama gustog tipa pa, po delu (b), ne moe biti sadrana u intervalu diskretnog tipa, odakle sledi zak uqak. (d) Neka su [a, b] i [c, d] istog tipa. Ako je jedan od ih sadran u drugom, onda zak uqak trivijalno sledi, zato pretpostavimo da to nije sluqaj. Bez umaea opxtosti pretpostavimo da je a < c b < d. 31
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Prvo pretpostavimo da su [a, b] i [c, d] gustog tipa. Tada su, po (a), sve taqke intervala [a, b] i [c, d] (a time i ihove unije) gustog tipa. Ponovo po (a), interval [a, d] je gustog tipa. Pretpostavimo sad da su [a, b] i [c, d] intervali diskretnog tipa. Svaka unutraxa taqka intervala [a, d] ima neposrednog prethodnika i neposrednog sledbenika, taqka a ima neposrednog sledbenika, taqka d ima neposrednog prethodnika, pa je (po definiciji) interval [a, d] diskretnog tipa. Relacija,,[x, y] je gustog tipa" je definabilna: postoji formula prvog reda ϕ(x, y) takva da za svako linearno ureee A = (A, <) vai A = ϕ(a, b) ako i samo ako je [a, b] interval gustog tipa. Sliqno, postoji formula koja kae da,, [x, y] nije gustog tipa" i da je,,[x, y] diskretno ureen" (setimo se da je teorija diskretnog ureea konaqno aksiomatizabilna). Zato postoji formula δ(x, y) u jeziku {<} koja kae,,interval [min{x, y}, max{x, y}] je ili gustog ili diskretnog tipa". Specijalno, relacija,,x je gustog tipa" je definabilna u bilo kom linearnom ureeu. Tvree 2.9. Formula δ(x, y) je kondenzaciona. Dokaz. Neka je (A, <) linearno ureee i neka je E A 2 definisan formulom δ(x, y). Refleksivnost i simetriqnost slede direktno. Da bismo dokazali tranzitivnost pretpostavimo da je (a, b), (b, c) E, tj. svaki od intervala [min{a, b}, max{a, b}] i [min{b, c}, max{b, c}] je diskretnog ili gustog tipa. Oni imaju taqku b kao zajedniqku taqku, pa, po lemi 2.8, imaju isti tip i ihova unija je, opet po lemi 2.8, istog tog tipa. Interval [min{a, c}, max{a, c}] je podinterval (ne obavezno pravi podskup) te unije, pa je, ponovo po lemi 2.8, i on sam istog tipa kao [min{a, b}, max{a, b}] i [min{b, c}, max{b, c}]. Ovim je dokazana tranzitivnost relacije E, pa zak uqujemo da je ona relacija ekvivalencije. Ostaje da se primeti da su klase ekvivalencije E konveksne. Zaista, [a] E je unija svih intervala kojima je jedan kraj sama taqka a, a drugi kraj je u [a] E. Kako je unija konveksnih skupova od kojih svaka dva imaju neprazan presek takoe konveksan, sledi da je [a] E konveksan skup. Dakle, E je konveksna relacija ekvivalencije. Tvree 2.10. Neka je A = (A, <) linearno ureee. (a) Svaki par netrivijalnih zatvorenih podintervala fiksirane c δ klase ima isti tip. (b) Svaka c δ klasa je ili diskretno ili gusto ureena. 32
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ (v) Ako je a A diskretnog (gustog) tipa, onda je [a] cδ maksimum u smislu inkluzije u skupu svih konveksnih diskretno (gusto) ureenih podskupova skupa A koji sadre taqku a. Dokaz. (a) Pretpostavimo da su dva netrivijalna zatvorena intervala sadr- ana u istoj c δ klasi. Konveksno zatvoree ihove unije je zatvoreni interval sadran u klasi, pa je ili diskretnog ili gustog tipa. Poxto su naxi intervali sadrani u konveksnom zatvoreu ihove unije, po lemi 2.8, svaki od ih ima isti tip kao to konveksno zatvoree. Dakle, istog su tipa. (b) Tvree je oqigledno ako je klasa jednoqlana. Zato pretpostavimo da je b [a] cδ i a < b. Prvi sluqaj je kada je [a, b] diskretnog tipa. Neka c [a] cδ nije maksimalan u [a] cδ i izaberimo d [a] cδ takvo da je c < d. Po delu (a) intervali [a, b] i [c, d] imaju isti tip, pa je [c, d] diskretnog tipa. To specijalno znaqi da c ima neposrednog sledbenika. Sliqno, ako element klase [a] cδ nije minimalan, onda on ima neposrednog prethodnika, pa je [a] cδ diskretno ureen relacijom <. U sluqaju da je [a, b] gustog tipa, dovo no je pokazati da je svaka taqka skupa [a] cδ gustog tipa. Ako je c [a] cδ, onda je c < b ili a < c. Ako je c < b, onda je interval [c, b] [a] cδ, po delu (a), gustog tipa jer seqe [a, b], pa je c gustog tipa. Ako nije c < b, onda je a < c i tada je interval [a, c] [a] cδ,gustog tipa jer seqe [a, b], pa je c gustog tipa. (v) Ostaje da se pokae da [a] cδ ne moe biti pravi podskup konveksnog gusto (diskretno) ureenog podskupa skupa A. Neka je K konveksan podskup gusto (diskretno) ureenog skupa A koji sadri [a] cδ i neka je c K. Tada je [min{a, c}, max{a, c}] gustog (diskretnog) tipa, pa vai = δ(c, a), a time i c [a] cδ, pa K ne moe biti pravi nadskup skupa [a] cδ. Primer 2.11. (1) Klase c δ razlau ([0, 1] Q, <) u oblik 1 + η + 1. (2) Posmatrajmo η 2. Ovo ureee se dobija iz prebrojivog gustog linearnog ureea (bez krajeva) tako xto mu se svaki element zameni dvoqlanim ureeem. U emu nema taqaka gustog tipa jer svaki element ima ili neposrednog prethodnika ili neposrednog sledbenika. Svaka c δ klasa se sastoji od taqno dva susedna elementa i posle faktorisaa e biti c δ (η 2) = η. Neka je A = (A, <) linearno ureee. Po tvreu 2.10, svaka c δ klasa ekvivalencije je ili gusta ili diskretna. To daje jednostavni opis formule koja definixe tip taqke: x je gustog (diskretnog) tipa ako i samo ako,,c δ klasa taqke x je gusto (diskretno) ureena". 33
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Diskretno ureee klase moemo razlikovati po ihovim teorijama prvog reda, kao xto je istaknuto u napomeni 2.1. To moemo uraditi tako xto proxirimo jezik dodavajui pogodne unarne predikate: W, W, Z i za svako n N po jedan unarni predikat C n. Namerno izostav amo predikat za C ure- ajne tipove zato xto, za razliku od drugih, u opxtem linearnom ureeu klase tog ureajnog tipa nisu definabilne; drugim reqima klase linearnog ureea qiji je ureajni tip C nisu konaqno aksiomatizabilne (laka primena kompaktnosti). Meutim, taqke koje pripadaju ureajnom tipu C su tip-definabilne (prebrojivom konjunkcijom). Moemo dodati predikat i za jedinu preostalu c δ klasu: G za gusto ureenu klasu i tako dobiti jezik L # = {<, G, W, W, Z} {C n n N}. Definicija 2.12. Za bilo koje linearno ureee A = (A, <), sa c # δ (A) obele- avamo L # strukturu (c δ (A), < cδ, G A, W A, W A, Z A, Cn A ) n N, gde je svaka unarna relacija X A definisana sa: a X A ako i samo ako je klasa [a] cδ ureajnog tipa X u A. Feferman i Vot su 1959. godine u radu [3] dokazali veoma opxtu teoremu koja opisuje elementarne teorije direktnih I-proizvoda i disjunktnih I-unija L-struktura, gde je I struktura prvog reda nekog jezika. Mi emo koristiti specijalni sluqaj ove teoreme u kom su i struktura I i strukture koje uniramo linearna ureea. Feferman Votova teorema. Neka je (I, <) linearno ureee i {A i i i} i {B i i i} dve familije linearnih ureea takve da je A i B i, za svako i I. Tada je i I A i i I B i. Lema 2.13. Neka su A i B linearna ureea. (a) Struktura c # δ (A) jezika L# je interpretabilna u ureeu A. (b) Ako je A B, tada je i c # δ (A) c# δ (B). (v) Ako je c # δ (A) = c # δ (B), tada je A B. Dokaz. (a) Interpretirajua ekvivalencija je c δ. Ostalo sledi iz definicije strukture c # δ (A), imajui u vidu da su svi unarni predikati definabilni u jeziku {<}. (b) Sledi neposredno iz qienice 2.2(v). (v) Dokaz je direktna primena Feferman Votove teoreme. Pretpostavimo da je f : c # δ (A) c# δ (B) izomorfizam L# struktura. Za svaki x A uree- a ([x] cδ, < A ) i (f([x] cδ ), < B ) imaju isti diskretni (W, W, C n, C ) ili gusti (G) tip ureea zato xto [x] cδ i f([x] cδ ]) istovremeno zadovo avaju svaki od unarnih predikata jezika L #. Kako svaki od tih tipova odreuje i potpunu 34
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ elementarnu teoriju ureea, imamo da ([x] cδ, < A ) (f([x] cδ ]), < B ) vai za sve x A. Prema Feferman Votovoj teoremi i odgovarajue ureene sume su elementarno ekvivalentne, pa vai: A = [x]cδ c δ (A)([x] cδ, < A ) [x]cδ c δ (A)(f([x] cδ ), < B ) = [y]cδ c δ (B)([y] cδ, < B ) = B. Teorema 2.14. Neka su A i B linearna ureea.tada vai: A B ako i samo ako c # δ (A) c# δ (B). Dokaz. Jedan smer je dokazan u lemi 2.13. Daemo samo skicu dokaza drugog smera, u nameri da izbegegnemo komplikovanu notaciju. Pretpostavimo da je c # δ (A) c# δ (B). Izaberimo zasieno ureee U A kardinalnosti vee od A i B. Tada je i c # δ (A) elementarna podstruktura L# strukture c # δ (U) qiji su definabilni skupovi takoe definabilni i u strukturi sorte S cδ. Zbog zasienosti ureea U i struktura c # δ (U) je zasiena (presek svake,,male" centrirane familije definabilnih skupova je neprazan (napomena 1.7)). Sada imamo c # δ (B) c# δ (A) c# δ (U) pa je c# δ (B) izomorfna nekoj strukturi C c # δ (U). Oznaqimo sa C podureee ureea U na skupu c 1 δ [C ]. Koristei qienicu 2.2(d) u U eq dokae se da je C U. Tada je C = c # δ (C), pa primenom leme 2.13(v) dobijamo B C i B U. Znaqi B A. Na osnovu leme 2.13 i teoreme 2.14 zak uqujemo da se analiza modela potpune teorije linearnog ureea A moe svesti na analizu modela potpune teorije strukture c # (A). Na primer, ako za neko δ a A egova c δ klasa [a] u strukturi c # δ (A) zadovo ava W (x), to znaqi da je [a] konveksan podskup ure- ea A oblika (ω + L Z, <) pri qemu je L neko ureee ili prazan skup. Ako taj konveksni podskup ureea A zamenimo ureeem (ω + L 1 Z, <) i, eventualno, to uradimo i za druge c δ klase ureea A, dobijemo ureee A 1 koje je, prema Feferman Votovoj teoremi, elementarno ekvivalentno poqetnom A. Ovako dobijena ureea su jedina za koja vai c # δ (A 1) = c # δ (A). Zato se za datu strukturu B # jezika L # lako konstruixu sva mogua qista ureea B, takva da je c # δ (B) = B#. Ureee B konstruixemo kao sumu b B #(L b, < b ), pri qemu je (L b, <) ureajnog tipa X akko je b X B# (za X iz { G, W, W, Z, C, C n } n N ). Dakle, analizirajui strukturu B #, analiziramo klasu linearnih ureea kojima odgovara B #. Do kraja poglav a dokazaemo jox dva tvrea qiji su dokazi motivisani prethodnom analizom. Grubo reqeno ona tvrde da su klasa svih linearnih ure- ea, klasa svih linearnih ureea sa prebrojivo mnogo disjunktnih unarnih relacija i klasa linearnih ureea sa konaqno mnogo unarnih relacija i konveksnih ekvivalencija jednako sloene. 35
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Teorema 2.15. Svako linearno ureee sa najvixe prebrojivo mnogo unarnih predikata qije su interpretacije po parovima disjunktne je interpretabilno u qistom linearnom ureeu, Xtavixe, ako je originalno ureee rasuto, onda se qisto ureee moe izabrati tako da takoe bude rasuto. Dokaz. Neka je L = {<} {P n n N} gde je svaki P n unaran i neka je A = (A, <, Pn A ) n N struktura jezika L takva da su Pn A po parovima disjunktni podskupovi skupa A. Ako unija skupova Pn A nije celo A, onda moemo dodati unarni predikat za podskup skupa A koji je ostao nepokriven. Zato bez umaea opxtosti moemo pretpostaviti da je unija Pn A ceo skup A. Neka su L, R i F n linearna ureea redom ureajnog tipa ζ, ω i n (za sve n N). Za svaki a A, neka je B a = L + F na + R, gde je n a jedinstveno odreen sa a Pn A a. Dakle, svaki B a je ureajnog tipa ζ + n a + ω. Neka je B = a A B a. Pokazaemo da je A interpretabilno u B = (B, < ). Prvo emo pokazati da su {a} L, {a} F na i {a} R klase relacije c δ. Posmatrajmo {a} L koji je diskretnog ureajnog tipa. Po tvreu 2.10(v), dovo no je pokazati da nije pravi podskup diskretnog konveksnog podskupa skupa B. Neka je C diskretan nadskup skupa {a} L. On ne moe sadrati taqke desno od {a} L, jer bi onda, s obzirom da je konveksan, sadrao minimum skupa {a} F na, a taj minimum nema neposrednog prethodnika, jer bi taj prethodnik bio maksimalan element skupa {a} L, xto je nemogue jer je {a} L ureajnog tipa ζ. Sliqno, C ne moe imati elemente levo od {a} L, jer bi onda (s obzirom da je konveksan), sadrao i 0 {a } R za neko a < a. 0 ne moe imati neposrednog sledbenika, xto je protivreqno sa qienicom da je C diskretnog ureajnog tipa. Dakle, C = {a} L je maksimalan konveksan diskretno ureen skup koji sadri a, pa je po tvreu 2.10 on sam klasa ekvivalencije c δ. Sliqnim argumentima se pokazuje da su {a} F na i {a} R klase ekvivalencije relacije c δ. Neka je ϕ(x) formula koja kae da,,[x] cδ ima obe kraje taqke" (tj. zadovo ava dlo (1,1) ); oqigledno, ϕ(x) definixe a A {a} F n a u B. Neka je E(x, y) formula koja kae da: - klase [x] cδ i [y] cδ imaju zajedniqku susednu klasu qiji elementi zadovo avaju formulu ϕ ili - klase [x] cδ i [y] cδ su susedne i elementi jedne od ih zadovo avaju formulu ϕ. Tada je E konveksna relacija ekvivalencije na B qije su klase {a} B a. Posmatrajmo funkciju f : B/E A, definisanu sa f({a} B a ) = a. Pokazaemo da je to interpretacija strukture A u strukturi B. Za to je dovo no pokazati da su < i P A n definabilni. Oqigledno je da je < definabilno jer je E konveksna. 36
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Neka je ψ n (x) formula koja kae,,postoji element klase [x] E qija C δ klasa (u B) ima taqno n elemenata". Tada je Pn A projekcija skupa svih rexea formule ψ n (x) u B. Ovim je pokazano da je A interpretabilno u B.,,Xtavixe" deo sledi iz konstrukcije strukture B. Napomena 2.16. Svaki unaran predikat u linearnom ureeu definixe odre- enu relaciju ekvivalencije sa konveksnim klasama. Neka je (A, <, P ) linearno ureee sa unarnim predikatom. Definiximo binarnu relaciju na skupu A uslovom (a, b) E P ako i samo ako interval (min(a, b), max(a, b)) je ili prazan, ili je podskup skupa P, ili je podskup skupa A P. Lako je videti da je E P definabilna, konveksna relacija ekvivalencije koja ima dve vrste klasa: maksimalne konveksne podskupove skupa P i maksimalne konveksne skupove disjunktne sa skupom P. Relaciju E P emo zvati konveksna P -ekvivalencija. Opiximo postupak kojim za svako linearno ureee sa konveksnom relacijom ekvivalencije konstruixemo linearno ureee u kome je poqetna struktura interpretabilna. Poimo od takve strukture A = (A, <, E). Zamenimo svaki element ureea kopijom ureea (Z, <) koje je dobijeno dodavaem krajeva i ureeu celih brojeva. U dobijenom ureeu (A 1, <) formula ϵ(x, y) koja izraava: otvoreni interval (min{x, y}, max{x, y}) je prazan ili diskretno ureen definixe konveksnu ekvivalenciju qije su klase kopije ureea (Z, <) kojima smo meali elemente skupa A. Faktorisaem te relacije dobijamo ureee izomorfno ureeu (A, <). Neka je π ϵ : A 1 A homomorfizam ureea indukovan tom relacijom. Relaciju E prirodno prenosimo na skup A 1 : neka je E 1 = πϵ 1 (E). Relacija E 1 je konveksna relacija ekvivalencije i struktura A je interpretabilna u strukturi A 1 = (A 1, <, E 1 ) pri interpretaciji π ϵ. Proxirimo sada skup A 1 dodavaem kopija ureea racionalnih brojeva na poqetak svake E 1 -klase: Formalno, posmatrajmo skup A 2 = A 1 (A 1 /E 1 ) Q tako da za sve a, b A 1 i q Q vai a < ([b] E1, q) ako i samo ako a < b. Posmatrajmo ureee A 2 = (A 2, <) i dokaimo da je struktura A interpretabilna u emu. Prvo primetimo da je svaka taqka skupa A 1 diskretnog tipa u ureeu A 2, dok je svaka taqka skupa (A 1 /E 1 ) Q gustog tipa. Zak uqimo da je skup A 1 definabilan u A 2. Posmatrajmo konveksnu A 1 -ekvivalenciju E A1 A 2 2. Svaka ena klasa koja sadri element skupa A 1 je maksimalan 37
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ konveksan podskup skupa A 2 koji sadri samo taqke skupa A 1, pa iz definicije ureea skupa A 2 sledi da je to taqno E 1 -klasa skupa A 1. Prema tome, E A1 A 2 1 = E 1 i relacija E 1 A 1 A 1 je definabilna u strukturi A 2. Sve bazne relacije strukture A 1 su definabilne u ureeu A 2, pa je struktura A 1 interpretabilna u strukturi A 2. Budui da je struktura A interpretabilna u A 1, ona je interpretabilna i u ureeu A 2. Teorema 2.17. Svako linearno ureee sa konaqno mnogo unarnih predikata i konveksnih relacija ekvivalencije je interpretabilno u qistom linearnom uree- u. Dokaz. Posmatrajmo prvo strukturu A = (A, <, P, E) sa po jednim unarnim predikatom i konveksnom ekvivalencijom. Konstruiximo strukturu A 1 i ure- ee A 2 na prethodno opisan naqin i oznaqimo sa A 1 i A 2 ihove ekspanzije dobijene dodavaem predikata P 1. Lako se vidi da je predikat P 1 definabilan u strukturi A 2 pa, sliqno prethodnom, zak uqujemo da je A interpretabilna u strukturi A 2 = (A 2, <, P 1 ). Prema teoremi 2.15 A 2 je interpretabilna u qistom linearnom ureeu, pa isto vai i za strukturu A. Skicirajmo sada naqin na koji se struktura B = (B, <, P i, E i ) i=1,2,...,n interpretira u qistom linearnom ureeu. Sliqno prethodnom, zamenimo svaki element domena kopijom ureea (Z, <) i oznaqimo sa (B 1, <) dobijeno uree- e i definiximo u emu unarne predikate P i i relacije E i kao u prethodnom sluqaju. Oznaqimo sa B 1 dobijenu strukturu. Neka je Q n = (Q n, <) ureee tipa η + n + η za n 3. Proxirimo ureee strukture B 1 dodavaem ureea Q 3 na levi kraj svake E 1 -klase; zatim novodobijeno ureee proxirimo dodavaem ureea Q 4 na levi kraj svake E 2 -klase,... i na kraju dodavaem kopije ureea Q n+2 na levi kraj svake E n -klase. Oznaqimo sa B 2 = (B 2, <) tako dobijeno ureee. egove konaqne c δ -klase sa k + 2 3 elementa su,,srede" c δ -klase ureea Q k koje smo dodavali (da bismo kodirali relaciju E k ); unija svih tih klasa, oznaqimo taj skup sa C k, je definabilan u ureeu B 2, kao i konveksna C 1 -ekvivalencija E C1. Qitaocu prepuxtamo da proveri da je i skup B 1 takoe definabilan, kao i relacija E i = E Ci B1. 2 Odatle sledi da je struktura (B, <, E i ) i=1,2,...,n interpretabilna u ureeu B 2. Proxirimo ovo ureee dodavaem unarnih predikata P i. Dobijena struktura je interpretabilna u nekom qistom ureeu, pa isto vai i za strukturu B. U primeru 2.3 smo videli da ni za jedno n nije za svako a ω ω ispueno c n F (a) = cn+1 F (a) i da je za svako a ωω ispueno c ω F (a) = cω+1 F (a), xto upravo znaqi da je ω c F rang ureea ω ω. Primetimo da se kondenzacije c δ i c F ponaxaju isto na ureeu ω ω, pa je c δ rang ureea ω ω takoe ω. 38
3. DISKRETNE/GUSTE KONDENZACIJE C δ Neka je σ 1 (x) formula,,x je sledbenik nekog elementa" i neka je σ 0 (x) formula,,x nije sledbenik nijednog elementa". I sada emo, kao u primeru 2.3, za elemente koji nisu sledbenici rei da su graniqni. Obe formule su saglasne sa teorijom ureea M = (ω ω, <). U strukturi (σ i (M), <) su neki elementi sledbenici, a neki graniqni. Neka je σ i1 (x) formula,,x je sledbenik u strukturi (σ i (M), <)" i neka je σ i0 (x) formula,,x je sledbenik u strukturi (σ i (M), <)". Sve qetiri formule su saglasne sa teorijom Th(M) i vai Th(M) = x(σ ij (x) = σ i (x)). Nastav ajui postupak, za svako n i svaki τ 2 n, definisana je σ τ (x). Takoe, svaka formula je saglasna sa Th(M) i vai Th(M) = x(σ τj (x) = σ τ (x)). Neka je za τ 2 ω sa τ(n) oznaqen niz enih prvih n elemenata i neka je p τ = {σ τ(n) (x) n ω}. Ako je {σ τ(n1) (x),..., σ τ(nk) (x)} konaqan poskup skupa p τ, onda je Th(M) = x(σ τ(m) (x) k σ τ(ni) (x)), gde je m = max{n 1,..., n k }, pa je, s obzirom da je σ τ(m) (x) saglasna sa Th(M) za svako m, skup formula p τ konaqno zadovo iv, a time i tip. Oqigledno je da za τ ν ispueno p τ p ν. Zak uqujemo da Th(M) nije mala teorija. Sa druge strane, nije texko videti da je Th(ω n, <) mala, kao i da je c δ rang ureea ω n konaqan (n). Otud sledee pitae. Pitae 1. Da li je uslov da je teorija linearno ureene strukture mala dovo an da struktura ima konaqan c δ rang? Za odgovor na ovo pitae i da u analizu potrebno je razviti dodatne alate. i=1 39
POGLAVE 3 Prosti tipovi i ekspanzije diskretnih ureea Minimalna struktura je struktura u kojoj je svaki skup definabilan formulom sa parametrima konaqan ili kokonaqan (komplement mu je konaqan). Najjednostavnija diskretna ureea su (ω, <), (ω, <) i (ω + ω, <), gde je ω obrnuto ureeno ω. To su esencijalno jedina linearna ureea koja qine minimalne strukture. U ovom poglav u istraujemo modelsko teorijska svojstva ekspanzija ureea (ω, <) i (ω +ω, <) koja impliciraju izvesnu jednostavnost strukture. Da je minimalnost jedno takvo svojstvo sledi iz rezultata Pilaja (Pillay) i Xtajnhorna (Steinhorn). Teorema 3.1 iz [12] kae: Teorema 3.1. Ne postoji ekspanzija M strukture (ω, <) relacijama i funkcijama koje nisu definabilne tako da je Th(M) jako o-minimalna. Ubrzo potom su pokazali u [13] da je o-minimalnost struktura (struktura M je o-minimalna ako je svaki M definabilni podskup skupa M konaqna unija intervala i taqaka) saquvana u elementarnim ekstenzijama, tako da se,,jako" moe izbaciti iz formulacije prethodne teoreme. Primetimo da su u kontekstu teoreme o-minimalnost i minimalnost ekvivalentni, pa je alternativni naqin enog iskaza: Minimalne ekspanzije strukture (ω, <) su definicione. Mi emo uopxtiti teoremu 3.1 u xiri kontekst: razmatramo ekspanzije diskretno ureenih struktura oblika ω + L gde je L = (L, <) linearno ureee (ili ), ω je ureeno na standardan naqin a + oznaqava uobiqajenu sumu linearnih ureea. Takve strukture oznaqavamo sa (ω + L, <,... ). Neka je T potpuna teorija takve ekspanzije. Umesto da pretpostavimo da je L =, mi emo pretpostaviti da nijedan 0-definabilan podskup ne cepa ω na dva beskonaqna dela. Posledica ove pretpostavke je da postoji jedinstven nealgebarski 1-tip p S 1 (T ) koji je konaqno zadovo iv u ω (za potpun tip konaqna zadovo ivost u ω se svodi na to da svaka formula tipa ima rexee u ω). egov lokus popuava rascep u univerzumu U izmeu ω i svih 0-definabilnih skupova koji lee iznad ω. Lokus p(u) moe ali ne mora da seqe L: primeri su strukture (ω + Z, <) i (ω + ω, <). Po definiciji 3.8 p je prost tip i u tvreu 3.11 emo pokazati da svaki prost tip lokalno ivi u okrueu sliqnom kao nax 40
p. Nax glavni rezultat je sledea teorema. Grubo govorei, ona kae da na lokusu tipa p nema druge strukture osim one koja je zadata relacijom <. Teorema 3.2. Neka je T potpuna teorija jezika L, p S 1 (T ), σ(x) p i neka je < 0-definabilno linearno ureee na σ(u). Pretpostavimo da σ(x) i (C, <) svedoqe da je p prost tip. Neka je L jezik koji sadri samo simbol < i elemente skupa C. Tada je svaki relativno 0-definabilni podskup skupa p(u) n ili skupa (C p(u)) n relativno 0-definabilan formulom jezika L. Nije texko izvesti teoremu 3.1 kao specijalan sluqaj teoreme 3.2 za L =. Deta i su dati u posledem delu ove glave. Drugi specijalan sluqaj je kad je L = ω. Tako emo u posledem delu ovog poglav a zak uqiti da ne postoji prava minimalna ekspanzija strukture (ω + ω, <). Iako to nije eksplicitno reqeno u [12], dokaz Pilaja i Xtajnhorna se moe adaptirati tako da radi i u ovom sluqaju. Nax dokaz je nov i koristi tehniku C-nizova koje je uveo Tanovi u [17, 18, 19]. Pored ovoga, razmatramo i drugi pravac u kome se teorema 3.1 moe uopxtiti. Ve smo primetili da su minimalnost i o-minimalnost ekvivalentni u kontekstu teoreme 3.1. Jox jedan ekvivalent u istom kontekstu je topoloxke prirode: CB(x = x) = deg(x = x) = 1, odakle dobijamo iskaz teoreme 2 kao ekvivalent iskaza teoreme 3.1. Zato je prirodno pitati se koje ekspanzije imaju ordinalni CB rang, tj. malu teoriju. Postoje jednostavni primeri koji zadovo avaju CB(x = x) = 1 i deg(x = x) = d > 1. Nada e u ovoj glavi, ako nije drugaqije reqeno, kad kaemo da je skup definabilan mislimo da je 0-definabilan. Primer 3.3. (1) Primer prave unarne ekspanzije strukture (ω, <) CB ranga 1 i stepena d je struktura M = (ω, <, P d ), gde je d 2 i P d (x) je,,d deli x". Definabilni skupovi sadrani u skupu P d, su taqno egovi konaqni i kokonaqni podskupovi. Zato je P d, kao i egovi translati P d + 1,..., P d + d 1, minimalan skup. S obzirom da je {P d, P d + 1,..., P d + d 1} particija skupa M, zak uqujemo da za M vai CB(x = x) = 1 i deg(x = x) = d. (2) Sliqno kao malopre moemo konstruisati prvu unarnu ekspanziju strukture (ω + ω, <) qiji je CB rang 1 i stepen d: (ω + ω, <, B d,l ) gde su d i l celi brojevi takvi da je d 2 i B d,l je unija (P d (ω) + l) Pd (ω), gde je P d definisano kao u prethodnom primeru a Pd je definisano analogno na ω. U ovom primeru svaki definabilan skup je Bulova kombinacija konaqnih skupova i translata skupa B d,l (ω ω ) pri qemu ω nije definabilan podskup. Pokazaemo, u teoremi 1, da ovi primeri opisuju, do na definicionu ekvivalentnost, sve ekspanzije strukture (ω+ω, <) koje zadovo avaju CB(x = x) = 1 41
u kojoj ω nije definabilan (kao podskup) i sve ekspanzije strukture (ω, <) koje zadovo avaju CB(x = x) = 1. Setimo se da je T binarna teorija ako je svaka formula ekvivalentna, modulo T, Bulovoj kombinaciji formula sa najvixe dve slobodne promen ive. Neka je M = (M, <, P i ) i I ekspanzija linearnog ureea unarnim predikatima. Po teoremi 13.37 iz Rozenxtajnove kige [14], Th(M) je binarna teorija. Teorema 1 implicira da svaka ekspanzija strukture (ω, <) CB ranga 1 ima binarnu teoriju. To motivixe sledee pitae. Pitae 2. Da li postoji prava ekspanzija strukture (ω, <) qija je teorija mala i nije binarna? Verujemo da bi negativan odgovor otkrio interesantne strukturalne teoreme o diskretnim ureeima qije su teorije male i qiji je skup definabilnih elemenata veliki. Binarnim teorijama linearnih ureea posveujemo posledu glavu. Naxe radno okruee je U, univerzum prebrojive potpune teorije prvog reda T. Podsetimo se da za X U n kaemo da je mali skup ako je X < U, u suprotnom je veliki skup, da je φ(m) = { m M = φ( m)} skup rexea formule φ( x) i da je D M n definabilan nad A (ili krae A definabilan) ako postoji formula φ sa parametrima iz A qiji je skup rexea taqno D, tj. D = φ(m). Za φ( x, ā) i bilo koje X U (malo ili veliko) sa φ(x, ā) oznaqavamo skup rexea formule φ koje pripadaju skupu X n ; φ(x, ā) = φ(u) X n. Sliqno, za (mogue nepotpun) tip p( x) sa p(x) oznaqavamo skup realizacija tipa p koje pripadaju skupu X n ; p(u) je lokus tipa p. Skup X U je 0-invarijantan ako F (X) = X vai za svaki automorfizam univerzuma F. Skup D je relativno 0-definabilan u 0-invarijantnom skupu X ako postoji 0-definabilan skup D takav da je D = D X. S obzirom da je lokus svakog tipa bez parametara 0-invarijantan, sledi da je D 0-relativno definabilan u p S( ) ako i samo ako postoji 0-definabilan skup D takav da je D = D p(u). Element a je definabilan nad A (ili krae A definabilan) ako je {a} skup definabilan nad A. Skup svih A definabilnih elemenata oznaqavamo sa dcl(a). Koristimo standardnu notaciju za diskretna linearna ureea. Funkciju (neposrednog) sledbenika oznaqavamo sa S(x) a (neposrednog) prethodnika sa S 1 (x). Primetimo da su to definabilne funkcije i da su parcijalne (S kad ureee ima maksimum, S 1 kad ureee ima minimum). Za m Z, oznaka S m (x) sama sebe objaxava. 42
1. DEFINICIJA I OSNOVNA SVOJSTVA C-TIPA 1. Definicija i osnovna svojstva C-tipa Definicija 3.4. Neka je C dcl( ) beskonaqan skup. Za tip p S 1 (A) kaemo da je C-tip nad A ako je ϕ(c) beskonaqan skup za svako ϕ p. Za nepotpun tip Σ(x) kaemo da je C-tip nad A ako je podskup nekog potpunog C-tipa nad A i ako se ne moe produiti do algebarskog. Tip je C-tip ako je C-tip nad A za neko A. Za niz elemenata (a 0, a 1,..., a n ) kaemo da je C-niz nad A ako je tp(a i /Aa 0... a i 1 ) C-tip za svako i n. Zapaae 3.5. Jasno je da C tip ne moe biti algebarski. Xtavixe, potpuni tip je C-tip ako i samo ako je nealgebraski i zadovo iv u C, tj. ako svaka formula tipa ima rexee u C. To je jedna alternativna definicija za potpune tipove. Drugi alternativni naqin uvoea pojma potpunog C-tipa nad A je da je to taqka nagomilavaa skupa {tp(c/a) c C} prostora S 1 (A). Lema 3.6. Neka je C dcl( ) beskonaqan, neka je A mali skup i neka je Σ(x) = {φ(x) φ je sa parametrima iz A i C φ(c) je konaqan}. Za svako p S 1 (A) vai: (a) p je C-tip nad A akko Σ p; (b) p je jedinstven C-tip nad A akko Σ = p. Dokaz. (a) Pretpostavimo da je p C-tip. Ako φ Σ, onda je φ(c) konaqan, pa ne moe biti φ p jer je p C-tip. S obzirom da je p potpun, mora biti φ p. Zak uqujemo da je Σ p. Za dokaz drugog smera pretpostavimo da je p nije C-tip. Tada sadri formulu φ takvu da je φ(c) konaqan. Tada je φ Σ, pa ne moe biti Σ p. (b) Ako je Σ = p, s obzirom na dokazano pod (a), onda je p jedinstven C-tip nad A. Ako je Σ pravi podskup tipa p, pokazaemo da p nije jedinstven C-tip nad A. Iz Σ p sledi da postoji φ p Σ i tada su i φ(c) i φ(c) beskonaqni skupovi. Ako su σ 1,..., σ n Σ, onda su C σ i (C) konaqni skupovi, pa je i C (σ 1 (C) σ n (C)) konaqan. Tada je φ(c) (σ 1 (C) σ n (C)) konaqan, pa je φ(c) σ 1 (C) σ n (C) beskonaqan, a time je φ(x) σ 1 (x) σ n (x) zadovo iva formula. To znaqi da je Σ { φ} konaqno zadovo iv skup formula, pa je (nepotpun) tip i ima kompletirae q S 1 (A). Svaka formula iz q ima beskonaqan skup rexea u C jer bi u suprotnom ena negacija pripadala tipu Σ, a time i tipu q. Zak uqujemo da je q C-tip nad A i da je q p, xto je trebalo pokazati. 43
2. DEFINICIJA I OSNOVNA SVOJSTVA PROSTOG TIPA Tipu Σ(x) = {φ(x) φ je sa parametrima iz A i C φ(c) je konaqan} odgovara zatvoren podskup prostora S 1 (A) odreen sa σ Σ [σ]. To je skup svih C-tipova nad A. Napomena 3.7. Deo leme 3.6 oznaqen sa (b) se mogao iskazati i ovako: Neka je C beskonaqan podskup skupa dcl( ). Nad A postoji jedinstven potpun C-tip ako i samo ako je za svaku formulu φ(x) sa parametrima iz A taqno jedan od skupova φ(c) i C φ(c) konaqan. 2. Definicija i osnovna svojstva prostog tipa Definicija 3.8. Neka je T potpuna teorija jezika L, neka je U univerzum teorije T i neka je p S 1 (T ). Kaemo da je p prost (ili jednostavan) tip ako postoji formula σ(x) p, definabilno linearno ureee < σ na σ(u) i C dcl( ) takvo da je ispueno: (1) Skup C je konveksan (u odnosu na < σ ) podskup skupa σ(u); (2) (C, < σ ) = (ω, <); (3) Za svaku formulu φ(x) p je konaqan skup C φ(c). Takoe kaemo da je p prost s leva u odnosu na ureee (σ, < σ ). Ako je p prost s leva u odnosu na (σ, < σ), onda kaemo da je prost s desna u odnosu na ureee (σ, < σ ). Za skup C i formulu σ kaemo da svedoqe da je p prost tip. Kada je iz konteksta jasno koja je formula σ, umesto,,skup C i formula σ svedoqe da je p prost tip" kaemo krae,,skup C svedoqi da je p prost tip". Takoe, u sluqaju da je iz konteksta jasno koja je formula σ i koje je definabilno ureee, umesto < σ pixemo samo < i kaemo da p prost s leva ili desna ne istiqui (σ, < σ). Definiciju prostog tipa smo dali najopxtije xto smo mogli, kako bi se teorema 3.2 mogla primeniti u xto opxtijoj situaciji. Nismo zahtevali ni da ureee na σ(u) bude diskretno, ali emo u tvreu 3.11 pokazati da ono uvek moe biti izabrano tako da bude diskretno. U tvre- u 3.13 emo pokazati da prosti tipovi mogu lako da se nau i u strukturama qije su teorije male i koje imaju bar jedan definabilan element. Lema 3.9. Neka je σ(x) formula jezika L, neka je < σ -definabilno linearno ureee na σ(u) i neka je C dcl( ) konveksan skup u (σ(u), < σ ) tipa ureea ω ili ω. Tada C svedoqi da je p S 1 (T ) prost ako i samo ako je p jedinstven C-tip u S 1 (T ). Dokaz. Direktnom primenom definicije prostog tipa i leme 3.6 (b), tj. napomene 3.7. Primer 3.10. U svakom od primera je σ(x) formula x = x. 44
2. DEFINICIJA I OSNOVNA SVOJSTVA PROSTOG TIPA (1) Teorija strukture (ω, <) ima jedinstven nealgebarski tip p S 1 (T ). On je prost s leva, xto svedoqi C = ω. Da bi se to videlo, primetimo da su (ω, <) i (ω, <, S, 0) definiciono ekvivalentne strukture, gde je S funkcija sledbenika. Po poglav u 2.2 iz [10] teorija dlo + = T h(ω, <, S, 0) ima eliminaciju kvantifikatora. Odatle sledi da je (ω, <) minimalna struktura (svaki definabilan skup je konaqan ili kokonaqan). Lako se proverava da je p prost sa leva i da to svedoqi ω. (2) Sliqno kao u (1) moe se zak uqiti da je struktura (ω + ω, <) minimalna. Postoji jedinstven nealgebarski potpun 1-tip. On je prost s leva xto svedoqi ω i istovremeno prost s desna, xto svedoqi ω. (3) Primer prostog tipa CB ranga 2. Posmatrajmo strukturu M = (ω + Z Z, <, S, 0, 0 z ) z Z, gde je Z Z ureeno leksikografski i 0 z je (z, 0). Po rezultatima poglav a 2.2 iz [10] svaki model teorije dlo + je izomorfan strukturi (ω + L Z, <) za neko linearno ureee L, pri qemu je proizvod leksikografski ureen. Drugim reqima, model teorije dlo + poqie ureeem ω i nastav a se kopijama ureenih celih brojeva. Zato je redukt strukture M na jezik {<, S, 0} model teorije dlo +. Sama struktura M je ekspanzija konstantama modela teorije dlo +, odakle zak uqujemo da ima eliminaciju kvantifikatora. Neka je p z kompletirae tipa {S n (0 z ) < x < S m (0 z+1 ) m, n ω}. Koristei eliminaciju kvantifikatora, nije texko videti da {S n (0 z ) n N} svedoqi da je p z prost s leva dok {S n (0 z+1 ) n N} svedoqi da je p z prost s desna, kao i da je CB rang tipa p z jednak 1. Neka je p kompletirae tipa {n < x < 0 z n ω, z Z}. Tip p je prost s leva xto svedoqi ω. egov CB rang je 2 jer je on taqka nagomilavaa tipova p z. (4) Skiciraemo primer prostog tipa koji nema ordinalni CB rang. Neka je M = (ω + Q Z, <, S, P q, 0) q Q, pri qemu je Q Z ureeno leksikografski i unarni predikati P q su definisani na sledei naqin: (r, m) P q ako i samo ako q Q r. Sliqno kao u (3) zak uqujemo da je M model teorije dlo + kome smo dodali unarne predikate P q. Svaki predikat P q se sastoji od kopija Z koje su oznaqene racionalnim brojevima r q. Koristei standardne metode moe se proveriti da T = Th(M) ima eliminaciju kvantifikatora. Formule {n < x n ω} { P q (x) q Q} odreuju potpun tip p S 1 (T ). Eliminacija kvantifikatora implicira da je p prost s leva xto svedoqi ω. 45
2. DEFINICIJA I OSNOVNA SVOJSTVA PROSTOG TIPA Za svaki iracionalan broj r neka je p r potpuni tip odreen formulama {P q (x) q Q, q < r} { P q (x) q Q, r < q}. Jasno je da za sve iracionalne brojeve r vai CB(p r ) α za svaki ordinal α. Poxto je p taqka nagomilavaa tipova p r, zak uqujemo da je CB(p) α za svaki ordinal α. Tvree 3.11. Neka je p S 1 (T ) prost s leva. Postoje formula σ(x) p, definabilno ureee < na σ(u) i C dcl( ) takvi da vai: (1) (σ(u), <) je diskretno linearno ureee; (2) C p(u) je poqetni komad ureea σ(u); (3) (C, <) = (ω, <); (4) Za svaku formulu φ(x) p je skup C φ(c) konaqan. Dokaz. Neka σ(x), < i C svedoqe da je p prost s leva. Neka je c 0 minimalni element C-a. Poxto je C konveksan moemo pretpostaviti da formula σ(x) implicira formulu c 0 x (u suprotnom zamenimo formulu σ(x) formulom σ(x) c 0 x). Poxto je C konveksan, on je poqetni komad ureea σ(u). Za svako c C formula c < x za skup realizacija ima sve sem konaqno mnogo elemenata skupa C, pa je (c < x) p. Odatle sledi da je C < p(u). Pokazaemo da je C p(u) poqetni komad ureea σ(u). Pretpostavimo da a realizuje p i da je C < b < a za neko b σ(u). Dovo no je pokazati da b realizuje p. Po lemi 3.9 to e vaiti ako je tp(b) C-tip. Da bismo dokazali da je tp(b) konaqno zadovo iv u C, pretpostavimo da je φ(x) tp(b). S obzirom da je b σ(u), tj. σ(x) tp(b), bie i φ(x) σ(x) tp(b). Tada je ( y)(φ(y) σ(y) y < x) tp(a) = p. Poxto je p C-tip, za neko c C e biti ( y)(φ(y) σ(y) y < x) tp(c). Poxto je C poqetni komad ureea σ(u), svaki svedok formule = ( y)(φ(y) σ(y) y < c) je element skupa C koji zadovo ava φ(x). Ovim smo pokazali da je tp(b) konaqno zadovo iv u C. Tip tp(b) ne moe biti algebarski jer bi onda b bio 0-definabilan i formula b < x tp(a) ne bi imala realizacije u skupu C (jer c < b vai za svaki c C) xto je u kontradikciji sa qienicom da C svedoqi da je p = tp(a) prost s leva. Ovim smo pokazali da je tp(b) nealgebarski. Na osnovu zapaaa 3.5 iz qienica da je tp(b) nealgebarski i zadovo iv u C, zak uqujemo da je C-tip. Poxto je p jedinstven potpun C-tip nad, mora biti tp(b) = p, tj. b = p. Upravo smo pokazali da je C p(u) poqetni komad skupa σ(u). Odatle sledi i da je C p(u) linearno ureen relacijom <. Pokaimo da je (C p(u), <) diskretno ureee. Neka je ψ(x) formula bez parametara koja kae da x ima i neposrednog prethodnika i neposrednog sledbenika u σ(u). Formulu ψ(x) realizuju svi elementi skupa C {c 0 }. Poxto 46
2. DEFINICIJA I OSNOVNA SVOJSTVA PROSTOG TIPA je p C-tip, mora biti ψ(x) p. Dakle, (C p(u), <) je diskretno linearno ureee. Preostalo je jox da modifikujemo σ tako da (σ(u), <) bude linearno uree- e. To se lako postie time xto umesto σ(x) uzmemo formulu σ(x) θ(x) pri qemu formula θ(x) kae da je za svako y x interval [c 0, y] diskretno ureen relacijom < i da y ima neposrednog sledbenika. Na taj naqin, (σ(u), <) postaje diskretno ureee. Napomena 3.12. Nada e, kada kaemo da σ(x) i (C, <) svedoqe da je p prost s leva, mislimo da su zadovo eni uslovi tvrea 3.11. Tvree 3.13. Pretpostavimo da je teorija T mala i da sadri teoriju diskretno ureenih struktura i da ima definabilni element. Tada u S 1 (T ) postoji prost tip. Dokaz. Neka je c definabilan element. S obzirom da je ureee diskretno, bar jedan od skupova {S n (c) n N} i {S n (c) n N} je beskonaqan. Pretpostavimo da je to prvi i oznaqimo ga sa C. S obzirom da je C beskonaqan, onda skup {tp(a) a C} ima taqku nagomilavaa (u topoloxkom prostoru S 1 (T )), tj. postoji C-tip. Poxto je T mala teorija svaki tip iz S 1 (T ) ima ordinalni CB rang. Neka je p S 1 (T ) C-tip najmaeg CB ranga. Oznaqimo taj rang sa α. Neka je σ(x) formula koja izoluje p relativno u odnosu egov CB rang, tj. neka je σ(x) p takva da CB(σ) = α i da je deg(σ) = 1. To znaqi da e svaki drugi potpuni tip koji sadri formulu σ imati mai CB rang. S obzirom da je p jedan C-tip, on sadri formulu c < x. Zato formulu σ(x) moemo zameniti formulom (σ(x) c x) i tako izmeena e i da e izolovati p u egovom CB rangu. Tada je C σ(u) i c σ(u). Po naqinu na koji smo izabrali skup C i s obzirom da T sadri teoriju diskretno ureenih struktura, on je konveksan i vai (C, <) = (ω, <). Prva dva uslova definicije prostog s leva tipa su zadovo ene. Pretpostavimo da trei uslov nije ispuen, tj. da postoji φ(x) p(x) takva da je skup C φ(c) beskonaqan. S obzirom da je φ(c) beskonaqan skup i da je C σ(u) postoji C-tip q S 1 (T ) koji sadri φ(x) σ(x). Po naqinu na koji smo izabrali formulu σ, p je jedinstven potpuni 1-tip koji sadri σ(x) takav da je CB(p) = CB(σ) = α, odakle sledi da je CB(q) < α. Sa druge strane, s obzirom da je p S 1 (T ) C-tip minimalnog CB ranga, mora vaiti CB(q) α. Kontradikcija! Zak uqujemo da i trei uslov definicije prostog tipa mora biti ispuen qime je dokazan iskaz tvrea. Ovo poglav e zavrxavamo opisom tipova koji su prosti i sa leva i sa desna u odnosu na fiksirano ureee. Primer ovakvog tipa je jedinstveni 47
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA nealgebarski potpuni 1-tip bez parametara strukture (ω + L Z + ω, <), gde je L bilo koje linearno ureee ili prazan skup. Tvree 3.14. Neka je p S 1 (T ) istovremeno prost i s leva i s desna u odnosu na (σ (U), < ). Tada postoji formula σ(x) p, -definabilno diskretno linearno ureee < na σ(u) i C L, C R dcl( ) takvi da vae sledei uslovi (1) (σ(u), <) je diskretno linearno ureee kome je C L poqetni komad i kome je C R zavrxni komad; (2) (C L, <) = (ω, <) i (C R, <) = (ω, <); (3) Svaku formulu φ(x) p zadovo avaju svi sem konaqno mnogo elemenata skupa C L C R ; (4) C L p(u) C R = σ(u); p je jedinstven nealgebarski potpuni 1-tip koje sadri σ(x). Dokaz. Kao u tvreu 3.11 moemo nai σ(x), C L i C R koji zadovo avaju tri uslova definicije prostog tipa takve da je C L p(u) poqetni komad i p(u) C R zavrxni komad ureea (σ(u), <). Odatle sledi da je C L p(u) C R = σ(u), a time i da je p jedinstven potpuni 1-tip koji sadri σ(x). 3. Struktura na lokusu prostog tipa Glavni rezultat ovog ode ka je sledea teorema. Grubo reqeno, ona kae da na lokusu prostog tipa nema druge strukture osim one indukovane ureeem <. Teorema 3.2: Pretpostavimo da je T kompletna teorija jezika L, p S 1 (T ), σ(x) p i da je < -definabilno ureee na σ(u). Neka σ(x) i (C, <) svedoqe da je p prost tip i neka je L jezik koji sadri samo simbol za < i simbole elemenata skupa C. Tada je svaki relativno -definabilan podskup skupova p(u) n i (C p(u)) n relativno -definabilan formulom jezika L. Da bismo dokazali teoremu 3.2 potrebna su nam neka pomona tvrea. U iskazu tvrea je reqeno da σ(x) i (C, <) svedoqe da je p S 1 (T ) prost tip. Formula σ(x) i skup C se mogu izabrati da zadovo avaju uslove tvrea 3.11. Na da e emo, bez umaea opxtosti, pretpostaviti da je p prost s leva i oznaqavaemo ga sa p 0 S 1 (T ), da je C sadrano u jeziku L i da je ureeno tipom ureea ω i da je (σ(u), <) diskretno ureee. S obzirom da emo raditi isk uqivo u σ(u) ne koristei spo ne parametre, moemo, ne gubei na opxtosti, pretpostaviti da je σ(x) zapravo formula x = x. Dakle, radiemo u diskretno ureenoj strukturi (ω + L, <,... ) i enom univerzumu U. Tada je p 0 jedinstven ω-tip iz S 1 (T ) i za svaku formulu bez parametra φ(x) taqno jedan od skupova φ(ω) i φ(ω) je konaqan. Za bilo koji skup parametara E definiximo 48
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA p E (x) = {φ(x) φ(x) ima parametre iz E i ω φ(ω) je konaqan }. U lemi 3.6 smo sliqno definisali (mogue nepotpun) tip Σ(x). Primetimo da za E = vai p = p 0. Koristiemo samo skupove parametara E p 0 (U). Skica dokaza teoreme 3.2 je sledea: prvo emo u lemi 3.24 dokazati da je p E potpun tip. To e nam dozvoliti da primenimo ranije dokazanu lemu 3.20 i zak uqimo da su funkcije oblika S m (x) jedine E-definabilne funkcije na lokusu tipa p E. Odatle e slediti da su tipovi nizova realizacija tipa p 0 potpuno odreeni tipovima svih ihovih dvoqlanih podnizova. Za a b koji realizuju p 0 sve mogunosti za tp(a, b) su opisane u posledici 3.21: ili je S m (a) = b za neko m (tj. kopije Z oko elemenata a i b se poklapaju) ili a = p b. To se moe opisati formulama koje koriste samo < i konstante iz C, tj. ω, odakle sledi zak uqak. Podsetimo se leme 3.6 koja za C = ω i skup parametara E postaje sledea lema. Lema 3.15. (1) p E (x) je ω-tip. (2) p S 1 (E) je ω-tip ako i samo ako je p E (x) p(x). (3) Ako je p E potpun tip onda je jedinstven potpun ω-tip nad E. Primetimo da je p E potpun ako i samo ako je prost tip u T E. Lema 3.16. Neka je E p 0 (U) bilo koji skup parametara. Tada (1) Za svako a = p E vai ω < a. (2) Skupovi p E (U) i ω p E (U) su konveksni. Dokaz. (1) Za svako n ω formula n < x ima kokonaqan skup rexea, pa pripada tipu p E. Dakle, n < a vai za svako a p E i svako n ω. (2) Sliqno dokazu u sluqaju (ω p 0 (U)) n tvrea 3.11, pretpostavimo da je ω < b < a i da je a = p E. Dokazaemo da je tp(b/e) konaqno zadovo en u ω. Neka je φ(x) tp(b/e). Tada ( y)(φ(y) y < x) tp(a/e). S obzirom da je tp(a/e) p E, po lemi 3.15 (2), on je ω-tip. Zato je svaka formula koja mu pripada zadovo ena u ω. Zak uqujemo da za neko n ω vai ( y)(φ(y) y < x) tp(n/e). Svaki svedok za = ( y)(φ(y) y < n) je element ω koji zadovoava φ(x). Dakle, tp(b/e) je konaqno zadovo iv u ω. Primetimo da tp(b/e) ne moe biti algebarski jer bi onda element b bio definabilan i formula b < x bi bila formula tipa tp(a/e) koja nije zadovo ena u ω (jer je ω < b), xto je u suprotnosti sa qienicom da je tp(a/e) ω-tip. Zak uqujemo da je tp(b/e) takoe ω-tip. Po lemi 3.15(2) vai p E tp(b/e), pa b = p E. Odatle sledi da je ω p E (U) konveksan skup, a samim tim je i p E (U) konveksan skup. 49
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA Lema 3.17. Neka je D U neprazan E-definabilan skup. (1) Ako je D odozgo ograniqen elementom skupa p 0 (U), onda D ima maksimum i max D je E-definabilan. (2) Ako D seqe lokus tipa p 0, onda D ima minimum i min D je E-definabilan. Dokaz. (1) Neka je a p 0 (U). Radi svoea na kontradikciju pretpostavimo da D a nema maksimum. Neka formula φ(t, ē) definixe D, pri qemu je ē E, i neka θ(x, ȳ) tp(a, ē) bude formula koja kae φ(u, ȳ) nema maksimum i φ(u, ȳ) x. Tada ( ȳ)θ(x, ȳ) tp(a). Poxto je tp(a) = p 0 ω-tip, postoji n ω takvo da ( ȳ)θ(x, ȳ) tp(n). To znaqi da za neko b U vai = θ(n, b), pa θ(u, b) [0, n] nema maksimum. Kontradikcija. Ovim smo pokazali da D ima maksimum. Maksimum je definisan formulom φ(x, ē) ( z)(φ(z, ē) z x). Oqigledno je da ova formula koristi iste parametre koji su korixeni da se definixe skup D, a to su parametri iz skupa E. (2) Neka je a D p 0 (U). Ako je a minimum skupa D zavrxili smo. U suprotnom neka je D = { x x D }. Tada je 0 D, pa je D. S obzirom da je D a, moemo primeniti deo (1) ove leme i zak uqiti da D ima maksimum. Lako je uvideti da je max D = min D, odakle sledi da D ima minimum kao i da je minimum definabilan formulom koja koristi iste parametre koje koristi formula koja definixe skup D. Definicija 3.18. cl(e) je konveksno zatvoree skupa p 0 (U) dcl(e). U sledeoj lemi emo pokazati da je cl(e) iznad svih realizacija tipa p E. Lema 3.19. Neka a = p 0 i neka je cl(e). Sledei iskazi su ekvivalentni. (1) tp(a/e) je ω-tip; ekvivalentno a = p E. (2) ω < a < cl(e). Dokaz. (1) (2) Pretpostavimo da je tp(a/e) ω-tip. Tada vai ω < a (lema 3.16(1)). Preostaje da pokaemo da je a < cl(e). Pretpostavimo da je b p 0 (U) dcl(e) i dokaimo da je a < b. Neka je f 0-definabilna funkcija takva da je f(ē) = b za neko ē E n. Ako je f(ē) a, onda je f(ē) x tp(a/e) i, poxto je tp(a/e) ω-tip, za neko n ω bie f(ē) n, a time i f(ē) ω. Kontradikcija! Zak uqujemo da mora biti a < b. (2) (1) Pretpostavimo da je ω < a < cl(e). Oqigledno je tp(a/e) nealgebarski, pa je dovo no pokazati (zapaae 3.5) da je zadovo iv u ω. Neka je φ(x, ē) tp(a/e) i neka je D = φ(u, ē). Tada D seqe p 0 (U) poxto je a D. Zato moemo primeniti lemu 3.17(2) i zak uqiti da D ima minimum, recimo da je 50
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA to b. Tada b a, b dcl(e) i ω < a < cl(e) povlaqe da je b ω. To upravo znaqi da je φ(x, ē) zadovo eno elementom b ω. Ovim je lema dokazana. Lema 3.20. Neka je p E potpuni tip i neka je f unarna E-definabilna funkcija na U koja p E (U) slika na ega samog. Neka je f E = f p E (U). Tada (1) Funkcija f E je strogo rastua; (2) Postoji k Z takvo da je (f(x) = S k (x)) p E (x). Dokaz. (1) U svrhu svoea na kontradikciju pretpostavimo suprotno, tj. da f E nije strogo rastua. Tada postoje a, b = p E takvi da je a < b i da je f(b) f(a). Razmatramo dva sluqaja: 1. sluqaj: (x < f(x)) p E (x). Tada je b < f(b) a time i a < b < f(b) f(a). Definiximo D(x, y) = x < y < f(y) f(x). Tada b D(a, U), pa je D(a, U) neprazan skup i vai yd(x, y) p E (x). Poxto je p E (U) konveksan (lema 3.16), a < D(a, U) < f(a) i a, f(a) p E (U), zak uqujemo da je D(a, U) p E (U). Zapravo, D(c, U) p E (U) vai za svako c koje realizuje p E. Skup D(a, U) je neprazan i ograniqen, pa, po lemi 3.17(1), ima maksimum, recimo da je to d. Vai sledee a < d < f(d) f(a). (1) S obzirom da d realizuje p E i da je yd(x, y) p E (x), skup D(d, U) mora biti neprazan. Neka je d element skupa D(d, U). Vai d < d < f(d ) f(d). (2) Iz (1) i (2) sledi da je a < d < d < f(d ) f(d) f(a). Dakle, d je element skupa D(a, U) i d > d = max D(a, U). Kontradikcija! Ovim je zavrxen dokaz u sluqaju kada je (x < f(x)) p E (x). 2. sluqaj: (f(x) < x) p E (x) U ovom sluqaju vai f(b) f(a) < a < b. Definiximo D(x, y) = f(x) f(y) < y < x i nastavimo sliqno kao u 1. sluqaju ( U ovom sluqaju koristimo deo (2) leme 3.17). (2) Neka je a < b i neka su a i b realizacije tipa p E. Tada po delu (1) ove leme sledi da je f [a, b] strogo rastua a time i,,1-1". Ona je takoe i,,na": f slika p E (U) u sebe samog pa za svako d koje realizuje p E vai d = f(d) p E (U), a time je ( y)(f(y) = x) tp(d /E) = p E. Zato vai p E (x) p E (y) {x < y},,f [x, y] je bijekcija na [f(x), f(y)]. 51
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA Po kompaktnosti postoji formula θ(x) p E (x) takva da je θ(x) θ(y) x < y,,f [x, y] je bijekcija na [f(x), f(y)]". Poxto je θ(x) p E (x), skup θ(ω) je konaqan, pa postoji n 0 takav da = θ(n) vai za sve n n 0. Dakle, za sve prirodne brojeve m i n takve da je m > n n 0 funkcija f [n, m] je bijekcija iz [n, m] na [f(n), f(m)]. To specijalno znaqi da intervali [n 0, n] i [f(n 0 ), f(n)] imaju istu duinu za svako n n 0 i tada n n 0 = f(n) f(n 0 ). Zato f(n) n = f(n 0 ) n 0 vai za svako n n 0, tj. f(n) n = k vai za k = f(n 0 ) n 0 i svako n n 0. Poxto je p E jedinstven ω-tip, bie (f(x) = S k (x)) p E (x). Kao neposrednu posledicu dobijamo potpuni opis svih moguih kompletiraa tipa p 0 (x) p 0 (y). Posledica 3.21. Neka vai a, b = p 0. a) cl(a) = {S k (a) k Z}. b) tp(b/a) je ω-tip ako i samo ako cl(b) < cl(a). v) Postoje taqno tri mogunosti: 1) cl(a) < cl(b) (kada je (b, a) ω-niz); 2) cl(b) < cl(a) (kada je (a, b) ω-niz); 3) cl(a) = cl(b) (kada je a = S m (b) za neko m Z). Dokaz. a) Sledi iz leme 3.20(2); b) Po lemi 3.19 tp(b/a) je ω-tip ako i samo ako ω < b < cl(a). Poslede je ekvivalentno sa ω < S m (b) < cl(a) za neko (svako) m Z. Po delu a ove posledice ovo je ekvivalentno sa cl(b) < cl(a). v) Ako je cl(a) < cl(b) ili cl(b) < cl(a), zak uqak sledi na osnovu dela b. Jedina preostala mogunost je, po delu a, cl(a) = cl(b). Opis 2-tipova bez parametara je posledica leme 3.20, qija primena je bila mogua jer je p 0 potpun tip. Radi opisa n-tipova (za n > 2), dokazaemo u nizu lema da je pā potpun tip za bilo koji niz realizacija tipa p 0. Lema 3.22. Neka je p E potpun i neka d = p E. Sledei uslovi su ekvivalentni: (1) tp(a/de) je ω-tip; (2) tp(a/d) je ω-tip. Dokaz. (1) (2) vai jer je restrikcija ω-tipa takoe ω-tip. Da bismo dokazali (2) (1) pretpostavimo da je tp(a/d) ω-tip. Tada po posledici 3.21 vai ω < cl(a) < cl(d). Pokazaemo da je ω < a < cl(de). Pretpostavimo da za neku E-definabilnu funkciju f vai da f(d) realizuje p 0. Ako f(d) ne realizuje p E, tada (po lemi 3.19) nije f(d) < cl(e), tj. vai b f(d) za neko b cl(e). 52
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA Poxto je tp(d/e) = p E ω-tip, po lemi 3.19, mora biti d < cl(e). To zajedno sa a < cl(d) daje a < f(d). Zato pretpostavimo da f(d) realizuje p E. Tada f slika lokus tipa p E na ega samog, pa moemo da primenimo lemu 3.20(2): Za neki k Z je f(d) = S k (d). Tada je f(d) cl(d), pa iz a < cl(d) sledi a < f(d). Zato a < f(d) vai za bilo koju E-definabilnu funkciju f takvu da je f(d) = p 0. Zak uqujemo da je ω < a < cl(de) pa je, po lemi 3.19, tp(a/de) ω-tip. Lema 3.23. Ako je p E potpun tip, i d = p E, onda je i p de potpun tip. Dokaz. Radi svoea na kontradikciju pretpostavimo da su tipovi tp(a /de) i tp(a/de) razliqiti ω-tipovi. Tada tp(a d/e) tp(ad/e). Tipovi tp(a /E) i tp(a/e) su ω-tipovi, pa i a i a realizuju p E (x). Neka je H automorfizam koji fiksira sve elemente skupa E i slika a u a i neka je b = H(d). Takav automorfizam postoji jer radimo u univerzumu (zasienoj strukturi). Tada je H(a, d) = (a, b), pa je tp(a d/e) = tp(ab/e), a time i tp(ad/e) tp(ab/e). Neka je φ(x, y, ē) tp(ab/e) tp(ad/e). Sada je situacija sledea: (1) Elementi a, d i b = H(d) realizuju p E ; (2) Tipovi tp(a/d) i tp(a/b) su ω-tipovi, a < d i a < b; (3) Vai = φ(a, b, ē) φ(a, d, ē). Bez umaea opxtosti pretpostavimo da je b < d. Tada je a < b < d. Neka je D = {x a < x < d φ(a, x, ē)}. Tada je b D, pa je D neprazan i odozgo ograniqen elementom d. Po lemi 3.17(1) D ima maksimum; oznaqimo ga sa b. Sada vai b b < S(b ) d. Lokus tipa p E je konveksan i b, d = p E, pa b i S(b ) realizuju p E. Dakle, vai: φ(x, b, ē) φ(x, S(b ), ē) tp(a/b E). Po lemi 3.19, s obzirom da je tp(a/be) ω-tip, zak uqujemo da vai ω < a < cl(bē). Po lemi 3.20, svaka E-definabilna funkcija f, koja lokus tipa p E slika na ega samog je rastua, pa iz b b i ω < a < f(b, ē) sledi da je ω < a < f(b, ē). Zato iz ω < a < cl(bē) sledi ω < a < cl(b ē). Po lemi 3.19, tp(a/b ē) je ω-tip, pa za neko (zapravo za skoro svako) n ω vai = φ(n, b, ē) φ(n, S(b ), ē). Dakle, tp(b /E) tp(s(b )/E). Sa druge strane, poxto je p E (U) konveksan i zatvoren za prethodnike i sledbenike, elementi b i S(b ) realizuju p E, a time tp(b /E) = tp(s(b )/E). Kontradikcija. Dakle postoji jedinstven ω-tip sa parametrima de, tj. tip p de je potpun. Lema 3.24. Neka su a n a 1 realizacije tipa p 0. Tada (1) p a1...a n je potpun tip; postoji jedinstven ω-tip u S 1 (a 1... a n ). 53
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA (2) Ako je b a n i b cl(a 1,..., a n ), onda je b cl(a n ). Dokaz. Dokaz emo sprovesti koristei indukciju istovremeno na oba dela leme. Prvo posmatrajmo sluqaj n = 1. Poxto a 1 = p 0 i poxto je p 0 potpun tip, primeujui lemu 3.23 na a 1 i kao d i E, zak uqujemo da je p a1 potpun tip. Dakle, deo (1) vai za n = 1. Oqigledno je da za n = 1 deo (2) vai. Pretpostavimo da je hipoteza taqna za n = k. Tada je p a1...a k potpun tip. Podsetimo se da je a k+1 a k a 1. Za a k+1 postoje dve mogunosti: Prvi sluqaj: a k+1 cl(a 1,..., a k ). Tada je a k+1 cl(a 1,..., a k ), a time je, po delu (2) hipoteze, a k+1 cl(a k ). Po posledici 3.21(a) iz a k+1 cl(a k ) sledi da je a k+1 = S r (a k ) za neko r N. Poxto je a k+1 definabilan nad a k i poxto je p a1...a k potpun tip zak uqujemo da je p a1...a k a k+1 takoe kompletan. Ovim je dokazan deo (1) za n = k + 1. Da bismo dokazali deo (2), pretpostavimo da neko b a k+1 zadovo ava b cl(a 1,..., a k, a k+1 ). Tada postoji -definabilna funkcija f takva da vai: ω < f(a 1,..., a k, a k+1 ) b a k+1 a k a 1. Tada vai ω < f(a 1,..., a k, S r (a k )) b a k a 1, pa je b cl(a 1,..., a k ). Po delu (2) hipoteze sledi da je b cl(a k ), pa, po posledici 3.21(a), sledi da je b = S m (a k ). Zato je b = S r m (a k+1 ), a time i b cl(a k+1 ). Drugi sluqaj: a k+1 < cl(a 1,..., a k ). Po lemi 3.19 sledi da je tp(a k+1 /ā) ω-tip, gde je ā = (a 1,..., a k ). Po delu (1) hipoteze sledi da je pā potpun tip, pa je a k+1 = pā. Primeujui lemu 3.23 na a k+1 i ā kao d i E zak uqujuemo da je tip p a1...a k a k+1 potpun. Ovim je dokazan deo (1). Da bismo dokazali deo (2) pretpostavimo da je b cl(ā, a k+1 ). Tada postoji -definabilna funkcija f takva da je ω < f(ā, a k+1 ) b. Neka fā(x) oznaqava f(ā, x). Vai: ω < fā(a k+1 ) b a k+1 < cl(ā). Po hipotezi pā je potpun i, po lemi 3.19, fā(a k+1 ) i a k+1 realizuju pā. Prema tome, fā slika lokus tipa pā u ega samog. Po lemi 3.20 vai fā(a k+1 ) = S m (a k+1 ) za neko m. Tada vai S m (a k+1 ) b a k+1, pa je b cl(a k+1 ). Ovim je dokaz zavrxen. Lema 3.25. Pretpostavimo da a n a 1 realizuju p 0. Tada vai tp xi+1,x i (a i+1, a i ) tp x1,...,x n (a 1,..., a n ). 1 i<n 54
3. STRUKTURA NA LOKUSU PROSTOG TIPA Dokaz. Indukcijom. Pretpostavimo da tvree vai za n, tj. da vai 1 i<n tp xi+1,x i (a i+1, a i ) tp(a 1,..., a n ) i dokazaemo da vai i za n + 1. Radi lakxeg qitaa u ostatku teksta emo izostaviti indekse koji ukazuju na promen ive tipova. To nee omesti praee jer e x i, x j uvek biti promen ive tipa tp(a i, a j ). Po hipotezi vai 1 i<n+1 tp(a i+1, a i ) tp(a n+1, a n ) tp(a 1,..., a n ), pa je potrebno dokazati da tip na desnoj strani forsira tp(a 1,..., a n ). Razlikujemo dva sluqaja. Prvi sluqaj: Tip tp(a n+1 /a n ) je ω-tip. Po lemi 3.24(1) postoji jedinstven ω-tip u S 1 (a 1... a n ), pa moemo primeniti lemu 3.22 i zak uqiti da je tp(a n+1 /a 1,..., a n ) jedinstven ω-tip. Dakle, vai tp(a n+1, a n ) tp(a n+1 /a 1,..., a n ) i tp(a n+1, a n ) tp(a 1,..., a n ) tp(a 1,..., a n, a n+1 ). Drugi sluqaj: Tip tp(a n+1 /a n ) nije ω-tip. Po posledici 3.21 je a n+1 = S m (a n ) za neko m N. Tada je tp(a n+1, a n ) tp(a 1,..., a n ) tp(a 1,..., a n, a n+1 ) qime je dokaz zavrxen. Opis svih potpunih 2-tipova koji xire p 0 (x) p 0 (y) je dat u posledici 3.21. Kombinujui tu posledicu sa lemom 3.25 dobijamo opis svih potpunih n-tipova. Specijalno, imamo opis tipa ω-niza: Ako a 1... a n realizuju p 0, onda je (a 1,..., a n ) ω-niz ako i samo ako je cl(a n ) < < cl(a 1 ). Posledica 3.26. Neka a n a 1 realizuju p 0. Neka je W = {i n cl(a i+1 ) < cl(a i )} i V = {i n cl(a i+1 ) = cl(a i )}. Za svako i V neka je m i N takav da vai S m i (a i+1 ) = a i. Tada je p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {S m (x i+1 ) < x i m N, i W } {S m i (x i+1 ) = x i i V } tp(a 1,..., a n ). Dokaz. Sledi direktno iz leme 3.25 i posledice 3.21. Dokaz teoreme 3.2: Neka je L = {<} ω. Tada vai L L zato xto je ω apsorbovano u L. Treba pokazati da ako (ω, <) svedoqi da je p 0 prost tip, onda je svaki relativno -definabilan podskup skupa p 0 (U) n ili (ω p 0 (U)) n relativno definabilan L -formulom. Koristiemo kriterijum opisan u lemi 1.18. Dokaz delimo na dva dela. 55
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K Sluqaj p 0 (U) n : Pretpostavimo da je D p 0 (U) n relativno definisan L formulom φ( x). Pokazaemo da je D relativno definisan L -formulom. Neka je K = {tp(ā) ā D}. Tada je K skup svih potpunih n-tipova koji sadre {φ( x)} 1 i n p 0(x i ), pa je K zatvoren podskup prostora S n (T ). Treba pokazati da za svaki tip q( x) K postoji L -formula θ q ( x) takva da θ q ( x) q i p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {θ q ( x)} φ( x). (1) Tada, poxto je K zatvoren u S n (T ), L -formula se moe lako dobiti po kompaktnosti (kao u kriterijumu opisanom u lemi 1.18). Da bismo dokazali (1) pretpostavimo, ne umaujui opxtost, da φ( x) implicira x n x 1 i da je ā = q. Tada a n a 1 realizuju p 0, pa moemo da primenimo posledicu 3.26: za povo no odabranu particiju W, V skupa {1,..., n} vai da je tip tp(a 1,..., a n ) = q( x) forsiran tipom p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {S m (x i+1 ) < x i m N, i W } {S m i (x i+1 ) = x i i V } q( x), Poxto je φ( x) tp(a 1,..., a n ) = q( x) vai p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {S m (x i+1 ) < x i m N, i W } {S m i (x i+1 ) = x i i V } φ( x). Po kompaktnosti postoji formula θ q ( x) koja je konjunkcija formula oblika S m (x i+1 ) < x i i S m i (x i+1 ) = x i takva da p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {θ q ( x)} φ( x). Formula θ q ( x) je L -formula (jer je S m (x) = y definisano L -formulom) koja je zadovo ena nizom ā, pa pripada tipu q i zadovo ava (1). Ovim je dokazan prvi sluqaj teoreme. Sluqaj (ω p 0 (U)) n : Pretpostavimo da je D (ω p 0 (U)) n relativno definisan L formulom φ( x). Da bismo dokazali da je D relativno definisan L -formulom dovo no je pokazati da je ω p 0 (U) tip-definabilan skup, jer e tad ostatak dokaza biti sliqan dokazu u prvom sluqaju (za p 0 (U) n ). Poxto je p 0 jedinstven potpuni ω-tip u S 1 ( ) tada je b / ω p 0 (U) ako i samo ako postoji formula ψ(x) tp(b) koju ne zadovo ava nijedan element skupa ω. Ako F oznaqava skup svih takvih formula onda je ω p 0 (U) definisan tipom {x < ψ(u) ψ(x) F}. Dakle, (ω p 0 (U)) n je tip-definabilan. 4. Ekspanzije CB ranga 1 i stepena k U ovom ode ku emo dokazati karakterizaciju ekspanzija struktura (ω, <) i (ω + ω, <) (u kojima ω nije definabilno) qiji je CB rang jednak 1, koja je iskazana u teoremi 1. Prvo emo se baviti sluqajem deg(x = x) = 1. 56
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K Dokaz teoreme 2: Dokazaemo da ne postoji prava ekspanzija strukture (ω, <) koja zadovo ava uslov CB(x = x) = deg(x = x) = 1. Pretpostavimo da je struktura M = (ω, <,... ) jedna takva ekspanzija. Radiemo u U, univerzumu teorije Th(M). Uslov CB(x = x) = deg(x = x) = 1 implicira da je svaki -definabilan podskup skupa ω ili konaqan ili kokonaqan. Zato postoji jedinstven nealgebarski potpuni tip p S 1 ( ): to je tip koji sadri sve formule qiji je skup rexea kokonaqan. Lako je videti da (C, <) = (ω, <) svedoqi da je p prost sleva (ovde je σ(x) zapravo x = x). Neka je D -definabilni podskup skupa U n. Poxto je ω p(u) = U, svaki relativno -definabilni skup je -definabilan, pa primeujui teoremu 3.2 zak uqujemo da je D -definabilan u jeziku koji se sastoji od simbola relacije < i simbola konstanti za elemente skupa ω. Specijalno, D je -definabilan u (U, <), pa je M definiciona ekspanzija strukture (ω, <). Teorema 3.27. Ne postoji prava ekspanzija strukture (ω+ω, <) koja zadovo ava CB(x = x) = deg(x = x) = 1. Dokaz. Pretpostavimo da je M = (ω + ω, <,... ) jedna takva ekspanzija u jeziku L koji sadri simbole konstanti svih elemenata skupa nosaqa. Neka je L jezik koji se sastoji samo od simbola relacije < i simbola konstanti svih elemenata skupa nosaqa. Radimo u univerzumu U koji je ekstenzija strukture M. Postoji jedinstven nealgebarski tip p S 1 (T ). Tip p je prost s leva xto svedoqi ω i istovremeno prost s desna xto svedoqi ω. Zato je U = ω+p(u)+ω. Neka je p 0 (x) := {n < x x < n n ω}. Oqigledno je p 0 podtip tipa p i sadri samo L -formule. Pretpostavke o CB rangu i stepenu impliciraju da p 0 (x) forsira p(x). Neka je φ( x) formula jezika L takva da je D = φ(u) neprazan skup. Pokazaemo da je D definabilan formulom jezika L. Neka je K := {tp(a 1,..., a k ) (a 1,..., a k ) D}. Dovo no je da za svako q K naemo formulu θ q ( x) q jezika L takvu da implicira φ( x). Neka je ā = (a 1,..., a k ) = q. Ne gubei na opxtosti pretpostavimo da je ā = {a n+1,..., a k } = (ω ω ) ā i da je a n a 1. Tada (a 1,..., a n ) p(u) n zadovo ava L formulu φ(x 1..., x n, ā ). Primenimo posledicu 3.26 na p kao na tip prost s leva: za pogodno izabranu particiju W, V skupa {1,..., n} vai p(x 1 ) p(x n ) {S m (x i+1 ) < x i m N, i W } {S m i (x i+1 ) = x i i V } tp(a 1,..., a n ), 57
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K pri qemu je leva strana podskup tipa tp(a 1,..., a n ). S obzirom da je φ( x, ā ) tp(a 1,..., a n ) vai p(x 1 ) p(x n ) {S m (x i+1 ) < x i m N, i W } {S m i (x i+1 ) = x i i V } φ( x, ā ). Po kompaktnosti, postoji formula θ( x) koja je konjunkcija formula oblika S m (x i+1 ) < x i i S m i (x i+1 ) = x i takva da je p(x 1 ) p(x n ) {θ( x)} φ( x, ā ). S obzirom da p 0 (x) p(x) sledi p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) {θ( x)} φ( x, ā ). Leva strana sadri samo formule jezika L, pa, po kompaktnosti, sledi da postoji L -formula θ q ( x) tp(a 1,..., a n ) koja implicira φ( x, ā ). Formula θ q ( x) 1 i k n x n+i = a n+i je formula jezika L koja pripada tipu q i koja implicira φ(x 1,..., x k ), pa je, po kriterijumu iz leme 1.18, φ modulo T ekvivalentna formuli jezika L, qime je dokaz zavrxen. Dokaz prethodne teoreme moe biti iskorixen da objasni lokalnu strukturu tipova koji su istovremeno prosti i s leva i s desna u odnosu na isto ure- ee. Grubo govorei, sledea teorema iskazuje da su lokalno, do na definicionu ekvivalentnost, takvi tipovi jedinstveni nealgebarski potpuni 1-tipovi strukture (ω + ω, <). Za formulu bez parametara σ(x) pod strukturom indukovanom na σ(u) podrazumevamo strukturu kojoj je skup nosaq σ(u) i qije su -definabilne relacije taqno oni u strukturi U -definabilni podskupovi skupa σ(u) n (za svako n). Teorema 3.28. Neka je p S 1 (T ) istovremeno prost sa leva i sa desna u odnosu na (σ(u), <). Neka C L, C R dcl( ) zadovo avaju uslove tvrea 3.14: (1) (σ(u), <) je diskretno linearno ureee, C L mu je poqetni komad i C R mu je zavrxni komad. (2) (C L, <) = (ω, <) i (C R, <) = (ω, <). (3) Za svaku formulu φ(x) p je C L C R φ(c L C R ) je konaqan. (4) C L p(u) C R = σ(u); p je jedinstven nealgebarski potpun 1-tip koji sadri σ(x). Tada je indukovana struktura (σ(u),... ) definiciono ekvivalentna strukturi (σ(u), <). Specijalno, (σ(u), <) (ω + ω, <). Dokaz. Glavni deo dokaza teoreme 3.27 je qienica da je p jedinstven nealgebarski potpuni 1-tip i da je egov lokus smexten izmeu ω i ω. Isti postupak u kome C L i C R zauzmu mesto skupova ω i ω tim redom primeiv je u ovom dokazu. Ostatak ove glave je posveen dokazu teoreme 1. Dokaz ena dva dela je dat u posebna dva poglav a koja slede. 58
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K 4.1. Ekspanzije strukture (ω, <). U ovom poglav u emo razmatrati ekspanzije strukture (ω, <) CB ranga 1 i stepena k > 1 i dokazati prvi deo teoreme 1. Zato emo pretpostaviti da je M = (ω, <,... ) i da je CB(x = x) = 1 i deg(x = x) = k > 1. Pokazaemo da je struktura M definiciono ekvivalentna strukturi (ω, <, P k ). Povo no je uvesti sledeu notaciju: Kaemo da je beskonaqan M-definabilan skup D ω minimalan u M ukoliko ga nijedan drugi M-definabilan skup ne cepa na dva beskonaqna dela. Za minimalne skupove D 1, D 2 postoje dve mogunosti: (1) Skoro su disjunktni:: D 1 D 2 je konaqan. (2) Skoro su jednaki (u oznaci D 1 = D 2 ): D 1 D 2 je konaqan. Pretpostavka deg(x = x) = k je ekvivalentna s tim da je k jedinstven prirodan broj za koji postoje minimalni, po parovima skoro disjunktni skupovi D 1, D 2,..., D k takvi da je ω = k i=1 D i. Napomena 3.29. Ako su {D 1, D 2,..., D n } i {E 1, E 2,..., E m } dve familije minimalnih, po parovima skoro disjunktnih skupova takve da je D i = E j n m tada je m = n i postoji permutacija τ skupa {1, 2, 3,..., n} takva da je D i = E τ(i) za svako i n. Lema 3.30. Skup {x x 0(mod k)} je minimalan (definabilan) skup u M. Dokaz. Pretpostavimo da je D minimalan skup. Tada je za svako i Z translat D + i takoe minimalan. Neka je S := {i Z D = (D + i)}. Pokazaemo da je S podgrupa grupe (Z, +). Neka su i, j S. Tada je D = D + i i D = D + j i, po tranzitivnosti relacije =, bie i D + i = D + j. Translirajui oba skupa za i dobija se D = D + j i. Dakle, j i S, pa zak uqujemo da je S podgrupa. Pokazaemo da je S netrivijalna podgrupa. Poxto skupovi D + i ne mogu da budu po parovima disjunktni za svako i Z, mora biti D + i = D + j za neke meusobno razliqite i, j Z. tada je D = D +i j, i j 0 i i j S. Neka je n N takvo da je S = nz. Iz definicije skupa S i osobina podgrupa grupe (Z, +) zak uqujemo da je n najvei broj za koji su skupovi D, D + 1, D + 2,..., D+(n 1) po parovima skoro disjunktni. Pokazaemo da je ihova unija skoro jednaka skupu ω. Jednakost D = (D + n) implicira da za neko a D vai M = ( x > a)(x D x + n D). (1) Tvrdimo za b, c, bilo koji par elemenata skupa D koji su vei od a, da su kongruentni modulo n. Neka je B = {b+i n i N} i neka je C = {c+i n i N}. Tada, po (1), vai B D i C D. Poxto je B = C + b c zak uqujemo da je D + b c B, pa je D D + b c beskonaqan i, po minimalnosti skupova 59 i=1 j=1
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K D i D + b c, vai D = D + b c. Zato vai b c S, a time i da su b, c kongruentni modulo n, qime je dokazana tvrda. Neka je D skup svih elemenata skupa D koji su vei od a. Tada je D = D, pa je D minimalan. Poxto su svaka dva elemena skupa D kogruentna modulo n i b D, vai D B. Tada, po (1), sledi da je B = D, pa je B definabilan i minimalan. Dakle, B b = {x x 0(mod n)}. Poxto je ω disjunktna unija n translata skupa B b i svaki je minimalan, zak uqujemo da je n = deg(x = x) = k. Zato je {x x 0(mod k)} minimalan, qime je lema dokazana. Dokaz teoreme 1(1): Po lemi 3.30, P k (x) je definabilan u M, pa je ekspanzija M 1 = (ω, <, P k (ω),... ) definiciona ekspanzija strukture M. Neka je U univerzum teorije Th(M 1 ). Tvrda: Svaki - definabilan skup u U ima definiciju u jeziku L koji se sastoji od simbola <, P k i simbola konstanti za elemente skupa ω. Oqigledno je da tvrda implicira definicionu ekvivalentnost struktura M 1 i (ω, <, P k (ω)). Prvo emo dokazati tvrdu za -definabilni podskup D P k (U) n. Neka je p S 1 (T ) jedan P k (ω)-tip. Poxto je P k (ω) minimalan skup u M 1, p je jedinstven potpuni P k (ω)-tip i P k (x) i (P k (ω), <) svedoqe da je p prost s leva. Primetimo da vai P k (U) = P k (ω) p(u). Primenimo teoremu 3.2 na p: D je relativno definisan formulom jezika L unutar (P k (ω) p(u)) n = P k (U) n. Poxto je P k (U) L -definabilan, mora i D biti L -definabilan. Ovim je dokazan specijalan sluqaj tvrde. Da bismo dokazali potpunu tvrdu pretpostavimo da je D U n -definabilan skup. Za svaki v = (v 1,..., v n ) {0,..., k 1} n definiximo D v := {ā D ā + v P k (U) n }. Primetimo da je D disjunktna unija skupova D v. Tada je D v + v definabilan podskup skupa P k (U) n. Po dokazanom specijalnom sluqaju tvrea, skup D v + v je L -definabilan, pa je to i D v. S obzirom da je D unija skupova D v, i sam D je L -definabilan. Ovim je zavrxen dokaz teorme 1(1). 4.2. Ekspanzije strukture (ω + ω, <). Dokaz drugog dela teoreme 1 je sliqan dokazu prvog. Skica dokaza je sledea: Pretpostavimo da je M ekspanzija strukture (ω + ω, <) takva da je CB(x = x) = 1, deg(x = x) = k > 1 i da ω nije definabilno u M. Pokazaemo da je M definiciono ekvivalentno strukturi (ω + ω, <, B k,l ). Pretpostavimo da je D minimalan skup u M. Kao u dokazu leme 3.30 dobija se da je {i Z D = D + i} = n Z. Poxto ω nije definabilno u M i vai D = D + n, postoji m ω takvo da vai M = ( x)(m < x < m (x D S n (x) D)). 60
4. EKSPANZIJE CB RANGA 1 I STEPENA K Sledi da je D ω skoro jednako nekom translatu skupa n ω i da je D ω skoro jednako nekom translatu skupa n ω. Zak uqujemo da je n = k, da je D skoro jednako nekom B k,l i da je B k,l definabilan i minimalan u M. Dokaz definicione ekvivalentnosti struktura M i (ω + ω, <, B k,l ) je sliqan odgovarajuem dokazu prvog dela teoreme. 61
POGLAVE 4 Linearna binarnost, jaka linearna binarnost U ovom poglav u opisujemo definabilne skupove u linearnim ureeima, mogue sa pridodatim unarnim predikatima i konveksnim ekvivalencijama i kao rezultat ispitivaa dokazujemo teoremu 3. Bavimo se specifiqnim oblicima binarnosti koji su karakteristiqni za teorije linearno ureenih struktura. Uvodimo pojam linearne binarnosti i jake linearne binarnosti i dokazujemo teoremu 4, odnosno da svojstvo jake linearne binarnosti esencijalno karakterixe teorije linearnih ureea sa pridodatim unarnim i konveksnim relacijama ekvivalencije. Potpuna teoriju prvog reda T je binarna ako je svaka L formula T-ekvivalentna Bulovoj kombinaciji L formula koje imaju najvixe dve slobodne promen ive. Binarnost se na ekvivalentan naqin moe izraziti i preko tipova sledeim uslovom: Za svaki prirodan broj n i svaki potpun tip p(x 1,..., x n ) vai 1 i<j n p i,j (x i, x j ) p(x 1,..., x n ), gde je p i,j (x i, x j ) potpuni 2-tip koji se sastoji od svih formula ϕ(x i, x j ) p. Primeujui teoremu kompaktnosti, nije texko dokazati da je prethodni uslov ekvivalentan binarnosti teorije T. Rozenxtajn u [14] navodi da je F. Galvin pokazao da su teorije linearnih ureea binarne, a Rubin je u [15] pokazao da je svaka potpuna teorija linearnog ureea sa unarnim predikatima binarna i to u smislu jaqem od obiqne binarnosti. To je isti oblik binarnosti do koga smo mi doxli u drugom poglav u: Za a n a 1 iz lokusa prostog tipa vai 1 i<n tp xi,x i+1 (a i, a i+1 ) tp x1,...,x n (a 1,..., a n ). Mi emo ovo svojstvo imenovati i dati vixe uslova koji su mu ekvivalentni. Za takvo svojstvo struktura i teorija kaemo da je svojstvo linearne 62
1. LINEARNA BINARNOST binarnosti. Jedan od interesantnih ekvivalenata je opisan u lemi 4.8 koja ka- e da u linearno binarnim strukturama skup D [b, ) ima konaqno mnogo slika pri automorfizmima koji fiksiraju taqku b kad god su parametri u formuli koja definixe skup D mai od b. U teoremi 4.17 (zapravo u varijanti ove teoreme) pokazujemo da je a definabilan skup D(a) koji ima konaqno mnogo konveksnih komponenti jednak Bulovoj kombinaciji -definabilnih skupova, skupova [a, ), (, a], {a} i klasa elementa a (konaqno mnogo) -definabilnih konveksnih ekvivalencija i (konaqno mnogo) sledbenika klasa elementa a. Za da u analizu linearne binarnosti problem predstav a postojae skupova koji imaju beskonaqno mnogo konveksnih komponenti. Zato uvodimo pojam jako linearno binarnih struktura; to je potklasa linearno binarnih struktura qija e formalna definicija biti data kasnije: Ako se dva automorfizma poklapaju na konveksnom skupu, onda se od ih moe napraviti automorfizam tako xto se na uoqenom konveksnom skupu primeuje jedan automorfizam, a na ostatku drugi. Inspiracija za isticae ove osobine su linearna ureea sa dodatim bojama (unarnim predikatima) i relacijama ekvivalencije qije su klase konveksne. Zato se namee pitae, mogu li i neke druge strukture biti jako linearno binarne. Na kraju poglav a dajemo odgovor na ovo pitae, a to je da su uoqene strukture esencijalno jedine koje imaju to svojstvo. Taqnije, pokazujemo da je jaka linearna binarnost, iako uvedena kao svojstvo zasiene strukture, zapravo svojstvo teorije i da je teorija koja ima to svojstvo definiciono ekvivalentna teoriji linearnog ureea sa dodatim unarnim predikatima i konveksnim relacijama ekvivalencije. 1. Linearna binarnost U ovom ode ku emo uvesti pojam linearne binarnosti i prikazati ene osnovne osobine. Glavni rezultat ovog dela je teorema 4.17 u kojoj dajemo opis a definabilnih skupova koji imaju konaqno mnogo konveksnih komponenti u linearno binarnim strukturama: to su Bulove kombinacije -definabilnih skupova, skupa [a, ) i klasa elementa a (konaqno mnogo) -definabilnih konveksnih ekvivalencija i (konaqno mnogo) sledbenika klasa elementa a. Lema 4.1. Neka je T potpuna teorija. Sledei iskazi su ekvivalentni: (1) Za svaki prirodan broj n i svaki potpun tip p(x 1,..., x n ) koji sadri formulu x i < x i+1 vai 1 i<n 1 i<n p i (x i, x i+1 ) p(x 1,..., x n ), 63
1. LINEARNA BINARNOST gde je p i (x i, x i+1 ) 2-tip koji se sastoji od svih formula ϕ(x i, x i+1 ) p. (2) Za svaki prirodan broj n i svaki potpun tip p(x 1,..., x n ) koji sadri formulu x i < x i+1 i svako i {2,..., n 1} vai 1 i<n p i (x 1,..., x i ) p i (x i,..., x n ) p(x 1,..., x n ), gde je p i (x 1,..., x i ) tip koji se sastoji od svih formula tipa p qije su slobodne promen ive meu {x 1,..., x i } i gde je p i (x i,..., x n ) tip koji se sastoji od svih formula tipa p qije su slobodne promen ive meu {x i,..., x n }. (3) Za svaku L formulu ϕ(x 1,..., x n ) saglasnu sa teorijom T i koja implicira formulu x i < x i+1 postoje L formule ψ j (x 1,..., x i, ) i θ j (x i,..., x n ) 1 i<n za j {1,..., k} takve da je ihova Bulova kombinacija T -ekvivalentna formuli ϕ. (4) Za svaku L formulu ϕ(x 1,..., x n ) saglasnu sa teorijom T i koja implicira formulu x i < x i+1 postoje formule ϕ i,j (x i, x i+1 ) za i {1,..., n 1} 1 i<n i j {1,..., k} takve da je ihova Bulova kombinacija T -ekvivalentna formuli ϕ. Dokaz. Koristiemo tranzitivnost relacije, tj. da iz A B i B C sledi A C. (1) = (2): Neka je p(x 1,..., x n ) potpuni tip koji sadri formulu x i < x i+1 i neka je i {2,..., n 1}. Vai 1 i<n 1 j<i p j (x j, x j+1 ) p i (x 1,..., x i ) i i j<n p i (x 1,..., x i ) p i (x i,..., x n ) p j (x j, x j+1 ) p i (x i,..., x n ). Dakle, 1 j<n p j (x j, x j+1 ) p(x 1,..., x n ). Prvu rampu opravdavaju uoqene relacije podskupa, drugu pretpostavka da je ispuen uslov (1). (2) = (3): Neka je ϕ(x 1,..., x n ) formula bez parametara saglasna sa teorijom T takva da vai T = ( x 1,..., x n ) ( ϕ(x 1,..., x n ) = 1 i<n x i < x i+1 ) Neka je p(x 1,..., x n ) potpuni tip koji sadri formulu ϕ. Poxto je ispuen uslov (1), vai. p i (x 1,..., x i ) p i (x i,..., x n ) p(x 1,..., x n ), 64
a time i 1. LINEARNA BINARNOST p i (x 1,..., x i ) p i (x i,..., x n ) ϕ(x 1,..., x n ). Po kompaktnosti, postoje formule ψ p (x 1,..., x i, ) p i (x 1,..., x i ) i θ p (x i,..., x n ) p i (x i,..., x n ) takve da je ψ p (x 1,..., x i, ) θ p (x i,..., x n ) T ϕ(x 1,..., x n ). Dakle, za svaki tip p(x 1,..., x n ) [ϕ(x 1,..., x n )], naxli smo takvu da je ψ p (x 1,..., x i, ) θ p (x i,..., x n ) p(x 1,..., x n ) [ψ p (x 1,..., x i, ) θ p (x i,..., x n )] [ϕ(x 1,..., x n )], pa je {[ψ p (x 1,..., x i, ) θ p (x i,..., x n )] p(x 1,..., x n ) [ϕ(x 1,..., x n )]} otvoren pokrivaq kompaktnog prostora [ϕ(x 1,..., x n )]. Po kompaktnosti, postoji egov konaqan potpokrivaq {[ψ p1 (x 1,..., x i, ) θ p1 (x i,..., x n )],..., [ψ pk (x 1,..., x i, ) θ pk (x i,..., x n )]}. Umesto ψ pj (x 1,..., x i, ) θ pj (x i,..., x n ) pisaemo ψ j (x 1,..., x i, ) θ j (x i,..., x n ). Dakle, [ψ 1 (x 1,..., x i, ) θ 1 (x i,..., x n )] [ψ k (x 1,..., x i, ) θ k (x i,..., x n )] = [ϕ(x 1,..., x n )] tj. (ψ 1 (x 1,..., x i, ) θ 1 (x i,..., x n )) (ψ k (x 1,..., x i, ) θ k (x i,..., x n )) ϕ(x 1,..., x n ), xto je trebalo pokazati. Implikacije (3) = (4) i (4) = (1) se jednostavno dokazuju. Definicija 4.2. Za potpunu teoriju linearno ureene strukture koja ispuava uslove leme 4.1 kaemo da je linearno binarna. Primer teorije koja je linearno binarna i primer strukture koja je binarna, a nije linearno binarna nije texko nai, xto pokazuje sledei primer. Primer 4.3. (1) Neka je M n = (Q, <, E n ) pri qemu je E n relacija ekvivalencije koja ima taqno n gustih klasa ekvivalencije. Sliqno dokazu da je teorija ure- ea racionalnih brojeva ℵ 0 kategoriqna i ima eliminaciju kvantifikatora, moe se pokazati da isto vai i za teoriju Th(M n ). Pretpostavimo da nizovi a 1,..., a n i b 1,..., b n imaju isti beskvantorni tip, odnosno da zadovo avaju iste atomske formule. Lako je videti da za svaki element a Q postoji b Q takav da i nizovi a 1,..., a n, a i b 1,..., b n, b imaju isti beskvantorni tip. Ova qienica daje osnov za primenu napred-nazad metode kojom preslikavae definisano sa f(a i ) = b i (za 1 i n) produavamo do automorfizma strukture M n odakle sledi tp(a 1,..., a n ) = tp(b 1,..., b n ). S druge strane, napred-nazad 65
1. LINEARNA BINARNOST metodom pokazuje se i da su svaka dva prebrojiva modela teorije Th(M n ) izomorfna, odnosno da je ta teorija ℵ 0 kategoriqna. Posebno, M n je zasien model ove teorije i svaki en n-tip je realizovan u emu. Zak uqujemo da svaka dva konaqna niza elemenata modela teorije Th(M n ) koja imaju isti beskvantorni tip, moraju imati i isti tip, odakle eliminacija kvantifikatora sledi. Potpuna teorija strukture M 2 je linearno binarna. To se vidi iz qienice da su potpuni 2-tipovi (u promen ivima x i y) odreeni (forsirani) poretkom i formulom E 2 (x, y) i da su potpuni 3-tipovi odreeni Bulovom kombinacijom formula iz skupa {x < y, y < z, x < z, E 2 (x, y), E 2 (x, z), E 2 (y, z)}. Tada za a < b < c iz qienice da znamo da li su a i b u relaciji E 2 i da li su b i c u relaciji E 2, znamo i da li su a i c u relaciji E 2, pa vai tp(a, b) tp(b, c) tp(a, b, c). Sa druge strane, potpuna teorija strukture M n za n > 2 je binarna, ali nije linearno binarna. Da ta teorija nije linearno binarna vidi se iz sledeeg rezonovaa: tp(a, b) je potpuno odreen (uz uslov a < b) informacijom o tome da li su a i b u istoj ili razliqitoj klasi ekvivalencije E n. Ako vai a < b < c i ako imamo informaciju da a i b nisu u relaciji E n i b i c nisu u relaciji E n, nemamo informaciju o tome da li a i c jesu ili nisu u relaciji E n. Dakle, iz tp(a, b) i tp(b, c), ne moemo zak uqiti da li je E n (x, y) tp(a, c) ili je E n (x, y) tp(a, c), a time ne znamo ni kako izgleda tp(a, b, c). U ovoj strukturi je mogue da (za a < b < c) vai tp(b, c) = tp(b, c ) i tp(a, b, c) tp(a, b, c ), dok kod struktura koje su linearno binarne to ne moe da se desi. (2) Erenhfojt je 1959. godine pronaxao prvi primer teorije koja ima taqno 3 prebrojiva modela do na izomorfizam. To je teorija T = T h(q, <, n) n N. Sliqno kao u prethodnom primeru moe se dokazati da ona dopuxta eliminaciju kvantifikatora i da je linearno binarna. Napomenimo jox da su preostala dva (do na izomorfizam) prebrojiva modela ove teorije (Q, <, 1 ) n n N i (Q, <, [n 2] 1 ) n n N, odnosno da su odreeni informacijom o tome da li niz konstanti konvergira ili ne. Zanim ivo je da su svi poznati primeri teorija sa konaqno mnogo a vixe od jednog prebrojivog modela varijante ovog primera; Na primer, umesto konstanti moemo uzeti unarne predikate P n koje qini skup svih racionalnih brojeva ma- ih od nπ. Linearna binarnost Erenhfojtove teorije sledi i iz mnogo opxtije qienice koju emo dokazati u 4.18: Svaka ekspanzija ma kog linearnog ureea unarnim predikatima je linearno binarna. Konstatujmo jox da neke od varijanti Erenhfojtove teorije ne moraju biti linearno binarne. U radu [8] konstruisana 66
1. LINEARNA BINARNOST je potpuna teorija beskonaqne linearno ureene strukture koja ima i strukturu Abelove grupe i svega 3 prebrojiva modela. Ovi primeri ilustruju da strukture linearno binarne teorije imaju, u izvesnom smislu, nezavisne podstrukture qiji su skupovi nosaqi (, a] i [a, ) (za bilo koje a), dok strukture teorije koje nisu linearno binarne to nemaju. Tu,,nezavisnost" opisuje sledea lema. Lema 4.4. Neka je T potpuna teorija linearnog ureea. Sledei iskazi su ekvivalentni: (1) Teorija T je linearno binarna. (2) Postoji U, zasien model teorije T takav da kad god je F Aut U za koji je F (a) = a za neko a U, preslikavae H odreeno sa { F (x), za x a H(x) = x, za x a je takoe automorfizam strukture U. (3) Za svaki U, zasien model teorije T vai da za svako F Aut U takvo da je F (a) = a za neko a U, preslikavae H odreeno sa { F (x), za x a H(x) = x, za x a je takoe automorfizam strukture U. Dokaz. (1) = (3): Pretpostavimo da je ispuen uslov (1) i da je U bilo koji zasien model teorije T. Tada se za svaka dva rastua niza b i d strukture U iz tp(b 1,..., b i ) = tp(d 1,..., d i ) i tp(b i,..., b k ) = tp(d i,..., d k ) moe zak uqiti da je tp(b 1,..., b i,..., b k ) = tp(d 1,..., d i,..., d k ). Neka je F automorfizam univerzuma U takav da je F (a) = a za neko a U i neka je H odreeno sa H(x) = { F (x), za x a x, za x a. Pokaimo da je H automorfizam univerzuma. S obzirom da je H oqito automorfizam linearnog ureea dovo no je pokazati da za svaki rastui niz c = (c 1,..., c n ) vai tp( c) = tp(h( c)). Bez umaea opxtosti moemo pretpostaviti da je a jedan od elemenata c j, jer ako nije, moemo ga dodati i ako dokaemo da vai tp( ca) = tp(h( ca)), onda se odatle moe zak uqiti da vai tp( c) = tp(h( c)). Sluqajevi a = c 1 i a = c n su trivijalni: u prvom sluqaju je H( c) = F ( c), pa, s obzirom da je F automorfizam, vai tp( c) = tp(h( c)); u drugom je H( c) = c. Preostao je sluqaj c 1 < a = c i < c n. Vai ( ) tp(c 1,..., c i 1, a) = tp(h(c 1 ),..., H(c i 1 ), H(a)), 67
1. LINEARNA BINARNOST jer je (H(c 1 ),..., H(c i 1 ), H(a)) = (c 1,..., c i 1, a). Takoe, vai ( ) tp(a, c i+1,..., c n ) = tp(h(a), H(c i+1 ),..., H(c n )), jer je (H(a), H(c i+1 ),..., H(c n )) = (F (a), F (c i+1 ),..., F (c n )) i jer je F automorfizam. Iz ( ) i ( ), poxto je ispuen uslov (1), zak uqujemo da vai tp(c 1,..., c i 1, a, c i+1,..., c n ) = tp(h(c 1 ),..., H(c i 1 ), H(a), H(c i+1 ),..., H(c n )), xto je trebalo pokazati. (3) = (2): Oqigledno. (2) = (1): Pretpostavimo sad da je ispuen uslov (2). Neka je p(x 1,..., x k ) potpuni tip koji sadri formulu x i < x i+1. Neka je ā U realizacija 1 i<k tipa p. Pretpostavimo da je (b 1,..., b i ) U realizacija tipa p i (x 1,..., x i ) i da je (b i,..., b k ) U realizacija tipa p i (x i,..., x k ) za neko i {2,..., k 1}. Pokazaemo da je tp( b) = p a time i da je ispuen uslov (2). Za to je dovo no da konstruixemo automorfizam koji slika niz b u niz ā. Iz tp(b 1,..., b i ) = tp(a 1,..., a i ) sledi da postoji automorfizam G koji slika (b 1,..., b i ) u (a 1,..., a i ). Oznaqimo sa (c i,..., c k ) niz (G(b i ),..., G(b k )). Sada imamo da tp(c i,..., c k ) = tp(b i,..., b k ) = tp(a i,..., a k ). Prva jednakost vai zbog toga xto je G automorfizam, druga je poqetna pretpostavka, pa postoji automorfizam F koji slika niz (c i,..., c k ) u niz (a i,..., a k ). Neka je H preslikavae odreeno sa H(x) = { F (x), za x c i x, za x c i. Poxto je ispuen uslov (2) i poxto je c i = G(b i ) = a i, zak uqujemo da je H automorfizam. Tada je i H G automorfizam koji slika (b 1,..., b i,..., b k ) u (a 1,..., a i,..., a k ). Dakle, vai tp(b 1,..., b i,..., b k ) = tp(a 1,..., a i,..., a k ), xto je trebalo pokazati. Prethodno tvree opravdava sledeu definiciju Definicija 4.5. Za strukturu kaemo da ima svojstvo linearne binarnosti ili da je linearno binarna ako je zasien model linearno binarne teorije. Zapaae 4.6. Primetimo da za svaku (ekvivalentno neku) zasienu linearno ureenu strukturu uslov linearne binarnosti iskazan u lemi 4.4 (2) je ekvivalentan, naizgled jaqem uslovu: 68
1. LINEARNA BINARNOST Kad god su F i G automorfizmi strukture U takvi da je F (a) = G(a) za neko a U, onda je H definisano sa { F (x), za x a H(x) = G(x), za x a takoe automorfizam strukture U. U primeru 4.3 smo pokazali da je jedino za n = 2 struktura M n = (Q, <, E n ) linearno binarna. U sledeem primeru navodimo jox neke linearno binarne strukture, od kojih je prva posebno vana, xto e se pokazati u zapaau 4.18: naime, ta struktura ima svojstvo koje je jaqe od svojstva linearne binarnosti. To svojstvo emo imenovati u ode ku 2 ovog poglav a i ono je glavni ci izuqavaa tog ode ka. Primer 4.7. Sledee strukture su primeri struktura sa svojstvom linearne binarnosti. 1. (L, <, P i, E j ) i,j ω, gde je (L, <) linearno ureee i gde su P i unarni predikati, a E j relacije ekvivalencije sa konveksnim klasama. 2. Neka je M = (Q, <, P 1,..., P k, E, R), gde je k > 2 i gde su P i boje takve da su elementi obojeni bojom P i gusti u Q i da je svaki element obojen taqno jednom bojom. Neka je k E(x, y) (P i (x) P i (y)) i i=1 k 1 R(x, y) (P k (x) P 1 (y)) (P i (x) P i+1 (y)). Neka je M 0 redukt strukture M na jezik {<, E, R}. ena teorija je linearno binarna. Ovo sledi iz qienice da relacija R deluje kao pokazivaq, koji iz jedne klase relacije E gleda u sledeu, tako da su klase u izvesnom smislu numerisane, taqnije klasi je dode en broj boje kojom je bila obojena u strukturi M. Dakle, za a < b < c, iz qienice da znamo koliko puta treba primeniti R da bismo iz E-klase elementa a doxli do klase E-elementa b i koliko puta treba primeniti R bismo iz E-klase elementa b doxli do klase E-elementa c, onda znamo i koliko puta treba primeniti R bismo iz E-klase elementa a doxli do E- klase elementa c, pa sve informacije o trojci (a, b, c) nose informacije parova (a, b) i (a, c) i raspored elemenata a, b i c. Jedno od osnovih svojstava koje imaju strukture sa svojstvom linearne binarnosti je dato u sledeoj lemi. i=1 69
1. LINEARNA BINARNOST Lema 4.8. Neka U ima svojstvo linearne binarnosti i neka je ϕ(x, y) formula bez parametara. Tada postoje formule bez parametara ψ 1 (x, y),..., ψ k (x, y) takve da za svako a i b takve da je a b postoji i {1,..., k} takvo da vai ( x b)(ϕ(x, a) ψ i (x, b)). Dokaz. Neka je a b. Koristei tvree 1.11, pokazaemo prvo da formula ϕ(x, a) b x definixe skup koji je b-definabilan. Oznaqimo sa D skup koji definixe formula ϕ(x, a) b x. Kako je to formula sa parametrima a i b, po tvreu 1.11, svaki automorfizam koji fiksira a i b, fiksirae skup D. Da bismo pokazali da je D zaista b-definabilan skup, dovo no je, opet po tvr- eu 1.11, pokazati da proizvo an automorfizam koji fiksira b fiksira ceo skup D. Neka je F automorfizam univerzuma koji fiksira b. Iz definicije svojstva linearne binarnosti sledi da je H(x) = takoe automorfizam. Tada vai { F (x), za x b x, za x b F (D) = H(D) = D. Prva jednakost sledi iz qienice da je D b i konstrukcije H-a, a druga iz tvrea 1.11 jer je H automorfizam koji fiksira parametre a i b koji definixu skup D. Dakle, D je b-definabilan skup. Tada je D = ψ(u, b) za neku formulu bez parametara ψ(x, y). Ako oznaqimo tp(a, b) sa q, onda zbog prethodno pokazanog, kad god je tp(a, b ) = q, vaie x(ϕ(x, a ) b x ψ(x, b )). Zato emo pisati ψ q (x, y) umesto samo ψ(x, y). Takoe, formulu ( x t 2 )(ϕ(x, t 1 ) ψ q (x, t 2 )) emo oznaqiti sa θ q (t 1, t 2 ). Poxto za svako q [t 1 t 2 ] vai q [θ q (t 1, t 2 )] sledi da je {[θ q (t 1, t 2 )] q [t 1 t 2 ]} pokrivaq kompaktnog prostora [t 1 t 2 ] (otvoreno-zatvoren podskup prostora S 2 ( )). S obzirom da je to pokrivaq kompaktnog prostora, zak uqujemo da postoji konaqan potpokrivaq {θ 1 (t 1, t 2 ),..., θ k (t 1, t 2 )}, tj. {( x t 2 )(ϕ(x, t 1 ) ψ 1 (x, t 2 )),..., ( x > t 2 )(ϕ(x, t 1 ) ψ k (x, t 2 ))} datog pokrivaqa prostora [t 1 t 2 ]. Upravo smo pokazali da vai ( t 1, t 2 )(t 1 t 2 = xto je trebalo pokazati. k ( x t 2 )(ϕ(x, t 1 ) ψ i (x, t 2 ))), i=1 70
1. LINEARNA BINARNOST Oznaka: Zapis A p je oznaka za A p(u). Ako je skup D definabilan formulom koja koristi parametar a, onda emo nekad istaknuti tu qienicu tako xto emo pisati D(a) umesto D. Tada e D p (a) oznaqavati skup D(a) p(u). Definicija 4.9. Poluinterval je konveksan skup koji ima bar jedan kraj, desni je onaj koji ima infimum, a levi onaj koji ima supremum. Za poluinterval koji je definabilan parametrom a koji je ujedno i jedan od egovih krajeva kaemo da je definabilan svojim krajem. Naravno, svaki interval ograniqen i odozgo i odozdo je ujedno i levi i desni poluinterval. Mi emo tvrea formulisati i dokazivati uglavnom za desne poluintervale. Kad u takvim tvreima ureee < zamenimo ure- eem >, zak uqujemo da dualna tvrea vae za leve poluintervale. Pojam poluintervala je k uqan za dokaz glavnog rezultata ovog dela teoreme 4.17. Dokazaemo u lemi 4.13 da je svaki desni poluinterval definabilan svojim krajem a u linearno binarnoj strukturi sadran u disjunktnoj uniji klase [a] E neke 0-definabilne klase ekvivalencije E i konaqno mnogo oj sledbeniqkih klasa s i ([a] E s ϕ ), a zatim u stavu 4.15 da se poluinterval dobija kada prvu klasu preseqemo skupom [a, ) a posledu 0-definabilnim skupom, odakle nee biti texko izvesti tvree teoreme 4.17. Podsetimo se oznake koje smo uveli u ode cima 1.2 (,,Linearna ureea") i 1.6 (,,Linearno ureen univerzum"). Za definabilne skupove D 1 i D 2 je sup D 1 sup D 2 oznaka za formulu,,za svako d vai: ako je d majoranta skupa D 2, onda je d majoranta skupa D 1 ". Ako je skup D i definisan formulom koja koristi parametre iz skupa A i, onda je sup D 1 sup D 2 formula koja koristi parametre iz skupa A 1 A 2. Lema 4.10. Pretpostavimo da skup ϕ(u, a 0 ) sadri bar jedan element zavrxnog intervala [a 0, ). Tada za sve a 1 a 0 takve da je tp(a 0 ) = tp(a 1 ) vai sup ϕ(u, a 1 ) sup ϕ(u, a 0 ). Dokaz. Bez umaea opxtosti moemo pretpostaviti da je ϕ(u, a 0 ) konveksan podskup skupa [a 0, ), jer za svaki skup D vai da D i egovo konveksno zatvoree cvx (D) imaju isti skup majoranti. Pretpostavimo da, suprotno tvreu, postoji a 1 a 0 takav da je a 1 < a 0 i sup ϕ(u, a 0 ) < sup ϕ(u, a 1 ). To znaqi da postoji b 0, majoranta skupa ϕ(u, a 0 ) koja nije majoranta skupa ϕ(u, a 1 ), tj. vai b 0 ϕ(u, a 1 ) i ϕ(u, a 0 ) < b 0. S obzirom da a 0 i a 1 realizuju isti tip bez parametara, postoji automorfizam F takav da je F (a 0 ) = a 1. Za svako n ω, element F (a n ) oznaqimo sa a n+1 i element F (b n ) oznaqimo sa b n+1. Iz a n+1 < a n i qienice da je F automorfizam sledi da je F (a n+1 ) < F (a n ), tj. a n+2 < a n+1. Sliqno, iz b n ϕ(u, a n+1 ) i ϕ(u, a n ) < b n sledi da je 71
1. LINEARNA BINARNOST b n+1 ϕ(u, a n+2 ) i ϕ(u, a n+1 ) < b n+1, kao i da je svaki od skupova ϕ(u, a n ) konveksan. Specijalno, iz qienice da je b n ϕ(u, a n+1 ) ϕ(u, a n ) za svako n, zak uqujemo da je {ϕ(u, a n ) [a 0, ) n ω} beskonaqna familija skupova. Meutim, po lemi 4.8, postoje ψ 1 (x, y),..., ψ k (x, y) takve da za svako a a 0 postoji i {1,..., k} takvo da je pa je ϕ(u, a) [a 0, ) = ψ i (U, a 0 ), {ϕ(u, a n ) [a 0, ) n ω} {ψ 1 (U, a 0 ),..., ψ k (U, a 0 )}, skup kardinalnost ne vee od k. Kontradikcija. Dakle, pretpostavka da postoji a 1 a 0 takav da je a 1 < a 0 i sup ϕ(u, a 0 ) < sup ϕ(u, a 1 ) je neodriva. Definicija 4.11. Pod monotonom familijom definabilnih skupova smatramo familiju oblika {ϕ(u, a) a U} takvu da vai bar jedno od sledea dva (1) a < b povlaqi sup ϕ(u, a) sup ϕ(u, b); (2) a < b povlaqi inf ϕ(u, a) inf ϕ(u, b). U prvom sluqaju kaemo da se radi o monotono rastuoj familiji, a u drugom da se radi o monotono opadajuoj familiji. Ako je {ϕ(u, b) b U} monotona familija i D = ϕ(u, a), onda kaemo da je ϕ(x, a) monotona definicija skupa D. Nas e zanimati monotone definicije poluintervala. Lema 4.12. Svaki poluinterval koji je definabilan svojim krajem ima monotonu definiciju. Dokaz. Bez umaea opxtosti pretpostavimo da je D(a) = ϕ(u, a) poluinterval kome je levi kraj element a D(a). Po lemi 4.10 sledi da kad god je y y a onda vai: Iz y y sledi da je sup D(y) sup D(y ). elimo da ova osobina vai kad god je y y, a ne samo za realizacije tp(a). Ukoliko to ne vai, moe se postii malom,,popravkom" formule koja definixe skup D(y). Neka je tp(a) = p i neka je D(a) = ϕ(u, a). Neka je ϕ sup (t 1, t 2 ) formula koja kae da je svaka majoranta skupa ϕ(u, t 2 ) ujedno i majoranta skupa ϕ(u, t 1 ). Neka je ϕ cvx (t) formula koja kae da je skup ϕ(u, t) desni poluinterval definisan svojim krajem t, tj. da je konveksan, da sadri t i da je podskup skupa [t, + ). Tada p(t 1 ) p(t 2 ) ( t 1 t 2 ϕ sup (t 1, t 2 ) ) ϕ cvx (t 1 ) ϕ cvx (t 2 ). 72
1. LINEARNA BINARNOST Po kompaktnosti sledi da postoji formula θ(x) p(x) takva da je θ(t 1 ) θ(t 2 ) ( t 1 t 2 ϕ sup (t 1, t 2 ) ) ϕ cvx (t 1 ) ϕ cvx (t 2 ). Oznaqimo sa ϕ 1 (x, t) formulu t x ( y t)( θ(y) ϕ(x, y) ) i sa D 1 (t) skup ϕ 1 (U, t). Tada je D 1 (t) = {t} ( [t, ) ) {D(y) y θ(u) (, t]}. Nije texko videti da vai sup D 1 (y) sup D 1 (z) kad god je y z, da je D 1 (y) desni poluinterval definisan svojim krajem y, kao i da je D 1 (a) = D(a). Dakle, ϕ 1 (x, y) je monotona definicija levog poluintervala D(a). Monotona familija F = {ϕ(u, a) a U} indukuje prirodno konveksnu relaciju ekvivalencije: Neka je Eϕ s (x, y) oznaka za formulu sup D(x) = sup D(y) (tj. za formulu ϕ sup (x, y) ϕ sup (y, x), gde smo ϕ sup (t 1, t 2 ) definisali kao,,svaka majoranta skupa (x, y) 0-de- ϕ(u, t 2 ) ujedno i majoranta skupa ϕ(u, t 1 )"). Oqigledno je da je Eϕ s finabilna ekvivalencija. Po prethodnom dokazu je za x y z ispueno sup D(x) sup D(y) sup D(z), odakle sledi da su klase ekvivalencije Eϕ s (x, y) konveksne. Za konveksnu relaciju ekvivalencije E sa s E oznaqavamo (parcijalnu) funkciju neposrednog sledbenika u sorti S E ; iteracije s n E su definisane na odgovarajui naqin. Ukoliko je relacija E jasna iz konteksta, pixemo s umesto s E. Neka je E konveksna relacija ekvivalencije, D unija nekoliko uzastopnih E-klasa poqevxi od [a] E i D a = [a, ) D. Tada je D a poluinterval definabilan krajem a. U narednim lemama emo dokazati da je svaki poluinterval definabilan svojim krajem a na lokusu fiksiranog potpunog tipa sadran u uniji konaqnog broja uzastopnih klasa neke 0-definabilne konveksne relacije ekvivalencije (u lemi 4.13), a zatim ga (u stavu 4.15) potpuno opisati. Lema 4.13. Pretpostavimo da je ϕ(x, a) monotona definicija desnog zatvorenog poluintervala D(a) qiji je kraj a. Tada je za neko n ω ispueno n D[a, ) [a] E s ϕ D(a) [a, ) s i ([a] E s ϕ ). Dokaz. Pokazujemo da je D sadran u uniji nekoliko uzastopnih E s ϕ-klasa. U suprotnom, neka je b n rastui niz elemenata skupa D koji su iz razliqitih E s ϕ-klasa i koji su vei od a. Neka su ψ 1,..., ψ k formule koje zadovo avaju uslov leme 4.8 za formulu ϕ. Oznaqimo b k+1 sa d. Na osnovu leme 4.8 sledi da su i j za j {1,..., k} odreeni sa ( x > d)(ϕ(x, b j ) ψ ij (x, d)), meusobno 73 i=0
1. LINEARNA BINARNOST razliqiti jer su b 1,..., b k predstavnici razliqitih klasa relacije E s ϕ (ako bi bilo i j = i l, onda bi, zbog leme 4.8, bilo ϕ(u, b j ) [d, ) = ψ ij (x, d) = ψ il (x, d) = ϕ(u, b l ) [d, ), pa bi moralo vaiti sup ϕ(u, b j ) = sup ϕ(u, b l ), a time i E s ϕ (b j, b l )). Na osnovu tvrea 4.8 je i ( x > d)(ϕ(x, a) ψ m (x, d)), za neko m {1,..., k}, pa je time i ( x > d)(ϕ(x, a) ϕ(x, b j )), za ono j za koje je i j = m. Dakle, za to j su a i b j predstavnici iste a ne razliqite klase relacije E s ϕ. Zak uqujemo da klasa relacije E s ϕ koje imaju presek sa D(a) ima najvixe k. Ovim smo pokazali da postoji n takvo da je D(a) [a, ) n i=0 si ([a] E s ϕ ). Iz definicije relacije E s ϕ, sledi da je [a, ) [a] E s ϕ D(a). Definicija 4.14. Za poluinterval D definisan svojim levim krajem a, sa N D obeleavamo najmai broj n takav da je D sadran u uniji n i=0 si ([a] E s ϕ ) Lemom 4.13 smo pokazali da je poluinterval D(a) sadran u konaqnoj uniji uzastopnih klasa -definabilne ekvivalencije, ali nismo ispitali da li se poklapa sa tom unijom. Jasno je, po definiciji broja N D, da skup D(a) ima neprazan presek sa klasom s N D ([a] E s ϕ ) i da sadri sve prethodne klase budui da je konveksan, kao i da nema zajedniqkih elemenata ni sa jednom klasom posle N D -tog sledbenika klase elementa a. Sama klasa s N D ([a] E s ϕ ) moe biti pode ena skupom D(a). U tom sluqaju, deo klase s N D ([a] E s ϕ ) koji je u skupu D(a) se moe odsei 0-definabilnim skupom, o qemu govori sledei stav. Stav 4.15. Neka je D(a) desni zatvoreni poluinterval definisan svojim krajem a. Ako je N D > 0, onda postoji formula bez parametara ψ(x) takva da je D(a) unija disjunktnih konveksnih skupova [a, ) [a] E s ϕ N D 1 s i ([a] E s ϕ ), ukoliko je N D > 1 i=1 ψ(u) s N D ([a] E s ϕ ) Dokaz. Uz oznaku iz definicije 4.14, lema 4.13 tvrdi: [a, ) [a] E s ϕ D(a) [a, ) N D i=0 s i ([a] E s ϕ ). Postoji mogunost da nije cela klasa s N D ([a] E s ϕ ) sadrana u D(a). Neka je ϕ(x, a) monotona definicija poluintervala D(a) i neka je E s ϕi (x, y) formula bez parametara koja kae da je i-ti sledbenik klase [y] E s ϕ klasa [x] E s ϕ. 74
2. JAKA LINEARNA BINARNOST Neka je ψ(x) formula y(x D(y) s N D ([y] E s ϕ ), tj. Dakle, vai ψ(x) := y(ϕ(x, y) E s ϕn D (x, y)). D(a) s N D ([a] E s ϕ ) = s N D ([a] E s ϕ ) ψ(u). Skup D(a) je konveksan i sadri [a] E s ϕ [a, ) i s N D ([a] E s ϕ ) ψ(u), onda sadri i sve Eϕ-klase s izmeu klase elementa a i s N D ([a] E s ϕ ). Zak uqujemo da je D(a) skup sastav en od unije konveksnih skupova kao xto je opisano u iskazu stava. Definicija 4.16. Rei emo da je K konveksna komponenta skupa A ako je K konveksan podskup skupa A i ako svaki egov pravi konveksan nadskup sadri elemente koji ne pripadaju skupu A. Teorema 4.17. Neka je M = (M, <,...) linearno binarna struktura, a M i neka je a definabilan skup D(a) podskup skupa [a, ). Ako D(a) ima konaqno mnogo konveksnih komponenti, onda je jednak Bulovoj kombinaciji -definabilnih skupova, skupa [a, ) i klasa elementa a (konaqno mnogo) -definabilnih konveksnih ekvivalencija i (konaqno mnogo) sledbenika klasa elementa a. Dokaz. Skup D(a) je jednak Bulovoj kombinaciji desnih poluintervala definabilnih svojim krajem a. Po stavu 4.15 svaki od tih poluintervala je Bulova kombinacija -definabilnog skupa, skupa [a, ) i klasa elementa a neke -definabilne konveksne ekvivalencije i (konaqno mnogo) sledbenika te klase. 2. Jaka linearna binarnost U ovom ode ku emo uvesti pojam jake linearne binarnosti. Definicija ovog pojma je motivisana jednom osobinom grupe automorfizama bilo kog linearnog ureea sa eventualno pridodatim unarnim predikatima i konveksnim relacijama ekvivalencije koju dajemo u sledeem zapaau. Ta osobina ovih struktura je izdvojena u doktorskoj disertaciji Slavka Mocoe [20] i povezana sa pravilnoxu globalnih tipova u takvim strukturama. Mi emo se baviti drugim pitaem koje se prirodno pojav uje: Da li jedino strukture ovog oblika imaju uoqeno svojstvo? Potvrdan odgovor dajemo u teoremi 4. Zapaae 4.18. Posmatrajmo strukturu M = (M, <, P i, E j ), zasieno proxiree linearnog ureea bojama i konveksnim ekvivalencijama. Neka je K 75
2. JAKA LINEARNA BINARNOST konveksan skup u M, neka je F automorfizam strukture M koji fiksira K i neka je H preslikavae definisano sa H(x) = { F (x), za x K x, za x K Pokazaemo da je H takoe automorfizam strukture M. Jasno je da je H automorfizam ureea (M, <). Ako je a K onda je H(a) = F (a), pa kako je F automorfizam bie a P (M) akko F (a) P (M) akko H(a) P (M). Ako je a M K onda je H(a) = a, pa je trivijalno ispueno a P (M) akko H(a) P (M). Xto se konveksnih relacija ekvivalencije tiqe, moe se rezonovati na sledei naqin: - Ako su a, b K, onda iz qienice da je F automorfizam sledi da je E(a, b) akko E(F (a), F (b)) akko E(H(a), H(b)). -Ako je a, b M K, onda je (H(a), H(b)) = (a, b), pa trivijalno vai E(a, b) akko E(H(a), H(b)). -Ako je a K i K < b, onda je F (a) < b i a < F (b) jer je F (K) = K. Uoqavamo dva sluqaja: 1. sluqaj [a] = [b]. Tada je [F (a)] = [a] = [F (b)] = [b]. To sledi iz sledeeg: Poxto je F automorfizam, onda je [F (a)] = [F (b)]. Da e, ako je F (a) < a, onda je F (a) < a < F (b), pa s obzirom da je klasa [F (a)] (kao i sve ostale) konveksna, mora biti i a [F (a)], a time je i b [F (a)]. Ako je a F (a), onda je a F (a) < b, pa s obzirom da je klasa [a] konveksna, mora biti i F (a) [a]. Zak uqujemo da je [F (a)] = [b], tj. [H(a)] = [H(b)]. 2. sluqaj [a] [b]. Primetimo da sve xto smo do sad pokazali za H vai i za H 1. Ne moe biti [H(a)] = [H(b)], jer bi onda, po prethodno dokazanom, bilo [H 1 (H(a))] = [H 1 (H(b))], tj. [a] = [b]. Dakle, za bilo koju konveksnu ekvivalenciju E vai E(a, b) akko E(H(a), H(b)). -Ako je b < K i a K, onda se sliqno pokazuje da je za svaku koveksnu ekvivalenciju E ispueno E(a, b) akko E(H(a), H(b)). Dakle, H je bijekcija saglasna sa poretkom, sa svim unarnim preslikava- ima i svim relacijama ekvivalencije, pa je automorfizam. 76
2. JAKA LINEARNA BINARNOST Radi da e analize, mi emo uoqeno svojstvo imenovati. Definicija 4.19. (1) Kaemo da je U jako linearno binarna struktura ako je zasiena linearno ureena struktura koja ispuava sledei uslov: Kad god je F automorfizam strukture U koji fiksira konveksan skup K, onda je H odreeno sa { F (x), za x K ( ) H(x) = x, za x K takoe automorfizam strukture U. (2) Za teoriju T kaemo da je jako linearno binarna ako je svaki en zasien model jako linearno binarna struktura. Nije texko dokazati ekvivalente jake linearne binarnosti navedene u sledeem zapaau. Zapaae 4.20. Neka je U zasiena linearno ureena struktura. Sledei iskazi su ekvivalentni: (1) Struktura U je jako linearno binarna (2) Kad god je K konveksan skup i F i G automorfizmi strukture U takvi da je F (K) = G(K), onda je H odreeno sa { F (x), za x K H(x) = G(x), za x K takoe automorfizam strukture U. Primer 4.21. Od struktura iz primera 4.7 samo je prva jako linearno binarna. Lako je primetiti da jaka linearna binarnost strukture povlaqi enu linearnu binarnost. Ako automorfizam F fiksira a, onda treba pokazati da je preslikavae odreeno sa H(x) = { F (x), za x a x, za x a takoe automorfizam da bismo zak uqili da U ima svojstvo svojstvo linearne binarnosti. Kako fiksiraem elementa a, automorfizam F quva (, a]. Tada vai H(x) = { F (x), za x (, a] x, za x (, a]. Budui da U jako linearno binarna, zak uqujemo da je H automorfizam. 77
2. JAKA LINEARNA BINARNOST Lema 4.22. Neka je U jako linearno binarna struktura. Ako za neki element a i automorfizam F vai F (a) < a, onda postoji automorfizam G takav da je G(a) = F (a) i da je G(x) x za svako x. Dokaz. Neka je A skup svih b takvih da na intervalu sa krajevima {a, b} vai F (x) x. Oqigledno je da je skup A konveksan i da je F (A) = A, pa ako nije ceo U, onda jaka linearna binarnost strukture obezbeuje postojae automorfizma G takvo da se poklapa sa F na skupu A i da je identiteta na ostatku. To je traeni automorfizam. Napomena: Do kraja ovog poglav a radimo pod pretpostavkom da je U jako linearno binarna struktura. Lema 4.23. Neka je E relacija ekvivalencije qije su klase konveksne i neka su d i d elementi iste klase i a element van ihove klase. Ako d d, onda ad ad. Dokaz. Iz d d sledi da postoji automorfizam F koji d slika u d. Tada on fiksira [d]. Neka je H(x) = F (x), za x [d] i identiteta inaqe. Zbog jake linearne binarnosti, H je automorfizam i vai H(a, d) = (a, d ). Lema 4.24. Ako je tp(a 1, a 2 ) = tp(a 2, a 3 ), onda za svako b 1 [a 1, a 2 ] takvo da je tp(a 1 ) = tp(b 1 ) postoji b 2 [a 2, a 3 ] takav da je tp(b 1, b 2 ) = tp(a 1, a 2 ). Dokaz. Primetimo da a 1, a 2, a 3 i b 1 imaju isti tip. Iz qienice da a 1 b 1 sledi da postoji automorfizam F koji a 1 slika u b 1. Sliqno, postoji automorfizam G takav da je G(b 1 ) = a 2. Po lemi 4.22, F i G se mogu izabrati tako da vai F (x) x i G(x) x za svako x. Neka su c = F (a 2 ) i d = G(c). Tada je a 2 a 3 a 1 a 2 a 2 d. Prva jednakost tipova vai po uslovu leme, a druga jer automorfizam G F slika (a 1, a 2 ) u (a 2, d). Zato postoji automorfizam H 1 koji par (a 2, d) slika u par (a 2, a 3 ). Neka je H(x) = { H 1 (x), za x [a 2, ) x, za x (, a 2 ] Tada H 1 fiksira (konveksan) skup [a 2, ), pa jaka linearna binarnost implicira da je preslikavae H automorfizam. Kako H jednu n-torku slika u drugu, vai: a 1 b 1 a 2 cd a 1 b 1 a 2 H(c)a 3. Specijalno, odatle vai da je H(c) [a 2, a 3 ] i da je b 1 H(c) b 1 c. Ovo poslede uz qienicu da automorfizam F obezbeuje da je b 1 c a 1 a 2, daje zak uqak da je a 1 a 2 b 1 H(c). Zato za b 2 biramo element H(c). 78
2. JAKA LINEARNA BINARNOST Podsetimo se da je A D fiksiramo skup D. oznaka za A D. Ovakva oznaka je pogodna kada Definicija 4.25. K je konveksan relativno u D ako je [a, b] D K ispueno za svako a, b K D. Najmai konveksan skup koji sadri K obeleavamo sa cvx (K) i kaemo da je konveksno zatvoree skupa K. Napomena: Ako je K konveksan relativno u D onda je K D = cvx (K) D. Ako definabilan skup D ima na definabilnom skupu B konaqno mnogo konveksnih komponenti, onda je svaka od tih komponenti definabilna. Posleda komponenta je definabilna formulom θ(x) := x B y B((x < y y D) = [x, y] B D). n θ i (U). Sliqno je i za ostale komponente. Vai D B = Lema 4.26. Ako tip u S 1 (c) xiri p S 1 (0), onda je egov lokus konveksan relativno u p(u). Dokaz. Neka su a 1 < b 1 < a 2 tri realizacije tipa p takve da je a 1 a 2 (c). Tada je c van intervala [a 1, a 2 ]. S obzirom da a 1 i a 2 imaju isti tip nad c, postoji F Aut c (U) takav da a 1 slika u a 2. Za k Z, neka je a k+1 = F k (a 1 ). Tada je c [a k, a k+1 ] i a 1, a 2 a k, a k+1 (c) za svako k. Po lemi 4.24, za svako k postoji b k (a k, a k+1 ) takvo da je b k, b k+1 a k, a k+1. Zbog linearne binarnosti, iz a k, a k+1 b k, b k+1. a 1, a 2 b 1, b 2. a k 1, a k b k 1, b k, i=1 sledi da je a k,..., a k b k,..., b k. Dakle, (a k ) k Z (b k ) k Z. Zato postoji automorfizam G koji slika a k u b k za svako k. Automorfizmom G se [a k, a k+1 ] slika na [b k, b k+1 ] [a k 1, a k+1 ], pa zak uqujemo da G fiksira skup k Z [a k, a k+1 ]. Zato se G moglo izabrati tako da je identiteta na ostatku. Kako je c van skupa k Z [a k, a k+1 ], vai G(c) = c. Tada je G(a 1, c) = (b 1, c), a time je a 1 b 1 (c), xto je trebalo pokazati. Lema 4.27. Neka je ϕ(x, t) formula bez parametra i p S 1 ( ). Skup ϕ(u, b) ima konaqno mnogo konveksnih komponenti na lokusu tipa p. Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Tada je, po kompaktnosti, skup formula Σ = i<κ p(x i ) {x i < x i+1, ϕ(x i, b) ϕ(x i+1, b) i < κ}. 79
2. JAKA LINEARNA BINARNOST zadovo iv za svaki kardinal κ. Neka niz {a i i < κ} zadovo ava taj skup formula. Ako bi za neke i i j takve da je i < j bilo a i a j (b), onda bi i svi elementi intervala [a i, a j ] p pripadali lokusu tipa tp(a i /b), s obzirom da je, po lemi 4.26, lokus tipa tp(a i /b) konveksan u p(u) i da mu i a i i a j pripadaju. Odatle bi sledilo da a i i a i+1 imaju isti tip nad b, a time da se oba nalaze u ϕ(u, b) ili da se oba nalaze u U ϕ(u, b), xto je nemogue jer niz a i zadovo ava formule skupa Σ. Dakle, kad god je i j, onda je tp(a i /b) tp(a j /b), odakle sledi da je S 1 (b) κ. Ovo je kontradikcija jer je jezik prebrojiv, pa je S 1 (b) 2 ℵ 0. Dakle, ϕ(u, b) na lokusu tipa p ima konaqno mnogo konveksnih komponenti. Po teoremi kompaktnosti, iz dokaza prethodne leme, direktno sledi sledea lema. Lema 4.28. Neka je ϕ(x, t) formula bez parametara i p S 1 ( ). Postoji formula ψ(x) p takva da ϕ(u, b) na ψ(u) i na lokusu tipa p ima isti broj konveksnih komponenti. Stav 4.29. Neka je ϕ(x, t) formula bez parametara. Postoje -definabilni skupovi D 1,..., D n i za svako i {1,..., n} postoje b-definabilni konveksni skupovi B i,1,..., B i,ni takvi da je ( ) n n i ϕ(u, b) = D i B i,j. i=1 Dokaz. Na osnovu leme 4.27 sledi da za svaki p S 1 ( ) skup ϕ(u, b) na p(u) ima konaqan broj konveksnih komponenti. Na osnovu leme 4.28 sledi da postoji formula ψ p (x) p, takva da ϕ(u, b) na ψ p (U) ima isti broj konveksnih komponenti. Neka je to n p. Tada postoje formule θ p,1 (x, b),..., θ p,np (x, b) takve da definixu relativno konveksne skupove u ψ p (U) koji su meusobno disjunktni i linearno ureeni i da vai j=1 ψ p (x) ϕ(x, b) ψ p (x) n p j=1 θ p,j (x, b). U svetlu napomene iza definicije 4.25, jasno je da su se formule θ mogle izabrati tako da definixu konveksne skupove i da su ti skupovi meusobno disjunktni. (Ako θ p,j (x, b) ne definixe konveksan skup, onda se umesto e moe posmatrati formula cvx (θ) p,j (x, b)). Skup {[ψ p ] p S 1 ( )} je otvoren pokrivaq prostora S 1 ( ), pa postoji konaqan pokrivaq {[ψ p1 ],..., [ψ pn ]}. Umesto ψ pi, n pi i θ pi,j pisaemo ψ i, n i i θ i,j. Zato vai ϕ(x, b) ( n ψ i (x) i=1 n i j=1 θ i,j (x, b) ). 80
2. JAKA LINEARNA BINARNOST To je ono xto je trebalo pokazati. Posledica 4.30. Neka je ϕ(x, t) formula bez parametara i p S 1 ( ). Ili je skup ϕ(u, b) odozgo ograniqen u p(u) ili je to egov komplement. Posledica 4.31. Neka je ϕ(x, t) formula bez parametara i a U, Tada je skup ϕ(u, a) jednak Bulovoj kombinaciji -definabilnih skupova, skupa [a, ), skupa (, a] i klasa elementa a nekih -definabilnih konveksnih ekvivalencija. Dokaz. Po stavu 4.29, skup ϕ(u, a) [a, ) ima konaqno mnogo konveksnih komponenti. Time su ispueni uslovi teoreme4.17, odakle sledi da je skup ϕ(u, a) [a, ) jednak Bulovoj kombinaciji -definabilnih skupova, skupa [a, ) i klasa elementa a nekih -definabilnih konveksnih ekvivalencija. Dualno vai za skup ϕ(u, a) (, a]. Zak uqak sledi. Stav 4.32. Neka su M = {(a, b) a b, a, b U} i N = {(a, b) a b, a, b U}, neka je D P(U) familija svih -definabilnih podskupova univerzuma, neka je E familija svih podskupova iz U 2 koje definixu -definabilne konveksne ekvivalencije i ihovi sledbenici i neka je F najmai skup zatvoren za Bulove kombinacije koji sadri D 2, E i {M, N}. Svaki 0-definabilni skup D U 2 pripada skupu F. Dokaz. Neka je ϕ(x, y) formula bez parametara koja definixe D. Na osnovu posledice 4.31 zak uqujemo da za svako a U postoji formula θ(x, y) koja je Bulova kombinacija -definabilnih formula po promen ivoj x, -definabilnih konveksnih ekvivalencija i ihovih sledbenika i formula x y i y x, takva da vai = x(ϕ(x, a) θ(x, a)). Oznaqimo sa q tip tp(a) i uoqenu formulu θ sa θ q. Tada q(y) = x(ϕ(x, y) θ q (x, y)). Po kompaktnosti postoji formula δ q (y) q takva da je δ q (y) = x(ϕ(x, y) θ q (x, y)). Skup {[δ q (y)] q S 1 ( )} je otvoren pokrivaq kompaktnog topoloxkog prostora S 1 ( ), pa sadri konaqan potpokrivaq {[δ q1 (y)],..., [δ qn (y)]}. Umesto δ qi (y) pisaemo δ i (y) i θ i (x, y) umesto θ q1 (x, y). Sada imamo sledeu situaciju: se moe videti kao δ i (y) = x(ϕ(x, y) θ q (x, y)), (U δ i (U)) ϕ(u, U) = (U δ i (U)) θ i (U, U). (2) 81
2. JAKA LINEARNA BINARNOST Qienica da je {[δ q1 (y)],..., [δ qn (y)]} pokrivaq prostora S 1 ( ) vidimo kao Zajedno jednaqine 2 i 3 daju D = δ 1 (U) δ n (U) = U (3) n (U δ i (U)) ϕ(u, U) = i=1 xto je trebalo pokazati. n (U δ i (U)) θ i (U, U), Notacija 4.33. Neka je M linearno ureena struktura i L en jezik. Sa L oznaqavamo jezik koji se sastoji od taqno sledeih simbola P ψ, za svaku L formulu ψ(x) za koju je M = xψ(x); E θ, za svaku L formulu θ(x, y) koja u M definixe konveksnu ekvivalenciju <. Sa M oznaqavamo proxiree strukture M do jezika L L takvo da je: Pψ M (M ) = ψ(m), za svako P ψ L ; Eθ M (M 2 ) = θ(m 2 ), za svako E θ L. Sa M oznaqavamo redukt strukture M na jezik L. i=1 Konaqno smo u mogunosti da dokaemo teoremu 4; to emo uraditi u prvom delu sledee teoreme. Teorema 4.34. Neka je U jako linearno binarna struktura i neka je U struktura oznaqena u skladu sa notacijom 4.33. Tada: (1) Strukture U i U su definiciono ekvivalentne. (2) Teorija T = Th(U) je jako linearno binarna. Dokaz. (1) Dovo no je pokazati da je svaki skup D U n koji je -definabilan u strukturi U ujedno i -definabilan u strukturi U. Neka L formula ϕ( x) definixe skup D. S obzirom da je Th(U) linearno binarna, formula ϕ je ekvivalentna Bulovoj kombinaciji L formula oblika θ(x i, x i+1 ). Obeleimo sa D i skup definisan formulom θ(x i, x i+1 ). Tada je D jednak Bulovoj kombinaciji skupova oblika D i U 2. Po stavu 4.32, svaki D i, a time i ceo D, je definabilan formulama jezika L, a time i u strukturi U. (2) Oznaqimo sa T, T, T redom teorije Th(U ), Th(U) i Th(U ). Iz prvog dela teoreme, po tvreu 1.16, sledi da je T definiciono proxiree teorija T i T. Neka je M = T zasien i neka je M emu odgovarajui (u 82
2. JAKA LINEARNA BINARNOST smislu 4.33) model teorije T. Tada su modeli M i M definiciono ekvivalentni, pa je M, po drugom delu tvrea 1.17, takoe zasien. Neka je F automorfizam strukture M koji fiksira konveksan skup K. Po prvom delu tvrea 1.17, F je automorfizam strukture M. Poxto je M proxiree linearnog ureea bojama i konveksnim ekvivalencijama, po zapaau 4.18, je jako linearno binarna struktura, pa je H(x) = { F (x), za x K x, za x K automorfizam strukture M. Ponovo po prvom delu tvrea 1.17, H je automorfizam strukture M, xto je trebalo pokazati. Sledea direktna posledica stava 4.32 i teoreme 4.34 je jaqi oblik teoreme 3. Posledica 4.35. Ako je teorija jako linearno binarna, onda ima eliminacioni skup sastav en od relacije <, formula P ψ i E θ uvedenih u 4.33 i relacija s n E uvedenih u poglav u 4.1 kao,, s n E θ (x, y) ako i samo ako izmeu E θ -klasa elemenata x i y nalazi se taqno n 1 klasa relacije E θ ". Teorema 3 je direktna posledica zapaaa 4.18 i posledice 4.35. 83
Zak uqak U drugom poglav u smo opisali jedan korak modelsko teorijske analize linearnog ureea: kondenzacijom c δ dobijamo jednostavnije ureee koje ima i pridodate predikate. Takoe smo opisali naqin na koji moemo ii unazad. Postav a se pitae: Kako da e analizirati takvu strukturu, odnosno koje su definabilne kondenzacije pogodne za analizu linearnog ureea sa unarnim predikatima? Bilo bi zanim ivo znati odgovor na ovo pitae, ali se on ne moe naslutiti iz ove disertacije. Diskretne klase kondezacije c δ uvedene u drugom poglav u smo deta nije izuqavali u treem poglv u. Pokazano je kako izgledaju definabilni skupovi ekspanzije ureea (ω, <), Kantor Bendiksonovog ranga 1. Taqnije, pokazano je da je takva ekspanzija definiciona ako joj je stepen 1, a ako je stepen d > 1, onda je takva ekspanzija definiciono ekvivalentna strukturi (ω, <, P d ) iz primera 3.3. Ostalo je otvoreno pitae kako izgledaju ekspanzije ranga veeg od 1 i da li postoji prava ekspanzija strukture (ω, <) qija teorija je mala i nije binarna? Jedan od osnovnih zadataka teorije modela je opis definabilnih skupova date strukture. Za strukture jako linearno binarne teorije taj zadatak je rexen u qetvrtoj glavi ove disertacije. Za nexto xiru klasu, strukture linearno binarne teorije, taj zadatak je delimiqno odraen: opisani su konveksni skupovi definabilni jednim parametrom, odakle sledi i opis skupova definabilnih jednim parametrom koji imaju konaqno mnogo konveksnih komponenti. Ostalo je otvoreno pitae kako izgledaju skupovi definabilni jednim parametrom koji imaju beskonaqno mnogo konveksnih komponenti. 84
Literatura [1] Buechler, S. (1996). Essential Stability Theory. Springer. [2] Dushnik, B.; Miller, E. W. (1940). Concerning similarity transformations of linearly ordered sets. Bulletin of the American Mathematical Society, 46(4), 322-326. [3] Feferman, S.; Vaught, R. L. (1959). The first order properties of products of algebraic systems. Fundamenta Mathematicae, 47(1), 57-103. [4] Hausdorff, F. (1908). Grundzuge einer Theorie der geordneten Mengen. Mathematische Annalen, 65(4), 435-505. [5] Hodges, W. (1993). Model Theory. Cambridge University Press. [6] Ilić, D. (2014). Simple types in discretely ordered structures. Archive for Mathematical Logic, 53(7-8), 929-947. [7] Ilić, D.; Tanović, P. (2014). A definable condensation of linear orderings. Novi Sad Journal of Mathematics, 44(2), 225-234. [8] Ilić, D.; Moconja, S.; Tanović, P. (2015). Groups with finitely many countable models. Publications de l Institut Mathematique, 97(111), 33-41. [9] Makkai, M. (1984). A survey of basic stability theory, with particular emphasis on orthogonality and regular types. Israel Journal of Mathematics, 49(1-3), 181-238. [10] Marcja, A.; Toffalori, C. (2003). A Guide to Classical and Modern Model Theory. Kluwer Academic Publishers. [11] Marker, D. (2002). Model Theory. Springer-Verlag, New York. [12] Pillay, A.; Steinhorn, C. (1987). Discrete o-minimal structures. Annals of Pure and Applied Logic, 34(3), 275-289. [13] Pillay, A.; Steinhorn, C. (1988). Definable sets in ordered structures. III. Transactions of the American Mathematical Society, 469-476. [14] Rosenstein, J.G. (1982). Linear Orderings. Academic Press, New York. [15] Rubin, M. (1974). Theories of linear order. Israel Journal of Mathematics, 17(4), 392-443. [16] Simon, P. (2011). On dp-minimal ordered structures. Journal of Symbolic Logic, 76(2), 448-460. [17] Tanović, P. (2006). On constants and the strict order property. Archive for Mathematical Logic, 45(4), 423-430. 85
[18] Tanović, P. (2010). Types directed by constants. Annals of Pure and Applied Logic, 161(7), 944-955. [19] Tanović, P. (2011). Minimal first-order structures. Annals of Pure and Applied Logic, 162(11), 948-957. [20] Mocoa, S. (2015). Asimetriqni pravilni tipovi. Doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu, Matematiqki fakultet. [21] Tanovi, P. (2015). Minimalne strukture prvog reda. Akademska misao, Beograd. 86
Biografija Dejan Ili roen je 28. marta 1970. godine u Beogradu. Diplomirao je na Matematiqkom fakultetu u Beogradu 2000. godine na smeru Teorijska matematika i primene. Magistarsku tezu,,dimenzija modela neprebrojivo kategoriqne teorije" odbranio je 2011. godine pod mentorstvom profesora Predraga Tanovia. Od 2000. godine zaposlen je kao asistent na Saobraajnom fakultetu u Beogradu.