DISKRETNE STRUKTURE 1 Odgovori a pitaja za usmei kod profesora Ž. Mijajlovića Nikola Ajzehamer Aja Bukurov Lektor: Ludi Burekdžija 2014 1
Sadržaj 1 Matematička idukcija 3 1.1 Pricip matematičke idukcije................... 3 2 Operatori sumiraja i proizvoda 3 3 Algebarski idetiteti, bioma formula, asocijativi i komutativi zakoi 4 3.1 BINOMNA FORMULA....................... 4 4 Nejedakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredie 4 5 Rekurzive defiicije, Fiboačijev iz 5 6 Lieara difereca jedačia prvog reda 5 7 Iskaza algebra 5 8 Defiicija iskazih formula 6 9 Tautologije - metode dokazivaja i primeri 6 10 Teorema o disjuktivoj ormaloj formi 6 11 Kvatori 6 12 Defiicija predikatskih formula 6 13 Pojam valuacije 7 14 Valjae formule, primeri 7 15 Teorija algebarskih polja 8 16 Osove skupove operacije, defiicije i osobie 8 16.1 Osobie skupovih operacija.................... 9 16.2 Beskoače skupove operacije................... 9 17 Skupovi idetiteti, metode dokazivaja 10 17.1 Metode dokazivaja skupovih jedakosti............. 10 18 Aksiome teorije skupova 10 19 Dekartov proizvod, operacija partitivog skupa 10 19.1 Dekartov proizvod.......................... 10 19.2 Operacija partitivog skupa..................... 11 20 Biare relacije, kompozicija biarih relacija, iverza biara relacija 11 2
21 Fukcije, osobie (kompozicija, 1-1 i a preslikavaja 12 21.1 Iverza fukcija........................... 12 21.2 Iverza slika............................. 13 21.3 Ijekcija................................ 13 21.4 Surjekcija............................... 13 21.5 Kompozicija fukcija......................... 13 22 Permutacije koačih skupova, račuaje proizvoda i iverza permutacija 14 22.1 Proizvod permutacija......................... 14 22.2 Iverza permutacija......................... 15 23 Relacije ekvivalecije i particije skupova, primeri 15 23.1 Relacija ekvivalecije......................... 15 23.1.1 Klasa ekvivalecije...................... 15 23.1.2 Particija skupa........................ 15 23.2 Parcijalo i liearo uredjei skupovi................ 16 24 Koači i beskoači skupovi i kardiali broj 17 24.1 Dirikleov pricip za koače skupove................ 17 25 Bulove algebre 18 26 Bulovski idetiteti, de Morgaove jedakosti 18 27 Euklidov algoritam 18 28 Lieara diofatovska jedačia 19 3
1 Matematička idukcija Matematička idukcija predstavlja važa i moća metod za dokazivaje tvrdeja koja se odose a prirode brojeve. Oa proizilazi iz sledećeg svojstva skupa prirodih brojeva N. Neka je S N i pretpostavimo da skup S ima sledeće dve osobie: (1 0 S (2 za svako, ako S tada + 1 S Tada S = N. Zaista, prema (1 0 S, dok prema (2 tada i 1 S. Opet primejujući (2 alazimo 2 S i tako redom 3, 4,... S, tj. N S. S obzirom da je S N, alazimo S = N. Pretpostavimo da je φ( formula koja se odosi a prirode brojeve (za takvu formulu kažemo da je aritmetički iskaz i eka je S = { N φ(}, tj. S je skup svih oih prirodih brojeva za koje važi φ(. Tada se prethoda svojstva skupa S mogu preizraziti pomoću formule φ( a sledeći ači: 1.1 Pricip matematičke idukcije Neka je φ( aritmetički iskaz. Pretpostavimo da za φ( važi: (1 φ(0 baza idukcije (2 (φ( = φ( + 1 iduktivi korak Tada je φ( istiito za svaki priroda broj. 2 Operatori sumiraja i proizvoda Osobie: a i = def a m + a m+1 +... + a 1 + a, m i=m a i = def a m a m+1... a 1 a, m i=m SUMIRANJE (1 i=1 αa i = α i=1 (2 i=1 (a i + b i = i=1 a i + (3 i=1 = i=1 (4 m i=1 j=1 a ij = m j=1 i=1 a ij P ROIZV OD (1 i=1 αa i = α i=1 (2 i=1 (a i b i = i=1 a i (3 i=1 = i=1 (4 m i=1 j=1 a ij = m j=1 i=1 a ij i=1 b i i=1 b i 4
3 Algebarski idetiteti, bioma formula, asocijativi i komutativi zakoi Algebarski idetiteti su formule oblika u = v, gde su u i v algebarski izrazi (termi. Algebarski idetitet u = v je tača ili istiit u ekoj algebarskoj strukturi akko se za zadate vredosti učestvujućih promeljivih u termima u i v vredosti u i v terma poklapaju. Primeri: (x + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 = (x y(x + y. 3.1 BINOMNA FORMULA (x+y = def k=0 ( k Biomi koeficijeti: C k = ( k ( x k y k = x + 1 =! k!( k! ; ( k ( x 1 y 1 +...+ 1 = ASOCIJATIVNI ZAKONI: (x + y + z = x + (y + z KOMUTATIVNI ZAKONI: x + y = y + x ( k x 1 y 1 +y redosled izračuavaja e utiče a rezultat 4 Nejedakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredie =2: a1 a 2 a1+a2 2 x = a 1, y = a 2 x, y : (x y 2 0 x 2 2xy + y 2 0 x 2 + y 2 2xy a 1 + a 2 2 a 1 a2 / : 2 a 1+a 2 2 a 1 a 2 =4: 4 a1 a 2 a 3 a 4 a1+a2+a3+a4 4 a 1+a 2+a 3+a 4 4 = a1+a2 2 + a 3 +a 4 2 2 a1 a 2 a 3 a 4 4 a 1 a 2 a 3 a 4 G(a 1,..., a A(a 1,..., a = G(b 1,..., b A(b 1,..., b b 1+b 2+...+b 2 2 2 b1... b 2 = b1+...+b + b +1 +...+b 2 2 b1... b + b +1... b 2 2 b1... b b +1... b 2 = 5
Ovim smo dokazali ejedakost za sve brojeve, oblika = 2 k ; k N +. =bilo koji broj koji ije oblika 2 k : m N 2 m 1 < < 2 m + l = 2 m Dati su am brojevi a 1,..., a a +1 = a +2 =... = a 2 m 2 m : = a1+a2+...+a 2 m a1 a 2... a a +1... a 2 m a1+...+a+a+1+...+a 2 m 2 a m 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a1+...+a (+l( a1+...+a a 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a 1 a 2... a ( a1+...+a l ( a1+...+a a 1 a 2... a ( a1 a2... a / a1 a 2... a a1 a2... a 2 2m m +l 2 m +l ( a 1 +...+a 2 / 2m m 5 Rekurzive defiicije, Fiboačijev iz Pomoću matematičke idukcije mogu se defiisati i uvoditi ovi matematički objekti. Defiicije u kojima se koristi idukcija azivamo iduktivim ili rekurzivim defiicijama. Fiboačijev iz je iz brojeva čiji su početi elemeti f 1 = 0, f 2 = 1, a svaki sledeći broj u izu dobija se sabirajem prethoda dva: f = f 1 + f 2. 6 Lieara difereca jedačia prvog reda Jedačia oblika A(xy + B(xy + C(x = 0 koja deljejem sa A(x 0, postaje y + P(xy + Q(x = 0 aziva se lieara difereca jedačia prvog reda. Ukoliko je fukcija Q(x=0, lieara difereca jedačia se aziva homogeom. 7 Iskaza algebra Iskaza algebra ili raču iskaza je dvoelemeti skup 0,1, zajedo sa jedom uarom i pet biarih operacija. Služi za utvrdivaje tačosti ekog iskaza. p, q, r,... su iskaza slova (promeljive čije su vredosti matematički izrazi,, =,,, su iskazi vezici Operacije su defiisae iskazim tablicama: 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 6
8 Defiicija iskazih formula (1 0, 1 su iskaze formule (2 iskaze promeljive p, q, r,... su iskaze formule (3 ako su A i B iskaze formule, tada su i A, A B, A B, A = B, A B i A B iskaze formule. (4 svaka iskaza formula dobija se primeom prethoda tri pravila 9 Tautologije - metode dokazivaja i primeri Iskaza formula A (p, q, r,... je tautologija akko za sve vredosti p=α, q=β, r=γ,... (α, β, γ {0, 1}, vredost A je 1, od. A (α, β, γ,... 1. Metode dokazivaja: tabliči metod, metod diskusije po iskazom slovu, metod tabloa, metod svodeja a apsurd. Primeri tautologija: p = p, p p (pricip isključeja trećeg, (p q r p (q r (asocijativost kojukcije, (p q (q p (komutativost kojukcije, p p, (p q p q, (p q p q (de Morgaovi zakoi 10 Teorema o disjuktivoj ormaloj formi Literal je p ili p. Atom je kojukcija literala. Disjuktiva ormala forma (DNF je disjukcija atoma A. Formula F je u DNF, ako je F = A1 A2... A ; A = p α1 1 p α2 1... p α k 1, p je iskazo slovo, α 1,..., α k {0, 1}. { p α p ako je α = 1 = p ako je α = 0 Teorema: Svaka iskaza formula ima SDNF. Razlika izmedu DNF i SDNF je u tome da u SDNF u svakom atomu postoje svi literali te iskaze formule. 11 Kvatori Kvatori su kvalifikatori u jeziku. Njihova sematika je: - za svaki, uiverzali kvator - postoji, egzistecijali kvator Uglavom su vezai za promeljivu: x, x. 12 Defiicija predikatskih formula ***** Neka je skup L jezik predikatskog račua. L = CostL U FuL U RelL, pri čemu su CostL skup simbola kostati ({0, 1,...}, FuL skup simbola algebarskih operacija ({+, *,...} i RelL skup simbola relacija ({,,...}. ***** 7
Termi (algebarski izrazi se grade od simbola kostati, operacija i relacija, pr. L = {0, 1} U {+,*} U { }. (1 Promeljive (dodeljuju im se vredosti iz domea su termi i simboli kostati su termi (2 Ako su u i v termi, oda su u+v, u*v termi (3 Svaki term dobija se koačom primeom prethoda dva pravila Atomiče formule su: u = v, u v,... Predikatske formule su: (1 Atomiče formule su predikatske formule (2 Ako su φ i λ predikatske formule, tada su i φ λ, φ λ, φ, φ = λ,... takode predikatske formule (3 Ako je φ formula, tada su i xφ i xφ takode predikatske formule (4 Svaka predikatska formula dobija se koačom primeom prethoda 3 pravila Primeri: x y(x + y = 1 x( x = 0 = y(x y = 1 x(x 2 2x + 2 = 0 L {1,2,3,...,-1,-2,-3,... }=L 13 Pojam valuacije Valuacija je bilo koja fukcija koja skupu iskazih primeljivih dodeljuje vredosti 0 ili 1. φ(p1,...,p φ(α1,...,α Valuacija( je svako preslikavaje p1,..., p α = α 1,..., α α : P 2, gde je P skup iskazih slova {p 1, p 2,...} 14 Valjae formule, primeri Valjae formule su formule čija opšte važeća istiitost ije uslovljea ačiom iterpretacije elogičkih simbola, već samoj logičkoj strukturi formule. Valjae formule izražavaju zakoe ispravog logičkog zaključivaja a jeziku relacijskih struktura. Ako je formula A tača u ekoj iterpretaciji D, oda oa opisuje izveso svojstvo strukture D. Medutim, ako je formula A tača u svakoj iterpretaciji, oda oa više e opisuje svojstvo eke strukture, već opšte svojstvo svih struktura, tj. opšte pravilo zaključivaja. Takve formule, koje su tače u svim iterpretacijama azivaju se opšte važećim formulama ili valjaim formulama. Primeri: xφ(x = x φ(x xφ(x = x φ(x x φ(x = xφ(x 8
15 Teorija algebarskih polja Teorija polja je matematička disciplia koja proučava polja. (1 (x + y + z = x + (y + z asocijativi zako (u aditivoj formi (2 x + y = y + x komutativi zako (3 x + 0 = 0 + x = x zako eutralog elemeta (4 x + (-x = (-x + x = 0 zako suprotog elemeta Svaka algebarska struktura A a kojoj su defiisae algebarske operacije + i i postoji kostata 0, tj. A = (A, +,, 0 i u kojoj važe idetiteti (1 (4 aziva se Abelovom ili komutativom grupom. Skup A je dome algebre A, dakle skup a kojem su defiisae operacije +, i 0 A. Komutativi prstei su algebre A = (A, +,,, 0, 1 koje zadovoljavaju sledeće zakoe: (1 (4 (5(x y z = x (y z (6x y = y x (7x 1 = 1 x = x (8x (y + z = (x y + (x z distributivi zako Uzimamo da je x y = def x + ( y Polja su komutativi prstei koji zadovoljavaju i ovu aksiomu: x 0 = y(x y = 1 ili x 0 = x x 1 ako je uvedea operacija iverzog elemeta. 16 Osove skupove operacije, defiicije i osobie Skupova operacija može biti shvaćea kao postupak kojim se skupu/skupovima pridružuje skup. Georg Kator je 1873. godie formulisao kocept skupova: X = {a φ(a} Skupove operacije su: uara operacija, tzv. komplemetiraje i četiri biare, tzv. presek, uija, razlika i simetriča razlika. (1 Komplemet skupa A, u ozaci A c, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji e pripadaju skupu A. A c = {x U x / A} (2 Presek skupova A i B, u ozaci A B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju i skupu A i skupu B. A B = {x U x A x B} (3 Uija skupova A i B, u ozaci A B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju skupu A ili skupu B. A B = {x U x A x B} 9
(4 Razlika skupova A i B, u ozaci A\B, je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju skupu A, a e pripadaju skupu B. A\B = {x U x A x / B} U opštem slučaju e važi jedakost A\B = B\A. (5 Simetriča razlika skupova A i B, u ozaci A B je skup svih elemeata uiverzalog skupa koji pripadaju ili skupu A ili skupu B. A B = {x U x A x B} Uredje par (x, y = def {{x}, {x, y}} 16.1 Osobie skupovih operacija Za svaki skup A važi: Idempotetost: A A = A, A A = A Za svaka dva skupa A i B važi: Komutativost: A B = B A, A i B važi A B = B A Za svaka tri skupa A, B, i C važi: Asocijativost: A (B C = (A B C, A (B C = (A B C Distributivost: A (B C = (A B (A C, A (B C = (A B (A C Osobie komplemeta, uiverzalog skupa i prazog skupa: (A c c = A, A c = U\A, A A c = U, A A c =, c = U, U c =, (A B c = A c B c, (A B c = A c B c A U = U, A U = A A = A, A = 16.2 Beskoače skupove operacije A 1 A 2... A = N A 1 A 2... A = x N x N N A A A ( Nx A A ( Nx A 10
17 Skupovi idetiteti, metode dokazivaja Skupovi idetiteti predstavljaju jedakost dva skupa. To su dobro zapisai izrazi u kojima učestvuju skupovi A, B, C,..., operacije,, c,... Formala defiicija skupovog izraza (terma: (1, A, B, C,... su skupovi izrazi. (2 Ako su u i v skupovi izrazi, oda su i u v, u v, u c, u\v, u v skupovi izrazi. (3 Svaki skupovi izraz dobija se primeom prethoda dva pravila. Skupovi izraz L = D važi akko vredost od L jeste idetički jedaka vredosti od D za ma kakav izbor skupova (skupove promeljive zameiti kokretim skupovima. Za svako proizvoljo x važi x L x D, tj. L i D imaju iste elemete. A = B akko za svako svojstvo φ važi: φ(a φ(b (jedakost po iteziji = začeju. A = B akko A i B imaju iste elemete: x A x B (jedakost po eksteziji = obimu. 17.1 Metode dokazivaja skupovih jedakosti (1 Dijagram za ograiče broj skupova (2 Tabele pripadosti (svodeje a tabliči metod dokazivaja tautologija (3 Dokaz izraza a osovu defiicija, aksioma,... (4 Metod karakterističih fukcija 18 Aksiome teorije skupova Ove aksiome su aveli Rasel, Frekel i Zermelov početkom 20. veka. (A1 Ako su a, b skupovi, tada je {a, b} takodje skup. (A2 Ako su a, b skupovi, tada su {a b}, {a b},... takodje skupovi. (A3 Ako je a skup, tada je i P (a = {X X a} takodje skup i o se aziva Partitivi skup skupa a. (A4 Praza skup ( je takodje skup. (A5 Aksioma beskoačosti: Postoji skup X takav da u jemu leži. Ako y X, tada y X; y = y {y}. (A6 Aksioma restrikcije: Ako je X skup, φ eko svojstvo, tada je i Y = {x X φ(x} takodje skup. (A7 Ako je data disjukta familija skupova, svi su eprazi, tada postoji X koji bira tačo po jeda elemet iz svakog člaa( relacija trasferzale. 19 Dekartov proizvod, operacija partitivog skupa 19.1 Dekartov proizvod Ako su A i B skupovi, oda se skup uredjeih parova sa prvom koordiatom iz A, a drugom koordiatom iz B aziva Dekartov proizvod skupova A i B, i ozačava se sa AxB: 11
AxB = def {(a, b a A, b B} AxBxC = (AxBxC Važi distributivost Dekartovog proizvoda u odosu a operacije presek, uija,...: Ax(B C = (AxB (AxC Dekartov proizvod skupova A 1,..., A u ozaci A 1 x... xa ili i=1 A i = def {f : I i I A i f(i A i, i I} je skup svih uredjeih -torki sa koordiatama iz odgovarajućih skupova. A 1 x... xa = def {(a 1,..., a a 1 A 1,..., a A } Ako je bilo koji od skupova A 1,..., A praza, oda je po defiiciji praza i skup A 1 x... xa. Ako je A 1 = A 2 =... = A = A, oda se odgovarajući Dekartov proizvod obeležava sa A i zove se Dekartov -ti stepe skupa A, gde je A 1 = A. Ako je A, oda je Dekartov stepe zgodo proširiti i za =0, a sl. ači: A 0 = def { }, odakle sledi da A 0 je jedoelemeti skup. 19.2 Operacija partitivog skupa Skup čiji su elemeti svi podskupovi jedog skupa aziva se partitivi skup. P (X = def {A A X} Praza skup je elemet svakog partitivog skupa. Skup X je elemet P(X. Za razliku od prazog skupa koji ema elemeata, jegov partitivi skup se sastoji od jedog elemeta: P ( = { }. Broj elemeata P(X je 2, ukoliko skup X ima N elemeata. 20 Biare relacije, kompozicija biarih relacija, iverza biara relacija Biare relacije izmedju skupova A i B su podskupovi Dekartovog proizvoda dva skupa A i B. ρ = {(a, x, (b, y,...} AxB (A = {a, b, c}, B = {x, y} Iverza relacija: Neka je ρ eka biara relacija izmedju A i B. Relacija σ koja je relacija izmedju B i A, takva da je (x, y σ akko (y, x ρ, tj. σ = {(x, y (y, x ρ, y A, x B} aziva se iverza relacija relacije ρ. Nekada se ozačava i kao ρ 1. Kompozicija relacija: Neka je σ relacija izmedju skupova A i B, i ρ relacija izmedju skupova B i C. Tada je relacija τ kompozicija relacija izmedju relacija ρ i σ u ozaci τ = ρ σ, ako za (a, c τ def b((a, b σ (b, c ρ, 12
odoso τ = ρ σ = {(a, c AxC b B, (a, b σ (b, c ρ} Važi: Asocijativost kompozicije: (ρ σ τ = ρ (σ τ 21 Fukcije, osobie (kompozicija, 1-1 i a preslikavaja Neka su A i B skupovi. Fukcija iz A u B je f AxB tako da za svako x A postoji tačo jedo y B, tako da (x, y f. Fukcija ili preslikavaje je uredjea trojka (A, B, f, gde su prve dve koordiate dati skupovi A i B, a treća je f kojom se svakom elemetu skupa A dodeljuje tačo jeda elemet skupa B. Zapisuje se f : A B. Skup A je dome fukcije f. To je skup sa kojeg vršimo preslikavaje. Skup B je kodome fukcije f. To je skup a koji vršimo preslikavaje. Preslikavaje ili fukcija je zapravo relacija sa osobiom da svaki elemet skupa A stavlja u relaciju sa tačo jedim elemetom skupa B. ( x A( y B(x, y f i ( x A( y, z B(x, y f (x, z f = y = z. Postoji različit zapis fukcija: f = {(x, x 2 x N} f = {(0, 0, (1, 1, (2, 4,...} f : N( N 0 1 2... f = ( 0 1 4... x f = x 2 f =< f(x x N > f =< x 2 x N > Najčešći zapis je: f(x = x 2 Formala defiicija: (1 f AxB (2 a A : b B, t.d.(a, b f (3 a A b, b B (a, b, (a, b f = b = b Skup vredosti fukcije f: f(a = {f(a a A} Može da važi i za podskup X A i to je slika skupa X: f[x] = {f(x x X} 21.1 Iverza fukcija Dati su skupovi A i B i fukcija f : A a 1 1 B. Možemo uvesti fukciju f 1 : B A. y = g(x x = f(y g = f 1 = {(x, y (y, x f}. Iverze fukcije su simetriče u odosu a x = y pravu. 13
21.2 Iverza slika Ako imamo skupove A i B i preslikavaje f : A B, iverza slika fukcije f je fukcija u ozaci f 1. f 1 [Y ] = {x A f(x Y }. Osobie: X, Y A f[x Y ] = f[x] f[y ] f[x Y ] f[x] f[y ] X, Y B f 1 [X Y ] = f 1 [X] f 1 [Y ] f 1 [X Y ] f 1 [X] f 1 [Y ] 21.3 Ijekcija Preslikavaje ili fukcija f skupa A u skup B, u ozaci f : A B je ijekcija ili 1-1 ako za bilo koja dva razlicita elemeta x 1, x 2 A i jihove slike su različite, tj. f(x 1 f(x 2 : Poekad pišemo f : A 1 1 B. 21.4 Surjekcija ( x 1, x 2 A(x 1 x 2 = (f(x 1 f(x 2 Preslikavaje ili fukcija f skupa A u skup B, u ozaci f : A B je surjekcija ili a ako za svaki elemet b B postoji a A takav da je b = f(a, tj: Poekad pišemo f : A a B. ( b B( a A t.d. (b = f(a Fukcija koja je istovremeo i 1-1 i a zove se bijekcija. 21.5 Kompozicija fukcija Kompozicija fukcija, proizvod ili slagaje fukcija je biara operacija: f : A B g : B C = h = g f, h : A C za bilo koje date skupove A, B, i C. h(x = def g(f(x odoso (g f(x = def g(f(x Slagaje fukcija je asocijativog karaktera: h (g f = (h g f 14
Dokaz: (h (g f(x = h((g f(x = h(g(f(x = (h g(f(x = ((h g f(x Ako su date fukcije f : A B i g : X B, f = g akko X = X x X f(x = g(x f = g akko: (1 dom(f = dom(g i (2 f i g imaju iste vredosti za elemete domea Fukcije (A, B, f i (C, D, g su jedake akko je A = C, B = D i f = g( x A = C, f(x = g(x g f f g, u opštem slučaju. Teorema: Neka su f : A B, g : B C: (1 proizvod 1-1 fukcija je 1-1 fukcija (2 proizvod a fukcija je a fukcija (3 proizvod bijektivih fukcija je bijektiva fukcija 22 Permutacije koačih skupova, račuaje proizvoda i iverza permutacija Dat je skup X i fukcija f : X a 1 1 X. Fukciju f azivamo permutacijom skupa X. Skup svih permutacija skupa X ozačavamo: Sym(x = {p p : X a 1 1 X}. Grupa permutacija je simetriča grupa skupa X, pr. Grupa (Sym(X, 0, 1, i X = {1, 2,..., }, p : X a 1 1 X, q : X a 1 1 X = q p je takodje 1-1 i a fukcija. p, q Sym(X = q p Sym(X Ako je p : X a 1 1 X i p 1 : X a 1 1 X, oda p Sym(X = p 1 Sym(X 22.1 Proizvod permutacija Ako su date dve permutacije p i q, primejivajem prvo q, a zatim i p bi dalo isti rezultat kao i primea samo jede eke permutacije r. Proizvod permutacija p i q se tada defiiše kao permutacija r. ( 1 2 3 4 5 2 3 1 5 4 ( 1 2 3 4 5 3 1 2 4 5 = ( 1 2 3 4 5 1 2 3 5 4 Rešeje: Prvo se primei permutacija q a elemet 1, odoso 1 3, pa se oda primei permutacija p a dobijei elemet, odoso 3 1, pa se a kraju dobije 1 1. Postupak se poavlja za ostale elemete. 15
22.2 Iverza permutacija Iverza permutacija je permutacija fukcija, tačije bijekcija, dakle ima svoju iverzu fukciju. To je permutacija u kojoj se razmejuje svaki broj i broj mesta koji o zauzima. p 1 = ( 2 3 1 5 4 1 2 3 4 5 = ( 1 2 3 4 5 3 1 2 5 4 23 Relacije ekvivalecije i particije skupova, primeri 23.1 Relacija ekvivalecije Biara relacija ( tilda je relacija ekvivalecije domea A ako ispujava sledeće karakteristike: refleksivost: a a, a A simetričost: a b = b a, a, b A trazitivost: (a b b c = a c, A, b, c A Relacija ekvivalecije je biara relacija ad domeom A: AxA; (a, b za eke a, b A. Primeri: (1 jedakost (2 paralelost pravih: p q akko p q. (3 kogruecija po modulu ( N: x = y ili x y(mod. 23.1.1 Klasa ekvivalecije Klasa ekvivalecije elemeta x A, u ozaci x/, [x] ili C x, je skup svih elemeata y koji su u relaciji sa kojima je x u relaciji: 23.1.2 Particija skupa x/ = def {y A x y}, x A Particija skupa A je familija χ podskupova od A: (1 X χ = X / (2 X, Y χ, X Y = X Y (3 X χ X = A Trasverzala ili izbori skup particije χ je T A tako da T bira tačo po jeda elemet iz svakog člaa particije χ. χ = {X t t T }, t X t Broj člaova skupa A jedak je sumi broja člaova svakog elemeta: A = t T X t 16
23.2 Parcijalo i liearo uredjei skupovi Relacija je relacija uredeja a A ako je refleksiva, atisimetriča i trazitiva refleksivost: a a, a A atisimetričost: a b b a = a = b, a, b A trazitivost: (a b b c = a c, A, b, c A Primeri: (1 Haseovi dijagrami (2 (P (x, y P (x y y y z, z y = y = z y z, z u = y u (3 Puo biaro drvo: Drvo (T,, v predstavlja parcijala uredje sistem koji ima: - ajmaji elemet - (u smislu koačih skupova a T, [v, a] je laac tj. liearo uredje skup (svaki ima svog pretka [v, a] = {x T 0 x a} x, y < a = (x y (y x (4 Grupa (N,, gde je relacija x y: x x x y, y x = x = y x y, y z = x z - a A je ajmaji elemet ako za x A važi a x - b A je ajveći elemet ako za x A važi x b - a A je miimali elemet ako za x A za koje važi a x, važi i x = a - b A je maksimali elemet ako za x A za koje važi x b, važi i x = b Liearo uredjei skupovi su oi koji zajedo sa relacijom čie grupu (A,, takvu da je: (1 je relacija uredjeja (RAT (2 ispujava još i: x y y x, x, y A x < y x = y y < x 17
24 Koači i beskoači skupovi i kardiali broj Skupovi X i Y su ekvipoteti (iste kardialosti, iste moći akko def postoji f : X a 1 1 Y. Ako skupovi imaju istu kardialost, to se zapisuje: X = Y, X Y, gde je ozaka X kardiali broj skupa X (isto važi i za skup Y. f : X a 1 1 Y = X = Y X Y def g : X a 1 1 Y f je relacija ekvivalecije. Skup je koača akko postoji postoji bijekcija F : {1, 2,..., } X za eko N. X = ; X = {f(1, f(2,..., f(} = {x 1, x 2,..., x } Primeri koačih skupova: (1 {1, 2,..., } = (2 X = {k N k m} (3 A = ; P (A = 2 (4 S - permutacije skupa {1, 2,..., }; S( =! (5 A = ; C = {X A x = k}; C = - kombiacije bez poavljaja k Defiicije beskoačih skupova: BESKONAČNI SKUPOVI Skup je beskoača ako ije koača. Skup je beskoača ako možemo uslikati N u jega fukcijom 1-1. Ako možemo preslikati skup u jegov pravi deo, oda je o beskoača. Primeri beskoačih skupova: 1 N={1,2,...} 2 X Y, X je beskoača skup, pa je i Y beskoača 3 f : N Y, Z je beskoačo 24.1 Dirikleov pricip za koače skupove Ako x 1... x + 1 tada za eko i važi x i 2. Posledice: (1 f : A A; A je koača skup, tada f : A a a 1, a 2,..., a A {a i } 1 a 1, a 2,..., a A {a i } 1 (2 f : A a A tada f : A a 1 1 A. 1 1 A 18
25 Bulove algebre Bulova algebra je algebarska struktura B = (B,,,, 0, 1. B - dome (epraza skup - bulovska disjukcija - bulovska kojukcija - bulovski komplemet 0,1 - Bulove kostate, 0, 1 B Struktura zadovoljava sledeće aksiome: 1 (x y z = x (y z - zako asocijacije (x y z = x (y z 2 x y = y x - zako komutativosti x y = y x 3 x (x y = x - zako apsorpcije x (x y = x 4 x 0 = x - zako eutralog elemeta x 1 = x 5 x x = 1 - zako komplemeta x x = 0 6 0 1 - svaka Bulova algebra ima dva elemeta Primeri: (1 Iskaza logika: B 2 = (B 2,,,, 0, 1 (2 B 2 = (B 2,,,, 0, 1, B 2 = {(α 1,..., α α 1,..., α {0, 1}} 26 Bulovski idetiteti, de Morgaove jedakosti Svi idetiteti iz aksioma bi mogli da se ubace i ovde x x = x x x = x x 0 = 0 x 1 = 1 0 = 1 1 = 0 (x = x De Morgaove jedakosti: (x y = x y (x y = x y 27 Euklidov algoritam Euklidov algoritam se koristi za odredivaje ajvećeg zajedičkog delioca dva cela broja. NZD dva cela broja je broj koji deli ta dva broja bez ostatka. a, b N, b 0 19
a = b q 1 + r 1, 0 r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2, r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, r 3 < r 2. r 2 = r 1 q + r, r < r 1 r 1 = r q +1 + r +1, r +1 = 0 Postupak se mora završiti jer u N ema beskoačih regresija (opadajućeg iza. NZD je posledji eula ostatak, pa je NZD(a,b = r 28 Lieara diofatovska jedačia d = αa + βb Opšti oblik lieare diofatovske jedačie: ax + by = c Diofatovska jedačia ax+by = c ima rešeje akko d = NZD(a, b d c oblika x = ( c d α + ( b d t i y = ( c d β ( a d t, gde je t eki ceo broj, a α i β su dobijei iz Euklidovog algoritma. Ako d e deli c, oda jedačia ema rešeja. 20