1 Brzina longitudinalnih talasa u fluidima

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XIV predavanje, 017. 1 Brzina longitudinalnih talasa u fluidima Zbog nepostojanja naprezanja na smianje u dubini fluida (tečnosti ili gasa), u fluidima se mogu prostirati samo longitudinalni talasi. Posmatrajmo ravanski talas koji nailazi na delić fluida ravnotežne dužine x, površine poprečnog preseka S, gustine ρ, zapremine V i mase m = ρs x. Slika 1: Prostiranje ravanskog talasa u fluidu. Levi kraj uočenog delića se u ravnotežnom stanju nalazi na mestu x, kao što je prikazano na slii 1. U ovom stanju, pritisi na oba kraja uočenog delića su isti p 10 = p 0. Po nailasku talasa levi kraj delića fluida se pomeri za rastojanje ψ, a zbog različitih pritisaka na levom i desnom kraju (neravnotežno stanje) pomeranje desnog kraja je ψ + ψ. Pretpostavimo da je x ψ. Pritisi na levom i desnom kraju su: Ovde su p 1 i p natpritisi. U opštem slučaju natrpitisak je dat sa: p 1 = p 10 + p 1, (1) p = p 0 + p. () δ( V) S ψ p = E V lim = E V lim x 0 V x 0 S x = E ψ V x. (3) δ( V) je promena zapremine delića fluida usled delovanja natpritiska na jednom njegovom kraju, a E V je zapreminski modul elastičnosti. Jednačina kretanja delića je: Promena natpritiska je: ma x = F x = Sp 1 Sp = S( p p 1 ) = Sδ( p). (4) δ( p) = p p 1 Na osnovu poslednja dva izraza i m = ρs x sledi: ( ) p x x ψ x = E V x x. (5) ψ ρs xa x = SE V x x, (6) odnosno ψ t = E V ρ ψ x. (7) 1

Ova diferenijalna jednačina ima oblik talasne jednačine, tako da je izraz za faznu brzinu longitudinalnih talasa u fluidima: v f = = E V ρ. (8) Upravo izvedeni izraz važi za longitudinalne talase koji se prostiru i u tečnostima i u gasovima. Promena zapremine delića fluida kod gasova je veoma brza, tako da nema razmene toplote uočenog delića fluida sa okolinom, tj. promena termodinamičkog stanja fluida pri prostiranju talasa je adijabatska. Jednačina adijabatske promene stanja idealnog gasa je gde je κ adijabatska konstanta gasa. Odavde se lako dobije: odnosno: pv κ = onst, (9) dp = κp dv V, (10) dp dv = κp V. (11) Prema tome, zapreminski modul elastičnosti za adijabatsko prostiranje talasa kroz idealni gas je: odakle sledi izraz za brzinu prostiranja longitudinalnih talasa u fluidima: E V ad = κp, (1) v f = = κp ρ. (13) Jednačina stanja idealnog gasa je pv = n m RT, (14) gde je p pritisak u gasu, V zapremina gasa, n m je količina gasa (broj molova gasa), R je gasna konstanta, a T apsolutna temperatura. Broj molova je n m = m/m, gde je m masa gasa, a M molarna masa gasa, tako da se jednačina stanja idealnog gasa može pisati u obliku: pm = ρrt. (15) Na osnovu ovog izraza i ranije izvedenog izraza za brzinu prostiranja longitudinalih talasa u fluidima sledi: v f = = κrt M. (16) Trenutna i srednja snaga prostoperiodičnih talasa na žii Pri prostiranju talasa svaki elementarni delić deluje silom na njemu susedni delić u smeru prostiranja talasa. Na ovaj način talas prenosi energiju. Kod transverzalnog talasa na žii, energija se prenosi sa jednog na drugi kraj žie. Snaga koju prenosi transverzalni talas na žii je: P = F x 0 v x +F y v y. (17)

Vertikalna komponenta sile kojom delić sa leve strane deluje na delić na desnoj strani je: gde je F > 0 intenzitet sile zatezanja žie. Pored toga, Izraz za snagu koju prenosi talas (trenutnu snagu talasa) je: Pretpostavimo da je talas prostoperiodičan: F y = Ftgθ = F y x, (18) v y = y t. (19) P = F y y x t. (0) Parijalni izvodi po x i t su: Izraz za trenutnu snagu prostoperiodičnih talasa na zategnutoj žii je: S obzirom da je y(x,t) = Y 0 sin(ωt kx). (1) y x = Y 0kos(ωt kx), () y t = Y 0ωos(ωt kx). (3) P = FkωY 0 os (ωt kx).. (4) k = ω (5) i = F µ, (6) lako se dobije: P = F ω Y 0 os (ωt kx) = µfω Y 0 os (ωt kx) = P m axos (ωt kx). (7) Ovde je P max = Fω Y 0 / = µfω Y 0 maksimalna snaga talasa. Treba uočiti da je maksimalna snaga talasa proporionalna ω i Y 0. Na nekom mestu duž žie snaga talasa nije konstantna, već osiluje. Srednja snaga talasa u toku jednog perioda je međutim konstantna (ne zavisi od x, jer je žia nedisipativna sredina): P = 1 T t+t t P(t)dt = 1 T P max t+t t os (ωt kx)dt = P max. (8) Z je: Veličina Z = µf se naziva karakteristična impedansa žie (ili talasna impedansa žie). Fizička jedinia za Srednja snaga talasa je: [Z] = kg s, (9) P = 1 Zω Y 0. (30) 3

3 Snaga longitudinalnih prostoperiodičnih talasa Izvedimo sada izraz za snagu longitudinalnih talasa po žii. Trenutna snaga ovih talasa je: P = v x F x. (31) Podsetimo da je i Pretpostavimo da je talas prostoperiodičan: F x = SE y u x (3) v x = u t. (33) u(x,t) = u 0 sin(ωt kx). (34) Lako se dobije: gde je P = u t ( SE y) u t, (35) P = P max os (ωt kx), (36) P max = u 0ωkSE y. (37) Srednja snaga longitudinalnih talasa po žii je: P = u 0 ωks y. (38) Za longitudinalne talase u fluidu je: P = v x S p 1, (39) U ovom slučaju je i p 1 = SE V ψ x (40) v x = ψ t. (41) Slično kao u prethodno analiziranim slučajevima pretpostavimo da je talas prostoperiodičan: ψ(x,t) = ψ 0 sin(ωt kx). (4) Sledi: Maksimalna snaga je P = ψ t ( SE V) ψ t = P maxos (ωt kx). (43) P max = ψ 0 ωkse V, (44) dok je srednja snaga longitudinalnih talasa u fluidu: P = ψ 0ωkS V. (45) 4

4 Intenzitet talasa Intenzitet talasa je srednja snaga talasa po jedinii površine normalne na prava prostiranja talasa. Intenzitet se definiše samo za prostorne talasa. 1 Uočimo da je srednja snaga talasa koji se prostire u nedisipativnoj sredini konstantna, tako da promena intenziteta zavisi samo od promene površine normalne na prava prostiranja talasa. Na primer, intenzitet ravanskih longitudinalnih talasa u fluidu je: I rav = P S = ψ 0 kωe V. (46) Ova snaga je konstantna jer nema promene površine normalne na prava prostiranja talasa. Međutim, kod ilindričnih talasa površina normalna na prava propagaije raste r, tako da je: I il = P S 1 r. (47) Površina normalna na prava prostiranja sfernih talasa S r, tako da je intenzitet sfernih talasa: 5 Zvuk I sf = P S 1 r. (48) Zvučni talasi (zvuk) su mehanički talasi koji se prostiru u čvrstim tečnim i gasovitim telima. Za prostiranje transverzalnih talasa odgovorna je elastična sila normalna na prava prostiranja talasa. Ova elastična sila ne postoji u fluidima, pa se transverzalni talasi ne mogu prostirati kroz fluide. S druge strane, longitudinalni talasi se mogu prostirati kroz tela u sva tri agregatna stanja. Zvuk se karakteriše: frekvenijom; bojom; intenzitetom. 1) Frekvenija zvuka. Zvuk može imati razne frekvenije, od kojih su akustičke (koje se čuju) one koje pripadaju opsegu 0Hz f 0kHz. Zvuk frekvenije manje od 0 Hz naziva se infrazvuk, dok se zvuk frekvenije veće od 0 khz naziva ultrazvuk. ) Boja zvuka. Karakteristika zvuka je način promene elongaije u funkiji vremena. Ako je promena elongaije prostoperiodična tada se zvuk naziva ton. Složenije zvučne forme obično se sastoje od dominantnog tona i tonova drugih frekvenija koji su superponirani na dominantni. Zvuk kod koga tonovi svih frekvenija podjednako doprinose zvuku naziva se beli šum. ) Intenzitet (jačina zvuka). Najmanji intenzitet zvuka koji ljudsko uho može da čuje je 6 10 13 W/m (na učestanosti od oko 3 khz). Na učestanosti 1 khz minimalni natpritisak u vazduhu koji ljudsko uho može da detektuje usled prolaska zvuka kroz njega je p min = 8 µpa, što odgovara intenzitetu od I min 10 1 W/m. Maksimalni intenzitet zvuka koji ljudsko uho može da čuje je oko I max = 1 W/m (ova vrednost slabo zavisi od učestanosti zvuka), što odgovara natpritisku od p max = 8 Pa. Zbog velikog opsega vrednosti intenziteta zvuka 1 Od 3 do sada analizirana tipa talasa, intenzitet se definiše samo za longitudinalne talase u fluidu. 5

koji ljudsko uho može da čuje pogodno je koristiti logaritamsku skalu. Zbog toga se definiše nivo intenziteta zvuka β: β = 10log I I 0. (49) Jedinia za β je deibel: [β] = db. (50) Ovde je I 0 vrednost intenziteta zvuka I 0 = 10 1 W/m, što je približno vrednost intenziteta zvuka na 1 khz. Vrednost I 0 odgovara β = 0 db, dok maksimalni intenzitet zvuka koji ljudsko uho može da čuje (a da ne dođe do oštećenja sluha-tzv. grania bola) I = I max odgovara β = 10 db. 6 Karakteristična impedansa sredine za različite talase U opštem slučaju snaga talasa je P = F i v i, gde i označava prava duž koga osiluju čestie sredine. Ovde je F i algebarska vrednost intenziteta sile koja deluje na delić sredine kroz koju se prostite talas, a v i je algebarska vrednost intenziteta brzine uočenog delića. Karakteristična impedansa linijskih (1D) talasa je: Karakteristična impedansa zapreminskih (3D) talasa je: Z = F i v i. (51) Z = 1 S Transverzalni talasi na žii. Algebarska vrednost intenziteta sile je: a algebarska vrednost intenziteta brzine Karakteristična impedansa žie za transverzalne talase je: F i v i. (5) F y = F y x, (53) v y = y t. (54) Z = F y v y = F y/ x y/ t. (55) Koristeći dobije se: što je već ranije bilo definisano. Trenutna snaga talasa je: y x = 1 y t, (56) Z = F = Fµ, (57) P = F y v y = Zv y. (58) Longitudinalni talasi po žii. Za longitudinalne talase po žii važi: F x = E y S u x, (59) 6

Karakteristična impedansa je: Ovde je iskoriš eno: Z = F x = SE y v u x Trenutna snaga longitudinalnih talasa po žii je: v x = u t. (60) t u x = SE y = S E y ρ. (61) u x = 1 u t. (6) P = F x v x = Zv x. (63) Karakteristična impedansa longitudinalnih talasa u fluidu. Za longitudinalne talase u fluidu važi: Ovde je iskorišćeno: F x = S p = SE v ψ x, (64) v x = ψ t. (65) p = E V ψ x Longitudinalni talasi u fluidu su zapreminski, pa je karakteristična impedansa: Koristeći jednačinu i dikretno se dobije: Z = 1 S (66) F x = p v x ψ/ t = E ψ/ x V ψ/ t. (67) ψ x = 1 ψ t Z = E V (68) = E V ρ, (69) = E V ρ. (70) Zvučni talasi se vrlo približno prostiru adijabatski kroz gasove, tako da je (videti izvođenje izraza za brzinu logitudinalnih talasa u fluidima): E V = κp, (71) Z = κpρ. (7) Snaga talasa je: P = F x v x = Szv x. (73) Intenzitet longitudinalnih talasa je: ( ) ψ I = Z = Z ψ t 0ω os (ωt kx) = Zψ 0ω = 1 EV ρω ψ0. (74) 7

7 Refleksija i transmisija transverzalnog talasa na spoju dve zategnute žie Posmatrajmo žie istog poprečnog preseka napravljene od različitih materijala i prostoperiodični transverzalni talas koji propagira po ovim žiama. Obe žie su zategnute silom zatezanja F, a njihove podužne gustine su µ 1 i µ, za prvu i drugu žiu, respektivno. Stoga je fazna brzina talasa po prvoj žii: 1 = F, (75) µ 1 dok je fazna brzina talasa po drugoj žii: = F µ. (76) Slika : Refleksija i transmisija transverzalnih talasa na spoju dve zategnute žie. Posmatrajmo talas koji nailazi sleva ka spoju dve žie koje se nalazi na mestu x (koordinatni početak je postavljen na mestu spoja dve žie). Ovo je inidentni (upadni) talas. Zbog različitih gustina dve žie, jedan deo ovog talasa se reflektuje (odbije), dok se drugi deo talasa transmituje (prenese) u drugu žiu, kao što je prikazano na slii. Treba primetiti da su na slii zbog jednostavnosti prikazani impulsi, dok ćemo se u prikazanoj teoriji baviti prostoperiodičnim talasima. Intenzitet fazne brzine transverzalnog talasa na zategnutoj žii ne zavisi od smera prostiranja talasa, tako da se lako zaključi da su brzine inidentnog talasa i i reflektovanog (odbijenog) talasa r jednake: i = r 1. (77) Pored toga, brzina transmitovanog talasa u drugoj žii je t. (78) 8

Talasna funkija inidentnog talasa je: y i (x,t) = Y 0i sin(ω i t k i x). (79) Slično su talasne funkije reflektovanog i transmitovanog talasa y r (x,t) = Y 0r sin(ω r t+k r x) (80) i y t (x,t) = Y 0t sin(ω t t k t x), (81) respektivno. S obzirom da na spoju ne postoji prekid, elongaija sa leve strane spoja mora biti jednaka elongaiji sa desne strane: y 1 (x = 0,t) = y (x = 0,t). (8) Ovaj uslov se svodi na odnosno: y i (x = 0,t)+y r (x = 0,t) = y t (x = 0,t), (83) Y 0i sinω i t+y 0r sinω r t = Y 0t sinω t t. (84) Ovaj uslov važi za proizvoljni vremenski trenutak, stoga mora biti ispunjeno: ω i = ω r = ω t ω, (85) tako da važi: Y 0i +Y 0r = Y 0t. (86) Treba primetiti da su fazne brzine talasa 1 = i = r i = t različite zbog različitih podužnih gustina, 1, (87) te su talasni vektori (talasne dužine) transverzalnog talasa u ove dve sredine različiti: k i = k r = k 1, (88) k t = k k 1. (89) Dalje uočimo da spoj dve žie nema masu ( m 0), tako da je (videti sliku ), ma y = 0 = F 1y +F y, (90) odakle sledi: F 1y = F y. (91) Uočimo da je sila kojom spoj deluje na desnu žiu (podužne gustine µ ) F y = F y, tako da je: F 1y = F y. (9) Ako ovaj uslov ne bio ispunjen, konačna sila bi delovala na nultu masu spoja, što bi značilo da je ubrzanje spoja beskonačno. Prema F y = F y x, (93) 9

sledi: S obzirom da je y 1 = y i +y r i y = y t : y 1 x = y x=0 x. (94) x=0 y i x + y r x=0 x = y t x=0 x. (95) x=0 Za razmatrane ravanske talase ovaj uslov postaje: S obzirom da ova relaija važi u bilo kom vremenskom trenutku: k 1 Y 0i osωt+k 1 Y 0r osωt = k Y 0t osωt. (96) k 1 Y 0i +k 1 Y 0r = k Y 0t. (97) Primetimo da su prema jednačinama koje predstavljaju neprekidnost talasne funkije i neprekidnost prvog izvoda talasne funkije, (86) i (97), amplitude reflektovanog i transmitovanog talasa proporionalne amplitudi inidentnog talasa. Stoga definišimo amplitudske koefiijente refleksije i transmisije: r = Y 0r Y 0i, (98) t = Y 0t Y 0i, (99) respektivno. Primena uslova neprekidnosti talasne funkije i njenog prvog izvoda na mestu spoja daje sistem jednačina: Ovo je sistem od dve jednačine u kome su nepoznate r i t: r = k 1 k k 1 +k = 1+r = t (100) 1 r = k k 1 t. (101) ω 1 ω ω 1 + ω = 1 + 1. (10) Koristeći izraz za faznu brzinu transverzalnog talasa na zategnutoj žii = F/µ, koefiijent refleksije je: r = F µ F µ 1 F µ + F µ 1 = µ1 µ µ1 + µ. (103) Ako pomnožimo i podelimo poslednji dobijeni izraz sa F i uzmemo u obzir da je karakteristična impedansa žie za transverzalne talase Z = µf, izraz za amplitudski koefiijent refleksije dobija oblik Slično se za koefiijent transmisije dobija t = k 1 k 1 +k = 1 + = r = Z 1 Z Z 1 +Z. (104) F µ F µ + F µ 1 = µ 1 µ1 + µ. (105) 10

Množenjem i deljenjem poslednjeg dobijenog izraza sa F dobije se t = Z 1 Z 1 +Z. (106) Iako su izrazi za r i t, (104) i (106), respektivno, izvedeni za prostiranje tranverzalnog talasa na zategnutoj žii, oni imaju opštu važnost. Ali je za dati talas potrebno koristiti poseban izraz za karakterističnu impedansu. Uočimo da amplitudski koefiijent refleksije ima vrednosti dok su vrednosti amplitudskog koefiijenta transmisije 1 r 1, (107) 0 t. (108) Uslov za r < 0 je: Z 1 < Z (µ 1 < µ ), (109) pri čemu postoji obrtanje faze reflektovanog talasa u odnosu na inidentni talas za π rad. U ovom slučaju talas se prostire iz lake u tešku žiu. S druge strane, ako talas nailazi iz teške u laku žiu, tada je r > 0: Z 1 > Z (µ 1 > µ ), (110) što znači da nema obrtanja faze reflektovanog talasa u odnosu na inidentni. U posebnim slučajevima: Z 1 Z (µ 1 µ ) : r = 1, t = 0, (111) Z 1 Z (µ 1 µ ) : r = +1, t =. (11) Primetimo da pozitivne vrednosti koefiijenta transmisije znače da ne postoji obrtanje faze transmitovanog talasa u odnosu na inidentni. Pored amplitudskih koefiijenata refleksije i transmisije r i t definišimo i koefiijente refleksije i transmisije snage R i T, respektivno. Za razmatrani transverzalni talas na žii koefiijent refleksije snage je R = P 1 r = Z 1ω Y ( ) 0r P 1 i Z 1ω Y0i = r Z1 Z =. (113) Z 1 +Z Koefiijent transmisije snage transverzalnog talasa na žii je: Lako se dobije: R = P t P i = 1 Z ω Y0t 1 Z 1ω Y0i = Z t = 4Z 1Z Z 1 (Z 1 +Z ). (114) R+T = 1, (115) koja predstavlja zakon o održanju mehaničke energije primenjen na talas. Prema ovom izrazu zbir srednje snage reflektovanog i transmitovanog talasa jednak je energiji inidentnog talasa: P r + P t = P i. (116) Interesantan slučaj za analizu je Z 1 Z, kada je r = 1 i t =. Tada R 1 i T 0, što ne znači da je snaga transmitovanog talasa jednaka nuli, već samo da je mnogo manja od snage inidentnog talasa. Sličan rezultat se dobija i za Z 1 Z. 11

8 Stojeći talas Interferenija je slaganje dva ili više talasa u istom delu prostora. Primer interferenije je formiranje stojećih talasa. Posmatrajmo situaiju kao na slii 3, gde je zategnuta žia zakačena o nepomični masivni zid i gde inidentni talas putuje u suprotnom smeru od x ose. Zid se može tretirati kao žia beskonačno velike podužne gustine, tako da je r = 1 i t = 0. Interferenijom inidentnog i reflektovanog talasa nastaje stojeći talas. Kao i ranije, na slii 3 ilustrovani su impulsi, a odgovarajuće razmatranje će biti sprovodeno za harmonijske talase. Slika 3: Refleksija transverzalnih talasa na spoju dve zategnute žie. Za prostoperiodične talase je: y i (x,t) = Y 0 sin(ωt+kx), (117) y r (x,t) = ry 0 sin(ωt kx), (118) gde je r = 1 i uzeto je u obzir da inidentni talas putuje u suprotnom smeru od x ose, zbog čega u argumentu sinusne funkije u y i (x,t) stoji znak +; s druse strane, reflektovani talas propagira u smeru x ose, zbog čega znak minus stoji u argumentu sinusne funkije u y r (x,t). Superpoziijom inidentnog i reflektovanog talasa dobija se: y rez (x,t) = y i (x,t)+y r (x,t) = Y 0 [sin(ωt+kx) sin(ωt kx)] (119) ili y rez (x,t) = Y 0 sin(kx)os(ωt). (10) Ovaj talas nema formu putujućeg talasa, jer je y rez (x,t) f ( t x ), (11) bez obzira što je razmatrana sredina nedisperziona, nedisipativna i linearna. Lako se uoči da se rastojanja delića žie od ravnotežnog položaja menjaju harmonijski u funkiji vremena. Slika 4: Talasna funkija stojećeg transverzalnog talasa na zategnutoj žii u vremenskom trenutku t = t 1. 1

Zavisnost y rez (x,t = t 1 ) prikazana je na slii 4. Lako se uočava da postoje mesta na žii koja su stalno u ravnoteži. To su čvorovi stojećeg talasa čije se koordinate dobijaju na osnovu uslova: Prema tome, koordinate čvorova stojećeg talasa su: sinkx = 0 kx = π x = nπ, n = 0,1,,... (1) λ x 0n = nλ, n = 0,1,,... (13) Čvorovi su posledia destruktivne interferenije inidentnog i reflektovanog talasa. Mesta na kojima je amplituda stojećeg talasa maksimalna nazivaju se trbusi stojećeg talasa i određuju se na osnovu uslova: Koordinate čvorova su: sinkx = ±1 kx = π λ x = (n+1)π, n = 0,1,,... (14) x 1n = n+1 λ, n = 0,1,,... (15) 4 Formiranje trbuha je posledia konstruktivne interferenije inidentnog i reflektovanog talasa. Slika 5: Modovi stojećeg talasa na zategnutoj žii učvršćenoj na oba kraja: (a) osnovni mod (n = 1), (b) mod n =. Ovde je prikazana talasna funkija u dva različita vremenska trenutka. Ako je drugi kraj žie učvršćen za drugi zid (videti sliku 5), koji se nalazi na rastojanju L u odnosu na prvi zid, tada mesto x = L predstavlja čvor stojećeg talasa. Uslov za formiranje ovakvog stojećeg talasa je x 0n = L, n = 1,,3,..., tj L = n λ. (16) Uvedimo pojam normalnog moda: normalni mod predstavlja kretanje nekog sistema tako da se sve čestie u njemu kreću prostoperiodično istom frekvenijom. Na žii razapetoj između dva zida može se formirati beskonačno mnogo modova (različitih stojećih talasa): žia dužine L podržava formiranje beskonačno mnogo normalnih modova. Normalni mod najniže frekevenije naziva se osnovni mod. Osnovni mod stojećeg talasa na zategnutoj 13

žii je osilovanje sistema frekvenijom f 1 = /(L); u ovom slučaju između dva zida ne postoji nijedan čvor, tako da je rastojanje između zidova L = λ 1 /, odnosno talasna dužina ovog stojećeg talasa je λ 1 = L. Frekvenije normalnih modova nazivaju se harmonii. Frekvenija koja odgovara najvećoj talasnoj dužini naziva se osnovna frekvenija (osnovna učestanost). Razmatrana žia ne može da osiluje bilo kojom frekvenijom, već frekvenija zavisi od L. S obzirom da je za dati talas L = nλ/, lako se zaključi da je talasna dužina n-tog normalnog moda λ n = L n. (17) Koristeći f = /λ sledi da su harmonii dati izrazom: f n = = n, n = 1,,3,..., (18) λ n L odnosno elobrojni su umnoši osnovne učestanosti f n = nf 1, n = 1,,3,... (19) Slika 6: Modovi longitudinalnog stojećeg talasa u evi otvorenoj na oba kraja: (a) osnovni mod (n = 1), (b) mod n =. Prikazana je talasna funkija u dva trenutka. Slično se mogu formirati stojeći longitudinalni talasi u evi otvorenoj na oba kraja. Pri tome se inidentni talas reflektuje o otvorene krajeve; eksperimentalno je utvrđeno da se na krajevima evi nalaze trbusi stojećeg talasa, kao što slika 6 prikazuje za osnovni i drugi mod. Slično kao kod stojećih talasa na zategnutoj žii lako je utvrditi da se talasna dužina osnovnog moda dobija na osnovu uslova: Odavde sledi da je frekvenija osnovnog moda L = λ 1. (130) f 1 = λ 1 = L. (131) 14

Viši harmonii se određuju na osnovu uslova da se eo broj polovina talasnih dužina može smestiti na dužini evi (videti sliku 6(b)): L = n λ, (13) tako da je učestanosti jednaka f n = n L = nf 1. (133) Slika 7: Modovi longitudinalnog stojećeg talasa u evi otvorenoj na oba kraja: (a) osnovni mod (n = 1), (b) mod n =. Prikazana je talasna funkija u dva trenutka. Stojeći longitudinalni talasi mogu se formirati i na poluotvorenoj (poluzatvorenoj) evi, tj evi koja je zatvorena samo na jednom kraju, kao što je prikazano na slii 7. Pri tome se na zatvorenom kraju formira čvor stojećeg talasa, a na otvorenom kraju je postavljen trbuh. Kod osnovnog moda četvrtina talasne dužine se poklapa sa dužinom evi L: odnosno osnovni harmonik je Kod prvog višeg moda 3λ/4 = L (videti sliku 7(b)), a u opštem slučaju: L = λ 1 4, (134) f 1 = 4L. (135) (n 1) λ 4 = L, n = 1,,3,... (136) Odavde sledi: f n = (n 1), n = 1,,3,... (137) 4L 9 Izbijanje talasa i grupna brzina Posmatrajmo superpoziiju dva ravanska talasa bliskih učestanosti i bliskih talasnih dužina, ali iste amplitude Karakteristike prvog talasa su ω 1 i k 1, a karakteristike drugog talasa su ω = ω 1 + k i ω = ω 1 + ω, pri čemu 15

je: ω ω 1, (138) k k 1. (139) Talasne funkije dva talasa su: ψ 1 (x,t) = ψ 0 sin(ω 1 t k 1 x), (140) Slaganjem dva talasa se dobija rezultujući talasa: ψ (x,t) = ψ 0 sin(ω t k x). (141) ψ r (x,t) = ψ 1 (x,t)+ψ (x,t) = ψ 0 [sin(ω 1 t k 1 x)+sin(ω t k x)]. (14) Koristeći sinα+sinβ = os((α β)/)sin((α+β)/), lako se dobija: ( ω ω 1 ψ r (x,t) = ψ 0 os t k ) ( k 1 ω +ω 1 x sin t k ) +k 1 x. (143) Označimo srednju vrednost kružne učestanosti dva talasa sa ω (ω = (ω 1 + ω )/) i srednji talasni broja sa k (k = (k 1 +k )/). Takođe, ω = ω ω 1, k = k k 1. Rezultat slaganja je: ( ) ω k ψ r (x,t) = ψ 0 os t x sin(ωt kx). (144) Uočimo da je ovaj talas sličan prostoperiodičnom, ali ima modulisanu sporopromenljivu amplitudu. Ovakva promena elongaije predstavlja pojavu izbijanja talasa. Izbijanje talasa je rezultat slaganja talasa bliskih kružnih učestanosti i bliskih talasnih dužina. Grafik zavisnosti ψ(x = x 0,t), za dato x 0, ima oblik kao na slii 15.1 u P. Marinković, Fizika 1: skripta, 017. (videti takođe J. Cvetić, Talasi: skripta, 003.). Slično kao kod osilaija, frekvenija izbijanja talasa je: f izb = ω π = f f 1. (145) Uočimo da u izrazu za ψ r (x,t) postoje dve faze. Prva je faza brzopromenljive sinusne funkije (prostoperiodičnog talasa), koja se prostire brzinom v f = ω/k, dok je druga faza kosinusne funkije (sporopromenljive amplitude) ϕ = ω k t x. (146) Brzina kojom se prostire faza ϕ je grupna brzina (brzina grupe talasa) v g. Do izraza za v g dolazi se slično kao do izraza za v f. Postavimo uslov: Odavde sledi: ω (t+dt) k Ako je razlika ω i k talasa koji se superponiraju mala: (x+dx) = ω k t x. (147) v g = dx dt = ω k. (148) ω dω, (149) k dk. (150) 16

izraz za grupnu brzinu je: Veza između grupne i fazne brzine je: v g = dω dk. (151) v g = dω dk = d(v fk) = v f +k dv f dk dk. (15) U nedisperzionim sredinama fazna brzina ne zavisi od talasne dužine (talasnog broja), što znači da je: v g = v f, (153) pa se poremećaj prostire u neizmenjenom obliku. Zavisnost ω = f(k) naziva se disperziona relaija. U nedisperzionim sredinama: ω = v f k, (154) tj. disperziona relaija ima oblik prave linije. U nedisperzionoj sredni su, dakle, fazna i grupna brzina jednake: v g = v f. (155) 10 Doplerov efekat Eksperimentalno je ustanovljeno da se frekvenija zvu vnih talasa menja kada se izvor i prijemnik talasa kreću relativno jedan u odnosu na drugog. Ova pojava se naziva Doplerov efekat i opšta je karakteristika talasnog kretanja. Promena frekvenije zavisi i od kretanja sredine između izvora i prijemnika, kao i od pravaa kretanja izvora i prijemnika. Ovde ćemo razmotriti najjednostavnije slučajeve kada sredina između izvora i prijemnika miruje, a kada se izvor i prijemnik kreću jedan ka drugom ili jedan od drugog, tako da prava vektora brzine jednog objekta prolazi kroz drugi objekat. Situaiju ćemo ilustrovati za tačkast izvore i sferne talase. Pri tome se mogu izdvojiti tri slučaja: izvor se kreće, a prijemnik miruje; prijemnik se kreće, a izvor miruje; i izvor i prijemnik se kreću. 10.1 Promena frekvenije usled kretanja izvora U ovom slučaju brzina prijemnika je v p = 0, a pretpostavljamo da je brzina izvora v i = onst. Posmatrajmo suksesivne ekvifazne površi (druga ekvifazna površ fazno kasni za prvom za π radijana). Ove dve ekvifazne površi prikazane su na slii 8 u vremenskom trenutku kada je prva ekvifazna površ stigla do izvora. Vremenski interval između emisije ove dve površi je period talasa T = π/ω. Period talasa koji meri posmatrač jednak je razlii vremena pristizanja ovih ekvifaznih površi do prijemnika: ( T = t t 1 = T + x ) x 1, (156) 17

Slika 8: Dve suksesivne sferne ekvifazne površi talasa koje emituje izvor koji se kreće brzinom v i, dok prijemnik miruje. gde je t vreme za koje stiže druga ekvifazna površ (početni trenutak je vreme emisije prve ekvifazne površi), a t 1 vreme za koje pristiže prva ekvifazna površ do prijemnika. x 1 i x su rastojanja prijemnika od izvora kada je emitovao prvu i drugu ekvifaznu površe, respektivno. Period talasa koji meri prijemnik je: Koristeći T = T x 1 x. (157) x 1 x = v i T (158) sledi: T = T v it Frekevije talasa izmerenog od strane prijemnika je: ( = T 1 v i ). (159) f = f 1 v i /. (160) Ova relaija važi za situaiju kada se izvor približava prijemniku. Relaija se može primeniti i na slučaj udaljavanja izvora od prijemnika, uz zamenu v i v i, tako da je opšta relaija za promenu frekvenije talasa usled kretanja izvora: f = f 1 vi. (161) Na osnovu ovog izraza sledi: odakle sledi da je promenjena talasna dužina razmatranog talasa λ = /λ 1 v i /, (16) λ = v i. (163) f Treba primetiti da je promena frekvenije u slučaju kada se samo izvor kreće posledia promene talasne dužine. 18

10. Promena frekvenije usled kretanja prijemnika Posmatrajmo sada slučaj kada izvor miruje, a prijemnik se kreće ( v i = 0, v p 0). Na slii 9 prikazane su dve ekvifazne površi u trenutku t = t 1 kada je prva ekvifazna površ stigla do prijemnika. U ovom slučaju pokretni posmatrač detektuje talasnu dužinu koju emituje izvor, ali promenjenu faznu brzinu talasa: Frekvenija talasa koga detektuje izvor = +v p. (164) f = λ = ( 1+ v ) p λ veća je od učestanosti emitovanog talasa. Ako se prijemnik udaljava učestanost talasa se smanjuje. Opšta relaija za promenu frekvenije talasa usled kretanja prijemnika je: ( f = f 1± v ) p, (166) gde se znak + odnosi na slučaj kada se prijemnik kreće ka izvoru, a znak kada se prijemnik kreće od izvora. Takođe, promena frekvenije je suštinski posledia relativnog kretanja izvora i prijemnika. (165) Slika 9: Dve suksesivne sferne ekvifazne površi talasa koga emituje izvor koji miruje, dok se prijemnik kreće. 10.3 Promena frekvenije usled istovremenog kretanja izvora i prijemnika Ako se i izvor i prijemnik kreću menjaju se i fazna brzina i talasna dužina: = ± v p, (167) Frekvenija talasa koju detektuje prijemnik je: λ = v i. (168) f f = λ = ± v p ( v i ) /f = f1± v p / 1 v i /.. (169) 19