CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte utilizte 3 Fucţii ritmetice Fucţi lui Euler 33 Teoreme udmetle 4 Codiţii suiciete de comuttivitte î grupuri D Heuerger 4 Cetrul uui grup 4, Grupuri comuttive 43 Câtev grupuri de epoet 5 Morisme de grupuri D Heuerger, V Pop 5 Crcteristici le lui Hom G;H 5 Crcteristici le lui Ed G petru uele grupuri iite 53 Trsport de structură 6 Cogrueţe de grupuri Grupuri cât Teoreme de izomorism V Pop, V Lupşor 6 Relţii de echivleţă deiite de sugrupuri 6 Relţii de cogrueţă Sugrupuri ormle 63 Nucleul uui morism 64 Teoreme de izomorism 7 Grupuri de trsormări geometrice V Pop, V Lupşor 7 Plul euclidi Modele geometrice şi lgerice 7 Priciplele izometrii le plului 73 Iterpretări geometrice le uor grupuri remrcile 8 Iele D Heuerger 8 Cetrul uui iel 8 Codiţii suiciete petru iele Boole 83 Iele şi corpuri de crcteristică iită 9 Ecuţii ucţiole pe structuri lgerice V Pop 9 Ecuţii ucţiole pe grupuri de umere rele Poliome cu coeicieţi îtr-u iel comuttiv D Heuerger Ireductiilitte şi descompuere î Zp[X] Ielul resturilor ielului A[] modulo u poliom Є A[] Coordotor Vsile Pop Viorel Lupşor
CLASA XII- ANALIZĂ Fucţii primitivile Gh Boroic Fucţii primitivile Operţii cu ucţii primitivile 3 Clse de ucţii discotiue primitivile Metode de clcul l primitivelor I Mgdş Aspecte teoretice Clculul primitivelor uor ucţii irţiole 3 Clculul primitivelor ucţiilor trigoometrice şi hiperolice 3 Criterii de itegrilitte N Muşuroi 3 Fucţii itegrile 3 Criteriul lui Drou de itegrilitte Riem 33 Criteriul lui Leesgue de itegrilitte Riem 4 Metode de clcul l itegrlelor deiite A Mgdş 4 Metode de itegrre ucţiilor 5 Şiruri şi itegrl Riem A Mgdş 5 Clculul limitelor uor şiruri utilizâd itegrl deiită 5 Şiruri i căror termei geerli coţi itegrl deiită 6 Teoreme de medie Ieglităţi itegrle A Mgdş 6 Teoreme de medie le clculului itegrl 6 Ieglităţi itegrle remrcile 7 Aplicţii le clculului itegrl A Mgdş 7 Clculul riilor 7 Clculul volumelor 8 Ecuţii diereţile şi itegrle Gh Boroic 8 Ecuţii diereţile de ordi îtâi şi doi 8 Ecuţii diereţile clsice de ordi îtâi Coordotor Vsile Pop Viorel Lupşor
MATEMATICĂ PROGRAMA ŞCOLARA PENTRU CLASELE DE EXCELENŢA X-XII ARGUMENT Studiul mtemticii pri clsele de eceleţă, urmăreşte î pricipl crere uui cdru orgizt, î cre elevii tletţi l mtemtică, proveiţi di dierite medii şcolre, să potă itr î cotct, şi î timp reltiv scurt, să ormeze u grup perormt Aceşti elevi, eeiciid de o pregătire pe măsur poteţilului lor itelectul, vor cotriui ulterior l ormre uei elite româeşti î domeiul mtemticii Relizre uei progrme petru clsele de eceleţă, precum şi modul î cre se v lucr pe cestă progrmă, costituie o outte petru îvăţămâtul româesc Di cest motiv elorre prezetei progrme treuie îţelesă c o etpă ecesră uui îceput de drum U colectiv de cdre didctice di îvăţămâtul preuiversitr şi uiversitr di CRTCP Cluj, cu eperieţă î domeiul pregătirii elevilor cpili de perormţe superiore, u ormt o echipă cre relizt progrm şi mulul cre coţie eerciţii şi proleme etrem de utile petru desăvârşire pregătirii cestor elevi Î selectre coţiuturilor progrmei s- ţiut cot de tediţele ctule î ormulre suiectelor l cocursurile şi olimpidele şcolre, dr şi de trdiţiile şcolii româeşti de mtemtică Numerosele cărţi şi reviste dreste vârurilor u costituit o importtă sursă iliogrică î trtre temelor Temele propuse costituie o etidere irescă progrmei litice oligtorii de mtemtică şi prcurgere lor este ecesră petru ordre uor proleme mi diicile Aumite teme vor i trtte pe prcursul mi multor i de studiu evidet cu o prolemtică corespuzătore sigurâdu-se stel cotiuitte şi coereţ procesului de îvăţre Mi treuie precizt că l elorre progrmei echip vut î vedere ptul că mtemtic u este u produs iit, ci u proces itelectul î cre, pe suportul uor cuoştiţe solide, primeză iiţitiv persolă Astel, cestă progrmă oeră posiilităţi utetice de opţiue petru proesori şi elevi Progrm se dreseză elevilor clselor X-XII şi ost cocepută petru u umăr de ore/săptămâă î cele 3 de săptămâi le ului şcolr î cre se lucreză cu clsele su grupele de eceleţă C o completre l progrm oligtorie de mtemtică, competeţelor geerle le-u mi ost dăugte îcă două cre u rolul de oriet demersul didctic către ormre uor smluri structurte de cuoştiţe geerte de speciicul ctivităţii 5
itelectule mtemtice l ivel de perormţe superiore Progrm re următorele compoete: - competeţe geerle - competeţe speciice şi coţiuturile corelte cu ceste - vlori şi titudii - sugestii metodologice Competeţe geerle Folosire corectă termiologiei speciice mtemticii î cotete vrite Prelucrre dtelor de tip ctittiv, clittiv, structurl, cotetul cuprise î euţuri mtemtice 3 Utilizre corectă lgoritmilor mtemtici î rezolvre de proleme cu grde dierite de diicultte 4 Eprimre şi redctre corectă şi coeretă î limj orml su î limj cotidi, rezolvării su strtegiilor de rezolvre uei proleme 5 Aliz uei situţii prolemtice şi determire ipotezelor ecesre petru oţiere cocluziei 6 Geerlizre uor proprietăţi pri modiicre cotetului iiţil de deiire prolemei su pri îmuătăţire su geerlizre lgoritmilor 7 Emitere uor judecăţi de vlore petru rezolvre prolemelor ivetiv şi euristic-cretive 8 Doâdire uei imgii de smlu mtemticii elemetre c prte uui sistem lt î permetă evoluţie şi itercţiue cu lume îcojurătore 6
Competeţe speciice Idetiicre legăturilor ditre primitivilitte şi propriette Drou Utilizre metodei schimării de vriilă î cele două vrite l clculul primitivelor Prelucrre ieglităţilor clsice î scopul oţierii uor ieglităţi itegrle 3 Aplicre uor schimări de vriilă coscrte l clculul primitivelor ucţiilor irţiole 4 Eprimre uei ucţii ditr-o ecuţie diereţilă su itegrlă 5 Utilizre itegrlei deiite l clculul limitelor uor şiruri, stilire uor idetităţi şi ieglităţi 5 Iterpretre gricului petru stilire ormulei de clcul riei cuprisă ître două cure ple 6 Utilizre itegrlei deiite l clculul volumului uor corpuri geometrice cre u sut de rotţie 7 Relizre uor implicţii ître prolemele tipice le clculului itegrl şi cele dte l cocursurile şi olimpidele şcolre 8 Coştietizre poteţilului iterdisciplir l clculului itegrl Coţiuturi Elemete de Aliză Mtemtică Primitive Fucţii primitivile Metode de clcul primitivelor - schimre de vriilă - clculul primitivelor uor ucţii irţiole cu jutorul uor lgoritmi coscrţi, de e: Euler, Ceâşev - clculul primitivelor ucţiilor trigoometrice şi hiperolice Itegrle deiite Criterii de itegrilitte Proprietăţi geerle le ucţiilor itegrile Metode de clcul itegrlelor deiite Idetităţi deduse pri itegrre Şiruri şi itegrl Riem Teoreme de medie Ieglităţi itegrle Aplicţii le clculului itegrl Clculul riei cuprisă ître două cure Volumul uor corpuri geometrice Ecuţii diereţile şi itegrle Ecuţii diereţile de ordiul I şi II Ecuţii cu vriile seprile Ecuţii itegrle de tip Volter 7
Elemete de lgeră Crcterizre uor grupuri pri ordiul elemetelor sle su pri edomorismele cre se pot deii pe ceste Idetiicre proprietăţilor uor grupuri, iele şi corpuri prticulre 3 Utilizre structurilor lgerice î proleme de teori umerelor 3 Rezolvre de ecuţii ucţiole pe structuri lgerice 4 Stilire uor codiţii cre să sigure c u iel să ie comuttiv, Boole, su de crcteristică iită 5 Studiere uor grupuri, iele şi corpuri prticulre şi iterpretre rezulttelor 6 Determire uor logii ître poliomele cu coeicieţi reli şi cele cu coeicieţi îtr-u corp comuttiv 7 Relizre uor implicţii ître prolemele tipice cu structuri lgerice şi cele propuse l cocursurile şi olimpidele şcolre 8 Coştietizre vstului poteţil pe cre îl u structurile lgerice î stilire uor proprietăţi mtemtice glole Grupuri : Ordiul uui elemet l uui grup Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri Codiţii suiciete de comuttivitte î grupuri : - cetrul uui grup - grupuri de epoet Morisme de grupuri : - crcteristici le lui EdG petru uele grupuri iite - trsport de structuri Grupuri de trsormări geometrice Teoreme de izomorism petru grupuri Grupuri cât Iele şi corpuri : Iele : - cetrul uui iel - codiţii suiciete petru iele Boole - iele şi corpuri de crcteristică iită Poliome cu coeicieţi îtr-u iel comuttiv : - ireductiilitte şi descompuere î Z [X] - ielul A l resturilor ielului A[X] modulo u poliom di A[X] Aplicţii le structurilor lgerice î proleme de teori umerelor Ecuţii ucţiole pe structuri lgerice 8
VALORI ŞI ATITUDINI Noul curriculum şcolr petru clsele de eceleţă propus l mtemtică re î vedere ormre l elevi următorelor vlori şi titudii î plus ţă de cele speciicte pri curriculumul şcolr oligtoriu : Miestre uor opiii competete cu privire l ordre prolemelor ituitiv şi euristic-cretive zte pe eplorre, ispirţie şi iveţie Dezvoltre uei gâdiri releive, idepedete, leiilă şi strctă speciică mtemticii Iteresul petru modul de dezvoltre ideilor şi rezulttelor mtemtice Curiozitte ţă de oile deschideri di domeiul mtemticii SUGESTII METODOLOGICE Pri prezetul curriculum petru clsele de eceleţă se iteţioeză c, pe prcursul liceului, elevii să doâdescă competeţe şi să-şi structureze u set de vlori şi titudii speciice pregătirii de îltă perormţă Aceste se regăsesc î următorele specte le îvăţării, vizte de prctic pedgogică : Alizre şi elorre uui pl de rezolvre petru prolemele tipice şi/su diicile di domeiile studite Formre oişuiţei de ormul proleme şi situţii prolemă Aliz uei proleme di puct de vedere l ideii cetrle Reprcurgere căii de rezolvre prolemei petru oţie u rezultt mi u, meliort su optimizt pritr-o reproiectre cretivă Idetiicre uor metode de lucru vlile petru clse de proleme Iiţeire şi relizre cretivă uei ivestigţii porid de l temtic propusă Formre depriderii de ticip rezultte mtemtice porid de l dtele eistete Formre oişuiţei de ce coeiui itr şi iterdisciplire Acest curriculum re drept oiectiv c iecre elev cpil de perormţe superiore să-şi potă dezvolt competeţele îtr-u ritm idividul, de -şi trser cuoştiţele cumulte ditr-o zoă de studiu î lt Petru cest se recomdă următorele ctivităţi : Alterre prezetării coţiuturilor, cu moduri vrite de trere gâdirii Solicitre de recvete corelţii itr şi iterdisciplire 9
Puere elevului î situţi c el îsuşi să ormuleze srcii de lucru decvte Oţiere de soluţii su iterpretări vrite petru ceeşi uitte iormţiolă Prevedere de srcii rezolvile pri ctivitte î grup Utilizre uor soturi educţiole Avâd î vedere speciicul clselor de eceleţă, metodele olosite i prctice istructiv-eductivă vizeză următorele specte: Utilizre strtegiilor euristice, cre lsă elevul să-şi sume riscul icertitudiii, l îcercării şi erorii, speciice ivestigţiei ştiiţiice Utilizre strtegiilor cretive, cre lsă elevul să se irme î plul origilităţii, spoteităţii, diversităţii şi cre pu ccetul pe cpcitte de relecţie, siteză, evlure critică şi creţie O îmire şi o lterţă sistemtică ctivităţii zte pe eort idividul cu cele cre solicită eort colectiv Îsuşire uor metode de iormre şi de documetre idepedetă, cre oeră deschidere spre utoistruire şi spre îvăţre cotiuă
Ordiul uui elemet l uui grup ALGEBRĂ Proprietăţi le ordiului uui elemet l uui grup Proprietăţile oţiuii de ordi l uui elemet l uui grup sut de multe ori orte utile î proleme de cocurs, cilitâd deseori rezolvre cestor Cosiderăm cuoscute oţiuile şi rezulttele udmetle le teoriei grupurilor studite î liceu grup, sugrup, morisme de grupuri Î cele ce urmeză, G este o mulţime evidă, cărei o lege de compoziţie ottă multiplictiv îi coeră structură de grup Notăm cu ordg su G umărul elemetelor grupului G, dcă G re u umăr iit de elemete şi spuem că ordg dcă G re o iiitte de elemete Remitim următorele cocepte şi proprietăţi: Deiiţie Fie G, u grup şi X o sumulţime evidă s I H X H, H sugrup l lui G Notăm cu X { } Propriette X, este u sugrup l lui G umit sugrupul geert de mulţime X 3 Oservţii X este cel mi mic sugrup î rport cu relţi de ordie l lui G, stel îcât X X X { α G N*,,,, G,,,, Z, α } c Dcă G, tuci sugrupul geert de elemetul este { Z } 4 Deiiţie Grupul G, se umeşte grup ciclic dcă eistă G stel îcât G Î cest cz elemetul se umeşte geertor l grupului G 5 Oservţie Dcă G, este u grup ciclic de ordiul, este u geertor l grupului G şi Z, tuci este u geertor l lui G dcă şi umi dcă, 6 Deiiţie Grupul G, se umeşte iit geert dcă eistă N* şi,,, G stel îcât,,, G Î cest cz elemetele,,, se umesc geertori i grupului G 3
7 Oservţii Orice grup ciclic este comuttiv Orice grup iit este iit geert Eemple de grupuri ciclice: Z,, Z,, U,, ude U este grupul rădăciilor de ordiul le uităţii 8 Deiiţie Fie grupul G, cu elemetul eutru e Elemetul G este de ordi iit dcă m N*, m e Î cest cz, mi { m N* m e } ot ord se umeşte ordiul elemetului Elemetul G este de ordi iiit dcă u este de ordi iit 9 Teoremă Fie grupul G, şi G Dcă ord N*, tuci elemetele e,,, sut disticte două câte două şi Z, mod ord, Z,, vem Coseciţe C Fie grupul G, Dcă G şi ord N*, tuci ord şi {e,,, } C Grupul iit G de ordiul N* este ciclic G re u elemet ordiul C 3 Fie grupul G, Dcă G, ord N* şi Z, e, tuci / Demostrţie: Coorm teoremei împărţirii cu rest,! q, r Z, r < ord, stel îcât ord q r Atuci qr q r şi cum e, rezultă că r şi deci r e Dr ord mi {m N* m e} şi rezultă r, deci q, dică / C 4 Orice elemet l uui grup iit re ordiul iit C 5 Orice două grupuri ciclice de celşi ordi sut izomore Dcă G este u grup ciclic de ordiul, tuci G, Z, 4
C 6 Orice sugrup l uui grup ciclic este ciclic C 7 Dcă, y G, tuci ord ord ord y ordy Demostrţie: I Dcă ord N* vem e şi e e Fie ord Di C3 rezultă / Cum e, rezultă că e şi cum ord, di C3 rezultă că / Aşdr II Dcă ord să presupuem că ord N* Atuci di czul terior rezultă că ord ord, ls Aşdr ord I Dcă ord y N* vem y e y y e y y y y e, şdr ordy N* şi / Dr y e y y e y e şi cum ord y rezultă şi / şi deci II Dcă ord y, presupuâd că ordy N* rezultă c mi îite că ord y, ls Aşdr ordy C 8 Dcă : G G este u morism ijectiv de grupuri multiplictive şi G, tuci ord ord Demostrţie: I Dcă ord N* vem e şi deci şi ordiul elemetului G este iit Fie t ord Rezultă că t / Dr e t t şi petru că este o ucţie ijectivă rezultă că t e şi cum ord vem şi / t, deci t II Dcă ord, presupuem că ord N* Atuci e şi di ijectivitte lui rezultă că e, cee ce este ls Aşdr ord Să oservăm că irmţi terioră este devărtă şi î czul izomorismelor de grupuri, cee ce îtăreşte imgie ituitivă că elemetele socite pritr-u izomorism u celeşi proprietăţi 5
C 9 Fie grupul G, şi, G cu ord m N*, ord N*, stel îcât Notăm cu d m,, p [m, ] Atuci: ord / p d p / ord Demostrţie: Se ştie că dcă, tuci Z, Avem m d m şi d, cu m, N, m,, ir p d m p d m m m m m, C3 e / p, ude ord este evidet că ord N* d p m Demostrăm că m / e, C3 e m / d m / d m / m / m, Alog rezultă că / şi cum m, oţiem m / Oservţii: ord / m Dcă, G,, ord m, ord şi m,, tuci ord [m, ] m [m, ] c Eistă situţii câd ord, m m, De eemplu, î grupul Z,, ord 6ˆ, ord ˆ 6 şi ord 6ˆ ˆ 3 d Eistă situţii câd ord [m, ], chir dcă m, De eemplu, î grupul Z 4,, ord 6ˆ 4, ord 6 şi ord 6ˆ 4 C Fie grupul G, şi G, ord N* Atuci: Z, ord / 6
Z, ord, Demostrţie:, C3 e ord / Fie d, Atuci eistă, Z stel îcât d, d,, Cum, C3 e ord / Fie s ord Avem s, C3 e şi cum ord / s d / d s / s şi deorece, rezultă că / s Ţiâd cot de oţiem s, dică ord d, C Fie G, u grup ciclic de ordiul, G şi Z Atuci: este geertor l grupului, Demostrţie: Remitim următore Lemă Fie, Z Atuci:, t, s Z, t s Cum G, eistă t Z stel îcât t şi deci t e, C3 ă ord / t s Z, t s s t, Lemă, t, s Z, t s Atuci t s t s t şi deci şi cum grupul G este geert de, rezultă că G Dr G şi deci G Să oservăm că eistă ϕ geertori i lui G Coseciţă Dcă G, este u grup ciclic de ordiul p, cu p N umăr prim, tuci: orice elemet l lui G este geertor l grupului G u re sugrupuri proprii Lem 7
Biliogrie Gh Adrei, C-ti Crge, V Ee Algeră Culegere de proleme petru emee de dmitere şi olimpide şcolre, Ed Scorpio 7, Bucureşti 995 M Burte, G Burte Mtemtică cls XII- Elemete de liză mtemtică Algeră superioră, Ed Crmiis 3 I Purde, Gh Pic Trtt de lgeră moderă, vol I, Ed Acdemiei, Bucureşti, 977 4 D Adric, N Bişocă, I Şerde, M Adroche, M Piticri, D Zhri - Mtemtică Mul petru cls XII-, M, Ed Plus, 5 Colecţi Gzet Mtemtică 8
Proleme rezolvte R Fie G, u grup şi g G, cu ordg m, ude m, N*, m, Să se demostreze că eistă şi sut uice, G stel îcât g şi ord m, ord Soluţie: Eisteţ Cum m,, eistă, t Z stel îcât m t Fie g t şi g m Oservăm că m t g m m t 9 g e şi log e Cum m e, di, C 3 rezultă că ord p N* şi p / m Presupuem că p m Atuci p t g p g t p şi cum ordg m, di, C 3, rezultă că m / t p şi deci m / t p Di rezultă că m, t p m ord m Alog se demostreză că şi oţiem m / p ord Uicitte Fie, G stel îcât g şi ord m, ord Atuci g Fie, t di relţi t Avem t m şi g t m, deci g t şi cum g t este cel di demostrţi eisteţei Alog rezultă că g m m e, rezultă R Fie G, u grup şi G, u elemet de ordi iit Dcă m, Z stel îcât m,, ord m şi ord m, să se demostreze că ord m Soluţie: Fie d ord Di, C, cum m şi comută, vem că ord m / ord, deci m / d Di ord m rezultă că m e şi deci, C 3 d / m Folosid şi relţi rezultă că d m R3 Fie G, u grup Să se demostreze că următorele irmţii sut echivlete: Orice sumulţime H s cre este prte stilă î rport cu operţi grupului, este sugrup l lui G
Tote elemetele grupului G sut de ordi iit Mri Adroche Soluţie: Fie G Cum G, este grup, rezultă că t N*, t G şi deci mulţime H { t t N*} este prte stilă lui G î rport cu operţi grupului Aşdr, coorm ipotezei, H este sugrup l lui G şi deci H coţie elemetul eutru e l lui G Î coseciţă, eistă N* stel îcât e şi deci irmţi este devărtă Fie H G, H prte stilă lui G î rport cu operţi lui G Fie H Di ipoteză rezultă că N*, e Cum H este prte stilă, vem h H, h N* şi deci e H e şi cum H este prte stilă vem că şi dică se lă î H Aşdr H este sugrup l lui G Oservţii Eistă grupuri iiite cu tote elemetele de ordi iit De eemplu Z p [X],, dcă p este u umăr prim Dcă G, este u grup iit, tuci H G, vem: H e prte stilă lui G î rport cu operţi lui G H e sugrup l lui G 3 Dcă impuem codiţi de iitudie dor supr lui H oţiem rezulttul cuoscut: Petru grupul G, şi mulţime iită H G, H e prte stilă lui G î rport cu operţi lui G H e sugrup l lui G R4 Să se demostreze că orice sugrup l uui grup ciclic este ciclic Soluţie: Fie G, u grup ciclic I Dcă ordg şi G, tuci grupul G este izomor cu Z, u izomorism este : G Z,, Z şi cum sugrupurile lui Z sut de orm Z, cu Z, rezultă că şi sugrupurile lui G sut ciclice, pe z următorului rezultt cuoscut: Lemă dcă grupurile G, şi G, sut izomore şi : G G este u izomorism, tuci: H este sugrup l lui G H este sugrup l lui G
II Dcă ordg N* şi G, sugrupurile improprii le lui G iid evidet ciclice, ie H u sugrup propriu l lui G, H { },,, t, cu < < < t umere turle eule Demostrăm, pri iducţie după s, că H s, deci că s N*, Petru s,, H Cum H e sugrup l lui G oţiem H şi deci H şi di < rezultă că vem şi Presupuem că vem s s şi demostrăm că şi s s Avem: s > s > > s s şi s, s,, s s H ir s, s,, s s {,,, s } şi deci s s şi olosid s ipotez de iducţie oţiem s s şi s, şdr H este ciclic, geert de
Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite Teorem lui Lgrge şi teorem lui Cuchy Deiiţie Fie H u sugrup l grupului G, Se deiesc relţiile de echivleţă ρ H,ρ H l stâg, respectiv l drept pe G, după cum urmeză: ρ H y - y H şi ρ H y y - H H si H sut clsele de echivleţă l stâg, respectiv l drept le lui î rport cu H y H ρ H y şi y H ρ H y Mulţimile G / ρ H {H, H, yh, } şi G/ρ H {H, H, Hy, } sut mulţimile clselor de echivleţă l stâg, respectiv l drept î rport cu H Oservţii Fucţi :G / ρ H G / ρ H dtă pri relţi H H este ijectivă, G / ρ H G / ρ H G : H şi se umeşte idicele sugrupului H î grupul G H yh H yh Îtr-devăr, dcă H yh, tuci h, h H, stel îcât h yh Atuci yh h şi cum h h H, rezultă că yh, şdr H yh Alog se demostreză celltă icluziue 3 Deiiţie Fie N u sugrup l grupului G, N se umeşte sugrup orml dcă şi umi dcă petru orice G, N N 4 Oservţii Dcă N este sugrup orml l lui G, G / ρ N G / ρ N G / N {N, N, yn, } Se demostreză uşor că G / N este grup umit grupul ctor l lui G î rport cu N împreuă cu operţi deiită stel: N yn yn G / N G : N 3 Orice sugrup de idice este orml Demostrţie: Fie N u sugrup de idice Atuci G N N cu clsele N şi N disjucte şi de semee G N N cu clsele N şi N disjucte Rezultă deci că N N şi N este sugrup orml 5 Teorem lui Lgrge Fie G, u grup iit şi H u sugrup l lui G Atuci: ordh / ordg ordg ordh ordg / H
Demostrţie: Fie ρ H relţi de echivleţă l stâg di deiiţi Coorm oservţiei ce îi urmeză, mulţime clselor de echivleţă l stâg î rport cu H este o prtiţie mulţimii G dică U H G şi clsele sut disjucte X G două câte două Mi mult, ucţi : H H dtă pri h h este ijectivă, deci, y G, H yh H Aşdr, ordg ordh ordg / ρ H, ude G / ρ H este mulţime clselor de echivleţă modulo ρ H, umită şi mulţime cât lui G î rport cu relţi de echivleţă ρ H 6 Coseciţe: Fie G, u grup iit Atuci: Petru orice G, ord / ordg Petru orice G, ordg e, ude e este elemetul eutru l grupului G 3 Orice grup de ordi prim este ciclic deci izomor cu Z p, 7 Teorem lui Cuchy Fie G, u grup iit şi p u umăr prim, p / ordg Atuci umărul soluţiilor ecuţiei p este u multiplu eul l lui p Demostrţie: Fie ordg şi S {,,, p i G, i {,,, p} şi p } Petru orice legere elemetelor,,, p, p p, deci p este uic determit Aşdr ords p Deiim relţi de echivleţă pe S : y este o permutre circulră lui y Dcă p, cls de echivleţă lui,,, p coţie u sigur elemet şi ect p elemete î cz cotrr Îtr-devăr, ie,,, p şi i, j, primul respectiv ultimul rg petru cre i j şi i i i i j petru i < i < < i < j şi >, ir petru, i j C să oţiem pri permutări circulre celeşi elemete pe locurile i, i,, i, j şi evetul să u rezulte permutări disticte le lui, r treui c distţele ditre elemete să ie celeşi, deci p j i j i i i s Aşdr j i s,, i i s, i i s şi duâd relţiile memru cu memru oţiem j i s şi cum p s j i, vem p s Cum p este umăr prim, rezultă s şi deci j p i Cum îsă j p, oţiem că p i p, deci că i Aşdr i şi j p şi sutem î prim situţie, cu tote elemetele lui idetice Deci dcă cel puţi elemete le permutării 3
dieră, tuci eistă ect p permutări circulre ce se pot oţie di permutre respectivă p elemete Fie r umărul clselor cu u elemet r este deci umărul soluţiilor ecuţiei p şi t umărul clselor cu câte p elemete Di relţi, rezultă că p r p t şi cum p /, rezultă că p / r Oservăm că r, petru că,,, S 8 Coseciţe Dcă G, e u grup iit şi p e u umăr prim, p / ordg, tuci eistă G stel îcât ord p Numărul sugrupurilor de ordi p le lui G, î codiţiile cosecitei este cogruet cu mod p Demostrţie: Di teorem lui Cuchy, eistă elemete de ordiul p le grupului G Notăm cu N* umărul sugrupurilor de ordiul p le lui G Numărul p iid prim, ceste sut ciclice H i i, i {,,, } şi H i H j {e}, i, j {,,, }, i j Fie H mulţime soluţiilor ecuţiei p Rezultă H H H H şi deci ordh ordh H H p Di teorem lui Cuchy, cum umărul soluţiilor ecuţiei p este u multiplu eul l lui p, rezultă p mod p, deci mod p 9 Propozitie Fie G, u grup iit stel îcât petru orice G, e Atuci: G, este grup comuttiv eistă N, stel îcât ordg Demostrtie Prim prte propoziţiei este u eerciţiu orte cuoscut, prezet î mule, cre este devărt şi petru czul î cre G u este grup iit Vom prezet trei demostrţii petru irmţi de l Soluţi I: Vom demostr cocluzi pri iducţie după ordg: Petru, evidet, ordg Fie m N *, m> Presupuem că irmţi e devărtă petru grupurile de ordi mi mic decât m cu propriette di euţ Fie G, u grup de ordi m şi ie G Cum G este grup comuttiv coorm cu puctul, sugrupul N {e, } este u sugrup orml l lui G, dică petru orice y G, yn Ny Cum NN N en N, petru orice G, rezultă că G / N, este u grup ctor cre re propriette di euţ 4
ordg Di teorem lui Lgrge vem că ordg / N < ordg m şi deci ordn di ipotez de iducţie rezultă că eistă N * stel îcât ordg / N Atuci ordg ordg / N şi coorm pricipiului iducţiei mtemtice, irmţi este devărtă petru orice grup iit cu propriette di euţ Soluţi II-: Vom orgiz grupul G c spţiu vectoril şi petru simplitte scrierii, vom cosider de cestă dtă operţi grupului î otţie ditivă Pe G,, cre re tote elemetele de ordi, se pote itroduce o structură de Z spţiu vectoril Cele 4 iome le spţiului vectoril se veriică pri clcul direct, mulţime sclrilor iid iită Se deieşte ˆ şi ˆ Cum G este u spţiu vectoril iit, el este de dimesiue iită Fie B {e, e,, e } o ză cestui Atuci, G, α, α,, α Z, 5 i αi e i Aşdr, umărul elemetelor di G coicide cu umărul -uplurilor α, α,, α ce se pot orm cu elemete di Z, deci cu umărul ucţiilor ce se pot deii de l o mulţime cu elemete l Z, cre este Soluţi III-: Presupuem că ordiul grupului G u este o putere lui Atuci p N, p umăr prim, p 3, stel îcât p / ordg Atuci, di coseciţ teoremei lui Cuchy rezultă că eistă G, ord p Avem p e şi cum e oţiem p, e, ls Aşdr N, ordg Geerlizre Fie G, u grup iit şi p N u umăr prim stel îcât G, p e Atuci ordiul lui G este o putere lui p Demostrţi cestui rezultt se ce cel mi uşor pri reducere l surd şi olosid teorem lui Cuchy, c î czul precedet Biliogrie Gh Adrei, C-ti Crge, V Ee Algeră Culegere de proleme petru emee de dmitere şi olimpide şcolre, Ed Scorpio 7, Bucureşti 995 M Burte, G Burte Mtemtică cls XII- Elemete de liză mtemtică Algeră superioră, Ed Crmiis 3 D Popescu, C-ti Vrciu Elemete de teori grupurilor iite, Ed Ştiiţiică şi Eciclopedică Bucureşti 986 pg 77-78 4 Colecţi G M
Proleme rezolvte R Fie G, u grup iit Dcă m şi sut divizori i ordiului grupului, tuci ecuţiile m e şi e u o sigură soluţie comuă dcă şi umi dcă m, Mihi Piticri Soluţie: Oservăm că e este soluţie comuă ecuţiilor m, h, Z, m h Fie G o soluţie comuă celor două ecuţii Atuci m h e, e şi oţiem m h e Fie m, d Dcă d, eistă p N, p prim, stel îcât p / d Di coseciţ teoremei lui Cuchy rezultă că eistă G \ {e}, ord p p e şi cum d e ecuţi d e u re soluţie uică, ls Rezultă d R Fie G, u grup iit Să se demostreze că următorele irmţii sut echivlete: G este ciclic Petru orice d N*, eistă cel mult u sugrup de ordiul d î G Soluţie: Remitim că petru N, idictorul ϕ l lui Euler ϕ este umărul tuturor umerelor turle mi mici decât şi prime cu veriică ormul lui Guss: ϕ d sumre ăcâdu-se după toţi divizorii lui, d / iclusiv şi Dcă ordg şi d /, d N*, tuci uicul sugrup de ordiul d l lui G este H { G d } Îtr-devăr, ordh d, petru că grupul ciclic G re u elemet de ordiul d dcă G y ord y d d, cre se lă î H şi cre de pt îl geereză pe H Presupuâd că eistă H H, H sugrup de ordiul d l lui G, vem că H, ordh d H H H şi cum u celşi umăr de elemete, rezultă că H H Dcă irmţi este devărtă, petru d N*, ie 6
M d { G ord d} Mulţimile M d sut disjucte două câte două şi reuiue lor este mulţime elemetelor lui G Î plus, dcă M d ord / d Dr ord / ordg Î cocluzie, M d d / u sugrup ciclic H d, de ordi d l lui G, Di ipoteză, H d este uicul sugrup de ordi d l lui G şi deci M d { G H d }, ir M d ϕd Avem G d / M d ϕ d / d Relţi terioră este devărtă Guss şi cum uul ditre divizorii lui di ormul terioră este chir, eistă u sugrup ciclic H de ordiul, l lui G Atuci G H şi G este ciclic R3 Fie G, u grup cu 4 elemete N Să se determie umărul elemetelor G stel îcât e Mri Adroche Soluţie: Fie G {e,,, } şi SG mulţime permutărilor lui G ucţiilor ijective de l G l G Petru G, ucţi σ : G G, σ, G este î SG, ir : G SG, σ, G este u morism ijectiv de grupuri Fie H G Atuci G G H { σ e, σ,, σ } şi H este u sugrup l lui SG Acest rezultt este teorem lui Cyley / ordg G, ord Atuci, σ, G σ e permutre idetică i j e σ u re pucte ie î σ pr perechi de tipul j i σ este produsul trspoziţii disjucte εσ Î coseciţă, H este u grup de permutări cre re o permutre impră şi de ici, umărul permutărilor pre di H este egl cu umărul permutărilor impre di H Îtr-devăr, dcă e, σ,, σ sut tote permutările pre di H şi σ,, σ sut tote permutările impre di H, vem σ,, σ σ permutări pre şi cum σ e, σ σ,, σ σ sut permutări impre şi deci Fie A { G e } şi A 7
e e σ ε σ permutre pră A Fie B { G e } şi y B ot σ y y εσ σ y e şi e εσ σ şi cum εσ oţiem că εσ B 3 Di şi 3 deducem că A B R4 Demostrţi că u grup cu 4 elemete dmite cel mult u sugrup cu elemete Euge Păltăe, Si Tăârcă Soluţie: Dcă H e u sugrup l lui G ordh < 4 ordh Petru euţul este devărt Petru, dcă H {e,,, } este u sugrup l lui G cu elemete şi G, ord eistă, di coseciţ teoremei lui Cuchy, tuci H i H, i, G H { i i, } Demostrăm că y, z G \ H, y z H Fie y, z G \ H i, j H, y i, z j i H H, i Atuci y z i j i j j j Deci y z j şi cum, j H deducem că y z H, şdr este devărtă Presupuem că eistă sugrupul H l lui G, de ordi, cu H H Avem H H sugrup l lui G şi H H H, H H H Notăm ordh H p p /, p Atuci p < Notăm, după o evetulă redeumire elemetelor, H H {e,,,, p } Atuci H {e,,,, p, y p,, y } cu {y p,, y } H G \ H p Di oţiem y, y p y p,, y p y H H şi deci p H H p, ls 8
Oservţii: Dcă G re u sugrup H cu elemete, tuci di rezultă că sugrupurile K le lui G stel îcât K H {e} sut de ordiul Dcă G 4, tuci G u pote ve dor sugrupuri proprii de ordiul r rezult că ordiul lui G este o putere lui, ls R5 Fie G, u grup iit şi H, H sugrupuri le lui G Fie mulţime H H { y H, y H } Dcă m{ordh, ordh } > ordg, să se demostreze că H H G Soluţie: s Presupuem că ordh ordh, deci că ordh >, ude ordg Atuci, cum di teorem lui Lgrge vem că ordh / ordg, rezultă că ordh şi deci H G Aşdr H H GH { y G, y H } Elemetul eutru e l grupului G se lă şi î H şi deci, oricre r i G, e GH, şdr G GH şi cum şi GH G, rezultă că G GH H H 9
3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor 3 Noţiui şi rezultte utilizte Deorece cuoştiţele ecesre îţelegerii cestei teme sut puţie, vom rezum tote rezulttele ce le vom olosi 3 Dcă G, este u grup şi H, u sugrup l său tuci relţiile ρ G G şi ρ ' G G deiite pri: H H de ', y ρh y H şi, y ρh y H sut relţii de echivleţă pe G ir clsele de echivleţă u tote celşi crdil c mulţime H 3 Dcă G, este u grup iit şi H, este u sugrup l său, tuci H divide G Lgrge Dcă H, G tuci şi dcă m umărul mse umeşte idicele lui H î G şi se oteză [ G : H ], vem G H [ G : H ] 33 Dcă G, este u grup iit şi G u elemet l său, tuci * ordiul lui este iit eistă N miim cu şi ord divide G Ordiul lui este crdilul sugrupului ciclic geert de 34 Dcă G eistă u grup ciclic iit geert de şi G, tuci u elemet G geereză tot grupul G dcă şi umi dcă, 35 Î mooidul Z,, l clselor de resturi modulo, u elemet ˆ este elemet iversil, dcă şi umi dcă, 36 Dcă M, este u mooid şi otăm U M mulţime elemetelor iversile di M, tuci U M, ormeză o structură de grup 37 Dcă G, este u grup eli iit tuci g G g g' σ g' l doile terme l eglităţii este produsul tuturor elemetelor di G cre u ordiul doi Demostrţie Dcă g G şi ord g 3 tuci g g şi ord g ord g, deci mulţime { g G ord g 3} o putem prtiţio î mulţimi de orm { g, g } umărul elemetelor de ordi 3 este pr şi tuci ord g 3 g g g' 3
38 Numărul elemetelor de ordi dierit de, ditr-u grup iit este impr Elemetele de ordi 3 se cupleză î perechi { g, g' } deci sut î umăr pr şi se mi dugă cre este de ordi 39 Î orice grup iit de ordi pr, eistă elemete de ordi Numărul elemetelor de ordi dierit de este impr, deci şi umărul celor de ordi este impr, dică cel puţi 3 Fucţii ritmetice Fucţi lui Euler Î teori umerelor pr umerose ucţii ritmetice deiite pe N * uele di ele orte des clsice Vom miti câtev di ele şi vom d câtev proprietăţi le lor, ocupâdu-e î specil de ucţi lui Euler 3 Deiiţie Se umeşte ucţie ritmetică orice ucţie : N * C 3 Oservţie Î geerl î teori umerelor se cosideră că u este umăr turl şi di cest motiv se oteză cu N mulţime {,,3,} Noi * vom ot {,,3,} N petru meţie otţi dopttă î mulele ostre Mjoritte ucţiilor ritmetice clsice sut deiite cu vlori î N, dr petru deiire uor ucţii "iverse" este ecesră etidere codomeiului Vom ot mulţime ucţiilor ritmetice cu F 33 Deiiţie O ucţie ritmetică F se umeşte ucţie multiplictivă dcă şi m m petru orice pereche de umere m, reltiv prime, m, 34 Oservţie Dcă este o ucţie multiplictivă tuci * petru N cu vem, deci O ucţie multiplictivă este uic determită de vlorile pe cre le i * î puterile umerelor prime, dică pe mulţime M { p N, p umăr prim} m Dcă p p pm este descompuere î ctori primi umărului tuci p p p m m c Dcă este o ucţie multiplictivă şi otăm cu D mulţime divizorilor turli lui tuci vem: 3
σ d d D m p p p pm pm pm m ude p p pm, p, p,, pm iid umere prime Î produsul di memrul doi, eectuâd îmulţire prtezelor se α α αm oţi termei de orm p p p m cre se regăseşte î memrul α α αm stâg l eglităţii petru divizorul d p p p m, α α αm α α αm p p pm p p p m d Dcă este ucţie multiplictivă tuci ucţi σ deiită pri σ d este tot o ucţie multiplictivă d 35 Deiiţie Se spue că ucţi ritmetică F este o ucţie complet multiplictivă dcă şi m m petru orice pereche * * m, N N 36 Oservţie O ucţie complet multiplictivă este î prticulr o ucţie multiplictivă, deci re tote proprietăţile cestor ucţii O ucţie complet multiplictivă este uic determită de vlorile pe cre le i î umerele prime m m Avem şi p p pm p p pm c Propriette c di oservţi terioră, petru ucţii complet multiplictive devie: σ d d p p p p m ude p pm este descompuere lui î ctori primi d Dcă s este u umăr ritrr turl, îtreg, rel su chir comple este evidet că ucţi N * s : C, este complet multiplictivă Î czul s eglitte c devie m, d deci T, umărul divizorilor lui este T, ude, sut epoeţii umerelor prime cre pr î descompuere lui,, î ctori primi * * Fucţi T : N N, T umărul divizorilor turli i lui este o ucţie ritmetică multiplictivă, dr u este complet multiplictivă 3 m m m
Î czul s eglitte c devie m p p pm d d p p pm deci σ, sum divizorilor turli i umărului este: σ p p p p p p m ude p p pm este descompuere lui î ctori primi * * Fucţi σ : N N, σ sum divizorilor turli i umărului este o ucţie ritmetică multiplictivă dr u complet multiplictivă Pe mulţime F ucţiilor ritmetice se deiesc operţiile: Sum: Produsul:, g F, g F m m m, g g, N, g F, F Produsul Dirichlet de covoluţie: de g, g g, N de, g F, g F de g d g d d Sum se ce după toţi divizorii turli d i lui 37 Oservţie Se pot veriic cu uşuriţă recomdăm c eerciţii următorele irmţii: F, este u grup comuttiv cu elemetul eutru ucţi F, este u mooid comuttiv cu elemetul eutru ucţi şi elemetele iversile, ucţiile cre u iu vlore zero c F, este u mooid cu elemetul eutru ucţi δ deiită pri, dc δ ucţi lui Dirc, dc Elemetele iversile î cest mooid comuttiv sut ucţiile petru cre şi elemetul simetric ţă de lege " " l lui este o ucţie * : N * C cre se deieşte recuret pri relţiile su *, d d d * d, > > 33
, > * * d, > d d d d Produsul oişuit şi produsul Dirichlet sut operţii distriutive ţă de sumă: g h g h g h g h g h e F,, şi F,, sut iele comuttive uitre Dcă otăm cu M mulţime ucţiilor ritmetice multiplictive tuci M, ormeză o structură de grup Produsul Dirichlet două ucţii multiplictive dă o ucţie multiplictivă; Petru orice două ucţii multiplictive g şi h eistă o uică ucţie multiplictivă cu propriette: g h g Fucţi µ F cu propriette µ δ, ude este ucţi costtă, ir δ este ucţi Dirc se umeşte ucţi lui Moeius este simetric * ucţiei ţă de produsul de covoluţie, deci µ Se deduce uşor că epresi ucţiei lui Moeius este, dc dc i descompuere lui i ctori primi µ, eist epoeti dieriti de m -, dc este produs de m umere prime disticte Fucţi lui Moeius re următorele proprietăţi:, dc µ : µ d di deiiţie d, dc > su σ µ σ coorm oservţiei 3d µ : Fucţi lui Moeius este o ucţie multiplictivă Se pote costt direct di epresi ei su olosid puctul l oservţiei 6 µ 3 : Petru orice ucţie multiplictivă, vem eglitte µ d d p p p m σ µ d ude p, p,, pm sut umerele prime cre pr î descompuere lui î ctori primi 34
Fucţi µ iid produs de ucţii multiplictive, este o ucţie multiplictivă şi plicăm relţi dtă de Oservţi 3c σ m µ µ p µ p µ p µ pm µ pm î cre µ p µ p µ pm, µ p,, µ p, m µ p m,, µ p m sut zero, deci σ µ p p pm µ µ 4 : d, > d d p p pm Se plică µ 3 petru ucţi multiplictivă d d * * 38 Deiiţie Fucţi ritmetică ϕ : N N, ϕ umărul umerelor turle, mi mici su egle cu şi prime cu, se umeşte ucţi ritmetică lui Euler * 39 Oservţie ϕ { N şi, } Dcă Z, este grupul clselor de resturi modulo tuci ˆ Z este geertor petru Z dcă şi umi dcă,, deci ϕ este umărul geertorilor di Z l grupului Z c Dcă Z, este mooidul multiplictiv l clselor de resturi modulo, o clsă ˆ Z este elemet iversul dcă şi umi dcă,, deci dcă U Z, este grupul uităţilor modulului Z, tuci ϕ U Z ordiul grupului U Z, ϕ este umărul elemetelor iversile le ielului Z,, * * 3 Propoziţie Fucţi lui Euler ϕ : N N re epresi ϕ p p pm ude p, p,, pm sut umerele prime cre pr î descompuere lui î ctori primi p p p m m Demostrţie Notăm ϕ ψ, ude ψ este umărul umerelor mi mici sue egle cu, eprime cu Dcă sigurii divizori i lui sut p, p,, pm tuci u umăr < este eprim cu dcă şi umi dcă el se divide cucel puţi uul di umerele p su p su p m Cosiderăm mulţimile A { <, p }, i, m şi tuci i 35 i
m ψ U Ai i m Ai Ai Aj i < j m < j< A A i j A coorm pricipiului icluderii şi ecluderii Dr A i, A i Aj, A i Aj A, pi pi p j pi p j p deci ϕ pi pi p j pi p j p p p p m 3 Oservţie Fucţi ϕ pote i dtă şi pri epresi m m ϕ p p p p pm pm m dcă p p pm este descompuere lui î ctori primi Fucţi ϕ este ucţie ritmetică multiplictivă ϕ m ϕ m ϕ dcă m, 33 Teoreme udmetle 33 Teorem lui Euler Dcă Z, N, şi, tuci ϕ mod Demostrţie Dcă, tuci î Z, ˆ U Z deci â este elemet l grupului multiplictiv U Z, cre re ordiul ϕ Coorm ϕ teoremei lui Lgrge ordiul lui â divide ϕ, deci oricum ˆ ˆ î Z ϕ ϕ su ˆ su mod * 33 Teorem lui Fermt mică Dcă p N este u umăr prim şi Z u umăr îtreg, tuci p mod p p Demostrţie Dcă ˆ ˆ î Z p tuci ˆ ˆ * Dcă ˆ ˆ î Z p, tuci ˆ Z p \{ˆ} Z p ir Z * p, este grup cu p elemete Z,, este corp Ordiul oricărui elemet p 36
* ˆ Z p divide ordiul grupului, deci oricum ˆ p ˆ î Z p su p mod p su p mod p 333 Teorem lui Wilso Dcă p este u umăr turl tuci următorele irmţii sut echivlete: p este umăr prim p! mod p Demostrţie Avem U elemete şi coorm C7 vem: Z grup multiplictiv cu p * p Z p ˆ ˆ' * ˆ Z p ord ˆ dr ord ˆ' dcă ˆ' ˆ su ˆ' ˆ ˆ' ˆ ˆ su p ' ' şi p iid prim divide uul di ctori, deci p ' su p ', dică ˆ ' ˆ su ˆ' ˆ sigurele clse de ordi Relţi devie ˆ ˆ p ˆ ˆ ˆ deci p! mod p su p! mod p Reciproc Dcă p este eprim, p, >, >, tuci < p, < p şi p! Dcă m ve p! mod p tuci p! mod cotrdicţie cu p! mod Biliogrie I M Viogrdov: Bzele teoriei umerelor, EdAcdemiei Româe, 954 I Cucurezeu: Proleme de ritmetică şi teori umerelor, EdTehică, Bucureşti 976 P Rdovici: Proleme de teori elemetră umerelor, EdTehică, Bucureşti 986 D Buşeg, FBooc, D Piciu: Aritmetică şi teori umerelor, EdUiv Criov 999 37
Proleme rezolvte R34 Fie p u umăr prim să se rte că ecuţi mod p re soluţie, dcă şi umi dcă p su p mod4 Soluţie Di teorem lui Wilso, p iid prim rezultă p p! mod p Dcă p > tuci p este impr, este îtreg şi vem: p p p! p p mod p p p deci p! şi tuci vem relţi mod p Petru p p mod4, este pr deci relţi devie mod p Dcă p 3mod4 şi presupuem că eistă cu mod p vem: p p mod p, dr cum p mod p rezultă că p u divide, deci di Teorem lui Fermt rezultă p mod p şi jugem l cotrdicţi mod p, căci p > Petru p vem mod, deci ecuţi re soluţie Oservţie Prolem pote i ormultă stel: Să se rte că dcă p este u umăr prim de orm 4 m, m N şi A este o mulţime de p umere cosecutive, tuci A u pote i prtiţiotă î două sumulţimi de umere, cre să iă produsele elemetelor celeşi R34 Fie p u umăr prim şi u umăr turl cu codiţi p Să se rte că umărul p!! este diviziil cu p A Simioov Soluţie Avem cogrueţele modulo p: p, p,, p cre îmulţite du! p p p deci: p!! p! ultim eglitte dtorită teoremei lui Wilso Oservţie Prolem pote i privită c o geerlizre teoremei lui Wilso, cre o oţiem î czul prticulr p R343 Să se rte că dcă p este u umăr prim şi u umăr îtreg tuci p divide pe p! p Soluţie Scriem teoremele lui Fermt şi Wilso: p p!, p p deci p p p 38
p p p p p! su p p! Oservţie Prolem reueşte rezulttele teoremelor Fermt şi Wilso: petru oţiem teorem lui Wilso şi poi deorece p! mod p p p rezultă p! deci p mod p su p mod p R344 Fie p u umăr prim şi, umere îtregi Să se rte că dcă p p p tuci p p p p p Soluţie Di teorem lui Fermt, mod p deci mod p Putem scrie mp şi tuci: p p p p p p mp C mp C m p C p p p 3 p3 3 p p p p m C p m C p m p C p m p cre este diviziil cu p R345 Să se rte că petru orice umere turle, reltiv prime cu, umărul ϕ ϕ este diviziil cu produsul ϕ Soluţie Di teorem lui Euler ϕ mod şi mod deci ϕ putem scrie ϕ şi m cu N, m N, tuci ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ m deci este diviziil ϕ cu şi cum ϕ este şi el diviziil, rezultă cocluzi dorită R346 Să se demostreze următore crcterizre umerelor prime: U umăr turl p este umăr prim dcă şi umi dcă ϕ p p şi p σ p ude ϕ este ucţi lui Euler şi σ este "ucţi sum divizorilor" Soluţie " " Dcă p este umăr prim tuci ϕ p p şi σ p p * " " Fie N cu propriette, ϕ şi σ Mi îtâi să oservăm că petru orice > umărul ϕ este pr Di epresi lui ϕ, dcă coţie î descompuere î ctori primi umere prime p p dierite de impre tuci ϕ p p m p p m cre este umăr pr Dcă, > tuci ϕ cre este pr Di relţi ϕ rezultă că treuie să ie impr coţie î descompuere î ctori primi umi puteri de umere prime impre dierite de Arătăm că toţi ctorii di descompuere sut umere prime ără i epoet Dcă pri surd r eist p i ctori î cu i tuci i i i m p p ϕ deci p p p p cee ce este ls i i p m p p m p p p 39
Deci p p pm Atuci ϕ p p pm şi σ p p pm, cu p, p,, pm impre, deci m ϕ şi m σ Dcă m tuci 4 ϕ, deci 4 m divide Di ipoteză σ umărul este îtreg, este pr, ediviziil cu 4, ir σ este m m σ diviziil cu Atuci şi tuci m m m σ p p m 4 < < p p m p p, m 3 3 ieglitte lsă, deci m şi tuci p umăr prim R347 Să se rte că ϕ d petru orice umăr turl d Soluţie Vom demostr pri iducţie, după umărul ctorilor primi di descompuere lui m m Fie p p p p cem iducţi după m Avem m m ϕ d ϕ d' ϕ d' p ϕ ' m m d p m d d ' d d ' ' ϕ d ' ϕ d' ϕ p ϕ ' ϕ m m d p m d ' d d ' ' m ϕ p ϕ p ϕ d' m m m m pm pm pm pm pm ϕ d' pm m olosit ptul că ϕ este o ucţie ritmetică multiplictivă R348 Să se rte că dcă S este sum umerelor turle prime cu, ϕ mi mici c tuci S, petru orice Soluţie S Petru > umărul ϕ este pr şi grupăm cele ϕ umere î grupe de orm {, },{, },,{ q, q} ϕ ϕ ude q Sum lor este q m d ' d ' 4
4 Codiţii suiciete de comuttivitte î grupuri 4 Cetrul uui grup Vom evideţi câtev proprietăţi itereste le cetrului uui grup, căror utilizre î proleme de cocurs duce l soluţii elegte şi ccesiile Multe di prolemele de comuttivitte î grupuri, ltel delicte, se rezolvă mi uşor dcă ţiem sem de structur lgerică de sugrup cetrului uui grup Fie G, u grup şi X G o sumulţime s 4 Deiiţie Mulţime ZX { g G g g, X } se umeşte cetrliztorul mulţimii X 4 Deiiţie Mulţime ZG { g G g g, G } se umeşte cetrul grupului G Eemplu: Fie A,, u iel comuttiv Cetrul grupului GL A, l mtricelor iversile di M A este ZGL A { I UA} Îtr-devăr, legâd mtrice E i M A cre re pe poziţi, i şi î rest şi mtrice B ij ZGL A, di B A i A i B oţiem ii, i, şi i i i i i i De ici, B I şi B GL A UA 43 Propoziţie Petru orice mulţime X G, ZX, este sugrup l lui G, Demostrţie: Dcă g, g ZX vem g g g g g g g g g g g g deci g g ZX Di g g rezultă g g deci g ZX 44 Oservţii Sugrupul ZX este ormt di elemetele lui G cre comută cu tote elemetele mulţimii X ZX I Fii, ude Fii este mulţime puctelor ie le utomorismului iterior i, i g g g, g G X 3 ZX {g G [, g], X}, ude [, g] g g este comuttorul elemetelor şi g 4
4 Dcă X X tuci ZX ZX, î prticulr cetrul grupului G, ZG este sugrup î orice cetrliztor ZX, deci ZG I ZX şi î G coseciţă ZG este sugrup l lui G 5 Spuem că y G este cojugt cu G y dcă g G, y g g Dcă X {} şi grupul G este iit, tuci umărul elemetelor lui G cojugte cu este {g g g G} [G : ZX], dică idicele sugrupului cetrliztor ZX î G Demostrţie Demostrăm irmţi 5 Cosiderăm pe G relţi de echivleţă l drept deiită de sugrupul ZX, g ρ g g g ZX g g g g Cls uui elemet este ĝ ZX g Deiim ucţi F pe mulţime clselor G / ρ cu vlori î mulţime elemetelor di G, cojugte cu, C {g g g G}; F : G / ρ C, F ĝ g g Arătăm că ucţi F este ie deiită u depide de legere reprezettului g l clsei ĝ Dcă g ĝ, rătăm că g g g g g g g g g g g g g g ZX g ρ g g ĝ Fie ĝ, ĝ G / ρ F ĝ F ĝ g g g g g g g g g g ZX g ρ g ĝ ĝ Aşdr ucţi F este ijectivă şi G / ρ şi C u celşi umăr de elemete 45 Deiiţie Mulţime NX { g G g X X g } se umeşte ormliztorul mulţimii X 46 Propoziţie Petru orice sumulţime X G, ormliztorul NX, este u sugrup l grupului G, Demostrţie: Dcă g, g NX vem g g X g g X g X g g X g X g g X g g, deci g g NX Petru g G, g X X g X g X g X g g X g NX 47 Oservţii NX {g G i g X X}, este ormt di elemetele g G petru cre mulţime X este ivrită ţă de utomorismul iterior i g 4
ZX este sugrup l lui NX 3 Dcă H este sugrup l lui G, tuci H este sugrup l lui NH 4 Sugrupul H l lui G este sugrup orml dcă şi umi dcă NH G 5 Cls de cojugre mulţimii X, CX {g X g g G} PG re crdilul CX [G : NX], dică idicele sugrupului NX î G Se rtă l el c î oservţi 44 puctul 5 48 Propoziţie Fie G, u grup şi H, u sugrup l său Fie, p Z Notăm cu d, p Dcă G şi H şi p H, tuci şi d H Demostrţie: Dcă d, p >, tuci eistă h, Z stel îcât h p d Cum H este sugrup l lui G şi H, rezultă că h h H Alog rezultă că p H Di iom sugrupului oţiem că h p h p d H 49 Coseciţe C Fie G, u grup şi, p Z Notăm cu d, p Dcă G şi ZG şi p ZG, tuci şi d ZG C Fie G, u grup şi, p Z,, p Dcă G, ZG şi p ZG, tuci G, este grup eli 4 Propoziţie Fie G, u grup şi Z Dcă : G G, este u morism surjectiv, tuci G, ZG Demostrţie: Fie G Atuci! z G, z y Aşdr y z z Cum este u morism surjectiv, u G, u z Deci y z u morism morism u u u u u u u u u u z y Aşdr, y y,, y G, dică G, ZG 4, grupuri comuttive 4 Deiiţie Fie, Z U grup G, se umeşte, grup dcă plicţiile şi sut edomorisme le lui G 43
Ne puem prolem: cre sut perechile, Z petru cre orice, grup este comuttiv? Răspusul este dt de următorul rezultt: 4 Teoremă Fie, Z Orice, grup este eli dcă şi umi dcă, Demostrţie: Necesitte: Presupuem că N, stel îcât, Demostrăm că î cest cz eistă u, grup eeli p N, p prim, stel îcât p / I p Fie grupul G, de ordi p 3, eeli, de epoet p dică î cre g G, g p deiit stel: G u, v, w u p v p w p, v u u v w, w u u w, w v v w Cum p /, rezultă czurile: p /, ; p /, ; 3 p /, ; 4 p /, Î iecre ditre ceste situţii se demostreză că G este u, grup De eemplu î czul 3, ţiâd cot de ptul că g p, g G şi că mod p şi mod p, plicţi este morismul ul ir plicţi este morismul idetic II p Eemplul terior u mi este potrivit, deorece orice grup de epoet este eli Î schim, grupul cuterioilor H {,, i, i, j, j,, } le cărui elemete u proprietăţile i j ; i j ; i j; j i ; j i; i j; j i este u grup ecomuttiv de ordiul 8 şi de epoet 4 Deorece 4 /, şi,,, distigem czurile: 4 /, ; 4 /, ; 3 4 /, ; 4 4 /, Rezultă î mod log cu czul I că H este u, grup ecomuttiv Suicieţ: Fie G, u, grup stel îcât, şi, y G Aplicţi este edomorism, dică y y şi u, v Z, u v Simpliicâd oţiem: y y 3 şi y y 3 y y y y y y de ude după simpliicări deducem: y y 4 44
Di şi 4 rezultă: y, 3 y y 4 y y y Rezultă că şi y comută Atuci y y y y 5 şi y 5 y u v y u v y 6 Demostrăm că ZG Cum /, vem / su / Dcă /, tuci y y y y y şi y y y 4 y y y Simpliicâd ultim relţie oţiem y y şi cum y este ritrr, deducem că ZG, G Dcă /, tuci y y y y y y y y y 3 y y 6 y şi după simpliicări deducem că y y,, y G, dică y ZG, y G Aşdr, î orice situţie, ZG, G 7 Alog se demostreză că ZG, G Avem y y u v y u y v 5 y u y v 7 u v y u v y Aşdr y y,, y G y y,, y G, deci grupul este eli 43 Câtev grupuri de epoet 43 Deiiţie Fie G, u grup iit cu elemetul eutru e Cel mi mic umăr turl eul cu propriette că petru orice G, e se umeşte epoetul grupului G 43 Oservţii Dcă p N este u umăr prim şi grupul iit G re epoetul p, G se mi umeşte p-grup elemetr Se ştie că ordiul uui p-grup elemetr este o putere eulă lui p 45
c Petru orice umăr prim p 3 eistă p-grupuri ecomuttive De eemplu, ˆ â ˆ grupul multiplictiv G p ˆ ˆ ĉ â, ˆ, ĉ Z p este u grup ˆ ˆ ˆ ecomuttiv cu p 3 elemete şi re epoetul p Etp judeţeă Olimpidei de mtemtică, 3 d Dcă p, se ştie că orice grup de epoet este comuttiv Ită câtev codiţii suiciete petru c u grup comuttiv iit să iă epoetul : 433 Propoziţie Fie G, u grup comuttiv cu cel puţi 3 elemete N* stel îcât oricre r i 3 elemete le sle eistă pritre ceste elemete de ordi Dcă G u re elemete de ordiul 4, tuci tote elemetele lui G sut de ordi D Heuerger ordc 4 Demostrţie Presupuem că eistă c G, ordc 3 ordc 3 Fie e,,,, G, elemete de ordi e elemetul eutru l grupului Rezultă că e, c, c,, c, c,,, c, c sut 3 elemete disticte le lui G, ditre cre dor e,,,, u ordiul, cotrdicţie Rezultă că G u re lemete de ordi 3 434 Propoziţie Fie G, u grup comuttiv cu cel puţi elemete, ude N*, mod Dcă oricre r i elemete le sle eistă pritre ceste 3 elemete de ordi şi G u re elemete de ordiul 4, tuci tote elemetele lui G sut de ordi D Heuerger Demostrţie Presupuem că eistă c G, ordc 3 3r, 3, r {, } ordc 4 ordc 3 46
Alegem elemete de ordi le lui G:,,, Atuci, c, c,, c, c,,, c, c,, c sut 3 elemete disticte le lui G, ditre cre dor u ordiul, cotrdicţie 3 p 435 Propoziţie Fie G, u grup iit comuttiv de ordi, p N, p Dcă oricre r i p elemete le sle eistă pritre ceste elemete de ordi şi G u re elemete de ordiul 4, tuci tote elemetele lui G sut de ordi D Heuerger Demostrţie Dcă p, ipotez îsemă că tote elemetele grupului u ordi Petru p 3, di p elemete le grupului legem elemetele, de ordiul Celorllte p elemete le mi dăugăm elemete şi oţiem lte p elemete le grupului, di cre mi legem elemete de ordi : 3, 4 Cotiuăm procedeul cu elemetele rămse, pâă câd oţiem: p elemete de ordi, dcă p este u umăr pr, p elemete de ordi, dcă p este u umăr impr Aşdr m oţiut p r elemete de ordiul le grupului, cu r {, } Fie c G, uul di cele p r elemete căror u le cuoştem ordiul ordc 4 Presupuem că ord c 3 ord c 3 Oţiem elemetele c i, c i G, i {,,, p r} de ordi 3, î umăr de p r şi disticte două câte două 3p 3p > > 3p 3p r p r > p, cee ce îsemă că m găsit mi mult de p elemete le grupului cre u ordiul >, cotrdicţie cu ipotez Rezultă că şi celellte p r elemete le grupului u ordiul, dică tote elemete le grupului u ordiul 436 Propoziţie Dcă G, este u grup iit de ordi p, p N, p şi oricre r i p elemete le sle eistă pritre ceste elemete di ZG tuci grupul este comuttiv D Heuerger 47
Demostrţie Dcă p, ipotez îsemă că tote elemetele grupului u ordi, deci grupul este comuttiv Petru p 3, procedâd log cu prolem terioră se oţie: ord ZG p r p p r p r > p r, căci r {, } Aşdr ordzg > ordg şi cum ZG este u sugrup l grupului G,, di teorem lui Lgrge rezultă că ZG G şi deci grupul este comuttiv Biliogrie T Alu, Io D Io Itierr elemetr î lger superioră Ed ALL, Bucureşti, 997 Gh Adrei, C-ti Crge, V Ee Algeră Culegere de proleme petru emee de dmitere şi olimpide şcolre, Ed Scorpio 7, Bucureşti 995 3 M Decoescu Asupr comuttivităţii grupurilor, G M 4-5 / 99, pg 33-34 şig M 9 / 99, pg 34-35 4 D Heuerger Aplicţii le cetrului uui grup, Argumet, revist de mtemtică C N Gh Şici Bi Mre, r 3, pg 9-5 D Heuerger Câtev grupuri cu tote elemetele de ordi, Argumet, revist de mtemtică C N Gh Şici Bi Mre, r 5, pg - 6 D Isc Proleme de comuttivitte, revist Astr Mtemtică, vol, r, 99, pg 3-34 7 I Purde, Gh Pic Trtt de lgeră moderă, vol I, Ed Acdemiei, Bucureşti, 977 8 D Adric, N Bişocă I Şerde, M Adroche, M Piticri, D Zhri Mtemtică Mul petru cls XII-, M, Ed Plus, 9 Colecţi G M 48