SADRŽAJ UVOD 4 1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE 7 2. LULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI TALASI NA PLOVNOM PUTU 34

SADRŽAJ UVOD 4 1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE 7. LULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI 10.1. Pniranje brda 10.. Valjanje brda 14.3. Psrtanje brda 17.4. Spregnut pniranje i psrtanje brda 19.5. Hidrdinamički keficijent u jednačinama ljuljanja 8 3. TALASI NA PLOVNOM PUTU 34 31 3.1. Hidrdinamička di ičk terija talasa 35 3.. Statistička terija talasa 55 PREDAVANJA 009. 1

4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA 86 4.1. Prinudne sile i mmenti 87 4.. Prensne funkcije ljuljanja brda 94 4.3. Plvidba na bčnim talasima 98 4.4. Plvidba ka talasima 11 4.5. Plvidba na ksim talasima 13 4.6. Spregnute jednačine ljuljanja brda 133 4.7. Dpunski prblemi valjanja brda 135 4.7.1. Prigušenje pri valjanju 135 4.7.. Nelinearn valjanje 137 4.7.3. Parametarsk valjanje 140 PREDAVANJA 009.

5. LJULJANJE BRODA NA NEREGULARNIM TALASIMA 147 5.1. Spektri i statističke vrednsti ljuljanja brda 15 5.. Psledice ljuljanja j j brda 158 5..1. Zalivanje palube, izletanje prpelera, sleming 158 5... Ddatni tpr i smanjenje brzine 168 5..3. Dinamička pterećenja brda na talasima 177 5..4. Uticaj ljuljanja na putnike i psadu 188 5.3. Kriterijumi pmrstvensti 00 54 5.4. Mgućnsti ć pbljšanja j pmrstvensti ti brda 04 5.4.1. Plvidba ka talasima 04 5.4.. Plvidbe na bčnim talasima 16 5.4.3 Stabilizatri valjanja 19 5.4.3.1. Pasivni stabiliztri 19 5.4.3.. Aktivni stabiliztri 3 5.5. Operativnst brda 48 PREDAVANJA 009. 3

UVOD Pnašanje brda na talasima, Pmrstvenst brda, Seakeeping D sada (u svim predmetima) pručavali brd na mirnj vdi U stvarnsti Predmet IX (III) semestra, fnd 3+ Nema prjekata i grafičkih radva (za sada) Ispit: pismeni + usmeni Literatura Hendsauti sa predavanja Knjiga: Milan Hfman, Pnašanje brda na talasima, upripremi pripremi... A.R.J. Llyd, Seakeeping: Ship Behavir in Rugh Weather, Llyd 1998. itd. Pvršina mra je čest uzburkana... Vetar stvara talase, kji dvde d ljuljanja brda... PREDAVANJA 009. 4

Statistički gledan, mirn mre (visina talasa 0-1 m, svetski prsek ) 30% vremena Na severnm Atlantiku 0%... U prestalih 70-80% slučajeva, mre je uzburkan... Većinu vremena brd se ljulja na talasima... Neklik psledica ljuljanja Neprijatn za putnike i psadu, Otežan rad psade, Otežan rad brdskih uređaja, Otežan izvršenje zadatka (tegljenje, spasavanje, gađanje, sletanje helikptera, utvar/istvar...), Smanjenje brzine plvidbe (namern i spntan), ), Ddatne dinamičke sile (dvde d pterećenja knstrukcije, pmeranja tereta...), Sleming, zalivanje palube, izletanje prpelera... itd... Sve psledice ljuljanja su negativne... Jače luje, dvde d jačeg ljuljanja... težan rad pstaje nemgućen... javlja se pasnst d brdlma prevrtanja brda, pucanja knstrukcije itd. Većina brdskih nesreća desila se na uzburkanm mru... Predmet: kak smanjiti ljuljanje i njegve psledice... Treba pručiti ljuljanje, predvideti psledice i (klik je t mguće) ć pbljšati pmrstvenst brda... PREDAVANJA 009. 5

Predmet je težak... Prbj je načinjen 1950-70, prelaskm na realne (neregularne) talase, i razvjem tzv. strip terije... Prračun aču pmrstvensti st je prv primenjivan u ratnj brdgradnji, ali se danas prširi i na kmercijalne brdve i psta jedan d snvnih brdskih prračuna... Ljuljanje deluje zastrašujuće ne sam za ljude na brdu, već i za nas kji treba da ga pručavam... Ali, takav je put p kme d pamtiveka plve brdvi... Istrijski, sa pručavanjem ljuljanja brda je zapčet krajem 19. veka (Frud, Krilv), stigl se d tzv. regularnih (sinusnih) talasa, i zapal u ćrskak... Prračun je biman, i sprvdi se (kmercijalnim) prgramima iz pmrstvensti... Treba znati kristiti prgrame... Ali, krenim redm... PREDAVANJA 009. 6

1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE Šest generalisanih krdinata, šest ljuljanja, su Brd na talasima je krut tel kje vrši pšte kretanje... šest stepeni slbde... Uvdim dva krdinatna sistema spstveni sistem x, y, z (sistem vezan za brd) sa pćetkm u G, i inercijalni sistem ξ, η,, sa pčetkm u O. Kada brd pliva u ravnteži, bez trima i nagiba, sistemi se pklapaju... zamisli... ξ G - zaletanje (surge), η G - zanšenje (sway), G pniranje (heave), φ - valjanje (rll), ψ - psrtanje (pitch), θ - zakretanje (yaw), Kristim Njutnv zakn m a = F B G R i Zakn prmeni mmenta kličine kretanja (za težište G) dl G = MG dt PREDAVANJA 009. 7

Prjektvanjem Njutnvg zakna na tri inercijalne se sledi D ξ = G F ξ D ηg = F η D = F D g G J ϕ + ( J J ) ψθ J ( θ + ϕψ ) = M x z y xz x J ψ + ( J J ) ϕθ + J ( ϕ θ ) = M y x z xz y J θ + ( J J ) ψϕ J ( ϕ ψθ ) = M z y x xz z Osa y glavna sa inercije... J = J = 0, J = J = 0 xy yx yz zy Pri čemu je FR = W + F V + vetar W = m g V B mb = D F = F F F F V ( ξ, η, ) Prjektvanjem Zakna prmeni mmenta kličine kretanja na tri spstvene se, sledi J xz = J zx pstji... ali je mali u dnsu na aksijalne mmente inercije, J xz «J x,j y,j z Pretpstavljam, takđe, da su kretanja mala... φ(t), ψ(t), θ(t) «1 Pretpstavka dbra za psrtanje i zakretanje, ali sumljiva za valjanje... J ϕ = M x x J yψ = M J θ = M z z y Jednačine ne deluju pasn... ali PREDAVANJA 009. 8

Desnu stranu jednačina čine Važi Laplasva jednačina φ φ φ hidrdinamičke sile i mmenti... + + = 0 ξ η Sprega Dinamike i Mehanike fluida... i Kši-Lagranžv integral Ojlerve jednačine... Na svaki element e e pdvdng g dela φ brda deluju p i τ... p( ξη,,, t) = pat ρg ρ t 1 φ φ φ ρ + + ξ η FV = pnds Pstupak, u principu: S rešiti Laplasvu jednačinu sa dgvarajućim Zanemarujem viskznst... τ = 0 graničnim uslvima... (pkušaćem da izbegnem...) Strujanje je ptencijaln... Ptencijal brzine φ = φ( ξ, η,, t) Pretpstavka pravdana... sem za valjanja... Pstje šest ljuljanja, šest pmeranja u dnsu na ravntežni plžaj... Sam za tri kretanja, t je plžaj stabilne ravnteže... reznancija... kja? PREDAVANJA 009. 9

. LJULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI Prblemi ljuljanja brda na mirnj vdi, sami p sebi, nemaju veći tehnički značaj za brdgradnju... Međutim, dvljn su jednstavni da prek njih uvedem....1. Pniranje brda Pretpstavljam = 0, ψ = 0, v = 0 Tražim G (t) =? ϕ Kada je brd u ravnteži, O = G Kada pnire, važi frmaln je F D = F D g S G = ν pnds Ali, da (za sada) izbegnem Laplasvu jednačinu... pretpstavljam direktn ( ) F = F + F Hidrstatička kmpnenta (prema Arhimedvm zaknu) F V = V V V = V () t G() t AVL za G «1 ( ) p = p + p = ρ gv... ( ) F = gv g GAVL ρ ρ PREDAVANJA 009. 10

Hidrdinamičku kmpnentu pretpstavljam u bliku F = n m G G Fizičk bjašnjenje uvedenih parametara m ddatna masa brda pri pniranju. n prigušenje brda pri pniranju jeste dinamička č a = 0, = 0 G G jeste linearna... ali fizički smisa?? F = 0 Odakle prigušenje, kada sm zanemarili viskznst vde? talasi... D = F D g G D G = ρgv ρggavl n G m G D g F F ( ) ( D + m ) G + n G + ρga VL G = 0 Prepznajem diferencijalnu jednačinu slbdnih prigušenih scilacija... Sređivanjem, sledi G + μ G + ωg = 0 n μ = D( 1+ κ ) ω = VL V ( 1+ κ ) ga κ = m D PREDAVANJA 009. 11

Rešenje jednačine... μ t () t = e sin( ω t γ ) G ω = α g δt1 ( + κ ) Ψ μ ω ω ω = 1 = 1 Ψ ω = μ ω Ψ < 1 slučaj č slabg prigušenja T ππ = ω T = π δt1 ( + κ ) α g Ψ 1 ω ω? slučaj vema slabg prigušenja Prema tme, brd vrši pniranje spstvenm frekvencijm gavl gα LB ω = = V ( 1+ κ ) δlbt( 1+ κ ) U izrazima se javlja keficijent ddatne mase, kji (jš uvek) ne umem da dredim... Preskčili sm Laplasvu jednačinu... Ali, i bez detaljng prračuna, važi κ = O () 1 i ne sme se zanemariti PREDAVANJA 009. 1

Spstveni perid pniranja mže se izraziti ka δt1 ( + κ ) T = π = πk T α g δ( 1 + κ ) K = = ( 0,37 0,47) m / s α g T = (,3 3) T T = 3 13 s I prigušenje ne mžem tačn č drediti diti bez detaljnijeg prračuna... Ali, prigušenje je psledica talasa... veći talasi kje stvara brd svjim pniranjem, veće prigušenje... Da li veće prigušenje pri pniranju imaju brdvi sa uspravnim ili truglastim rebrima...? Ključni parametar je vertikalni prizmatični keficijent δ ϕ = Veće φ v, manje prigušenje... v α Kd ubičajenih brdskih frmi Dinamičke reakcije Ψ = 0,15 0,5 () t = () t = e sin( ω t γ ) A G ma = F mg A N F = mg + m t N () A... μ t Ψ 1? Važi n V > n U statička + dinamička reakcija PREDAVANJA 009. 13

. Valjanje brda ( J x + m ) ϕ + M r ( ϕ ϕ) + M st ( ϕ) = 0 M gd MG ϕ, za ϕ 1 st = ϕ + ϕ ϕ + ϕ ( 1 ) ( ) M n n... n r ϕ ϕ ϕ ( J + m ) ϕ+ n ϕ+ gd MG ϕ = 0 x ϕ ϕ Pretpstavljam G = 0, ψ = 0 Tražim φ(t) =? Važi J ϕ = M M = M + M ( ) x x x M ( ) = M ( ϕ) x M x ϕ x st = m ϕ M x r (ϕ) ω = ϕ ϕ+ μ ϕ+ ω ϕ = ϕ ϕ 0 gdmg nϕ μ ϕ = J + m ( J + m ) x μ ϕ t ϕ ϕ () t = ϕ e ϕ sin( ω t + γ ) ϕ ( ωϕ ωϕ ) μϕ Ψϕ = = Ο( 0,1) 1 ωϕ mal, ali na njega utiče i trenje... ϕ x ϕ PREDAVANJA 009. 14

Mžem pisati J = D j x x ω ϕ = 1 gmg j 1+ κ x ϕ Perid se (zbg MG) menja u širkim granicama... T = 6 ϕ 40 s π 1 + κ T > T za ubičajene ϕ ϕ e Tϕ = = π jx brdske frme ωϕ gmg mϕ κ ϕ = = O( 0,1) 1 Dbili vema slične rezultate za (), t ϕ () t G J x Diferencijalne jednačine istg tipa... π j pznata frmula x T ϕ iz predmeta javljaju se ddatne mese, prigušenja, gmg Plvnst i spstvene frekvencije... stabilitet brda... Treba učiti razlike vih kretanja j x = c B c = 0,3 0,4 κ = O() 1 =? κ 1 Prema IMO Kriterijumu u vremenskih e uslva... c = g 0,37 + 0,03 π B T 0,043 L 100 Ψ < Ψ 1, Ψ ϕ =?? ϕ G () t 1 ϕ() t 1? ϕ PREDAVANJA 009. 15

Dinamičke reakcije Uticaj utvara tereta v = r ϕ a = r ϕ a = r ϕ A, AN, AT Fz = mg+ my Aϕ mz Aϕ F = mgϕ mz ϕ my ϕ y A A Opet pstje statičke i dinamičke reakcije... Ddatn, uklik je teret slbdn slnjen (nefiksiran), javlja se prblem prklizavanja... F y > μf z MG = D MG m ( z z) P S D x x + m J = J + G G D + PG m j x = D J x + m Sličn i pmeranje tereta... PREDAVANJA 009. 16

.3. Psrtanje brda ψ + μ ψ + ω ψ = 0 ψ ψ μ ψ = D j ( 1+ κ ) y n ψ ψ ω ψ = 1 g MLG j ( 1+ κ ) y ψ Pretpstavljam G = 0v, = 0 Tražim ψ(t) =? J y ψ = M y M = M + M ( ) y y y ( ) ( L) M y = Mst gd ML G ψ M = n ψ m ψ y ψ ( J + m ) ψ + n ψ + gd M G ψ = 0 y ψ ψ ψ L μ ψ t ψ () t = ψ e sin( ω t + γ ) Rezultat vema sličan valjanju..?? Ali ψ mψ κ ψ = =O() 1 J J y I A i M LG M LF = = V V y VL y ψ PREDAVANJA 009. 17

I = I, i = i (?) y y y y V = δlbt, A = αlb y VL 1 gmlg iy gα ωψ = = = j ( 1+ κ ) j δ T( 1+ κ ) ψ jy π Tψ = = π ω i ψ y y δ T1 ( + κ ψ ) α g Izrazi vema slični izrazima za spstvenu frekvenciju i spstveni perid pniranja, i ta sličnst nije sam frmalna... ψ Za ubičajene brdske frme važi κ Sledi Prema tme ψ κ y y ω i ω j, T T ψ ψ T Tψ < Tϕ Št ima daleksežne psledice... (reznancija)... Takđe je Ψ ψ μψ = Ψ ω tak da su, za ubičajene brdske frme, pniranje i psrtanje vema slična kretanja... ψ PREDAVANJA 009. 18

.4. Spregnut pniranje i psrtanje brda Pretpstavljam da brd istvremen pnire i psrće Kretanje sa stepena slbde (), t ψ G () t Pretpstavljam da nema zaletanja ξ G () t = 0 Pretpstavljam (za sada) i da nema napredvanja brda, v = 0 G se kreće vertikaln, p si... a brd vrši ravansk kretanja... Diferencijalne jednačine kretanja slede iz D G = F D g J ψ = M y y Kretanje pjedinih tačaka brda je različit... Delim brd na elemente (trake) dužine dx na svaku traku deluje elementarna sila df Ukupnu silu dbijam integracijm... Treba učiti (dkazati) da se sve trake, kreću približn vertikan... da je strujanje k traka ravansk, u ravni gvarajućeg rebra da su sile df približn vertikalne T je psledica malg ugla ψ, i vitksti frme ubičajenih brdva... PREDAVANJA 009. 19

Psmatrajm brzinu prizvljne tačke brda A Tačke brda se kreču približn vertikaln... Važi v A = f ( x ) A Sve tačke jedne trake imaju (približn) istu brzinu v = v + v G A G A G v =, v = r ψ G G A A v = rψ csα = x ψ A A G A A G A v ξ = ξ rψ sinα = z ψ A A A A A Trake se kreću vertikaln, brzinm x ψ A G A Pmeranje trake je = v dt x ψ A A G A Ubrzanje trake je Važi v A v Aξ dva aa = A = G xa ψ dt PREDAVANJA 009. 0

Pri vertikalnm kretanju trake... strujanje vde k trake je (približn) ravansk u ravni rebra T je psledica i vitke frme, dnsn male prmene frme brda u uzdužnm pravcu... Elementarna sila df kja deluje na traku, psledica je pritiska p, i (približn) je vertikalna... dv () t = dv dv () t dv () ( ) A t b x dx ρ ( ) ( ) df = g dv A b dx ( ) df = ρgdv ρggb dx + ρgxψb dx Pa je ukupna vertikalna sila (kja ulazi u jednačinu pniranja) F L L df ( ) df = df + df df ( ) = ρg dv PREDAVANJA 009. 1

Sledi ( ) ( ) F = df = ρg dv ρgg bdx + ρgψ xbdx L L L L Treba prepznati pjedine integrale L dv = V bdx = AVL xbdx = SVL = xc AVL L L ( ) F gd gavl G gavl xc = ρ + ρ ψ df = dn dm A dm = m dx, dn = n dx m = m ( x) n = n ( x) A (ka i u prethdnim izvđenjima) df = m ( x ψ) dx n ( xψ ) dx G F = df = m dx n dx + ψ m xdx + ψ n xdx G G L L L L L G Integrali u izrazu za hidrdinamičku silu su L L mdx = m ndx = n i mešviti članvi L L mxdx = m nxdx = n ψ ψ Ddatna masa i prigušenje u jednačini i pniranja, usled psrtanja brda... PREDAVANJA 009.

Važi Odnsn F = m n + m ψ + n ψ G G ψ ψ = + = = gd ρga + ρgx A ψ m n + m ψ + n ψ gd ( ) D G F F gd VL G C VL G G ψ ψ Pa je diferencijalna jednačina pniranja ( D + m ) G + n G + ρga VL G m ψ n ψ ρga VL x C ψ = 0 ψ ψ Psrtanje se javlja u jednačini pniranja... Na sličan način dbijam i diferencijalnu jednačinu psrtanja M y = x df L = ( ) M y = x df x df L L... Pre neg št ispišem jednačinu psrtanja, mal ćem iskmplikvati prblem... Pretpstavljam da brd napreduje, dnsn da je v 0 Strujanje j k brda tada definitivn nije (ni približn) ravansk... Ovakv 3D strujanje mžem, međutim razlžiti PREDAVANJA 009. 3

φξη (,,, t) = v (,, ) (,,, ) ξ + φ ξ η + φ ξ η t unifrmna struja psledica napredvanja psledica pniranja i psrtanja Ak je brd dvljn vitak, i ak je brzina napredvanja dvljn mala, mže se pkazati da važi φ 0 ξ v ξ 0 Tak da je strujanje kje stvara pniranje i psrtanje brda pet ravansk (u ravnima rebara η,) a jednačine pniranja i psrtanja, nakn kmplikvang izvđenja, glase ( D+ m ) + n + ρga m ψ ( n v m ) ψ G G VL G ψ ψ ( J + m ) ψ + n ψ + ( ρgi v m v n ) ψ y ψ ψ y ψ ( ρga x v n ) ψ = 0, VL C m ( n + v m ) ρga x = 0. ψ G ψ G VL C G PREDAVANJA 009. 4

Keficijenti u jednačinama su m = m dx, m = m x dx, m = m = m xdx,, ψ ψ ψ L L L n = n dx n = n x dx n = n = n xdx ψ ψ ψ L L L Pri čemu m = m ( x) n = n () x predstavljaju ddatnu masu i prigušenje rebra kje vrši vertikaln scilatrn kretanje pniranje. Da bi dredili dili ve keficijente, ij treba rešiti D prblem strujanja k rebra... Svđenje realng 3D prblema strujanja na ravansk strujanje k rebra (trake) naziva se strip terija... Uvedena 1957-70, i predstavlja jedan d neklik ključnih č kraka k u razvju pnašanja brda na talasima Prikazane jednačine (sa ddatnm, desnm stranm talasima) izveli su Krvin-Krukvski i Džejkbs (Krvin-Krukvsky & Jacbs) 1957. gdine... Prve, i ne sasvim tačne... Kasnije, različite verzije... Söding... Tasai... Ruski autri... Salvesen, Tuck & Faltinsen, 1970) Jednačine su vema slične, i razlikuju se (uglavnm) sam u članvima uz v u jednačini psrtanja... Strip terija važi uklik je brd dvljn vitak, a brzina dvljn mala...? Tešk je pvući granicu... Grub L/B>5(3) F R < 0,3 (0,6) Ak je brd zdepastiji, ili brži, druge 3D metde... PREDAVANJA 009. 5

Jednačine su spregnute... U jednačini psrtanja, javlja se pniranje, u jednačini psrtanja javlja se pniranje... Fizički, nema pniranja bez psrtanja, i brnut... Šta spreže jednačine? Napredvanje brda Uklik je v = 0 de članva kji sprežu jednačine, tpada... Spreže i asimetrija pramac krma Jednačine sadrže mešvite članve m = m xdx = m, n = n xdx = n ψ ψ ψ ψ L Uklik bi pstjala simetrija pramac krma, dnsn uklik bi glavn rebr bil ravan simetrije i u pgledu frme i u pgledu mase... važil bi p k k 0 x 0 x m xdx = m xdx, n xdx = n xdx x 0 x 0 dnsn m = m = 0, n = n = 0 ψ ψ Spregnute jednačine bi pstale nezavisne, dnsn svele se na L ψ ψ p ( D + m ) + n + ρga m( D ψ+ m( n) G + vnm G ) ψ + ρ ga VL G = 0 G G VL G ψ ψ ( J ( ρgavlxc vn ) ψ = 0, y + m ) ψ ψ + nψψ + ρgiyψ = 0 ( Jy + mψ) ψ + nψψ + ( ρgiy vm vnψ ) ψ Nezavisn pniranje i nezavisn psrtanje kje sm ranije razmatrali, m mguće ( n je + sam v mpd ) specijalnim ρga x uslvima... = 0. ψ G ψ G VL C G PREDAVANJA 009. 6

Pdsetiti se, u vezi s tim, relacija Rešenja spregnutih jednačina Iy = Iy, iy = iy... () t = Realni brdvi nisu simetrični u dnsu na glavn rebr, tak da važe pune jednačine ljuljanja... G ψ () t = vidi Teriju scilacija... Ipak, gruba simetrija pramac krma pstji... zbg tga su mešviti članvi manji d stalih keficijenata... Uklik je (uz t) brzina plvidbe dvljn mala, nezavisne jednačine predstavljaju (grubu) aprksimaciju prblema... Kristićem ih, zbg njihve jednstavnsti, za pis i razumevanje pjava... Bitn nam je da znam da su kretanja spregnuta... da znam klik su dbre nezavisne jednačine kje kristim u većini izvdjenja... ali, pre svega, da sada imam pstupak za dređivanje hidrdinamičkih keficijenata... a knkretne prračune treba raditi sa spregnutim jednačinama... PREDAVANJA 009. 7

.5. Hidrdinamički keficijenti u jednačinama ljuljanja brda Prema strip teriji, hidrdinamičke keficijente u jednačinama pniranja i psrtanja mgućeje drediti na snvu m = m ( x) n = n () x kje slede iz rešenja strujanja k rebra kje vrši pniranje... i integracijm ij vih veličina p dužini brda Iak je svđenje realng 3D prblema na D strujanje, vema značajn upršćenje... i rešavanje vakvg ravanskg prblema nije jednstavn... Pstupak se sastji iz dva dela Prv, rešava se prblem strujanja k kružng rebra, kje je dnjm plvnm urnjen u tečnst, i kje prinudn scilujeje p zaknu () t = sinωt Prblem je prvi reši Ursel 1949. gdine Preciznije, ij reši je Laplasvu jednačinu pstavljeng prblema, i dredi φ = φ ( ξ, η,, t ) Dalje je iz Kši-Lagranževg integrala dredi pritisak, dnsn (integracijm pritiska) hidrdinamičku silu... Ovu silu je pdeli na tri kmpnente, kje su srazmerne pmeranju, brzini i ubrzanju... Kmpnenta sile srazmerna ubrzanju, daje ddatnu masu Kmpnenta sile srazmerna brzini, daje prigušenje... G PREDAVANJA 009. 8

Urselvim rešenjem dređuju se hidrdinamički keficijenti kružnih rebara... Ali, t je tek prvi krak... Drugi krak je knfrmn preslikavanje Pznat je, iz Mehanike fluida, da se transfrmacijm Žukvskg a1 Z = a z+ z strujanje k kružnice preslikava u strujanje k aerprfila... Keficijenti a, a 1 dređuju blik aerprfila tzv. prfila Žukvskg, i uga nastrujavanja... Za brdgradnju je dalek značajnija tzv. Lujsva (Lewis) transfrmacija a a Z = a z+ + z z 1 3 3 sa kjm se strujanje k kružnice preslikava u strujanje k tzv. Lujsvg rebra... Keficijenata a 1, a 3 dređuju blik rebra... PREDAVANJA 009. 9

Ustvari, blik rebra zavisi d dva bezdimenzina brdska parametra B 1 ( + a1 + a3) = T ( 1 a + a ) β R = = 1 3 ( 1 a1 3a3 ) A π BT 4 1+ a a ( ) Lujsva rebra izgledaju 3 1 Lujsva rebra se ne pklapaju sa stvarnim brdskim rebrima... Realna brdska rebra istg β, i istg B/T mgu imati različit blik... Ipak, Lujsva rebra dgvaraju tipičnim blim rebrima, blagg uzvja... Nisu dbra aprksimacija za glisere i brdve štrg uzvja... Z l i lik β L j b i ti Za mal i velik β, Lujsva rebra mgu imati neprihvatljiv blik PREDAVANJA 009. 30

Oblast dbrih i lših Lujsvih rebara (bez dkaza) Rešenja pkazuju da ddatna masa i prigušenje, sim d blika rebra, zavise i d frekvencije pniranja. Pri niskim frekvencijama nema prigušenja, a ddatna masa pniranja besknačn raste... Pri viskim frekvencijama (vibracijama rebra) prigušenje nestaje, a ddatna masa teži knstantnj vrednsti 1 m a ( 1+ a ) + 3a ρπ ω 1 3 Ustvari, Lujs je svju kmpleksnu transfrmaciju uve rešavajući prblem vibracija brda, jš 199. gdine davn pre primene transfrmacije na ljuljanje brda... Na prblem pniranja i psrtanja su je prvi primenili Prter 1960, Tasai 1961... PREDAVANJA 009. 31

Zavisnst ddatne mase i prigušenja d frekvencije scilvanja stvara ddatni prblem u prračunu pniranja i psrtanja brda na mirnj vdi... Spstvene frekvencija zavise d ddatne d mase...? Nephdan je interativni pstupak... U dalek važnijem prblemu ljuljanja brda na talasima, vakva teškća (principijeln) ne pstji... Za stala kretanja (valjanje, zanšenje, zakretanje) važi m = m dx, n = n dx ϕ ϕ ϕ ϕ L m = m dx, n = n dx L η η η η L L m = x m dx, n = x n dx θ η θ η L L kja se takđe mgu dbiti istim pstupkm... dnsn Lujsvm transfrmacijm rešenja strujanja k kružng rebra kje vrši prinudn valjanje, dnsn prinudn zanšenje... Rešenja kja se dbijaju prikazanim pstupkm su izuzetn kmplikvana, i dređuju se psebnim prgramima... (eventualn, dijagramima dbijenim na snvu prgrama...) Ustvari, najslženiji j de kmpjuterskih prgrama iz Pmrstvensti brda je baš dređivanje hidrdinamičkih keficijenata... Diplmski: Kuzmanvić 000 PREDAVANJA 009. 3

,, Određivanje hidrdinamičkih keficijenata predstavlja. ključni krak u razvju prračuna pmrstvensti brda... Danas pstje i tačnija rešenja d nih kje daje Lujsva transfrmacija Psebn za vema puna rebra, rebra sa sečnicm, rebra sa bulbm itd... Kriste se metde Knfrmn preslikavanje višeg reda (tzv. clse-fit metd) n a1 a3 a5 a7 ai 1 Z = a z+ + + + = a 3 5 7 z+ i 1 z z z z z i= 1 Prgram SEAWAY (Jhan Jurneé) danas prgram OCTOPUS firme AMARCON Aprksimacija rebra nizm izvra i pnra (tzv. Frenkv metd) I najjednstavnija Lujsva transfrmacija daje tehnički prihvatljive rezultate za ubičajene deplasmanske brdve... Kada se drede ddatne mase i prigušenja rebra... Ddatne mase i prigušenja brda L mdx = m itd... dbijaju se numeričkm integracijm ij npr. Simpsnvim pravilm... Drugim numeričkim (CFD) metdama, npr. MKE PREDAVANJA 009. 33

3. TALASI NA PLOVNOM PUTU Pstji, u različitim blastima Fizike, više mgućih definicija talasa...... talas predstavljaja premećaj kji se, knačnm brzinm, prstire krz neprekidnu sredinu. Za frmiranje talasa je ptrebn da pstji neprekidna sredina kntinuum, kji se nalazi u stanju stabilne ravnteže. T mže biti vazduh u atmsferi, elektrmagnetn plje, elastičn tel, ili u našem slučaju, slbdna pvršina tečnsti. Uklik se vakv stanje na nekm mestu premeti, sredina će zascilvati k svg ravntežng plžaja, a premećaj talas, širiće se d izvra premećaja u klnu sredinu... Ak je sredina vazduh, premećaj mže biti mala prmena pritiska izazvana gvrm, talas kji nastaje je zvuk kji čujem, j, a brzina njegvg gprstiranja je brzina zvuka... Ak je sredina elektrmagnetn plje, reč je elektrmagnetnim (npr. svetlstnim) talasima, kji se prstiru brzinm svetlsti... Bitna brzina prstiranja... Nas interesuju talasi na graničnj pvrši vde i vazduha, tzv. slbdnj pvršini vde. Ova pvršina nalazi se u stanju stabilne ravnteže pd uticajem sile gravitacije. Vda tada miruje, iznad nje je vazduh na atmsferskm pritisku, a sama slbdna pvršina je hrizntalna i nepktretna. PREDAVANJA 009. 34

Uzrci premećaja vakvg ravntežng stanja mgu biti različiti... Od kamena kji pada u vdu, brda, vetra... pa d zemljtresa. U vm predmetu se bavim talasima kji nastaju pd dejstvm vetra, u lujama... Međutim, zbg nepznatih pčetnih uslva kretanja, taj put zapada u ćrskak... Nephdn je iskristiti i bimna smatranja i merenja lujnih talasa, i statističkm analizm tih pdataka dći d sthastičke terije kja dpunjuje klasičnu hidrdinamiku. Tek kmbinacijm va dva pristupa uspećem da pišem slbdnu pvršinu lujng mra, i razjasnim svu njenu nepnvljivst i (prividnu) hatičnst. Prblem je slžen, i prinuđeni sm da mu pristupiti p na dva načina. S jedne strane, klasična hidrdinamička terija mgućava da dredim snvna svjstva talasa na pvršini vde i dbijem mguća rešenja uzburkane pvršine mra. 3.1. Hidrdinamička terija Da bism uprstili prblem, uvedem neklik bitnih upršćenja... Prv, zanemarujem viskznst vde, dnsn pretpstaviti da je vda idealna tečnst. PREDAVANJA 009. 35

Viskznst vde dvdi d smanjenja amplitude talasa (d prigušenja talasa) tkm njihvg prstiranja. Ov prigušenje je mal... Pretpstavka t je pravdana, i suštinski pjednstavljuje matematičk tretiranje prblema... jer mgućava uvđenje ptencijala brzine strujanja. Sledeće, pretpstavljam p da vda nije graničena balama, ili dnm. Razmatram, znači, talase na dubkm, tvrenm mru (keanu), št i jeste najvažniji slučaj s aspekta ljuljanja brda. Ova pretpstavka je u skladu sa prethdnim, jer uticaj viskznsti ik pstaje tj bitan sam u klini čvrstih granica. Na kraju, pretpstavljam da je kretanje tečnsti ravansk. Iak se na uzburkanm mru javljaju talasi različitih pravaca, snvni, dminantni talasi se prstiru u pravcu vetra... Najčešće, u dnsu na dimenzije brda, talasi imaju približn ravanski karakter... Klik je v upršćenje pravdan..? PREDAVANJA 009. 36

Terijska analiza ravanskih talasa na slbdnj pvršini idealne negraničene tečnsti... Krdinatni sistem x, z Slbdna pvršina z = ( x, t) Ptencijal brzine φ = φ( x, zt, ) Važi Laplasva jednačina Granični uslvi Uslv dubke vde φ x φ z + = 0 φ = 0, za z Premećaj nestaje dubk pd slbdnm pvršinm... Na slbdnj pvršini veže dva uslva: dinamički i kinematički... Dinamički uslv: pritisak vde na slbdnj pvršini jednak atmsferskm pritisku... p = p, za z = ( x, t ) at Upršćenje: zanemaren pvršinski napn... pručavam tzv. gravitacine talase Zanemarene i fluktuacije atmsferskg pritiska usled vetra... Kinematički uslv: brzine vde i slbdne pvršine, u pravcu nrmale na slbdnu pvršine, su jednake v = V, za z = ( x, t ) N N Zamisli slučaj v N > V N... ili v N < V N Kinematički uslv definiče slbdnu pvršinu... PREDAVANJA 009. 37

Kristim Kši-Lagranžev integral... φ 1 φ φ pxzt (,, ) pat ρgz ρ ρ = + t x z i u njega smenjujem dinamički uslv na slbdnj pvršini Sladi Odnsn, nakn sređivanja φ 1 φ φ pat ρg ρ + = p t x z 1 φ 1 φ 1 φ = + +, za z = ( x, t) g t x z Izvđenje kinematičkg č uslva preskačem... Dbija se, nakn bimng izvđena i sređivanja at φ φ = +, za z = ( x, t) z t x x PREDAVANJA 009. 38

Prblem je, prema tme, matematički pisan sledećm jednačinm i graničnim uslvima φ x z = ( x, t) : φ z + = 0 1 φ 1 φ 1 φ = + + g t x z φ φ = + z t x x z : φ = 0 Prblem je, i pred niza upršćenja, vema slžen Pretpstavićem da su premećaji slbdne pvršine mali... i izvršiti linearizaciju graničnih uslva na slbdnj jpvršini Važi z = ( x, t) : = 1 g φ = z φ t t Dalek jednstavnije, ali ključna prepreka jš nije savladana... Granični uslvi i dalje važe na nepznatj granici... Granični uslvi su nelinearni... i važe na nepznatj granici..! PREDAVANJA 009. 39

Da bism i t prevazišli, razvićem dbijene granične uslve u stepeni red u klini ravntežng stanja, z = 0. Treba se setiti Maklrenvg reda... z df ( 0) z d f ( 0) f ( z) = f( 0) + + +... 1! dz! dz Važi 3 φ( x,, t) φ( x, 0, t) φ( x, 0, t) φ( x, 0, t) = + + + 3 z z z z 3 φ( x,, t) φ( x, 0, t) φ( x, 0, t) φ( x, 0, t) = + + + 3 t t t z t z Odnsn φ( x,, t) φ( x, 0, t) z z φ( x,, t) φ( x, 0, t) t t Pa umest graničnih uslva z = ( x, t) : 1 = g t...... φ = z dbijam t φ 1 φ( x, 0, t) = g t φ ( x0t,, ) = z t Deluju vema sličn... ali pstji suštinska razlika... Linearizacija uslva na slbdnj pvršini ne buhvata sam zanemarenje malih članva... Već i razvj u stepeni red... PREDAVANJA 009. 40

Dinamički uslv diferenciram i smenim u kinematički... dbijam jedinstven granični uslv φ 1 φ + = 0, za z = 0 z g t Tak da kmpletan prblem p ptencijalu brzine glasi z = 0 : φ + = 0 x φ z φ 1 φ + = 0 z g t z : φ = 0 Nepznata slbdna pvršina je eliminisana iz prblema... Ali, kada dredim ptencijal brzine... važi 1 φ( x, 0, t) ( xt, ) = g t Iz ptencijala brzine, sledi slbdna pvršina... Interesantn, talase na vdi ne pisuje tzv. talasna jednačina f f = c t x već Laplasva jednačina... Pre neg št rešim prblem, treba se pdsetiti... funkcija blika f ( x± ct) predstavlja talas neprmenjeng blika, kji se prstire u pravcu x se knstantnm brzinm c PREDAVANJA 009. 41

Rešenje za ptencijal brzine (rešenje Laplasve parcijalne diferencijalne jednačine) pretpstavljam u bliku φ ( xzt,, ) = φn ( xzt,, ) n= 1 Opšte rešenje tražim ka zbir (superpzicije) elementarnih rešenja... Ovakav princip superpzicije, prema kme je zbir elementarnih rešenja takđe rešenje, a zbir svih (besknačn mng) elementarnih rešenja - pšte rešenje, važi sam za linearne sisteme... Dalje, svak elementarn rešenje pretpstavljam u bliku prizvda φ ( x, zt, ) = F( z) f( xt, ) n n n Smenm u Laplasvu jednačinu, i krišćenjem graničng uslva dubke vde......dbija se φ ( xzt,, ) = Be kn z cs( kx± ω t+ ε ) n n n n n veličine Bn, kn, ωn, εn su integracine knstante, čiji fizički smisa (za sada) ne znam... Smenjujem dbijeni izraz u granični uslv φn 1 φn + = 0, za z = 0 z g t φn kz n = Bke n n cs( kx n ± ωnt+ εn) = z = Bk n n cs( kx n ± ωnt+ εn) φn kz n = B ω e cs( k x± ω t+ ε ) = n n n n n t = B ω cs( k x± ω t+ ε ) n n n n n 1 k + n n 0 g ω = PREDAVANJA 009. 4

Sledi jednstavna, ali vema važna relacija ω = n gkn čiji se fizički smisa jš ne vidi... T je tzv. disperzina relacija talasa na slbdnj pvršini tečnsti Privremen, t je uslv pd kjim je φ ( x, zt n, ) emementarn rešenje prblema... Premećaj slbdne pvršine takđe se sastji iz besknačng zbira elementarnih premećaja ( x, t) = n ( x, t) n= 1 pri čemu u za svaki d elementarnig e e premećaja ećaja slbdne pvršine važi 1 n ( xt, ) = g φ ( x, 0t, ) n t Na snvu φ n t kz n =± B ω e sin( k x± ω t+ ε ) Sledi knačn ili gde je n n n n n ( xt, ) = Asin( kx± ω t+ ε ) n n n n n n( xt, ) = An sin kn( x± ct n ) + ε n c n ωn = k n A n Bnωn = g T je elementarni, sinusni, pravilni ili regularni talas. c n brzina prstiranja talasa A n amplituda talasa Talas je harmnijska (sinusna) funkcija u prstru i vremenu. PREDAVANJA 009. 43

U dređenm trenutku pisan je funkcijm ( x) = A sin( k x+ ε + cnst) n n n n a na dređenm mestu, funkcijm Talasna dužina i perid pvezani su s talasnim brjem i frekvencijm π λn =, Tn = k n( t) = Ansin( ωnt + εn + cnst) Pšt su talasni brj i frekvencija pvezani disperzinm relacijm ω = gk važi a takđe i T n π π = =... = λ n ω g c n n n = = = n n n n π ω ω g g λn k k π n n ω n kružna frekvencija talasa k n talasni brj ε n fazni pmeraj. brzina prstiranja talasa zavisi d talasne dužine..! Talasi na pvršini vde su disperzini... Duži talasi se prstiru brže... PREDAVANJA 009. 44

Zavisnst brzine i perida talasa d talasne dužine Nagib talasa α (, ) n n xt = = Ak n ncs( kx n ωnt+ εn) x A α n n = Ak n n = π λ n U kviru linearne terije, nagib talasa je mali... dnsn An λn Brzina strujanja λ n [m] c n [m/s] T n [s] 1 1,5 0,8 100 1,5 8 1000 40 5...filmski trikvi φn kz n vxn = = ωnane sin( knx ωnt+ εn) x φn kz n v zn = = ω n A ne cs( k nx ω nt+ ε n ) z Pa je brzina strujanja v = v + v =ω A e n nx nz n n kz n PREDAVANJA 009. 45

v c Odns brzine strujanja i brzine talasa je n n n n kz n ω A e = = n n = n ω n k n kz n kz n kae α e 1 brzina strujanja je dalek manja d brzine prstiranja talasa... Bez dkaza: Putanje delića tečnsti na dubini h su kružnice radijusa kh n A e Delići rtiraju k svjih ravntežnih plžaja p kružnim putanjama čiji se radijus ekspnencijaln smanjuje s dubinm vde... I dk delići tečnsti staju u nepsrednj blizini svjih ravntežnih plžaja, premećaj talas tkm vremena prevaljuje velika rastjanja... n Premećajni pritisak Linearizvani Kši-Lagranžev integral... pxzt (,, ) = p ρ at gz ρ φ t p p = pn n= 1 φn kz n p n = ρ =± ρgae n sin( k nx± ω nt+ ε n ) = t kz n =± ρge ( x, t) Premećaj pritiska je harmnijska funkcija kja ima frekvenciju talasa......stvara prmenljivu pbudnu silu, kja istm frekvencijm deluje na brd i izaziva njegv prinudn scilvanje na talasima. n PREDAVANJA 009. 46

O uslvu dubke vde Pri prstiranju regularng talasa, premećaj strujanje zahvata vdu pd slbdnm pvršinm, i ekspnencijaln pada sa dubinm vde, p zaknu z exp( kz n ) = exp π λ n Ekspnencijalna funkcija brz pada... i pstaje zanemarljiva mng pre neg št ekspnent pstane besknačn veliki. z = λ n exp( π ) 0, 0018 z = λ n / exp( π ) 0, 043 Izvedena terija važi i za vdu graničene dubine, uklik je 1 h > λ n Uslv dubke vde je relativan... Za talas dužine 1 m, bazen dubine pla metra je dubk... a za talas dužine 1 km mnga svetska mra su plitka. Energija talasa Element tečnsti pd talasm sciluje u dnsu na svj ravntežni plžaj, i pseduje kinetičku i ptencijalnu energiju de = de + de de = v dm = ρv dv 1 1 k n n 1 k n de = ρω A e z dv k k n n de = gz dm = ρgz dv p 1 knz E de ρω A e dv = = = p k k n n V V n 1 knz 1 k n n = ρω nans e dz = ρ ga 4 ns e PREDAVANJA 009. 47

kn n n e = 1+ kn n +... = 1+ 4π +... 1 λ n Ek 1 ek = = ρ ga 4 n S Kinetička energija je srazmerna kvadratu amplitude talasa, i ne zavisi d vremena... E de de gs zdz zdz gs zdz gs n 0 n 1 p = p p = ρ = ρ = ρ n 0 V V Ep 1 ep = = ρ gan sin ( knx ωnt+ εn) S T n Tn 1 ρ gan ep = epdt = sin ( knx ωnt+ εn) dt T 0 T 0 T n 0 n 1 sin ( kx ω t+ ε ) dt= T n n n n e p = 1 4 ρga n n e = e + e = ρga 1 n k p n Pkazaće se ka vema važna frmula... A psebn frmula za gustinu energije uzburkang mra n n= 1 n= 1 1 e= e = g A ρ n PREDAVANJA 009. 48

Grupna brzina talasa Bez dkaza... grupa disperzinih talasa bliske talasne dužine kreće p pvršini vde tzv. grupnm brzinm talasa dω u = dk Za talase na pvršini dubke vde, grupna brzina je d 1 g 1 g 1 u = ( gk) c = = λ = dω k π Tm brzinm prensi se i energija talasa Znači, disperzini talasi imaju nebičn svjstv da se grupa talasa kreće brzinm različitm d brzine pjedinačnih talasa kji je sačinjavaju... j Svaki talas u grupi se rađa na začelju, prbija ka njenm čelu i, baš kada pstane lider, nestaje... A grupa napreduje dalje, nseći sa sbm energiju premećaja. Termin disperzini talasi ω = ω( k), c = c( λ) disperzija rasipanje?? Zamislim, lkalnu luju u kjj, pd dejstvm vetra, nastaju talasi različitih talasnih dužina... Talasi se, d mesta nastanka, prstiru na sve strane, pri čemu grupa talasa dužine λ, za vreme t, prevali put t g ut = π λ Duži talasi prestižu kraće... Najduži talasi dlaze na čel, a najkraći staju na začelju klne, pri čemu se razmak kizmeđu đ čela l i začelja č tkm vremena pvećava... Talasi različitih dužina, nastali istvremen na istm mestu, rasipaju se p velikm prstru... PREDAVANJA 009. 49

Ov rasipanje disperzija, isključiv je psledica zavisnsti brzine prstiranja d talasne dužine. Iak pvršina uzburkang mra u luji nije ni približn sinusng blika... d psmatrača na udaljenj bali pristižu ka mrtv mre, prv najduži, pa sve kraći i kraći (približn) sinusni talasi. Prividna frekvencija talasa Interesuje nas frekvencija talasa u dnsu na pkretng psmatrača... Psmatram brd kji plvi pd uglm (kursm) μ u dnsu na pravac prstiranja talasa Važi x = v tcs μ+ ξcs μ η sin μ Talas je, u x, y sistemu, definisan ka ( xt, ) = A sin( kx ω t ) sledi ξη (,, t) = Asin k( vt cs μ+ ξcs μ ηsin μ) ωt PREDAVANJA 009. 50

( ξ, η, t) = Asin kcs μ ξ ksin μ η ( ω vkcs μ) t kξ = kcs μ, kη = ksin μ talasni brjevi u pravcu sa ξ, η p ( vkcs ) ω =± ω μ frekvencija talasa u dnsu na krdinatni sistem ξ, η T je prividna (relativna) frekvencija talasa, frekvencija u dnsu na brd Frekvencija je (fizički) pzitivna... znak minus se dnsi na sličaj ω < vkcs μ Prividna (relativna) brzina talasa u dnsu na brd je ω p cp = = c v k cs μ Talasne dužine u pravcu pkretnih sa ξ i η (efektivne talasne dužine) iznse π λξ = = k ξ λ cs μ π λη = = k Αmplitude nagiba talasa u pravcu sa ξ i η (efektivne amplitude nagiba) α = k A= α cs μ ξ ξ η λ sin μ α = k A= α sin μ η η PREDAVANJA 009. 51

Specijalni slučajevi Primer Plvidba bčn u dnsu na talase π ωp μ =± ωp = ω, cp = = c k Plvidba ka talasima μ = π ωp = ω+ vk c = c+ v p Stacinarna plvidba, pri kjj jje p 0 Mže se javiti pri plvidbi niz talase, uklik je gλ v c= π Kurs pri kme se javlja sledi iz ω vkcs μ = 0 st ω = p i iznsi μ st 1 gλ = = arccs v π PREDAVANJA 009. 5

Neregularni talasi Regularni, sinusni talas je elementarn rešenje prblema... Opšte rešenje je n = 1 = n= 1 ( x, t) ( x, t) ( xt, ) = Asin( kx± ω t+ ε ) n n n n ( xt, ) = An sin kn ( x ± ct n ) + εn. n= 1 T je neregularni talas... U izrazu se javlja besknačn mng integracinih knstanti A n, ε n, kje predstavljaju amplitude i fazne pmeraje pjedinih kmpnenti... Ove knstante je (u principu) mguće drediti iz graničnih ili iz pčetnih uslva prblema... Kak? n Ptrebn je pznavati blik premećene slbdne pvršine u nekm trenutku, npr. t = 0 tzv. pčetni uslv n = 1 ( x0, ) = Asin( kx+ ε ) = n n n = a cs k x+ b sin k x n= 1 n n n n ili zakn prmene slbdne pvršine na nekm mestu, npr. x = 0 tzv. granični uslv n = 1 ( 0t, ) = Asin( ω t+ ε ) = n n n = a cs ω t + b sin ω t n= 1 n n n n Uvedene su nve integracine knstante a = A sin ε, b = A csε n n n n n n PREDAVANJA 009. 53

tak da važi a n A Na snvu keficijenata Furijevg n = an + bn, ε n = arctg b ( x0, ) = Ansin( kx n + εn) = n reda a n, b n slede sve integracine U izrazima za pčetni i granični uslv n= 1 knstante A n, ε n u izrazu za prepznajem razvj funkcija u Furijevv red... neregularni talas... = a cs k x+ b sin k x n n n n Keficijenti Furijevg reda su n= 1 λ1 U praktičnim prblemima brdgradnje an = ( x, 0)cs knxdx, granični i pčetni uslvi uzburkang λ 1 0 mra ( 0t, nisu ) = pznati... Ansin( ωnt+ εn) = λ1 π n= 1 pa izlženi put za terijsk dređivanje bn = ( x, 0)sin knxdx, kn = n, λ 1 0 λ amplituda A 1 n i faznih pmeraja ε n nije dnsn primenljiv... = an csωnt+ bnsinωnt n= 1 T1 Prjektant brda najčešće nije upznat an = (,)cs 0 t ωntdt, T ni sa mrima p kjima će brd 1 0 plviti... T1 π bn = ( 0, t)sin ωntdt, ωn = n. Ćrskak? T 1 0 T1 Nephdn d je izlženu hidrdinamičku dd č Prema tme, uklik znam funkciju ( x, 0) teriju gravitacinih talasa dpuniti statističkim pdacima lujama... ili funkciju (, t0) nephdn je taj granični ili pčetni uslv razviti u Furijev red... PREDAVANJA 009. 54

3.. Statistička terija Primenm klasične hidrdinamičke terije gravitacinih talasa, slbdna pvršina lujng mra mže drediti sam d niva integracinih i ihknstanti u izrazu za neregularne talase... Ove intagracine knstante treba drediti iz pčetnih ili graničnih uslva prblema kji su, u slučaju realnih luja, nepznati... Prblem je jš slženiji... Dsadašnja terija pisuje talase kji mgu pstjati na slbdnij pvršini, ali ne pisuje mehanizam njihvg nastanka... Ovaj mehanizam slžen... Vetar nad slbdnm pvršinm predstavlja turbulentnu struju vazduha staln prmenljive brzine... Brzina i pritisak vazduha menjaju se i u prstru i u vremenu nepredvidiv, ka slučajne veličine... A baš te slučajne i nepredvidive fluktuacije pritiska na slbdnj pvršini pretstavljaju snvni mehanizam nastanka talasa... Uz t, na stvaranje talasa utiče i trenje (viskzni granični slj) između vde i vazduha... I sami talasi ddatn remete struju vetra i plje pritiska vazduha nad slbdnm pvršinm... Pd dejstvm turbulentne struje vazduha i spmenutih sekundarnih efekata, na slbdnj pvršini se (prv) frmiraju mali talasi u smeru vetra, kji vremenm pstaju sve viši i duži... Talasi se razvijaju, a na već frmiranim talasima se staln stvaraju nvi talasčići... Prces se kntinualn nastavlja, prenseći energija vetra u energiju talasa... PREDAVANJA 009. 55

Istvremen pčinje i suprtni prces disipacije energije, pre svega krz mehanizam lma talasa. Naime, talasi pd dejstvm vetra pstaju sve strmiji (štriji) i u jednm trenutku pstaju nestabilni lme se i gube energiju. Uklik vetar duva dvljn dug na dvljn velikm prstru, uspstavlja se dinamička ravnteža između primljene i izgubljene energije... talasi prestaju da rastu, dnsn na slbdnj pvršini se frmiraju tzv. ptpun razvijeni talasi... e= cnst Primer, vetar d bale... Prces razvja talasa je relativn spr... Ptrebn vreme i prstr meri se satima, dnsn desetinama kilmetara, i prvenstven zavisi d brzine vetra. Kd jakih luja, za ptpuni razvj talasa ptrebn je vreme d prek 4 sata, i prstr d prek 100 kilmetara. S bzirm na krišćeni granični uslv p at = cnst, i na zanemarenje viskznsti... klasična hidrdinamička terija ne mže pisati ve pjave... Kada vetar prestane da duva, talasi nastvljaju prstiranje ka mrtv mre... razdvajaju se p talasnim dužinama (rasipaju se) i psle dužeg vremena, prerastaju u približn regularne talase. i sam ve pjave, frmaln, pkriva klasična terija... Prširićem je, primenm statističke terije, i na realne luje... Nephdn je, prethdn, definisati neke snvne statistučke veličine vezane za talase na pvršini mra... PREDAVANJA 009. 56

Srednje visine i amplitude talasa Srednja amplituda talasa je 1 A = h Čest se kristi i srednja vrednst grupe najvećih talasa... Uklik se d N merenja izdvji de (grupa) n najvećih talasa... dgvarajuća srednja visina beležava se sa h n / N Meri se, na zadatm mestu, veliki brj uzastpnih visina talasa h i... Talasi su neregularani, i uzastpne visine se međusbn razlikuju. Srednja vrednst svih izmerenih visina, srednja visina talasa je tada h N 1 = N i = 1 h i gde je N» 1 Tak imam h1/ 3, h 1/ 5, h1/ 10 dnsn A = h 1 1/ n 1/ n Od vih srednjih visina i amplituda, načešće se kriste tzv. značajna visina, dnsn značajna amplituda talasa h 1/ 3, A1/ 3, Zašt su baš ne značajne..? PREDAVANJA 009. 57

Srednja dstupanja slbdne pvršine d ravntežng plžaja U prethdnj analizi merene su visine i amplitude talasa... Pretpstavim sada da se meri dstupanje slbdne pvršine d ravntežng plžaja, i t u nizu uzastpnih trenutaka t i, s krakm Δt... N i = 1 1 = i( ti) = 0 N Fizički, slbdna pvršina sciluje k svg ravntežng plžaja. Dalek je važnije srednje kvadratn dstupanje slbdne pvršine d ravntežng niva N = 1 σ = ( ) i ti N i 1 dnsn kren srednjeg kvadratng dstupanja (Rt Mean Sqare) RMS = σ Uklik je brj merenja dvljn velik (N» 1), dbijaja se niz pdataka i (t i ) čija srednja vrednst (srednje dstupanje d ravntežng niva) iznsi standardn dstupanja, stanardna devijacuja itd... PREDAVANJA 009. 58

σ ο je mguće prikazati i u drugaćijem bliku... Prširim izraz sa Δt... 1 σ = i ( ti) Δt TM i 1 Ak Δt dt, ( t ) ( t), i i N T = pa sledi 1 σ = () tdt TM 0 Pri čemu je, na snvu hidrdinamičke terije () t = () t = A sin( ω t+ ε ) n n n n n= 1 n= 1 Sledi, nakn slženg izvđenja... 0 T M T M TM () t dt = A n n= 1 t je tzv. Persevalva terema Ima širi značaj d statističke terije neregularnih talasa... važi uvek kada se pdintegralna funkcija mže izraziti u bliku besknačng trignmetrijskg g reda Na snvu Persevalve tereme, važi 1 σ = A n= 1 Dbijena relacija je izuzetn važna... Ona uspstavlja vezu između jedne statističke veličine (σ ) sa amplitudama regularnih talasa (dnsn integracinim knstantama) A n kje su u prethdnm pglavlju stale nedređene... 1 S bzirm na e = ρ g An n = 1 imam (ključnu) vezu klasične (determinističke) terije, i statističke terije talasa e= ρ gσ n PREDAVANJA 009. 59

Funkcije raspdele amplitude i visine talasa Uklik se izmerene amplitude talasa A i razvrstaju p veličini... pa se brj amplituda n i kji pripada pjedinim intervalima ΔA pdeli s ukupnim brjem merenja N i nanese nad dgvarajući interval... dbija se stepenasta linija tzv. histgram Uklik se interval smanjuje ( Δ A da) stepenasta linija histgrama prelazu u kntinualnu funkciju f(a)... pznatu ka funkcija raspdele amplitude talasa. Analizm višedecenijskih merenja mrskih luja ustanvljen je da, za ptpun razvijene talasa, približn važi tzv. Rejlijev zakn raspdele amplitude talasa A A f ( A) e σ σ Pznata je veza funkcije raspdele i vervatnće... Pvršina ispd krive raspdele, između zadatih granica... jednaka je vervatnći da će se amplituda talasa nalaziti unutar vih granica... Vervatnća da će amplituda talasa biti veća d neke zadate vrednsti A iznsi V ( A > A ) = f ( A ) da A Pa je A 1 σ V( A> A ) = A e da= e σ A 0 A σ PREDAVANJA 009. 60

Mguće je, za slučaj Rejlijeve raspdele, naći vezu između Dbija se... A 1, 5 σ A 0 σ 1/ 3, A n / N, σ h, 5 σ h 4 0 σ 1/ 3, Ak je V( A> A ) = 1 jedan talas će sigurn imati amplitudu veću ili jednaku A... Rešim A σ Ne 1 = p A A 55 σ 1/ 10, h 5 1 σ 1/ 10. A = A = σ ln N max Mguće je drediti i maksimalnu amplitudu N uzastpnih talasa... Vervatnća da će amplituda jedng d N talasa biti veća d A je N n = 1 A σ A σ V( A> A ) = e = Ne je najvervatnija maksimalna amplitudu N uzastpnih talasa. Ak je dbija se V( A> A ) = p ( p i ) N A = A = σ ln max p T je maksimalna amplituda čija je vervatnće p i... i i PREDAVANJA 009. 61

Spektar talasa Pdsetim se: neregularni talasi se sastje iz besknačng niza regularnih kmpnenti, d kjih svaka ima svju frekvenciju ω n, i amplitudu A n... Definisaćem sada, za svaku d kmpnenti neregularng talasa, veličinu S n ( ω ) = n A ( ω ) n n Δω gde je Δω razmak (krak) između susednih frekvencija Uklik svak vak definisan S n nanesem nad dgvarajuće ω n, dbija se stepenasta linija... Pvršina ispd svakg d stepenika je S 1 ( ω ) Δω = A ( ω ) n n n n Ukupna pvršina ispd stepenaste linije je Sn n n n n= 1 n= 1 1 ( ω ) Δω = A ( ω ) e Pvršina = = σ ρ g Uklik Δω dω S n ( ω ) S( ω) T je spektar energije talasa, ili spektar talasa n PREDAVANJA 009. 6

Spektar talasa pretstavlja raspdelu energije talasa p frekvencijama... Talasi frekvencije kja dgvaraja maksimumu spektra (frekvenciji ω m ) nse najveću energiju... T su tzv. mdalni talasi. Energija talasa sa repva spektra (frekvencija manjih d ω min i većih d ω max ) je zanemarljiva... Pvršina ispd spektra je i dalje 0 e S( ω) dω = = σ ρ g Elementarna pvršina je 1 S( ω) dω = de ρ g 1 de pa sledi S( ω) = ρ g dω Merenjem neregularnih talasa (preciznije, merenjem niza uzastpnih niva slbdne pvršine i u intervalu T M ) mže se drediti spektar talasa... Naime, na snvu izmerenih vrednsti i, mguće je Furijevm analizm drediti amplitude kmpnenti talasa... Na snvu dbijenih vrednsti, dređuju se dgvarajuće vrednsti S n (ω n ), dnsn, uklik je brj kmpnenti dvljn velik, spektar talasa S(ω). Ovakav pstupak dređivanja spektra na snvu pznatg blika slbdne pvršine, zvaćem spektralna analiza talasa... PREDAVANJA 009. 63

Mguće je definisati mment spektra n-tg reda (n-ti mment spektra) ka n σ = ω S( ω) dω n 0 Razjašnjava java indeks u znaci σ... važi (na primer) i 4 σ = ω S( ω) dω, σ = ω S( ω) dω 4 0 0 Prividni spektar talasa Frekvencija ω kja se javlja u prethdnim izrazima je apslutna frekvencija talasa u dnsu na nepkretng psmatrača. Spektar se mže preračunati i na prividnu frekvenciju talasa ω p... Osnvna frmula za preračunavanje je S( ω) dω = S( ω ) dω...elementarna energija talasa ne zavisi d krdinatng sistema, dnsn d brzine psmatrača... p p Energija kja je dgvara talasu apslutne frekvencije ω, dgvaraće i talasu prividne frekvencije ω p... Sledi dω p S ( ω ) = S ( ωp ) dω Κristim relaciju vω ωp = ω cs μ g Važi dω p v ω g v ωcs μ 1 cs μ dω = g = g g vω cs μ S( ω) = S( ωp ) g PREDAVANJA 009. 64

dnsn g S( ωp ) = S( ω) g v ωcs μ T je prividni spektar talasa dnsn spektar u dnsu na psmatrača (brd) kji se kreće brzinm v pd uglm μ u dnsu na pravac prstiranja talasa Srednji peridi talasa Peridi neregularnih talasa mgu se različit definisati... npr. ka perid kji dgvara nulama... ili perid kji dgvara bregvima (grebenima) talasa... Srednje vrednsti vak definisanih perida su T T N ( ) 1 ( ) Ti N i = 1 = N ( p) 1 ( b) = T i N i = 1 Ka srednji perid neregularnih talasa uzima se i perid kji dgvara frekvenciji tešižta spektra ω S( ω) dω 0 σ 1 ω = = σ S( ω) dω 0 Važi (bez dkaza) ( ) σ T = ππ σ T = π = π σ ω σ 1 ( b) σ T = ππ σ 4 Kristi i tzv. mdalni perid π T = kji dgvara maksimumu spektra m ω m PREDAVANJA 009. 65

Širina spektra talasa Spektar talasa buhvata sam jednu blast (pjas) frekvencija, između minimalne ω min, i maksimalne ω max Širina pjasa mže biti različita... tak da razlikujem spektre širkg i spektre uskg pjasa frekvencija... U ekstremnm slučaju, uski spektar se svdi na jedni frekvenciju (predstavlja jedan regularni talas), dk širki spektar buhvata sve frekvencije, i svdi se na tzv. beli šum... Tipičn, kd izrazit uskg spektra brj bregva i nula je približn isti, tak da važi... ( ) ( b) T T Kd širkg spektra brj bregva je veći d brja nula, i u ekstremnm slučaju važi ( ) ( b) T T Zat se, ka mera širine spektra, uzima bezdimenzini parametar ( b) T ε 0 uski spektar ε = 1 ( ) T ε 1 širki spektar 0 ε 1 Rejlijeva raspdela (pa i cela terija...) važi sam za relativn uske spektre... PREDAVANJA 009. 66

Osmatranja i merenja talasa Pstji grman brj pdataka talasima na svetskim mrima i keanima... Ovi pdaci su sakupljeni na dva načina smatranjem i merenjem... Osmatranja talasa, pre svega visine talasa, najčešće su vršili (i vrše) pmrci s brdva tkm svjih redvnih putvanja... Iak iskusni smatrači registruju visinu talasa blisku značajnj j visini talasa, vi pdaci su, pjedinačn gledan, vema nepuzdani i pdlžni subjektivnj prceni... Ovu manu (bar delimičn) ublažava njihv grman brj... (prek 55 milina smatranja sakupljenih u peridu dužem d jedng veka...) Pdaci dbijeni smatranjem imaju i ddatni nedstatak: p pravilu, predskazuju uslve plvng puta blaže d d realnih... Reč je grešci metde: dbijeni su duggdišnjim smatranjem sa brdva kji, neminvn, teže da izbegnu jake luje... Zat jesu i pgdni za brdve sa delimičnm slbdm izbra rute i vremen plaska (teretnih, putničkih brdva), a ptcenjuju stanja mra za ratne brdve i (psebn) za fiksne knstrukcije kakve su naftne platfrme... Pdaci dbijeni merenjem talasa specijalnim uređajima (npr. keangrafskim bvama) dalek su puzdaniji i precizniji. Ovi uređaji, uz visinu, najčešće mere i perid i pravac prstiranja talasa, ka i dgvarajuću ajuću brzinu vetra. Na žalst, brj rasplživih pdataka je dalek manji. U nvije vreme talasi se mere i satelitskim smatranjem... PREDAVANJA 009. 67

Stanje mra Prema Svetskj meterelškj rganizaciji (Wrld Meterlgical Organisatin, WMO) pstji 10 stanja mra... Stanje Značajna visina Opis mra Opis mra mra talasa [m] (engleski) 0 0 Mirn Calm (glassy) 1 0-0,1 Nabran Calm (rippled) 0,1-0,5 Mal valvit Smth (wavelets) 3 0,5-1,5 Umjeren valvit Slight 4 1,5-,5 Valvit Mderate 5,5-4,0 Jače valvit Rugh 6 4,0-6,0 Jak valvit Very Rugh 7 6,0-9,0 Tešk mre High 8 9014 9,0-14,00 Vl Vrl tešk mre Very High 9 prek 14,0 Izuzetn tešk mre Phenmenal Bfrva skala jačine vetra Stepeni Bfra [ Bf] Brzina vetra [kn] Opis vetra Opis vetra (engleski) 0 0-1 Tišina Calm 1-3 Lahr Light air 4-7 Pvetarac Light breeze 3 8-11 Slab vetar Gentle breeze 4 1-16 Umeren vetar Mderate breeze 5 17-1 Umeren jak vetar Fresh breeze 6-7 Jakivetar Strng breeze 7 8-33 Žestk vetar Mderate gale 8 34-40 Olujni vetar Fresh gale 9 41-48 Jakilujni vetar Strng gale 10 49-56 Orkanski Whle gale 11 57-65 Jakirkanski Strm 1 prek 66 Orkan Hurricane Brzina vetra i visina talasa su pvezani... u slučaju ptpun razvijenih talasa, prema ITTC-u, važi... Brzina vetra [kn] Značajna visina talasa [m] 0 3,1 30 5,1 40 8,1 50 11,0 60 14,6 1/3 0, 006 v + 0,1076 v h v v Pdaci smatranja i merenja sakupljeni su u više keangrafskih atlasa, d kjih je najsvebuhvatniji Hgben, Dacunha & Olliver, 1986... Neke d tabela... PREDAVANJA 009. 68

Pdela svetskih mra prema Hgben, Dacunha & Olliver, 1986... Značajna visina talasa [m] Svetski prsek (%) Severni Atlantik (%) Severni de Severng Atlantika (%) Stanje mra Svetski prsek (%) Severni Atlantik (%) Severni Pacifik (%) Jadransk mre (%) 0-1 30,876 5,46 19,091 1-41,390 41,10 36,941 0 10 0 0-3 17,3499 19,475,969 1 11,5 4,6 3-4 6,319 7,9164 11,574 7, 4,1 4-5,4564 3,4665 5,6400 3 31,68.4 16,9 43,0 5-6 0,5685 0,866 1,370 4 40,19 8,7 7,8 17, 6-7 0,5375 0,8380 1,4605 5 1,8 15,5 3,5 4, 7-8 0,51 0,4187 0,777 8-9 0,138 0,409 0,4555 6 3,0 18,7 16,3 1,0 9-10 0,1156 0,03 0,40 7 0,93 6,1 9,1 0,01 10-11 0,00 0,0039 0,0088 8 0,1 1,, 11 + 0,0014 0.0034 0,0073 9 0,01 0,0 0,1 PREDAVANJA 009. 69

Svetski prsek (vervatnća pjavljivanja u %) T [s] h 1/3 [m] 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma 1,0 0,311,734 6,40 7,13 5,071,711 1,0 0,470 0,169 0,057 0,019 0,006 0,00 0,001 0 6,87,0 0,00 0,764 4,453 8,841 9,045 6,00 3,000 1,5 0,435 0,140 0,04 0,01 0,003 0,001 0 34,001 3,0 0 0,057 0,90 3,474 5,549 4,973 3,004 1,377 0,518 0,169 0,050 0,014 0,004 0,001 0 0,09 4,0 0 0,004 0,150 1,007,401,881,156 1,154 0,485 0,171 0,053 0,015 0,004 0,001 0 10,48 5,0 0 0 0,05 0,58 0,859 1,338 1,30 0,776 0,37 0,146 0,049 0,015 0,004 0,001 0 5,073 6,0 0 0 0,004 0,063 0,77 0,540 0,597 0,440 0,40 0,105 0,039 0,013 0,004 0,001 0,33 7,0 0 0 0,001 0,015 0,084 0,198 0,58 0,19 0,136 0,066 0,07 0,010 0,003 0,001 0 1,018 8,0 0 0 0 0,004 0,05 0,069 0,103 0,099 0,069 0,037 0,017 0,006 0,00 0,001 0 0,43 9,0 0 0 0 0,001 0,007 0,03 0,039 0,04 0,03 0,019 0,009 0,004 0,001 0,001 0 0,178 10,0 0 0 0 0 0,00 0,007 0,014 0,016 0,014 0,009 0,005 0,00 0,001 0 0 0,070 11,0 0 0 0 0 0,001 0,00 0,005 0,006 0,006 0,004 0,00 0,001 0,001 0 0 0,08 1,0 0 0 0 0 0 0,001 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 0,001 0 0 0 0,011 13,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0 0,004 14,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0 0 0 0 0 0 0,001 Suma 0,331 3,559 11,937 0,795 3,31 18,763 11,611 5,87,480 0,96 0,313 0,099 0,09 0,009 0 PREDAVANJA 009. 70

100 p 47 h 1/3 [m] Severni Atlantik (vervatnća pjavljivanja u %) T [s] 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma 1,0 0 0,07 1,416 4,594 4,937,590 0,839 0,195 0,036 0,05 0,001 0 0 0 0 14,685,0 0 0,005 0,336 3,99 8,001 8,0 4,393 1,571 0,414 0,087 0,016 0,003 0 0 0 6,167 3,0 0 0 0,06 1,084 4,48 6,90 5,567,791 0,993 0,74 0,063 0,01 0,00 0 0,196 4,0 0 0 0,01 0,318 1,898 4,16 4,440,889 1,301 0,445 0,14 0,030 0,006 0,001 0 15,590 5,0 0 0 0,00 0,089 0,71,039,77,5 1,1 0,494 0,16 0,045 0,011 0,00 0,001 9,775 6,0 0 0 0,001 0,05 0,54 0,896 1,48 1,418 0,907 0,48 0,160 0,050 0,014 0,003 0,001 5,639 7,0 0 0 0 0,007 0,085 0,363 0,709 0,791 0,580 0,311 0,131 0,046 0,014 0,004 0,001 3,04 8,0 0 0 0 0,00 0,07 0,138 0,31 0,398 0,330 0,197 0,09 0,035 0,01 0,003 0,001 1,547 9,0 0 0 0 0,001 0,008 0,050 0,18 0,184 0,171 0,113 0,058 0,04 0,009 0,003 0,001 0,750 10,0 0 0 0 0 0,003 0,017 0,050 0,080 0,08 0,059 0,033 0,015 0,006 0,00 0,001 0,348 11,0 0 0 0 0 0,001 0,006 0,018 0,033 0,037 0,09 0,017 0,008 0,003 0,001 0 0,153 1,0 0 0 0 0 0 0,00 0,007 0,013 0,015 0,013 0,008 0,004 0,00 0,001 0 0,065 13,0 0 0 0 0 0 0,001 0,00 0,005 0,006 0,006 0,004 0,00 0,001 0 0 0,07 14,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 0,001 0 0 0,011 15,0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0,004 16,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001001 0 0 0 0 0 0,001001 Suma 0 0,077 1,849 9,419 0,363 5,170 0,70 1,956 6,087,465 0,87 0,75 0,081 0,00 0,006 p ji vervatnća pjave dređene visine i dređeng perida talasa Nazad PREDAVANJA 009. 71

Standardni spektri talasa Psmaču, dk gleda uzburkan mre, pvršina vde izgleda ptpun hatičn... T je (delimičn) psledica disperzije, dnsn činjenice da se svaka d kmpnenti talasa kreće različitm brzinm i time staln (i sam na izgled nepredvidiv) menja blik slbdne pvršine. Utisak hasa unsi i stvarna nepravilnst i nepnvljivst, kja je psledica slučajnih, nepredvidivih turbulencija u struji vetra kji stvara talase. Zat svaka luja i jeste nepredvidiva i nepnvljiva, i time pdlžna sam približnj, statističkj analizi. Ka psledica vakvih prcesa, i spektri lujnih talasa su jedinstveni i nepnvljivi... Obimna ispitivanja su, međutim, pkazala da spektri izmereni u različitim lujama, na ptpun različitim mrima, i pred tga št nisu identični, pkazuju značajnu pravilnst... Tipičn Merenja pkazuju da spektri talasa prvenstven zavise d: jačine vetra, trajanja luje, prstiranja luje, prisustva, plžaja i blika bala, stataka prethdnih luja (mrtvg mra). PREDAVANJA 009. 7

Npr. uticaj brzine vetra i razvja talasa (kvalitativn) sličan Dug se, tkm razvja keangrafije i brdgradnje, tragal za pravm funkcijm spektra lujnih talasa... Funkcijm kja se dvljn dbr uklapa u bimnu i raznvrsnu eksperimentalnu dadteku realnih talasa, a kja je dvljn pšta i jednstavna da se mže primeniti na standardne brdske prračune... Danas, za prračune u brdgradnji, ka standardni spektar talasa na tvrenm mru (spektar keanskih talasa), ITTC prepručuje funkciju blika a S( ω) = 5 ω b 4 e ω Ustvari frmula u sebi sadrži dva različita spektra, u zavisnsti d izbra parametara a i b... T su jednparametarski ITTC spektar, dnsn Pirsn Mskvicev spektar (Piersn Mskwitz) i dvparametarski ITTC spektar, dnsn Bretšnajderv (Bretschneider) spektar Za jednparametarski spektar važi a = 0. 0081 g, b = 311, h 1/ 3 Parametar je visina talasa, ili brzina vetra... Spektar (približn) važi sam za razvijene talase... PREDAVANJA 009. 73

Kd dvparametarskg spektra važi h1/ 3 691 a = 173, b = 4 4 T T Osim značajne visine, ka drugi parametar a spektra javlja se srednji perid talasa Važi i u fazi razvja talasa... Primer standardnih spektara Dvparametarski spektar se svdi na jednparametarski (razvijeni) spektar kada je T = 3 861 h. 1/ 3 Frekvencija kja dgvara maksimumu spektra (mdalna frekvencija talasa ω m ) dređuje se tak št se prvi izvd funkcije spektra izjednači sa nulm... Dbija se h T 1/ 3, σ, σ = cnst ω m 4b = 5 1 4 π 5 Tm = = π ω 4b m 1 4 PREDAVANJA 009. 74

Za standardni ITTC spektar važi a σ = S( ω) dω = 0 4b dnsn (za ba spektra) Prračunm se dalje dbija h σ = 16 1/ 3 ( ) ( b) T 0, 90T, T = 0, Tm 1, 96T Važi, nečekivan ( b) T ε = 1 = 1 ( ) T?? Rejlijeva raspdela važi sam za (relativn) uske spektre... Dbija se zbg 4 σ = ω S( ω) dω 4 Međutim, vrednsti spektra lujnih talasa asa pri viskim frekvencijama, kje dgvaraju malim talasnim dužinama, ptpun su nezanimljive za brdgradnju... Zat se standardni spektar talasa kristi sam d frekvencija kd kjih amplituda talasa pstaje zanemarljiv mala, npr. d ωmax 3ωm Tada je parametar širine spektra ε 035, Standardni ITTC spektar, u dmenu frekvencija kje su interesantne za ljuljanja brda, jeste relativn uzak, i za takve talase (približn) važi Rejlijev zakn raspdele amplituda... 0 Mali, ali značajni prblem... PREDAVANJA 009. 75

Standardni ITTC spektri dnse se na tvren mre (keane) gde nema uticaja bala... Za mala mra i pribalne vde, uticaj blizine i blika bale mže biti vema bitan... Zt Zat su, tkm tk gdina, razvijani ilkli lkalni spektri kti za mnga svetska mra i pribalne plvne rute... Najpznatiji d vih spektara je spektar Severng mra... tzv. JONSWAP spektar (Jint Nrth Sea Wave Prject) U nedstatku puzdanijuh pdataka... JONSWAP spektar se mže kristiti i za druge pribalne vde... Pstji i spektar za Jadransk a mre Tabainv spektar... Primer S = 0 658 3 3 S B f ( ω ) ( ω),, ( ω) f( ω) = e 1 ω 1 γ ω m γ = 007, za ω < ω, γ = 009, za ω > ω S B (ω) Bretšnajderv spektar m m PREDAVANJA 009. 76

Određivanje slbdne pvršine iz pznatg spektra Statistička terija realnih mrskih talasa uvedena je radi prevazilaženja ćrskaka u kji nas je dvela klasična, hidrdinamička terija... Ustanvili sm: i pred nepredvidivsti i jedinstvensti svake pjedinačne luje, spektri energije talasa različitih luja pkazuju značajnu pravilnst... Uveli sm standardne funkcije kji mgućuju da se, na snvu snvnih statističkih parametara luje (značajne visine i srednjeg perida talasa), predvide dgvarajući spektri neregularnih talasa... T je ključ rešenja. Iz pznatg spektra mguće je reknstruisati slbdnu pvršinu uzburkang mra... dnsn drediti dgvarajuće neregularne talase čime se prevazilazi prblem dređivanja integracinih knstanti A n, ε n kji se javi primenm klasične terije. Pstupak je inverzan pstupku za dređivanje spektra na snvu pznate (merene) slbdne pvršine uzburkang mra... Pznati spektar S(ω) deli se na veliki brj traka širine Δω i dređuje pvršina svake trake S( ωn ) Na snvu definicije spektra S n ( ω ) = n A ( ω ) n n n n n n Δω Δω sledi amplituda talasa kja dgvara frekvencije ω n A ( ω ) = S ( ω ) Δω T je jedna d dve integracine knstante n-te kmpnente talasa... PREDAVANJA 009. 77

Izraz za neregularne talase tada glasi n n n n n n= 1 n= 1 N ( xt, ) = ( xt, ) = Asin( kx± ω t+ ε ) S ( ω ) Δω sin( k x ± ω t + ε ). n= 1 n n n n n Manjem kraku dgvara veći brj kmpnenti N, tak da rezultat ne zavisi d prizvljng izbra Δω... ω Tl Talasni ibrj jkk ldii i n sledi iz disperzine relacije n k n = g Zat će se, u nizu uzastpnih prračuna slbdne pvršine na bazi pznatg spektra, uvek dbiti različit rezultat... Iak je t psledica graničenja kja nsi statistička terija... vakav slučajni izbr faznih pmeraja ε n unsi u račun ptrebnu dzu nepredvidivsti i jedinstvensti kju imaju i stvarne luje... tak da za ptpun dređivanje neregularnih talasa kji dgvaraju zadatm spektru, prestaje jš sam da se drede fazni pmeraji ε n... Fazni pmeraji se, međutim, ne mgu drediti iz spektra talasa. Pri reknstrukciji slbdbe pvršine uzimaju se, p pravilu, ka slučajne veličine u intervalu 0 π PREDAVANJA 009. 78

Trdimenzinalni efekati direkcini spektar Оd pčetka је pretpstavljen da su talasi ravanski... Talasi su psledica vetra, a vetar se neprekidn i nepredvidiv menja k svje srednje vrednsti, kak p intenzitetu, tak i p pravcu... Prateći vetar, na slbdnj pvršini se frmiraju talasi čiji j se pravac prstiranja rasipa k srednjeg, snvng pravca vetra... I strujanje vde u takvim uslvima je blag trdimenzinaln. Ovaj zanemareni 3D efekat uračunava se prek tzv. direkcing spektar talasa kji, sim d frekvencije zavisi i d pravca u dnsu na snvni pravac prstiranja talasa... S * ( ω, μ) = f( μ) S( ω) Funkcija f(μ) mra biti parna u dnsu na μ, i mra važiti π 0 f ( μ) dμ = 1 Najčešće se kristi * S ( ω, μ) = cs μ S( ω) π π π μ PREDAVANJA 009. 79

Džinvski talasi Definisali sm srednje amplitude talasa, npr. A, A, A... 1/3 1/5 ali i čekivane emaksimalne a amplitude, npr. ( pi ) A, A max max Ptražim dns maksimalne i srednje amplitude, npr. A ln N max 1 1 TM = σ = ln N = ln A σ T 1/3 Dbijene vrednst zavisi sam d brja talasa N, dnsn vremenm spr, ali kntinualn rastu... Terijski, amplituda bi pstala besknačn velika, uklik bi luja trajala besknačn dug... Realn, luje traju neklik časva, sasvim retk neklik dana... tak da najvervatnija maksimalna amplituda dstiže (približn) A 1 / 3 Prikazana statistička terija predviđa (pvremen i retk) izuzetn velike džinvske talase (freak waves, rgue waves)... čija je amplituda prek dva puta veća ć d značajne... Ovakvi džinvski talasi pažaju se u lijama, i (kak se smatra) predstavljaju uzrk mngih brdlma... PREDAVANJA 009. 80

Npr. Draupnerski nvgdišnji talas: Interesantn je da smatranja i merenja talasa ukazuju da je pjava džinvskih talasa češća d ne kju predviđa izlžena statistička terija... Džinvski talasi kje predviđa izlžena terija, psledica su vema nepvljne (i vema retke) superpzicije linearnih kmpnenti... Kd velikih i strmih talasa, linearne terija nije adekvatna... i dlazi d slžene, nelinearne inerakcije pjedinih kmpnenata... Kratkrčna i dugrčna statistika Dsadašnja statistička analiza dnsala se na jednu luju, za kju važi jedan (neprmenjen) spektar talasa... Tkm takve luje ne menja se ni srednja visina, niti srednji perid talasa... Ovakv neprmenjen stanje bičn traje neklik časva, sasvim retk neklik dana... Analiza se zat naziva kratkrčna statistika talasa. Ak se kratkrčna statistika pveže s tabelama kje daju vervatnću pjave talasa na dređenim mrima i plvnim rutama... mguće je drediti maksimalne amplitude i u dužem vremenskm peridu, kji buhvata niz različitih luja... T je tzv. dugrčna statistika talasa. PREDAVANJA 009. 81

Pđim d frmule TM A V ( A A ) = exp T σ Kja daje vervatnću da će amplituda talasa biti veća d A Izvedena je iz kratkrčne statistike: Važi za jedn stanje mra dnsn jednu značajnu visinu (d kje zavisi σ ) ) i jedan srednji perid talasa... Pvezaćem frmulu s tabelama kje daju vervatnću p ji pjave talasa dređene značajne visine i dređeng srednjeg perida... Da bism dbili vervatnću da će amplituda talasa biti veća d A u nekm dužem vremenskm peridu T D, dvljn dugm da za njega važi dgvarajuća tabela, ptrebn je sabrati vervatnće za sve luje (luje svih visina talasa, i svih perida talasa) kje se čekuju... TD A TD A TD A V( A A) = p11 exp exp exp... ( 1) + p1 ( 1) + p13 ( 1) + + T1 σ T σ T3 σ T D A T D A T D A + p1 exp exp exp...... ( ) + p ( ) + p3 ( ) + + = T1 σ T σ T3 σ n m p ji A = TD ( j) T j 1 i 1 i σ = = exp. Tabela PREDAVANJA 009. 8

Na snvu izvedene frmule sledi jednačina za dređivanje najvervatnije maksimalne amplitude talasa u peridu T D Naime, ak smenim ( ) V A A = 1 amplituda A pstaje najvervatnija maksimalna amplituda A max, a izraz se svdi na jednačinu Ak se izabere radni vek brda d 0 gdina = O(10 8 s), dbija se amplituda najvećeg talasa kji će dživeti brd, itd... Severni Atlantik: n m p ji A max TD exp 1 ( j) = Ti σ j= 1 i= 1 Ovaj izraz je mguće rešiti p nepznatj A max Ak se izabere abeeperid T D d 100 gdina = O(10 10 s), rešavanjem p A max dbija se amplituda tzv. stgdišnjeg talasa, dnsn maksimalna amplituda talasa kji se javlja jednm u veku. PREDAVANJA 009. 83

Rezime Slbdna pvršina uzburkang mra (u kviru linearne terije talasa) sastji se iz besknačng zbira harmnijskih (regularnih) kmpnenti = ( xt, ) = Asin( kx± ω t+ ε ) n 1 n n n n Da bi se iz vg izraza dredila slbdna pvršina, ptrebn je pznavati pjedine amplitude i fazne pmeraje A n, ε n Amplitude A n dređujem iz spektra talasa S(ω ) A ( ω ) = S ( ω ) Δω Fazne pmeraje ε n biram ka slučajne veličine... n n n n Ak je pznat spektar talasa, mže se (sem slbdne pvršine) drediti niz drugih statističkih veličina σ, RMS, h, h1/ 3, hmax, T, Tm... Ključ je spektar talasa... Uprračunima pnašanja brda na talasima kriste se (najčešće) standardni spektri... Da bi se dredi standardni spektar, ptrebn je pznavati dve (ili sam jednu) statističku veličinu luje, najčešće h1/ 3, T Plazi se d luje za kju je pznat... PREDAVANJA 009. 84

Za kraj, tri tipična numerička primera Brzina vetra (kn) Značajna visina talasa (m) Stanje mra (WMO) Jačina vetra ( Bf) Maks. perid (s) Mdalni prid (s) Maks. dužina talasa (m) Mdalna dužina talasa (m) Vervatnća pjavljivanja, svetski prsek (%) 0 3,1 5 5 13,4 8,79 318 10 0 30 5,1 6 7 18,5 11,6 533 00 5 60 14,6 9 11 30,6 19,5 1467 567 0,001 PREDAVANJA 009. 85

4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA Ljuljanja brda na mirnj vdi predstavljaju (jezikm Mehanike) slbdne prigušene scilacije tela k svg ravntežng plžaja... Premećaj pritiska kji izaziva regularni talas je harmnijska funkcija kja ima frekvenciju talasa... a brd ve scilacije pritiska seća prividnm frekvencijm talasa ω p... Τreba čekivati da ljuljanja brda na regularnim talasima predstavljaju prinudne prigušene scilacije, ij kd kjih je premećajna ć sila (prinuda) )harmnijska funkcija frekvencije ω p... Diferencijalna jednačina vakvg kretanja glase A Z + μ Z + ω Z + = ω t+ δ... sin ( ) Z Z Z p Z D+ mz A Z, δ Z nepznata amplituda i fazni pmeraj pbudne sile (mmenta)... Javljaju se dve frekvencije, ω Z, ω p... PREDAVANJA 009. 86

4.1. Prinudne sile i mmenti Pstupak za dređivanje A Z, δ Z prikazujem na primeru pniranja i psrtanja brda kji plvi pramcem ka regularnim talasima, knstantnm brzinm v... Pri tm je ω = ω + vk p T T Pri pručavanju pniranje brda na mirnj vdi, pšli sm d jednačine D = F g D G Treba usaglasiti krdinatne sisteme i znake... Osa ξ prlazi krz ravntežni plžaj težišta G... Ravntežna pvršina vde nalazi se na rdinati VL d hrizntalne ravni ξη... Premećena slbdna pvršina u inercijalnm sistemu ξη glasi ( ξ, t) = + ( ξ, t) = + A sin( k ξ + ω t) T VL T VL T T p Ova jednačina i dalje važi, s tim št sila F sada sadrži i premećaj kji unse regularni talasi... Primenm pstupka p kji sm kristili na mirnj vdi (primenm tzv. strip terije), dbija se PREDAVANJA 009. 87

F = gd ρga n m + A ω t+ δ + F F ( d ) VL G G G... sin( p ). ( p) ( p) F premećajna sila pznate frekvencije, ali nepznate amplitude A i nepznatg fazng pmeraja δ, kja je psledica regularnih talasa ( d ) F javlja se usled tzv. difrakcije talasa... Pritisak u prizvljnj tački vde ispd regularng talasa je T p = ρga e k h sin( k ξ + ω t) T T T p h = VL dubina vde ispd ravntežne slbdne pvršine Pritisak deluje na trup brda... dubina h je manja ili jednaka gazu brda... Pretpstavićem, radi jednstavnsti, da su talasi dalek duži d gaza brda, λ T» T Tada važi k T h π h e = exp 1 λt Razlika zavisnsti premećajng pritiska d dubine vde u dnsu na klasičnu linearnu zavisnst hidrstatičkg pritiska, pznata je u literaturi ka Smitv efekat... Krišćenm aprksimacijm nije zanemaren sam Smitv efekat, već i kmpletan uticaj dubine vde... Ovaj uticaj se ne zanemaruje u većini savremenih kmpjuterskih prgramima... Lj. Radsavljebić... PREDAVANJA 009. 88

Vertikalna sila kjm pritisak p T deluje na prizvljni element dužine brda (elementarnu traku brda), tada iznsi df ( p) = pt b( x) dx ρga b( x) sin( k ξ + ω t) dx T T p S bzirm na ψ «1 važi ξ x Tada je ( p) F ρgat b( x) sin( ktx ωpt) dx = + = L = ρga T QC sin( ωpt) + QS cs( ωpt) Q = b( x)cs k xdx, Q = b( x)sink xdx C T S T L L T je ranije pretpstavljeni blik premećajne sile Ukupna vertikalna sila izazvana premećajnim pritiskm p T je tada F = df = ( p) ( p) L = ρga b( x) sin( k ξ + ω t) dx T T p L ( p) F = A ωpt+ δ A = ρ ga Q sin( ) T Q arctgδ = Q S C pri čemu je Q = Q + Q C S PREDAVANJA 009. 89

Treba razjasniti član ( d ) F U prethdnm izvđenju krišćen je premećajni pritisak p T kji je psledica (sam i isključiv) regularnih talasa... Izrazi za ve talase su izvedeni na praznj slbdnj pvršini, bez prisustva brda... Realn, brd svjim prisustvm remeti regularne talase... Brd je prepreka kju talasi udaraju, i na kjj dlazi d njihvg dbijanja i prelamanja dnsn tzv. difrakcije talasa... Uticaj vg dpunskg efekta buhvata (difrakcini) ( d ) član F Zanemarićem uticaj difrakcije... Ov zanemarenje pznat je u literaturi ka hipteza Fruda i Krilva... Uticaj difrakcije se ne zanemaruje u većini savremenih kmpjuterskih prgramima... M. Simnvić... Vratim se na izraz ( p) F = A ωpt+ δ sin( ) U specijalnm slučaju kada vdna linija ij brda pseduje simetriju ij pramac krma, važil bi Q = b( x)sink xdx = = 0 S L Za ubičajene brdve zat važi Q S Q C Q = Q + Q Q T C S C A ρ gat b ( x )cs kt xdx L QS arctgδ = 0 δ 0 Q C PREDAVANJA 009. 90

Ostaje jš da pručim funkciju x Q b( x)cs kt xdx = b( x)cs π dx λ T L Integral se rešava numerički, za svaki brd... Rešenje, međutim, zavisi prvenstven d dnsa dve karakteristične dužine: L i λ T, ima neka zajednička svijstva... Uslučaju kada su talasi dalek duži d brda, λ T» L, važi x π 1 Q b( x) dx = AVL λ A T = ρ ga A T VL L U slučaju kada je brd dalek duži d talasa, L» λ T, važi Q 0 L Tipičn, funkcija ima blik jer pdintegralna funkcija više puta menja znak u dmenu integracije... tak da je Q () 1 10% A VL PREDAVANJA 009. 91

Sličn se dbuja i za pbudni mment psrtanja... Plazi se d ( p ) ( p ) dm y x df x pt b( x) dx = = ( ) =... i dbija M = A sin( ω t δ ) ( p) y ψ p ψ A ψ = ρ g α Q ψ Q = Q + 1 30% I C Q Q () ψ S ψ y ψ ψ Q arctgδ ψ = Q S C ψ ψ Zbg (grube) simetrije pramac krma, važi Q C ψ Q S ψ Ubičajen je da se kriste bezdimenzine amplitude premećajne sile i mmenta a, a ψ A = ρ ga A a T VL A = ρ gα I a ψ y ς ψ x Qψ QS = xb( x)sin ktxdx = xb( x)sinπ dx ψ λ T L L PREDAVANJA 009. 9

Gde je 1 a b( x)csk T xdx A VL L 1 a ψ xb ( x)sin k T xdx ki T y L U slučaju valjanja Dbija se M = A sin( ω t+ δ ) ( p) x A gd MG k A a ϕ T ϕ T ϕ T δ ϕ ϕ π B aϕ = 1 za = 0 λ a 0 za ϕ T, B λ T, Za pravuganu vdnu liniju mgu se drediti analitički... λ T π L a = sin πl λt 3 Bλ T πλt πλt πλt aψ = sin cs 3 4π Iy L L L Važi B / λ 1, a 1 T ϕ PREDAVANJA 009. 93

4. Rešenja jednačina, prensne funkcije Nezavisne (približne) diferencijalne jednačine kje pisuju ljuljanje brda na talasima imaju blik Z + μ Z + ω Z = Aω a ω t+ δ sin ( ) Z Z Z Z p Z gde je A = A T kd pniranja, A = α = k A kd psrtanja i valjanja T T Rešenje diferencijalne ij jednačine je μz Zt () = Z t he sin( ωzt + εz ) + pšte rešenje hmgeng dela jednacine + Z sin( ωpt + γ Z) partikularn rešenje nehmgene jednacine Rešenje hmgeng dela jednačine dumire, tak da psle izvesng prelazng perida važi Z() t = Z sin( ω t + γ ) p Z Amplituda i fazni pmeraj vg kretanja su Z γ Aω Z = = ω ω + 4μ ω = gde su ( ) Z p Z p ( Λ ) A Z Ψ ZΛZ 1 + 4 μzωz Ψ ZΛZ = arctg = arctg ω ω 1 Λ Z Z p Z Ψ Z μz = ω Z ω p TZ ΛZ = = ω T Z p PREDAVANJA 009. 94

Već su se više puta sreli s prikazanim pstupkm i rešenjima diferencijalne jednačine prinudnih scilacija... Da li razumeju..? Brd, na pčetku ljuljanja, sciluje sa dve nezavisne frekvencije, spstvenm ω Z i prinudnm ω p... Pri tme, amplituda i fazni pmeraj spstveng ljuljanja Z h i ε Z zavise d pčetnih uslva kretanja... Amplituda i fazni pmeraj prinudng ljuljanja ne zavise d pčetnih uslva... Psle izvesng vremena spstvene scilacije dumuru, i brd nastavlja da scilacije prividnm frekvencijm talasa ω p... a kretanje više ne zavisi d pčetnih uslva... Brd, prema tme, na pčetku kretanja pkušava da se ljulja svjm spstvenm frekvencijm, ali se vremenm pvinuje diktatu prinude... Ne treba, međutim, pmisliti da spstvena frekvencija brda ne utiče na njegv dlj dalje kretanje... Brd se ljulja prinudnm frekvencijm talasa ω p, ali dns frekvencija ω p / ω Z presudn utiče na amplitudu i na fazni pmeraj njegvg kretanja. PREDAVANJA 009. 95

Bezdimenzini dns Z /A u Mehanici se najčešće naziva faktr pjačanja scilacija... Kd ljuljanja brda se dmaći termin prensna funkcija ljuljanja Prensne funkcije su, prema tme P Z Z = Z A = A kd pniranja T Z Z Z P Z = = = A α k A T T kd psrtanja i valjanja Pgdn je i za rtacina kretanja definisati prensnu funkciju blika Z PZ = A Dbija se P Z = = k P Z T Z AT Takο definisana funkcija nije bezdimenzina... A T S bzirm da prensne funkcije ljuljanja brda imaju izuzetan značaj... uvešćem ih vde i na drugačiji način, kji će im dati i nvi smisa, i bjasniti njihv naziv. Videli sm da regularni talas, kji je u klini krdinatng pčetka pisan funkcijm T () t = A T cs( ω p t+ ε T ) dvdi d ljuljanja brda Z() t = Z cs( ω t + ε + γ ) p T Z Mže se reći, drugačijim rečnikm č d ng kji je d sada krišćen, da se ulaz () t T transfrmiše se u izlaz Z() t PREDAVANJA 009. 96

Izraze mžem napisati u kmpleksnm bliku = T p Ae ω T i( t+ ε ) T i( pt T Z) Z = Ze ω + ε + γ gde sam realni idelvi ifunkcija imaju svje fizičk značenje Izlaz svdim na fazu ulaza... iγ i( t+ ) Z p T Z = Z e e ω ε dnsn uvdim tzv. kmpleksnu amplitudu izlaza Z = i Z Ze γ Odns izlaza i ulaza je i( ωpt+ εt ) Ze Z Z i( ωpt+ εt ) T Ae A T A T T iγz P e P e Z Z = = = = = Z P Z kmpleksna prensna funkcija Njen mdul je ranije uvedena (realna) prensna funkcija P Z, a njena faza je γ Z iγ Z Kmpleksna prensna funkcija, prema tme, transfrmiše ulaz u izlaz Z = P Z Njen mdul realna funkcija P Z, transfrmiše amplitudu ulaza A T u amplitudu izlaza Z Z = PZ AT Za funkcije kje na vaj način transfrmišu (pretvaraju, preslikavaju, prense) ulaz u izlaz, T u tehnici (elektrtehnici, autmatskm upravljanju...) dmaći se termin prensna funkcija, kji je prihvaćen i u brdgradnji. U literaturi na engleskm jeziku čest se, umest dgvarajućeg termina transfer functin, za realni de prensne funkcije kristi i termin Respnse Amplitude Operatr, i dgvarajuća znaka RAO PREDAVANJA 009. 97

4.3. Plvidba na bčnim talasima Pretpstavićem da brd plvi bčn u dnsu na regularne talase... Važi μ = -π/, ω p = ω T, a izraz za slbdnu pvršinu glasi ( η, t) = + A sin( k η+ ω t) T VL T T T Talasi se prstiru d pzitivne ka negativnj si η Brd istvremen vrši valjanje φ(t), pniranje G (t) i zanšenje η G (t)... a nezavisne diferencijalne jednačine kretanja glase ( Jx + m ) ϕ ϕ + n ϕϕ + gd MG ϕ = Aϕ sin( ωtt+ δϕ) ( D+ m ) + n + ρga = A sin( ω t+ δ ) G G VL G T ( D + m ) η + n η = A cs( ω t+ δ ) η G η G η T η Analiziraćem, detaljn, sam valjanje brda... PREDAVANJA 009. 98

Pretpstavićem da je dužina talasa dalek veća d širine brda λt B Tada važi aϕ 1 A diferencijalna jednačina valjanja glasi ϕ + μ ϕ + ω ϕ = αω csω t Rešenje je ϕ ϕ ϕ ϕ() t = ϕ cs( ω t γϕ ) Izraz za prensnu funkciju valjanja glasi = ϕ ϕ ϕ α = = ω ω + 4μϕωT P = ω ( ϕ T ) 1 T T a fazni pmeraj valjanja γ φ iznsi γ ϕ gde je μϕωt Ψ ϕλϕ = arctg = arctg ω ω 1 Λ ϕ Λ T ω T ϕ = = ωϕ T T Na snvu disperzine relacije, važi ω = gk = T T π g λ tak da se prensna funkcija mže izraziti i u bliku = = ( 1 ) 4 ϕ Λϕ + ΨϕΛ α ϕ ( ϕ T ) P ϕ T ϕ ϕ T ωλ T ωλ πg + 8πgμ λ ϕ ϕ T dakle sledi amplituda valjanja φ PREDAVANJA 009. 99

Dijagrami prensne funkcije i fazng pmeraja su... Dijagrami se dnse na jedan brd na tl talasima svih ihfrekvencija, dnsn svih talasnih dužina. Brd na jednm regularnm talasu predstavlja tačku u dijagramima... Iak se prensne funkcije, zbg različitih prigušenja i različitih spstvenih frekvencija, razlikuju d brda d brda... sve imaju neke bitne zajedničke karakteristike... PREDAVANJA 009. 100

Psmatrajm funkciju blika P ϕ = 1 ( Λ ) 1 + 4Ψ Λ ϕ ϕ ϕ Važi P ϕ ( 0) 1 P ( ) 0 ϕ P ϕ ϕ () 1 = = α rez 1 Ψ ϕ Oblast dijagrama u klini reznancije (bičn 0,75 < Λ φ < 1,5) naziva se kritična blast. Lev d kritične je ptkritična, a desn natkritična blast. PREDAVANJA 009. 101

Krajnji levi de dijagrama, kji dgvara vrednstima faktra premećaja Λ φ «1, je tzv. daleka ptkritična blast valjanja. U tj blasti, spstveni perid valjanja brda dalek je kraći d perida talasa, T φ «T T Važi P ϕ 1 ϕ α γ ϕ 0 ϕ() t = ϕ csω t Nagib talasa je α (, ) T T η t = = αcs( ktη+ ωtt) η pa vrednst nagiba u klini brda (za mal k T η) iznsi α () t α csω t Sledi ϕ() t α () t T T T T t je blast krutg valjanja PREDAVANJA 009. 10

Oklinu reznancije Λ φ 1 karakteriše izraženi reznantni pik 1 P ϕ ϕ () 1 = = α Ψ rez ϕ usled ldkga je nagib ibbrda dalek dlk veći d nagiba talasa. Za brdve bez specijalnih uređaja za smanjenje valjanja (npr. ljuljnih kbilica), bezdimenzini keficijent prigušenja je tipičn Ψ φ = 0,05-0,1, tak da visina reznantng pika iznsi i( (φ /α ) rez = 5 10. Zbg tga i talasi sasvim malg nagiba (npr. 1 ) dvde d velikih amplituda valjanja brda... Ovak velike amplitude valjanja su pasne... a dvde u pitanje i pravdanst krišćenja linearne terije... Linearna terija sam grub i neprecizn daje visinu reznantng pika, ali precizn dređuje blast valjanja kju treba izbegavati... Fazni pmeraj valjanja je γ φ (1) = π/, tak da zakn reznantng valjanja (frmaln) glasi ϕ() t = ϕ sinω t Najveći nagibi (amplitude) valjanja javljaju se na bregu i u dlji talasa... T Primer reznancije... PREDAVANJA 009. 103

Na desnm kraju dijagrama (za Λ φ» 1) nalazi se tzv. daleka natkritična blast valjanja... U vj blasti spstveni perid valjanja brda dalek duži d perida talasa, T φ» T T Brd se pnaša trm, i ne stiže da prati dejstv talasa, tak da je amplituda njegvg valjanja zanemarljiv mala... ϕ() t 0 Zanšenje i pniranje brda pstje, ali se brd pri tm ne naginje... Ovakv valjanje, naziva se mek valjanje brda. Između daleke ptkritične blasti (blasti krutg valjanja), reznancije i daleke natkritične blasti (blasti mekg valjanja), dijagram prensne funkcije se kntinualn menja... Oblast dijagrama u kjj će se brd nalaziti zavisi d njegvg spstveng perida valjanja, i d perida talasa... Zat se terijski svaki brd, u zavisnsti d talasa, mže naći u svakj d blasti valjanja... PREDAVANJA 009. 104

S druge strane, različiti brdvi na talasima iste talasne dužine nalaze se u različitim blastima dijagrama... pri čemu su brdvi kraćeg spstveng perida uvek pmereni ulev u dnsu na brdve dužeg spstveng perida... Spstveni perid valjanja brda je T ϕ π j x gmg i zavisi d dimenzija brda prek radijusa inercije j x, i d pčetng stabiliteta brda prek metacentarske visine MG. Veliki brdvi, čija je metacentarska visina na granici minimaln dzvljene, imaće najveće, dk će mali i (ili) izuzetn stabilni brdvi, imati najmanje spstvene peride valjanja... Na snvu tga, mguće je predvideti i (dnekle) uticati na pnašanje brda na bčnim talasima... Numerički primer... Psmatrajm valjanje tri različita brda na istim regularnim talasima... Neka talasi imaju dužinu λ T = 00 m. Τ je tipična dužina najvećih (mdalnih) talasa u umeren jakj keanskj luji... Dbija se λ T = 00 m, T T = 11,6 s, ω T = 0,555 rad/s T φ (s) ω φ (rad/s) Λ φ blast valjanja Brd A 5 1,57 0,43 ptkritična Brd B 1 0,54 1,03 kritična Brd C 30 0,09,58 natkritična PREDAVANJA 009. 105

Prethdna analiza je neptpuna jer, u realnim uslvima, na slbdnj pvršini istvremen pstje talasi različitih dužina... Za ptpuniju sliku treba zat sačekati pglavlje valjanju brda na neregularnim talasima... Ipak, treba učiti da i najduži talasi realnih luja nemaju peride duže d pla minute, tak da brdvi s vak dugim spstvenim peridima praktičn nikada ne zapadaju u reznanciju valjanja... j Ukratk, i prigušenju pri valjanju... Od prigušenja presudn zavisi visina reznantng pika... Prigušenje je psledica sistema talasa kji se indukuju samim valjanjem brda, ali i ddatnih viskznih efekata... Prblematika je izuzetn slžena, i jš uvek nije d kraja rešena... Ipak, neki d kvalitativnih zaključaka u vezi prigušenja su čigledni... Najmanje prigušenje (sam usled trenja) imaju brdske frme sa kružnim rebrima... Št su frme štrije, prigušenje raste, kak usled vaćih talasa kji se indukuju, tak i usled ldddt ddatng viskzng ik vrtlženja... tlž Da bi se značajnije pveća tpr pri valjanju, brdu se ddaju izdanci, tzv. ljuljne kbilice... Ljuljne kbilice i slični ddaci već spadaju u psebane uređaje tzv. stabilizatre ljuljanja, kjima ćem psebn gvriti... PREDAVANJA 009. 106

Da rezimiram... Najnepvljnija blast valjanja brda na regularnim talasima je kritična blast (blast reznancije) kju, kad gd je t mguće, treba izbeći... Brd treba da bude št dalje d reznancije, bil u ptkritičnj, bil u natkritičnj blasti valjanja... Šta je blje?.. Ovakv pdešavanje blasti valjanja je (delimičn) pd kntrlm prjektanta i (ili) zapvednika brda... Oni mgu uticati na spstveni perid valjanja prek metacentarske visine brda... Videće se da zapvednik brda ima i ddatni efikasan način da izbegne reznanciju prmenm pravca kretanja brda... I prjektant brda ima ddatnu mgučnst da smanji negativan uticaj reznancije pvećanjem prigušenja, dnsn pgdnim izbrm frme i (mng efikasnije) ugradnjm tzv. stabilizatra valjanja... Ni prjektant, niti zapvednik brda, međutim, ne mgu uticati na same talasa, pgtv št u realnim uslvima na slbdnj pvršini pstji veliki brj talasa različitih perida... Zat va analiza staje neptpuna... i biće dpunjena i zakružena tek u pglavlju valjanju brda na neregularnim talasima... Analgija, lenjivac, štreber, entuzijasta... PREDAVANJA 009. 107

D sada sm analizirali sam uga valjanja (nagiba brda) φ(t)... Sada ćem drediti i uganu brzinu i ugan ubrzanje brda pri valjanju ϕ() t = ϕωt sin( ωtt γ ϕ ) ϕ() t = ϕωt cs( ωtt γ ϕ ) Mgu se definisati i prensne funkcije ugane brzine i ugang ubrzanja ω T = ω φ P ϕ = ϕω T ϕ ωω T ϕ Λϕ ωt ωtpϕ α = α = = = ω ω μ ω Λ Ψ Λ ( T ) T ( ) ϕ + 4 ϕ 1 ϕ + 4 ϕ ϕ P ϕ = ϕω T ϕ ωω T ϕ Λϕ ωt ωtpϕ α = α = = = ω ω μ ω Λ Ψ Λ ( T ) T ( ) ϕ + 4 ϕ 1 ϕ + 4 ϕ ϕ. PREDAVANJA 009. 108

Dijagrami prensne funkcije valjanja vema su slični dgvarajućim dijagramima iz Dinamike i Terije scilacija... Pstji, međutim, i jedna bitna razlika... razliku. Prigušenje i spstvena frekvencija valjanja brda, za razliku d klasičnih prblema scilacija, zavise d frekvencije kretanja, dnsn menjaju se duž apcisa vih dijagrama... T je psledica činjenice da ddatna masa m φ i prigušenje n φ zavise d frekvencije kretanja... št je pet (fizički) psledica sistema talasa kji se indukuje samim valjanjem brda... Ovakva zavisnst hidrdinamičkih keficijenata d frekvencija ne utiče bitn na valjanje, jer su keficijenti mali Za pniranje i zanšenje na bčnim talasima dbija se G() t = G sin( ω ) Tt γ ηg() t = ηg cs( ωtt γ η ) P A G = G T P η η = A T Dalek značajniji će biti uticaj na pniranje i psrtanje brda... PREDAVANJA 009. 109

Pmernja, brzine i ubrzanja tačaka brda Kristim yc zc cs β C = sin β C = ϕ 1 r r C C Dbija se vc ηg z η Cϕ vc G + y Cϕ Odnsn integraljenjem i diferenciranjem v = v + v v G C G C G C = r ϕ C r = y + z C C C ( ) vc = ηg r Cϕ sin βc + ϕ ηg rcϕϕ cs βc r Cϕsin β η C ( ) vc = G + r Cϕ cs βc + ϕ G rcϕϕ sin βc + r Cϕcs β C η = η z ϕ C G C = + y ϕ C G C a η z ϕ η C G C a C G + y Cϕ Zbir (razlika) harmnijskih funkcija... PREDAVANJA 009. 110

Pmeranje (pniranje i psrtanje) prizvljne tačke brda jednak je zbiru (razlici) harmnijskih funkcija iste frekvencije... v v a a Takav zbir (razlika) je pet harmnijska funkcija... ηc = ηc sin( ω ) Tt γ Cη = sin( ω t γ ) Pa je C C T C = η = η ω cs( ω t γ ) η = = ω cs( ω t γ ) C C C T T C η C C C T T C = η = η ω sin( ω t γ ) η = = ω sin( ω t γ ) C C C T T C η C C C T T C Za amplitude i fezne pmeraje dbija se nakn trignmetrijskg računa... η = η + z ϕ η z ϕ cs( γϕ γη ) C G C G C C = G + xcϕ + G xcϕsin( γϕ γ ) γ C γ η C η sin sin G γ η zcϕ γ ϕ = arctg ηg csγ z cs η Cϕ γ ϕ G sinγ cs xcϕ γ ϕ = arctg G csγ x sin Cϕ γ + ϕ PREDAVANJA 009. 111

4.4. Plvidba brda ka talasima Spregnute jednačine pniranja i psrtanja na regularnim talasima glase ( D+ m ) + n + ρga m ψ ( n v m ) ψ ( ρga x v n ) ψ = G G VL G ψ ψ VL C ( ωpt δ ) = A sin +, v ( J ) ( ) y + mψ ψ + nψψ + ρgi y vm + ψ mψg nψ + vm G ω p ( ψ ) ρga x = A sin ω t + δ. VL C G ψ p jednačine Salvensena, Taka i Faltensena, STF (Salvesen, Tuck & Faltinsen, 1970) Približne, nezavisne jednačine su ( D + m ) + n + ρga = ρga Q sinω t G G VL G T p ( J + m ) ψ + n ψ + ρgi ψ = ρgα Q csω t y ψ ψ y ψ p Odnsn PREDAVANJA 009. 11

G + μ G + ω G = ATωa sinωpt μω ΨΛ γ = arctg = arctg ψ + μψψ + ωψψ = αω ψaψ csωpt ω ωp 1 Λ μψωψ ΨψΛ Rešenja jednačina glase ψ γψ = arctg = arctg () sin( ) ω ω 1 Λ G t = G ω pt γ ψ p ψ Rezultati deluju vema sličn rezultatima ψ() t = ψ cs( ω pt γψ ) valjanja... G ω a P = = = Pstje, međutim, dve (naizgled) male razlike... A T ( ω ωp) + 4μω Faktri premećaja definisani su prek prividne p frekvencije, dnsn prividng perida talasa... a = T 1 Λ 4 ψ, ω p ωt + vk T + ΨΛ Λψ, = = = = T ω ω ( ) ω a ψ ψ ψ ψ = = = α ωψ ωp + 4μψω p P = ( ) a ( Λ ) ψ ψ ΨψΛψ 1 + 4 p ψ, ψ, ω vk T = + = + ω ω λ T T ( ) ψ, Λψ, v ψ, ψ, T Tak da rezultati direktn zavise d brzine napredvanja brda v... Bezdimenzine amplitude sile (mmenta) a, a ψ zavise d parametra L/λ T... PREDAVANJA 009. 113

Ove male razlike bitn kmplikuju prblem... Analiziraćem prv funkcije P P ψ f =, fψ = a aψ kje nemaju veći fizički č ili tehnički č značaj, ali (frmaln) imaju isti blik ka prensne funkcije kje sm pručili u prethdnm deljku... Jedina razlika je u prividnj frekvenciji, dnsn faktru premećaja... Spstvene frekvencije pniranja i psrtanja imaju bliske vrednsti... Pdsetim se, spstveni peridi su δt1 ( + κ ) T = π α g π j y δ T1 ( + κ ψ ) Tψ = = π ω i α g ψ y i ne razlikuju za više d 10%, tak da (grub) važe relacije ω ω, Λ Λ ψ ψ Brd je u istj blasti ljuljanja (ptkritičnj, kritičnj, natkritičnj) i za pniranje, i za psrtanje... Uklik je u reznanciji... PREDAVANJA 009. 114

Pri tme, spstveni peridi ne sadrže neki pgdan parametar, kakav je npr. MG kd valjanja, prek kga bi prjektant mga efikasn da utiče na vu karakteristiku brda... Na spstvene peride pniranja i psrtanja, mže se uticati sam u pčetnim fazama prjektvanja... P pravilu, i prigušenja pniranja i psrtanja se bitnije ne razlikuju... Ali ba su znatn veća d prigušenja brda pri valjanju... Zbg tga su reznantni pikvi funkcija f, f η znatn niži d reznantng pika u slučaju valjanja brda... Analizirajm sada uticaj brzine plvidbe Apscisa dijagrama je prividna frekvencija talasa... Tačka na dijagramima predstavljaju brd na jednm talasu, ali sam pri jednj brzini plvidbe... Prmenm brzine, tačka (brd) menja svje mest na dgvarajućj krivj... Ka št se vidi iz izraza T ( ) v λt Λ = Λ + pvećanjem brzine, brd pmera udesn... PREDAVANJA 009. 115

Uticaj brzine je ptpun nv u dnsu na plvidbu na bčnim talasima, i daje značajnu mgućnst smanjenja ljuljanja brda... Ka št se kd valjanja reznancija mgla izbeći prmenm metacentarske visine (dnsn spstveng perida valjanja), kd plvidbe ka talasima reznancija se mže izbeći (ili izazvati) prmenm brzine plvidbe. Pi Primer, za blje razumevanje... Tri brda različite brzine, na istim regularnim talasima... λ T = 00 m, T T = 11,6 s T (s) Λ (ο) v (kn) Λ Oblast pniranja Brd A 6 0,5 0 0,5 ptkritična Brd B 6 0,5 15 0,75 I vema brzi brd ne dstiže netkritičnu blast plvidbe... Daleka natkritična blast, na talasima kji su duži d brda, je nedstižna... Spri brdvi se uglavnm nalaze u ptkritičnj blasti plvidbe, brzi u kritičnj, a tek vema brzi brdvi mgu (i t sam izuzetn) dseći i natkritičnu blast... Zat se spriji brdvi bičn blaže ljuljaju pri plvidbi ka talasima... ptkritična kritična Brd C 6 0,5 30 0.98 kritična Smenjenje brzine plvidbe deluje pvljn na pniranje i psrtanje brda... Videćem da smanjenje brzine plvidbe, uz udaljavanje d reznancije, ima i ddatne blagtvrne efekate... PREDAVANJA 009. 116

Brdvi s dužim spstvenim peridima pniranja i psrtanja upadaće u reznanciju pri manjim brzinama plvidbe... Odnsn, da bi se brd zadrža u ptkritičnj blasti i pri većim brzinama, ptrebn je da mu spstveni peridi pniranja i psrtanja budu št kraći... T ( ) Λ = Λ + v Zaključak je suprtan valjanju brda... Znači, iak su rešenja za valjanje brda frmaln slična rešenjima za pniranje i psrtanje, važe (makar št se spstvenih perida tiče) ptpun suprtni zaključci... Za valjanje su pvljniji duži, a za pniranje i psrtanje brda kraći spstveni peridi ljuljanja... Uz vu bitnu razliku, ddaćem jš jednu vezanu za daleku natkritičnu blast ljuljanja... λ T Zamislim da brd juri grmnm brzinm ka talasima, i tak uspe da dstigne daleku natkritičnu blast pniranja i psrtanja... Pniranje i psrtanje brda u tm slučaju bi bil zanemarljiv mal... ali klik bi t bil pvljn? Brd ne bi pnira ni psrta i, umest da se ljulja, rni bi krz talase... uz neprekidn i neprihvatljiv zalivanje palube i stalne udare talasa p nadgrađu... Prethdna analiza dnsila se na ubičajene brdve... Pstje i specijalni brdvi, prjektvani da plve baš u dalekj natkritičnj blasti pniranja i psrtanja... T su tzv. SWATH (Small Waterplane Area Twin Hull) brdvi... π T = = π ω V ( ) 1+ κ ga VL PREDAVANJA 009. 117

PREDAVANJA 009. 118

Analizirali sm funkcije f ( ω ), f ( ω ) i pručili važan uticaj brzine plvidbe v... p ψ p Sada se vraćam na prensne funkcije pniranja i psrtanja L P = f ( p ) a, ω λt L P = f ( p ) a ψ ψ ω ψ λt i analiziram (nebičan) uticaj parametra L/λ T Mnženjem funkcija f ( ω ), f ( ω ) funkcijama a ( L/ λ ), a ( L/ λ ) funkcija f (dnsn f ψ ) raspada se na familiju prensnih funkcija, d kjih svaka dgvara jednj brzini plvidbe... T p ψ ψ p T Svaka kriva dgvara jd jednm brdu na talasima svih prividnih frekvencija, pri jednj, knstantnj brzini plvidbe... Naime, izraz ω = ω + vk = gk + v k p T T T T mguće je rešiti p k T i iskristiti π λ T = k T PREDAVANJA 009. 119

Dbija se, nakn sređivanja λ T = 4π v g + ω v g( g+ 4ω v ) p p dnsn T ωt za v 0 π g λ = za v = 0 Sledi da različitim brzinama v, pri istj prividnj frekvenciji ω p, dgvaraju različiti dnsi L/λ T, dnsn različite vrednsti premećajne sile a i premećajng mmenta a ψ. Svakj brzini v dgvaraće, prema tme, p jedna prensna funkcija (dnsn ) P ψ P Pri vema malim prividnim frekvencijama, za sve prensne funkcije važi P, P 1 ψ za ω p 0 T je psledica činjenice da male vrednsti prividne id frekvencije dgvaraju vema dugim talasima... Tak da, uz fψ, ( 0) = 1 Važi i L/ λt 1 PREDAVANJA 009. 10

Odnsn, s bzirm na a 1 ψ, Pri vema viskim prividnim frekvencijama talasa, za sve prensne funkcije važi P, P 0 za ω p ψ p Ov je psledica činjenice da viska prividna frekvencija dgvara vema kratkim talasima... ω, λ 0, L/ / λ p T T pa je f, ( ψ ) 0 aψ, 0 Između vih krajnjih vrednsti, prensne funkcije se bitn razlikuju... Pri tme, na karakter funkcija presudn utiče dns dužine brda i dužine ng talasa na kme dlazi d reznancije... 4π v λt = g+ ω v g( g+ 4ω v ) p p PREDAVANJA 009. 11

Dužinu talasa na kme dlazi d reznancije dređuje se iz izraza λ T = f ( ω p ) kada se u njemu smeni (dnsn ω = ω ) Važi λ rez Uklik je p ψ ω p = ω 4π v = g + ω v g( g+ 4ω v ) L 1 / λrez dnsn uklik d reznancije dlazi na dugim talasima važi a ( L/ λrez ), aψ( L/ λrez ) 1 a reznantni pik će ima klasičnu vrednst ( P ),( P ) ( f ) = rez ψ rez, ψ rez Uklik je L 1 / λrez 1 Ψ ψ, dnsn uklik d reznancije dlazi na kratkim talasima važi a ( L/ λ ), a ( L/ λ ) 0 rez a vrednst prensne funkcije u reznanciji je zanemarljiv mala ( P ),( P ) 0 ψ rez rez ψ rez Između vih (nerealnih) krajnsti, nalazi se familija prensnih funkcija kje dgvaraju različitim brzinama plvidbe, dnsni različitm dnsu L/λ rez... Pri tme, većj v uvek dgvara duži reznantni talas, dnsn izraženiji reznantni pik... PREDAVANJA 009. 1

Učava se da neke d prensnih funkcija, prvenstven ne kje dgvaraju manjim brzinama, upšte nemaju reznantni pik. Na snvu ve činjenice, reznanciju mžem pdeliti na pasnu i bezpasnu... Pri bezpasnj reznanciji spstvena i prinudna frekvencija jesu jednake, ali vu pjavu ne prati karakterističan reznantni pik, dnsn izrazit pvećanje amplitude ljuljanja... Oštru granicu između pasne i bezpasne reznancije je tešk pvući, jer je (dnekle) stvar dgvra šta smatram za izraženi reznantni pik... Ubičajen je da se ka granica usvaja L λ 1 / rez Ak su talasi na kjima dlazi d reznancije duži d brda, reznancija je pasna. Ak su talasi kraći d brda, reznancija je bezpasna. Već je rečen da se reznancija mže izbeći smanjenjem brzine plvidbe, dnsn da je (s tg aspekta) pvljnija sprija plvidba brda ka talasima... Sada zaključujem da smanjenje brzine ima i ddatni pvljan efekat: uklik brd upadne u reznanciji, j, manjim brzinama dgvaraju kraći reznantni talasi, dnsn bezpasnija reznancija... Smanjenjem brzine brd se, na dijagramima prensnih funkcija pmera ulev, ali i preskaće na nižu krivu... PREDAVANJA 009. 13

Dužina reznantng talasa λ rez 4π v = g + ω v g( g+ 4ω v ) sim d brzine plvidbe, zavisi i d spstvene frekvencije pniranja, dnsn psrtanja brda... Višim spstvenim frekvencijama, dnsn kraćim spstvenm peridima, dgvaraju kraći reznantni italasi... Već sm videli da su kraći spstveni peridi pvljni za izbegavanje reznancije... Sada zaključujem da kraći peridi, sličn ka i manja brzina plvidbe, imaju i ddatni pvljan efekat pri kraćim spstvenim peridima reznancija će biti bezpasnija... Da li brd, plveći ka talasima, upada u pasnu ili u bezpasnu reznanciju pniranja i psrtanja, predstavlja jedn d njegvih ključnih svjstava... Zat ćem prethdnu analizu dpuniti jednim preglednim dijagramm za prveru ve važne sbine brda... tzv. dijagramm tipa reznancije. Plazim d izraza Λ T ( ) = Λ + v λt ( ) v λ = ( Λ Λ ) T T Dbija se, nakn sređivanja F R Λ 1 = L L T π λ T λ T v FR = T gl = T g L PREDAVANJA 009. 14

Dbijena je zavisnst Frudvg brja d tri bezdimenzina parametra L FR = f Λ,, T λ T Dva, d va tri parametra, dnse se na reznanciju: parametar Λ dređuje da li pstji ili ne pstji reznancija, a parametar L/λ T dređuje da li je reznancija pasna ili bezpasna... Pretpstavljam da je brd u reznanciji Λ = 1 λt = λrez i za taj slučaj funkciju prikazujem u krdinatnm sistemu T F R U šumi linija učavam krivu za dns L/λ rez = 1 kja (p ranijem dgvru) deli blast pasne d bezpasne reznancije... F R Λ = L T λ T Za sve krive ispd ve granične linije, parametar L/λ rez je veći d jedan, reznancija je bezpasna... Za sva krive iznad ve granice, parametar L/λ rez je manji d jedan reznancija je pasna. Granična linija F R 1 1 = T π 1 L π λ deli blast pasne d bezpasne reznancije... T PREDAVANJA 009. 15

T je dijagram tipa reznancije Dijagram jg tipa reznancije je univerzalan, u smislu da se (za razliku d dijagrama prensnih funkcija) dnsi na sve brdve... Brd, pri jednj brzini plvidbe predstavlja tačku u vm dijagramu... Da li je u pasnm ili u bezpasnm pdručju zavisi isključiv d njegvg spstveng bezdimenzing perida pniranja (dnsn psrtanja) i d Frudvg brja... Pri tme, jedini prračun za dređivanje pzicije brda u dijagramu predstavlja prračun spstveng perida... Dijagram ne daje kvantitativne pdatake tme klika su ljuljanja brda... ali zat vema pregledn kvalitativn prikazuje kmpleksan uticaj brzine plvidbe i spstveng perida na reznanciju brda... Št je brd dalje d granične linije, bliže krdinatnm pčetku, reznancija je bezpasnija... Granična linija seće apcisu u tački T = π, 5 tak da se brdvi sa većim spstvenim peridm nalaze u pdručju pasne reznancije, i kada ne napreduji... a brdvi sa spstvenim peridm manjim d,5 mgu, pvećanjem brzine, dspeti d blasti pasne reznancije... PREDAVANJA 009. 16

Pri tme je brd sa manjim spstvenim peridm pniranja uvek u pvljnijem plžaju... i graničnu liniju dstiže pri većim brzinama... Primer, tri brda različitih brzina: L = 100 m T (s) v (kn) F R λ rez L/λ rez Reznancija Brd A 6 0 0 56, 1,779 Bezpasna Brd B 6 15 0,46 13,6 0,754 Opasna Brd C 6 30 0,49 198,1 0,504 Opasna PREDAVANJA 009. 17

Pmeranja, brzine i ubrzanja tačaka brda Diferenciranjem brzina slede kmpnente ubrzanja ac = C G x Cψ a = ξ z ψ Cξ C C v = v + v G C G C v = r ψ G C C xc z csα C = sinα C = r r Prjektvanjem na se, sledi vc G rcψ csαc = G x Cψ vc rcψ sinαc = z ξ Cψ C C C a integracijm brzina, kmpnente pmeranja C = zc + G xcψ C ξc = xc + z Cψ ξ Pri tme važi C ξ Zakni pniranja i psrtanja brda su G() t = G sin( ω ), pt γ ψ() t = ψ cs( ω t γ ), p C ψ C PREDAVANJA 009. 18

Pa je i vertikaln kretanja (pniranje) prizvljne tačke C harmnijska funkcija... = z + sin( ω t γ ) C C C p C gde se za amplitudu i fazni pmeraj dbija γ C arctg + x ψ C G C G sinγ cs + xcψ γ csγ x ψ sinγ G C a dgvarajuće prensne funkcije = = + C ψ A T P P x C CkTP C C P = = ωpp, P ω C C pp = = C A A T Na snvun pznatih prensnih funkcija pniranja i psrtanja brda, mguće je... T C Vertikalna brzina i ubrzanje su = ω cs( ω t γ ) C p C p C = ω sin( ω t γ ) C p C p C Primer... PREDAVANJA 009. 19

Za analizu uslva pd kjim talasi zalivaju palubu, ili uslva pd kjim pjedine tačke brda izranjaju (izleću) iz vde... nephdn je drediti vertikalnu krdinatu prizvljne tačke brda u dnsu na slbdnu pvršinu vde, rel... Važi = () t () t Crel C T pri čemu je () t + A sin( ω t+ k x ) T VL T p T C PREDAVANJA 009. 130

Dbija se rel = ( z ) + h C C VL C + C sin( ω t γ ) A sin( ω t+ k x ) p C T p T C ( = h + ) sin( ω t δ ) Crel C Crel p C v = t = ω ω t δ ( ) rel C () cs( ) rel Crel p p C C rel Primer prensne funkcije relativng pmeranja prizvljne tačke brda u dnsu na slbdnu pvršinu... = + A A cs( k x + γ ) ( ) C C T C T T C C rel P 1 P P cs( k x ) ( ) Crel C = = + rel C A T C T C +γ C ω P 1 P P cs( k x ) ( ) Crel p v = = ω rel p + C AT C T C + γ C PREDAVANJA 009. 131

4.5. Plvidba na ksim talasima Prividna frekvencija talasa zavisi d μ Sasvim ukratk... ω =± ( ω vkcs μ ) p tak da sve prensne funkcije zavise i d kursa brda... Primer, 3D prensne funkcije... u zavisnsti d frekvencije ω T 0 μ 30 30 μ 60 60 μ 10 10 μ 150 150 μ 180 Plvidba niz talase, talasi s krme (fllwing sea) Talasi s krme bčn (quartering sea) Plvidba na bčnim talasima, talasi s bka (beam sea) Talasi s pramca bčn (bw sea) Fregata, L = 110 m, v = 5 kn Plvidba ka talasima, talasi s pramca (head sea) ωt = cnst λt = cnst PREDAVANJA 009. 13

4.6. Spregnute jednačine ljuljanja brda Opet, sasvim ukratk... Brd ima 6 stepeni slbde, tak da pstje 6 jednačina ljuljanja... I u najpštijem slučaju kretanja, nisu sve jednačine spregnute... Sistem d 6 jednačina se raspada na dva sistema d p 3 spregnute jednačine... t su diferencijalne jednačine simetričnih kretanja (zaletanja, pniranja i psrtanja) i diferencijalne jednačine nesimetričnih kretanja (zanšenja, valjanja i zakretanja)... Jednačine, sem mešvitih članva, sadrže i uticaj difrakcije talasa... PREDAVANJA 009. 133

( D+ A ) ξ + B ξ + A + B + A ψ + B ψ = ξξ G ξξ G ξ G ξ G ξψ ξψ c s = F csω t+ F sinω t A ξ + B ξ + ( D+ A ) + B + C + A ψ + B ψ + C ψ = ξ G ξ G G G G ψ ψ ψ ξ p c s = F csω t+ F sinω t A ξ + B ξ + A + B + C + ( J + A ) ψ + B ψ + C ψ = ψξ G ψξ G ψ G ψ G ψ G y ψψ ψψ ψψ p c s = M csω t+ M sinω t ψ p ξ ψ p p p c s ( D+ A ) η + B η + A ϕ+ B ϕ+ A θ + B θ = F csω t+ F sinω t ηη G ηη G ηϕ ηϕ ηθ ηθ η p η p A η + B η + ( J + A ) ϕ + B ϕ + C ϕ + ( J + A ) θ + B θ = ϕη G ϕη G x ϕϕ ϕϕ ϕϕ xz ϕθ ϕθ c s = M csω t+ M sinω t A η + B η + ( J + A ) ϕ + B ϕ + ( J + A ) θ + B θ = θη G θη G zx θϕ θϕ z θθ θθ ϕ p c s = M csω t+ M sinω t θ p θ ϕ p p... PREDAVANJA 009. 134

4.7. Ddatni prblemi valjanja brda 4.7.1. Prigušenje pri valjanju Nezavisna a jednačina avaja valjanja jabda brda na bčnim regularnim talasima glasi ( J x + m ) ϕ ϕ+ M r( ϕ) + gd MG ϕ = gd MG α csωtt pt M ( ϕ ) = M + M vis r r r vis lam ( n) = M = n ϕ+ n ϕ ϕ +... pt pt Mr n ϕ ϕ r ϕ ϕ prigušenje nije linearn... J m n n n gd MG gd MG t pt lam ( n) ( x + ϕ) ϕ+ ( ϕ + ϕ ) ϕ+ ϕ ϕ ϕ + ϕ = αcsωt Svdim na J m n gd MG gd MG t ( e) ( x + ϕ) ϕ+ ϕ ϕ+ ϕ = αcsωt I dređujem ekvivalentn linearn prigušenje ( e) n ϕ =?? PREDAVANJA 009. 135

Određivanje nelinearng prigušenja pri valjanju je vema kmplikvan, i jš uvek nije rešen s dvljnm tačnšću... Čist terijskim putem za sada nemguće... Semi empirijske frmule, uglavnm nedvljn tačne i nepuzdane... Prblem je čak i eksperimentaln dređivanje (razmera)... T je, najvervatnije, najslabija karika u prračunima pnašanja na talasima... Rečen je već da prigušenje zavisi i d frekvencije valjanja... Najvažnije je, međutim, prigušenje pri reznanciji... Tipičn... tak da nije nephdn dređivati prigušenje za sve frekvencije... Eksperimenti: slbdn, prigušen valjanje... ili prinudn reznantn valjanje... PREDAVANJA 009. 136

4.7.. Nelinearn valjanje Diferencijalna jednačina nezavisng nelinearng valjanja brda na bčnim talasima glasi ( J + m ) ϕ ϕ + M ( ϕ) + M ( ϕ) = M ( ω t) x r st T T pri čemu sva tri mmenta M r, Mst, MT mgu biti nelinearna... Pd nelinearnim valjanjem, međutim, pručavam sam uticaj mmenta stabiliteta... D sada sm kristili aprksimaciju M st gd MG ϕ Sada, stvarnu vrednst Mst = gd h( ϕ) Diferencijalna jednačina valjanja se tada svdi na ϕ+ μ ϕ+ ω h ( ϕ) = ωα cs( ωt+ ε ) gde je ϕ ϕ st ϕ T T hst ( ) h ϕ st ( ϕ ) = MG Ptrebn je bezdimenzini krak stabiliteta prikazati (npr) u frmi plinma 3 5 7 h = ϕ+ c ϕ + c ϕ + c ϕ +... st 3 5 7 i numerički rešiti diferencijalnu jednačinu... PREDAVANJA 009. 137

Dbija se Rešenja nelinearne jednačine, za razliku d linearne, ne predstavljaju harmnijske funkcije... ali i na su peridične funkcije vremena čija amplituda, nakn pčetng prelazng perida, pstaje tj (makar prividn) iid )knstantna... t Iak se i blik, i perid razlikuje se d dgvarajućeg linearng rešenja, najvažnija razlika javlja se u amplitudama valjanja... Prema linearnj teriji, brd se ne mže prevrnuti na bčnim talasima... Prensne funkcije nelinearng valjanja imaju krivu kičmu, dnsn tipičn izgledaju... PREDAVANJA 009. 138

Prblem je kmplikvan... Mgu pstjati npr. višeznača rešenja u reznantnj blasti.. T je blast histerezisa, dlazi d je b ast ste e sa, d a d bifrukacije... PREDAVANJA 009. 139

4.7.3. Parametarsk valjanje Brd kji plvi ka talasima (ili niz talase) vršiće, d svih šest kmpnenti ljuljanja, sam pniranje i psrtanje... Tk Tak makar predviđa terija kju sm d sada izlžili... Jednačina valjanja brda u takvim uslvima glasi ( x ϕ) J + m ϕ + n ϕ + gd MG ϕ = 0 ϕ i identična jednačini valjanja brda na mirnj vdi... Svaki eventualni premećaj kji bi dve d naginjanja brda scilatrn bi pada i, psle izvesng vremena, nesta... Praksa, međutim, pkazuje i drugačije pnašanje brda: pri dređenim brzinama plvidbe ka, i niz talase, mže se javiti i valjanje brda... T je tzv. parametarsk valjanje... U slučaju da je prividna frekvencija talasa dvstruk veća d spstvene frekvencije valjanja brda... i da je dužina talasa približn jednaka dužini brda... v valjanje mže prasti d vema pasnih amplituda... T je slučaj tzv. parametarske reznancije. Iak se parametarsk valjanje brda pručavl decenijama... u širim brdgrađevnim krugvima smatral se da je reč interesantnm terijskm fenmenu, kji se mže reprdkvati u strg kntrlisanim eksperimentima, ali kji ne predstavlja pasnst za realne brdve u realnim lujama... Pjavm velikih kntejnerskih brdva krajem dvadesetg veka, stvari su se nečekivan i bitn prmenile... PREDAVANJA 009. 140

Prjektanti kntejnerskih brdva su, težeći da pvećaju palubu za smeštaj kntejnera, brdskim rebrima davali sve veći pprečni nagib (fler), i t psebn u krmenm delu brda... Dbijene frme su delvale pvljn s aspekta pnašanja na talasima: izrazita V rebra i puna vdna linija su, u principu, pgdni za pniranja i psrtanja brda... Dugi spstveni peridi valjanja, kji su psledica male MG, pgdni su za valjanje brda... Prjektanti tisu, međutim, đ prevideli sklnst vakvih frmi ka parametarskm valjanju... Rezultati su bili zastrašujući... Ogrmni kntejnerski brdvi su se divlje valjaju pri plvibi ka lujnim talasima... i t psebn u situacijama kada bi zapvednik, u želji da smanji pniranje i psrtanje, smanjiva brzinu brda... U takvim uslvima su se veze kntejnera kidale, a brdvi su stizali u luke sa razbacanim, štećenim i pgubljenim teretm... Parametarsk valjanje j je, d spredng fenmena, pstal jedna d najaktuelnijih blasti dinamike brda na pčetku 1. veka... A epizda sa velikim kntejnerskim brdvima na prelazu vekva staće ka pmena d čega mže dvesti uvđenje nvih frmi... bez svebuhvatng sagledavanja svih, pa i sasvim nečekivanih aspekata i pasnsti. PREDAVANJA 009. 141

Objašnjenje... Pri izvđenju jednačine valjanja pretpstavljen je da je metacentarska visina brda knstantna... Međutim, uklikbrd plviupravnna na talase, blik urnjeng dela trupa, a time i blik vdne linije, se kntinualn menja... Ova prmena je prvenstven psledica talasa, čiji bregvi i dlje mimilaze brd, ali (dnekle) i pniranja i psrtanja samg brda izazvang talasima... Najveće razlike u bliku vdne linije javljaju se pri talasnj dužini jednakj dužini brda... i t između slučajeva kada je brd na bregu i kada je brd na dlji talasa... Psebn su ugrženi brdvi s izraženm prmenm blika vdne linije s gazm... dnsn brdvi s velikim pprečnim nagibm rebara na svm pramčanm i krmenm delu... Važi dnsn MG = FK + MF GK MF MG = M ( ) G + fmg ω pt cnst I = V Pretpstavljam, približn 1 f MG MG cs pt Δ ω x PREDAVANJA 009. 14

Sledi 1 J x + m ϕ + n ϕ + gd MG+ ΔMG ωpt ϕ = 0 ( ) ϕ ϕ cs dnsn ( ) ϕ+ μ ϕ+ ω + ε ω ϕ = ϕ ϕ 1 cs p t 0 gde je ΔMG ε = M G I pred tga št se d diferencijalne jednačine valjanja brda na mirnj vdi razlikuje sam za jedan harmnijski član... dbijena diferencijalna jednačina je neuprediv kmplikvanija... Svdi se, pgdnm transfrmacijm, na tzv. diferencijalnu ijl jednačinu jd Matjea (Mathieu)... a njena rešenja se mgu prikazati sam u frmi specijalnih funkcija, pznatih ka funkcije Matjea... Jednačinu mžem prikazati u bliku ϕ + μ ϕ + ω ϕ = ε ω ϕ cs ω t ϕ ϕ ϕ kji liči na jednačinu prinudng valjanja... pri čemu je sada pbudni član na desnj strani jednačine psledica prmenljivg parametra u samj jednačini... Odatle se vakv valjanje j i naziva parametarsk. U jednačini se javljaju dve frekvencije, pa treba čekivati reznanciju... Prblem je, međutim, znatn slženiji... Rešenje jednačine valjanja na mirnj vdi, ekspnencijaln pada s vremenm... Rešenje jednačine valjanja na talasima teži harmnijskj funkciji... Jednačina parametarskg valjanja ima i drugačije rešenje... p PREDAVANJA 009. 143

Rešenje mže biti stabiln, i nestabiln... št zavisi d parametara μ Ψ ϕ = ω ω p Λϕ = ω ϕ ϕ ϕ ΔMG ε = M G Pstji besknačn mng parametarskih reznancija u klini kjih je rešenje nestabiln... Λ ϕ =, n = 1,, 3, 4... n Slede iz tzv. Ins-Stratvg (Ince-Strutt) dijagrama (važi za Ψ φ = 0) Glavna parametarska reznancija je Λ ϕ = PREDAVANJA 009. 144

Da bi se reznancija javila, ptrebn je da Ψ φ bude dvljn mal i da ε bude dvljn velik... Dijagram a sa prigušenjem Važi, približn ( ϕ) (. ϕ) + ( ϕ ϕ) εmin Λ a 1 05Λ Ψ Λ a = 1, 5 za Λ <, a = 1za Λ ϕ ϕ Parametar ε je najveći... uklik je λ T = L Uslvi glavne parametarske reznancije su, prema tme Parametar ε mra biti veći d praga parametarske reznancije... ΔMG ε = > ε M G min Λ, λ L, ε > ε ϕ T min Prva dva uslva mgu se prikazati u frmi dijagrama parametarske reznancije PREDAVANJA 009. 145

Za plvidbu ka talasima, plazi se d ω = ω + vk p T T v = i, za uslve glavne parametarske reznancije 1 FR = π T ϕ 1 FR = + π T ϕ za slučaj za slučaj v v < c > c T T Λϕ =, L/ λt = 1 nakn sređivanja dbija... F R 1 = T π ϕ Na isti način, za plvidbu niz tl talase, sledi ldi Prema linearnj teriji, brd se u slučaju parametarske reznancije prevrće... Realn, ljuljanje pstaje nelinearn,a amplituda ne raste d besknačnsti... PREDAVANJA 009. 146

5. LJULJANJE NA NEREGULARNIM TALASIMA Valjanje, pniranje i psrtanje brda na regularnim talasima pisuju diferencijalne jednačine blika AZ Z + μ Z Z + ω ZZ + = pt Z D m ω + δ... sin ( ) Član na desnj strani jednačine predstavlja premećajnu silu (ili mment) kjm talasi deluju na brd... Neregularni talasi predstavljaju zbir besknačn mng regularnih talasa različitih frekvencija, d kjih svaki stvara dgvarajuću silu i mment... Diferencijalna jednačina ljuljanja brda na neregularnim talasima, prema tme, glasi 1 Z + μ Z + ω Z + = A i t D m ω + δ Z... sin ( ) Z Z Zn n Zn Z n= 1 gde ω n predstavlja n-tu kmpnentu prividne frekvencije talasa Rešenje jednačine se sastji iz zbira pšteg rešenja hmgeng dela... i jedng d njenih partikularnih integrala... Partikularni integral jednačine ima blik n 1 = Z () t = Z sin( ω t γ ) n n Zn S bzirm da hmgeni de rešenja diferencijalne jednačine ekspnencijaln pada i isčezava... v rešenje, psle izvesng vremena, predstavlja ukupn ljuljanje brda na neregularnim talasima... PREDAVANJA 009. 147

Zaključujem: Ka psledica činjenice da neregularni talasi predstavljaju zbir besknačn mng regularnih, sinusnih talasa različitih frekvencija... i ljuljanje brda na neregularnim talasima predstavlja besknačan zbir ljuljanja na vakvim regularnim kmpnentama. T je princip superpzicije... kji mgućava da se relativn jednstavn dđe d kretanja brda u realnim uslvima, uklik su pznata rešenja na regularnim talasima... Ključni uslv principa superpzicije je linearnst jednačina kje pisuju kretanje. Uklik ve jednačine nisu linearne, vakav princip ne važi... a dređivanje ljuljanja na neregularnim talasima pstaje dalek slženije. Sledi da je, za dređivanja zakna ljuljanja brda na neregularnim talasima, ptrebn je rešiti ljuljanje na valikm brju regularnih kmpnenti... i zatim sabrati tak dbijena rešenja. Za vakav pstupak je nephdn pznavati blik neregularnih talasa, dnsn znati amplitude regularnih kmpnenti A n, kje dgvaraju svakj (n-tj) prividnj frekvenciji talasa ω n. Ιak brdgraditelj ne zna ve amplitude u uslvima realnih luja... n pseduje tzv. standardne spektre neregularnih talasa iz kjih mže reknstruisati pvršinu uzburkang mra... Pkazaćem, međutim, da se ljuljanje brda na neregularnim talasima mže rešiti i jednstavnije, bez dređivanja pjedinačnih amplituda talasa... direktn iz pznatg spektara talasa, primenm tzv. spektara ljuljanja brda. PREDAVANJA 009. 148

5.1. Spektri i statističke vrednsti ljuljanja brda Iz izraza za prensnu funkciju ljuljanja mguće je dbiti Z PZ( ωn) = A n ( ω ) n ( ω ) Z( ωn) An( ωn) PZ ( ωn) PZ ( ωn) ST( ωn) Δω = Δω = p pri čemu je iskrišćen p 1 ST ( ωn ) = n A n n ( ω ) Δω Definisaćem, analgn spektru talasa, spektar ljuljanja brda (spektar valjanja, pniranja, psrtanja...) 1 Z ( ) ω S ( ) = n B ωn Δω Sledi frmula S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) B n Z n T n p p Uklik Δω dω p diskretne vrednsti S ( ω ), P ( ω ), S ( ω ) T n Z n B n pstaju kntinualne funkcije prividne frekvencije ω p S ( ω ), P ( ω ), S ( ω ) tak da važi T p Z p B p S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) B p Z p T p T je ključna relacija prračuna ljuljanja brda na neregularnim talasima... Omgućava da se, iz zadatg spektra neregularnih talasa i pznate prensne funkcije ljuljanja brda, dredi spektar ljuljanja brda na neregularnim talasima. p PREDAVANJA 009. 149

Uklik, kd rtacinih kretanja, kristim prensnu funkciju Z( n) Z( n) PZ( n) P ω ω ω Z( ωn) = = = α ( ω ) k ( ω ) A ( ω ) k ( ω ) n n n n n n n n sledi alternativna frmula SB ( ωp) = P Z ( ωp) k ST( ωp) = P Z ( ωp) S α ( ωp) gde je Sα ( ω p ) tzv. spektar nagiba talasa... Uklik se vrednsti spektra ljuljanja nanesu nad gdvarajuće frekvencije ω n sa krakm Δω p... dbiće se stepenasta linija... Pvršina pd svakim d vak dbijenih ih stepenika iznsi 1 SB ( ωn) Δωp = Z( ωn) a ukupna pvršina ispd stepenaste linije je S B n p n n= 1 n= 1 1 ( ω ) Δω = Z ( ω ) Dkazan je ranije da za neregularne talase važi relacija ( T) 1 σ = An( ωn) n= 1 T je tzv. Persevalva terema... kja važi i za ljuljanja brda PREDAVANJA 009. 150

Važi, prema tme 1 n = 1 Z ( ω ) = σ ( B) n sledi n = 1 S ( ω ) Δω = σ ( B) B n Ak, dalje dbija se 0 Δω dω S p ( B) B p p p ( ω ) dω = σ Zaključim, uklik se dredi spektar ljuljanja brda... njegvm integracijm p prividnim frekvencijama, sledi srednje kvadratn dstupanje ljuljanja... Odatle slede i stale statističke veličine ljuljanja brda Pvršina ispd funkcije spektra ljuljanja brda jednaka je srednjem kvadratnm dstupanju ljuljanja brda d njegvg ravntežng plžaja RMS Z B = σ ( B) = 15, RMSB 1/ 3 B Z RMS... PREDAVANJA 009. 151

Šematski S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) v p v p T p S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) a p a p T p gde su P, P v a prensne funkcije brzine, dnsn ubrzanja pri ljuljanju brda... Analgn spektru ljuljanja, mgu se definisati spektri brzine i ubrzanja ljuljanja S ( ω ) = v n 1 vz ( ωn ) Δω p 1 az ( ωn ) Sa( ωn) = Δω p Pstupkm prikazanim za spektar ljuljanja, mguće je dkazati da važe frmule ( 0 Pvršina ispd spektara brzine i ubrzanja su S ( ω ) dω = σ ( v ) v p p S duge strane, na snvu relacija 0 S ( ω ) dω = σ a) a p p P Pv = ω p P a = ω ppz Z sledi S ( ω ) = ω P ( ω ) S ( ω ) = ω S ( ω ) v p p Z p T p p B p 4 4 S ( ω ) = ω P ( ω ) S ( ω ) = ω S ( ω ) a p p Z p T p p B p PREDAVANJA 009. 15

tak da važe relacije ( B) Sv( ωp) dωp = ωpsb( ωp) dωp = σ 0 0 4 ( B ) Sa ( ωp ) dωp = ωp SB ( ωp ) dωp = σ4 0 0 Sledi σ = σ ( v) ( B) σ = σ ( a) ( B) 4 Ključna frmula prračuna ljuljanja brda na neregularnim talasima S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) B p Z p T p mže se se kristiti u jš dva važna tehnička prblema... Važi SB ( ω p ) PZ( ω p) = S ( ω ) dnsn daje prensnu funkciju u slučaju pznatg spektara ljuljanja i spektra talasa... T p Kji je t tehnički prblem? Pri eksperimentima u bezenima za mdelska ispitivanja ljuljanja brda... pmću specijalnih uređaja (tzv. generatra talasa) stvre neregularni talasi pznatg spektra, pstavi mdel brda i meri njegv ljuljanje... Spektralnm analizm izmerenih vrednsti ljuljanja... dređuje se spektar ljuljanja brda. Frmula tada daje prensnu funkciju ljuljanja brda... D prensne funkcije se tak dlazi sam jednim eksperimentm na neregularnim talasima... Alternativn, prensna funkcija ljuljanja bi se mgla drediti merenjem na regularnim talasima... ali bi tada bi nephdan veliki brj eksperimenata. PREDAVANJA 009. 153

Važi, takđe S S B T( ωp) = PZ ( ω ) p ( ω ) dnsn iz frmule se mže drediti spektar talasa u slučaju č pznatg spektra ljuljanja j i pznate prensne funkcije. Gde se javlja takav prblem? Već je spmenut da se talasi na svetskim mrima i keanima decenijama sistematski mere... Kak se mže meriti talas sa plvng bjekta (keangrafskg brda, bve) uklik se sam bjekat ljulja? Ne mere se talasi, već ljuljanje plvng bjekta... Spektralnm analizm ljuljanja sledi spektar ljuljanja... Tada, iz pznate prensne funkcije plvng bjekta... sledi i spektar neregularnih talasa. Frmula, prema tme, predstavlja ključ za keangrafska merenja spektara neregularnih talasa... p Na snvu prračunatih statističkih vrednsti ljuljanja, mguće je drediti i vervatnću da će amplituda ljuljanja biti veća d neke unapred zadate vrednsti... Na snvu činjenice da za amplitude ljuljanja približn važi Rejlijeva raspdela f( Z ) Z exp Z ( B) ( B) σ σ vervatnća da će amplituda ljuljanja Z biti veća d vrednsti Z d iznsi PREDAVANJA 009. 154

1 Z Zd > d = = ( B) ( B) = ( B) Z σ Z σ σ V( Z Z ) f( Z ) dz Z exp dz exp d d Na isti način, vervatnće da će amplitude brzine i ubrzanja pri ljuljanju biti veće d neke unapred zadate vrednsti, iznse 1 v vd d ( B) ( B) ( B) v σ v σ σ Vv ( > v) = fvdv ( ) = v exp dv= exp d d 1 a ad d ( B) ( B) ( B) a σ4 a σ4 σ4 V( a > a ) = f( a) da = a exp da = exp d d Umest vervatnće, mgu se drediti i srednje frekvencije pjavljivanja amplituda većih d Z d, v d, dnsn a d... p d, d, d Veza vervatnće V i dgvarajuće srednje frekvencije (u hercima) glasi V f ( Hz) = = T σ ( B) V ( B) p π σ Odnsn, srednji brj dgađaja na čas, iznsi f ( 1/ h) = 3600 f ( Hz) PREDAVANJA 009. 155

Primer ljuljanja na ksim neregularnim talasima... Kada se primeni pstupak... SB ( ωp) = PZ ( ωp) ST( ωp) ( B) SB ( ωp) dωp = σ 0... Test brd je fregata dužine 110 m, pri brzini d 5 kn PREDAVANJA 009. 156

PREDAVANJA 009. 157

5.. Psledice ljuljanja brda Više puta je naglašen da ljuljanje brda dvdi d niza pjava kje su nepvljne za sam brd, za teret, za psadu i putnike... Sada, kada sm pručili snvne principe prračuna ljuljanja brda... mžem se pzabaviti najvažnijim d vih negativnih psledica ljuljanja... 5..1. Zalivanje palube, izletanje prpelera, sleming Pjave razmatram zajedn zbg sličnsti metda kje se kriste pri njihvj analizi... Takđe, zat št su sve tri najpasnije pri plvidbi brda pramcem ka talasima... I dk su prve dve jasne već p svm nazivu... sleming je nephdn ddatn bjasniti... PREDAVANJA 009. 158

Pri analizi zalivanja palube, izletanja prpelera i pramčang dela brdskg dna, iskristićem izraz ( = h + ) sin( ω t δ ) Crel C Crel p C kji (za slučaj regularnih talasa) daje zavisnst relativng rastjanja prizvljne tačke brda d slbdne pvršine vde... Interesuju nas uslvi pd kjim će prizviljna tačka C, kja se u ravnteži nalazila na visinu h C nad nepremećenm slbdnm pvršinm, biti zalivena vdm... dnsn uslvi pd kjim će tačka C kja je bila na dubini h C, izrniti iz vde. D uranjanja, dnsn izletanja tačke C dći će uklik njena relativna krdinata u nekm trenutku prmeni znak... Ovaj uslv, na snvu činjenice da sinusna funkcija sciluje između vrednsti ±1, daje jednstavnu relaciju > ( ) C rel hc gde je, na snvu ranijeg izvđenja = + A A cs( k x + γ ) ( ) C C T C T T C C rel Ak vaj rezultat primenim na karakteristične tačke... Dbijam uslve zalivanje palube, izletanje prpelera, izletanje pramčang dela dna... > ( ) K rel hk > ( ) P rel hp > T ( ) D rel PREDAVANJA 009. 159

Uslv izranjanja pramčang dela dna jeste ptreban, ali ne i dvljan uslv sleminga... Da bi dšl d karakterističnih udara dna pvršinu vde, nephdn je (ddatn) da brzina dna u dnsu na pvršinu vde bude dvljn velika... Minimalna vertikalna brzina dna u dnsu na pvršinu vde pri kjj dlazi d sleminga, tzv. granična brzina, ili prag sleminga (v ps ) bičn se izražava prek dgvarajućeg Frudvg brja v ( ps) ps F = R gl Ovaj brj dređen je eksperimentaln (Ochi1964) i približn iznsi i Sledi F 0, 091 ( ps) R vps 0, 091 gl Vertikalna relativna brzina dna brda u dnsu na slbdnu pvršinu regularng talasa je v t t ( ) rel = C () = cs( ) rel C ω rel p ωp δc Uslv v rel > v prema tme daje ps ω > ( ) p D 0, 091 gl Slede uslvi sleminga na regularnim talasima > T ( ) D rel ω > rel rel ( ) p D 0, 091 gl Pređim sada na neregularne talase... PREDAVANJA 009. 160

Princip prračuna ljuljanja na neregularnim talasima prema kme se, iz pznatih prensnih funkcija ljuljanja i pznatg spektra talasa, dređuju se spektri ljuljanja... važi i za relativna kretanja relativn vertikaln pmeranje i relativnu vertikalnu brzinu prizvljne tačke brda u dnsu na slbdnu pvršinu vde... Važe frmule S ( ω ) = P ( ω ) S ( ω ) rel p C p T p ( v ) S ( ω ) = ω P ( ω ) S ( ω ) = ω S ( ω ) rel p p C p T p p rel p Sledi 0 S rel ( ω ) dω = σ ( rel) rel p p gde je rel P C rel = A ( ) C ( v) ( rel) Srel ( ωp ) dωp = ωpsrel ( ωp ) dωp = σ 0 0 rel T Na snvu ranije izvedenih frmula za vervatnću... V( Z ) exp Z d > Zd = ( B) σ v Vv ( > vd ) = exp σ Sledi i d ( B) h V( C > h) = exp rel σ ( rel) v Vv ( C > v) = exp rel σ ( rel ) št je mguće direktn primeniti na karakteristične tačke zalivanja palube, izletanja prpelera i sleminga... PREDAVANJA 009. 161

V ( ) K ( K > h ) exp rel K = ( rel) σ V( ) exp h h ( ) P P > h rel P = ( rel ) σ V ( ) ( D ) exp rel T > T = σ ( rel) ( ) ps ( D > v ) exp rel ps = ( rel) σ V v v T v ps T v ps V( slem) = exp exp exp ( rel ) ( rel) ( rel) ( rel ) σ = + σ σ σ ( rel) V ( rel) p π σ V f ( pjava / čas) = 3600 = 3600 T σ PREDAVANJA 009. 16

Primer, mali kntejnerski brd, L = 110 m, v = 1 kn Plvidba ka talasima Nije mguće napraviti brd kji se neće ljuljati na talasima, ka ni brd kd kga se neće javljati niz nepvljnih psledica ljuljanja... Međutim, prjektant brda jeste u mgućnsti da (dnekle) pdesi parametre brda tak da svi nepvljni efekti dstižu maksimaln dzvljene vrednsti (nrme) pri približn istj jačini luje... Sam takav brd će, s aspekta pmrstvensti, biti dbar brd... Na ksim talasima... Pun brd, dbr uravntežen... PREDAVANJA 009. 163

Uklik dđe d sleminga, vema je bitna jačina udara brdskg dna pvršinu vde... Pritisak na dnu brda zavisi d brzine udara, ali i d frme pramčanih rebara... Pritisak pri slemingu mže se izraziti prek amplitude relativne vertikalne brzine dna u dnsu na pvršinu vde ( ) ps = 1 ρcsv 1 rel = ρcsωpd rel Keficijent ij c s zavisi, iiprvenstven, d prečng nagiba rebara (tzv. flera) u klini pramca brda... U slučaju ravng dna, keficijent pritiska je najveći, i smanjuje se kak rebra pstaju štrija... Tak su tipična U-rebra, s aspekta pritiska pri slemingu, nepvljnija d V-rebara... Keficijent se dređuje eksperimentaln, ili (aprksimativn) terijskm frmulm 1 cs 1 ctg p π θ = + Važi za uglve veće d 0... Uklik se dredi ( rel) σ mže se drediti srednja, značajna... ali i (najvervatnija) maksimalna relativna brzina... PREDAVANJA 009. 164

v N ( = σ rel ) ln max N = 3600 f t Primer malg kntejnerskg brda h 1/3 = 5,5 m f V V = = T π σ σ ( rel) ( rel) t vreme trajanja luje (npr. časa) Najvervatniji maksimalni dinamički pritisak na dn brda pri slemingu, tkm t časva trajanja luje, je p = 1 cv ρ max s max PREDAVANJA 009. 165

5... Ddatni tpr i spntan smanjenje brzine na talasima Pri plvidbi p mirnj vdi, na brd deluju dve sile u pravcu kretanja: ptisak prpelera u smeru brzine, i tpr brda nasuprt brzini plvidbe... Uklik je brzina plvidbe knstantna, ve dve sile su jednakg intenziteta i nalaze se u dinamičkj ravnteži... Psmatraćem sada dgvarajuće sile pri plvidbi brda knstantnm brzinm v pramcem ka talasima... Pniranje i psrtanje brda na talasima su prigušena scilatrna kretanja, dnsn kretanja tkm kjih se gubi energija... Fizički, ički energija se trši na sistem talasa kje brd stvara svjim ljuljanjem... Psledica je manja brzina plvidbe, ili veći tpr brda pri neprmenjenj brzini... Da bi brzina plvdbe na talasima stala neprmenjena jednaka brzini na mirnj vdi, nephdn je da energiju kja se gubi tkm ljuljanja nadknadi brdski pgnski mtr. On mra, prek prpelera, stvarati veću silu ptiska, i njme savladati ddatni tpr brda na talasima... Preciznije, ak pretpstavim p da brd plvi knstantnm brzinm v pramcem ka talasima (pretpstavim da nema zaletanja) ukupni tpr brda će biti prmenljiv, R = R(t). Uklik su talasi regularni, va prmena tpra je scilatrna,,prividnm frekvencijm talasa ω p... a srednja vrednst tpra tkm jedng ciklusa ljuljanja (tkm perida T p ) iznsi PREDAVANJA 009. 166

1 R = T p 0 T p Rtdt () i veća je d tpra brda na mirnj vdi R Odredićem, ka prvi i nejteži krak, energiju kja se gubi pri pniranju i psrtanju brda... Izvđenje ćem, zbg jednstavnsti, sprvesti na upršćenm mdelu pniranja i psrtanja brda na mirnj vdi, bez napredvanja... Mže se pisati R = R +ΔR gde je ΔR srednji ddatni tpr brda na regularnim talasima. Izvešćem sada izraz za vaj ddatni tpr. Vertikalna hidrdinamička sila kja deluje na prizvljni element (traku) dužine dx tkm njeng pniranja i psrtanja na mirnj vdi diiznsii df = n dx m dx df pr PREDAVANJA 009. 167

df pr predstavlja elementarnu silu prigušenja... S bzirm da traka, pri pniranju i psrtanju brda, vrši približn vertikaln kretanje (pniranje)... rad sile prigušenja na elementarnm pmeranju trake je da = df d = n dx d = pr d dt = = dt d ndx d n dxdt Ovaj elementarni rad jednak je energiji kja se izgubi pri kretanju trake tkm vremena dt. Ukupna izgubljena energija brda tkm jedng ciklusa ljuljanja T p... dbija se integracijm izraza za da p dužini brda i p vremenu Δ = E n dxdt LT p Dbijeni dvstruki integral predstavlja, prema tme, energija kja se gubi pri pniranju i psrtanju brda na mirnj vdi, tkm perida T p... Uklik brd, tkm pniranja i psrtanja, vrši i napredvanje knstantnm brzinm v, izraz pstaje nešt kmplikvaniji. dm n n v dx pa je dgvarajući izraz za gubitak energije Δ dm = dx E n v dxdt LT p Uklik slbdna pvršina nije mirna, već brd plvi ka regularnim talasima dužine λ T... PREDAVANJA 009. 168

u izrazu za energiju će se, umest apslutne brzine pniranja prizvljne tačke brda, javiti relativna brzina te tačke u dnsu na slbdnu pvršinu vde... v rel Izraz za gubitak energije je tada dm ΔE = n v v dxdt dx LT p rel Vreme se javlja sam u izrazu za v rel... Integracijm p vremenu dbijam Tp Tp ( ) rel rel p p 0 0 ( ) ( ) 1 = rel ωp T p = πrel ωp Sledi v dt = ω cs ( ω t δ) dt = dm ΔE = πω n v dx ( ) p rel dx L Prestaje da se vaj gubitak energije pveže s ddatnim tprm ΔR T je relativn jednstavn... Gubitak energije ΔE tkm jedng ciklusa ljuljanja jednak je radu sile ddatng tpra na pmeranju kje dgvara tm ciklusu... Sila tpra je hrizntalna, a hrizntaln pmeranje brda kje dgvara peridu ljuljanja T p jednak je talasnj dužini λ T... Važi, prema tme Odnsn T L Δ E = Δ R λ πω p dm ( ) ΔR = n v rel dx λ dx T je tražena frmula za ddatni tpr brda pri plvidbi knstantnm brzinm ka regularnim talasima... Frmula Heridzme i Bukelmana (Geridsma & Bukelman 197) T PREDAVANJA 009. 169

Primer bezdimenzing ddatng tpra ΔR = ΔR ρ A B T / L kntejnerski brda L = 175 m... Iak je frmula πω p dm ( ) ΔR = n v rel dx λ dx T L relativn kmplikvana, neke bitne sbine rezultata kje na daje mgu se dmah učiti... Prv, ddatni tpr pstji i uklik nema napredvanja brda... Pgnski sistem, prema tme, mra stvarati ptisak da bi bezbedi neprmenjenu pziciju brda na talasima... Drug, tpr mže pstjati, pri viskim frekvencijama, i uklik nema ljuljanja brda... Treće, iak se ljuljanje smanjuje s prastm prigušenja n', ddatni tpr raste s prastm vg keficijenta... Zat brdvi čija je frma dbra sa stanvišta pniranja i psrtanja, mgu imati veliki ddatni tpr, veći d ddatng tpra lših frmi. PREDAVANJA 009. 170

Frmula Heridzme i Bukelmana izvedena je pd pretpstavkm da brd plvi pramcem ka regularnim talasima... Ddatni tpr na neregularnim talasima, mže se, na snvu principa superpzicije, izračunati ka N ΔR= ΔRn( ωn) n= 1 Za ddatni tpr na neregularnim talasima, međutim, najčešće se kristi nešt drugačija, integralna frmula. Izraz se transfrmiše ΔRn( ωn) ΔRn( ωn) = An( ωn) = An( ωn) = Δr ( ω ) S ( ω ) Δω gde je iskrišćen Δr ( ω ) = n n n n n n p ΔR A A ( ω ) = S ( ω ) Δω n n n n p n n Ddatni tpr na neregularnim talasima je tada N n = 1 ΔR= Δr ( ω ) S ( ω ) Δω Ak frmula pstaje n n n n p Δω dω p R = r ( 0 p) ST( p) d p Δ Δ ω ω ω T je frmula Herizme i Bukelmana za ddatni tpr brda na neregularnim talasima... Treba naći Δr u funkciji prividne frekvencije... (igra, na neki način, ulgu prensne funkcije...) p PREDAVANJA 009. 171

Primer ukupng tpra na neregularnim talasima kntejnerski brda L = 175 m, Sprega pnašanja brda na talasima i prpulzije brda... Ptisak prpelera u slbdnj vžnji T pr dređuje se iz bezdimenzine karakteristike... Tpr KT = 4 ρn Dpr v A ( 1 w) v J = = Dn Dn pr pr Kjm brzinm v napreduje brd? Ptrebn je drediti ptisak prpelera T pr... i naneti ga u dijagram... Važi Presek krivih R i ( ) T 1 t = R pr T pr T pr daje brzinu plvidbe... Pretpstavim (npr) da mtr radi na max. režimu, i da je pri tme n = n MCR Za (pretpstavljenu) brzinu v... v J KT Tpr T pr sledi tačka u dijagramu... Da li mtr mže da razvije n MCR?? PREDAVANJA 009. 17

Odgvr daje dijagram snage... Ptrebn je drediti tzv. prpelersku krivu snage mtra P B (n), dnsn knstruisati dijagram P P B B PD P T prva T T pr = = = = η ηηη ( J ) ηηη ( J ) ( 1 t ) ηηη ( J ) S S R S R S R PE Rv = = ηηηη( J) ηηηη( J) H R S H R S η H = 1 t 1 w P D snaga predata prpeleru, P T snaga ptiska prpelera, P E snaga tpra, η H keficijent ij efikasnsti i trupa, η R keficijent prelaza, η S keficijent efikasnsti vratilng vda, η keficijent efikasnsti prpelera u slbdnj vžnji. PREDAVANJA 009. 173

Pnv kristim karakteristiku prpelera K T ( J ) Ak pstupak pnvim za krive tpra na talasima... Dbijam niz krivih P B... Za dabranu tačku na krivj tpra R, v... knstruišem pmćnu krivu T T K * T ( J) = =... = J 4 ρnd ρd ( 1 w) v pr pr pr pr sledi J, dnsn n, i dgvarajuće P B... Pri tme, svakj tački na krivj P B dgvara druga brzina plvidbe v... U knkretnm slučaju, mtr (pri max. režimu) razvija n MCR sam d talasa visine 5 m... Kriva ptiska, za h 1/3 > 5 m, nije dbr dređena... PREDAVANJA 009. 174

Treba drediti n iz dijagrama snage, i pnv drediti ptisak... Sledi, knačn, ispravna kriva ptiska... Na snvu vg razultata, slede i nešt drugačiji rezultati ljuljanja... dnsn dijagram spntang smanjenja brzine brda na talasima, pri neprmenjenm (maksimalnm) režimu rada mtra Npr. ubzanje i sleming brda rastu s brzinm plvidbe... i dstići će maksimalne vrednsti, pri maksimalnim brzinama... PREDAVANJA 009. 175

Da bi se dredile maksimalne vrednsti, nephdn je prgram iz pnašanja na talasima spregnuti sa prgramm iz tpra i prpulzije... PREDAVANJA 009. 176

5..3. Dinamička pterećenja brda na talasima Već je kd udarng pritiska pri slemingu pkazan da se na talasima javljaju pterećenja kjih, pri plvidbi brda na mirnj vdi, nema... Ustvari, sve sile kje deluju na brd, na brdske uređeje i teret, menjaju se pri ljuljanju brda... Sile kje deluju na teret klizanje i prevrtanje tereta Pretpstavim da se, u prizvljnj tački na palubi brda kji se ljulja na talasima, nalazi teret mase m, čije težište C ima kmpnente ubrzanja a ξ, a η i a... U klasičnim, statičkim prračunima pterećenja brda, dinamičke sile se uračunavaju prek dređenih (iskustvenih) keficijenata sigurnsti... Pkazaćem da se, nakn št se drede ljuljanja brda, dinamička pterećenja brda mgu i egzaknije prračunati... Važi dnsn ma = mg + F + F C N T ma F F ϕ η y ma F mg + F ϕ z z y gde je iskrišćen csϕ 1 sinϕ ϕ PREDAVANJA 009. 177

Dbija se z ( ) ( η ϕ ) F = m a + g F = m a + g y Primer sila kje deluju na kntejner visk nad palubm, na bčnim talasima... Pznat je a = a t sin ( ωp γ ) sin ( ω p γ ) η η η a = a t ϕ = ϕcs( ω t p γϕ ) Sledi F = mg+ ma t z sin ( ω ) p γ ( ω γ ) ϕ ( ω γ ) ( ω γ ) F = ma sin t + mg sin t = F sin t y η p η p ϕ y p y F = ma z Fy = m aη + g ϕ + aη gϕsin( γϕ γη) PREDAVANJA 009. 178

Za prračun reakcija na neregularnim talasima, ptrebne su nam prensne funkcije... F z AT Fy 4 F = = ω y p η + ϕ + ω p η ϕ γϕ γη AT PF = = mp z a = mω pp P m P g P g P P sin ( ) S = P ( ω ) S ( ω ) S = P ( ω ) S ( ω ) F F p T p z z F F p T p Integracijm spektara slede dgvarajuće srednje kvadratne vrednsti vih veličina σ ο (F z ), σ ο (F y )... Na primer, najvervatnija maksimalna reakcija u N cikluisa je F = σ ln N max y t N = T y T = π Razmtrićem sada važan slučaj slbdn pstavljeng tereta na palubu brda, dnsn uslvi pd kjima će dći d pmeranja klizanja ili prevrtanja vak pstavljeng tereta... σ σ U slučaju slbdn pstavljeng tereta mra biti zadvljen uslv Fz > 0 jer bi se, u prtivnm, teret dvjiti d palube. Takđe, mra biti zadvljen uslv F < F μ y t z Uklik vaj uslv nije ispunjen, dlazi d klizanja tereta. Uslv dsustva klizanja je, na bčnim č talasima, štriji teret će pre prklizati, neg št će se dvjiti d palube... PREDAVANJA 009. 179

S bzirm na a μ a + gϕ < μ g η t y z t ( η ϕ ) ( ) F = m a + g F = m a + g uslv da nema klizanja mžem napisati ka Izraz je napisan tak da se na levj strani javlja zbir tri funkcije kje se menjaju tkm kretanja, a na desnj strani knstantna (granična) vrednst kja zavisi isključiv d keficijenta trenja između palube i tereta. Ak se graničim (privremen) na slučaj č regularnih talasa... Funkcije na levj strani izraza su harmnijske... I zbir je tada harmnijska funkcija iste frekvencije... čija se amplituda A kl dređuje pznatim pstupkm... Uslv dsustva klizanja je tada A kl < μ g t Da bi pručili uslve pd kjima dlazi d preturanja tereta... primenićem zakn prmeni mmenta kličine kretanja. Teret rtira k uzdužne se x zajedn sa brdm p zaknu φ(t), tak da prjekcija zakna prmeni mmenta kličine kretanja na su x, glasi J ϕ = Fh Fb C y z Pri tme je tačka u kjj deluje reakcija F z nepznata, i menja se tkm kretanja... PREDAVANJA 009. 180

Ustvari, krak b predstavlja jedinu nepznatu u jednačini... Sledi b = ( aη + gϕ) h j C a + g ϕ Da bi se teret valja zajedn s brdm, krak b mra biti unitar gabarita tereta b l U prtivnm, dći će d preturanja tereta Ul Uslv da ne dlazi id preturanja tereta t mže se napisati u bliku ha + gh ϕ la j ϕ gl η Zbir četiri harmnijske funkcije... T je pet harmnijska a funkcije iste frekvencije... amplitude A pr Uslv da ne dlazi d preturanja tereta, izražen prek ve amplitude glasi gl C Apr Pšli sm d pretpstavke da se teret, iak je slbdn slnjen na palubu, kreće zajedn s brdm... Ovakva kruta veza tereta i brda će pstjati uklik je istvremen zadvljena ba uslva A kl < μ g t Apr gl U prtivnm, dći će d pmeranja tereta u dnsu na brd... Pjava pmeranja tereta mže imati vema pasne psledice, i predstavlja jedan d čestih uzrka havarija, pa i prevrtanja brdva kji plve na lujnim talasima... PREDAVANJA 009. 181

Na snvu prethdne analize pmeranja tereta na regularnim talasima, mguće je drediti vervatnću prklizavanja i preturanja na realnim, neregularnim talasima... Ptrebn je drediti prensne funkcije uvedenih amplituda A kl i A pr... A A kl pr Pkl =, Ppr = A A Tada je T T S = P ( ω ) S ( ω ) kl kl p T p S = P ( ω ) S ( ω ) pr pr p T p ( μ g) t V( A > μ g) = exp kl t σ ( kl) ( gl) V ( A > gl ) = exp pr σ ( pr) Primer, vervatnća preturanja slbdn slnjeng kntejnera u najvišem redu brda dužine 110 m σ ( kl) = S kl( ω p) dω p 0 σ ( pr) = S ( ω ) dω pr p p 0 PREDAVANJA 009. 18

Dinamička pterećenja brdske knstrukcije Osnvn pterećenje brdske knstrukcije javlja se usled lkalne neravnteže dve vertikalne sile: brdskih težina (težine knstrukcije, tereta, uređaja) s jedne, i sile uzgna brda, s druge strane... Iak je ukupni uzgn brda u stanju ravnteže jednak ukupnj težini brda, raspdela vih sila p dužni brda je neravnmerna i različita... Na svaki segment dužine brda dx deluju elementarna sila uzgna du(x) i elementarna težine dw(x)... Usled njihve razlike javlja se vertikaln pterećenje q z (x)... dnsn transverzalna sila T z (x) i mment savijanja M sav (x) u pprečnm preseku brda, kji dalje dvde d smičućih i nrmalni napna... Prračun transverzalnih sila i mmenata savijanja u pprečnm preseku brda, pznat ka prračun uzdužne čvrstće brda, predstavlja jedan d snvnih brdgrađevnih prračuna... U klasčnj verziji vg prračuna, transverzalne sile i mmenti dređuju se za brd u ravntežnm plžaju plivanja, na mirnj vdi... Dinamički efekti, kje vakav statički prračun zanemaruje... uračunavaju se grub i približn, krz tzv. ddatnu transverzalnu silu i ddatni mment savijanja, čije vrednsti prpisuju klasifikacina društva... PREDAVANJA 009. 183

Pkazaćem da je, nakn št se prračuna ljuljanje brda na talasima, mguće prračunati ve dinamičke efekte... dnsn dbiti naprezanja (nrmalne i smičuće napne u pprečnm preseku brda) kji buhvataju kak statičke, tak i dinamičke kmpnente... Psmatraćem brd kji pnire i psrće plveći pramcem ka regularnim talasima... Izdvjićem de brda, na primer de d krme d prizvljne pzicije x... Uticaj pramčang dela brda (statka brda) reprezentuju sile i mmenti kji deluju u pprečnm preseku t su (p definiciji) i iji) transverzalna sila, i mment savijanja u pprečnm preseku brda... Ove veličine, međutim, buhvataju i dinamičke efekte ljuljanja brda... Za izdvjeni, krmeni de brda važi Njutnv zakn mx ( ) = F( x) + T( x) Sledi G z z x T ( x ) = m ( x ) F ( x ) z G z Vertikalna sila kja deluje na element (traku) dužine dx brda kji vrši pniranje i psrtanje na regularnim talasima je df = q ( x ) dx z z q q pri čemu je uvedena pmćna krdinata x q kja definiše pziciju trake, različita d pzicije x psmatrang pprečng preseka... x PREDAVANJA 009. 184

Sledi T ( x) = m( x) q ( x ) dx x z G z q q L pri čemu je (kada se zanemare mešviti članvi i difrakcija talasa)... qz( xq) = gm ( xq) + ρg AR( xq) qb( xq) qn ( xq) qm ( xq) + + ρga b( x )sin( k x + ω t) T q T q p q = G xq ψ = G sin( ω ) cs( ) pt γ xqψ ω pt γψ = x ψ = ω cs( ω t γ ) + x ω ψ sin( ω t γ ) q G q p G p q p p = x ψ = ω cs( ω t γ ) + x ω ψ sin( ω t γ ) q G q p G p q p p q ( x ) = gm ( x ) + ρ ga ( x ) z q q R q ρg b( x )sin( ω t γ ) + ρgψ x b( x )cs( ω t γ ) G q p q q p ω n ( x )cs( ω t γ ) ω ψ x n ( x )sin( ω t γ ) p G q p p q q p ψ + ω m ( x )sin( ω t γ ) ωψ x m ( x )cs( ω t γ ) + p G q p p q q p ψ + ρga b( x )sink x csω t + ρga bx ( )cskxsin ω t. T q T q p ψ ψ T q T q p = x ψ = ω cs( ω t γ ) + x ω ψ sin( ω t γ ) G G G p G p G p p x x x ψ ψ PREDAVANJA 009. 185

Dbija se, nakn sređivanja T ( x) = m( x) q ( x ) dx = z G z q q x x ( ) = T z ( x) + G ρga ( ) ( ) ( ) sin( ) VL x m x ωp ωpm x ωpt γ ψ ρgsvl( x) m( x) xg ω ( ) cs( ) x p ωpm x ψ ωpt γψ + + ω n ( x)cs( ω t γ ) + ω ψ n ( x)sin( ω t γ ) p G p p ψ p ψ ρga Q ( x)csω t ρga Q ( x)sinω t T S p T C p Odnsn ( din) Tz( x) = T( x) + T ( x)sin ωpt+ γt( x) Amplituda i fazni pmeraj dinamičkg dela transverzalne sile zavise d krdinate preseka x, i mgu se drediti prek pštih trignmetrijskih frmula (zbir niza harmnijskih funkcija...) Ukupna vertikalna transverzalna sila u pprečnm preseku sastji se iz statičke kmpnente (kja se javlja u ravntežnm plžaju plivanja brda na mirnj vdi), i dinamičke, scilatrne kmpnente, kja je psledica ljuljanja i talasa... Amplituda ve dinamičke kmpnente mguće je drediti nakn št se prračuna ljuljanje brda, dnsn (u knkretnm primeru plvidbe ka talasima) nađu amplitude pniranja i psrtanja brda... PREDAVANJA 009. 186

Uklik je dređena amplituda transverzalne sile, njena prensna funkcija glasi P T z ( din T ) ( ω p) ( ω p) = A dakle sledi spektar transverzalne sile, itd... Mment savijanja u pprečnm preseku brda mguće je dbiti primenm zakna prmeni mmenta kličine kretanja za izdvjeni de brda (de brda d krme d prizvljne pzicije x)... Umest za težište krutg tela (kak je t ubičajen u Mehanici), zakn prmeni mmenta kličine kretanja izdvjeng dela brda pišem za pprečni presek na krdinati x... Zakn prmeni mmenta kličine kretanja, prjektvan na su y, tada glasi T J ( x) ψ = M ( x) + M ( x) y y sav M ( x) = J ( x) ψ M ( x) sav y y M ( x) = J ( x x ) q ( x ) dx = sav yψ q z q q x Dbija se, nakn sređivanja ( din) M sav ( x) = M ( x) + M ( x)sin ωpt+ γm ( x) ( din M ) ( ω p) PM( ω p) = A T Prensnu funkciju mmenta mguće jedrediti nakn št se prračuna ljuljanje brda, dnsn nađu amplitude pniranja i psrtanja... Zatim sledi klasičan prračun na neregularnim talasima... PREDAVANJA 009. 187

5..4. Uticaj ljuljanja na psadu i putnike Ljuljanje izrazit nepvljn utiče i na kmfr i na radne spsbnsti ljudi na brdu... Putnici (vema čest) sećaju mučninu, a rezultati rada psade su lšijeg kvaliteta, uz veći napr i zamaranje... Pri većim ubrzanjima, rad pstaje nemguć... Nastanak mučnine i pvraćanja, ka i uslve pri kjima je psada prinuđena da prekne rad, mguće je relativn dbr pvezati sa ubrzanjima i stalim parametrima ljuljanja brda... Za smanjeni kvalitet rada i ddatni zamr mrnara pri ljuljanju, jš uvek nije prnađen adekvatn kvantitativn meril... Ali, krenim redm... Mrska blest Čvek, uklik se nalazi na brdu kji se ljulja, mže setiti slabst, glavblju, mučninu... Mže dći i d pvraćanja... T su simptmi mrske blesti. Smatra se da je mrska blest psledica neusklađensti signala kje ljudski mzak dbija d različitih čula... Dk centar ravnteže u unutrašnjem uhu registruje prmenljiva ubrzanja usled ljuljanja, nge šalju mzgu drugačije signale... Pri tm, pdaci kje dbija d čiju ne mraju biti usaglašeni ni sa jednim ni sa drugim... Knfuzija mzga usled vih kntradiktrnih infrmacija manifestuje se kd većine ljudi mučninm i stalim simptmima mrske blesti... (zašt?) PREDAVANJA 009. 188

Sklnst ka mrskj blesti je individualna. Čak je i sklnst istg čveka, u različitim prilikama, različita... Većina ljudi pnekad dživi mrsku blest, ali se, uklik je duže izlžena ljuljanju, na t stanje adaptira... Mrska blest prestaje ubrz nakn prestanka ljuljanja, i (sim št je vema neprijatna) nije pasna, i ne stavlja nikakve psledice. S medicinskg aspekta t i nije blest, već nrmalna reakcija zdravg rganizma na nenrmalne uslve... Pstji niz medikamenata kji umanjuju neprijatne simptme, uglavnm tak št blkiraju funkcije mzga... Uz t, mgućnst nastanka mrske blesti se smanjuje j uklik je čvek kaktivan, dnsn uklik mzak zakupi drugim prblemima... Pstji i niz nardnih (mrnarskih) lekva prtiv ve blesti, d kjih je najpznatije žvakanje krena đumbira... I pred tga št je medicinski bezpasna, mrska blest predstavlja veliki prblem i za putnike, i za psadu brda. Blest nije sam neprijatna... Mrnar ble d mrske blesti nije spsban za zbiljnije pslve, a brd s blelm psadm mže biti nespsbljen za izvršenje zadatka... Putnik ble d mrske blesti svakak ne uživa u turističkm krstarenju, i tešk da će pnv izdvjiti nvac za slične svrhe... Zat se prblemu mrske blesti pridaje zbiljan značaj, a uslvi pd kjima se na javlja detaljn su ispitivani i u labratrijskm, i u realnm kruženju. Pkazal se da pjava mrske blesti zavisi, pre svega, d prmenljivg ubrzanja kjem je čvek izlžen na brdu kji se ljulja... PREDAVANJA 009. 189

Preciznije, pjava mrske blesti zavisi d: Intenziteta (amplitude) ubrzanja S prastm intenziteta ubrzanja, vervatnća pjave mrske blesti raste; Perida ukmeječvek izlžen ubrzanju Vervatnća pjave mrske blesti vremenm raste, a zatim dlazi d adaptacije rganizma; Frekvencije ubrzanja Pstji frekvencija ubrzanja na kju je čvek najsetljiviji, dnsn frekvencija kd kje je pjava mrske blesti najčešća. Ova neprijatna frekvencija ljuljanja iznsi k 1 rad/s, dnsn dgvara neprijatnm peridu ljuljanja d k 6 s ; Individualne setljivsti, pla i starsti sbe na brdu. Pjava mrske blesti zavisi (u manjj meri) i d pravca ubrzanja, iak su pdaci vm uticaju dnekle kntradiktrni... Zavisnst pjave mrske blesti d intenziteta i frekvencije ubrzanja daju rezultati bimnih labratrijskih eksperimenata (npr. O Hanln & McCauley 1974)... U eksperimentima je veliki brj ispitanika izlagan prmenljivm vertikalnim ubrzanjima blika a = a sinωt Amplitude a i frekvencija ω su sistematski menjane d testa d testa... a eksperiment prekidan uklik je ispitanik pčinja da pvraća... Za vervatnću mrske blesti (ustvari, vervatnću pvraćanja), kja se prema uvedenm terminu Mtin Sickness Incidence najčešće beležava sa MSI, dbijena je približna frmula MSI = Φ( z ) Φ( z ) a t 1 Φ ( z) e dx π = z x PREDAVANJA 009. 190

z =, 18 lg( a / g) 9, 77 lg( ω/ π) 5, 809 lg ( ω/ π) 1, 851 a z = 1, 13 z + 1, 989 lg( T ), 904 gde je t vreme trajanja eksperimenta u časvima t a s Čvek nije setljiv na niske frekvencije, niti na viske frekvencije (vibracije)... Najsetljiviji je na frekvencije d približn 1 rad/s (k 0,16 Hz), bez bzira na amplitudu ubrzanja i trajanje eksperimenta... Vervatnća pjave mrske blesti raste tkm prva dva časa... Eksperimenti nisu trajali duže, i u njima se ne vide efekti adaptacije rganizma na nv stanje... Uklik je čvek duže izlžen prmenljivm ubrzanju, simptmi mrske blesti pčinju (nakn približn šest sati) da se smanjuju, a psle dva d tri dana ptpun nestaju. PREDAVANJA 009. 191

Oscilacije frekvencijm d k 1 rad/s ne sam da pgduju pjavi mrske blesti, već ih (nezavisn d mrske blesti) čvek dživljava ka nerealn jake... Ov pkazuju eksperimenti (Shenberger 1975) u kjima su iskusni pilti, adaptirani na scilatrna kretanja, izlagani prmenljivm vertikalnm ubrzanju sa zadatkm da cene jačinu ljuljanja... Ubrzanjima različitg intenziteta i frekvencije davali su brjčanu cenu indeks subjektivne jačine ljuljanja (p engleskm nazivu Subjective Magnitude SM) u dnsu na referentn kretanje ubrzanjem d 0,6g frekvencijm 1 Hz, za kje je dgvrena cena 10. 143, Dbijena je frmula a SM A = g A= 1 exp( 1, 65ω ) ( 75, 6 49, 6 ln ω+ 13, 5 ln ω) Čvek ne seća pravi intenzitet scilatrnih ubrzanja... Ubrzanja dređenih (neprijatnih) frekvencija čine mu se veća neg št pkazuju bjektivna merenja... Naša čula nas i u vm slučaju varaju, prikazujući svet drugačijim d realng. PREDAVANJA 009. 19

Ubrzanja pjedinih tačaka brda kji se ljulja na regularnim talasima jesu sinusne funkcije čija je frekvencija jednaka prividnj frekvanciji talasa... tak da frmula za MSI (na regularnim talasima) daje dbre rezultate. Da li se va frmula mže primeniti i pri kretanju brda na neregularnim talasima? Vervatnća pjave mrske blesti zavisi d amplitude i frekvencije ubrzanja... Kju amplitudu ubrzanja, i kju frekvenciju kristiti u realnim uslvima ljuljanja brda na neregularnim talasima? S bzirm da neregularni talasi predstavljaju zbir regularnih kmpnenti, mguće je iskristiti prračunati spektar vertikalng ubrzanja tačke brda S a (ω p ). Amplituda ubrzanja kja dgvara prividnj frekvenciji ω n (p definiciji spektra) iznsi a = S ( ω ) Δω n a n p Deljenjem spektra na veliki brj traka širine Δω p mguće je drediti amplitudu ubrzanja kje dgvara svakj frekvenciji ω n i primenjuje frmula za MSI... Vervatnća pjave mrske blesti na neregularnim talasima je tada zbir svih vervatnća na regularnim talasima N MSI = MSI N 1 n= 1 n Prračun je, međutim, sam frmalan... Primenjeni princip superpzicije važi sam za linearne prbleme... Da li slženi prcesi nastanka mrske blesti, u kme ljudski rganizam spntan reaguje na neprirdne uslve kjima je izlžen, važe tak prsti zakni? Eksperimenti ne daju ubedljiva slaganja prračunatih vrednsti sa realnim, lujnim uslvima... PREDAVANJA 009. 193

Vervatnća pjave mrske blesti na neregularnim talasime se češće dređuje na nešt drugačiji način... krišćenjem tzv. dze mrske blesti (Mtin Sickness Dse Value), kja je definisana ka Ts MSDV = a () t dt 0 gde je T s vreme u kme je čvek izlžen ljuljanju, dk kje a vertikaln ubrzanje psmatrane tačke brda filtriran p frekvencijama. Naime, vertikaln ubrzanje tačke brda kji se ljulja na neregularnim talasima mže se izraziti ka N n n ( n n) n= 1 a () t = a ( ω )sin ω t γ gde se amplitude kmpnenti ubrzanja a n (ω n ) dređuje iz prračunatg spektra ubrzanja, na ubičajeni način... 1 Ubrzanje filtriran p frekvencijama je tada N a () t = an( ωn)sin( ωnt γn) = n= 1 N = W( ω ) a ( ω )sin( ω t γ ) n= 1 n n n n n Filter W je dbijen eksperimentaln, i izgleda (prema prpisima ISO 631) PREDAVANJA 009. 194

Vervatnća pjave mrske blesti dbija se na snvu dze mrske blesti ka MSI (%) = K MSDV gde keficijent K zavisi d niza individunalnih faktra sbe kja je izlžena ljuljanju: pla, starsti, prethdng iskustva na brdvima, uvežbansti, pa i trenutne predispzicije... Ubičajena vrednst za drasle putnike mešvitg pla je K 1/3 Pstupak prračuna MSDI je sledeći Odredi se, na pznati način, prensna funkcija vertikalng ubrzanja P a (ω p )... Tada je P ( ω ) = W( ω ) P ( ω ) a p p a p S ( ω ) = P S ( ω ) = W P S ( ω ) = a p a T p a T p = W ( ω ) S ( ω ) p a p σ4 = Sa( ωp) dωp 0 S duge strane, srednja kvadratna vrednst filtrirang ubrzanja je σ N T 1 s 1 4 = ( i) = ( ) N Ts 0 i= 1 1 Ts MSDV = a () t dt = Tsσ 4 0 Primer: putnički brd L = 00 m, plvi pramcem ka talasima a t a t dt MSDV = a T RMS s PREDAVANJA 009. 195

U vm kursu se, jedin pri pručavanju mrske blesti daljujem d fizičkih zakna i ubičajenih inženjerskih prračuna... U igri su, uz mehaničke veličine kakve su ubrzanje, frekvencija itd, i spntane reakcija ljudskg rganizma na uslve na kje nije naviknut... Ove reakcije rganizma su dalek slženija d čist mehaničkih zakna na kjima se zasniva pnašanje brda na talasima... Lgičn je zat i tačnst prračuna dalek manja... Osim slžensti samg prblema, pstje i drugi razlzi zbg kjih je krelacija prračuna sa pjavm mrske blesti u realnim uslvima relativn slaba... Prračuni (za sada) uzimaju u bzir sam vertikalnu kmpnentu ubrzanja... Činjenica je da su vertikalna ubrzanja, psebn pri plvidbi ka talasima, i psebn kd dužih brdva, znatn veća d pprečnih... Međutim, uklik brd plvi ks, a psebn bčn u dnsu na talase, javljaju se i značajne pprečne kmpnente ubrzanja... A čvek (p svemu sudeći) nije manje setljiv na pprečna d vertikalnih ubrzanja, psebn pri nižim frekvencijama scilvanja... Pstji jš jedan nedstatak metda vezanih za prračun dze i vervatnće mrske blesti... Naime, MSI je definisan ka pčetak pvračanja sba na brdu... Međutim, znatn pre pvračanja, čvek seti slabst, glavblju i mučninu... Ljudima na brdu mže biti vema neprijatn (mgu patiti d mrske blesti) i kada ne pvraćaju... PREDAVANJA 009. 196

Prekid rada usled ljuljanja Primenićem uslve dsustva kljizanja i preturanja tereta... a a + g < g η μ ϕ μ t ha + gh ϕ la j ϕ gl η C t A kl < μ g t Apr gl ( μ ) t g V( A > μ g) = exp kl t σ ( kl) ( gl) V( A > gl) = exp pr σ ( pr) na čveka a (mrnara) a) kji stji na palubi brda... Pretpstavićem da mrnar stji pprečn u dnsu na brd i da je, radi sigurnijeg slanjanja, blag raširi nge... Uslvi klizanja i preturanja su izvedeni za kruti teret, a ne za čveka kji bi reagva pre neg št prkliza, ili izgubi ravntežu... Nagnu be se, pridrža, se... Trudeći se da ne padne, međutim, mrnar bi bi prinuđen da prekine rad. Uslvi klizanja i preturanja tereta primenjeni na mrnara na brdu predstavljaju uslve prekida rada usled ljuljanja... PREDAVANJA 009. 197

Pdaci za tipičng mrnara su l 0, 5 m h 1m jc 05m, Keficijenti ij tiklizanja suva paluba, adekvatna buća: mkra, klizava paluba: μk 07, μk 019, Primer: mrnar na kmandnm mstu teretng brda dužine 110 m, kji plvi na bčnim regularnim talasima... Visina talasa je 3 m. PREDAVANJA 009. 198

Ubičajen je da se vervatnća prklizavanja i preturanja mrnara (vervatnća prekida rada) preračunavaju u srednje frekvencije u minutama... Odnsn srednji brj prekida rada usled klizanja ili gubitka ravnteže u minutu... T je tzv. indeks prekida rada. Obeležavaja se sa MII (Mtin Interuptin Index) V( kl) V( kl) σ ( kl) MIIkl = 60 = 60 T π σ ( kl) V ( pr) V ( pr) σ ( pr) MII pr = 60 = 60 T π σ ( pr ) Primer: mrnar na kmandnm mstu teretng brda dužine 110 m, kji plvi na bčnim neregularnim talasima... Mrnari su nekada prinuđeni da rade i u uslvima u kjima je MII veći d ubičajenih nrmi... Tada su, međutim, izlženi riziku d pvrede, njihv rad uspren, a rezultati lšijeg kvaliteta... Situacija ij je psebn teška na ribarskim brdvima, gde se d psade zahteva da lve i u ekstremnim vremenskim uslvima. Rad na vakvim brdvima i predstavlja zat jedn d najpasnijih zanimanja... PREDAVANJA 009. 199

5.3. KRITERIJUMI POMORSTVENOSTI Važan aspekt prračuna pnašanja brda na talasima predstavljaju maksimalne dzvljene vrednsti pjedinih parametara vezanih za ljuljanje brda tzv. nrme, ili kriterijumi pmrstrvensti brda... Nrme kje će biti prikazane predstavljaju pld duggdišnjeg iskustva pmraca i brdgraditelja... Ipak, s izuzetkm nih i kje su ušle u pravila, treba ih shvatiti uslvn, ka smernice za prjektvanje... Uticaj na putnike i psadu Standardi ISO 631 daju grnju granicu vertikalng ubrzanja kja dvdi did izrazitg nekmfra (severe discmfrt bundary) kd ljudi nenaviknutih na ljuljanje... Primenjuju se prvenstven na putnike na brdu, i dvde d pjave mrske blesti kd k 10% neadaptiranih draslih sba. Uz t, u vezi vertikalng ubrzanja pstji jš jš ce niz prepruka... PREDAVANJA 009. 00

Vertikaln ubrzanje, RMS vrednst 0,0g Putnici na brdvima za krstarenje. Stariji ljudi. Blizu dnje granice na kjj pjava mrske blesti nije vervatna. Vrednst kja se kristi za pseban kmfr putnika. 0,05g Putnici na feribtima. ISO standard za perid izlžensti d pla sata. Izaziva simptme mrske blesti kd približn 10% neadaptiranih draslih sba. 0,100g Intelektualni rad za ljude relativn dbr adaptiranje na ljuljanja (na primer naučnike na istraživačkim brdvima). Manuelni rad zahtevnije prirde. Dugrčn pdnšljiv za psadu. 0,150g Težak manuelni rad za ljude adaptirane na ljuljanje: na primer psadu na ribarskim brdvima i brdvima snabdevačima. 0,00g Laki manuelni rad za ljude adaptirane na ljuljanje. Nepdnšljiv u dužem peridu. Brz dvdi d zamra. Ubičajeni maksimum na kmandnm mstu trgvačkih i ratnih brdva (STANTAG 4154). 0.75g Jednstavan laki rad. Najveća pažnja mra biti usmerena na državanje ravnteže. Prihvatljiv sam u kratkm peridu na pramcu brda, ili na brzim brdvima. Pprečn ubrzanje, RMS vrednst 0,100g Ubičajeni maksimum na kmandnm mstu trgvačkih i ratnih brdva (STANTAG 4154). Generaln, limit pprečng g ubrzanje je k 50% vertikalng. PREDAVANJA 009. 01

Vervatnća mrske blesti MSI (%) 10% za h Putnici na putničkim brdvima 0% za 4 h Psada na ratnim brdvima Indeks prekida rada MII (brj u minuti) 0,5 Za zahtevnije pslve (na primer dpuna griva i snabdevanje na tvrenm mru). 1 Ubičajena maksimalna vrednst za psadu ratnih i trgvačkih brdva Uga valjanja, RMS vrednst 4 6 STANAG 4154 prepručuje limit d 4 za ratne brdve. Pjedini autri dzvljavaju i veće vrednsti. Uga psrtanja, RMS vrednst 1,5 Uticaj na knstrukciju brda, teret i premu Sleming Srednja učestalst sleminga 0 60/čas Interesantn t je da nižu vrednst tdaje STANTAG 4154 za ratne brdve. Vervatnća sleminga 1-3% Zalivanje palube Srednja učestalst zalivanja palube 30 90/čas Nižu vrednst daje STANTAG 4154 za ratne brdve. Vervatnća zalivanja palube 7% Izletanje prpelera Učestalst izletanja prpelera 90 10/čas (na ¼prečnika). Vervatnća izletanja 10 5% Izletanje snara Učestalst izletanja aktivng snara 4/čas Učestalst izletanja pasivng snara 90/čas PREDAVANJA 009. 0

Kmbinvani kriterijumi Pstji više pkušaja da se uspstavi kmbinvani kriterijum pmrstvensti za dređeni tip brda... Jd Jednu d mgućih kmbinacija ij za teretne t brdve da je Ochi 1995: Pun brd: V[zalivanja palube i/ili značajne vrednsti vertikalng ubrzanja na pramcu 0,4 g] 0,07 Prazan brd: V[sleminga i/ili značajne vrednsti vertikalng ubrzanja na pramcu 0,4 g] 0,03 Specifične misije Pjedine misije kje brd bavlja zahtevaju, zbg svje slžensti, štrije nrme d nih kje su prikazane u prethdnm tekstu. Psebn su detaljan pručene misije ratnih brdva u kviru NATO prpisa STANTAG 4154. Na primer: Dpuna griva na tvrenm mru MII = 0,5/min MSI = 0% za 4 časa Zalivanje palube = 0.5/čas Pletanje i sletanje avina s fiksnim krilima (RMS vrednsti) Vertikaln pmeranja 0,8 m Pprečn pmeranje,3 m Vertikalna brzina 0,7 m/s Pletanje i sletanje helikptera (RMS) Uga valjanja,5 Uga psrtanja 1,5 Vertikalna brzina 1 m/s PREDAVANJA 009. 03

5.4. MOGUĆNOST SMANJENJA LJULJANJA BRODA Ljuljanje brda je, ka št je već više puta istaknut, nepvljn i pasn... Na žalst, mre p kme plve brdvi je čest uzburkan, a ljuljanje neizbežn. U takvj situaciji, jedan d važnih zadataka prjektanta (a i zapvednika brda) je da smanji ljuljanje i njegve nepvljne psledice... Razmtrićem mgućnsti kje stje na rasplaganju prjektantu brda... 5.4.1. Pniranje i psrtanje brda Znam: Na valjanje brda prjektant mže uticati vertikalnim pmeranjem težišta brda, dnsn prmenm MG... Za pnirenje i psrtanje nema neki sličan, pgdan parametar... Da li ipak pstje neke druge (skrivene) mgućnsti... Uticaje sm već ć (delimičn) ič razmatrali pri analizi pniranja i psrtanja na regularnim talasima... Uticaj brzine plvidbe Pri plvidbi brda ka talasima, smanjenje j brzine plvidbe uvek deluje pvljn... Primer: fregata dužine 110 m, kja plvi ka talasima značajne visine 5 m PREDAVANJA 009. 04

Zašt je smanjenje brzine pvljn? PREDAVANJA 009. 05

Iak smanjenje brzine predstavlja jednu d malbrjnih sigurnih mera za smanjenje ljuljanja, va mera je (na žalst) vema retk pd kntrlm prjektanta brda... Brzina brda je, p pravilu, izričit zahtev naručica brda kji prjektant mra da zadvlji... Čest, narčit kd brzih brdva, brzina plvidbe i nije graničena snagm mtra... već prevelikim ubrzanjima i slemingm d kga dlazi pri plvidbi brda ka talasima... Razarači... A prjektant, da bi bezbedi zahtevanu brzinu na uzburkanm mru, mra da primeni druge mere za smanjenje pniranje i psrtanje... Uticaj veličine brda Dbr je pznata činjenica da se veći brdvi manje ljuljaju na lujnm mru... Sam avanturisti kreću na kean u malim čamcima... U eskadrili ratnih brdva kja plvi ka talasima p uzburkanm mra, uvek su najugrženije male jedinice... Dk nsači avina i bjni brdvi jedva sećaju talase, mali prateći brdvi, razarači i fregate, ulažu maksimalan napr da ne zastanu za grupm... Psada fregata, sa zavišću psmatra svje klege na velikim brdvima. Primeri brdva različitg deplasmana... PREDAVANJA 009. 06

Zašt je pvećanje deplasmana pvljn? Sami... PREDAVANJA 009. 07

Analiza malg pvećanje deplasmana, bez prmene dnsa glavnih dimenzija... Gemetrijski slični brdvi... Primer: Pvećanje dimenzije brda (L, B, T) za 10%, deplasman za 33%. Zaključujem, pvećanje deplasmana brda dvdi d smanjenja ljuljanja brda kji plvi ka talasima... I generaln, pvećanje brda pbljšava njegv pnašanje na talasima. Da bi značajnije smanjil ljuljanja, pvećanje brda mra biti dvljn velik... i prevazilazi male varjacije dimenzija kje su u nadležnsti prjektanta. PREDAVANJA 009. 08

Deplasman brda jednak je zbiru brdskih masa... I direktn utiče na cenu brda... Prjektant (p pravilu) teži minimalnm deplasmanu, kje bezbeđuju izvršenje zadataka kji se pstavljaju pred brda... Svak veštačk pvećanje mase brda predstavlja dalek preskupu meru za pbljšanja pmrstvensti... Primenjuje se sasvim retk, kd ratnih brdva, kada se jedin pvećanjem brda mže bezbediti puzdan izvršenje zadatka na uzburkanm mru. Otrvni gas... Uticaj dnsa glavnih dimenzija Pretpstavim da su deplasman i brzina brda zadati i knstantni... Razmtrim mgućnst smanjenja j pniranja i psrtanja prmenm dnsa glavnih dimenzija. Pstavljeni zadatak je tipičan za ranu fazu prjektvanja brda, kada prjektant zna brzinu kju brd mra da zadvlji... prračuna je preliminarnu vrednst deplasmana... a treba da dabere (u kviru relativn uskih prepruka za dređenu vrstu brda) glavne dimenzije brda... Reč je vema važnm izbru, d kga u mngme zavisi kvalitet budućeg brda... Klik je prjektant t u mgućnsti ć da utiče na smanjenja ljuljanja budućeg brda pravilnim izbrm i variranjem dnsa glavnih dimenzija? Skepsa prfesra Žrnea... PREDAVANJA 009. 09

Spstveni peridi pniranja i psrtanja mgu se izraziti u bezdimenzinm bliku... g T T = δ T π ( 1 κ ) L = Lαα + g jy T T δ ψ = Tψ = π ( 1+ κψ) L i Lα Pvljn je da spstveni peridi budu št manji... y Nameće se, ka ptencijaln pvljna mera, smanjene dnsa T/L... dnsn smanjenje gaza na račun dužine, pri B = cnst Sem pvljng uticaja na spstvene peride, pvećanjem dužine smanjuje se i Frudv brj... v FR = gl Međutim, smanjenje gaza, pvećava se vervatnća sleminga...? T v V( slem) = exp + σ σ ps ( rel) ( rel) PREDAVANJA 009. 10

Primer: Pniranje, psrtanje, vertikaln ubrzanje na kmandnm mstu i vervatnća sleminga dva brda jednakg deplasmana, jednake širine, a različite dužine i gaza... Reč je malm vešenamenskm brdu rditelju, dužine 110,6 m, čija je dužina pvećana za (približn) 10% na račun smanjenja gaza. Razlika dnsa T/L dva brda je približn 0%, št je k maksimuma kji bi prjektant, u realnim uslvima... Da li je rezultat pvljan? Prmena glavnih dimenzija neminvn utiče i na stale sbine brda... Prduženje brda na račun gaza pvljn je s aspekta tpra brda na mirnj vdi... ali izrazit nepvljn s aspekta čvrstće brda... Psebn, ak smanjenje gaza prati i dgvarajuće smanjenje visine brda, dnsn ak se ne menja slbdni bk. PREDAVANJA 009. 11

Kaže se da je dužina najskuplja brdska dimenzija... Ustvari, prduženjem brda raste mment savijanja, a smanjenjem visine, smanjuje se tprni mment pprečng preseka. Elemente brdske knstrukcije treba jače dimenzinisati, št dvdi d težeg brdskg trupa... Pretpstavljen je knstantan deplasman brda... Da li će veća težina trupa biti kmpenzvana lakšim mtrm (zbg smanjenja tpra), ili će se smanjiti nsivst brda? Svaka intervencija na glavnim dimenzijama neminvn pkreće celu spiralu ključnih pitanja prjektvanja brda... i zat vim prmenama treba pristupati prezn i selektivn, ne pvdeći se sam za jednm d karakteristika brda. Uticaj keficijenata frme Izrazi za spstvene bezdimenzine peride pniranja i psrtanja g T T δ = T = π ( 1+ κ ) L Lα g jy T T δ ψ = Tψ = π ( 1+ κψ) L i Lα ukazuju da treba težiti št manjem vertikalnm prizmatičnm keficijentu ϕ v δ = α Pretpstavim da se frma brda mdifikuje tak da se zadržava knstantan deplasman i glavne dimenzije... a smanjuje vertikalni prizmatični keficijent... y PREDAVANJA 009. 1

Ustvari, prema prethdnim pretpstavkama, važi D δ = = cnst ρlbt tak da se pvećava sam keficijent punće vdne linije α... Ppunjavanje vdne linije dvdi d prmene frme rebara... Da li je vakva prmena frme pvljna? Psmatrajm prigušenje... n ρ g B = n R 3 ωp = ωp ω p g B R n = f ωp,, βr TR Širina rebara u pramčanm i krmenm delu brda se pvećava, št, pri neprmenjenm gazu, dvdi d većih dnsa B R /T R. S bzirm na uslv D = cnst, pvršine rebara se ne menjaju, št, pri pvećanj širini, dvdi d smanjenja keficijenta punće rebra β R... Rebra pri tm dbijaju karakterističan V blik... β, n R B / T, n R R PREDAVANJA 009. 13

Fizički, nvi V blik rebara indukuju veće talase pri pniranju, kji dnse veću energiju... Mera, kju sm uveli na snvu frmule za bezdimenzine peride, pkazala se vema pvljna i sa stanvišta prigušenja! Ddatn, i vema pvljn... nvi blik pramčanih rebara ima veći pprečni uga nagiba (fler) θ p, št bitn smanjuje udarne pritiske na dnu brda, uklik i dđe d sleminga. Ppunjavanjem vdne linije na pramcu i krmi, raste radijus inercije vdne linije... T g y δ Tψ = Tψ = π ( 1+ +κ ψ ) L i Lα št, uz neprmenjeni radijus inercije j y, ddatn smanjuje spstveni perid psrtanja brda. Razmtrim sada uticaj ppunjavanja j vdne linije na sleming. Zbg manjeg pniranja i psrtanja, pri neprmenjenm gazu brda, pasnst d sleminga se smanjuje... j y y PREDAVANJA 009. 14

Rezimirajm ppunjavanje vdne linije (dnsn pvećanje keficijenta α ) deluje, makar kvalitativn, ka vema dbra mera za smanjenje pniranja i psrtanja... Pvljn utiče na spstvene peride, prigušenje i sleming, bez vidljivih negativnih efekata sa aspekta pmrstvensti... Ipak, ka i svaki lek, i va mera ima svje kntraindkacije. Ppunjavanje vdne linije u krmenm delu brda dvdi, u krajnjem ishdu, d širke (tzv. transm) krme... Ovakva krma je, pri većim brzinama, pvljna i sa stanvišta tpra, št predstavlja jedan d retkih primera gde su zahtevi pnašanja na talasima i zahtevi tpra na mirnj vdi, usaglašeni... Pri ppunjavanju vdne linije na pramčanm delu brda, na žalst, zahtevi tpra i pmrstvensti nisu usaglašeni... Pvećanje ugla ulaza vdne linije na pramcu negativn utiče na tpr brda... i prjektant mra da usvji kmprmisn rešenje između dva suprstavljena zahteva... Otpr? Primer: Pvećanje keficijenta α za k 5,5%, pri neprmenjenm deplasmanu, glavnim dimenzijama i brzini brda PREDAVANJA 009. 15

5.4.. Valjanje brda Već više puta naglašen, na valjanje se mže efikasn uticati prmenm MG... Ostal je nejasn šta se dešava na neregularnim talasima... s bzirm da uvek pstje kmpnente talasa u dnsu na kje je brd u ptkritičnj, kritičnj ili natkritičnj blasti... Da li je skepsa pravdana...? Primer: mali kntejnerski brd na bčnim neregularnim talasima PREDAVANJA 009. 16

U većem delu dijagrama, valjanja se pvećava s prastm MG... Pvljn je smanjenje MG... T je tipičn natkritičn pnašanje... Najmanje amplitude valjanja i ubrzanja javljaju pri malim metacentarskim visinama, na granici dzvljenih s aspekta stabiliteta brda... T je blast dugih spstvenih perida, i mekg valjanja brda... S pvećanjem metacentarske visine, amplitude valjanja i ubrzanja rastu... Tek pri izuzetn velikim metacentarskim visinama, i psebn pri jakim lujama, učava se (izvesan) pvljni efekat pvećanja metacentarske visine... Ovaj pvljan efekat ptkritičng valjanja je, međutim, mali, učava se sam kd ugla, a ne i kd ugang ubrzanja, i t pri metacentarskim visinama kje su tehnički vema tešk stvarljive... Situacija je neuprediv pvljnija pri malim metacentarskim visinama. Da li se rezultati vg pjedinačng primera smeju prihvatiti ka generalni zaključak? PREDAVANJA 009. 17

Različiti brdvi Prethdna analiza, prema kjj ubičajeni brdvi na neregularnim talasima imaju (uglavnm) natkritičn pnašanja... važi sam za ubičajene brdve... Katamarani, na primer, imaju drugačije pnašanje PREDAVANJA 009. 18

5.4.3. STABILIZATORI LJULJANJA 5.4.3.1. Pasivni stabilizatri Prjektant mže pbljšati pnašanje brda na talasima prmenm veličine brda, prmenm frme brda, prmenm raspreda masa itd... Pstji, međutim, i drugi put. Ljuljanje se mže smanjiti primenm specijalnih uređaja tzv. stabilizatra ljuljanja. Ovi uređaji đ se prvenstven primenjuju j kd valjanja, a sasvim izuzetn, i t sam kd specijalnih brzih brdva, i na smanjenje psrtanja i pniranja. Pstji niz različitih stabilizatra, kji se baziraju na bitn različitim principima... i i (Sam termin stabilizatr nije adekvatan, jer nijedan d uređaja ne pvećava stabilitet...) Pasivni stabilizatri valjanja rade na dva principa: mgu pvećavati prigušenje (tpr) brda pri valjanju t su prigušivači valjanja, a mgu vršiti tzv. dinamičku apsrpciju scilvanja, dnsn biti tzv. dinamički apsrberi valjanja. a. Prigušivači valjanja Ljuljne kbilice Ljuljne kbilice (bilge keels) su tipičan pasivni stabilizatr valjanja kji radi na principu pvećanja prigušenja... Ustvari, t je najprstiji, najmanje efikasan, ali i najčešće primenjivan stabilizatr valjanja... PREDAVANJA 009. 19

Tešk da ga mžem nazvati uređajem... reč je plčama kje se pstavljaju (zavaruju) upravn na uzvj brda, i tak remete pprečn pstrujavanje vde pri valjanju... 1 M = r F = r c v A ρ B v r kϕ ϕ GK + k k k k k k M ρc r A ϕ ϕ 3 k k k k Jednačina valjanja brda sa ljuljnim kbilicama Mment k se x kji stvaraju sile kje deluju na kbilice su ( ) cs ϕ+ μ ϕ+ β + β ϕ ϕ + ω ϕ = αω ωt ϕ ϕ k ϕ ϕ T PREDAVANJA 009. 0

Ljuljne kbilice pvećavaju keficijent prigušenja za β ρcr Ak D j 1+ ϕ ck 5 7 3 k k k x ( κ ) Uticaj ljuljnih kbilica je najveći u klini reznancije... Pstji niz semi-empirijskih pstupaka za preciznije dređivanje keficijenta c k... Efikasnst ljuljnih kbilica zavisi i d njihve pvršine A k... Veće kbilice, daju veće prigušenje... Pri tme je širina kbilica, p pravilu, graničena gabaritm brda (nalaze se unutar pravuganika B x H)... i najčešće je u granicama 0,3 1 m. U prtivnm, kbilice bi smetale pri pristajanju i plvidbi u plitkj vdi. Zat dužina kbilice treba da bude št veća, i najčešće se kreće u granicama 5 50% dužine brda. Tipičn, smanjenje reznantng pika je Δ P = 0, 5 0, 5 Na neregularnim talasima zavisi d slučaja d slučaja (plžaja pikva prensne funkcije valjanja u dnsu na spektar nagiba talasa), ali tipičn ϕ PREDAVANJA 009. 1

Pbljšanje dstiže 0%... Primena ljuljnih kbilica ima i svjih mana... Kbilice su izdanci kji pvećavaju kvašenu pvršinu brda, i time tpr brda pri plvidbi u mirnj vdi... Da bi se vaj negativni efekat smanji, dnsn graniči sam na pvećanje tpra trenja, kbilice treba pstaviti tak da minimaln remete uzdužn pstrujavanje brda... Za dređivanje plžaja kbilica duž brda, čest se kriste eksperimenti u kme se strujanje vizualizuje... Na mdel brda se, u klini uzvja, lepe trake i prati se njihv plžaj tkm kretanja mdela krz mirnu vdu... Na snvu tga se druđuje pravac strujnica, duž kga se pstavljaju ljuljna kbilica... Prblem se mže javiti kd brdva kji se, u službi, kreću bitn rezličitim brzinama (npr. remrkeri, ribarski brdvi itd), jer plžaj ljuljnih kbilica ptimalan za jednu, mže biti izrazit nepvljan za drugu brzinu plvidbe... Duggdišnje iskustv je pkazal da izvesn pvećanje tpra brda, pa i težine knstrukcije kje stvaraju ljuljne kbilice, predstavlja razumnu cenu za smanjenje valjanja... Zat je većina savremenih mrskih brdva, uklik nemaju neki efikasniji (i skuplji) uređaj, premljena bar vim jednstavnim stabilizatrm... PREDAVANJA 009.

Paravani Kd manjih brdva, a psebn kd ribarskih brdva gde ljuljne kbilice mgu smetati pri izvlačenju mreža... kriste se i tzv. paravanski stabilizatri paravani. Oni su psebn ppularni na Severnm Atlantiku, u pribalju Kanade i SAD... Reč je čeličnim plčama specifičng (bičn truglastg) blika vezanih sajlama, kje se spuštaju u vdu prek izbačenih držača, tak da ih brd vuče tkm plvidbe p talasima... Pšt sajle prense silu sam dk su zategnute, paravani rade neizmeničn... Prigušenje tkm valjanja stvara sam jedan d paravana naj kga brd u tm trenutku pvlači naviše... PREDAVANJA 009. 3

Kada brd ne napreduje, uticaj je sličan uticaju ljuljnih kbilica... Tipičan uticaj na neregularnim talasima Kada brd napreduje, javlja se i dpunski efekat prigušenja... Tipičan uticaj na prensnu funkciju... PREDAVANJA 009. 4

b. Dinamički apsrberi valjanja Apsrberi valjanja su mehanički scilatri kji se pstavljaju na brd s ciljem smanjenja valjanja... Ka absrber, b mže se (u principu) i )kristiti i i masa vezana prugama, klatn, ili neki slični uređaj... Pasivni ljuljni tankvi Pasivni ljuljni tankvi se dele na bične tankve (a), U-tankve (b) i spljne U- tankve (c), itd. Tankvi se, u slučaju nevremena, delimičn pune spljnm vdm kja, usled valjanju brda, sciluje... Pdešavaljem spstvene frekvencije i drugih parametara scilvanja vde u tanku, vakvi uređaji pstaju efikasni apsrberi valjanja... Pstji, međutim, i blje tehničk rešenje... Ka apsrber valjanja se, najčešće, kristi vda u specijalnim tzv. pasivnim luljnim tankvima brda... klatn dizalica... Analiziraćem jednu d mgućih knstrukcija: pasivni U-tank... Tipičn, kristi se tankvi u dvbku k sredine brda, kji se spajaju cevima... PREDAVANJA 009. 5

Treba, prv, rešiti scilvanje vde u nepkretnm U-tanku μ s ω = l s ekv g l ekv l 0 = keficijent prigušenja A A spstvena frekvencija stuba tečnsti dl ekvivalentna dužina stuba tečnsti U slučaju Pri izvđenju diferencijalne jednačine scilvanja, plazi se d dgvarajuće Lagranževe jednačine druge vrste... d Ek E dt s s k = Q Dbija se, nakn izvđenja... s+ μ s + ω s = 0 s s s A l h + ( B b ) d A ekv s s s d Punjenjem / pražnjenjem tanka, menja se l ekv, dnsn pdešava spstvena frekvencija ω s... PREDAVANJA 009. 6

U tank, na brdu kji se ljulja... Interesuje nas prensna funkcija (dnsn amplituda) valjanja P ϕ ϕ = α U klasičnm slučaju P = f( Λ, Ψ ) ϕ ϕ ϕ gde su ωt Λϕ = ω ϕ Ψ ϕ μ = ω ϕ ϕ Prblem sa dva stepena slbde... d dt Ek ϕ E k = ϕ Q ϕ d Ek E dt s s k = Dbijaju se spregnute jednačine... ϕ + μ ϕ+ ω ϕ + a s+ c s = ωα csω t ϕ ϕ s s ϕ T Q s Sada je gde su Λs P = f( Λ, Ψ, Λ, Ψ ) ϕ ϕ ϕ ωs Λs = ω ϕ s s μs Ψ s = ω je mguće menjati (pdešavati) prmenm niva vde u tanku... s s + μ s + ω s+ a ϕ+ c ϕ = 0 s s ϕ ϕ Ψ s je mguće menjati (pdešavati) tvaranjem zatvaranjem zasuna PREDAVANJA 009. 7

Razmtrićem, prv, slučaj slabg prigušenja vde u tanku Ψ s 1 dnsn slučaj kada je zasun u spjnj cevi ptpun tvren... Psmatrajm rešenja u funkciji Λ φ, pri različitm parametriu Λ s... Da bi se eliminisa reznantni pik valjanja, nephdn je pdesiti ω = ω s ϕ T je pšte pravil pasivng U-tanka: spstvenu frekvenciju scilvanja vde u tanku treba izjednačiti sa spstvenm frekvencijm valjanja brda... Efekat na reznantnu amplitudu valjanja je tada vema veliki... PREDAVANJA 009. 8

Međutim, prensna funkcija valjanja brda, umest jedng reznantng pika, sada pseduje dva pika... Tank uklanja pasnst d reznantng valjanja, ali ugržava brd na talasima drugih, ranije bezpasnih frekvencija... Na neregularnim talasima, nva prensna funkcija brda s tankm ne mra biti pvljnija d prensne funkcije brda bez tanka... Dbija se Pretpstavićem sada da se spstvena frekvencija scilvanja vde u tanku pklapa sa spstvenm frekvencijm valjanja brda (Λ s = 1)... Odnsn da je tank, shdn prethdnj analizi, najefikasniji... Ispitaćem, pd tim uslvm, lučaj jakg prigušenja vde u tanku... Pstiže se pritvaranjem zasuna... Uticaj vema mali... Pvljan u klini raznancije... Nepvljan u dalekj ptkritičnj blasti... Optimaln rešenje se (čigledn) nalazi između slučaja slabg, i slučaja jakg prigušenja... PREDAVANJA 009. 9

Treba naći srednje - umeren prigušenje scilvanja vde u tanku... pri kme prensna funkcija valjanja brda nema izraženi reznantni pik, ali ni nve pikvi u ptkritičnj i natkritičnj blasti... I stvarn, pri vrednstima μs Ψ s = 0, 035, ωs dbija se Prensne funkcije valjanja brda s ljuljnim tankm su, pri vema malim frekvencijama talasa, veće d jedan... Ovaj rezultat psledica je statičkg efekta slbdne pvršine... dnsn smanjenja efektivne metacentarske visine pd uticejem slbdne pvršine vde u tanku. Da vaj statički efekat ne bi bi suviše veliki, graničava se dns AG 0, MG št, kd ubičajenih knfiguracija, daje dns mase vde u tanku prema deplasmanu brda m 00, 005, D = Ov graničenje, međutim, graničava i efikasnst ljuljnih tankva... PREDAVANJA 009. 30

Na neregularnim talasima dbija se Veličina, a time i efikasnst ljuljng tanka je graničena negativnim efektm slbdne pvršine vde u tanku na statički stabilitet brda... Da bi tank, u kviru svje veličine, ima maksimalan efekat, treba pdesiti parametre tanka... Da rezimiram... Pgdn je ka pasivne U tankve kristiti tankve u dvbku k sredine brda, kji se spajaju cevima... št je tehnički lak izvdljiv... Spstvena frekvencija scilvanja vde u tanku treba da je jednaka spstvenj frekvenciji valjanja brda... prigušenje treba da bude umeren, između ekstremn malg i ekstremn velikg... Ovi parametri se pdešavaju prmenm niva vde u tanku... i pdešavanjem plžaja zasuna... Analiza stalih tipva pasivnih tankva, vema slična... PREDAVANJA 009. 31

5.4.3.. Aktivni stabilizatri Aktivni stabilizatri valjanja predstavljaju de petlje autmatskg upravljanja (kntrle) valjanja... Aktivna peraja Aktivna peraja su vrsta pdvdnih krila, kja se pstavljaju iznad uzvja, k sredine brda Na brdu pstje merni uređaji senzri, kji mere kretanje brda (npr. nagib, uganu brzinu, ugan ubrzanje valjanja)... Na snvu izmerenih kretanja sistem aktivira serv mtr, kji dalje pkreće sam stabilizatr... Kretanje stabilizatra utiče na valjanje brda, št registruju senzri... čime se petlja zatvara. Krila su simetrična, i vezana za serv mtr kji mže menjati napadni uga nastrujavanja vde tkm plvidbe... Peraja se, p pravilu, mgu uvlačiti u trup, da ne bi pvećavala tpr na mirnj vdi i smatala pri pristajanju brda... Kd ratnih brdva su češća fiksna rešenja... PREDAVANJA 009. 3

Presek peraja je simetričnan hidrprfil na kji, pri napredvanju brda, vda nastrujava brzinm v Keficijent uzgna prfila c L zavisi d vitksti krila A R, i d tipa prfila... Za peraje zadate gemetrije, keficijent uzgna prfila je, međutim, isključiv funkcija napadng ugla ε... Uklik je napadni uga ε = 0, na prfil deluje sam sila tpra F D Uklik je napadni uga različit d nule, javlja se i sila uzna 1 Za (relativn) male napadne uglve zavisnst F L = c L Ap v ρ je približn linearna Za razliku d ljuljnih kbilica, uticaj peraja na valjanje bitn zavisi d brzine plvidbe... i v = 0 je praktičn zanemarljiv... pri čemu se, s prmenm smera napadng ugla menja znak keficijenta c L, dnsn smer sile uzgna... c L a ε L PREDAVANJA 009. 33

Peraja na suprtnim bkvima su pdešena tak da zaklapaju napadne uglve suprtng smera... Sada dlazim d ključng prblema vg, i svakg drugg aktivng stabilizatra... P km zaknu treba pkretati stabilizatr da bi uticaj na smanjenje valjanje brda bi najveći? Kak izabrati zakn zakretanja peraja ε(t)? Sile kje deluju na dva peraja stvaraju ukupan mment za su x M = F r = ρc A r v p L p L p p ρ A rv aε = aa ε() t p p L L M Mment kjim peraje deluju na brd je, prema tme, srazmeran napadnm uglu peraja, dnsn zaknu zakretanja peraja ε(t)... Diferencijalna jednačina valjanja brda sa perajama, na regularnim talasima, glasi ( x ϕ ) J + m ϕ + n ϕ + gdmg ϕ = ϕ = gdmgα csω t M T p Nameće se, makar na prvi pgled, rešenje kd kga aktivni mment pništava pbudni mment talasa M = gdmg α csω t p T dnsn zakn zakretanja peraja glasi gdmgα ε() t = csωt t a PREDAVANJA 009. 34

Tada bi valjanje brda pisivala jednačina slbdnih scilacija, čije rešenje vremenm pada i teži nuli, pa se brd na talasima upšte ne bi valja! Takv elegantn pništavanje valjanja, j na žalst, nije tehnički izvdljiv. Na brdu nije unapred pznata frekvencija talasa ω T, a ni amplituda nagiba talasa α, psebn u slučaju plvidbe p neregularnim talasima... Zat nije mguće serv mtru zadavati kretanje kji zavisi d vih veličina... Ma klik pništenje mmenta talasa delva primamljiv, mram ptražiti drug, tehnički primenljivije rešenje. Nephdn je meriti zakne valjanja brda... i na snvu tih kretanja zadavati kretanje stabilizatru... Najblje (iak ne i jedin rešenje) je n pri kme serv mtr zakreće peraja srazmern uganj brzini valjanja brda ε () t = ϕ a ω Tada se aktivni mment peraja menja p zaknu M p = alam ε () t = alama ω ϕ a diferencijalna jednačina valjanja pstaje ( x ϕ ) dnsn J + m ϕ + n ϕ + gdmg ϕ = ϕ = gdmg α cs ωtt alama ω ϕ ( ) ϕ ϕ ϕ cs ϕ + μ + μ ϕ + ω ϕ = αω ωt p T Aktivni mment peraja se (frmaln) javlja ka ddatni keficijent prigušenja aktivn prigušenje μ p..! Aktivni stabilizatr tak napada isti član ka i najprstiji prigušivači valjanja ljuljne kbilice... Rezultat aktivng stabilizatra je, međutim, dalek pvljniji... PREDAVANJA 009. 35

Kd brzih brdva (tipičn v > 15 čv) uticaj peraja pstaje vema značajan, a prigušenje valjanja vema efikasn... Na neregularnim talasima Tipična prensna funkcija valjanja velikg gputničkg brda (kruzera) premljeng aktivnim perajama Reznantni pik je, zbg velikg aktivng prigušenja ptpun pništen, a prensna funkcija mntn pada s prastm frekvencije valjanja. PREDAVANJA 009. 36

Aktivne peraje su vema efikasan stabilizatr valjanja... Danas, najefikasniji... Imaju, međutim, i dve bitne mane... Njihva efikasnst zavisi d (kvadrata) brzine plvidbe... Uticaj im se smanjuje sa smanjenjem brzine plvidbe, i neuptrebljive su kd sprih brdva... Takđe, ce uređaj, kji sim peraja buhvata senzre, serv mtr i ddatnu premu, je vema slžen i skup... Psebn u slučaju kada se peraje uvlače u trup brda. (Cena je i prek milin dlara) Zat nisu primenljiva na jeftine brdve... Žirskpi Kada se u knjigama ili predavanjima iz Mehanike stigne d pglavlja žirskpima, naglasi se (mžda da se pravda slžena terija kja sledi) da žirskpi služe ka stabilizatri valjanja brda... T je sam delimičn tačn. Žirskpi su se primenjivali ka stabilizatri valjanja u prvj plvini dvadesetg veka, ali su danas praktičn istisnuti iz uptrebe... I pred tga, vde ćem bjasniti princip njihvg rada, i t ne sam iz istrijskih razlga... Naime, iak istisnuti iz uptrebe ka stabilizatri, žirskpi su se (zbg svjih jedinstvenih sbina) izbrili za drug, važn mest unutar petlje autmatske stabilizaciju valjanja brda... Uz t, i danas se pvremen javljaju pkušaji reaktiviranja žirskpi ka aktivnih stabilizatra valjanja brda... PREDAVANJA 009. 37

Osnvni de brdskg žirskpa za stabilizaciju valjanja predstavlja disk (rtr) velikg prečnika i mase, kji se velikm, knstantnm uganm brzinm brće k spstvene se... Neka je t sa z, a ugana brzina spstvene rtacije ω = cnst Ugana brzina spstvene rtacije mže se izraziti u vektrskm bliku ω = ωk Ležajevi A 1, A, kje se slanja vratil rtra nisu nepkretni, već su vezani za prsten (ram) kji mže da se ljulja (brće) k pprečne se y... pri čemu se ram (prek svg vratila) slanja ležajeve B 1, B, kji su krut vezani za trup brda... Uganu brzinu brtanja rama k se y je ugana brzina precesije ω p, kja se u vektrskm bliku izražava ka ω = ω p p j Dk nema precesing kretanja (dk je ω p = 0) vakav uređaj žirskp, ne pkazuje nikakva neubičajena svjstva... Međutim, kada mu se zada mal precesin kretanje ω () t ω p dnsn kada se zaljulja k se y... menja se pravac se spstvene rtacije z, a uređaj se vj prmeni dupire na ptpun specifičan (žirskpski) način... PREDAVANJA 009. 38

Javlja se žirskpski efekat, dnsn uređaj stvara žirskpski mment M = J ω ω = J ω ω i G z p z p Mment je upravan na vektre uganih brzina, dnsn deluje k uzdućne se brda x... Znači, mment ne teži da vrati su spstvene rtacije u prvbitni plžaj, već da ce uređaj brne k treće, upravne se... Fizički, mment deluje na rtr, i prensi se ka spreg dve suprtne dinamičke sile F A (kje deluju u ležajevima A 1, A ) na ram... Dalje, j,prek sprega dinamičkih sila F B (kje deluju u ležajevima B 1, B ) žirskpski mment se prensi na trup brda... Pema tme, kada se ram žrskpa zaljulja p zaknu ω p (t), na brd će delvati mment M () t = J ωω () t G z p Uklik su mment inercije i sptvena ugana brzina žirskpa dvljn veliki, vakav mment mže služiti za stabilizaciju valjanja brda... PREDAVANJA 009. 39

Videli sm da je aktivni stabilizatr najefikasniji kada deluje mmentm kji je srazmeran uganj brzini valjanja brda... Prema tme, zakn preceseije kji se zadaje žirskpu treba da glasi ω () t p ϕ() t = a ϕ() t tak da se žirskpski mment menja p zaknu M t = J ω a G() z ω ϕ () t cnst dnsn (matematički) da pvećava prigušenje u diferencijalnj jednačini valjanja brda... Dbr prjektvan aktivni žirskp nije manje efikasan d aktivnih peraja... Čak ima i jednu značajnu prednst: njegva efikasnst ne zavisi d brzine plvidbe, tak da mže smanjiti i ljuljanje brda kji ne napreduje... ω Žirskpi, međutim, imaju niz zbiljnih mana... T je slžen i skup uređaj, kji zahvata značajan (žirskpski) prstr unutar brda... Uređaj, sem serv mtra kji zadaje precesin kretanje, mra psedvati i mtr kju zadaje staln (knstantn) spstven brtanje... Tipičn, veliki putnički brdvi su imali više žirskpa, sa rtrima prečnika prek 4 m, mase prek 300 t, kji bi se pkretali u slučaju luje, i brtali sa skr 1000 /min. Uređaji imaju i ddatne prbleme, vezane za samu prirdu žirskpskg efekta... Zamislim da brd sa žirskpm pčne da psrće... Žirskp bi t prepzna ka precesin kretanje, stvri mment k uzdužne se i izazva valjanje brda! Rešenje je, na prvi pgled, da se uređaj brne za 90, tak da sa spstvene rtacije pstane hrizntalna... Tada bi, međutim, svak skretanje brda izazival neželjene žirskpske efekte... PREDAVANJA 009. 40

Ovi prblemi se mgu rešiti ugradnjm dva (tzv. tandem) žirskpa kji međusbne pništavaju neželjene efekte... Sistem se, međutim, ddatn kmplikuje, i pstaje neknkurentan drugim aktivnim uređajima za stabilizaciju valjanja brda... Jedan d (retkih) savremenih pkušaja revitalizacvije žirskpa Žirskpi su (mžda) izgubili utakmicu ka stabilizatri, ali su se izbrili za drugu važnu ulgu... Osnvna sbina žirskpa je da prepznaje prmenu pravca se spstvene rtacije, i da na nju reaguje stvaranjem žirskpskg mmenta... Ova sbina ima ce niz važnih primena... a idealna je za ulgu senzra u petlju autmatske stabilizacije valjanja... Naime, ak je ram žirskpa pstavljen tak da precesiju stvara valjanja brda... žirskp će na svak valjanje reagvati mmentm srazmernim uganj jbrzini i valjanja... i na taj način davati impuls serv mtru aktivng stabilizatra npr. perajima. A za vu svrhu, žirskp ne treba da ima velike dimenzije i veliku masu, niti visku cenu... PREDAVANJA 009. 41

Aktivni ljuljni tankvi U pasivnim ljuljnim tankvima, vda vrši slbdn scilvanje... Efikasnst ljuljnih tankva mže se bitn pvećati ć ak se u njih ugrade uređaji đ kji izazivaju prinudne scilacije vde... Za t su psebn pgdni U-tankvi, u kje se mže ugraditi reverzibilna pumpa u spjnu cev... ili peridičn dvdi vazduh viskg pritiska u prstr nad slbdnm pvršinm... U prvj varjanti se (tipičn) kristi prpelerska pumpa velikg kapaciteta. U drugj varjanti, vazduh pd pritiskm se dvdi iz kmpresra i razvdi prek četvrkrake slavine... Ubičajen je da ba rešenja služe i ka nakretni sistemi brda... dnsn sistemi kji ispravljaju neželjeni statički nagib brda. PREDAVANJA 009. 4

Tipična prensne funkcije brda sa aktivnim ljuljnim tankvima (slab prigušenje, slučaj sa kmpresrm)... k p gde je bϕ = Δ p = k p ϕ ρlekv Dbijene prensne funkcije pkazuju da efekti aktivng tanka (makar terijski) ne zastaje za efektima aktivnih peraja.. Ddatn, uticaj ljuljnih tankva ne zavisi d brzine napredvanja brda, i u tm pgledu imaju značajnu prednst u dnsu na aktivna peraja... Situacija, međutim, nije tlik pvljna... Kd vih stabilizatra, zbg veće inercije sistema, ne mže se izbeći značajn kašnjenje kretanja vde u tanku za uganm brzinm valjanja... št bitn pgršava realni blik prensne funkcije u dnsu na dbijena terijska rešenja... Psebn su u vm pgledu nepvljni U-tankvi s reverzibilnim pumpama... Takđe, i utršak energije za aktiviranje U-tanka je relativn velik... Zat se, u praksi, aktivni ljuljni tankvi nisu pkazali knkurentni aktivnim perajama... i danas su (za razliku d pasivnih tankva) praktičn istisnuti iz uptrebe... (?) PREDAVANJA 009. 43

Krmil Na svakm brdu pstji krmil i krmilarski uređaj, ptpun nezavisn d prblema pnašanja brda na talasima... Pstjeće ć krmil se, međutim, đ mže iskristiti i ka aktivni stabilizatri valjanja brda... Ustvari, pmrci su duvek znali da veštim manipulisanjem krmilm mgu smanjiti ljuljanje brda... I dk su ni t vekvima radili na snvu iskustva (na sećaj)... danas su razvijeni sistemi upravljanja krmilarskim uređajem kji autmatizuju vaj tradicinalni metd stabilizacije brda. Terija je, u principu, vema slična, teriji peraja... Efikasnst uređaja je, međutim, znatn manja... Prjektant uređaja s aktivnim perajima dređuje (bira) parametre peraja tak da dbije dvljn velik aktivn prigušenje valjanja... Pd njegvm kntrlm su, pre svega, pvršina peraja i maksimalni napadni uga peraja... Kd krmila je situacija drugačija... Pvršina krmila je zadata drugim uslvima, i nije pd kntrlm prjektanta uređaja za stabilizaciju valjanja... Osnvna razlika je, međutim, u maksimalnm napadnm uglu... Kd peraja je vaj uga graničen sam hidrdinamičkim uslvima (dvajanjem strujnica, kavitacijm), i kreće se k 5... Kd krmila, da bi se izbegl skretanje brda s kursa, uga zakretanje se graničava na znatn manje vrednsti... PREDAVANJA 009. 44

Aktivn prigušenje kje se pstiže krmilm je zat dalek manje... Krmil, ka stabilizatr valjanja, je dalek manje efikasn d aktivnih peraja, i dgvara (grub) tipičnim pasivnim stabilizatrima valjanja... tak da vakav metd stabilizacije ne zahteva pseban stabilizatr, niti pseban serv mtr. Sve št treba ddati je senzr valjanja, id dpunski sistem upravljanja j (pstjećeg) ć krmilarskg uređaja... S druge strane, i krmil i krmilarski uređaj već pstje na brdu... Uređaj je zat k deset puta jeftiniji, i neuprediv manji, i lakši d aktivnih peraja... Ddatna prednst je št se mže naknadn ugraditi u brd, bez ikakve značajnije reknstrukcije... PREDAVANJA 009. 45

Izbr tipa stabilizatra Ubičajen je da savremeni brdvi imaju neki d stabilizatra ljuljanja... Uklik su ne nedvljne... treba razmišljati pasivnim ljuljnim tankvima... Danas se, najčešće kriste ljuljne kbilice, pasivni ljuljni tankvi, aktivne peraje Praktičn svi kmercijalni i ratni brdvi imaju (bar) ljuljne kbilice... Tipičn, savremeni kntejnerski brdvi imaju pasivne ljuljne tankve... Smanjuju i pasnst d parametarskg valjanja.. PREDAVANJA 009. 46

Uklik su ljuljni tankvi nedvljni, najblji (i najskuplji) stabilizatr su aktivna peraja (active fins)... Pstji i niz drugih stabilizatra: paravani (za ribarske brdve) krmila (za brze brdve, psebn pri naknadnm ugrađivanju) aktivni ljuljni tankvi (trenutn ptisnuti) žirskpi (pnv) itd... Kriste ih putnički brdvi (kruzeri)... Ratni brdvi (sistem bez uvlačenja) Mega jahte... PREDAVANJA 009. 47

5.5. OPERATIVNOST BRODA Imali sm prblem da cenim ukupnu pmrstvenst brda... da upredim kvalitet različitih brdva... T nam mgućava parametar pznat ka peratinst brda (perability), ili peracina efikasnst brda... Operativnst brda predstavlja vervatnću da će, pri iizvršenju zadatka, sve nrme pmrstvensti ti biti zadvljene... Ustvari, vervatnću da će brd mći da izvrši traženi zadatak... Da bi se dredila perativnst brda ptrebn je, prv, prračunati č pjedine karakteristike kt tik ljuljanja u funkciji visine talasa... i drediti stanje mra (visinu talasa) na kme brd dstiže maksimaln dzvljene vrednsti (nrme) vih karakteristika ljuljanja... Zatim, na snvu dugrčne statistike stanja mra... treba drediti vervatnću dstizanja baš ne visine talasa na kjima brd dstiže nrme... T je slžen, i biman psa... Prikazaćem pstupak, krz jedan tipičan primer... Mali kntejnerski brd fider dužine 110,6 m, brzine 14 kn, plvi na Severnm Atlantiku (zna 9) s istka na zapad, u zimskm peridu... PREDAVANJA 009. 48

Prračunam (npr) RMS vrednst pprečng ubrzanja na kmandnm mstu, pri plvidbi na bčnim talasima... Odredim visinu talasa na kjima ubrzanje dstiže nrmu (npr. 0g) 0,g)... i dbijam tak ( aη ) 1 3 h / = f( μ) Unutar sive zne, nrma je zadvljena... Dbijam (npr) ( aη ) 1 3 h / ( 90 ) 4, 75m Uradim t za različite pravce plvidbe... Klika je vervatnća pjave talasa pri kjima je nrma zadvljena..? Zavisi d blasti plvidbe... Zna 9, pravac plvidbe istk zapad, zimski perid... PREDAVANJA 009. 49

Vervatnća pjavljuvanja telasa u blasti 9, decembar - februar h 1/3 (m) W NW N NE E SE S SW μ = 180 μ = 135 μ = 90 μ = 45 μ = 0 μ =- 45 μ = -90 μ =- 135 0-1 0.00683 0.00486 0.003014 0.003801 0.00431 0.0043 0.0033 0.007311 1-0.09313 0.01989 0.01306 0.01099 0.01503 0.0184 0.031 0.037149-3 0.040994 0.04816 0.0157 0.011587 0.015893 0.0585 0.05989 0.04367 3-4 0.03989 0.01545 0.0137 0.008565 0.011519 0.01844 0.045614 0.03873 4-5 0.0384 0.015679 0.008038 0.00567 0.0070 0.01081 0.0891 0.0857 5-6 0.0444 0.010378 0.004773 0.00885 0.003881 0.00588 0.0157 0.01877 6-7 0.01675 0.00654 0.00638 0.001466 0.001971 0.00310 0.007958 0.011461 Dbija se (npr) ( aη ) V h13 / ( 90 ) 0, 0030 + 0, 01306 + 0, 0157 + + 0, 014 + 0, 0080 = 0, 05... 7-8 0.0110 0.004061 0.001444 0.000687 0.00094 0.001598 0.003688 0.00766 8-9 0.007053 0.0048 0.000754 0.00031 0.000493 0.000846 0.001747 0.00395 9-10 0.004408 0.001466 0.00044 0.000137 0.00046 0.00047 0.000776 0.00174 10-11 0.00645 0.00090 0.00051 9.16E-05 0.00013 0.0008 0.000388 0.001186 11-1 0.001543 0.000564 0.00016 4.58E-05 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.00079 1-13 0.00088 0.000338 6.8E-05 0 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.000395 13-14 0.000661 0.0006 6.8E-05 0 0 0 0 0.000198 prek 14 0.00088 0.000338 6.8E-05 0 0 0 0 0.000395 PREDAVANJA 009. 50

Uradim t za sve pravce plvidbe u dnsu na talase... i saberem vervatnće n μn n μ = 180 μ = 180 ( aη) ( aη) V = V h μ + V h μ a / ( ) / ( ) η 1 3 n 1 3 n = 0 μ = 0 n Određene su ( ϕ) ( ψ) ( a ) V h13 / ( μ), V h13 / ( μ), V h13 / ( μ), ( aη ) ( slem) V h13 / ( μ), V h13 / ( μ) Dbijam vervatnću da u zimskim mesecima pprečn ubrzanje neće biti veće d nrme... Pstupak treba pnviti za niz različitih karakteristika ljuljanja brda, i dgvarajućih nrmi... U knkretnm primeru, zbg jednstavnsti, analiziran je sam 5 karakteristika pvrstvensti: RMS vrednst amplitude valjanja, psrtanja, vertikalng i pprečng ubrzanja na kmandnm mstu, i vervatnću sleminga... ϕψ,, a, a, V( slem) η PREDAVANJA 009. 51

Vervatnća da pjedinačna karakteristika ljuljanje brda neće prevazići nrmu (dnsn da će karakteristike ljuljanja biti manje d maksimaln dzvljenih), za sve mguće uglve plvidbe brda u dnsu na talase, je tada μ = 180 μ = 180 n n () i () i Vi = V h1/ 3( μn) + V h1/ 3( μn) μ = 0 μ = 0 n n Vervatnća da će sve nrme biti zadvljene jednaka je prizvdu svih vervatnća, i iznsi Ω = V V V = V = 1 3 i i 1 n T je tražena perativnst (peracina efikasnst) brda U knkretnm primeru, dbija se Ω 0,7 =7% Tliki prcenat vremena brd bi bi u stanju da bavlja predviđenu službu u zimskim mesecima na Severnm Atlantiku... U prestaih 8% slučajeva, kntejneri ne bi mgli biti ispručeni u predviđenm rku... PREDAVANJA 009. 5

Da se vidi primena vg bezdimenzing parametra, upredićem neklik različitih brdva... Brd A mali kntejnerski brd (L = 110 m)... Brd B veliki kntejnerski brd (L = 8 m)... Brd C mali kntejnerski brd, većeg dnsa L/T... Brd D kntejnerski brd (L = 175 m), V frme rebara... Brd E kntejnerski brd (L = 175 m), U frme rebara... Brd F kntejnerski brd (L = 175 m), veće brzine plvidbe... Svi u blasti 9 Severng Atlantika, tik u zimskim mesecima... Primeri ptvrđuju n št sm (kvalitativn) već znali... Pmrstvenst brda se pbljšava sa pvećanjem brda, sa smanjenjem brzine plvidbe, sa ppunjavanjem vdne linije... Međutim, sada imam, u frmi bezdimenzing parametra Ω, i bjektivnu kvantitativnu meru vih uticaja... PREDAVANJA 009. 53