ELEMENTI TEORIJE SKALARNIH I VEKTORSKIH POLJA Skalano polje. Gadijent Posto u čijoj je svakoj tački M definisana funkcija U(x,y,z) = U(M) = U( ) ( je vekto položaja tačke M) zovemo skalano polje. U daljem tekstu, pod skalanim poljem ćemo podazumevati samu funkciju U(x,y,z). Skalano polje U(x,y,z) je stacionano, a ako funkcija U zavisi i od vemena, U(x,y,z,t) u pitanju je nestacionano skalano polje. U daljem tekstu ćemo se oganičiti na stacionano skalano polje. Pod ekviskalanom povšinom podazumevamo geometijsko mesto tačaka u kojima funkcija U ima istu vednost: U( x, y, z)= U0 = const (7.16) Jednačina (7.16) pedstavlja u stvai jednačinu ekviskalane povši. Posmatajmo pomenu skalanog polja U(x,y,z) u pavcu l definisanom jediničnim vektoom l o sa komponentama, tj. koodinatama cosα, cosβ, cosγ, gde su, kao što znamo, α,β i γ uglovi koji pavac zaklapa sa x,y i z osom (pozitivan sme) espektivno (Sl.7.9) l = 0 cos α i cos β j cos γ k Sl.7.9 Pavac u kome se posmata pomena skalanog polja u(x,y,z) Izvod skalanog polja po pavcu i gadijent Pod izvodom skalanog polja u(x,y,z) u pavcu l podazumevamo : U M U M U = lim ( ) ( ) 1 = lim 0 0 (7.17) i on se može intepetiati kao bzina pomene polja u tački M u pavcu l. Da se podsetimo da je piaštaj funkcije U, kada 0 pibližava po vednosti totalnom difeencijalu funkcije du, odnosno U = du o( ) (7.18) pi čemu je, 1
o( ) lim = 0 0 (7.18a) Kada teži nuli, pibližno istim bzinama se smanjuju i piaštaj U i totalni difeencijal du, (kažemo da su one infinitezimale istoga eda kao ). Zaista, U lim 0 du = 1 U lim 0 = lim 0 du = k 0, Odatle i iz (7.18) sledi da njihova azlika o( ) moa bže da teži nuli u odnosu na (infinitezimala višeg eda u odnosu na ), odnosno da važi (7.18a). Nakon unošenja (7.18) u (7.17) u = lim 0 x u y y u z z o( ) Kako je: x y z = cos α, = cos β, = cos γ imamo, uzimajući u obzi (7.18a) α U β U = cos cos cos γ (7.19) y z Da se podsetimo da se vekto sa koodinatama, skalanog polja:, U y, U z naziva gadijent gad U = i j k = U (7.0) y gde je Hamiltonov opeato ili nabla opeato i pedstavlja simbolički vekto: = i y j z k (7.0a) koji ima istovemeno osobine vektoa i opeatoa difeencianja. Izaz na desnoj stani jednačine (7.19) očigledno pedstavlja skalani poizvod vektoa gadu sa jediničnim vektoom pavca l 0, pa konačno za izvod polja po pavcu l možemo da pišemo: = gadu l (7.1) 0 Navešćemo sledeće osobine gadijenta:
1. gadc = 0 (C = const) (7.1a). gad(c U) = (C U) = C U = C gadu (7.1b) 3. gad(uv) = (UV) = U V = gadu gadv (7.1c) 4. gad(uv) = (UV) = U VV U = UgadV VgadU (7.1d) koje mogu jednostavno da se izvedu uz pomoć opeatoa (7.0a) imajući u vidu da on istovemeno ima svojstva vektoa i svojstva opeatoa difeencianja. Pošto je pomena skalanog polja po ekviskalanoj povšini jednaka nuli, jasno je da će izvod polja u pavcu tangente na ekviskalanu povšinu (bilo koji pavac koji leži u tangentnoj avni) biti jednak nuli: t = gadu t0 = 0 (7.) Uz pomoć (7.1) i (7.) možemo da zaključimo da gadu ima, pavac nomale na ekviskalanu povšinu i to je pavac u kome se skalano polje u(x,y,z) najbže menja, sme u kome skalano polje aste. Intenzitet koji je jednak maksimalnoj bzini pomene polja u tački M: gadu = = max n (7.3) Zaista, iz (7.) sledi: gadu t 0 pa je gadu kolineaan sa vektoom nomale na ekviskalanu povš. S obziom da izvod po pavcu pedstavlja skalani poizvod (7.1): = gadu cos( gadu, l ) 0 on će imati največu apsolutnu vednost u pavcu gadijenta je je tada: cos( gadu, l 0 ) =± 1 a to je pavac nomale na ekviskalanu povš. Pi tom, u smeu gadijenta, cos( gadu, l 0 ) = 1, ima pozitivnu vednost što znači da polje u tom smeu aste. 3
U 3 gadu U 4 U = U 4 - U 3 = U 3 - U = U - U 1 > 0 U U 1 Sl.7.10 Ekviskalane povši i gadijenti Pi U = const, manje astojanje između ekviskalanih povši ukazuje na bžu pomenu polja - upoedi dužine vektoa na slici. Gadijent u kivolinijskim koodinatama Dva najčešće koišćena koodinatna sistema poed Dekatovog (x,y,z) su cilindični (,ϕ,z). i sfeni (,θ,ϕ) koodinatni sistem (Sl.7.11a,b) x = cosϕ y = sin ϕ z = z Sl.7.11a Cilindične koodinate 4
x = sin θcosϕ y = sin θsin ϕ z = cosθ Sl.7.11b Sfene koodinate To su kivolinijski koodinatni sistemi je je ba jedna od koodinatnih linija (duž neke koodinatne linije menja se samo jedna od ti koodinate) kiva linija. Podsetimo se da se koodinatne linije dobijaju u peseku koodinatnih povši po kojima se dve koodinate menjaju, a jedna je konstantna. Tabela 7.1 Koodinatne linije i povši u cilindičnom kood. sistemu Koodinatna linija: se dobija u peseku koodinatnih povši: (hoizont. pava) ϕ = const. (vetikalna avan) z= const. (hoizontalna avan) ϕ (hoiz. kužnica) = const. (vetikalna cilindična povš) z= const. (hoizontalna avan) z (vetikalna pava) = const. (vetikalna cilindična povš) ϕ = const. (vetikalna avan) 5
Tabela 7. Koodinatne linije i povši u sfenom kood. sistemu Koodinatna linija: se dobija u peseku koodinatnih povši: (pava linija) ϕ = const. (vetikalna avan) θ = const. (konusna povš) θ (vetik. kužnica) = const. (sfena povš ) ϕ = const. (vetikalna avan) ϕ (hoiz. kužnica) = const. (sfena povš ) θ = const. (konusna povš) Tako u cilindičnom koodinatnom sistemu koodinatne linije i z su pave, ali ϕ- koodinatna linija pedstavlja kužnicu paalelnu x0y avni sa centom koji leži na z osi (Sl.711.a). Dok je -linija sfenog koodinatnog sistema pava, ϕ i θ-linije su kužnice (Sl.7.11b). U svakoj tački se mogu zamisliti jedinični vektoi-otovi koodinatnih linija koji imaju pavac tangente na liniju, a sme im ukazuje na sme u kome koodinata aste. Za sva ti koodinatna sistema je zajedničko da su otovi međusobno otogonalni i da fomiaju tijeda desne oijentacije. Ako jedinične vektoe koodinatnih linija u cilindičnom sistemu označimo sa e, e ϕ i e z (Sl.711.a) a u sfenom sa sa e, e θ i e ϕ (Sl.711.b) gadu u kivolinijskim koodinatama je: cilindične koodinate: gadu e 1 = e z e ϕ ϕ z (7.4a) sfene koodinate: gadu e 1 1 = e θ e θ sin θ ϕ ϕ (7.4b) Vektosko polje. Divegencija. Gausova teoema Posto u čijoj je svakoj tački definisana vektoska funkcija V ( ) nazivamo vektoskim poljem. Za stacionano vektosko polje možemo da pišemo: V ( x, y, z) = V ( ) = V ( M ) = V ( x, y, z) i V ( x, y, z) j V ( x, y, z) k x y z 6
-vekto položaja tačke M V x,v y,v z - Dekatove koodinate vektoa V Potok vektoskog polja Pod potokom vektoskog polja integal: V koz povšinu S podazumevamo povšinski I = V ds (7.5) S ds - vektoizovan element povši (Sl.7.11) ds = ds n (7.5a) 0 n 0 - jedinični vekto nomale na povš S Ako je vekto V vekto bzine stujanja nekog fluida, w, tada potok vektoa w koz neku povš S, po apsolutnoj vednosti, pedstavlja zapeminski potok fluida koz posmatanu povš. Zaista, posmatajmo potok vektoa w koz elementanu povš ds (Sl.7.1). Sl.7.1 Potok fluida koz element povši ds 7
Količina fluida df koja potiče koz infinitezimalnu povšinu ds jednaka je onoj koja potiče koz infinitezimalnu povšinu ds koja je nomalna na vekto bzine w i pedstavlja pojekciju povši ds na povš nomalnu na vekto w, pa imamo: df Kako je ds ' = w ds ' = ds cosα (vidi Sl.7.1), to je: df = w ds cosα = w ds cos( w, ds ) = w ds pa je ukupan zapeminski potok koz povš S: 3 F = df = w ds ( m / s) Divegencija S S Pod divegencijom vektoskog polja V ( x, y, z) podazumeva se skala: div V V V V x y z = = V y z Može se pokazati da divv pedstavlja tzv. zapeminski izvod: divv I = lim = lim V 0 V V 0 S V ds V (7.6) (7.7) gde je potok polja V koz zatvoenu povš S koju oganičava zapemina V. Ako je u pitanju vektosko polje bzina tada je: F = S w ds > 0 za neto isticanje < 0 za neto uticanje ( koz povs S ( koz povs S (7.8) Znak bojne vednosti potoka potoka je ezultat dogovoa da se nomalan jediničan vekto povši n 0 usmeava pema spoljnoj stani povši. Tako će u onim delovima povši gde fluid ističe, ugao između ds i w biti ošta a skalani poizvod pozitivan. Tamo gde fluid utiče, ugao između ds i w biće tup, a w ds negativno. Hidodinamička intepetacija divegencije je: div w pedstavlja jačinu ili izdašnost tačkastog izvoa (vidi jedn.7.7) Osobine divegencije su: 1. divc = C = 0 ( C konstantan vekto) (7.9a) 8
. div( CV ) = ( CV ) = C V = CdivV (7.9b) 3. div( V1 V ) = ( V1 V ) = V1 V = divv1 divv (7.9c) 4. div( U V ) = ( U V ) = U V V U = UdivV VgadU (7.9d) Divegencija u kivolinijskim koodinatama : cilindične koodinate: div V 1 ( V V ) 1 ϕ V = ϕ z z (7.30a) sfene koodinate: div V 1 ( V V V ) 1 (sin θ 1 θ) ϕ = sin θ θ sin θ ϕ (7.30b) Divegencija gadijenta.laplasijan Pošto gadu fomia jedno vektosko polje zanimljivo je naći njegovu divegenciju, U U U div( gadu ) = ( U ) = U = U = y z (7.31) gde je opeato delta ili Laplasijan - Laplasov opeato: = y z (7.31a) Divegencija gadijenta u kivolinijskim koodinatama: cilindične koodinate: U U 1 1 U U = ϕ z (7.3a) sfene koodinate: 1 1 sin θ θ θ U = sin θ (7.3b) 1 sin U θ ϕ 9
Konačno navodimo Gausovu teoemu: V ds = div V dv = V dv (7.33) S V V koja se diektno izvodi iz (7.7) i ima jasnu hidodinamičku intepetaciju: Količina fluida koju stvoe izvoi u poizvoljnom postou zapemine V tačno je jednaka količini fluida koja potekne koz povš S koja oganičava taj posto 10