MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij
Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........ Osnovn svojstv odredenog integrl.............. Pojm primitivne funkcije i neodredenog integrl. Neposredno integrirnje.. Osnovni pojmovi, definicije i primjeri............... Osnovn svojstv neodredenog integrl. Neposredn integrcij. Metod supstitucije........................ 9. Metod prcijlne integrcije....................5 Integrirnje nekih kls funkcij................. 5.5. Integrirnje rcionlnih funkcij............. 5.5. Integrirnje trigonometrijskih izrz............5. Integrirnje korijenskih izrz.............. Newton-Leibnizov formul i njezin primjen 8. Integrlni teorem srednje vrijednosti.............. 8. Newton-Leibnizov formul.................... Supstitucij u odredenom integrlu............... 5. Prcijln integrcij u odredenom integrlu.......... 5 Primjen odredenog integrl 5. Kvdrtur (površin rvninskih likov)............ 5. Rektifikcij (duljin luk krivulje)............... 59. Kubtur (volumen tijel).................... 6.. Kubtur rotcijskih tijel................ 6
I Integrlni rčun Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod Rzmotrimo odmh n početku pitnje čemu služi integrl i gdje se upotrebljv:. Mjerni problemi ko što su: izrčunvnje površine, duljine luk (opseg), volumen, oplošj. Primjeri iz fizike: s(t) d dt v(t) d dt (t)??. Rješvnje diferencijlnih jedndžbi: Znmo iz f izrčunti f, sd je pitnje kko iz f doći do f, tj. potrebno je odrediti y() koji zdovoljv y () = f().. Odredeni(Riemnnov )integrl. Problem površine. U osnovnoj i srednjoj školi nučili smo kko izrčunti površinu prvokutnik, trokut, kružnice itd. Sd se postvlj pitnje kko odrediti površinu likov koji nisu tko prvilni ko npr. ovj: Kko bi rzvili svoju intuiciju i rzmišljnje promotrimo već poznte primjere n nčin koji će nm biti koristn pri rzmišljnju o površini likov ko n prethodnoj slici. Georg Friedrich Bernhrd Riemnn(86-866), slvni njemčki mtemtičr
y b. Površin: [,b], f() = C y C b Od prije nm je već poznto d je površin ovog lik P = C(b ). Rd: s [s,s ], F(s) = F F F W s s s Znmo d je rd jednk umnošku sile i put tj. W = F (s s )
. Put koji smo prešli u vremenskom periodu t t brzinom v jednk je s = v (t t ) v v s t t t Pretpostvimo d immo ogrničenu nenegtivnu funkciju f : [, b] R te pogledjmo skup Ω = {(,y) : b, y f()}. Skup Ω zovemo još i krivocrtni trpez ili pseudotrpez. Želimo tom skupu Ω izrčunti površinu. Idej: Metod iscrpljivnj Podijelit ćemo zdni intervl [, b] n mnje intervle. Tu podijelu intervl [, b] nzivmo subdivizijom i oznčiti ćemo ju s D. Dkle, immo sljedeće: D... = < <... < i < i <... < n = b Nkon podijele intervl [,b] n mnje intervle [ i, i ],i =,...,n, iz svkog od podintervl izberemo medutočke i [ i, i ]. Sd pomoću izbrnih podintervl i medutočk definirmo intergrlnu ili Riemnnovu sumu koju ćemo oznčiti s S(D) n sljedeći nčin: n S(D) = f( i )( i i ) i= Sljedeć slik ilustrir što smo nprvili n rzini smo jednog podintervl subdivizije D. Prije prve definicije potrebno je uvesti pojm očice subdivizije koju ćemo oznčvti s m(d) i definirti n sljedeći nčin: m(d) = m{ i i : i =,...,n} 5
y i i i b Intuitivno, očic subdivizije je širin njvećeg podintervl u izbrnoj subdiviziji D. Definicij Kžemo d je funkcij f : [,b] R integrbiln ko postoji lim S(D) = lim m(d) m(d) n f( i )( i i ) i= Nvedeni limes (ko postoji!) oznčvmo s: b f() = lim S(D) m(d) i nzivmo odredeni integrl funkcije f n intervlu [, b]. Funkciju f zovemo podintegrlnom funkcijom, f() podintegrlnim izrzom, intervl [, b] područjem integrcije. Primjer ) Odredite približnuvrijednost koristećiekvidistntnu subdiviziju z n =. Z medutočke koristite polovišt intervl subdivizije. b) Odredite donju i gornju ogrdu (ocjenu) z koristeći subdiviziju pod ) 6
y ) Ekvidistntn subdivizij znči d će svi podintervli biti jednko dugčki i to uprvo duljine h = = p vrijedi i = + i h. Stog će subdivizij izgledti: D... = < = < = < = < = Medutočke su sredine podintervl p immo: Sd immo: S(D) = b) Ocjen odozdo (donj ogrd): = 8, = 8, = 5 8, = 7 8 ( 8 + 9 8 + 5 8 + 9 ) 8 = 8 = 8 6 Z ocjenu odozdo mormo n svkom podintervlu pronći minimum funkcije f (koji sigurno postoji jer je f neprekidn funkcij, podintervli su segmenti). S obzirom d je zdn podintegrln funkcij f() = n cijelom području integrcije [,] rstuć funkcij, slijedi d se minimum postiže uvijek u lijevom rubu intervl tj. n intervlu [ i, i ] minimum se postiže u i i iznosi f( i ) = i. Slijedi: S(D) = ( + 6 + + 9 ) = 6 6 7
Ocjen odozgo (gornj ogrd): Anlogno ko z ocjenu odozdo, ovdje mormo pronći mksimum funkcije f n svim podintervlim. Mksimum opet sigurno u ovom slučju postoji i n intervlu [ i, i ] postiže se u i i iznosi f( i ) = i. Slijedi: S(D) = ( 6 + + 9 ) 6 + = 6 Primjer ) Odredite približnu vrijednost koristeći ekvidistntnu subdiviziju z n = 6. Z medutočke koristite polovišt intervl subdivizije. b) Odredite donju i gornju ogrdu (ocjenu) ) y koristeći subdiviziju pod 5 7 8 ) Anlogno ko u Primjeru. duljin svkog od podintervl će biti h = 6 = p je subdivizij: D... = < = < = 5 < = < = 7 < 5 = 8 < 6 = 8
Medutočke: Slijedi: = 7 6, = 9 6, = 6, = 6, 5 = 5 6, 6 = 7 6 S(D) = ( 6 7 + 6 9 + 6 + 6 + 6 5 + 6 ) = 889 7 765765 =.958 b) Anlogno ko u Primjeru. potrebno je iskoristiti znnje d funkcij f() = čittelju. pd n svojoj prirodnoj domeni. Detlje prepuštmo Primjeri rčunnj odredenih integrl po definiciji Primjer b c = lim S(D) = lim m(d) m(d) n c( i i ) = = lim c(( )+( )+...+( n n )) = c(b ) m(d) Primjer b =?, medutočke su polovišt podintervl, tj. i = i + i b = lim m(d) n i= i= i + i ( i i ) = lim m(d) n i= ( i i ) = b Primjer 5 b e =?, uzimmo ekvidistntnu subdiviziju s n točk, dkle, h = b n, i = +ih b e = lim n n i= e +ih (+ih (+(i )h)) = lim n n he +ih = i= = e lim n h n i= ( ) e h i = e b lim eb n n n e (b ) e b n = {čittelju ostvljmo d izrčun sljedeće limese: lim n e b b n n =,lim n e b n = } = e b e b = (e e b ) lim e b n n n e b n = 9
Primjer 6 =?, gdje je >. Uzimmo geometrijsku subdiviziju gdje je i = q i = (n) i = i n = i = lim S(D) = lim m(d) n = lim n (n n n ) = lim n i= n n i n ( i n i n ) = lim n n n ( n ) = i= = {L n ln n H} = lim = ln n Primjer 7 α =?, gdje je >. Ponovno ko i u (d) uzimmo geometrijsku subdiviziju z q = n, i = q i = i α = lim n n i= n = lim ( n ) n i= = ( α+ n ) lim n α i n ( i n i n ) = lim n n n (α+) i n ( n ) = i= ( α+ n ) i = lim ( α+ n ) n n α+ n ( α+ n ) n α+ n = {L H} = α+ (α+) = α+ α+. Osnovn svojstv odredenog integrl. b (λf()+µg()) = λ b f()+µ b g() (ditivnost i homogenost integrl). b f() = c f() + b f(), c (,b) (ditivnost po području c integrcije). f() = ; b f() = b f(). f() g(), [,b] b f() b g() 5. f() >, [,b] b f() > Koristeći nveden svojstv sd možemo po definiciji izvesti odredeni integrl b b gdje je < < < b : = + b = b + = lnb ln =
Isto tko z < < < b možemo izvesti odredeni integrl b α = α + b Primjer 8 Nek je f() = b α = α + α = bα+ α+ α+ : [,5] : / [,5] F( ),F(),F(),F(),F(),Γ(f),Γ(F). F( ) = F() = F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = dt = dt = f(t)dt+ dt+ 5 f(t)dt = dt+ Sd ćemo odrediti F() z općeniti : < : F() = f(t)dt = dt = te F() = f(t)dt. Odredite 5 dt+ dt = +( ) = dt = +(5 )+ = 5 : F() = f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = dt+ dt = > 5 : F() = f(t)dt = dt+ 5 dt+ dt = +(5 )+ = 5 Pogledjmo kko izgled grf funkcije f i funkcije F: y y f F 5 6 7 5 6 7 : [,] Primjer 9 Nek je f() = : / [,] F( ),F(),F(),F(),F(),Γ(f),Γ(F). te F() = f(t)dt. Odredite
F( ) = F() = F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt = tdt+ tdt = = tdt+ dt = + = dt = + = Sd ćemo odrediti F() z općeniti : : F() = f(t)dt = tdt+ dt = < : F() = f(t)dt = tdt = > : F() = f(t)dt = tdt+ dt = Pripdni grfovi funkcij f i F su: y f 5 y F 5
Pojm primitivne funkcije i neodredenog integrl. Neposredno integrirnje.. Osnovni pojmovi, definicije i primjeri Definicij Z funkciju F :,b R kžemo d je primitivn funkcij (ntiderivcij) funkcije f :,b R ko je F () = f() z svki,b. Primjer () f() = = F () =,F () = + ln,f () = +6,... (b) f() = = F () =,F () = +,... (c) f() = = F () = ln,... (d) f() = e = F () = e,... (e) f() = sin = F () = cos,... Primjer () Nek je f() =. Provjerite d suf () =, F () = +, F () = + π primitivne funkcije funkcije f. (b) Nek je f() =. Pokžite d je funkcij F() = ln(c ) primitivn funkcij funkcije f z svki C >. ( ) (c) Pokžite d je funkcij F() = rctg tg primitivn funkcij funkcije f() = z π +kπ, k Z. +cos Problem jedinstvenosti primitivne funkcije Teorem Nek su F,G :,b R primitivne funkcije funkcije f : [,b] R. Td postoji C R tko d je G() = F()+C.
Dokz: Definirmo funkciju H() = G() F() d = H () = G () F () =,,b. Iz Lgrngeovog teorem srednje vrijednosti slijedi d je H() = C z neki C R i z svki,b tj. G() = F()+C,,b Definicij Skup svih primitivnih funkcij funkcije f zovemo neodredenim integrlom i oznčvmo s: f() = F()+C, pri čemu je F bilo koj primitivn funkcij funkcije f. Kžemo d je f() podintegrln funkcij, f() podintegrlni izrz, vrijbl integrcije i C konstnt integrcije. Primjer () = +C,C R (b) + = ln + +C, R (c) = ln +C,C R. Osnovn svojstv neodredenog integrl. Neposredn integrcij Osnovn svojstv neodredenog integrl su:. d f() = f() ( f() ) = f() pr. d ln = ln.. df() = F()+C F () = F()+C pr. d(sin) = sin+c. kf() = k f(), k R pr. = = ln +C
. (f ()+f ()) = f ()+ f () pr. ( + ) = + = + ln +C 5. f(φ())φ () = F(φ())+C () pri čemu je F () = f(). Metod neposredne integrcije sstoji se u tome d korištenjem gornjih osnovnih svojstv neodredenog integrl neke neodredene integrle svedemo n tblične. Tblični integrli:. = +C... 5. 6. 7. 8. 9.. α = α+ +C, α α+ = ln +C + = rctg +C, = rcsin +C, ( + = ln + + )+C, = ln + +C, = ln +C sin = cos+c cos = sin+c 5
.. cos = tg+c sin = ctg+c Zdtk Odredite neodredene integrle ) 6 b) c) sin(). Derivirnjem desne strne jednkosti lko se provjeri d je ) 6 = 7 7 +C. b) = +C. c) sin() = cos()+c. Zdtk Odredite neodredene integrle ) e b) e 5+ c) + d) 7. ) b) c) d) e = e d() = e +C e 5+ = e 5+ d(5+) = 5 5 e5+ +C + = d(+) = ln + +C + 7 = 7 7 d(7 ) = 7 ln 7 +C Zdtk ( ) = Zdtk +5 = + t = +5 dt = ( ) Je li potrebn psolutn vrijednost? Zdtk 5 cos (+sin) = t = +sin dt = cos = = = + +C. dt t = ln t +C = ln +5 +C. dt t = t +C = (+sin) +C. 6
Zdtk 6 (DZ) cos sin cos = Zdtk 7 + = + = + Zdtk 8 5+ = 5 = 5 ( ) = 5 + 5 cos sin cos sin sin cos sin cos = ctg tg+c. ( ) d 5 ( + + = rctg+c. 5 ) = 5 rctg 5 +C. Zdtk 9 (DZ) + 6 = t = dt = = dt (+t ) = rctgt+c = rctg( )+C. Zdtk 5 = = Zdtk t = + + = dt = Zdtk = ( 5 ) d( ) = 5 t 5 t dt = ln5 +C = = rcsin+ rcsin = + rcsindrcsin t = dt = 5 ln5 +C. t dt = t t+c = (+ ) + +C. ( ) d( ) = rcsin +C. 7
Zdtk sin = = sin cos = tg cos ( d lntg ) = lntg +C. = d(tg ) tg Zdtk (DZ) Anlognim trnsformcijm ko u prethodnom zdtku odredite ) cos b) +sin c) +cos. 8
. Metod supstitucije Korištenjem formule z derivciju kompozicije funkcij i formule z derivciju inverzne funkcije dobije se: = ϕ(t) f() = = ϕ (t)dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Ili preciznije: Ako je F(t) primitivn funkcij funkcije f(ϕ(t))ϕ (t), ond je F(ϕ ())primitivnfunkcijfunkcijef(),odnosno f() = F(ϕ ())+ C pri čemu je F (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). Npomen: Usporedi formulu u metodi supstitucije s (5) u osnovnim svojstvim neodredenog integrl. Zdtk 5 Riješite + supstitucijom ) = t ) b) = + = = t = t dt = = ln (t+ ( ) +t +C = ln + + = dt sint = ( ) d tg t tg t t = tgt t = rctg = dt cos t tg t = ln b) = tgt. dt t + = t + ) = +C = ln tg rctg +C. dt +t dt cos t tgt +tg t +C. Usporedite oblike primitivnih funkcij u prethodnom zdtku pod ) i b). S obzirom n Teorem n str. 9. što zključujete? Zdtk 6 Riješite korištenjem trig. supstitucije oblik = sint ) b) (DZ) 5. 9
) = = = sint t = rcsin = costdt = cos t dt = (+cost)dt = t+ sint+c sin t cost dt = t+sint sin t+c = rcsin + +C = rcsin + +C. 5 = 5sint t = rcsin b) = 5 = 5costdt = 5 5sin t 5cost dt +cost = 5 cos t dt = 5 dt = 5 (t+ ) sint +C = 5 (t+sint sin t)+c = (rcsin 5 5 + ) 5 +C. 5. Metod prcijlne integrcije Integrirjući formulu z derivirnje produkt funkcij dobije se formul prcijlne integrcije izržen u sljedećem teoremu. Teorem Nek su f i g neprekidno derivbilne n,b. Td vrijedi sljedeć jednkost neodredenih integrl f()g () = f()g() g()f (). Pokrt: U primjeni formul prcijlne integrcije se njčešće zpisuje u diferencijlnom obliku: udv = uv vdu.
OBLICI: e Pn () sinα cosβ. Zdtk 7 Odredite ) sin(π) b) e. b) = ) u = du = sin(π) = dv = sin(π) v = cos(π) π = π cos(π)+ cos(π) = π π cos(π)+ π sin(π)+c. u = du = e = dv = e v = e = e + e u = du = dv = e v = e = e + = e 9 e 7 e +C = e [ e + [ + + ] +C. 9 ] e Zdtk 8 (DZ)Odredite +5 e (... = (8 +5)e +C ). OBLICI: ln() Pn () rcsin(α) rctg(β). Zdtk 9 Odredite ) ln b) rcsin.
u = ln() du = ) ln() = dv = v = = ln() u = rcsin du = b) rcsin = dv = v = = rcsin = rcsin+ ( ) d( ) = rcsin+ +C. = ln() +C. CIKLIČKA PARCIJALNA INTEGRACIJA Zdtk Koristeći cikličku integrciju odredite ) b) + c).
) I = = = = u = dv = du = v = d( ) = ( ) / = ln + I = ln + +C I = ln + +C = b) I = = + = u = du = v = + + = dv = + d( +) + = + + + + = + + +ln(+ +) I = ++ln(+ +)+C I = ++ ln(+ +)+C c) I = = = u = = dv = du = v = = rcsin d( ) = ) ( + + I = rcsin+ +C I = + rcsin+c NAPOMENA: zdtk pod c) njbolje je riješiti metodom iz Zdtk 6 Zdtk (DZ) Odredite ) e sin b) +.
) I = u = sin du = cos e sin = dv = e v = e = e sin u = cos du = sin = dv = e v = e = e sin = e [sin cos] I. [ e cos+ e cos ] e sin Dobije se I = e (sin cos) I, što dje I = e (sin cos)+c. b) I = = + = + = + + = + u = du = dv = + v = + + +, dobije se I = + ln(+ + ) I, što dje I = ( + ln(+ + ))+C.
.5 Integrirnje nekih kls funkcij.5. Integrirnje rcionlnih funkcij U ovom poglvlju ćemo rzmotriti integrirnje funkcij oblik f() = P n() Q m () gdje su P n () i Q m () polinomi stupnj n i m respektivno. Ako je n < m, ond f zovemo prvom rcionlnom funkcijom. Postupk integrirnj:. Svodenje rcionlnih funkcij n zbroj polinom i prve rcionlne funkcije (dijeljenje). Rstv prve rcionlne funkcije n zbroj prcijlnih rzlomk oblik A ( ) i B+C gdje je p q <. (vidi postupk u zdcim) k ( +p+q) l. Integrirnje prcijlnih rzlomk Zdtk Odredite: ) + b) (+) 5 ) + = ln + +C, C R b) (+) = 5 (+) +C, C R Zdtk Odredite: ) ) +6+ = b) ( +6+) = rctg t I I = t (t +) dt = t t (t +) dt = b) +6+ ( +6+) (+) + = + rctg +C,, C R ((+) +) = dt (t +) = u = t du = dt dv = tdt (t +) v = t + 5 t + t (t +) dt = =
t + rctg t +C t + Sd slijedi ( +6+) = 8 rctg t + 8 +6+ +C [ t t + + rctg t Zdtk Odredite: ) +, b), c) ( ) + ( )+ ) = = b) = + = c) Dijeljenje polinom: ( + ] +C = + rctg 6 + = +ln +C. (++ ) = ++ln +C. ( ) ) + = ++ + + + Rstv n prcijlne rzlomke: ( ) = + ( ). (++ + = + ) ( ) = ++ln ( ) +C. Zdtk 5 Odredite: ) (+)( )( ) b) (+)( ) 6
c) (+)( ) ( ) ) ( (+)( )( ) = 5 + + 6 + ) = = 5 ln + 6 ln + ln +C. b) Rstv n prcijlne rzlomke: (+)( ) = A + + B + C ( ) / (+)( ) = A( ) +B(+)( )+C(+) ( ) I. nčin: uvrštvnje rznih vrijednosti z u ( ) = = = 9A = A = 9 = = = C = C = = = = A B +C = B = 9 II. nčin: izjednčvnje koeficijent polinom s lijeve i desne strne od ( ) = (A+B)+( A B +C)+A B +C. Rješvnje sustv = A + B = A B + C = A B + C dje A =, B = 9 i C =. Končno, 9 ( (+)( ) = 9 + + ) 9 + ( ) = 9 ln + 9 ln ( ) +C. 7
Zdtk 6 Odredite: ) + ++ b) + + c) + ( ++) d) + ( + ) ) = + ++ = t dt 5 + (+ ) + = d(t + ) dt t + t + = ln t + 5 rctg = t + t = + dt = = 5 rctg / (t )+ t + dt t / t +C = / ln( ++) 5 rctg + +C. b) c) I = + + = + ( ++) = I = + ( (+5)( ) = 7(+5) + 8 ) 7( ) = 7 ln +5 + 8 7 ln +C. (+ ) 5 ( ) (+ ) + = t = (t + dt 5 ) (t + } {{ } I t (t + dt = d(t + ) ) (t + = ) t = + dt = ) dt } {{ } I t + (t + dt = [ (t + t ) ) (t + dt = dt ) t + = ( ) ] t dt (t + }{{ ) } I 8
I = Sd slijedi, I = t u = t du = dt t (t + dt = ) t dv = dt v = (vidi I (t + ) = ) = t t + + t + dt [ dt t + I ] [ = = t t + + ] dt t + t t + + rctg / t / t + ( ) = I 5 I = (t + ) 5t (t + ) rctg t +C / 5 5 = ( ++) + rctg +C. d) Rstv n prcijlne rzlomke: + ( ) (+5) = A +5 + B (+5) + C + D ( ) A = 5, B = 9, C = 5, D = 8 9. + ( + ) = 5 ln +5 + 9(+5) + 5 ln 8 9( ) +C. Zdtk 7 (DZ) Odredite: ) + ++ b) + ( ++) 9
Zdtk 8 (DZ) Odredite rstve n prcijlne rzlomke z: ) f() = ( )( ++) b) f() = ( ) ( ++) c) f() = ( )( ++) b) ( ) ( ++) = A + B ( ) + C+D ++ c) A =, B =, C =, D =. ( )( ++) = A + B+C ++ + D+E ( ++) A = 9, B = 9, C = 9, D =, E =..5. Integrirnje trigonometrijskih izrz Zdtk 9 Odredite: ) ) 5+sin+cos = = dt +t 5+ t +t + t +t = 5+sin+cos b) sin 5+cos t = tg = rctg t+ /9 = rctgt = dt sin = t cos = t +t +t +t dt d(t+ ) t + t+ 7 = (t+ ) + 9 +C = rctg tg + /9 5 5 +C. b) sin 5+cos = t = cos dt = sin = 5+t dt = ln 5+t +C = ln(5+cos)+c.
Zdtk Odredite: ) ) 5sin +sincos+cos = t = tg = dt = cos = b) tg n c) ctg n 5sin +sincos+cos (5tg +tg+) cos d(t+ ) 5t +t+ dt = 5 (t+ ) + 9 = t+ rctg +C = rctg tg+ +C. 5 9/ 9/ 9 9 b) Z n = : t = dt = t cos tg t = cos = sin = cos dt = sin dt t dt+ t = t +ln t +C = cos +ln cos +C. Zdtk Odredite: ) cos b) sin c) cos d) cos sin ( cos() ) b) sin ( cos()+cos = = () ) = +cos() sin()+ = 8 sin()+ sin()+c. d) cos sin = = cos ( cos ) t = cos sin = dt = sin t ( t )dt = 5 t5 + 7 t7 +C = 5 cos5 + 7 cos7 +C. Zdtk Odredite: ) sin()cos(5) b) cos()cos(5) c) sin()sin(5)
( ) ) sin()cos(5) = sin(+5)+sin( 5) = (sin(7) sin() ) = cos(7)+ 6 cos()+c. Zdtk (DZ) Odredite: cos +5sin Zdtk (DZ) Odredite: sin 5 cos.5. Integrirnje korijenskih izrz + Zdtk 5 Odredite: ) b) b) ++ + = + = t 6 = ++ + 6t 5 dt t +t = 6 t t+ dt = 6t 5 dt ( = 6 t t+ ) dt = t t +6t ln t+ +C t+ = + ++6 6 + ln 6 ++ +C. Zdtk 6 Odredite: + = t 6 (t = + = 6t 5 dt = 6 )t 5 dt = t + ( = 6 t 6 t t +t + t+ ) dt = = 6 t + 7 6 6 6 5 5 + + 6 6 +ln + +6rctg( )+C.
Zdtk 7 Odredite: + + = +t = t t t ( t ) = Rstv n prcijlne rzlomke: t = + = + = t = +t t = t dt ( t ) t +t ( t ) dt = t +t ( t) (+t) dt = ( ) t +t ( t) (+t) = 8 t + 8 ( t) + ( t) + 8 +t + 8 (+t) + (+t) [ ( ) = 8 ln t 8 t ( t) + 8 ln +t + 8+t ] (+t) = ln + ( ) + ln + + + + + + ( + + + ) + Binomni integrli - integrli oblik rcionlni brojevi. Zdtk 8 Odredite: (+ ) m (+b n ) p gdje su m,n i p
= = (+ ) = t(+t) dt = = + + t = = t = t dt u = +t t = u dt = udu = t (+t) t dt = u u udu ( u )du = u+ u +C = +t+ +t +C + +C Zdtk 9 Odredite: (+ ) 5 t = dt = = (+ ) 5 (+ ) 5 = = t = = ( ) 5 t (+t) 5 dt = t t 5 (+t) 5 +t dt = t dt = t u = +t u du = dt t t u = t = = u du = u du = u = u 8 u = +t ( ) +t + = ( ) t 8 t 8 + Zdtk Promotrite: ) b) + c) + + Integrli pod ) i c) su eliptički integrli, pod b) je krvv ruž. Zdtk Odredite: ) +5 b)
) b) d( +5 = +5) +5 +5 = +5+5 ( ) + = ( +5+5ln + ) +5 +C d( = ) ( ) = 5 (+ ) = rcsin + 5 +C Zdtk Odredite: ) 5 b) ) = 5 = t d( t t ) ( ) t t 5 t = {t = +} = t+8 dt (+) t +8 dt t = prcijln integrcij n prvom integrlu = t t t + dt+ t +8rcsin t = t t +rcsin t +t t + t +8rcsin t = (+) (+) +rcsin + +t (+) + (+) +8rcsin + 5
Čittelju ostvljmo z riješiti t dt. Zdtk Odredite: ) + b) ( ) ++ ) = + = dt +t t t = = +t t = t = = t dt = + rcsin +C = dt + t t t d(+t t dt = ) ( )+ 8 dt +t t +t t dt = +t t t rcsin +C (t ) Zdtk Odredite: ) b) c) ++ ) Rcionlizcijom svodimo n integrl oblik ko u zdtku. = = = = ( ) ( ) t = = t+ dt = = t t dt = t t t dt dt t u = t du = dt t v = d(t ) t = t = t t dt ln t+ t 6
t Ako oznčimo s I = dt = ond immo I = t t lnt+ t I = t t lnt+ t +C I = ( ) ln + +C b) 5 (+) 5 t = = {t = +} = dt =... c) = (+) t ++ = + = {t = +} = +dt t + t + dt = t t t + dt+ dt t + =... = = (+) +++ (++ ln ) ++ +C Zdtk 5 Odredite: ) (+ ) b) ( ) + c) (+ ) 7
Newton-Leibnizov formul i njezin primjen. Integrlni teorem srednje vrijednosti Nek je f : [,b] R integrbiln funkcij i nek je m f() M z svki [,b]. Td immo: b b b b m f() M = m f() M b m(b ) f() M(b ) m b f() M b Broj µ = b f() b nzivmo prosječn vrijednost (ili ritmetičk sredin) funkcije f n [,b]. Ako je f neprekidn n [,b], ond postoji c [,b] tko d je f(c) = µ = b b f() f(c)(b ) = f() b y M Μ m bf f c b c c b 8
Primjer Koristeći teorem srednje vrijednosti ocjenite integrle: () (b) + + + (c) e () S obzirom d je podintegrln fukncij f() = pdjuć, minimum + se postiže u desnom rubu intervl tj. m = f() =, mksimum u 6 lijevom rubu tj. M = f() =. Slijedi: 6 + y y 6 (b) Tržimo minimum i mksimum podintegrlne funkcije f() = + +. S obzirom d je f () = (+) > slijedi d je f rstuć iz čeg zključujemo d se minimum postiže u lijevom rubu, mksimum u desnom tj. m = f() =, M = f() = 7. Slijedi: + + 9
y 6 y 5 5 (c) Tržimo minimum i mksimum podintegrlne funkcije f() = e. S obzirom d je f () = ( )e slijedi d je stcionrn točk =. Usporedujemo vrijednost funkcije n rubovim i u stcionrnoj točki kko bi nsli minimum i mksimum: ( ) f() =, f = e, f() = e m = e, M = e Dkle, immo: e e e y.. y e.8.6.. Primjer Odredite prosječnu vrijednost µ funkcije f n [, b] te odredite c [,b] tko d je f(c) = µ. Ncrtjte pripdne grfove. () f() = n [,]
(b) f() = n [,] (c) f() = n [,] (d) f() = e n [,] (e) f() = n [,] (f) f() = n [,] () Koristimo relciju b α = bα+ α+ i definiciju prosječne vrijednosti α+ µ = b f() b µ = = Sd tržimo c [,] tkv d je f(c) = µ =. Slijedi c = c = y 9 y Μ
(b) µ = = =.987 Tržimo c [,] tkv d je f(c) = µ c =.987 c =.956 y Μ y c 8 9 (c) µ = = ln, c = =.88 ln y Μ ln c ln y (d) µ = e = e, c = lnµ =.6 y e y e Μ e c ln e
(e) µ = = c = y y ( (f) µ = ( ) = ) = Preostje još odrediti c [,] tkv d je f(c) = µ c c = c, = ± 6 c = + 6 =.676 y y Μ c 7
. Newton-Leibnizov formul y = f() + b P() = f(t)dt, [,b] Teorem Nek je f : [,b] R neprekidn funkcij. Td je P() = f(t)dt primitivn funkcij funkcije f tj. P () = f(). Ako je F bilo koj primitivn funkcij funkcije f, ond vrijedi Dokz: b P P(+ ) P() () = lim f() = F(b) F() ozn. = F() = lim + b f(t)dt f(t)dt = = lim f(t)dt+ + f(t)dt f(t)dt = lim Sd koristimo integrlni teorem srednje vrijednosti: b f() = f(+γ (b ))(b ) z γ,. + f(t)dt = f(+γ ) = lim = f(), Iz tog d su P() i F() dvije primitivne funkcije i po teoremu o vezi izmedu primitivnih funkcij (Teorem., str.9.) postoji C R t.d. je P() = F()+C tj. f(t)dt = F()+C. Uvrštvnjem d je = slijedi = f(t)dt = F()+C p smo dobili d
je konstnt C = F(). Sd immo f(t)dt = F() F() p specijlno z = b dobijemo b f(t)dt = F(b) F(). Iz prethodnog teorem znmo ( f(t)dt) = f(), tj. funkcij F() = f(t)dt je primitivn funkcij funkcije f. Anlogno, ( ϕ() d ϕ() F(ϕ()) = f(t)dt = f(t)dt) = (F(ϕ())) = f(ϕ()) ϕ (). Isto tko, G() = d f(t)dt = G () = f() te ( d G(ψ()) = f(t)dt = f(t)dt) = f(ψ()) ψ (). ψ() ψ() Sd iz prethodn dv izvod zključujemo: H() = ϕ() ψ() f(t)dt = ψ() f(t)dt+ ϕ() f(t)dt d = ( ϕ() f(t)dt) = f(ϕ()) ϕ () f(ψ()) ψ () ψ() Primjer 5 Pokžite d je F() = rctg tg primitivn funkcij funkcije f() = +cos te izrčunjte π +cos F () = + tg cos = cos +sin = +cos Sd kd znmo kko izgled primitivn funkcij možemo lgno izrčunti zdni integrl: π = F() +cos π = Primijetimo d je f() = +cos >, R, ipk smo dobili ko rezultt u prethodnom integrlu nul. Rzlog tome je što se unutr područj integrcije nlzi točk koj nije u domeni funkcije F. Točnije, D(F) = R\{ π +kπ : k Z}, π [,π]. 5
Primjer 6 Pokžite d je F() = rctg + primitivn funkcij funkcije f() = ++ () ++ (b) f () (c) F () te izrčunjte: (d) ( f(t)dt) ( ) (e) d f() ( ) (f) d t f() ( (g) d f(t)dt) z =. F () = + (+) () = F() ++ (b) f () = f() (c) = +(+) = ++ = rctg rctg = 6 = 6 F () = f () = 6 (d) ( f(t)dt) ++ = F () F () = 6 ( ) = F(t) = (F() F()) = F () = f() = ( d ) (e) f() = d (F() F()) = 6
( d ) t (f) f() = d (F(t) F()) = ( d (g) f(t)dt) = d (F() F()) = f() p z = immo f() =. Primjer 7 Izrčunjte: () (b) b α, α,,b > () = = Usporedite dobiveni rezultt s proksimcijom u Primjeru n str. 7. (b) b b α = α+ α+ = bα+ α+ α+ Primjer 8 () Izrčunjte: π sin (b) Izrčunjte površinu lik odredenog s y = sin, y =, =, = π () π sin = cos π = + = (b) Površinu dnog lik dobiti ćemo integrirjući funkciju sin u grnicm od do π tj. π π π ( π sin = sin sin = cos cos π Primjer 9 Izrčunjte: () (b) 7 π π ) =
() = (b) = = + = = = Primijetimo d smo dobili rezultt koji nem smisl jer znmo d je f() = > p bi i integrl te funkcije n [,] trebo biti veći od nule. Rzlog zbog kojeg smo dobili psurdn rezultt je tj što se unutr područj integrcije nlzi točk koj nije u domeni podintegrlne funkcije. Nime, D(f) = R\{}, [,]. Primjer Izrčunjte π π (5 +)cos π π (5 +)cos = π π 5 cos + π π cos = U prvom integrlu immo neprnu podintegrlnu funkciju 5 cos koju integrirmo n području simetričnom oko nule p znmo d je tj integrl jednk nuli. U drugom integrlu immo prnu podintegrlnu funkciju cos (dkle, simetričnu s obzirom n y-os) koju integrirmo n području simetričnom oko nule p je dovoljno izrčunti integrl smo z pol tog područj i rezultt pomnožiti s dv. = + π cos = π (+cos) = π Zdtk 6 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = Zdtk 7 + = rctg = rctg rctg( ) = π ( π ) = π 8
Zdtk 8 π/ sin = cos π/ π/ π/ = cos π +cos π = + = Zdtk 9 5 5 (+) / + = + d(+) = Zdtk 5 ++ = = rctg + Zdtk 5 + + = = 5ln + (+) + = 5 = (8 8 5 5) = (6 5 5) ( + ) + = d( + ) ( + ) + = ( rctg rctg ) = ( rctg π ) 6 (+) 5 + = 5 + = ( ( )) 5(ln5 ln) = 8 5ln5 Zdtk 5 π π cos = sin = = π sin = π cos = Zdtk 5 Nek je F() = Zdtk 5 Nek je F() = D(F) z koje je F() > i F() < d) F () Zdtk 55 Izrčunjte: ( ) d + dt ) t+5 π sin dt t+. Odredite: ) F() b) F() c) F () +t dt. Odredite: ) D(F) b) N(f) c) 9
b) c) d) e) f) ( d sint t ( d ) dt cos(t)dt ( d ) sin ( d d ( t ) ) ( +t)dt ) sin Zdtk 56 Izrčunjte: lim +t dt. Zdtk 57 Odredite stcionrne točke funkcije F() = Zdtk 58 Odredite F () ko je F() = + t dt.. Supstitucij u odredenom integrlu t +t dt. Jednostvn posljedic Newton-Leibnizove formule i formule z derivciju kompozicije funkcij je sljedeći teorem koji dje uvjete z supstituciju u odredenom integrlu. Teorem Nek je f : [,b] R neprekidn funkcij i nek je ϕ : [α,β] R funkcij s neprekidnom prvom derivcijom tko d je ϕ(α) = i ϕ(β) = b. Td je Zdtk 59 π b 5+cos = f() = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. t = tg t( π ) = t() = = dt cos = t +t +t 5 =
Zdtk 6 π dt +t dt = 5+ t +t 9+t = rctg t π +cos = 5 π = cos = +cos = = π t = tg, = dt dt = +t +t = 5 = rctg t 5 5 = Zdtk 6 = = π cos π t = dt = cos t = cost sint dt cos t = cos t dt +t = +π = π 6 = π 9 = dt +5t = π = π π 5π cos t cost dt = tgt π = 5 t.nčin = = t = t = = dt = t = / = t t t = siny t = / y = π/6 = dt = / t dt = cosydy t = y = π/ π/ sin y π/ cos y π/ = cosy dy = = π/6 π/ π/6 sin y dy sin y π/ π/6 π/6 dy = ctgy π π cos dt +t t +t dt 5 +t π sint dt cos t = π = π / sin t cos t dt t sin y dy = sin y π/6 sin dy y π/ y = ctg π π/6 +ctg π 6 π + π 6 = π π/ π/6 t dt t 5
Zdtk 6 9 + = t = t(9) = tdt = t() = ( = ( t +t) : (t+) = t+ t+ = tdt+ dt = ) dt +t = t = 9++ 8 ln +ln = +ln t +t tdt = t t +t dt +t ln +t =. Prcijln integrcij u odredenom integrlu Kkojef()g()primitivnfunkcijfunkcijef()g ()+f ()g()tokorištenjem Newton-Leibnizove formule slijedi sljedeći teorem. Teorem 5 Nek su f,g : [,b] R funkcije s neprekidnom prvom derivcijom. Td je b f()g () = f(b)g(b) f()g() b g()f (). Prethodni teorem tkoder možemo zpisti u diferencijlnom obliku: b udv = u v b b vdu Zdtk 6 π π 6 = sin = u = dv = sin du = v = ctg t = sin t( π 6 ) = dt = cos t( π ) = = π +π 6 = π π = ctg + +ln π π 6 + π π 6 cos sin = π t dt = π + 6 +ln t = 5
Zdtk 6 π π ( +)sin = π π sin+ π π sin = u = dv = sin = du = v = cos = ( π ) ( π = cos + cos = +sin Zdtk 65 (DZ) rcsin = (vidi Zd.9b) =... = π π/ π ) = sin Zdtk 66 (DZ) e ln =... = +e Zdtk 67 (DZ) ) b) + = (vidi Zd.b) =... = 5+ ln(+ 5) = (vidi Zd.) =... = ln(+ ) 5
Primjen odredenog integrl. Kvdrtur (površin rvninskih likov) Krtezijeve koordinte Ako je krivocrtni trpez u rvnini zdn s D = {(,y) R : b,f () y f ()} ond je površin od D dn s P = b (f () f ()). Prmetrski oblik: Ako je krivulj y = f() zdn prmetrski s = ϕ(t), y = ψ(t) (ϕ je strogo monoton funkcij) ond je površin od D = {(,y) R : b, y f()} dn s P = t t ψ(t)ϕ (t)dt. Polrne koordinte Ako je krivocrtni isječk u rvnini zdn u polrnim koordintm s D = {(ϕ,r) R [, ; ϕ β, r (ϕ) r r (ϕ)} ond je površin od D dn s P = β α (r (ϕ) r (ϕ) )dϕ. Zdtk 68 Izrčunjtepovršinu lik omedenog s y = 6 +8, y =. 5
P = = ( 6 +8) ( ) + + ( 6 +8) ( + ) = 8. Zdtk 69 Izrčunjtepovršinu lik omedenog s y = 6, y =. 8 6 P = [6 ( )] = (8 ) = ( ) 55 = 6.
Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s y = ( + )( ), y = ( ). Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s: ) y =, y =, y = b) y =, y =, y = Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s (y ) =, (y ) =..5.5.5.5 P = [ (y ) ( (y ) )]dy = ( y +y)dy = y +y =. Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog s +y 5, ) u krtezijevim koordintm b) u polrnim koordintm. ) 56
5 = 5sint, t = rcsin 5 P = 5 = = 5costdt π/ π/ = 5 cos tdt = 5 (+cost)dt = 5t rcsin(/5) π/ rcsin(/5) rcsin(/5) +5sint sin t π/ rcsin(/5) = 5π 5rcsin 5. Zdtk 7 Izrčunjte površinu lik omedenog prvim svodom cikloide = (t sint), y = ( cost) i osi pscise. 6 5.5 5 7.5.5 5 7.5 P = π π = 9t π ( cost) ( cost)dt = 9 ( cost+cos t)dt π 8sint + 9 π (+cost)dt = 8π + 9 π t + 9 π sint = 7π. 57
Zdtk 75 Izrčunjtepovršinulik omedenogs r = cosϕ, ϕ = π 6, ϕ = π. P =.5.5.5.5 π/ π/6.5.5 dϕ = tgϕ cos ϕ π/ π/6 =. Zdtk 76 Izrčunjte površinu lik omedenog s +y y, + y. -.5--.5.5.5 - P = = π/6 π/6 = ϕ π/6 sin ϕdϕ+ ( cosϕ)dϕ+ sinϕ π/6 π/ +ϕ π/6 π/ π/6 π/ π/6 cos ϕdϕ (+cosϕ)dϕ + sinϕ π/ π/6 = 5π 6. 58
Zdtk 77 Izrčunjte površinu lik omedenog s r = sin ϕ. - - - - - - - P = π/ π/ (sinϕ) dϕ = cos6ϕ dϕ = ϕ π/ sin6ϕ π/ = π.. Rektifikcij (duljin luk krivulje) Krtezijeve koordinte Ako je krivulj zdn s y = f(), [,b] ond je njezin duljin dn s s = b +y (). Prmetrski oblik: Ako je krivulj zdn prmetrski s = ϕ(t),y = ψ(t) ond je njezin duljin dn s s = Polrne koordinte t t ϕ (t) +ψ (t) dt. Ako je krivulj zdn s r = r(ϕ),ϕ [α,β] ond je njezin krivulj dn s s = β α r(ϕ) +r (ϕ) dϕ. 59
Zdtk 78 Izrčunjte duljinu luk krivulje y = / od = do = 5. s = 5 + ( ) / = 5 +9 = 8 (+9) +9 5 = 5 7. Zdtk 79 Izrčunjte duljinu luk krivulje y = / od = do = 8. s = + ( ) y/ dy = +9ydy = 8 (+9y) +9y = 8 7 ( ). Zdtk 8 Koji put prevli čestic koj se kreće po krivulji = cos t, y = sin t u vremenu od t = do t = π. s = π = cos tsin t+sin tcos tdt = π π = cost sint dt = π/ π/ + cost π π/ sintdt =. π π/ costsint dt sin tdt Zdtk 8 Izrčunjte duljinu prvog luk logritmske zvojnice r = e ϕ od ϕ = do ϕ = π. π ( ) 5 π 5 π s = e ϕ + e ϕ dϕ = eϕ dϕ = e ϕ dϕ = π 5e ϕ = 5e π 5. 6
-5-5 5 - -6-8 - - Zdtk 8 Izrčunjte opseg krdioide r = ( cos ϕ). - - - - - - s = = π π ( cosϕ) +sin ϕdϕ = π sin ϕ dϕ = π sin ϕ dϕ = 8cos ϕ cosϕdϕ π = 6.. Kubtur (volumen tijel).. Kubtur rotcijskih tijel Rotcij oko osi prlelnih s osi pscis: Ako područje D = {(,y) : b, y y f() ili f() y y } 6
(područje D je omedeno s krivuljom y = f() i prvcim =, = b, y = y ) rotir oko prvc y = y dobije se tijelo volumen V y=y = π b [f() y ] = π b [y y ]. Specijlno ko je y = (rotcij oko osi) formul glsi Ako područje b b V y= = π f () = π y. D = {(,y) : b, f() y g() ili g() y f() } (područje D je omedeno krivuljm y = f(), y = g() i prvcim =, = b i cijelo se nlzi ili ispod ili iznd osi pscis pri čemu je krivulj y = g() udljenij od osi pscis) rotir oko osi pscis dobije se tijelo volumen V y= = π b [g () f ()]. Rotcij oko osi prlelne s osi ordint: Ako je područje D omedeno krivuljom y = f(), prvcim =, = b i y = i cijelo se nlzi ili s desne ili s lijeve strne prvc =, ond njegovom rotcijom oko prvc = nstje tijelo volumen V = = π b f() = π b y. Specijlno, ko je = (rotcij oko y osi) formul glsi b V = = π y. Njjednostvniji slučj je kd se cijelo područje nlzi iznd osi pscis (y ) i desno od osi ordint ( ). U tom slučju volumen tijel nstlog rotcijom područj D = {(,y) : b, y f()} 6
oko osi ordint glsi V = = π b f(). Zdtk 8 Površin omeden s y = 6, y =, = 8 rotir oko -osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 8 6 - - -6-8 5 6 7 8 9 V y= = π 8 ( 6) = π [ 8 ] 8 6 = 56π. 6
Zdtk 8 Površin omeden s y =, y = Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 8 6 rotir oko -osi. - - - [ ( ) V y= = π ( [ ] 9 = π + 5 ) ] ( ) 9 = π + = 89π 5. Zdtk 85 Površin omeden s y = e, y = e, = rotir oko y-osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. Prvi nčin: e e V = = π ( lny) dy = π ln ydy = e e = πyln y π lnydy = e e = eπ πylny +π u = ln y du = lny y dy dv = dy v = y u = lny du = dy y dv = dy v = y e dy = eπ eπ +πy = π(e ). 6
- -.5 - -.5.5 Drugi nčin: V = = π [ (e e ) = π e e [ u = du = = dv = e v = e = π e [ ] = π e e + e = π(e ). ] + e e ] Zdtk 86 Površin omeden s y = sin, y =, π rotir oko y-osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. [ π π ] V = = π sin+ ( sin) = π [ π π π = π cos + cos+cos π u = du = dv = sin v = cos ] π π cos = 8π. Zdtk 87 Površin omeden s y =, y = rotir oko prvc ) y = 6, b) y = 6. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 65
.5 Π Π Π Π Π Π -.5-5.5-6 -.5-5 -7.5 - ) V y=6 = π = π [( 6) ( 6) ] = π ] [ 5 5 + 8 + = 8 5 π ( +8 8 +8) b) V y= 6 = π [( +6) 6 ] =... = 5 π. 66
.5-6 -.5-5 -7.5 - Zdtk 88 Površin omeden s y = 8, = rotir oko prvc ) =, b) =. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. ) 6-5 6 - -6 ( ) y V = = π 8 dy = π [ ] y 5 6 5 y +56y = 56 5 π. 67
b) 6 - - 6 - - -6 [ ( ) ] y V = = π 8 + dy =... = 5 π. Zdtk 89 Površin omeden s y =, y = rotir oko -osi. Odredite volumen nstlog rotcionog tijel. 8 6 - - - - V y= = π 9 π [ 5 = 6π π 5 + ( ) = 8π ] = 6π 5 π ( +) 68