wwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde( =6`, `=6`` ) Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R Obim kružnice se računa po formuli O= R, a znamo da je,4 Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R, njemu odgovara neki centralni ugao ϕ Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan Jasno je da onda pun ugao ima radijana Odnosno: 6 = radijana 8 = ZAPAMTI Važi dakle: = radijana 8 `= radijana 8 6 ``= radijana 8 6 6 I obrnuto: rad 8 = 57 7`45`` Primer : Nađi radijansku meru ugla od: a)75 b)45 v)8 ` 5 Rešenje: a) Kako je = radijana to je 75 = 75 = 8 8 49 b) 45 = 45 = 8 6 v) 8 `= 8 + = 8 8 6 4

wwwmatematiranjecom Primer Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera: a) 4 b) 6 v)5radijana Rešenje: 8 a) = = 5 4 4 8 b) = = 6 6 v)5radijana = 5(57 7`45``) = 85 85`5`` = 85 88`45`` = 86 8`45`` Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkoma možemo razmišljati i ovako:uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke OPri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika Ako obeležimo sa a početni a sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja oo tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO b O a TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika čiji je centar u koordinatnom početku

wwwmatematiranjecom A(,) Tačka A(,) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk Uglovi po kvadrantima idu ovako: II I III iz I kvadranta: < α < iz II kvadranta : < α < iz III kvadranta : iz IV kvadranta : < α < < α < IV

wwwmatematiranjecom Uglovi,,,, su granični i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći: 6 4 6 4 6 6 6 4 4 Sinus i kosinus proizvoljnog ugla Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa osom, tj, sa početnom tačkom A(,), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(, ) Iz te tačke spustimo normale na i osu Te dužine su: - Na -osi cosα ( cosα = ) 4

wwwmatematiranjecom - Na -osi sinα (sinα = ) M(, ) sin cos Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih pročitate sa kruga Zapamtimo tri broja:,, koji su poređani od najmanjeg do najvećeg Broj u sredini odgovara uglovima koji su sredine kvadranata! Znači sinusi i kosinusi uglova od 45, 5, 5 i 5 stepeni imaju vrednost je ta vrednost + ili - Evo to na slikama, pa će biti jasnije:, samo vodimo računa da li 5

wwwmatematiranjecom 45 sin 45 =cos45 = 5 - sin 5 = a cos 5 = - 6

wwwmatematiranjecom - 5 - sin 5 = - cos 5 = - - Ta ostale uglove vrednosti će biti Evo par primera: 5 ili sin 5 = - a cos 5 =, naravno opet gledamo da li je + ili - Primer Nađi sin 6 i cos 6 7

wwwmatematiranjecom 6 sin 6 cos 6 Kako ugao od 6 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 6 i cos 6 biti i i to obe pozitivnepošto je crta za sin 6 duža, ona mora biti Dakle: sin 6 = i cos 6 = (jer je veći broj) a cos 6 je jer je crta tu kraća Primer Nađi sin5 i cos 5 5 cos 5 sin 5 Crta za sin5 je kraća i pozitivna a crta za cos 5 je duža i negativna, pa je : sin5 = a cos 5 =- Primer 8

wwwmatematiranjecom 4 4 Nađi sin i cos Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to 4 = 4 cos4 sin4 4 Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta Primetićemo da su obe vrednosti negativne, 4 4 sinus je duži a kosinus kraći Zaključujemo: sin = - i cos = - Primer 4 Nađi sin(- ) i cos(- ) Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu U pozitivnom smeru to bi bio ugao od sin(- ) cos(- ) - sin(- ) = sin =- i cos(- )=cos = Da pogledamo šta je sa uglovima od,,, 9

wwwmatematiranjecom Kraci ovog ugla se poklapaju, osu seku do jedinice, a osu nigde, zato je cos = (cela crta) a sin = (nema crte) 9 Ugao od 9 seče osu po celoj crti a osu nigde Pa je sin 9 = a cos 9 = 8 - sin 8 = cos 8 = -

wwwmatematiranjecom 7 - sin7 =- cos 7 = Tangens i kontangens proizvoljnog ugla sinα cosα Već smo se ranije upoznali sa formulama tg α = i ctg α =, naravno pod uslovima da cosα sinα su imenioci različiti od nule Možemo zaključiti da je tgα definisan za cosα,odnosno za α +k, k Z A ctgα za sinα, odnosno za α k, k Z To znači da ako znamo da nađemo sinα i cosα, znamo i tgα i ctgα Primer Nađi: a) tg 4 b) ctg a) tg = tg 45 sin 45 = = = 4 cos 45 b) ctg cos = = = sin

wwwmatematiranjecom Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu Uočimo pravu = Ona očigledno prolazi kroz tačku A(,) i paralelna je sa osomjedan krak datog ugla α opet poklopimo sa osom a drugi krak će seći ovu pravu = koju ćemo zvati TANGENSNA osa Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tgα Evo to na slici: tg A(,) tangensna osa Uočimo sada pravu = koja prolazi kroz tačku B(,) i paralelna je osi Tu pravu ćemo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova Evo slike:

wwwmatematiranjecom B(,) c tg kotangensna osa Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja :,, Broj, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj za 45,5,5 i 5 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna Veća crta je, a manja je Evo nekoliko primera: ctg45 45 tg45

wwwmatematiranjecom tg45 = i ctg45 = Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti ctg tg PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu,moramo ga produžiti do preseka sa osom Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći! Dakle : tg = - i ctg = - ctg4 tg4 4 tg4 = i ctg 4 = (uoči dužine ovih podebljanih crta) 4

wwwmatematiranjecom Šta je sa graničnim uglovima? Za stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu, pa je tg =, za ctg krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctg teži beskonačnosti kad teži nuli u pozitivnom smeru Slično je za ugao od 8 Opet je tangens nula a kotangens teži - Za ugao od 9 je obrnuta situacija: ctg9 = a tg9 teži + Za ugao od 7 je ctg7 = a tg7 teži - 5

wwwmatematiranjecom 5 8 - - 5 5 4-7 - Evo male pomoći za one koji su naučili da se snalaze na krugu! 6