SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: NAPREZANJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA NAPREZANJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa. Štap treba biti konstantne krutosti, dvoosno ili jednoosno simetričnog poprečnog presjeka. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu dati osnovnu analizu i prikaz izraza za izračun zadanog problema. Riješiti zadane primjere. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, 15. lipanj 2017. Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina
SADRŽAJ 1. SAŽETAK...2 2. UVOD...3 3. POJAM SAVIJANJA...4 4. ČISTO SAVIJANJE...5 5. SAVIJANJE SILAMA...10 6. RIJEŠENI PRIMJERI...14 7. TABLIČNI PRIKAZ NAPREZANJA...34 8. ZAKLJUČAK...35 9. LITERATURA...36 1
1. SAŽETAK Tema ovog rada je utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa koji je konstantne krutosti. Obuhvaćeni su jednoosno i dvoosno simetrični poprečni presjeci. U teoretskom dijelu su prikazane osnovne analize i izvodi za izračun zadanog problema. Riješeno je nekoliko primjera u kojima su izračunata normalna i posmična naprezanja u zadanim točkama poprečnog presjeka. Ključne riječi: moment savijanja, poprečna sila, normalno naprezanje, posmično naprezanje. 2
2. UVOD Savijanje nastaje zbog okomitog djelovanja opterećenja na uzdužnu os nosača. Pri savijanju se ravni štapovi zakrivljuju, a zakrivljeni štapovi mijenjaju svoju zakrivljenost. Razlikuje se čisto savijanje i savijanje silama. Kod čistog savijanja, sve su komponente unutrašnjih sila jednake nuli osim momenta savijanja. Kod savijanja silama, pojavljuje se još i poprečna sila zbog koje nastaje smicanje. Prilikom djelovanja opterećenja na nosač, unutar njega dolazi do naprezanja. Naprezanje je unutarnja sila koja je raspodijeljena po jedinici površine nekog čvrstog tijela koja se javlja kao reakcija na djelovanje vanjskih sila ili promjene temperature. Razlikujemo normalna i posmična naprezanja. Normalnih naprezanja nema u neutralnoj osi, dok se maksimalna normalna naprezanja, koja nastaju uslijed djelovanja momenta savijanja, nalaze u točki koja je najudaljenija od neutralne osi. Normalna naprezanja se mijenjaju linearno po visini poprečnog presjeka. Raspodjela normalnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. Posmična naprezanja, koja nastaju zbog djelovanja poprečne sile, maksimalnu vrijednost imaju u neutralnoj osi.raspodjela posmičnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. U praktičnom dijelu su u zadanim nosačima određeni dijagrami unutarnjih sila i zatim je proveden izračun normalnih i posmičnih naprezanja na zadanim poprečnim presjecima te je tablično prikazan raspored naprezanja u zadanim točkama. 3
3. POJAM SAVIJANJA Slika 3.1. Element opterećen momentima savijanja [6] Na (slici 3.1.) se nalazi element kojem se uzdužna os iskrivljuje pod djelovanjem opterećenja, odnosno mijenja se zakrivljenost osi elementa. Zbog te zakrivljenosti se u unutarnjem presjeku elementa, pored momenta savijanja, pojavljuje još i poprečna sila [1]. Razlikujemo tri vrste savijanja: čisto savijanje u poprečnom presjeku elementa se pojavljuje samo moment savijanja savijanje silama u poprečnom presjeku elemnta se pojavljuje i poprečna sila pored momenta savijanja koso savijanje nastaje kada vektor rezultirajućeg momenta savijanja vanjskih sila ne djeluje samo oko jedne od glavnih osi tromosti poprečnog presjeka elementa. 4
4. ČISTO SAVIJANJE Slika 4.1. Čisto savijanje [4] Za čisto savijanje vrijede sljedeće pretpostavke: a) Bernoullieva hipoteza tj. hipoteza ravnih presjeka b) Hookeov zakon koji kaže da su normalna naprezanja proporcionalna deformacijama do granice proporcionalnosti c) Homogenost i izotropnost materijala d) Uzajamno djelovanje sila ne postoji među uzdužnim vlaknima Uzdužna vlakna na konkavnoj strani štapa se skraćuju, a na konveksnoj se strani produljuju (slika 4.1). Sloj čija se vlakna savijaju i zadržavaju svoju prvobitnu duljinu se zove neutralna os. Položaj neutralne osi je određen točkama u kojima je σ x = 0. Te točke dijele poprečni presjek na dva dijela: vlačni i tlačni pojas. Po visini presjeka deformacije se mijenjaju linerano, a po širini presjeka su konstantne. 5
Slika 4.2. Presjek štapa [1] Za promatrani štap vrijede sljedeći uvjeti ravnoteže: F x =0; M x =0; F y =0; M x =0; F z =0; M Z =0; Slika 4.3. Element izložen savijanju [1] Oblik elementa do deformacije i nakon nje je prikazan na slici 4.3. Uočljivo je da relativno produljenje vlakna AB na udaljenosti z od neutralnog sloja iznosi: 6
Normalna naprezanja u smjeru okomito na os iznose nula. Vlakno AB je u stanju vlačnog naprezanja. Prema Hookeu vrijedi: Uvrštavanjem navedenog izraza u prije dobivene jednadžbe dobivamo: z da je statički moment presjeka s obzirom na os y. Budući da je jednak nuli, znači da neutralna os y prolazi kroz težište poprečnog presjeka i tada vrijedi: Centrifugalni moment z yda je jednak nuli, što znači da moment djeluje u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih osi. 7
1 ρ predstavlja zakrivljenost neutralnog sloja štapa koji se naziva progibna linija štapa ili elastična linija. Kombinirajući izraze: Dobijemo konačni izraz za normalna naprezanja koja nastaju uslijed djelovanja momenta savijanja u svakoj točki poprečnog presjeka: gdje je: M moment savijanja Iy moment tromosti presjeka z udaljenost točke od težišta Posmičnih naprezanja nema jer se u poprečnom presjeku ne javlja poprečna sila (T=0). Proračun čvrstoće se provodi tako da se maksimalno normalno naprezanje usporedi sa dopuštenim naprezanjem. Uvjet glasi da dopušteno naprezanje mora biti veće od maksimalnog normalnog: 8
Primjer raspodjele normalnih naprezanja po simetričnom jednoosnom (slika 4.4.) i dvoosnom (slika 4.5.) poprečnom presjeku: Slika 4.4. Izrazi za proračun naprezanja kod jednoosno simetričnog poprečnog presjeka: W y uk =W y g +W y d σ g max = % &'( + σ d max = % &'( ) * ), * Slika 4.5. Izrazi za proračun naprezanja kod dvoosno simetričnog poprečnog presjeka: σ max = % &'( - * x z z=. / σ max = % &'( ) * W y g =W y d 9
5. SAVIJANJE SILAMA Promatramo ravni štap konstantne krutosti koji ima najmanje jednu os simetrije (slika 5.1.) Slika 5.1. Presjek štapa [1] Kod savijanja silama, vrijede sljedeće pretpostavke: a) između vlakana ne postoje unutarnje sile u pravcu normala na vlakna b) progibi su minimalni c) vrijedi linearni zakon za normalna naprezanja po visini poprečnog presjeka uslijed djelovanja momenta savijanja. Budući da uz moment savijanja djeluje jos i poprečna sila, pojavljuju se i posmična naprezanja τ xy i τ xz. Vrijede sljedeći uvjeti ravnoteže (slika 5.2): Slika 5.2. Presjek elementa [1] 10
F x =0; M x =0; F y =0; M x =0; F z =0; M Z =0; Izraz za naprezanje (σ x = % x z) dobiveni za čisto savijanje u potpunosti vrijede i u slučaju savijanja -0 silama. Ako se poprečna sila mijenja uzduž promatranog dijela štapa (slika 5.2.), iskrivljenje poprečnih presjeka na tom dijelu štapa će biti različito. Produljenje uzdužnih vlakana ovisi o iskrivljenju poprečnih presjeka. Kako u susjednim presjecima djeluju poprečne sile različite veličine, u tim presjecima će posmična naprezanja biti različita. Zbog te razlike posmičnih naprezanja, pojavljuju se normalna naprezanja koja izražavaju međusobno djelovanje uzdužnih vlakana. [1] Slika 5.3. Izdvojeni element štapa [1] Na izdvojenom elementu štapa (slika 5.3.) djeluju sile u lijevom i desnom presjeku, kao i normalna i posmična naprezanja. Slika 5.4. Element raspolovljen po uzdužnoj osi [1] 11
Uz pretpostavku da su posmična naprezanja raspoređena jednoliko po širini presjeka (slika 5.4.), postavljamo sljedeće jednadžbe ravnoteže: Uz izraze σ x = % -0 i A 1=A 2 dobijemo: A budući da vrijedi: Dobijemo: gdje je: T z poprečna sila S y statički moment b širina presjeka Iy moment tromosti presjeka Maksimalna vrijednost posmičnog naprezanja se javlja u visini neutralne osi i raspodjela posmičnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. 12
Prilikom dimenzioniranja nosača opterećnog na savijanje silama, mora biti zadovoljen sljedeći uvjet: Primjeri raspodjele posmičnih naprezanja na jednoosno (slika 5.5) i dvoosno (slika 5.6.) simetričnom poprečnom presjeku: Slika 5.5. Slika 5.6. Izraz za proračun posmičnih naprezanja na navedenim simetričnim poprečnim presjecima: 13
6. RIJEŠENI PRIMJERI Zadatak 1. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 4-30x4x2-30x5=0; R C = 97,5 kn M C =0; -R A x 4+30x4x2-30x1=0; R A = 52,5 kn Momenti: M l B =52,5x2-30x2x1; M l B =M max =45 knm M d C =-30x1; M d C = -30 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 52,5 kn V l C =52,5-30x4; V l C = -67,5 kn V d C =-67,5+97,5; V d C = 30 kn 14
Raspodjela naprezanja: 15
Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=15x2,5+ 25x2,5+ 15x2,5= 137,5 cm 2 Maksimalne unutarnje sile: M y =46 knm= 4 600 kncm T z =67,5 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( 123/,25 +15x2,5x13,75 2 )+ /,23/25 1/ 1/ Iy=17 473,95 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 15x2,5x13,75 + 12,5x2,5x6,25 S 2 =710,93 cm 3 S 3 =15x1,5x14,25 S 3 =320,625 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 9: ;<< x z = -0 1= :=>,?2 x15 Točka 2: σ x = 0 σ x = -3,94 kn/cm 2 Točka 3: σ x = 78-0 x z = : ;<< 1= :=>,?2 x 13,5 σ x = 3,55 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točak 1: τ xz =0 16
Točka 2: τ xz = @A 3 B0-0 3 C τ xz = 1,098 kn/cm 2 = ;=,2 3 =1<,?> 1= :=>,?2 3 /,2 Točka 3: τ xz = @A 3 B0-0 3 C = ;=,2 3 >/<,;/2 1= :=>,?2 3 12 τ xz = 0,0825 kn/cm 2 17
Zadatak 2. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M B =0; R D x 4-30x1-40x4x2-30x5=0; R D = 110 kn M D =0; -R B x 4+30x5+40x4x2-30x1=0; R B = 110 kn Momenti: M l B =-30x1; M l B = -30 knm M l C =-30x3+110x2-40x2x1; M l C =M max = 50 knm M l D =-30x1; M l D = -30 knm Vertikalne sile: V A =-F; V A = -30 kn V B =-30+110; V B =80 kn V l D =80-40x4; V l D = -80 kn V d D =-80+110; V d D = 30 kn 18
Raspodjela naprezanja: 19
Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=3x12+3x8=60 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y = 4 cm T z = >31/3;DE3>31>,2 = 9 cm ;< Maksimalne unutarnje sile: M y =50 knm= 5000 kncm T z =80 kn Moment tromosti presjeka: Iy= >31/5 1/ +3x12x32 + E3>5 1/ +8x3x4,52 Iy= 1260 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 8x3x4,5+3x3x1,5 S 2 = 121,5 cm 3 S 3 =4x3x7 S 3 = 84 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 <<< x z =92-0 1/;< x6 Točka 2: σ x =0 σ x = -23,8 kn/cm 2 20
Točka 3: σ x = 78 <<< x z =2-0 1/;< x5 σ x = 19,84 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz = @A 3 B0-0 3 C = E< 3 1/1,2 1/;< 3 > τ xz = 2,57 kn/cm 2 @A 3 B0-0 3 C = E< 3 E: 1/;< 3 > τ xz = 1,777 kn/cm 2 21
Zadatak 3. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M d B =0; -R E x 4+40x1+50x4x2+40x5=0; R E = 160 kn Fy=0; R A -40-50x5+160-40=0; R A =170 kn Momenti: M E =0; -M A -170x5+40x3+50x5x2,5-40x1=0; M A = M max = -145 knm 30:m=120:(3-m) 150m=90 m=0,6 M l C =170x2-145-50x2x1; M l C = 95 knm M d D -40x3,4+160x2,4-50x2,4x1x2; M d D =104 knm M d E =-40x1; M d E = -40 knm 22
Vertikalne sile: V A =R A ; V l C =170-50x2; Vc d =70-40; V l E =30-50x3; V d E =-120+160; V A = 170 kn V l C =70 kn V d C =30 kn V l E = -120 kn V d E = 40 kn 23
Raspodjela naprezanja: Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=2x(3x17)+20x3=162 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y = 4 cm T z = /<3>31E,2D/31=3>3E,2 = 12,2 cm 1;/ Maksimalne unutarnje sile: M y =145 knm= 14 500 kncm T z =170 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( >31=5 1/ +3x17x3,72 )+ /<3>5 1/ +20x3x6,32 Iy= 6279,28 cm 4 Statički momet presjeka: S 2 = 20x3x6,3 24
S 2 = 378 cm 3 S 3 =2x(3x12,2x6,1 S 3 = 446,52 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 2<< x z =91: -0 ;/=?,/E x7,8 σ x = -18 kn/cm 2 Točka 2: σ x = 78 1: 2<< x z = -0 ;/=?,/E x4,8 Točka 3: σ x =0 σ x = -11 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz gore = Točka 2: τ xz dolje = Točka 3: τ xz = @A 3 B0-0 3 C = 1=< 3 >=E ;/=?,/E 3 /< τ xz gore = 0,511 kn/cm 2 @A 3 B0-0 3 C τ xz dolje = 1,7 kn/cm 2 @A 3 B0-0 3 C τ xz = 2,01 kn/cm 2 = 1=< 3 >=E ;/=?,/E 3 ; = 1=< 3 ::;,2/ ;/=?,/E 3 ; 25
Zadatak 4. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 3-40x3x1,5-20x4-50=0; R C = 103,33 kn M C =0; -R A x 3+40x3x1,5-50-20x1=0; R A = 36,66 kn Momenti: M d C =-50-20x1; M d C =M max = 70 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 36,66 kn V l C =36,66-40x3; V l C = -83,33 kn V d C =-83,33+103,33; V d C = 20 kn 26
Raspodjela naprezanja: 27
Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=12x16-6x10=132 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y =6 cm T z =8 cm Maksimalne unutarnje sile: M y =70 knm= 7 000 kncm T z =83,33 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( 1/3>5 1/ +12x3x6,52 )+2x( 3x103 12 ) Iy= 3 596 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 3x12x6,5+2x3x5x2,5 S 2 = 309 cm 3 S 3 =12x2x7 S 3 = 168 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78-0 x z =9=<<< > 2?; x8 Točka 2: σ x =0 σ x = -15, 57 kn/cm 2 28
Točka 3: σ x = 78-0 x z ==<<< > 2?; x6 σ x = 11,67 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz = @A 3 B0-0 3 C = E>,>> 3 ><? > 2?; 3 ; τ xz = 1,193 kn/cm 2 @A 3 B0-0 3 C = E>,>> 3 1;E > 2?; 3 1/ τ xz = 0,324 KN/cm 2 29
Zadatak 5. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 4-30x2-40x5x2,5-30x5=0; R C = 177,5 kn M C =0; -R A x 4+40x4x2-40x1x0,5+30x2-30x1=0; R A = 82,5 kn Momenti: M l B =-40x2x1+82,5x2; M l B = M max =85 knm M d C =--30x1-40x1x0,5; M d C = -50 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 82,5 kn V l B =82,5-40x2; V l B = 2,5 kn V d B =2,5-30; V d B = -27,5 kn V l C =-27,5-40x2; V l C = -107,5 kn V d C =-107,5+177,5; V d C = 70 kn 30
Raspodjela naprezanja: 31
Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=2x20x2+30x4=200 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y =15 cm T z = ><3:3//D/3/3/<31< =17,2 cm /<< Maksimalne unutarnje sile: M y =85 knm= 8 500 kncm T z =107,5 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( /3/<5 1/ +2x20x7,22 )+ ><3:5 +30x4x4,8 2 1/ Iy= 9 738,66 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 30x4x4,8+2x2x2,8x1,4 S 2 = 591,68 cm 3 S 3 =2x2x4x15,2=243,2cm 3 S 3 = 243,2 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 9E 2<< x z = -0? =>E,;; x6,8 Točka 2: σ x =0 σ x = -5,93 kn/cm 2 32
Točka 3: σ x = 78-0 x z = E 2<<? =>E,;; x13,2 σ x = 11,52 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz = @A 3 B0-0 3 C τ xz = 1,63 kn/cm 2 @A 3 B0-0 3 C τ xz =0,67 kn/cm 2 = 1<=,2 3 2?1,;E?=>E,;; 3 : = 1<=,2 3 /:>,/?=>E,;; 3 : 33
7. TABLIČNI PRIKAZ NAPREZANJA 34
8. ZAKLJUČAK Zadatak mog završnog rada je bio analizirati utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa kod jednoosnog i dvoosnog simetričnog poprečnog presjeka. U zadanim poprečnim presjecima su proračunata pripadajuća normalna i posmična naprezanja. Vidljivo je da normalna naprezanja uslijed djelovanja momenta savijanja ne zavise od oblika poprečnog presjeka, dok poprečna naprezanja, uslijed djelovanja poprečne sile, zavise od oblika poprečnog presjeka. Dobiveni rezultati su prikazani tablično. Prilikom izgradnje konstrukcije, izuzetno je važno poznavati karakteristike materijala i oblike poprečnog presjeka kako bi se postigla najbolja iskoristivost i kvaliteta sa što manjim utroškom materijala. 35
9. LITERATURA [1] Šimić, V. : Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb, 1992 [2] Alfirević, I. : Nauka o čvrstoći 1, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1989 [3] http://maeresearch.ucsd.edu/~vlubarda/research/pdfpapers/vlubarda-otpornost.pdf [4] https://dr.nsk.hr/islandora/object/gfos%3a474/datastream/pdf/view [5] https://hr.wikipedia.org/wiki/nauka_o_%c4%8dvrsto%c4%87i [6] https://www.fer.unizg.hr/_download/repository/uvod_u_teoriju_elasticnosti.pdf 36