Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj. Mdul kmpleksng brja je : Kmpleksn brjev se predstavljaju u kmpleksnj ravn, gde je -sa realna sa, a -sa magnarna sa. Prmer: Tačk A dgvara kmpleksn brj. Tačka B dgvara kmpleksnm brju -. Ak je dat kmpleksan brj nda se njegv realn de mže apsat ka: r ϕ a magnarn r snϕ. T mžem vdet I sa slke: ϕ r snϕ r snϕ r ϕ r ϕ r ϕ arctg.matematranje.cm
Dakle, kmpleksn brj je: rϕ rsn ϕ, tj. r(ϕ sn ϕ Ovaj blk se ve trgnmetrjsk. Ovde je r- mdul, dnsn: r, uga ϕ se ve argument kmpleksng brja. Kak su sn perdčne funkcje kmpleksn brj se mže apsat I ka : r(( ϕ k sn( ϕ k k Z Prmer: Pretvrt sledeće kmpleksne brjeve u trgnmetrjsk blk: a b v g Rešenje: a Šta radm? Najpre dredm, nadjem r trgnmetrsk blk: r(ϕ snϕ atm tg ϕ t amenm u Dakle:, r ϕ 5 r(ϕ snϕ ( sn.matematranje.cm
b r ϕ 0 r(ϕ snϕ ( sn v Pa: Ov mžem apsat ka 0 Dakle:, 0 0 0 ϕ 80 ϕ r ( 0 r(ϕ sn ϕ ( sn sn g l 0 0, r 0 0 ϕ r(ϕ snϕ sn.matematranje.cm
Čest se u adacma rad lakšeg rešavanja krst Ojlerva frmula: e sn Prmer: Napsat brjeve: a b v - prek Ojlerve frmule. Rešenje: Savet: Ovde uvek ddajte perdčnst! a tj,, 0 r 0 0 ϕ 0 r(( ϕ k sn( ϕ k ((0 k sn(0 k Dakle: k sn k, pa je amenm u e sn gde je k e k Z k b 0 0, r ϕ 0 r(( ϕ k sn( ϕ k ( k sn( k 0 Dakle ( k sn( k Pa je e k Z ( k
v ( - sm našl u pršlm prmeru: ( k sn( k ( Znač [ k sn( k ] e e k Z ( k (k Prfesr čest vle da ptaju decu da nadju vrednst Kada nam Ojlerv aps, t nje tešk. U jednm prethdnm prmeru sm našl: e k Z ( k. Onda je: ( k ( e Znam pravl a stepenvanje ( m n mn a a e e k Z ( k ( k Znam da je Ak umem k0, bće: e.matematranje.cm 5
Mnženje I deljenje kmpleksnh brjeva u trgnmetrjskm blku Neka su data dva kmpleksna brja u trgnmetrjskm blku: r(ϕ sn ϕ r (ϕ sn ϕ Onda je : r r r r [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] Prmer: Dat su kmpleksn brjev: Nadj: a ( sn ( sn b Rešenje: a [ sn ] [ 0] ( sn(.matematranje.cm
b ( sn( 8 ( sn( 8 ( sn( 80 [ ] 8 Stepenvanje kmpleksng brja Neka je dat kmpleksn brj r(ϕ snϕ. Onda je n n r ( nϕ sn nϕ Ak kmpleksn brj ma mdul, tj. ak je r nda je: ϕ snϕ n nϕ sn nϕ Mavrv braac Prmer: a Nadj b Nadj 8 8 ak je ( sn 0 ak je Rešenja: a ( sn 8 8 ( sn 8 8 ( sn ( ( 7
b Ovde mram najpre prebact kmpleksn brj u trgnmetrjsk blk. r tgφ ( ( tgφ tgφ φ 0 r(φ sn φ (( sn( sn 0 0 0 0 8 sn pa 0 sn 0 0 (.matematranje.cm 8
Krenvanje kmpleksnh brjeva: Neka je dat: r(ϕ sn ϕ n n ϕ k ϕ k r( sn n n k- uma vrednst d 0 d n-. Sve vrednst n-tg krena brja, nalae se na kružnc pluprečnka n r. Argument th brjeva (vrednst krena čne artmetčk n sa ralkm d. n Prmer: Iračunat: a b Rešenja: a Ka št sm već vdel : sn Pa je: k k sn gde k uma vrednst: k 0,, Za k0 0 0 sn sn 9
Za k sn 5 sn 5 Za k sn 9 9 sn Gemetrjsk gledan,,, su temena jednakstrančng trugla na kružnc pluprečnka r sa centrm u 0 kmpleksne ravn! 0 - -.matematranje.cm 0
b sn,ϕ r 0,,,,,5 sn k k k Za k0 sn Za k sn sn Za k 5 sn 5 sn Za k 7 sn 7 sn Za k 9 sn 9 8 sn 8.matematranje.cm
Za k5 0 0 5 sn 5 sn Gemetrjsk gledan,,..., 5 su temena pravlng šestugla! 0-5 -.matematranje.cm