Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena vrednost i sopstveni vektor za operator A : X X ako je Au λu. Teorema. Ako su λ sopstvena vrednost i u odgovarajući sopstveni vektor operatora A : X X, tada je u takod e sopstveni vektor operatora B P (A) a I + a A + + a n A n koji odgovara sopstvenoj vrednosti P (λ) a + a λ + + a n λ n. Teorema 2. Neka su u, u 2,..., u n sopstveni vektori operatora A koji odgovaraju med usobno različitim sopstvenim vrednostima λ, λ 2,..., λ n. Tada je {u, u 2,..., u n } sistem linearno nezavisnih vektora. Matrični analogon problema sopstvenih vrednosti je definisan homogenim sistemom linearnih jednačina (A λi)x. Netrivijalna rešenja ovog sistema predstavljaju koordinatne reprezentacije sopstvenih vektora operatora A u bazi B. Za njih kažemo da su sopstveni vektori matrice A. Vrednosti λ za koje postoje ova netrivijalna rešenja predstavljaju odgovarajuće sopstvene vrednosti matrice A. Odred ujemo ih iz karakteristične jednačine pri čemu polinom det(a λi),
2 a λ a 2... a n a 2 a 22 λ... a 2n...... a n a n2... a nn λ zovemo karakteristični polinom matrice A. Teorema 3. (Kejli-Hamilton) Neka je P (λ) karakteristični polinom linearnog operatora A : X X. Tada je P (A) nula operator. Zadaci:. Odrediti karakteristični polinom i sopstvene vrednosti matrice 2 3 A 2 3. 3 2 Rešenje: Karakteristični polinom je jednak λ 2 3 2 3 λ 3 2 λ 6 λ 2 3 6 λ 3 λ 6 λ 2 λ 6 λ 2 3 λ 2 (6 λ) λ 2 λ λ (6 λ)(λ2 3). Sopstvene vrednosti matrice A su λ 6, λ 2 3 i λ 3 3. 2. Odrediti karakteristični polinom i sopstvene vrednosti matrice 4 A 2 3 3 2, 4 kao i sopstvene vrednosti matrice A 2. Rešenje: Karakteristični polinom je jednak
λ 4 7 λ 4 2 λ 3 3 λ 2 7 λ 2 λ 3 7 λ 3 λ 2 4 λ 7 λ 4 λ 7 λ 4 λ 2 λ 2 λ( λ)(2 λ)(7 λ). λ Sopstvene vrednosti matrice A su nule polinoma P (λ), a to su vrednosti λ, λ 2, λ 3 2 i λ 4 7. Sopstvene vrednosti matrice A 2 jednake su (λ i (A)) 2, pri čemu su λ i (A), i, 2, 3, 4, sopstvene vrednosti matrice A. To su vrednosti:,, 4 i 49. 3 3. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrica [ ] 3 A i B A 2 3A + I. 3 Rešenje: Odred ujemo najpre sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice A. Karakteristični polinom matrice A je P (λ) λ 3 3 λ λ2 2λ 8, a njegove nule λ 2 i λ 2 4 su sopstvene vrednosti matrice A. Sopstveni vektori u [x y] T odred uju se rešavanjem homogenog sistema jednačina, čiji je matrični oblik Au λu (A λi)u [ λ 3 3 λ ] [ ] x y [ ]. Za λ 2 sistem postaje [ 3 3 3 3 ] [ ] x y [ ], pa se svodi na jednu jednačinu 3x + 3y, koja je zadovoljena za y x, x R. Zato je sopstveni vektor matrice A koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ 2 svaki vektor oblika
4 u [ ] [ ] x x, x R \ {}. x Za λ 2 4 sistem postaje [ 3 3 3 3 ] [ ] x y [ ], tj. 3x + 3y, 3x 3y, i zadovoljen je za y x, x R. Sopstveni vektor matrice A koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ 2 4 je svaki vektor oblika [ ] [ ] x u 2 x, x R \ {}. x Prema Teoremi, sopstvene vrednosti matrice B A 2 3A + I su λ λ 2 3λ +, λ 2 λ 2 2 3λ 2 + 5, a odgovarajući sopstveni vektori su u u i u 2 u 2 redom. 4. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice 2 A. Da li su sopstveni vektori matrice A linearno nezavisni? Rešenje: Sopstvene vrednosti odred ujemo kao nule karakterističnog polinoma 2 λ λ ( + λ)( λ)(2 λ). λ Sopstvene vrednosti su: λ, λ 2 i λ 3 2. Sopstveni vektori su netrivijalna rešenja homogenog sistema linearnih jednačina 2 λ x (A λi)u λ y. λ z
5 Za λ homogen sistem je oblika 3 x 3x + z y x 2 z 2z u y y, y R \ {}. x z y R \ {} Za λ 2 homogen sistem je jednak x 2 y x + z x 2y x 2y z 2y z y R \ {} 2y 2 u 2 y 2y y 2, y R \ {}. Za λ 3 2 homogen sistem je x z 3 y x 3y z z 3y 3 u 3 y y, y R \ {}. x 3y z y R \ {} Sopstveni vektori u, u 2 i u 3 su linearno nezavisni po Teoremi 2., jer odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima. 5. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrica 3 4 A 2 i B A 5 + 3I. 3 Rezultat: Karakteristični polinom matrice A: P (λ) (2 λ)(λ ) 2. Sopstvene vrednosti matrice A: λ 2, λ 2 λ 3. Sopstveni vektori matrice A:
6 2 2 u t, t R \ {}, u 2 t, t R \ {}. 3 Sopstvene vrednosti matrice B: λ 35, λ 2 λ 3 4. Sopstveni vektori matrice B: 2 u u t, t R \ {}, 2 u 2 u 2 t, t R \ {}. 3 6. Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice 3 a A 3 a 3 ako je: a) a ; b) a. Rešenje: Karakteristični polinom matrice A je 3 λ a 3 λ a 3 λ (3 λ)3, pa su sve tri sopstvene vrednosti matrice A jednake: λ λ 2 λ 3 3. Sopstvene vektore odred ujemo rešavanjem sistema jednačina tj. za λ 3. U razvijenom obliku sistem glasi (A λi)u, u [x y z] T, 3 λ a x 3 λ a y, 3 λ z (3 λ)x + ay, (3 λ)y + az, (3 λ)z, tj. ay, az.
a) Ako je a, sistem je zadovoljen za y, z, x R, pa su sopstveni vektori oblika x u x, x R \ {}. b) Ako je a, sistem je zadovoljen za sve vrednosti x, y, z R, pa su sopstveni vektori oblika x u y x + y + z, x, y, z R, x 2 + y 2 + z 2. z Vidimo da u ovom slučaju postoje tri linearno nezavisna sopstvena vektora matrice A, na primer u, u 2, u 3. 7 7. Data je matrica 2 A. 3 a) Odrediti karakteristični polinom matrice A. b) Odrediti sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice A. c) Primenom Kejli Hamiltonove teoreme odrediti matricu B A 8 4A 7 + A 6 + 6A 5. d) Primenom Kejli Hamiltonove teoreme odrediti inverznu matricu A. Rešenje: a) Karakteristični polinom matrice A je 2 λ λ 3 λ λ3 + 4λ 2 λ 6. b) Kako karakteristični polinom u faktorisanom obliku glasi P (λ) (λ + )(λ 2)(λ 3),
8 sopstvene vrednosti matrice A su λ, λ 2 2, λ 3 3. Odgovarajući sopstveni vektori dobijaju se rešavanjem sistema jednačina (A λ i I)u, i, 2, 3, i glase: u r, 3 u 2 s, 4 u 3 t, r, s, t R \ {}. 4 c) Matrica B može da se predstavi kao B A 8 4A 7 + A 6 + 6A 5 A 5 ( A 3 + 4A 2 A 6I) A 5 P (A), gde je P (λ) karakteristični polinom matrice A. Prema Kejli Hamiltonovoj teoremi, P (A) je nula matrica, pa je i B. d) Kako je det A 6, inverzna matrica A postoji. Iz Kejli-Hamiltonove teoreme imamo da je P (A) nula matrica, to jest važi P (A) A 3 + 4A 2 A 6I. Ako poslednju jednakost pomnožimo sa A A 3 + 4A 2 A 6I / A dobijamo A 2 + 4A I 6A A 6 ( A2 + 4A I). Računamo A 2 2 3 2 3 4 5 9 i odred ujemo A A 6 ( A2 + 4A I) 6 3 3 6. 6 2 4 5 + 2 3 9 2 6 3