1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1. Zamenom izraza za vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu, u izraz za ubrzanje, dobije se: v = v x i+v y j +v z k, (1) a = d v dt, (2) a = dv x dt i+ dv y dt j + dv z dt k = v x i+ v y j + v z k, (3) pri čemu je uzeto u obzir da su i, j i k konstantni vektori. Koristeći v x = ẋ, v y = ẏ i v z = ż sledi: a = ẍ i+ÿ j + z k. (4) Slika 1: Komponente ubrzanja u Dekartovom koordinatnom sistemu. Izraz za vektor ubrzanja može se pisati u obliku: a = a x + a y + a z, (5) gde su a x, a y i a z komponente vektora ubrzanja (videti sliku 1): a x = a x i, a y = a y j, a z = a z k. (6a) (6b) (6c) Ovde a x, a y i a z označavaju projekcije vektora ubrzanja na pojedine ose Dekartovog koordinatnog sistema: a x = v x = ẍ a y = v y = ÿ a z = v z = z. (7a) (7b) (7c) 1

Na osnovu poznatih zavisnosti projekcija ubrzanja od vremena, a x = a x (t), a y = a y (t), a z = a z (t) (8a) (8b) (8c) i početnih uslova, x(t = 0) = x 0 ; v x (t = 0) = v x0, y(t = 0) = y 0 ; v y (t = 0) = v y0, z(t = 0) = z 0 ; v z (t = 0) = v z0, (9a) (9b) (9c) mogu se odrediti parametarske jednačine kretanja: x = x(t), y = y(t), z = z(t). (10a) (10b) (10c) Primer. Posmatrajmo pravolinijsko kretanje dužxose za koje je poznatoa x = a x (t) i početni uslovix(t = 0) = x 0 i v x (t = 0) = v x0. Na osnovu razdvajanjem promenljivih sledi: Integralimo ovu jednačinu od 0 do t: Lako se dobije: odnosno: v x v x0 dv x dt = a x (t), (11) dv x = a x (t)dt. (12) / dv x = a x (t)dt v x v x0 = t 0 t v x (t) = v x0 + 0 / t 0. (13) a x (t)dt, (14) a x (t)dt. (15) Koristeći v x = dx/dt, za upravo određeno v x (t) i poznat početni uslov x = x(t) dobija se x(t), kao što je objašnjeno u primeru na prvom času predavanja. Kao poseban primer razmotrimo ravnomerno promenljivo pravolinijsko kretanje, za kojea x = const. Koristeći (15) dobije se: v x (t) = v x0 +a x t, (16) a zatim: x(t) = x 0 +v x0 t+ a xt 2 2, (17) 2

što je izvedeno na prvom času predavanja. se: Drugi primer je slučaj linearne zavisnosti ubrzanja od vremena, a x (t) = kt, k = const. Koristeći (15), dobije v x (t) = v x0 + kt2 2. (18) Rešenje diferencijalne jednačine dx/dt = v x (t) je parametarska jednačina kretanja: 2 Polarni koordinatni sistem x(t) = x 0 +v x0 t+ kt3 6. (19) Polarni koordinatni sistem se koristi za opis kretanja u ravni. Posmatrajmo trajektoriju u xy ravni i opišimo kretanje tako što merimo rastojanje materijalne tačke od koordinatnog početka ρ = r i ugao koji vektor položaja zaklapa sa x osom, koji ćemo označiti ϕ. ρ i ϕ su koordinate u polarnom koordinatnom sistemu i nazivaju se: ρ: poteg (radijus) ϕ: polarni ugao. Rastojanje od pola koordinatnog sistema do materijalne tačke je nenegativno, ρ 0. Osa x je referentna za računanje polarnog ugla i naziva se polarna osa, a smer obrnut od kazaljke na satu je referentni smer za polarni ugao. Slika 2: Polarni koordinatni sistem Položaj materijalne tačke u proizvoljnom vremenskom trenutku t u polarnom koordinantom sistemu određen je sa ρ(t) i ϕ(t): M : (ρ(t),ϕ(t)), (20) gde su ρ(t) i ϕ(t) parametarske jednačine kretanja: ρ = ρ(t) ϕ = ϕ(t) (21a) (21b). Pravac vektora položaja je radijalni pravac, a pravac upravan na njega i usmeren kao referentni smeru za polarni ugao je cirkularni pravac. Jedinični vektori ova dva pravca e ρ i e ϕ, postavljeni kao na slici 2, određuju 3

polarnu ravan (zapravo xy ravan). Oba vektora imaju jedinični intenzitet, a orijentacija im zavisi od orijentacije r (nije konstantna): e ρ = e ρ (t), e ϕ = e ϕ (t). (22a) (22b) Ako se iz ove dve funkcije eliminiše vreme, dobija se jednačina kretanja u koordinatnom obliku, koja može biti implicitno ili eksplicitno napisana: ρ = ρ(t) F(ρ,ϕ) = 0 ili ρ = ρ(ϕ). (23) ϕ = ϕ(t) Primetimo da je zavisnost vektora položaja od vremena u polarnom koordinatnom sistemu data izrazom: r(t) = ρ(t) e ρ (t). (24) Takodje, primetimo: ρ 0, ϕ 0. (25a) (25b) Veze između koordinata u Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu su: ρ = x 2 +y 2, ϕ = arctg y x, (26a) (26b) a obrnuto: x = ρcosϕ, y = ρsinϕ. (27a) (27b) Primer. Date su parametarske jednačine kretanja ρ(t) = R(1+cosωt), ϕ(t) = ωt, (28a) (28b) gde su R i ω pozitivne konstante (R, ω = const > 0). Jednačina kretanja u koordinatnom obliku je: Ovo je jednačina kardioide. ρ(ϕ) = R(1+cosϕ). (29) 3 Cilindrični koordinatni sistem Kao i u polarnom sistemu definišemo polarnu osu (x osa Dekartovog koordinatnog sistema). Treba odrediti projekciju tačke M trajektorije kroz koju prolazi materijalna tačka u vremenskom trenutku t na xy ravan. To je 4

Slika 3: Cilindrični koordinatni sistem. tačka P na slici 3. Odredi se zatim rastojanje tačke P od pola O, što predstavlja poteg (radijus) ρ. Slično kao u polarnom koordinantom sistemu, pravac od O ka P je radijalni pravac, a osa ostavljena duž ovog pravca je radijalna osa. Pored ρ odredi se ugao ϕ koji duž OP zaklapa sa polarnom (x) osom. Pri tome je x osa referentna za računanje uglova, a pozitivan smer ugla ϕ je suprotan od smer kazaljke na časovniku. Pravac normalan na poteg u xy ravni je cirkularni pravac, a osa postavljena duž ovog pravca je cirkularna osa. Osa koja je normalna na polarnu ravan je z osa i naziva se aksijalna osa, a odgovarajući pravac je aksijalni pravac. Jedinični vektori u cilindričnom koordinatnom sistemu su e ρ, e ϕ i e z, postavljeni duž radijalne, cirkularne i aksijalne ose, respektivno. Za razliku od Dekartovog koordinatnog sistema, gde su sva tri jedinična vektora konstantni, u cilindričnom sistemu samo je e z = const, dok e ρ i e ϕ zavise od vremena: e ρ = e ρ (t), e ϕ = e ϕ (t), e z = const. (30a) (30b) (30c) Cilindrični koordinatni sistem se koristi za opis kretanja u (trodimenzionom) prostoru, pri čemu je položaj materijalne tačke u proizvoljnom vremenskom trenutku t opisan parametarskim jednačinama kretanja: ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t). (31a) (31b) (31c) Dakle, položaj tačke M trajektorije kroz koju prolazi materijalna tačka u trenutku t je: M : (ρ(t),ϕ(t),z(t)). (32) Vektor položaja materijalne tačke je: r(t) = ρ(t) e ρ (t)+z(t) e z. (33) Eliminacijom vremena iz parametarskih jednačina kretanja dobija se jednačina trajektorije u koordinatnom obliku. Na primer, najpre eliminacijom vremena iz prve i druge parametarske jednačine, a zatim eliminacijom 5

vremena iz prve i treće parametarske jednačine u (31a) dobija se: F 1 (ρ,ϕ) = 0, F 2 (ρ,z) = 0, (34a) (34b) respektivno. Ovo su jednačine dve površi u čijem preseku se nalazi trajektorija. Umesto F 1 (ρ,ϕ) = 0 i F 2 (ρ,z) = 0 dve površi mogu biti zadate funkcijama napisanim u eksplicitnoj formi, ρ = ρ(ϕ) i z = z(ρ). Primer. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke su: ρ(t) = R, ϕ(t) = ωt, z(t) = kt, (35a) (35b) (35c) gde su R, ω, k pozitivne konstante (R, ω, k = const > 0). Lako se utvrdi da trajektorija ima oblik helikoide, čje su parametarske jednačine u Dekartovom koordinatnom sistemu: x(t) = Rcosωt, y(t) = Rsinωt, z(t) = kt. (36a) (36b) (36c) 4 Izvod proizvoljnog jediničnog vektora koji rotira u xy ravni Slika 4: Rotacija jediničnog vektora oko z ose. Posmatrajmo vektor e sa početkom u polu O Dekartovog koordinatnog sistema čiji se vrh kreće po kružnoj 6

putanji u xy ravni. 1 U Dekartovom koordinantnom sistemu: Izvod ovog vektora po vremenu je: odnosno S druge strane: Prema tome, e = cosϕ i+sinϕ j. (37) d e dt = sinϕdϕ dt i+cosϕ dϕ dt j, (38) e = d e ( ) dt = ϕ sinϕ i+cosϕ j. (39) i j k e z e = 0 0 1 = sinϕ i+cosϕ j. (40) cosϕ sinϕ 0 e = d e dt = ϕ( e z e) = ϕ e. (41) Vektor e = e z e je normalan na vektor e i nalazi se u xy ravni (videti sliku). Ako označimo ovaj vektor sa e. i Primer. Odredimo prve izvode d e ρ /dt i d e ϕ /dt. Relevantni vektorski proizvodi su: Prema tome, i e ρ e ϕ e z e z e ρ = 0 0 1 = e ϕ (42) 1 0 0 e ρ e ϕ e z e z e ϕ = 0 0 1 = e ρ. (43) 0 1 0 d e ρ dt = ϕ e ϕ (44) d e ϕ dt = ϕ e ρ. (45) Vektor e se nalazi u xy ravni, a njegova orijentacija se određuje prema pravilu desne zavojnice, na način kako se određuje orijentacija vektorskog proizvoda e z e. Smer e zavisi od znaka ϕ. Ako vektor e rotira kao na slici, smer e se poklapa sa smerom e ; ako vektor e rotira u smeru suprotnom od prikazanog na slici, smer e je suprotan od smera e. 5 Vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo kretanje u xy ravni opisano parametarskim jednačinama ρ = ρ(t) i ϕ = ϕ(t) i izvedimo izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: v = ṙ = d r dt = dρ dt e ρ +ρ d e ρ dt = ρ e ρ +ρ e ρ. (46) 7

Slika 5: Vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu. Kao što smo pokazali u prethodnom poglavlju, izvod vektora e ρ po vremenu je e ρ = d e ρ dt = ϕ e ϕ, (47) tako da je izraz za brzinu: v = ṙ = d r dt = dρ dt e ρ +ρ d e ρ dt = ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ. (48) Slika 6: Ilustracija nalaženja izvoda jediničnog vektora e ρ po vremenu. Odredimo d e ρ /dt na drukčiji način, koristeći: d e ρ dt = lim e ρ t 0 t. (49) Priraštaj vektora e ρ od vremenskog trenutka t do vremenskog trenutka t+ t ilustrujmo pomoću geometrijske konstrukcije prikazane na slici 6, gde su prikazani vektori položaja u vremenskim trenucima t i t + t. Koristeći jednakost uglova sa paralelnim kracima, lako se zaključi da je ugao između vektora e ρ u dva vremenska trenutka jednak priraštaju polarnog ugla ϕ tokom vremenskog intervala t. Stoga je trougao koga grade vektori e ρ (t), e ρ (t+ t) i e ρ = e ρ (t+ t) e ρ (t) jednakokraki trougao. 1 Vektor e rotira oko ose z, a poluprečnik kružne putanje jednak je 1. 8

Odredimo intenzitet, pravac i smer vektora e ρ za t 0. Ako t 0, tada ϕ 0. Pored toga, označimo ugao između osnovice (duž e ρ ) i kraka jednakokrakog trougla (duži e ρ (t) i e ρ (t+ t)) sa α. Za posmatrani jednakokraki trougao važi: e ρ = 2 1 e ρ sin ϕ 2 ϕ = ϕ. Odavde sledi d e ρ = dϕ ; 2 2 zbir uglova u jednakokrakom trouglu je 2α+ ϕ = π, odakle sledi α = π/2 ϕ/2, što znači da za t 0, kada ϕ 0, α π 2. Dakle, lim t 0 e ρ = d e ρ je vektor normalan na vektor e ρ, tj ima pravac vektora e ϕ ; na osnovu trougla prikazanog na slici 6 sledi da je smer d e ρ u smeru porasta ugla ϕ; dakle d e ρ ima smer jediničnog vektora e ϕ, ako je dϕ > 0, a suprotnog je smera od e ϕ, ako je dϕ < 0. Za mali ugao ϕ: odnosno: Za t 0 (i ϕ 0): Prema tome: odnosno: e ρ ϕ e ϕ, (50) e ρ t ϕ t e ϕ, (51) d e ρ = dϕ e ϕ. (52) d e ρ dt = dϕ dt e ϕ, (53) e ρ = ϕ e ϕ. (54) Odavde sledi već izvedeni izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: Ovde su: v ρ = ρ e ρ : radijalna komponenta vektora brzine; v ϕ = ρ ϕ e ρ : cirkularna komponenta vektora brzine. Projekcije vektora brzine u polarnom koordinatnom sistemu su: v ρ = ρ: radijalna projekcija vektora brzine; v ϕ = ρ ϕ: cirkularna projekcija vektora brzine. v = ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ. (55) }{{}}{{} v ρ v ϕ Intenzitet vektora brzine u polarnom koordinatnom sistemu je v = v = vρ 2 +vϕ, 2 (56) a orijentacija vektora brzine određena je odgovarajućim kosinusima pravca: cos ( v, e ρ ) = v ρ v cos ( v, e ϕ ) = v ϕ v. (57a) (57b) 9

6 Vektor brzine u cilindričnom koordinatnom sistemu Izraz za vektor brzine u cilindričnim koordinatama dobija se uopštavanjem izraza za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu za slučaj kretanja materijalne tačke u prostoru, kada je vekor položaja materijalne tačke: Uzmimo u obzir da je e z = const i da je: r(t) = ρ(t) e ρ (t)+z(t) e z. (58) d(ρ e ρ ) dt = dρ dt e ρ +ρ dϕ dt e ϕ. (59) Lako se dobije: v = r = ρ e ρ }{{} +ρ ϕ e ϕ }{{} v ρ v ϕ + ż e }{{} z, (60) v z gde su v ρ, v ϕ i v z, radijalna, cirkularna i aksijalna komponenta vektora brzine; v ρ = ρ, v ϕ = ρ ϕ i v z = ż su odgovarajuće projekcije brzine: radijalna, cirkularna i aksijalna, redom. 7 Vektor ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu Pretpostavimo da su poznate parametarske jednačine kretanja u polarnom koordinatnom sistemu: ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t) (61a) (61b) i iskoristimo izraz za vektor brzine u polarnom koordinatnom sistemu: v = ρ e ρ +ρ ϕ e ϕ. (62) Slika 7: Vektor ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu. Vektor ubrzanja je: a = v = d ρ dt e ρ + ρ d e ρ dt + dρ dt ϕ e ϕ +ρ d ϕ dt e ϕ +ρ ϕ d e ϕ dt. (63) 10

Slika 8: Ilustracija nalaženja izvoda orta e ϕ po vremenu. Izvod vektora e ρ po vremenu smo ranije odredili: d e ρ /dt = ϕ e ϕ. Stoga se izraz za ubrzanje u polarnom koordinatnom sistemu može pisati u obliku: a = ρ e ρ +2 ρ ϕ e ϕ +ρ ϕ e ϕ +ρ ϕ e ϕ. (64) Izvod vektora e ϕ po vremenu smo takođe ranije odredili: e ϕ = ϕ e ρ. (65) Ipak, ilustrujmo postupak nalaženja d e ϕ /dt pomoću geometrijske konstrukcije polazeći od definicionog izraza: d e ϕ dt e ϕ = lim t 0 t. (66) Slično kao kod izvođenja izraza za e ρ, odredimo najpre konačni priraštaj vektora e ϕ pri kretanju materijalne tačke od vremenskog trenutka t do vremenskog trenutka t + t (videti sliku 8). Na osnovu jednakosti uglova sa normalnim kracima sledi da je ugao između e ϕ (t) i e ϕ (t+ t) jednak promeni polarnog ugla ϕ. Ako t 0, tada ϕ 0. Trougao vektora e ϕ (t), e ϕ (t+ t) i e ϕ = e ϕ (t+ t) e ϕ (t) je jednakokraki trougao, sa uglom pri osnovici α = π/2 ϕ. Jednostavnim ramatranjem ovog trougla može se doći do nekoliko rezultata na osnovu kojih se može odrediti e ϕ. Dužina priraštaja vektora e ϕ je e ϕ = 2 e ϕ sin ϕ 1 e ϕ ϕ = ϕ. Ovde je korišćena aproksimacija sin( ϕ/2) ϕ/2. Intenzitet diferencijalno male promene vektora e ϕ je d e ρ = dϕ. 2 Ako t 0, tada ϕ 0, tako da je ugao pri osnovici α π 2. Ovo znači da je vektor d e ϕ = lim t 0 e ϕ normalan na vektor e ϕ, odnosno d e ϕ ima pravac vektor e ρ. Ako je dϕ > 0, kao u trouglu prikazanom na slici, smer d e ϕ je suprotan od smera e ρ, a ako je dϕ < 0, d e ϕ ima isti smer kao e ϕ. Na osnovu prethodnog sledi da je za malo ϕ: e ϕ ϕ e ρ, (67) odnosno: e ϕ t ϕ t e ρ, (68) 11

Za t 0 (kada ϕ 0): i odnosno d e ϕ dt d e ϕ = dϕ e ρ (69) e ϕ = lim = dϕ t 0 t dt e ρ, (70) e ϕ = ϕ e ρ. (71) Na osnovu poslednjeg rezultata i izraza (64) direktno sledi: Ovde je: a ρ = a ρ e ρ radijalna komponenta vektora ubrzanja; a ϕ = a ϕ e ϕ cirkularna komponenta vektora ubrzanja. Projekcije vektora ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu su: a ρ = ρ ρ( ϕ) 2 radijalna projekcija vektora ubrzanja; a = ( ρ ρ( ϕ) 2 ) e ρ +(2 ρ ϕ+ρ ϕ) e ϕ. (72) }{{}}{{} a ρ a ϕ a ϕ = 2 ρ ϕ+ρ ϕ = (1/ρ)d(ρ 2 ϕ)/dt cirkularna projekcija vektora ubrzanja. Intenzitet vektora ubrzanja je: a = a = a 2 ρ +a 2 ϕ. (73) Orijentacija vektora brzine određena je pomoću kosinusa pravca: cosα = cos ( a, e ρ ) = a ρ a, cosβ = cos ( a, e ϕ ) = a ϕ a. (74a) (74b) 8 Vektor ubrzanja u cilindričnom koordinatnom sistemu Vektor ubrzanja u cilindričnim koordinatama dobija se jednostavnim proširenjem izraza za vektor ubrzanja u polarnom koordinatama. Koristimo: gde je v z = v z e z, a e z = const. Vektor ubrzanja je: v = v ρ + v ϕ + v z, (75) a = v ρ + v ϕ + v z. (76) Izraze za prva dva sabirka na desnoj strani ove jednakosti smo već izveli u prethodnom poglavlju, dok je treći sabirak v z = z e z. Dakle, a = ( ρ ρ( ϕ) 2 ) e ρ +(2 ρ ϕ+ρ ϕ) e ϕ + z e z.. (77) }{{}}{{}}{{} a ρ a ϕ a z a ρ, a ϕ i a z su radijalna, cirkularna i aksijalna komponenta vektora brzine, a odgovarajuće projekcije su: 12

a ρ = ρ ρ( ϕ) 2 radijalna projekcija vektora ubrzanja; a ϕ = 2 ρ ϕ+ρ ϕ cirkularna projekcija vektora ubrzanja; a z = z aksijalna projekcija vektora ubrzanja. Slično kao u polarnom koordinantnom sistemu, orijentacija vektora ubrzanja određena je konsinusima pravca, kojih sada ima 3. 9 Prirodni opis kretanja (prirodni koordinatni sistem) Po prirodnom načinu opisivanja najpre se na trajektoriju postavi referentna tačka i orijentiše trajektorija, a zatim odredi kako se rastojanje materijalne tačke od referentne tačke, koje se naziva lučna koordinata s, menja u funkciji vremena, s = s(t) (videti sliku 9). Referentna tačka je proizvoljno izabrana tačka trajektorije, dok je trajektoriji moguće dati jednu od dve orijentacije. Lučna koordinata ima algebarsko značenje i znak s je određen prema orijentaciji trajektorije: ako je materijalna tačka u datom vremenskom trenutku (t) na pozitivnoj (negativnoj) strani trajektorije tada je s(t) > 0 (s(t) < 0). Uočimo da su i pređeni put S i lučna koordinata s rastojanja merena duž trajektorije. Ipak S i s se razlikuju: S je uvek pozitivno, dok s može imati negativnu vrednost. Pored toga pređeni put je rastojanje između dve tačke trajektorije, dok je lučna koordinata rastojanje proivoljne tačke na trajektorije od referentne tačke. Promena lučne koordinate i pređeni put nisu međusobno jednaki ukoliko materijalna tačka menja smer kretanja. Slika 9: Prirodni koordinatni sistem. Da bi se opisalo kretanje potrebno je znati jednačinu kretanja materijalne tačke duž trajektorije s = s(t). Na prvi pogled može se učiniti da postoji samo jedan parametar kojim se opisuje kretanje. U stvari, u opštem slučaju kretanje je opisano pomoću 3 parametra. To su: (i) oblik trajektorije; (ii) referentna tačka i orijentacija; (iii) zavisnost lučne koordinate od vremena s = s(t). U prirodnom koordinatnom sistemu se definišu 3 karakteristična pravca (za dati položaj materijalne tačke): tangenta, prava koja je tangentna na trajektoriju u datoj tački (prolazi kroz datu tački njoj beskonačno blisku tačku; 13

Slika 10: Pravci i ravni u prirodnom koordinatnom sistemu. normala, prava koja je normalna na trajektoriju i koja leži u ravni koja je određena sa još dve beskonačno bliske tačke koje pripadaju trajektoriji; binormala, prava koja je normalna na tangentu i normalu - normalna na ravan u kojoj leže tangenta i normala. Primetimo da je vektor brzine orijentisan duž tangente, vektor normalnog ubrzanja (videti kasnije) ima pravac normale, a vektor ugaone brzine (videti kasnije) ima pravac binormale. Orijentaciju tangente, normale i binormale određuju tri jedinična vektora: e τ : jedinični vektor tangente; e n : jedinični vektor normale; e b : jedinični vektor binormale. Pored navedenih pravaca, definišu se i karakteristične ravni (u kojima leže po dva jedinična vektora): ( e τ, e n ): oskulatorna ravan; ( e n, e b ): normalna ravan; ( e b, e τ ): tangencijalna ravan. Poseban slučaj je pravolinijsko kretanja gde nije moguće na jedinstven način odrediti orijentaciju e n i e b. Drugim rečima, e n može biti proizvoljno orijentisan u ravni normalnoj na pravu duž koje se kreće materijalna tačka. Pošto se postavi vektor e n, odredi se vektor e b, koji je normalan i na trajektoriju i na e n. 10 Vektor brzine u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo kretanje materijalne tačke u prirodnom koordinatnom sistemu, kao što je prikazano na slici 11. Pretpostavimo da je poznata jednačina kretanja materijalne tačke duž trajektorije Na osnovu opšteg izraza za vektor brzine sledi: s = s(t). (78) v = r = d r dt = d r ds dt ds = d r ds dt dt = vd r ds. (79) 14

Slika 11: Uz izvođenje izraza za brzinu u prirodnom koordinatnom sistemu. Ovde v označava algebarsku vrednost intenziteta vektora brzine: 2 v = ds dt = ṡ. (80) Primetimo da je upravo definisana algebarska vrednost prvi izvod lučne koordinate po vremenu, gde je lučna koordinate rastojanje mereno duž trajektorije. Ovo rastojanje može imati negativni znak. Podsetimo se da je v = ds dt, (81) gde je S tastojanje između 2 tačke trajektorije koje je uvek pozitivno i rastuća je funkcija vremena. Da bi ilustrovali vezu znaka v i orijentacije trajektorije na slici 12 prikazane su dva slučaja: (a) v > 0 i (b) v < 0. Ako je v > 0 smer vektora brzine se poklapa sa smerom jediničnog vektora tangente, dok je za v < 0 smer vektora brzine suprotan od smera jediničnog vektora tangente. Diferencijalno mali put i apsolutna vrednost diferencijalno male promene lučne koordinate su jednaki (za diferencijalno malo vreme materijalna tačka ne menja smer kretanja): pa je apsolutna vrednost v = ds/dt jednaka intenzitetu brzine: ds = ds (82) v = v. (83) Zapravo je v intenzitet brzine materijalne tačke kome je dat znak + ili u zavisnosti od smera kretanja. Ako se lučna koordinata menja suprotno od usvojene pozitivne orijentacije trajektorije, tada je v < 0. Ako je zavisnost algebarske vrednosti intenziteta brzine od vremena poznata v = v(t), tada se pomoću diferencijalne jednačine može odrediti zavisnost lučne koordinate od vremena s = s(t). ds = v(t)dt (84) 2 Primetimo da se ista oznaka koristi za intenzitet i algebarsku vrednost intenziteta brzine. U datom kontekstu je obično jasno o kojoj se od dve veličine radi. Ukoliko se intenzitet brzine i algebarska vrednost intenziteta brzine pojave u istom izrazu, intenzitet brzine ćemo označavati sa v. 15

Slika 12: Algebarska vrednost intenziteta brzine ima: (a) pozitivan znak, (b) negativna znak. Za dt > 0 važi: S obzirom da je: primetimo i da: d r = vdt = v dt = v dt = vdt = ds, (85) ds = d r, (86) ds = ds, (87) što smo već zaključili. Na osnovu (85) sledi: Ovo znači da je d r/ds jedinični vektor. d r ds = d r = 1. (88) ds Vektor brzine v ima pravac tangente na trajektoriju, što je i pravac jediničnog vektora tangente e τ. Prema tome, s obzirom da pravac i smer v određuje d r/ds, lako se zaključi da d r/ds ima pravac jediničnog vektora tangente. Jedinični vektor tangente može imati dva suprotna smera u zavisnosti od orijentacije trajektorije, kao što je prikazano na slici 12. Pri tome: za ds > 0 vektor d r ima isti smer kao vektor e τ ; za ds < 0 vektor d r ima suprotan smer od smera e τ. Prema tome d r/ds je u smeru e τ. Uzimajući u obzir upravo izvedene zaključke o intenzitetu, pravcu i smeru d r/ds, sledi: Prema tome, izraz za vektor brzine u prirodnom koordinatnom sistemu je: d r ds = lim r s 0 s = e τ. (89) v = v e τ. (90) Primer. Razmotrimo ravnomerno pravolinijsko kretanje u prirodnim koordinatama, kao što je prikazano na slici 13. U ovom slučaju algebarska vrednost intenziteta brzine v je konstantna: v(t) = v = const. Na osnovu ds = v(t)dt (91) 16

i za poznatu vrednost lučne koordinate u vremenskom trenutku t = 0 (s(t = 0) = s 0 ) direktno sledi: s t s 0 ds = v(t)dt 0. (92) Za v(t) = v = const lako se dobije: s(t) = s 0 +vt. (93) Slika 13: Ravnomerno pravolinijsko kretanje u prirodnom koordinantnom sistemu. 17