MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar

MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16

Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

Metoda kona nih elemenata Posmatrani realan zi ki problem treba da se (dobro) razume Za zi ke pojave i probleme od interesa postoje odgovaraju e matemati ke formulacije Ako moºe da se odredi analiti ko re²enje matemati ke formulacije problema, problem je (na elno) re²en Ako je matemati ka formulacija problema suvi²e kompleksna, analiti ko re²enje ( esto) nije mogu e U takvim slu ajevima matemati ka formulacija se upro² ava i/ili se traºi numeri ko re²enje

Metoda kona nih elemenata MKE je najpoznatija i najvi²e kori² ena metoda za numeri ka re²avanja posmatranih realnih problema MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke: - MKE moºe da se primeni na bilo koji grani ni i/ili po etni problem: prenos toplote, naponsku analizu, analizu magnetnih i elektromagnetnih polja, analizu kretanja uida, probleme interakcije uida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd - u primeni MKE nema geometrijskih ograni enja: MKE moºe da se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika - nema nikakvih ograni enja po pitanju grani nih uslova i optere enja koje deluje

Metoda kona nih elemenata MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke (nastavak): - materijalne osobine nisu ograni ene, npr., na izotropiju (jednaka zi ka svojstva u svim pravcima), ve mogu da budu proizvoljne, uklju uju i i razli ite u svakom elementu - u istom ra unskom modelu mogu da se istovremeno primenjuju kona ni elementi koji su mežusobno razli itog pona²anja (kona ni elementi za proste ²tapove, za gredene elemente, za kablove, za plo e i ljuske itd) - primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi: geometrijski i/ili materijalno

Metoda kona nih elemenata MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeri ke postupke (nastavak): - ra unski model formiran primenom MKE najvi²e odgovara realnom prototipu - numeri ka aproksimacija moºe da se pobolj²a pove anjem gustine mreºe kona nih elemenata: globalno, ali i lokalno, u zonama gde je ve i gradijent promene nepoznatih veli ina - imaju i u vidu sve ve e mogu nosti ra unara, ra unski modeli mogu da budu jako veliki: n 10 6 nepoznatih

Metoda kona nih elemenata MKE ne moºe da se realizuje pe²ice, bez ra unara Postoje brojni komercijalni programi zasnovani na MKE, kao i slobodni (Open Source) programi za istraºiva ke potrebe MKE ra unarski programi mogu da budu - op²te namene (prakti no, za bilo kakav problem) - specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. za uticaje zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova, zgrada, za analizu uida (CFD - Computational Fluid Dynamics), za geotehni ke probleme,... ) Prakti no da nema oblasti u inºenjerstvu i zici (pa i hemiji - Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE

Metoda kona nih elemenata Vrhunski MKE programi op²te namene: MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA, ABAQUS Vrhunski programi orjentisani na dinami ke probleme: MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM) MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija: Sostic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM, Tower, Lisa, Diana, STAAD MKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova: ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas

Metoda kona nih elemenata Open Source FEM programi op²te namene: FreeFEM++, GetFEM++, OOFEM Open Source FEM programi speci ne namene - za seizmi ku analizu: OpenSees, SeismoStruc, SASSI - za analizu uida i interakciju uida i konstrukcije: OpenFOAM - za analizu dinami ke interakcije tla i konstrukcije: SASSI

ANSYS - primena MKE na razne oblasti

ANSYS - mogu nosti u primeni na konstrukcije

Numeri ki model automobila

Numeri ki model kontakta to ak - ²ina

Numeri ki model sloºene pojave

Numeri ki model sloºene pojave

Numeri ki model sloºene pojave

Fasade od (perforiranog) bakarnog lima

MKE - Linijski kona ni elementi Perforirani bakarni lim Tecu-Oxid-Mesh

Fasada od perforiranog bakarnog lima

Numeri ki model fasade

Numeri ki model eli no-betonske hale

Numeri ki model stambeno-poslovne zgrade

Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

Model koloseka Rheda 2000 u tunelu ƒortanovac

Metoda kona nih elemenata Program zasnovan na MKE moºe da koristi svako ko dovoljno nau i user interface Mežutim, takvom korisniku name u se razna pitanja, npr: - koji kona ni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom - da li treba na nekim mestima domena da bude gu² a mreºa - koji nivo detalja zi kog problema treba da bude prikazan - da li je zna ajni aspekt pona²anja posmatranog problema linearan ili nelinearan / stati ki ili dinami ki - koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje - kolika e da bude ta nost dobijenih rezultata - kako da se proveri da li su rezultati dobri - itd...

Metoda kona nih elemenata Numeri ko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema) nije jednostavan posao Potrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za zi ki problem koji se posmatra: - teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost,... ) - speci nosti materijala (beton, elik, drvo, opeka,... ) - speci nosti odgovaraju ih konstrukcija (AB, prednapregnute, eli ne, spregnute, zidane konstrukcije,... ) - na ine prikazivanja pojedinih optere enja: uticaj vetra, zemljotresa, uskladi²tenog materijala u silosu, vodotornju, rezervoaru za naftu,... - detalja raznih postupaka i algoritama u speci nim nelinearnim i/ili dinami kim analizama

Metoda kona nih elemenata Podrazumeva se da onaj ko vr²i numeri ku analizu u dovoljnoj meri poznaje i ra unarski program koji koristi, kao i mogu nosti i ograni enja programa Osim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metoda kona nih elemenata, kao i aproksimacije koje su usvojene i sadrºane u samoj MKE Naravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave razne gre²ke u opisivanju problema ra unarskom programu Ra unari rade onako kako je napravljen program, a ne onako kako bi korisnik ºeleo da ra unar radi

Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Matri na analiza konstrukcija je postupak analize linijskih nosa a zasnovan na primeni matrica Osnovna ideja matri ne analize je da se linijski nosa posmatra kao skup odreženog broja elemenata (²tapova) koji su mežusobno vezani u vorovima nosa a U svakom elementu nosa a sile i pomeranja unutar elementa izraºavaju se preko izabranih parametara u vorovima nosa a Ti parametri u vorovima nosa a pretstavljaju osnovne nepoznate veli ine u matri noj analizi

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Za nepoznate parametre u vorovima nosa a (u ravni) mogu da se izaberu: 1 generalisanja pomeranja (komponente pomeranja i obrtanje)... u, v, ϕ 2 sile u vorovima (komponente sile i spreg)... H, V, M Za odreživanje nepoznatih parametara u vorovima koriste se dve grupe jedna ina: 1 uslovi ravnoteºe sila u vorovima 2 uslovi kompatibilnosti generalisanih pomeranja u vorovima

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Ako se za nepoznate izaberu pomeranja u vorovima onda se takva varijanta matri ne analize naziva metoda deformacije (direct stiness method) U tom slu aju, nepoznata vorna pomeranja odrežuju se iz uslova ravnoteºe sila u vorovima Ako se za vorne nepoznate usvoje sile u vorovima nosa a, onda se takva varijanta matri ne analize zove metoda sila, metoda eksibilnosti Nepoznate vorne sile se u tom slu aju odrežuju iz uslova kompatibilnosti pomeranja u vorovima

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a U matri noj analizi linijskih nosa a dominantna je metoda deformacije (direktna metoda krutosti), dok se metoda sila prakti no ne koristi Matri na analiza linijskih nosa a sastoji se iz tri celine: 1 analize ²tapa... uspostavljaju se matri ne veze izmežu sila na krajevima ²tapa, vornih pomeranja i optere enja duº ²tapa 2 analize nosa a... matri ne relacije za svaki ²tap sabiraju se i formiraju se uslovne jedna ine za ceo sistem 3 re²avanja jedna ina... uslovne jedna ine sistema se re²e, pa se, sa odreženim osnovnim nepoznatim vornim pomeranjima, odrežuju sile u preseku i pomeranja duº svih ²tapova nosa a

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Matri na analiza linijskih nosa a (u ravni) je osnov metode kona nih elemenata MKE se brzo razvila u znatno ²iri postupak od matri ne analize linijskih nosa a (koja je zasnovana na linearnoj teoriji ²tapa) MKE se brzo pro²irila sa linijskih (1D) na 2D i 3D nosa e, kao i na dinami ke probleme i probleme stabilnosti Paralelno, razvijali su se i prvi ra unari: - 1951... Univac I - 1953... IBM 701

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Osnovna ideja matri ne analize linijskih nosa a Takože, pojavio se i prvi programski jezik za programiranja u nauci i tehnici: FORTRAN, 1957 Osim toga, razvili su se postupci za analizu nelinearnih problema, kako u domenu geometrijske, tako i u oblasti materijalne nelinearnosti Naravno, MKE se vremenom razvila i na primene u (prakti no) svim drugim oblastima inºenjerstva, zike, hemije, medicine (analiza krvotoka, kostiju,... ) itd. Naziv MKE (t.j. FEM) dao je Ray Clough u radu iz 1960 Edward Wilson je doktorirao 1963 (mentor R. Clough) "Finite Element Analysis of 2D Structures"

Nastanak MKE iz Matri ne analize MSA - Matrix Structural Analysis DSM - Direct Stiness Method

Edward Wilson, PhD sa Fortran programom, 1963

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Mežusobne veze ²tapova u vorovima mogu da budu krute ili zglobne U zavisnosti od toga, razlikuju se ²tapovi: - tipa k... na oba kraja ²tapa (i,k) je kruta veza - tipa g... na jednom kraju ²tapa (i) je kruta veza, na drugom (g) je zglobna - prost ²tap... na oba kraja ²tapa je zglobna veza i nema optere enja duº ²tapa Zglobna veza zna i da je omogu ena relativna rotacija zglobno vezanog ²tapa u odnosu na osu u zglobu na ravan nosa a Na zglobno vezanom kraju g ²tapa obrtanje ϕ nije nepoznata veli ina (moºe da se odredi iz uslova M g = 0)

Tipovi ²tapova kod linijskog nosa a Tipovi ²tapova kod linijskog nosa a u ravni i odgovaraju a generalisana vorna pomeranja

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Analiza ²tapa podrazumeva uspostavljanje veza izmežu pomeranja i sila na krajevima ²tapa, odn. izmežu pomeranja na krajevima i optere enja ²tapa Imaju i u vidu proizvoljnu topologiju linijskih nosa a u ravni, geometrija nosa a deni²e se u izabranom globalnom koordinatnom sistemu OXY Takože, za svaki ²tap se deni²e lokalni koordinatni sistem ixy, gde je i po etni vor ²tapa, osa x je osa ²tapa (sa smerom od vora i ka voru k), dok je osa y upravna na pravac ²tapa u ravni nosa a

Rekapitulacija matri ne analize konstrukcija Matri na analiza ²tapa u ravni Oba koordinatna sistema, globalni i lokalni, su desne orjentacije U analizi pojedina nog ²tapa izvode se prvo veze izmežu sila i pomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemu Imaju i u vidu poloºaj svakog ²tapa u odnosu na globalni koordinatni sistem, izraºen preko ugla α = (X, x), vr²i se transformacija iz lokalnog u globalni sistem Veze izmežu sila i pomeranja na krajevima ²tapa, izraºene u globalnom sistemu, sabiraju se i dolazi se do globalnih jedna ina sistema

Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile Posmatra se, kao najop²tiji slu aj, ²tap tipa k (kruta veza na oba kraja) ƒvorna pomeranja na krajevima ²tapa u lokalnom sistemu obeleºavaju se sa: - na kraju i... u i, v i, ϕ i (pomeranja vora i u pravcima osa x i y i obrtanje vora oko ose z) - na kraju k... u k, v k, ϕ k Alternativno, koriste se oznake q i (i = 1, 2,..., 6) i naziv generalisane koordinate: - na kraju i... q 1, q 2, q 3 - na kraju k... q 4, q 5, q 6

Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile ƒvorne sile u lokalnom sistemu obeleºavaju se takože na dva na ina - na uobi ajen na in... vor i: N i, T i, M i, vor k: N k, T k, M k - alternativno, sa oznakom R i... vor i: R 1, R 2, R 3, vor k: R 4, R 5, R 6 Napominje se da su pozitivni smerovi vornih sila i vornih pomeranja, na oba kraja ²tapa, u pozitivnim smerovima lokalnih osa ƒvorna pomeranja i vorne sile, izraºene u globalnom sistemu obeleºavaju se sa gornjim indeksom (..) : qi, R i, (i=1,2...,6)

Lokalni i globalni koordinatni sistem Sile i pomeranja na krajevima ²tapa izraºene u (a) lokalnom i (b) globalnom koordinatnom sistemu

Matri na analiza ²tapa u ravni ƒvorna pomeranja i vorne sile Vektori vornih pomeranja i vornih sila na krajevima ²tapa tipa k, izraºeno u lokalnim koordinatama ixy, prikazuju se u obliku vektora kolona: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Veza izmežu vektora vornih sila i vornih pomeranja prikazuje se u obliku R = K q (1) gde je sa K ozna ena matrica krutosti ²tapa Relacija (1) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog ²tapa Matrica K moºe da se posmatra kao preslikavanje vektora vornih pomeranja q na vektor vornih sila R

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Za ²tap tipa k, sa 6 stepeni slobode, matrica krutosti K je kvadratna matrica reda 6 k 11 k 12 k 1j k 16 k 21 k 22 k 2j k 26 K =.... k i1 k i2 k ij k i6.... k 61 k 62 k 6j k 66

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Ako se relacija (1) R = K q napi²e u razvijenom obliku: R 1 k 11 k 12 k 1j k 16 q 1 R 2 k 21 k 22 k 2j k 26 q 2. =..... R i k i1 k i2 k ij k i6 q j...... R 6 k 61 k 62 k 6j k 66 q 6 vidi se da je sila R i jednaka R i = 6 k ij q j (2) j=1

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Iz relacije (2) dobija se zi ko zna enje elemenata matrice krutosti: Element k ij matrice krutosti pretstavlja silu R i usled pomeranja q j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja jednaka nuli q i = 0, i j To zna i da elementi kolone j matrice krutosti: k 1j, k 2j,..., k 6j pretstavljaju sile R 1, R 2,..., R 6 usled jedini nog vornog pomeranja, odn. usled stanja q j = 1

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Matrica krutosti je simetri na: k ij = k ji usled stava o uzajamnosti reakcija (odn. Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomeranja) Matrica krutosti je singularna: od 6 sila na krajevima ²tapa 3 su linearno nezavisne, dok ostale 3 mogu da se odrede iz uslova ravnoteºe Kada se totalno uklje²tenom i neoptere enom ²tapu zada generalisano pomeranje q j = 1 i odrede reakcije oslonaca R i (i=1,2,..., 6) usled tog pomeranja, tada reakcije pretstavljaju elemente kolone j matrice krutosti

Matri na analiza ²tapa u ravni Matrica krutosti ²tapa u ravni Ako se ovakav postupak ponovi za sva generalisana pomeranja q j, j=1,2,...,6, dobijaju se sve kolone matrice krutosti, a time i svi elementi matrice K Ovakav na in odreživanja matrice krutosti ²tapa naziva se direktan postupak (metoda) Relacija (1) je osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa Ako je ²tap optere en duº svoje ose, uticaj optere enja se prikazuje preko vektora ekvivalentnog optere enja

Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Ekvivalentno optere enje je koncentrisano optere enje na krajevima ²tapa kojim se zamenjuju spolja²nji uticaji duº ose ²tapa Ekvivalentno optere enje Q u vorovima datog nosa a jednako je negativnim vrednostima reakcija oslonaca i uklje²tenja deformacijski odreženog sistema datog nosa a Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca optere enog ²tapa kome su spre ena pomeranja krajeva

Vektor ekvivalentnog optere enja

Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Kao ²to je re eno, nepoznata vorna pomeranja nosa a odrežuju se iz uslova ravnoteºe sila u vorovima Sile u vorovima poti u od spolja²njeg optere enja, t.j. od: - spolja²njih sila koje deluju direktno u vorovima - ekvivalentnog optere enja u vorovima koje zamenjuje raspodeljeno ili koncentrisano spolja²nje optere enje duº ose ²tapova Osim toga, prema vezi (1), nepoznate vorne sile prikazuju se preko matrice krutosti i nepoznatih vornih pomeranja

Matri na analiza ²tapa u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja Sve matrice i vektori prikazuju se u globalnom koordinatnom sistemu (vr²i se transformacija iz lokalnog u globalni sistem) Posle odgovaraju eg sabiranja po pojedinim vorovima nosa a dolazi se do globalnih uslova ravnoteºe celog nosa a: K q = S (3) (sa gornjim indeksom (..) ozna ene su matrice i vektori u globalnom sistemu OXY U jedna ine ravnoteºe (3) uneti su odgovaraju i grani ni uslovi Re²avanjem jedna ina (3) dobija se vektor nepoznatih vornih pomeranja u globalnom sistemu

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Posmatra se prost ²tap konstantnog popre nog preseka F, modula elasti nosti E i duºine l Koordinatni po etak lokalnog sistema xy je u voru i ƒvorna pomeranja i vorne sile su, redom, q 1, q 2, kao i R 1, R 2

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Vektori vornih pomeranja i vornih sila dati su sa { } { } { } q1 ui R1 q = = R = = q 2 u k R 2 { Ni N k } Veza izmežu vornih sila i vornih pomeranja (1), u ovom slu aju, je { } [ ] { } R1 k11 k = 12 q1 R 2 k 21 k 22 q 2

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Element matrice krutosti k ij je sila na mestu i usled jedini nog pomenranja u j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja krajeva ²tapa jednaka nuli Elementi prve kolone matrice K su sile na krajevima prostog ²tapa usled pomeranja q 1 = 1 i q 2 = 0, dok su elementi druge kolone matrice krutosti sile na krajevima za pomeranje q 1 = 0 i q 2 = 1

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Promena duºine tetive (prostog) ²tapa jednaka je razlici pomeranja krajeva ²tapa: Dilatacija ose ²tapa je jednaka l = q 2 q 1 ε = l l = q 2 q 1 l Imaju i u vidu relaciju teorije elasti nosti σ = E ε, normalna sila u prostom ²tapu data je sa N = σ F = EF ε = EF l l = EF l (q 2 q 1 )

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Sile na krajevima prostog ²tapa R 1 i R 2 jednake su normalnim silama, sa odgovaraju im znakom: - normalne sile su pozitivne za zategnut ²tap - vorne sile su pozitivne kada su u pozitivnom smeru lokalne ose (na oba kraja ²tapa)

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Prema tome, dobija se R 2 R 1 = N = EF (q 1 q 2 ) l R 2 = N = EF (q 2 q 1 ) l Napisano u matri nom obliku, ove relacije postaju: { } R1 = EF [ ] { } 1 1 q1 l 1 1 q 2

Matrice krutosti ²tapova u ravni Matrica krutosti prostog ²tapa Imaju i u vidu osnovnu relaciju za neoptere en ²tap R = Kq, matrica krutosti prostog ²tapa data je u obliku K = EF l [ 1 1 1 1 Matrica krutosti aksijalno napregnutog (prostog) ²tapa je kvadratna matrica reda 2 Kao ²to se vidi, matrica krutosti je simetri na i singularna (determinanta je jednaka nuli): detk = 0 ] (4)

Matrica krutosti prostog ²tapa u ravni

Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Osnovna jedna ina optere enog ²tapa data je u obliku gde je Q vektor ekvivalentnog optere enja R = K q Q (5) Vektor ekvivalentnog optere enja jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca optere enog ²tapa kome su spre ena pomeranja krajeva Prost ²tap moºe da bude optere en silama u pravcu ose ²tapa i uticajem temperaturne promene duº ose ²tapa t

Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa U slu aju temperaturne promene duº ose ²tapa dodatna dilatacija je data sa ε t = α t t gde je α t koecijent temperaturne dilatacije materijala ²tapa Prema tome, normalna sila je data u obliku N = EF ε = EF ( l l + α t t) = EF l (q 2 q 1 ) + EF α t t

Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Imaju i u vidu konvenciju o pozitivnim smerovima sila na krajevima ²tapa u matri noj analizi, dobija se { } ] { R1 q1 R 2 = EF l [ 1 1 1 1 q 2 } EF α t t { 1 1 Prema tome, vektor ekvivalentnog optere enja aksijalno optere enog ²tapa, za slu aj temperaturne promene u osi ²tapa, dat je sa { } 1 Q = EF α t t 1 } (6)

Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa za uticaj temperaturne promene u osi ²tapa: { } 1 Q = EF α t t 1

Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Ukoliko je ²tap optere en proizvoljnim raspodeljenim optere enjem u pravcu ose ²tapa, komponente vektora ekvivalentnog optere enja dobijaju se kao reakcije obostrano oslonjenog ²tapa, sa promenjenim znakom:

Matrice krutosti ²tapova u ravni Vektor ekvivalentnog optere enja prostog ²tapa Prost ²tap kod koga su spre ena pomeranja u pravcu ose ²tapa na oba kraja je jednom stati ki neodrežen nosa Reakcije oslonaca se odrežuju primenom metode sila Ako je aksijalno optere enje konstantno, p x (x) = p = const, reakcije veza su jednake 1/2 rezultante optere enja: pl/2, pa je vektor ekvivalentnog optere enja u tom slu aju jednak Q = { Q1 Q 2 } = { pl 2 pl 2 }

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Osnovna jedna ina neoptere enog, (1), ili optere enog ²tapa, (5), formulisana je u lokalnom koordinatnom sistemu Lokalni sistem ²tapa ixyz ima koordinatni po etak u jednom voru, voru i, osa x je u pravcu ose ²tapa, u smeru i k, dok je osa y upravna na ²tap u ravni nosa a, tako da ose xyz ine desni koordinatni sistem Topologija nosa a (u ovom slu aju ravne re²etke) odrežena je u odnosu na globalni koordinatni sistem OXY Z desne orjentacije, pri emu je XY ravan nosa a

Lokalni i globalni sistem ƒvorne sile i vorna pomeranja prostog ²tapa prikazani u (a) lokalnom i (b) globalnom sistemu

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Za razliku od vektora vornih sila i pomeranja u lokalnom sistemu, koji imaju po dve komponente (jer su u pravcu lokalne ose x), ti isti vektori izraºeni u globalnom sistemu imaju po etiri komponente, po dve u svakom voru u pravcima globalnih osa X i Y : q = q 1 q 2 q 3 q 4 R = R 1 R 2 R 3 R 4

Lokalni i globalni sistem Transformacija vorne sile R 1 u voru i iz globalnog u lokalni sistem: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α i obratno, iz lokalnog u globalni sistem: R 1 = R 1 cos α R 2 = R 1 sin α

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Ugao koji deni²e poloºaj lokalne ose ²tapa x u odnosu na globalni sistem XY odrežen je sa orjentisanim uglom izmežu globalne ose X i lokalne ose x: α = (X, x) Projektovanjem komponenti u globalnom sistemu R 1 i R 2 na pravac lokalne komponente vorne sile, dobija se R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α Sli no se dobija i za sile u voru k: R 2 = R 3 cos α + R 4 sin α

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Napisano u matri nom obliku dobija se relacija { R1 R 2 } = ili u skra enom obliku: [ cos α sin α 0 0 0 0 cos α sin α ] R 1 R 2 R 3 R 4 R = T R (7)

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Sa T je ozna ena matrica transformacije: [ ] cos α sin α 0 0 T = 0 0 cos α sin α (8) Analogno izrazu (7) dobija se i za vorna pomeranja q = T q (9) Matrica transformacije prostog (re²etkastog) ²tapa pretstavlja transformaciju vornih veli ina (sila i pomeranja) iz globalnog u lokalni sistem

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Imaju i u vidu razlaganje sila u voru i, relacije kojima se prikazuju sile u globalnom sistemu preko sila u lokalnom sistemu, za vor i, date su sa: R 1 = R 1 cos α R 2 = R 1 sin α Analogne relacije vaºe i za vor k: R 3 = R 2 cos α R 4 = R 2 sin α

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Napisano u matri nom obliku, ove relacije postaju R 1 R 2 R 3 R 4 = R 1 cos α R 1 sin α R 2 cos α R 2 sin α = cos α 0 sin α 0 0 cos α 0 sin α { R1 R 2 } Ova relacija moºe da se napi²e u obliku R = T T R (10) i pretstavlja transformaciju vornih sila iz lokalnog u globalni sistem

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Analogna relacija vaºi i za vorna pomeranja q = T T q Posmatra se osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa, odn. veza izmežu generalisanih ( vornih) sila i generalisanih pomeranja u lokalnom sistemu, (1): R = K q Unose i u ovu relaciju vezu (9): q = T q i mnoºe i sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije T T, dobija se T T R = T T K T q (11)

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Izraz na levoj strani (11) pretstavlja vektor vornih sila u globalnom sistemu, dat sa (10): R = T T R, tako da se dobija: R = T T K T q (12) Relacija (12) moºe da se napi²e u obliku R = K q (13) gde je K matrica krutosti ²tapa u globalnom sistemu K = T T K T (14)

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Dakle, relacija (13) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog prostog ²tapa u globalnom sistemu Ako je prost ²tap optere en duº svoje ose aksijalnim optere enjem ili temperaturom u osi ²tapa, osnovna jedna ina optere enog ²tapa, u lokalnom sistemu, data je sa (5): R = K q Q (15) Vektor ekvivalentnog optere enja Q pretstavlja vorne sile koje zamenjuju optere enje duº ose ²tapa, izraºene u lokalnom sistemu ²tapa

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Prema tome, i za vektor ekvivalentnog optere enja vaºe relacije transformacije iz lokalnog u globalni sistem: Q = T T Q (16) Ako se jedna ina (15) pomnoºi sa leve strane sa transponovanom matricom transformacije ²tapa, dobija se T T R = T T K T q T T Q odn. dobija se osnovna jedna ina optere enog ²tapa u globalnim koordinatama R = K q Q (17)

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Matrica krutosti prostog ²tapa u globalnim koordinatama data je sa (14) Ako se uvedu oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica krutosti (14) moºe da se prikaºe u obliku: [ K = T T k k K T = ] k k gde je k = EF l [ λ 2 λµ λµ λ 2 ]

Re²etkasti ²tapovi u globalnom sistemu Lokalni i globalni sistem Vektor ekvivalentnog optere enja Q, dat sa (16), dobija se u obliku λ 0 { } λq 1 Q = T T Q = µ 0 Q1 µq 0 λ = 1 Q 2 λq 2 0 µ µq 2

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Posmatra se puni ²tap tipa k u ravni OXY, dakle ²tap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem ²tapa u ravni nosa a je xy, pri emu je koordinatni po etak u (prvom) voru i, a lokalna osa x je u pravcu ose ²tapa, sa smerom i k Kao ²to je re eno, nepoznate veli ine su vorna pomeranja: - u voru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u voru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, ²tap tipa k (beam), kao deo nosa a u ravni, raspolaºe sa 6 stepeni slobode (6 dof)

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu: vorne sile i pomeranja tap tipa k je duºine l i od materijala sa konstantnim modulom elasti nosti E Popre ni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - povr²ina preseka... F - momenat inercije... J

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu tap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosa a u ravni tap tipa k moºe da bude izloºen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji ²tapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su mežusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Vektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrženim redosledom, prvo za vor i, pa za vor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su ozna ene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih ²tapova Aksijalno naprezanje i savijanje su mežusobno nezavisni u linearnoj teoriji ²tapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu Matrica krutosti i odgovaraju e relacije za ²tap izloºen aksijalnom naprezanju su iste kao ²to je prikazano u razmatranju re²etkastih ²tapova Posmatra se ²tap tipa k izloºen savijanju Za savijanje relevantna su vorna pomeranja - u voru i... v i, ϕ i - u voru k... v k, ϕ k kao i vorne sile - u voru i... T i, M i - u voru k... T k, M k

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Analiza savijanja kod punih ²tapova U nezavisnom posmatranju savijanja ²tapa ima po dve nepoznate u svakom voru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za vorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za vorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se ra una o redosledu nepoznatih

Matri na analiza linijskih nosa a u ravni Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Po²to se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, vorne sile i vorna pomeranja, kao i druge veli ine, ozna avaju se sa gornjim indeksom s Vektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q s = q 1 q 2 q 3 q 4 R s = R 1 R 2 R 3 R 4

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrica krutosti za slu aj savijanja K s moºe da se izvede na bazi zi kog zna enja elemenata matrice krutosti: Koecijent matrice krutosti k ij pretstavlja vornu silu R i obostrano uklje²tenog ²tapa usled jedini nog vornog pomeranja q j = 1, pri emu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklje²tene grede za jedini na pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila

Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti

Matrica krutosti ²tapa tipa k Reakcije veza za svako od jedini nih pomeranja pretstavljaju odgovaraju u kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elasti na linija ²tapa (ugibi)

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetri na i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l 3 12 6l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l 2 12 6l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (18)

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q s = Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog optere enja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklje²tene grede usled zadatog optere enja

Vektor ekvivalentnog optere enja Za jednostavna optere enja postoje gotova re²enja za reakcije veza obostrano uklje²tene grede Za proizvoljno optere enje p y (x) reakcije veza se odrežuju primenom metode sila (za dva puta stati ki neodrežen nosa )

Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja za jednakopodeljeno optere enje p y (x) = p = const

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj jednakopodeljenog opter enja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h 0 1 0 1 Sa α t je ozna en koecijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosa a

Matrica krutosti ²tapa tipa k

Matrica krutosti ²tapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s odrežuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti ²tapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s sme²taju se na odgovaraju e pozicije

Matrica krutosti ²tapa tipa k

ƒvorna pomeranja i vorne sile ²tapa tipa k

Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa tipa k

Vektor ekvivalentnog optere enja ²tapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno optere enje konstantnih intenziteta

Puni ²tapovi u lokalnom sistemu - savijanje Vektor ekvivalentnog optere enja Vektor ekvivalentnog optere enja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slu aj jednako-podeljenog aksijalnog opter enja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opter enja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k tap tipa k, u sastavu nosa a u ravni, zauzima proizvoljan poloºaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Poloºaj ²tapa u posmatranom nosa u, koji pripada globalnoj ravni OXY, odrežen je sa poloºajem prvog vora i ²tapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa ²tapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto odrežene su matricom transformacije T

Globalni i lokalni sistem ƒvorna pomeranja i vorne sile ²tapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Vektori vornih pomeranja i vornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraºeni u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6

Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora vornih pomeranja i vornih sila ²tapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Matrica transformacije ²tapa tipa k dobija se kada se, npr., vorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko vornih sila u globalnom sistemu R i Imaju i u vidu da je α = (X, x), dobijaju se slede e relacije, posmatraju i vorne sile u voru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (19) R 3 = R 3

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Prikazano u matri nom obliku, relacije (19) mogu da se napi²u kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 R 1 R 2 R 3 Relacije (20) mogu da se napi²u u skra enom obliku: (20) R i = t R i (21)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Analogne relacije mogu da se napi²u i za sile u voru k: R k = t R k (22) Matrica t je vorna matrica transformacije Relacije (21) i (22) mogu da se zajedno napi²u u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (23) ili u kompaktnijem obliku R = T R (24)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Relacija (24) pretstavlja transformaciju vektora vornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za ²tap Napisano u razvijenom obliku, relacije (24) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (25)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 0 0 1 (26) Matrica transformacije je simetri na kvadratna matrica reda 6

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Na isti na in, vaºe relacije izmežu vornih pomeranja q: q = T q (27) kao i izmežu vektora ekvivalentnog optere enja Q: Q = T Q (28) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (29)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Imaju i u vidu relacije (24) i (28), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori vornih sila i vektori ekvivalentnog optere enja, izraºeni u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (30) Radi skra enog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Matrica transformacije za vor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ 0 0 0 1 0 0 1 dok je matrica transformacije za ²tap data sa T = λ µ 0 0 0 0 µ λ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 λ µ 0 0 0 0 µ λ 0 0 0 0 0 0 1 (31)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija koordinata za ²tap tipa k Ako su poznate globalne koordinate vorova i i k ²tapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izra unavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati ²tap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jedna ina neoptere enog ²tapa R = K q Unose i u ovu jedna inu relacije izmežu vornih sila i vornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (32)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (32) pomnoºi sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imaju i u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (33) ili skra eno, R = K q (34)

Puni ²tapovi u globalnom sistemu Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jedna ina (34) pretstavlja osnovnu jedna inu neoptere enog ²tapa u globalnim koordinatama U toj jedna ini matrica K pretstavlja vezu izmežu vornih sila i vornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti ²tapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (35)

Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Matrice krutosti ²tapova (punih i re²etkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - duºine ²tapa... l - geometrijskih karakteristika popre nog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti ²tapova u globalnim koordinatama zavise jo² i od - poloºaja ²tapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Ulazni podaci koji deni²u ra unski model posmatranog nosa a sastoje se iz slede ih celina: - op²ti podaci o ra unskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosa a: koordinate vorova i povezanost ²tapova - podaci o popre nim presecima i o materijalima - podaci o grani nim uslovima - podaci o optere enju: osnovni slu ajevi optere enja i kombinacije optere enja U posmatranom nosa u (u ravni, ali i u 3D) svaki vor i svaki ²tap imaju svoj jedinstveni identikacioni broj

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Numeracije vorova, kao i ²tapova, mežusobno su nezavisne i po inju sa 1,2,3,... Za svaki vor unose se koordinate ta aka (u globalnom sistemu) Za svaki ²tap unose se globalni brojevi prvog i drugog vora (i, k), pri emu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste razli itih popre nih preseka i razli itih materijala u modelu nosa a Unose se podaci o grani nim uslovima: koji vor je grani ni i kakvi su grani ni uslovi

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Ulazni podaci o ra unskom modelu (text le) Unose se podaci o osnovnim slu ajevima optere enja: - naziv slu aja optere enja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u vorovima nosa a - podaci o raspodeljenim optere enjima duº osa ²tapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena optere enja - podaci o koncentrisanim optere enjima duº ose ²tapa (mada je mogu e da se ²tap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom voru) - podaci o temperaturnim uticajima duº ose ²tapa Podaci o kombinacijama osnovnih slu ajeva optere enja

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti U fazi u itavanja i analize ulaznih podataka svakom voru nosa a dodeljuju se globalni brojevi za vorna pomeranja u tom voru Ti globalni brojevi vornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki ²tap time su odreženi globalni brojevi vornih pomeranja njegovih vornih ta aka i i k Za sve ²tapove koji su vezani u zajedni koj vornoj ta ki globalni brojevi vornih pomeranja u zajedni kom voru su isti

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Prema tome, svaki ²tap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi vornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki ²tap se formira odgovaraju a matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti ²tapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim vorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk ( vorne matrice krutosti)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Posle toga vr²i se sabiranje matrica krutosti po svim elementima (assembly) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosa a K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki ²tap j, u globalnu matricu krutosti nosa a unose vorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri emu se vorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima vornih pomeranja posmatrane vorne matrice (postupak kodnih brojeva)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Kada se na istoj poziciji nažu vorne matrice krutosti dva ili vi²e ²tapova, elementi matrica vornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih ²tapova, odn. unesu vorne krutosti svih ²tapova na odgovaraju e pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema ²tapova u globalnom sistemu K

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje vektora slobodnih lanova Zatim se vr²i formiranje vektora slobodnih lanova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih lanova ine spolja²nje sile koje su direktno koncentrisane u vorovima nosa a, P, kao i vektor ekvivalentnog optere enja koji pretstavlja uticaj spolja²njeg optere enja duº ²tapova nosa a R : S = P + R

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Za svaki ²tap koji je optere en duº svoje ose formira se vektor ekvivalentnog optere enja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog optere enja pripada vorovima i i k ²tapa na kome se nalazi raspodeljeno optere enje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom voru Ako je vi²e optere enih ²tapova vezano u istom voru, odgovaraju e komponente vektora ekvivalentnog optere enja u tom voru se sabiraju

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Formiranje globalne matrice krutosti Na sli an na in se formira i vektor slobodnih lanova, koji je dat kao odgovaraju i zbir vektora koncentrisanih sila u vorovima nosa a, kao i vektora ekvivalentog optere enja koji poti e od optere enja duº ²tapova Tako dobijen sistem jedna ina K q = S ne moºe da se re²i, jer je matrica krutosti sistema ²tapova singularna matrica - nisu uneti grani ni uslovi

Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Sadrºaj 1 MKE - Linijski kona ni elementi 2 Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova U vektoru vornih pomeranja q ve i deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslona kih vorova Ako se nepoznata vorna pomeranja ozna e sa qf, a poznata vorna pomeranja sa qb, onda je mogu e da se izvr²i particija: { } q q = f qb

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Takože, mogu e je da se jedna ine ravnoteºe (??) prikaºu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jedna ina (36) moºe da se napi²e u vidu dve jedna ine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Iz prve od jedna ina (37) dobija se vektor nepoznatih vornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imaju i u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jedna ina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Grani ni uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slu aju homogenih grani nih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih vornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova U slu aju nehomogenih grani nih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Mežutim, u realnoj implementaciji matri ne analize linijskih nosa a, odn. u izradi odgovaraju ih ra unarskih programa, koriste se drugi pristupi uno²enja grani nih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog grani nim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Redukcija matrice krutosti zna i slede e: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat grani nim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uklju uju i i element m u vektoru slobodnih lanova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako ²to red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako ²to poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako ²to kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u poloºaj kolone N 1

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Redukcija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - na taj na in, za jedan grani ni uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih lanova, vr²i se redom za sve grani ne uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih lanova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetri na matrica koja ima inverznu matricu

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e: - neka je zadat grani ni uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postoje em elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara vornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najve i broj u matrici krutosti (to je, obi no, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoºi sa, recimo, 10 6

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima grani nim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) grani nih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim grani nim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima vornih pomeranja koja su zadata grani nim uslovima (jednaka su nuli)

u ravni Formiranje globalne matrice krutosti Uno²enje grani nih uslova Uno²enje grani nih uslova Transformacija matrice krutosti zna i slede e (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije vi²e singularna (ima inverznu matricu) i sistem jedna ina moºe da se re²i - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim grani nim uslovima, u re²enju se dobijaju nule za vorna pomeranja koja su zadata homogenim grani nim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti vi²e je u upotrebi od metode redukcije jer se lak²e implementira u programu