lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte 7 Determire şirurilor recocurete omogrfice şi ecuţii dioftice de tip Pell 8 Proleme rezolvte 9 Ecuţii mtricile iome î M (C Proleme rezolvte Mtrice de ordi Vlori şi vectori proprii (IDicou VPop Vlori proprii si vectori proprii petru mtrice ptrtice Poliom crcteristic l uei mtrice ptrtice Proleme rezolvte 4 Teorem lui Cle- Hmilto 5 Teorem lui Froeius 6 Proleme rezolvte Trsformări elemetre î mtrice (IDicou VPop Trsformări elemetre Clculul rgului uei mtrice pri trsformări elemetre Clculul iversei uei mtrice pri trsformări elemetre 4 Proleme rezolvte 4 Mtrice de ordi doi şi trei c trsformări geometrice î pl şi spţiu (IDicou VPop 4 plicţii liire 4 Mtrice socită uei trsformări 4 Proiecţii î pl şi spţiu 44 Simetrii î pl şi spţiu 45 Izometrii î pl şi spţiu 46 Proleme rezolvte 5 Determiţi (IDicou VPop 5 Permutri 5 Proleme rezolvte 5 Determiti de ordi Determiti specili 54 Proleme rezolvte 55 Fuctii poliomile de tip determit 56 Proleme rezolvte 57 Derivt uui determit
liză Mulţimi dese (Gh Boroic Suşir Şir fudmetl Criterii de covergeţă (I Mgdş Suşir l uui şir Şir fudmetl Criteriul lui Cuch Criterii de covergeţă 4 Criteriul Cesro-Stolz 5 Ordi de covergeţă l uui şir Şiruri remrcile Teorem lui O Toeplitz (O Pop 4 Şiruri recurete (I Mgdş 4 Noţiui fudmetle 4 Recureţe liire de ordiul uu 4 Recureţe liire omogee de ordi superior cu coeficieţi costţi 44 Recureţe liire eomogee de ordiul K 45 Recureţe eliire 5 Câtev clse de şiruri (V Pop 5 Şiruri defiite implicit 5 Şiruri cu mulţime termeilor fiită 5 Evlure uor serii pri şiruri 6 Propriette lui Drou (I Mgdş 6 Fucţii cu propriette lui Drou Geerlităţi 6 Clse de fucţii cu propriette lui Drou 6 Păstrre PD supr fucţiilor sumă produs cât compuere două fucţii cu PD 7 plicţii le teoremelor fudmetle Fermt Rolle grge Cuch (I Mgdş 7 Teorem lui Fermt 7 Teorem lui Rolle 7 Teorem lui grge 74 Teorem lui Cuch 8 Fucţii covee (Gh Boroic I Mureş 8 Noţiui teoretice 8 Ieglităţi 9 Poliomele Tlor socite uor fucţii (I Boroic 9 Formulele lui Tlor şi poliomele Tlor socite fucţiilor elemetre plicţii le metodelor topologice î proleme de geometrie (V Pop Noţiui teoretice ecesre Ecuţii trscedete (N Muşuroi Utilizre mootoiei uor fucţii
Rezolvre uor ecuţii cu jutorul teoremei lui Rolle şi teoremei lui grge Utilizre coveităţii Eemple şi cotreemple î liz mtemtică (V Pop C Heuerger Completări şi precizări teoretice Cotreemple su formă de proleme Ecuţii fucţiole î liz mtemtică (V Pop V upşor Ecuţi lui Cuch pe R Ecuţi lui Jese Ecuţi lui D lemert 4 Ecuţi lui Peider Coordotor Vsile Pop Viorel upşor
MTEMTICĂ PROGRM ŞCOR PENTRU CSEE DE EXCEENŢ X-XII RGUMENT Studiul mtemticii pri clsele de eceleţă urmăreşte î pricipl crere uui cdru orgizt î cre elevii tletţi l mtemtică proveiţi di diferite medii şcolre să potă itr î cotct şi î timp reltiv scurt să formeze u grup performt ceşti elevi eeficiid de o pregătire pe măsur poteţilului lor itelectul vor cotriui ulterior l formre uei elite româeşti î domeiul mtemticii Relizre uei progrme petru clsele de eceleţă precum şi modul î cre se v lucr pe cestă progrmă costituie o outte petru îvăţămâtul româesc Di cest motiv elorre prezetei progrme treuie îţelesă c o etpă ecesră uui îceput de drum U colectiv de cdre didctice di îvăţămâtul preuiversitr şi uiversitr di CRTCP Cluj cu eperieţă î domeiul pregătirii elevilor cpili de performţe superiore u formt o echipă cre relizt progrm şi mulul cre coţie eerciţii şi proleme etrem de utile petru desăvârşire pregătirii cestor elevi Î selectre coţiuturilor progrmei s- ţiut cot de tediţele ctule î formulre suiectelor l cocursurile şi olimpidele şcolre dr şi de trdiţiile şcolii româeşti de mtemtică Numerosele cărţi şi reviste dreste vârfurilor u costituit o importtă sursă iliogrfică î trtre temelor Temele propuse costituie o etidere firescă progrmei litice oligtorii de mtemtică şi prcurgere lor este ecesră petru ordre uor proleme mi dificile umite teme vor fi trtte pe percursul mi multor i de studiu ( evidet cu o prolemtică corespuzătore sigurâdu-se stfel cotiuitte şi coereţ procesului de îvăţre Mi treuie precizt că l elorre progrmei echip vut î vedere fptul că mtemtic u este u produs fiit ci u proces itelectul î cre pe suportul uor cuoştiţe solide primeză iiţitiv persolă stfel cestă progrmă oferă posiilităţi utetice de opţiue petru profesori şi elevi Progrm se dreseză elevilor clselor X-XII şi fost cocepută petru u umăr de ore/săptămâă ( î cele de săptămâi le ului şcolr î cre se lucreză cu clsele su grupele de eceleţă C o completre l progrm oligtorie de mtemtică competeţelor geerle le-u mi fost dăugte îcă două cre u rolul de oriet demersul didctic către formre uor smluri structurte de cuoştiţe geerte de specificul ctivităţii itelectule mtemtice l ivel de performţe superiore Progrm re următorele compoete: - competeţe geerle - competeţe specifice şi coţiuturile corelte cu ceste - vlori şi titudii - sugestii metodologice 5
Competeţe geerle Folosire corectă termiologiei specifice mtemticii î cotete vrite Prelucrre dtelor de tip ctittiv clittiv structurl cotetul cuprise î euţuri mtemtice Utilizre corectă lgoritmilor mtemtici î rezolvre de proleme cu grde diferite de dificultte 4 Eprimre şi redctre corectă şi coeretă î limj forml su î limj cotidi rezolvării su strtegiilor de rezolvre uei proleme 5 liz uei situţii prolemtice şi determire ipotezelor ecesre petru oţiere cocluziei 6 Geerlizre uor proprietăţi pri modificre cotetului iiţil de defiire prolemei su pri îmuătăţire su geerlizre lgoritmilor 7 Emitere uor judecăţi de vlore petru rezolvre prolemelor ivetiv şi euristic- cretive 8 Doâdire uei imgii de smlu mtemticii elemetre c prte uui sistem flt î permetă evoluţie şi itercţiue cu lume îcojurătore 6
Competeţe specifice Oservre proprietăţilor mtricelor de ordiul doi Idetificre semăărilor ditre operţiile cu mtrice şi cele cu plicţii liire Iterpretre uor trsformări liire (proiecţii simetrii rotţii izometrii î limjul lgerei pri itroducere mtricelor socite cestor Utilizre trsformărilor elemetre l clculul rgului şi iversei uei mtrice Idetificre procedeelor de ridicre l putere uei mtrice 4 Utilizre vectorilor şi vlorilor proprii le uei mtrice l găsire uor sisteme de coordote î cre trsformările iu forme mi simple 5 Determire uor mtrice cre stisfc umite codiţii 5 Reprezetre permutărilor î limjul lgerei liire şi studiere lor 6 Reducere clculului determiţilor de ordiul l relţii de recureţă 7 Relizre uor implicţii ître prolemele tipice le lgerei liire şi cele propuse l cocursurile şi olimpidele şcolre 8 Coştietizre importţei lgerei liire l rezolvre prolemelor di lte domeii le mtemticii Coţiuturi Elemete de lgeră liiră Mtrice Mtrice de ordiul doi Determire puterilor turle le uei mtrice de ordiul doi Ecuţii mtricele iome î M (C Ecuţii dioftice de tip Pell Vlori proprii şi vectori proprii petru mtrice pătrtice Poliom crcteristic l uei mtrice pătrtice Teorem lui Cle-Hmilto Teorem lui Froeius Trsformări elemetre î mtrice plicţii l clculul rgului şi iversei uei mtrice Mtrice de ordiul II su III c trsformări geometrice î pl şi spţiu Determiţi Permutări Determiţi de ordiul Determiţi specili Fucţii poliomile de tip determit 7
Oservre comportării şirurilor recurete utilizâd reprezetre grfică Idetificre proprietăţilor crcteristice le uui şir Eprimre termeului geerl l uui şir recuret liir pritr-o formulă 4Idetificre uor situţii cre pot fi eprimte mtemtic pri şiruri recurete 5Idetificre celei mi eficiete metode de clcul limitei uui şir 5 Determire şirurilor dte pri sisteme recursive şi recureţe omogrfice utilizâd mtricele 6Reducere şirurilor recurete eliire l recureţe mi simple su liire î scopul studiului covergeţei 7Relizre uor implicţii ître prolemele tipice cu şiruri şi cele propuse l cocursurile şi olimpidele şcolre 8 Coştietizre prolemticii vste puse de şiruri şi idetificre posiilităţilor de etidere cercetării cestor Oservre şi descriere proprietăţilor uei fucţii cu propriette Drou Iterpretre uor proprietăţi şi teoreme referitore l fucţii cotiue şi derivile cu jutorul reprezetărilor grfice Utilizre fucţiilor cotiue şi derivile î clculul limitelor uor şiruri 4 Trspuere î limjul lizei mtemtice proprietăţilor uor fucţii (propriette Drou coveitte etc 5 Idetificre celei mi potrivite metode de rezolvre uei iecuţii şi de stilire uor ieglităţi 5 proimre uor fucţii cu jutorul dezvoltării î serie Tlor 6 Relizre de trsferuri ître liz mtemtică pe de o prte şi geometrie şi lgeră pe de ltă prte pri rezolvre de proleme de eisteţă ecuţii trscedete şi fucţiole Elemete de liză mtemtică Mulţimi dese Şiruri de umere rele Suşir l uui şir Şir fudmetl Criteriul lui Cuch Criterii de covergeţă Criteriul lui Cesro-Stolz Teorem lui Toeplitz Ordi de covergeţă l uui şir Şiruri remrcile (şirurile lui Euler lescu Wllis Stirlig etc imite de şiruri defiite implicit Şiruri vâd mulţime termeilor fiită Şiruri de sume Şiruri recurete (recureţe liire recureţe omogrfice recureţe defiite de fucţii mootoe sisteme recursive etc Fucţii cotiue şi derivile Propriette lui Drou plicţii le teoremelor fudmetle: Fermt Rolle grge Cuch Fucţii covee Poliomele Tlor socite uor fucţii plicţii le lizei mtemtice Proleme de eisteţă î geometrie Ecuţii trscedete Ecuţii fucţiole Cotreemple î liz mtemtică 8
7 Relizre uor implicţii ître prolemele tipice le clculului difereţil şi cele propuse l cocursurile şi olimpidele şcolre 8 Coştietizre importţei lizei mtemtice î rezolvre prolemelor ltor domeii le mtemticii şi uor proleme cu coţiut prctic 8 Relizre de coeiui ître diferite cocepte le lizei mtemtice pri eemple şi cotreemple 8 liz cotreemplelor lizei mtemtice c prim ps î formulre de oi rezultte şi teoreme VORI ŞI TITUDINI Noul curriculum şcolr petru clsele de eceleţă propus l mtemtică re î vedere formre l elevi următorelor vlori şi titudii î plus fţă de cele specificte pri curriculumul şcolr oligtoriu : Mifestre uor opiii competete cu privire l ordre prolemelor ituitiv şi euristic-cretive zte pe eplorre ispirţie şi iveţie Dezvoltre uei gâdiri refleive idepedete fleiilă şi strctă specifică mtemticii Iteresul petru modul de dezvoltre ideilor şi rezulttelor mtemtice Curiozitte fţă de oile deschideri di domeiul mtemticii SUGESTII METODOOGICE Pri prezetul curriculum petru clsele de eceleţă se iteţioeză c pe prcursul liceului elevii să doâdescă competeţe şi să-şi structureze u set de vlori şi titudii specifice pregătirii de îltă performţă ceste se regăsesc î următorele specte le îvăţării vizte de prctic pedgogică : lizre şi elorre uui pl de rezolvre petru prolemele tipice şi/su dificile di domeiile studite Formre oişuiţei de formul proleme şi situţii prolemă liz uei proleme di puct de vedere l ideii cetrle Reprcurgere căii de rezolvre prolemei petru oţie u rezultt mi u meliort su optimizt pritr-o reproiectre cretivă Idetificre uor metode de lucru vlile petru clse de proleme 9
Iiţeire şi relizre cretivă uei ivestigţii porid de l temtic propusă Formre depriderii de ticip rezultte mtemtice porid de l dtele eistete Formre oişuiţei de fce coeiui itr şi iterdisciplire cest curriculum re drept oiectiv c fiecre elev cpil de performţe superiore să-şi potă dezvolt competeţele îtr-u ritm idividul de -şi trsfer cuoştiţele cumulte ditr-o zoă de studiu î lt Petru cest se recomdă următorele ctivităţi : lterre prezetării coţiuturilor cu moduri vrite de trere gâdirii Solicitre de frecvete corelţii itr şi iterdisciplire Puere elevului î situţi c el îsuşi să formuleze srcii de lucru decvte Oţiere de soluţii su iterpretări vrite petru ceeşi uitte iformţiolă Prevedere de srcii rezolvile pri ctivitte î grup Utilizre uor softuri educţiole vâd î vedere specificul clselor de eceleţă metodele folosite i prctice istructiv-eductivă vizeză următorele specte: Utilizre strtegiilor euristice cre lsăelevul să-şi sume riscul icertitudiii l îcercării şi erorii specifice ivestigţiei ştiiţifice Utilizre strtegiilor cretive cre lsă elevul să se firme î plul origilităţii spoteităţii diversităţii şi cre pu ccetul pe cpcitte de reflecţie siteză evlure critică şi creţie O îmire şi o lterţă sistemtică ctivităţii zte pe efort idividul cu cele cre solicită efort colectiv Îsuşire uor metode de iformre şi de documetre idepedetă cre oferă deschidere spre utoistruire şi spre îvăţre cotiuă
Mtrice de ordiul doi şi plicţii GEBRĂ INIRĂ Mtrice de ordiul doi Defiiţie Pri mtrice de ordiul doi îţelegem u tlou cu două liii şi două coloe de form: ude umerele ij (ij {} se umesc elemetele mtricei Sistemul ordot de elemete ( se umeşte digol priciplă mtricei ir sistemul ordot de elemete ( se umeşte digol secudră Oservţie Petru mtrice se mi foloseşte otţi: ( ij i j { } Mulţime mtricelor de ordiul doi le căror elemete sut umere complee o otăm cu M (C Î cestă mulţime distigem următorele sumulţimi: M (Z M (Q M (R M (C Defiiţie Spuem că mtricele B M (C B sut egle şi scriem B dcă ij ij petru fiecre ij { } Defiiţie 4 Dcă B M (C B tuci pri sum mtricelor şi B îţelegem mtrice C B Proprietăţi 5 (le duării mtricelor: B B B M (C ( B C (B C B C M (C c Mtrice O (tote elemetele sut egele cu se umeşte mtrice zero şi re propriette O O M (C
d M (C eistă - M (C stfel îcât ( ( O Dcă ( ij i j { } tuci ( ij j { } i Defiiţie 6 Dcă B M (C B tuci pri produsul B îţelegem mtrice: C B Cu lte cuvite elemetul di lii i şi colo j mtricei produs se oţie făcâd sum produselor elemetelor di lii i le mtricei cu elemetele coloei j le mtricei B ude ij { } Oservţie 7 Î geerl B B Eemplu 8 : 5 4 7 6 ( 5 ( 7 8 ( ( 5 4 7 6 ( ( 8 9 ( 6 4 ( 8 4 5 5 7 6 8 4 ( 5 6 ( 7 ( 8 ( ( 5 ( 6 4 7 ( ( 8 4 4 46 Proprietăţi 9 (le îmulţirii mtricelor: ( B C (B C B C M (C (B C B C şi ( B C C B C B C M (C c Mtrice I (cre re pe digol priciplă umi ir restul elemetelor sut se umeşte mtrice uitte şi re propriette I I M (C Oservţie : Deorece îmulţire mtricelor verifică propriette putem defii puterile lui M (C stfel: I (dcă O N* 4
Defiiţie : Pri produsul mtricei M cu umărul λ λ B λ λ λ Cum î mulţime umerelor complee îtâlim formule de clcul prescurtt de eemplu ( ( cre re loc C tot ş î M (C îtâlim formule cu mtrice dr cu codiţi c mtricele să comute ître ele stfel dcă B M (C şi BB m N* tuci: m B m B ; B ( B( B B B ; c B ( B( B B B ; d ( B C B C B B Defiiţie : Pri trspus mtricei M (C îţelegem mtrice t Mtrice t se oţie di mtrice luâd liiile (respectiv coloele lui drept coloe (respectiv liii petru t Proprietăţi : Dcă B M (C şi α C tuci: t ( B t t B; t (α α t ; c t ( B t B t Oservţie 4: Pri iducţie mtemtică se pote demostr că: t ( t t - t t M (C N* Defiiţie 5: O mtrice M (C se umeşte simetrică dcă ij ji i j { } dică t Mulţime mtricelor simetrice cu elemete di C se oteză cu S (C 5
Defiiţei 6: O mtrice M (C se umeşte tisimetrică dcă ij ji i j { } dică t Mulţime mtricelor tisimetrice cu elemete di C se oteză cu (C Oservţie 7: M M (C S S (C (C (uice stfel îcât M S Defiiţie 8: Dcă M (C ( ij i j { } mtricei este mtrice ( i j i j { } este mtrice * t ( Defiiţie 9: Dcă M 6 tuci cojugt ir djuct mtricei (C tuci pri urm mtriei îţelegem ămărul Tr( (sum elemetelor de pe digol priciplă Proprietăţi Dcă B M (C şi α C tuci: Tr ( B Tr ( Tr (B Tr ( α α Tr ( c Tr (B Tr (B d Tr ( Tr ( t Oservţie : Tr (B Tr ( Tr (B Defiiţie : Dcă M (C tuci umărul det se umeşte determitul mtricei Proprietăţi : det ( B det det B B M (C; det ( det det det M (C N*; c det ( (det M (C şi N*; d det ( t det M (C;
e det ( λ λ det M (C şi λ C; Oservţie 4: det ( det Defiiţie 5: Dcă M (C şi det tuci mtrice se umeşte sigulră ir dcă det mtrice se umeşte esigulră Mulţime mtricelor pătrtice de ordiul doi esigulre se oteză cu G (C Defiiţie 6: Spuem că mtrice M (C este iversilă dcă eistă B M (C stfel îcât B B I Mtrice B se umeşte ivers mtricei şi se oteză cu - (Dcă eistă B e este uică Teoremă 7: Mtrice M (C este iversilă dcă şi umi dcă det (dică G (C Formulă 8: Dcă M (C este iversilă tuci c d d * ude * şi se umşte mtrice reciprocă det c Oservţie 9: O ecocordţă ître mulele vechi de lgeră şi litertur de specilitte este modul de otre mtricei reciproce (greşit umită djuctă Proprietăţi : Dcă B M (C sut iversile şi λ C* tuci: (B - B - - ( λ - λ - c ( t - t ( - d ( - ( - Oservţie : Pri iducţie mtemtică se pote răt că ( - ude M (C N* sut mtrice iversile 7
Defiiţie : Mtrice G (C se umeşte ortogolă dcă t - ir mtrice G (R se umeşte uitră dcă * - Defiiţie : Mtricele B M (C sut semee dcă eistă C G (C stfel îcât B C - C Se oteză ~ B Defiiţie 4: Mtricele B M (C sut echivlete dcă eistă C D G (C stfel îcât CBD Se oteză B Teorem lui Cle-Hmilto Defiiţie : Fie M (C c d Ecuţi det( λ I λ Tr( λ det ude Tr( d (urm mtricei ir det d c se umeşte ecuţi crcteristică mtricei ir rădăciile ecuţiei se umesc vlori proprii Teoremă (Cle-Hmilto Orice mtrice pătrtică verifică propri s ecuţie crcteristică dică Tr( det I O ude M (C c d c ( d Demostţie: Cum se verifică imedit că d( d c d eglitte re loc Coseciţ Dcă M (C şi det d c tuci c d (Tr - N Demostrţie: Deorece det d c di teorem lui Cle Hmilto rezultă că Tr( O de ude oţiem Tr( şi ( Tr ( Tr ( Tr ( Tr Pri iducţie mtemtică rezultă că ( Tr N 8
Coseciţ 4 Dcă M (C şi Tr ( tuci * ( det I Ν ( det Ν Demostrţie: Di teorem lui Cle Hmilto rezultă (det I O deci ( det I şi pri iducţie mtemtică petru pr su impr rezultă firmţi di euţ Coseciţ 5 Fie M (C Să se rte că următorele firmţii sut echivlete: O ; Eistă N stfel îcât O Demostrţie: Evidet (eistă stfel îcât O ; Dcă eistă N stfel îcât O tuci (det de ude det şi coform coseciţei rezultă O ( Tr de ude O su Tr Dcă O tuci O Dcă Tr di teorem lui Cle Hmilto oţiem O Determire puterilor turle le uei mtrice de ordiul doi Î cotiure e propuem să găsim u procedeu petru ridicre uei mtrice de ordiul doi l putere N* Teorem Dcă M (C şi ecuţi crcteristică c d λ λ ( d λ d c re rădăciile rele c d λ λ λ tuci eistă mtricele B C M ( (C stfel îcât: λ B λ C λ λ λ B λ C λ λ 9
Demostrţie: Evidet mtrice verifică relţi Tr det I O ude Tr( d şi det d c Îmulţid relţi de mi sus cu - oţiem Tr det O de ude (* Tr det Cosiderâd şi ţiâd cot de relţi (* oţiem: c d Tr( det Tr( det c Tr( c det c d Tr( d det d Deci tote şirurile verifică ceeşi relţie de recureţă: Tr( det Ecuţi crcteristică fiid λ Tr( λ det cu rădăciile presupuse rele rezultă: - dcă λ λ oţiem α λ β λ ude α β C Deci α λ β λ α λ βλ c α cλ βcλ d α dλ β dλ dică eistă mtricele B C M (C α α β β B αc α d C stfel îcât βc β d λ B λ C - dcă λ λ oţiem α λ β λ ude α β C Deci α λ β λ c d α λ β λ α λ β λ c c α λ β λ d d dică eistă mtricele B C M (C α α β β B αc α d C stfel îcât βc β d λ B C λ
Î cocluzie orice mtrice de ordiul doi de form petru cre c d ecuţi λ ( d λ d c re rădăciile rele λ λ se pote pue su form di teoremă ude mtricele B şi C se determiă prctic di relţi ( făcâdu-l pe egl cu şi poi egl cu Teoremă Dcă M (C tuci petru orice umăr turl c d N* eistă două şiruri de umere complee şi stfel îcât I ( ( Demostrţie: Folosim metod iducţiei mtemtice Petru propriette este devărtă deorece eistă stfel îcât I Petru eistă d Tr( şi ( d c det stfel îcât ( d ( d c I Presupuem propriette devărtă petru u umăr turl dică C stfel îcât I tuci oţiem: I ( I ( ( I I ude ( ( Tr şi ( det Deci I Di relţiile ( şi ( rezultă şi stfel di ( rezultă det cre îlocuit î ( oţiem Tr det cre re ecuţi crcteristică λ Trλ det Dcă ecuţi de mi sus re rădăcii rele tuci αλ βλ dcă λ λ şi αλ βλ dcă λ λ după cre rezultă epresi lui
4 Determire şirurilor dte pri sisteme recursive recurete omogrfice şi ecuţii dioftice de tip Pell 4 Determire şirurilor dte pri sisteme recursive Fie şirurile de umere rele ( ( defiite pri sistemul de relţii de recureţă: ( d c ude N ir c d sut umere rele dte Sistemul ( pote fi scris su formă mtricelă stfel: d c su ( ude d c Dâd î relţi ( lui vlorile - oţiem: Deci şi prolem revie cum l flre formei geerle lui Oservţii 4: Dcă 4det ( Tr tuci metod epusă ici devie eficietă petru flre şirurilor ( şi ( ; Petru clcul se pote folosi ecuţi crcteristică: det O I Tr M (R 4 Determire şirurilor dte pri recureţe omogrfice Defiiţie 44: Fucţi f: R - c d R d c f ( c d R c se umeşte fucţie omogrfică ir d c M f se umeşte mtrice tştă fucţiei f
Propriette 45: Dcă f şi g sut fucţii omogrfice tuci pe mulţime D R pe cre sut defiite fucţiile f o g şi f f o f o o f N* fucţiile 44 4 f o g şi f sut omogrfice şi vem relţiile: M M M M f o g f g f f ( M N* Demostrţie: Fie f: R - d d' R g: R - c c R ' ' ' f ( g( fucţii omogrfice şi M f c d c' d' c d ' ' M g mtricele tşte celor două fucţii c' d' tuci pe mulţime D R pe cre eistă compuere f o g vem: ' ' g( ' ' ( ' ' ' ' ( ( ( ( c d c d f o g f g cg( d ' ' c d ( c' dc' c' dd' c' d' tot o fucţie omogrfică şi ' c' ' d' ' ' M f o g M f M g c' dc' c' dd' c d c' d' Eglitte dou se demostreză pri iducţie mtemtică ori Defiiţie 46: U şir recuret defiit pritr-o recureţă de form f ( ude f este o fucţie omogrfică se umeşte recureţă omogrfică Oservţi 47: C recureţ să defiescă u şir e ecesr c c d N Propriette 48: Dcă f ( tuci f ( ( f o f o o f ( f ( ude 44 4 ori
4 Demostrţie: Petru demostrţie se foloseşte metod iducţiei mtemtice Îtr-devăr fie f: R - c d R d c f ( Dcă ( f rezultă d c şi tuci d c f ( dică lui i se tşeză mtrice d c ir ( ( ( ( d c d c d c d d c c d c d c f şi ( ( d c d c d c dică lui i se tşeză mtrice Presupuâd că lui d c i se sociză mtrice d c d c vem ( ( ( ( ( dd c dc c d c d d c c d c d c f şi dd c dc c d c d c d c oţiem că lui i se sociză mtrice Rezultă că d c şi cărui i se sociză mtrice d c d c Deci petru clcul pe î fucţie de este suficiet să clculăm pe
Oservţie 49: Şirul ( pote fi defiit cu umite codiţii supr teremului iiţil Di epresiile mtricei deducem codiţiile de eisteţă şirului recuret c d N su d N c Se determiă mulţime 4 Ecuţii dioftice de tip Pell d S N şi tuci codiţi este R \ S c Fie d N d u umăr lier de pătrte ( d Q Defiiţie 4: Ecuţi dioftică P : d ude Z se umeşte ecuţi lui Pell Î cele ce urmeză vom rezolv î umere îtregi ecuţi lui Pell Oservţie 4: Perechile ( ( sut soluţii le ecuţie P şi se umesc soluţii le Dcă ( este soluţie ecuţiei P tuci şi (- ( ( sut soluţii le ecuţiei Deci petru rezolv ecuţi lui Pell este sufficiet să-i flăm soluţiile î mulţime umerelor turle (( N N ( ( d Fie pereche ( N N cărei îi tşăm mtrice petru cre det d Dcă otăm cu S P mulţime soluţiilor ecuţiei lui Pell tuci ( SP dcă şi umi dcă det ir ( ( dcă şi umi dcă I Dcă ( SP ( ( tuci det de ude rezultă det tuci Fie d cu d şi dcă d 5
6 d d d d d ( ir det det det( det Rezultă d su ( d ( cu dţi stfel îcât ( ( Dcă ( N N tuci şi ( N N cu lte cuvite dcă ( este soluţie ecuţiei Pell tuci şi ( este soluţie ecuţiei Pell Relţiile de recureţă ( şi ( pot fi scrise mrticel d su d ir de ici folosid ecuţi crcteristică petru flre lui d rezultă: (* ( ( ( ( d d d d d şi luâd soluţi ( miimă elă (cu miim dcă şi umi dcă miim oţiem că { } S S P ( ( ( (( ( Vom răt reciproc P S S Dcă ( S N N ( ( defiim B şi B B cu d ude ( este soluţi miimă Rezultă det B şi ' ' ' ' d B ude d ' ' di cre se deduce că < < ' ' dcă ( ( şi ' ' ( N N Cotiuâd găsim B B B B I B B şi mergâd îpoi rezultă dică P S (
Eerciţiu 4: Să se fle soluţi geerlă î Z Z ecuţiei dioftice Fie ( ( soluţi pozitivă miimă ecuţiei diferită de soluţiile le ( şi ( Ecuţi dtă re deci o ifiitte de soluţii dte de (* î cre vom îlocui şi d Oţiem: S ( ( ( ( ( ± ± N ( ± { } { } P Oservţie 44: Soluţiile ecuţiei Pell pot fi utilizte î proimre rdiclilor umerelor turle cre u sut pătrte perfecte Îtr-devăr dcă sut soluţii le ecuţiei d tuci ( lim decât d deci d d < < de ude rezultă ( d d d dică frcţiile proimeză pe d cu o erore mi mică 45 Ecuţi ( N* Oservţie: cestă ecuţie este mi geerlă decât ecuţi lui Pell d Propriette 46: Dcă N > tuci ecuţi u re soluţii î umere turle ir 7
Demostrţie: Îtr-devăr presupuem că ecuţi dtă r ve o soluţie î umere turle ( tuci dică şi sut prime ître ele Urmeză că eglitte implică ude N* Ecuţi devie su ( ( dică < cee ce este imposiil Vom umi rezolvet Pell ecuţiei ecuţie u v şi vom demostr următore: Propriette 47: Dcă ecuţi re o soluţie elă î umere turle tuci e re o ifiitte de soluţii î umere turle Demostrţie: Fie ( N* o soluţie ecuţiei Deorece u este pătrt perfect coform teoremei demostrte mi sus rezultă că rezolvet Pell re o ifiitte de soluţii î umere turle dte de formulele (* Notăm cu (u v N soluţi geerlă rezolvetei Pell u v tuci ( N ude u v u v sut soluţii le ecuţiei N deorece ( u v ( u v ( N dică ecuţi re o ifiitte de soluţii ( u v Propriette 48 Soluţi geerlă ecuţiei este ( N ude u Bv Bu v (u v N fiid soluţi geerlă rezolvetei Pell ir (B B N ce mi mică soluţie ecuţiei cosiderte Demostrţie: m rătt mi sus că dcă (u v N este soluţi geerlă rezolvetei Pell tuci ( N sut soluţii le ecuţiei Reciproc rătăm că dcă ( N sut soluţii le ecuţiei tuci (u v N ude u B v B sut soluţii le rezolvetei Pell u v Îtr-devăr u v ( B ( B ( B ( N propoziţi fiid stfel demostrtă 8
Î czul prticulr metod epusă mi sus oferă rezolvre ecuţiei d pe cre o vom umi ecuţi Pell cojugtă Pri urmre soluţi geerlă ecuţiei Pell cojugte este ( N ude: u Bv Bu Dv (B fiid ce mi mică soluţie ecuţiei D ir (u v N soluţiile ecuţiei lui Pell u dv Oservţie 49: Şirurile ( ( defiite recursiv pri relţiile de mi sus verifică idetitte [ d ] N Îtr-devăr ( N fiid soluţi geerlă ecuţiei Pell cojugte d vem ( ( d Dr d N* N şi deci d > Pri urmre d < de ude < < d < dică [ d ] N Eerciţiu 4: Să se fle soluţi geerlă î N N ecuţiei 6 5 Ce mi mică soluţie ecuţiei este ( Rezolvet Pell este ecuţi u v cre re ce mi mică soluţie ( Ţiâd sem de (* găsim soluţi geerlă rezolvetei Pell (u v N u u 6v v v u u v Folosid ultim propriette demostrtă oţiem soluţi geerlă ecuţiei 6 5 ( N u 5 v u 6v ir form eplicită este (di (*: 6 6 ( ( 5 5 ( ( 9
5 Ecuţii mtricele iome î M (C Defiiţie 5: Ecuţi mtricelă X ude M (C este o mtrice dtă N u umăr turl fit ir X M (C este o mtrice ecuoscută se umeşte ecuţie mtricelă iomă Î mjoritte metodelor de rezolvre le ecuţiilor mtricele iome se folosesc următorele rezultte: Dcă X M (C şi det X tuci X ( t X X ir t X este urm mtricei X; Dcă X tuci X X; Dcă M (C I petru orice C tuci mtricele X M (C cre comută cu sut de form X α βi ; 4 Dcă X M (C X tuci X ( d X ( d c I c d ( t d d d c ; 5 Dcă eistă stfel c X O tuci X O 6 Dcă vlorile proprii le mtricei M (C sut disticte ( λ λ tuci eistă o mtrice P esigulră (mtrice de psj stfel c λ P P λ Primele cici rezultte u fost justificte terior vom justific firmţi 6 Dcă λ λ sut vlorile proprii le mtricei tuci: ( λ I ( λi ir mtricele λ I şi λ I u determiţii zero deci eistă X X M (C X X stfel îcât X λ X X λ X Dcă X X rătăm că mtrice P ( X X este iversilă Dcă pri surd coloele r fi proporţiole X α X α C* m ve:
X λ X αx λα X αx αλ X αλ X αλ X α( λ λ X deci λ λ cotrdicţie λ vem P ( X X ( λ X λ X ( X X P J deci λ λ P P J λ Î cotiure vom prezet câtev czuri de ecuţii mtricele iome Ecuţi X M (C şi det Rezolvre: Di X rezultă (det X det deci det X şi di rezultă X ( t X X ude t X este urm mtricei X Se oţie ( t X X î cre eglâd urmele oţiem ( t X t X t su ( t X t Dcă urm mtricei este t (di 4 tuci ( t X t dă urmele mtricei X dică t X { t t t } ude t t t sut rădăciile de ordiul le lui t ( t t t t Î cocluzie petru M (C şi det ecuţi X re î M (C soluţii: X t t ude t t t sut rădăciile t ecuţiei lgerice t t ( t fiid urm mtricei 4 Eemplu 5 Să se rezolve ecuţi: X Soluţie: vem det tr t 4 t { i i} Soluţiile sut: X ± X ± i Dcă urm mtricei este t tuci şi di X rezultă X ir di 5 rezultă X Î cocluzie petru şi ecuţi X u re soluţii (petru
Dcă di X O rezultă ecuţi X O cee ce otâd c ( d X coduce l sistemul de ecuţii pătrtice cu soluţiile c d c( d d c X C C* şi X c c C c Eemple 5: Să se rte că ecuţi X u re soluţii petru Soluţie: Ridicâd l pătrt oţiem X deci X şi cum X Să se determie mtricele X M c d (R ude c d sut umere prime şi X Soluţie: Di soluţi geerlă X şi codiţi să fie prim rezultă Deci soluţiile sut p p X p p p p N* cu p umăr prim Ecuţi X I C* X M (C Rezolvre: Să oservăm că dcă X este soluţie tuci petru orice mtrice iversilă M (C mtrice P X P este de semee soluţie Îtr-devăr P X P P X P P X P X P P X P P X P P I P I
Dcă vlorile proprii le mtricei X sut disticte tuci coform λ oservţiilor iiţile ( 6 rezultă că eistă X P şi ecuţi devie: λ λ λ cu soluţiile λ λ { } rădăciile de ordiul le lui Î cocluzie o prte di soluţiile ecuţiei X I sut i X P P (* ude i j sut rădăciile ritrre le ecuţiei j ir P M (C o mtrice esigulră ritrră Dcă vlorile proprii le mtricei X sut egle λ λ λ tuci di 4 rezultă ( X λ I şi otâd Y X λi rezultă X λ I Y cu Y vem X λ I λ B şi ecuţi X I devie λ I λ B I su λ B ( λ I λ Di rezultă λ şi di B B I rezultă B şi λ λ deci X ii Î cocluzie soluţiile sut de form (* (fără codiţi i j Ecuţi X î cre vlorile proprii le mtricei sut λ λ disticte Rezolvre: Dcă vlorile proprii le lui X sut µ µ tuci µ λ µ λ deci µ µ Dcă P este mtrice esigulră petru cre λ P P λ tuci îmulţid î relţi X cu P l stâg şi P l drept rezultă ( P λ X P λ su X λ λ su µ λ P deci µ λ
α µ λ µ λ Soluţiile sut de form X P P ude α λ β β λ şi P M (C este mtrice esigulră Oservţie 54: O ltă metodă de rezolvre se zeză pe oservţiile şi 4 Dcă I C tuci di X X rezultă că mtricele X cre verifică ecuţi X sut de form X α βi Vlorile proprii le mtricei X sut µ αλ β µ αλ β ude λ λ sut vlorile proprii le mtricei Vlorile proprii le mtricei X sut µ şi µ şi se oţi ( αλ β λ ( αλ β λ Ultimele două relţii le privim c sistem î ecuoscutele α β αλ β λ ε vem ude ε ε p sut rădăcii de ordi le uităţii αλ β λ ε p Se oţie: λε λε p α λ λ dcă λ λ λλ ( ε p ε β λ λ Î cotiure vom demostr că : Rezolvre ecuţiei de grdul l doile X X ci ude c R 4c şi M (C se reduce l rezolvre uei ecuţii iome Demostrţie: Îtr-devăr ecuţi dtă se pote scrie su form: c c X X I X I I 4 Cu otţiile I 4c Y X şi B I ecuţi devie Y B dică o ecuţie 4 iomă 4
6 Proleme rezolvte ( R Să se determie tote mtricele cre comută cu mtrice 4 Soluţie: Fie X stfel îcât X X Rezultă c d su 4 c d c d 4 c d 4 c su de ude rezultă deci 4c c d ( d c 4d c 4d d X ( I R Fie M (C şi mulţime C( { X M (C X X} Să se rte că : Dcă I C tuci C ( M (C; Dcă I C tuci C( { α βi α β C } Soluţie: Evidetă; Fie şi X tuci di X X rezultă: c d z t z c z c t d su ( d ( t Dcă se c dz z tc c dt z td z( d c( t z t juge l o cotrdicţie cu ipotez Rezultă α α C de ude c d α z cα t αd ( α 5
6 Fie β α tuci β α α α β α d t c z şi I d c d c X β α β α β α α α β α R Să se determie tote mtricele M (C petru cre O Soluţie: Fie d c Di eglitte O oţiem sistemul: ( ( d c d c d c Dcă d tuci c şi d de ude rezultă că d fls căci d Deci d şi tuci d ir di eglitte c - dcă rezultă şi deci c c C ritrr - dcă putem scrie c şi tuci C Oservţie: O mtrice M (C cu propriette că eistă N* stfel îcât O se umeşte mtrice ilpotetă (m determit tote mtricele de ordiul doi ilpotete R4 Să se determie tote mtricele M (C petru cre I Soluţie: Fie d c Di eglitte I rezultă sistemul: ( ( d c d c d c Dcă d tuci c şi deci d de ude rezultă că ± ± d Cum
7 d oţiem d su d şi I I Dcă d tuci d Dcă oţiem d şi tuci re form c su c cu c C ritrr Dcă vem că c şi tuci mtrice re form C Oservţie: O mtrice cu propriette că I se umeşte mtrice ivolutivă ce corespude uei simetrii î pl R5 Să se determie tote mtricele M (C cu propriette Soluţie: Fie d c Di eglitte rezultă sistemul: d d c c d c d c ( ( su ( ( ( ( d d c d c Dcă d tuci c d { } Deci O su I Dcă d rezultă c Dcă tuci c şi cu
R R* Dcă tuci su şi tuci c R c su c R c Oservţie: O mtrice cu propriette se umeşte mtrice idempotetă O stfel de mtrice corespude plicţiilor de proiecţie î pl R6 Fie S (C { M (C t } şi (C { M (C t } Să se rte că: B S (C tuci B S (C B (C tuci B (C; S (C (C rezultă O ; c M M (C eistă S S (C şi (C uice stfel îcât M S Soluţie: Fie B S (C tuci t B t B şi B t t B t ( B dică B S (C Fie B (C tuci t B t B şi B ( t t B t ( B dică B (C; Fie S (C (C tuci t şi t Rezultă de ude O ; c Petru M M (C eistă stfel îcât M S S (M t M şi (M t M uice R7 Se dă mtrice M (R Să se rte că următorele firmţii sut echivlete: Eistă N* stfel îcât I ; Eistă q Q* stfel îcât cos qπ si qπ Soluţie: Presupuem că eistă N* stfel îcât I Trecâd l determiţi oţiem (det şi cum det deducem că det cee ce rtă că eistă t R stfel îcât cos t sit t 8
cost si t cos t si t Deci şi tuci N* si t cost si t cos t cos t si t cee ce rtă că I dcă şi umi dcă De si t cos t ici rezultă că cos t şi si t dică t p π p Z de ude deducem p t p π qπ ude q Q şi pri urmre cos qπ si qπ u Fie cos qπ si qπ cu q Q dică q cu u Z şi v uπ uπ u cos si v N* Putem scrie q şi tuci v v Rezultă v uπ uπ si cos v v imedit că v I şi deci luâd v N* deducem că I Proleme rezolvte ( R4 Fie ude c d R d Să se rte că c d B M (R comută cu dcă şi umi dcă comută cu Soluţie: Di teorem lui Cle Hmilto ( d det I O pri îmulţire l drept şi respectiv l stâg cu B se oţie: B ( d B B det O şi B ( d B B det O Scăzâd cele două relţii oţiem: B B ( d( B B şi de ici rezultă imedit cocluzi cerută R4 rătţi că petru orice mtrice B M (R eistă λ R stfel îcât ( B B λi Soluţie: Dcă î relţi lui Cle Hmilto X Tr( X X det X I O X M (C legem X B B oţiem: ( B B Tr( B B ( B B det( B B I O 9
Cum Tr ( B B Tr( B Tr( B rezultă ( B B λi ude λ det( B B R4 Fie M (C ude det şi Tr reprezită c d determitul şi respectiv urm mtricei (Tr d Dcă Tr det şi Tr det tuci mtrice B M (C comută cu dcă şi umi dcă comută cu Soluţie: Di codiţiile dte rezultă că uul di fctorii Tr su det este ul Dcă Tr şi det tuci di relţi lui Cle Hmilto ( Tr det I O rezultă det I ir de ici oţiem (det B (det B şi B (det B Scăzâd ultimele două relţii oţiem: B B det ( B B şi de ici rezultă imedit cocluzi dorită Dcă det şi Tr tuci di ( oţiem: B ( Tr B ( Tr de ude ( şi B ( Tr B B ( Tr B ( Tr de ude ( B ( Tr B Di relţiile ( şi ( oţiem echivleţ cerută R44 Fie B M (C stfel îcât Tr(B Să se rte că ( B ( B Soluţie: Cum Tr(B Tr(B tuci di relţi lui Cle Hmilto rezultă: ( B det( B I O ( B det( B I O ir de ici oţiem ( B ( B deorece det(b det det B det (B Oservţie: Folosid iducţi mtemtică se pote răt că ( B ( B N* 4
4 Proleme rezolvte ( R6 Fie mtrice M (R 7 5 4 Să se clculeze N* Soluţie: Ecuţi crcteristică mtricei este det Tr λ λ dică 6 5 λ λ de ude rezultă λ şi λ Rezultă că re form: C B ude B C M (R şi se determiă di codiţiile şi Oţiem sistemul: 9 5 6 9 4 7 5 4 C B C B de ude 4 5 4 5 B 5 5 4 4 C şi tuci: 4 5 5 5 4 4 4 5 N* R6 Să se clculeze ude 5 ir N* Soluţie: Ecuţi crcteristică mtricei este det Tr λ λ dică 4 4 λ λ de ude rezultă că λ λ deci eistă mtricele pătrtice de ordiul doi B şi C stfel îcât ( ( C B Petru şi oţiem sistemul 6 8 4 4 5 C B C B de ude oţiem că B şi C Deci ( R6 Fie m N* şi B M (R stfel îcât m m B B Să se rte că dcă mtricele m şi B u sut de form λ λ I R tuci B B
Soluţie: Se ştie că petru orice N eistă c d R stfel îcât I şi B c B d I m m tuci di B B rezultă I ( c B d I ( c B d I ( su ( m m m mi m c B md mcb md I cmb cmb dm dmi m c ( B B O de ude rezultă că B B deorece su îcă R64 Fie mtrice Să se puă î evideţă şirurile ( şi ( stfel îcât I şi să se clculeze lim Soluţie: Cum Tr det I O Tr det rezultă ( Tr det su vezi teorem 5 4 mc Ecuţi crcteristică socită relţiei de recureţă liiră de ordiul II v fi r r cu r r pri urmre c c Petru şi oţiem c c deci Urmeză ( şi ( Oţiem lim Proleme rezolvte (4 R8 Fie şirurile ( ( dte pri sistemul de recureţă: cu 5 Să se determie î fucţie de termeii geerli i şirurilor ( (
4 Soluţie: Oservăm că 9 4 6 4det ( Tr deci putem plic metod epusă ir sistemul de relţii de recureţă se pote scrie su form: su su îcă ude 5 deci totul revie l fl pe Cum Tr 6 şi det 9 ecuţi crcteristică este 9 6 λ λ de ude rezultă λ λ dică C B ude B şi C se oţi petru şi vem: C B C B de ude oţiem: I B şi C Rezultă ( ( Deci ( ( de ude oţiem: ( şi ( R8 Să se determie limitele şirurilor ( ( cre verifică relţiile: ( ( ude ( R Soluţie: Sistemul recursiv pote fi pus su form mtricelă: su ude
44 Rezultă ( Clculăm Ecuţi crcteristică mtricei este ( λ λ de ude rezultă λ şi λ ( r r deorece < r Rezultă că C B ( ude B şi C se oţi petru şi Rezolvâd sistemul: ( ( C B C B rezultă B şi C dică ( ( ( ( ( Ţiâd cot de relţi ( rezultă [ ] ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( de ude lim lim deorece ( lim ( < R8 Să se demostreze că şirurile de umere rele cre stisfc relţiile sut periodice şi u ceeşi periodă Soluţie: vem: su 6 cos 6 si 6 si 6 cos π π π π su
π π cos si 6 6 π π si cos 6 6 π π cos si Rezultă 6 6 π π si cos 6 6 π π Oţiem cos si şş 6 6 π π si cos 6 6 Deorce şi rezultă că cele şiruri sut periodice de periodă 4 R84 Fie fucţi f ( ude este stfel les îcât să iă ses ( f o f o f ( f( 44 4 o N* Să se determie fucţi ori f ( o o 44 4 o f f f ori Soluţie: ş cum m văzut pri compuere uei fucţii omogrfice cu e îsăşi de ori se oţie tot o fucţie omogrfică: dcă f ( c d R c d tuci f( ( f o f o f ( 44 4 o ude c d sut elemetele c d ori mtricei c d c d Coform celor epuse prolem revie l clcul 4 ude Folosim ecuţi crcteristică mtricei vem λ Tr λ det dică λ 7λ cu rădăciile λ şi λ 5 Deci şi B 5 C ude B C M (C şi se determiă petru 45
46 Oţiem sistemul : 4 7 8 5 4 4 5 C B C B cre rezolvt dă B şi C Deci 5 5 5 5 5 dică f f f f ori 5 ( 5 ( (5 5 ( ( ( ( 4 44 o o o N* R85 Fie şirul ( defiit pri > şi N Să se găsescă epresi termeului geerl şi să se clculeze lim Soluţie: Coform celor epuse vem d c ude d c sut elemetele mtricei d c Clculăm folosid ecuţi crcteristică mtricei vem det Tr λ λ dică 4 5 λ λ de ude λ şi 4 λ Deci C B 4 ude B C M (C şi se determiă petru şi Oţiem sistemul : 6 4 C B C B de ude B şi C
Pri urmre 4 4 4 de ude rezultă 4 4 ( 4 (4 ir de ici oţiem (4 ( 4 lim R86 Găsiţi tote umerele turle eule stfel îcât şi să fie simult pătrte perfecte Soluţie: Dcă şi tuci ecuţie ce este echivletă cu ecuţi Pell u v ude u ( şi v ( Cum soluţi miimă pozitivă ecuţiei u v este u v şi d rezultă că soluţi geerlă cestei ecuţii este ( u v ude u [( ( ] v [( ( ] Deci oţiem: ( u v [( ( 4 ] 6 Proleme rezolvte (5 4 6 R Să se rezolve î M (R ecuţi: X N* 8 Soluţie: Evidet det( X (det X de ude det X Fie X cu c d d c det X Utilizâd relţi lui Cle Hmilto rezultă X ( d ( Tr şi se oţie sistemul c d c d 47
48 (4 ( ( 8 ( ( 6 ( ( 4 ( d d c d d d Di ecuţiile ( şi (4 rezultă 6 ( d de ude d 6 şi tuci d 6 ( cre îlocuit î ( (4 oţiem 4 6 c 8 d Deci soluţi ecuţiei este X 6 8 6 4 R Să se determie Z ştiid că ecuţi X 7 re ect două soluţii î M (C Soluţie: Fie X o soluţie ecuţiei dte d det X şi t Tr X tuci cum O di tx X rezultă că d d tx 7 deci 7 d t (m trecut l urm mtricelor Dcă 7 d eistă t t C* t t stfel îcât 7 d t t Cum 9 7 7 det det det X X d rezultă { } d d d ude 9 7 d d şi d d Rezultă 4 7 7 7 7 d d t d d t d d t d d t X cu 7 d t t 4 4 7 t t t t d t t Se verifică cu uşuriţă că cele ptru mtrice sut disticte şi sut soluţii le ecuţiei dte Cum ecuţi re două soluţii tuci 7 d su
7 d Rezultă ( 7 d (7 d deci 5 (7 4(7 9 7 Cum Z oţiem Petru ecuţi X re ect 7 două soluţii: 5 X şi X X 4 R Fie t ( π u umăr rel fit Să se determie tote mtricele cost si t X M (R cre verifică ecuţi X si t cost Soluţie: cost si t Dcă otăm cu şi X tuci si t cost c d X X X si t c si t si t si t d si t d deci X c Di X rezultă (det X det dică det X { ±} { ± } pri urmre deci eistă R stfel c cos cos si si şi tuci X si cos cos si cost si t X si cos si t cost Deci t π Z Ecuţi re soluţii cos si X ; si cos ude t π 49
5 R4 Să se rte că ecuţi X N u re soluţii î M (Q Soluţie: Fie t z X tuci di t z t z rezultă z t şi deci I X ude Deorece I I rezultă că C I X ( Dr 9 deci pri urmre C I X ( [ ] I ( Oţiem [ ] X ( ( dică deci Q cee ce îsemă că ecuţi dtă u re soluţii î M (Q R5 Fie mtrice Să se determie mtrice X M (C stfel îcât X X; Să se rezolve î M (C ecuţi Z Soluţie: Fie d c X X X dică d c d c de ude oţiem sistemul d d d c c c cest devie d c rezultă B I X ude B
Z rezultă Z Z Z tuci Z I B Cum B B şi B O pri urmre Z ( I B I C B Rezultă sistemul π π cos i si de ude π π cos i si R6 Fie N Să se determie X M (R stfel îcât: X X Soluţie: Fie X c d o soluţie ecuţiei vem X X X ( X ii ( X ii deci luâd determitul milor memri vom ve su det (X su det( X ii su det( X ii Î czul det( X ii r rezult (i(di c dică d c şi d Oţiem d şi c Pri clcul oţiem c ( d X I c( d d c pri urmre X ( X I O fls Similr vem det( X ii Rămâe că det (X Teorem lui Cle-Hmilto dică relţi X ( d X det( X I e spue că X ( d X X ( d X Deci X X [( d ( d ] X Notăm d t şi pri idetificre v rezult: ( t t ( t t ( t c t d ( t t duăm prim şi ultim relţie şi oţiem 5
cu jutorul fucţiei f: R R f ( relţi f(t vem f '( ( Czul I: este pr vem f '( > pe ( şi f '( < pe ( Cum f ( f ( rezultă că î cest cz şi sut sigurele rădăcii le lui f Oţiem di relţiile precedete c şi d soluţiile t X şi t X Czul II: este impr vem f '( > petru şi este sigur rădăciă lui f Î cest cz uic soluţie este X 5
Mtrice de ordiul Vlori şi vectori proprii Vlori proprii şi vectori proprii petru mtrice pătrtice Fie M (C o mtrice pătrtică Defiiţie U umăr λ C se umeşte vlore proprie petru mtrice dcă eistă u vector eul X M (C (mtrice coloă stfel îcât X λx U stfel de vector X se umeşte vector propriu petru mtrice corespuzător vlorii proprii λ Oservţie : O relţie de form X λx X O ude M (C λ C X M (C o umim relţie de tip vlore proprie vector propriu Dcă X X sut vectori proprii petru corespuzători celeişi vlori proprii λ tuci petru orice C vectorul X X X este vector propriu petru Mulţime tututor vlorilor proprii petru o mtrice se umeşte spectrul mtricei şi se oteză cu Spec ( Propriette : Dcă M (C λ C este vlore proprie petru ir X M (C este vector propriu corespuzător tuci: Petru orice N umărul λ este vlore proprie petru mtrice ir X este vector propriu petru ; Petru orice poliom p C[X] umărul p (λ este vlore proprie petru mtrice p ( ir X este vector propriu petru p ( ; c Dcă este iversilă tuci λ (o mtrice iversilă u re vlore proprie pe şi umărul este vlore proprie petru mtrice λ ir X este vector propriu petru Demostrţie: Di X λx X O pri iducţie după N* rezultă X λ X X O cre este o relţie de tip vlore proprie vector propriu ce firmă că λ este vlore proprie petru mtrice ir X este vector propriu corespuzător; Dcă p ( X X X tuci p ( I p ( X IX X X ir de ici rezultă X λx λ X ( λ λ X p( λ X 5
X O dică p (λ este vlore proprie petru mtrice p( ir X este vector propriu petru p(; c Dcă pri surd m presupue λ tuci di X rezultă X su X O cotrdicţie Deci λ şi tuci di X λx rezultă X λ X λ X su X X X O cre este o relţie de λ tip vlore proprie vector propriu Oservţii 4: Prţil firmţiile di proproziţi de mi sus dmit şi reciproce stfel: Sigurele vlori proprii le mtriei sut de form λ ude λ este vlore proprie petru Sigurele vlori proprii le mtricei p( sut de form P (λ ude λ este vlore proprie petru c Sigurele vlori proprii le mtricei iverse sut de form λ ude λ este vlore proprie petru Î schim vectorii proprii u sut totdeu ceeşi (Î geerl mulţime vectorilor proprii petru mtrice su p( iclude strict mulţime vectorilor proprii i mtricei Î defiiţi dtă oţiuile vlori proprii şi vectori proprii petru o mtrice sut defiite simult Se pote d o defiiţie idepedetă petru vlorile proprii după cum reiese di următore: Teoremă 5 U umăr λ C este vlore proprie petru mtrice M (C dcă şi umi dcă det( λ I Demostrţie: Relţi X λx X O se pote scrie det( λ I X O X O cre pote fi privită c u sistem de ecuţii cu ecuoscute ( ude X şi codiţi X O cere c el să dmită soluţi M elă cest este echivletă cu codiţi c determitul mtricei coeficieţilor sistemului să fie egl cu zero dică det( λ I 54
Poliom crcteristic l uei mtrice pătrtice Fie (C o mtrice pătrtică de ordi N* M Defiiţie Mtrice ( λ I M (C λ C se umeşte mtrice crcteristică mtricei ( λ - mtrice; Poliomul f C[X] f ( X det( XI se umeşte poliom crcterstic l mtricei ; c Ecuţi poliomilă f ( se umeşte ecuţi crcteristică mtricei Oservţie : Coform teoremei vlorile proprii le mtricei sut rădăciile poliomului crcteristic su le ecuţiei crcteristice Epresi coică poliomului crcteristic Propriette : Dcă M (C tuci f ( X ( ( X σx σ X K ( σ X ( σ ude σ este sum tuturor miorilor digoli de ordi di mtrice (u mior digol este formt cu liii şi coloe de ceeşi idici Demostrţie: Dcă otăm cu coloele mtricei şi cu B B B coloele mtricei B XI mtrice crcteristică v fi λ I ( B B K B Determitul ei se descompue î sumă de determiţi de form det (C C C î cre colo C este su B Grupăm î cestă sumă de determiţi cei ce coţi celşi umăr de coloe di mtrice B determiţi ce coţi coloe di B XI se dă fctor ( X de pe cele coloe şi dezvoltâd cest determit pe râd după fiecre di cele coloe oţiem u mior de ordi ( di mtrice Se oţie: det( XI det X ( E K K E ( X det( K E K ( X det( K Ei K E j K K ( X 55 i< j det( E E det( Xσ X σ K ( X σ ( X ( X X σ X ( σ X ( [ σ σ ] K ude σ det şi E E E sut coloele mtricei I Oservţie 4: Ditre coeficieţii poliomului crcteristic remrcăm:
σ ot ii Tr( i umit urm mtricei (sum elemetelor de pe digolă miorii digoli de ordiul uu; ii ij σ ( iiij ij ji i< j ji jj i< j (sum miorilor digoli de ordiul doi σ det sigurul mior (şi digol de ordi 5 egătur ître coeficieţii poliomului crcteristic şi vlorile proprii le mtricei Ecuţi crcteristică mtricei M (C este: ( p( σ σ K ( σ ( σ cre este o ecuţie lgerică de grdul şi re î mulţime umerelor complee rădăcii (uele evetul multiple cre sut vlorile proprii le mtricei Dcă λ λ K λ sut cele vlori proprii tuci descompuere poliomului P î fctori iductiili î C (de grdul I este: p X ( X λ ( X λ K ( X λ cre dezvoltt dă ( ( ( X X S X S X K ( S X ( S p S S λ λ K λ λi i λ iλ j i< j S λ λ λi i 56 ude λ K sut sumele simetrice (Viète le vlorilor proprii λ λ K λ Idetificâd eprimările ( şi ( le poliomului P oţiem: σ S Î prticulr σ S su Tr( λ dică i K λ λ Kλ (sum vlorilor proprii este eglă cu urm mtricei σ S tuci ( ii jj ij ji λ iλ j i< j i< j
σ S det λ λ K λ (determitul uei mtrice pătrtice este egl cu produsul vlorilor proprii le ei Î prticulr o mtrice M (C este iversilă dcă şi umi dcă tote vlorile proprii sut eule Oservţii 6: Petru mtrice de ordiul doi vem c d f ( X X ( d X d c X ( Tr X det ; Petru mtrice de ordiul trei i i vem f ( X X X X det ude ii este miorul ii ii corespuzător elemetului ii (oţiut di mtrice pri elimire liiei i şi coloei i su f ( X X ( Tr X ( Tr* X det ude * este reciproc mtricei ( * det I Propriette 7: Două mtrice semee u celşi poliom crcteristic Demostrţie: Dcă B M (C sut mtrice semee tuci eistă o mtrice esigulră P stfel îcât B P P Rezultă f ( X det( P P XI det( P ( XI P det P det( XI det P B det( XI f ( X Oservţie 8: Reciproc u este î geerl devărtă Eistă mtrice cu celşi poliom crcteristic dr cre u sut semee De eemplu I K K B M (C vem f ( X f B ( X ( X ir KKK K relţi B P P dă B I cre este flsă Propriette 9: Dcă B sut mtrice pătrtice tuci poliomele crcteristice le mtricelor produs B şi B coicid 57
Demostrţie: Dcă u di mtricele su B este iversilă tuci mtricele produs B şi B sut semee coform relţiei B B ( B B su B ( B deci ele u celţi poliom crcteristic ( f B f B Să cosiderăm mtrice ( I Dcă u este vlore proprie petru mtrice tuci mtrice ( este iversilă deci petru orice C Spec( C { λ λ K λ} vem f ( B f B( su det( ( B I det( B( I de ude det( B B I det( B B I eglitte cre re loc petru orice şi petru orice C Spec( Cei doi memri i eglităţii fiid poliome de grd tât î cât şi î codiţi de fi egle î mi mult de vlori le lui revie l idetitte lor deci det( ( B I det( B( I petru orice C iclusiv petru cre dă det( B I det( B I C Oservţie : Dcă mtricele M m (C B M m (C u sut pătrtice (m tuci ele u u poliom crcteristic Î schim mtricele B M m (C şi B M (C sut pătrtice Se pue prolem dcă se pote găsi o legătură ître poliomele crcteristice f B şi f B cre sut de grde diferite Folosid produsul mtricelor cu locuri şi propriette X Y det det X det Z (X M (C Z M m (C oţiem: O Z Propriette : Dcă M m (C B M m (C tuci ître poliomele crcteristice le mtricelor produs eistă relţi: m ( X f B ( X ( X f B( X Demostrţie: Se verfică eglitte mtricelă B XI m I m O I m O XI m di cre O XI B I B I O B XI trecâd l determiţi rezultă: det( B XI m det( XI det( I m det( I det( I m det( I m det( XIm det( B XI su ( X f B ( X ( X f B( X Remitim că petru o mtrice M (C ( ij defiim i j * t mtrice djuctă ( ( i j i j 58
O mtrice M (C se umeşte: utodjuctă (hermetiă dcă * ; tiutodjuctă (tihermetiă dcă * ; c uitră dcă * I (* Î czul câd M (R se folosesc deumirile: simetrică dcă t (* t ; tisimetrică dcă t ; c ortogolă dcă t I ( t Se pot d câtev rezultte geerle supr vlorilor proprii le mtricelor remrcile stfel petru doi vectori X Y M (C defiim produsul sclr < X Y > Se verfică uşor relţiile: < X Y Z > < X Z > < Y Z > < X Y > < Y X > c < X Y > < X Y > d < X Y > < X Y > e < X X > şi < X X > X O Relţiile u loc petru orice X Y Z M (C C Oservţie : Dcă orice X Y M (C p Îtr-devăr p p M X M Y M (C tuci < X Y > < X *Y > petru < X Y > p p p p ir < X *Y > p p p p p Propriette : Tote vlorile proprii le uei mtrice hermetiee sut umere rele Demostrţie: Fie λ C vlore proprie şi X O vector propriu deci X λx 59
vem < X X > < X *X > su < X X > < X X > < λ X X >< X λx > su λ < X X > λ < X X > de ude λ λ dică λ R Propriette 4: Tote vlorile proprii le uei mtrice tihermetiee sut umere imgire (cu prte relă zero Demostrţie: Fie X λx λ tuci < X X > < X *X > su < X X > < X X > su < λ X X > < X λx > su λ < X X > λ < X X > de ude λ λ dică λ i R Propriette 5 Tote vlorile proprii le uei mtrice uitre u modulul uu Demostrţie: Fie X λx X O tuci < X X > < X *(X > < X X > oţiem < λ X λx >< X X > su λ λ < X X >< X X > dică λ λ de ude rezultă λ Oservţii 6: Dcă M (R şi t tuci ecuţi det( I re tote rădăciile rele; Dcă M (R şi t tuci ecuţi det( I re tote rădăciile de form λ i (re prte relă zero; Dcă M (R este iversilă şi t tuci ecuţi det( I re tote rădăciile de form cosα ± i siα α R (rădăciile erele se cupleză î perechi de form cosα i siα cosα siα ir cele rele u pot fi decât de su i Teorem lui Cle-Hmilto Corp de umere Defiiţie O sumulţime K lui C cu cel puţi două elemete se umeşte corp de umere dcă îdeplieşte codiţiile: K rezultă K; K rezultă K; K rezultă K Propriette Petru orice corp de umere K vem: 6
K K; Q K Demostrţie: Cum K Ø putem cosider u elemet K tuci K şi deci ( K Coform defiiţiei lui K putem lege K vem K deci K Fie N Dcă K tuci şi K căci K Se verifică stfel pri iducţie mtemtică că N K Di N K rezultă că K oricre r fi m N deci Z K Fie cum Q cu m Z tuci m K deci Q K Eemple : Mulţimile Q R C sut corpuri de umere; Mulţimile Q ( { Q} Q( i { i Q} sut corpuri de umere Fie K u corp de umere Vom ot cu K[X] mulţime tuturor poliomelor î edetermită X cu coeficieţi î K Evidet K[X] C[X] şi oricre r fi fg K[X] poliomele f g fg f prţi lui K[X] Ivocâd proprietăţi de îchidere le operţiilor cu umere di K şi lgoritmul împărţirii euclidiee (împărţire cu rest poliomelor di C[X] rezultă că oricre r fi poliomele f g K[X] g eistă şi sut uic determite poliomele q r K[X] stfel îcât f gq r grd r < grd g U poliom di K[X] cu coeficietul domit egl cu v fi umit poliom moic Dcă K este u corp de umere vom ot cu M (K (respectiv M (K[X] mulţime tuturor mtricelor pătrtice de ordi cu coeficieţi di K (respectiv K[X] Fie K u corp de umere şi M (K ( ij Dcă f K[X] i j d d f ( X d X d X K X tuci mtrice d d f ( d d K I M (K se umeşte vlore î poliomului f Dcă f( spuem că este rădăciă (di M (K lui f Evidet dcă K şi f g K[X] tuci vlore î poliomului f g (respectiv fg f este eglă cu f( g( (respectiv f( g( f( Se oservă că orice mtrice Γ ( f ij di M i j (K[X] pote fi reprezettă î mod uic c u poliom î X cu coeficieţi î M (K d d Γ d X d X K X ude i M (K i d ir d este egl cu cel mi mre di grdele poliomelor f ij 6