Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict 7 I.5. utifictori.. 7 I.6. Metod de demostrţie pri reducere l surd. 7 I.7. Proprietãţi fudmetle le opertorilor logici.. 8 II. Mulţimi.. 8 II.. Eglitte mulţimlor A şi B: 8 II.. Icluziue mulţimii A î mulţime B:. 8 II.. Reuiue mulţimilor A şi B:. 9 II.4. Itersecţi mulţimilor A şi B:. 9 II.5. Difereţ mulţimilor A şi B: 9 II.6. Difereţ simetricã mulţimilor A şi B: 9 II.7. omplemetr uei mulţimi A î rport cu mulţime E:. II.8. Formulele lui de Morg A, B E.. II.9. Produsul crtezi douã mulţimile A şi B:. III. Relţii ire.. IV. Fucţii IV.. Noţiue de fucţie IV.. Fucţii ijective, surjective, ijective IV.. ompuere fucţiilor.. IV.4. Fucţi iversã. V. Operţii cu umere rele. V.. Puteri turle le umerelor rele V.. Idetitãţi fudmetle.. 4 V.. Rdicli. Proprietãţi. 4 VI. Ecuţii şi iecuţii de grdul îtâi. 5 VI.. Ecuţii de grdul îtâi su ecuţii fie 5 VI.. Iecuţii de grdul îtâi su ecuţii fie 5 VI.. Modului uui umãr rel. 6 VII. Numere complee.. 7 VII.. Form lgericã umerelor complee.. 7 VII.. Modulul uui umãr comple. 8 VII.. Form trigoometricã umerelor complee.. 8 VII.4. Formul lui Moivre.. 8 VII.5. Etrgere rãdãciii de ordiul ditr-u umãr comple 8 VII.6. Ecuţi iomã.. 9 VIII. Ecuţii şi iecuţii de grdul l II-le.. 9 VIII.. Ecuţii de grdul l doile 9 VIII.. Iecuţii fudmetle de grdul l II-le VIII.. Rezolvre sistemelor de ecuţii cu coeficieţi reli..
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic IX. Ecuţii lgerice de grdul III, IV şi V.. 4 X. Logritmi 4 X.. Ecuţii şi iecuţii logritmice fudmetle.. 5 X.. Ecuţii şi iecuţii epoeţile fudmetle.. 6 XI. Metod iducţiei mtemtice.. 6 XI.. Aiom de recureţã lui Peo. 6 XI.. Metod iducţiei mtemtice. 6 XI.. Vritã metodei iducţiei mtemtice. 6 XII. Alizã comitorie 7 XII.. Permutãri.. 7 XII.. Arjmete. 7 XII.. omiãri. 7 XII.4. Biomul lui Newto. 7 XII.5. Sum puterilor semee le primelor umere turle.. 8 XIII. Progresii 8 XIII.. Progresii ritmetice. 8 XIII.. Progresii geometrice.. 9 XIV. Poliome 9 XIV.. Form lgericã uui poliom.. 9 XIV.. Diviziilitte poliomelor.. XIV.. Rãdãciile poliomelor.. XIV.4. Ecuţii lgerice.. XIV.5. Poliome cu coeficieţi di R, Q, Z. XV. Permutãri, mtrici, determiţi. XV.. Permutãri.. XV.. Mtrici XV.. Determiţi XV.4. Ivers uei mtrici. 4 XVI. Sisteme liere.. 4 XVI.. Notţii:. 4 XVI.. omptiilitte.. 5 XVI.. Sisteme omogee. 5 XVII. Structuri lgerice.. 5 XVII.. Mooid 5 XVII.. Grup. 5 XVII.. Iel 6 XVII.4. orp. 7 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE 7 Notţii:. 7 I. Triughiul 8 II. Poligoe covee. 8 III. Relţii metrice î triughi. 8 III.. Triughiul dreptughic. 8 III.. Triughiul dreptughic AB c. 9 III.. Triughiul orecre AB AD B 9
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic III.4. Relţii eprimte pri fucţii trigoometrice. 9 IV. Ptrultere 4 IV.. Prlelogrmul. 4 IV.. Dreptughiul D. 4 IV.. Romul.. 4 IV.4. Pãtrtul 4 IV.5. Trpezul D.. 4 V. Poligoe îscrise î cerc.. 4 V.. Ptrulterul îscris î cerc A. 4 V.. Poligoe regulte îscrise î cercul de rzã R 4 VI. ercul. 4 VII. omplemete de geometrie plã.. 4 VIII. Poliedre. 4 VIII.. Prism 4 VIII.. Pirmid.. 44 VIII.. Truchiul de pirmidã 45 VIII.4. Poliedrul regult.. 46 IX. orpuri rotude. 46 IX.. oul circulr drept.. 47 IX.. Truchiul de co 47 IX.4. Sfer. 47 X. Fucţii trigoometrice. 47 X.. Proprietãţile fucţiilor trigoometrice 48 XI. Formule trigoometrice. 48 XI.. Relţii ître fucţiile trigoometrice le uui rgumet:.. 48 XI.. Formule de dure:.. 49 XI.. Formule petru multiplii de rgumet.. 49 XI.4. Formule petru jumãtãţi de rgumet:.. 5 XI.5. Sume, difereţe şi produse: 5 XII. Iversre fucţiilor trigoometrice.. 5 XIII. Soluţiile ecuţiilor trigoometrice simple. 5 XIII.. Ecuţii fudmetle. 5 XIII.. Tele de vlori:.. 5 XIV. Elemete de geometrie liticã 5 XIV.. Segmete. 5 XIV.. Ecuţi dreptei.. 5 XIV.. ercul 5 XIV.4. oice rportte l ele de simetrie. 5 ANALIZÃ MATEMATIÃ 54 I. Şiruri.. 54 I.. Şiruri şi limite.. 54 I.. riterii suficiete de covergeţã su de eisteţã limitei uui şir.. 55 I.. Operţii cu şiruri covergete.. 55 I.. Operţii cu şiruri cre u limitã 55 I.4. Şiruri tip.. 56
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic II. Limite de fucţii. 56 II.. Defiiţii le limitei 57 II.. Operţii cu limite de fucţii. 57 II.. Limite tip.. 57 II.4. otiuitte fucţiilor.. 58 III. Fucţii derivile.. 59 III.. Defiiţi derivtei îtr-u puct 59 III.. Reguli de derivre 59 III.. Derivtele fucţiilor elemetre 59 III.4. Derivt fucţiilor compuse 6 III.5. Derivtele de ordi superior le uor fucţii elemetre.. 6 III.6. Proprietãţi le fucţiilor derivile. 6 IV. Asimptote. 6 IV.. Asimptote orizotle. 6 IV.. Asimptote olice. 6 IV.. Asimptote verticle 6 V. Primitive.. 6 Itegrre pri părţi 6 V.. Prim metodã de schimre vriilei. 6 V.. A dou metodã de schimre vriilei.. 6 V.. Tel de primitive. 6 V.4. Primitivele fucţiilor rţiole 64 VI. Itegrle defiite.. 64 IV.. Defiiţi itegrilitãţii itegrle Riem. 64 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic ALGEBRÃ I. Elemete de logicã mtemticã I.. Noţiue de propoziţie Defiiţi I Se umeşte propoziţie u euţ despre cre se pote spue cã este devãrt su fls, dr u şi devãrt şi fls simult. Se otezã cu p,q, P, Q E: Q : cest este u euţ cre eprimã u devãr, deci o propoziţie devãrtã. 5, N este o propoziţie flsã, petru cã u eistã ici u umãr turl stfel c 5 y,,y N este u euţ despre cre u se pote spue imic. Deci u este o propoziţie. Vlore logicã su vlore de devãr uei propoziţii. Dcã o propoziţie p este devãrtã se spue cã re vlore logicã su vlore de devãr: devãrul cestã vlore de devãr se otezã cu simolul su şi scriem vp su vp. Dc o propoziţie q este flsã, se spue cã re vlore de devãr: flsul cestã vlore de devãr se otezã cu simolul su f şi scriem vq su vq f. I.. Opertori logici Negţi Defiiţi I Negţi uei propoziţii p este propoziţi cre este flsã câd p este devãrtã şi este devãrtã câd p este flsã. Se otezã: o p, p, p. Tel de devãr propoziţiei o p se îtocmeşte e z relţiei vo p vp. p o p ojucţi Defiiţi I ojucţi douã propoziţii p şi q este propoziţi cre este devãrtã dcã şi umi dcã fiecre propoziţie p şi q este devãrtã. Se otezã: p q Tel de devãr propoziţiei p q este: p q p q 5
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Disjucţi Defiiţi I... Disjucţi douã propoziţii p şi q este propoziţi cre este devãrtã dcã şi umi dcã cel puţi u di propoziţiile p, qeste devãrtã. Se otezã: p q Tel de devãr propoziţiei p q este: p q p q Implicţi Defiiţi I..4. Implicţi propoziţiilor p şi q este propoziţi cre este flsã dcã şi umi dcã p este devãrtã şi q este flsã. Se otezã: o p su q, p q şi se citeşte: p implicã q su dcã p, tuci q. Propoziţi p este ipotez, ir propoziţi q este cocluzi. Tel de devãr propoziţiei p q este: p q o p o p q Echivleţ logicã Defiiţi I..4. Propoziţiile p şi q sut echivlete logic, dcã şi umi dcã p, q sut devãrte su flse simult. Se otezã o p q şi o q p p q şi q p p q se citeşte: p echivlet cu q su p dcã şi umi dcã q, p este codiţie ecesrã şi suficietã petru q. Tel de devãr propoziţiei compuse p q este: p q o p o q p q q p p q q p 6
Zhri Virgil-Mihil 7 Mic memortor mtemtic I.. Epresii î clculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, fiid dte, cu jutorul opertorilor logici,,,, putem formul diferite epresii, cre se umesc formule le clculului cu propoziţii su epresii logice. Ele se otezã su p,q,r,, βp,q,r,. Îlocuid î pe p,q,r, cu diferite propoziţii oţiem o ltã propoziţie, devãrtã su u, cãrei vlore de devãr se umeşte vlore epresiei, oţiutã petru propoziţiile p,q,r, respective. Defiiţi I... O epresie logicã cre se reduce l o propoziţie devãrtã, oricre r fi propoziţiile p,q,r, se umeşte tutologie. Defiiţi I... Douã epresii logice şi β se umesc echivlete dcã şi umi dcã petru orice propoziţii p,q,r, cele douã epresii reprezitã propoziţii cre u ceeşi vlore de devãr. Î scris se otezã β. I.4. Noţiue de predict Defiiţi I.4.. Se umeşte predict su propoziţie cu vriile u euţ cre depide de o vriilã su de mi multe vriile şi re propriette cã petru orice vlori dte vriilelor se oţie o propoziţie devãrtã su o propoziţie flsã. Predictele se otezã pz,y,z,, q,y,z, şi pot fi ure de o vriilã, ire de douã vriile, terre de trei vriile, etc., vriilele,y,z, luâd vlori î mulţimi dte. Defiiţi I.4.. Predictele pz,y,z,, q,y,z, se umesc echivlete dcã, oricre r fi vlorile pe cre le iu,y,z, î uul şi celşi domeiu, propoziţiile corespuzãtore u celeşi vlori de devãr. Scriem pz,y,z, q,y,z,. I.5. utifictori Defiiţi I.5.. Fie p, cu M, u predict. Dcã eistã cel puţi u elemet M, stfel îcât propoziţi p este devãrtã, tuci scriem p, p su Mp. Simolul se umeşte cutifictor eisteţil şi se citeşte eistã. Defiiţi I.5.. Fie p cu M, u predict. Dcã p este o propoziţie devãrtã petru orice M, tuci scriem p, p su Mp. Simolul se umeşte cutifictor uiversl şi se citeşte oricre r fi. Propriette de comuttivitte cutifictorilor:. yp,y y p,y. yp,y y p,y Reguli de egre:. p p. p p. yp,y y p,y 4. yp,y y p,y I.6. Metod de demostrţie pri reducere l surd Acestã metodã se zezã pe tutologi p q o p o q, cre e rtã cã petru demostr cã p q, este totu cu demostr cã o p o q.
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic I.7. Proprietãţi fudmetle le opertorilor logici Oricre r fi propoziţiile p,q,r, vem:. oo p p. p q q p comuttivitte cojucţiei. p q r p q r socitivitte cojucţiei 4. p q q p comuttivitte disjucţiei 5. p q r p q r socitivitte discjucţiei 6. p q q r p r trzitivitte implicţiei 7. op q o p o q legile lui de Morg op q o p o q 8. p q r p q p r cojucţi este distriutivã î rport cu disjucţi şi p q r p q p r disjucţi este distriutivã î rport cu cojucţi II. Mulţimi Moduri de defiire mulţimilor. Mulţimile se defiesc fie pri idicre elemetelor lor de pildã {,,} su {,y,z}, fie pri specificre uei proprietãţi crcteristice elemetelor lor de eemplu { R }. Mulţimile se otezã cu litere mri: A, B,, X, Y, Z, ir elemetele lor cu litere mici:,, c, Aprteeţ uui elemet l o mulţime. Dcã u elemet prţie uei mulţimi A, cest se otezã A şi se citeşte prţie lui A. Defiiţie. Mulţime vidã este mulţime cre u re ici u elemet. Se otezã cu. II.. Eglitte mulţimlor A şi B: A B A B şi y B y A Proprietãţile eglitãţii:. A, A A refleivitte. A B B A simetri. A B B A trzitivitte II.. Icluziue mulţimii A î mulţime B: A B A B Mulţime A se umeşte o prte su o sumulţime lui B. Proprietãţile icluziuii:. A, A A refleivitte. A B B A A B tisimetri. A B B A trzitivitte 4. A, A 8
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Relţi de eicluziue se otezã A B. II.. Reuiue mulţimilor A şi B: A B { A B} Proprietãţile reuiuii:. A, B: A B B A refleivitte. A, B, : A B A B socitivitte. A: A A A idempoteţ 4. A: A A 5. A, B: A A B, B A B. II.4. Itersecţi mulţimilor A şi B: A B { A B} Proprietãţile itersecţiei:. A, B: A B B A comuttivitte. A, B, : A B A B socitivitte. A: A A A idempoteţ 4. A: A 5. A, B: A B A, A B B 6. A, B, : A B A B distriutivitte itersecţiei fţã de reuiue 7. A, B, : A B A B distriutivitte reuiuii fţã de itersecţie 8. A, B: A A B A, A A B A sorţi. Defiiţie. Mulţimile A şi B cre u u ici u elemet comu se umesc disjucte. Petru ele vem A B. II.5. Difereţ mulţimilor A şi B: A \ B { A B} Proprietãţile difereţei:. A: A \ A. A, B, : A \ B A \ B. A, B: A \ B A \ A B 4. A, B: A A B A \ B 5. A, B, : A \ B A \ B \ 6. A, B, : A \ B A \ B A \ 7. A, B, : A B \ A \ B \ 8. A, B, : A B \ A B \ A \ B. II.6. Difereţ simetricã mulţimilor A şi B: A B A \ B B \ A Proprietãţile difereţei simetrice:. A: A A 9
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. A, B: A B B A comuttivitte. A: A A A 4. A, B, : A B A B socitivitte 5. A, B, : A B A B A 6. A, B: A B A B \ A B II.7. omplemetr uei mulţimi A î rport cu mulţime E: A fiid o prte lui E, dicã A E E A { E A} Proprietãţi: A, B E. E E A A pricipiul reciprocitãţii. E A E \ A. E E 4. E E 5. A E A A pricipiul eluderii terţiului 6. A E A pricipiul ecotrdicţiei 7. A B E B E A 8. A \ B E A B. II.8. Formulele lui de Morg A, B E E A B E A E B E A B E A E B. II.9. Produsul crtezi douã mulţimile A şi B: A B {, A B} Proprietãţile produsului crtezi A,B,,D vem:. A B B A, dcã A B. A B A A B. A B A B 4. A B A B 5. A \ B A \ B 6. A B D A B D Defiiţi II.9.. Mulţimile A şi B se umesc echipotete dcã eistã o ijecţie de l A l B. Defiiţi II.9.. Fie E o mulţime. Acest se umeşte fiitã dcã E su dcã eistã N, stfel îcât E este echipotetã cu mulţime {,,,}. Defiiţi II.9.. O mulţime E se umeşte ifiitã dcã e u este fiitã. Eemple de mulţimi ifiite sut: N, Z, Q, R. Defiiţi II.9.4. Fie E o mulţime. Acest se umeşte umãrilã dcã este echipoetã cu N. Eemplu: Mulţime umerelor rţiole. Defiiţi II.9.5. O mulţime se umeşte cel mult umãrilã dcã este fiitã su umãrilã. Defiiţi II.9.6. Fie E o mulţime. Se umeşte crdilul cestei mulţimi u simo socit ei, ott E su crd E, stfel îcât E F, dcã şi umi dcã E este echipotetã cu F crdilul mulţimii vide se otezã cu, crdilul mulţimii
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic {,,,} cu N, seotezã cu, ir crdilul mulţimii N se otezã cu lef zero. Teorem II.9.. Fie A şi B douã mulţimi fiite. Atuci: A B A B - A B Teorem II.9.. Fie A, B şi trei mulţimi fiite. Atuci: A B A B - A B - A - B A B III. Relţii ire Relţi irã pe o mulţime Defiiţi III.. Fie M o mulţime evidã. Se umeşte relţi irã R pe M o prte produsului crtezi MM. Dcã M este relţi R cu y M, tuci scriem Ry su,y R. Deci o relţie irã se referã l perechile de elemete di M. Proprietãţi le relţiilor ire pe o mulţime:. Relţi irã R pe mulţime M se umeşte refleivã dcã M vem pe R.. Relţi irã R pe mulţime M se umeşte simetricã dcã, M vem R implicã R.. Relţi irã R pe mulţime M se umeşte tisimetricã dcã, M, R şi R implicã. 4. Relţi irã R pe mulţime M se umeşte trzitivã dcã,,c M, R implicã Rc implicã Rc. Defiiţi III.. Se umeşte greficul relţiei R defiitã pe M mulţime G {,y Ry}. Defiiţi III.. O relţie irã R defiitã pe o mulţime evidã M se umeşte relţie de echivleţã dcã e este refleicã, trzitivã şi simetricã. Eemplu: Fie N mulţime umerelor turle şi umãrul fit. Pe N stilim urmãtore relţie R: şi di N sut î relţie cu R, dcã şi împãrţite l du celşi rest. Scriem mod de pildã 4 mod. Acest este o relţie de echivleţã. Defiiţi III.4. Fie M o mulţime. R o relţie de echivleţã pe M şi u elemet fit di M. Se umeşte clsã de echivleţã corespuzãtore elemetului mulţime { M R}. Douã clse de echivleţã şi su coicid câd R su sut disjucte. Defiiţi III.5. Fie M o mulţime şi R o relţie de echivleţã pe M. Se umeşte mulţime cât lui M î rport cu relţi R şi se otezã M/R mulţime clselor de echivleţã. Defiiţi III.6. Fie M o mulţime evidã. Se umeşte relţie de ordi pe M o relţie irã cre este refleivã, trzitivã şi tisimetricã. Se otezã: < su De eemplu: relţi cuoscutã de ordie turlã pe N, Z, Q şi R este o relţie de ordie.
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Defiiţi III.7. Fie M o mulţime evidã şi o relţie de ordi pe M. Acestã relţie de ordi se umeşte relţie de ordie totlã dcã oricre douã elemete le lui M sut comprile dicã, M vem su < su <. Mulţime îzestrtã cu o relţie de ordie totlã se umeşte mulţime totl ordotã. Defiiţi III.8. Fie M o mulţime evidã. O relţie de ordie pe M se umeşte relţie de uã ordore dcã orice prte evidã lui M re u cel mi mic elemet. Mulţime M, cu cestã relţie de uã ordore, se zice ie ordotã. O relţie de uã ordore pe M este o relţie de ordie totlã pe M. IV. Fucţii IV.. Noţiue de fucţie Defiiţi IV Fie A şi B douã mulţimi. Pri fucţie defiitã pe mulţime A, cu vlori î mulţime B se îţelege orice lege procedeu su coveţie f, î z cãrei oricãrui elemet A i se socizã u uic elemet, ott f, di B. Mulţime A se umeşte domeiu de defiiţie, ir mulţime B se umeşte codomeiu de defiiţie su domeiul vlorilor fucţiei. Defiiţi IV Fie f:a B o fucţie. Pri grficul cestei fucţii îţelegem sumulţime G f produsului crtezi A B formtã di tote perechile,f, A. deci G f {, f A} Defiiţi IV... Se umeşte fucţie umericã o fucţie f:a B, petru cre tât domeiul de defiiţie A cât şi domeiul vlorilor B sut sumulţimi le mulţimilor umerelor rele deci A, B R. IV.. Fucţii ijective, surjective, ijective Defiiţi IV Fie f:a B o fucţie. Spuem cã f este o fucţie ijectivã, dcã petru oricre douã elemete şi y le lui A, y, vem f fy. Fptul cã f este ijectivã se mi eprimã şi ltfel:,y A: f fy y De eemplu: f:n N, defiitã pri formul f, este ijectivã, dr g:z N, g u este o fucţie ijectivã deorece g- g 4. Defiiţi IV O fucţie f:a B este o fucţie surjectivã, dcã petru orice B eistã cel puţi u elemet A, stfel îcât f. Deci f:a B u este surjectivã dcã B vem f A. De eemplu: f:r R, f, este surjectivã. Defiiţi IV... O fucţie f:a B cre este simult ijectivã şi surjectivã se umeşte fucţie ijectivã. De eemplu: Fie A { R } şi f:r R, f. Fucţi f este ijectivã. IV.. ompuere fucţiilor Defiiţi IV... Fie fucţiile f:a B şi f:b domeiul de defiiţie l fucţiei g coicide cu codomeiul fucţiei f. Fie A, tuci f B, deci eistã imgie s pri g, dicã gf. Astfel putem defii o fucţie h:a ude
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic h gf petru A. Fucţi h stfel defiitã se otezã g f su gf şi se umeşte compuere fucţiei g cu fucţi f. Oservţii:. Dcã f:a B şi g: D sut douã fucţii, re ses sã vorim de compuere fucţiei g cu fucţi f umi dcã B.. Dcã f:a B şi g:b A sut douã fucţii, re ses g f:a A şi f g:b B. î geerl f g g f. Teoremã. Fie f:a B şi g:b şi h: D trei fucţii. Atuci fiecre di fucţiile h g f, h g f re ses şi eistã eglitte: h g f h g f. IV.4. Fucţi iversã Defiiţi IV.4.. Fie A o mulţime orecre. Notãm cu A :A A fucţi defiitã stfel: A petru A. A se umeşte fucţi ideticã mulţimii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi A fucţi s ideticã. Atuci:. Petru orice mulţime B şi petru orice fucţie f:a B vem f A f. Petru orice mulţime şi petru orice fucţie g: A vem A g g Defiiţi IV.4.. O fucţie f:a B se umeşte iversilã dcã eistã o fucţie g:b A stfel îcât g f A şi f g B. Teoremã. O fucţie este iversilã dcã şi umi dcã este ijectivã. V. Operţii cu umere rele V.. Puteri turle le umerelor rele.. -. - - 4. m m 5. m : m-, 6. m m m 7. m : m m, m m 8., m 9. m m m.,.,, N. Puterile umerelor rele se etid tât petru epoeţi rţioli pozitivi su egtivi, cât şi petru epoeţi reli, puterile rele fiid defiite cu jutorul şirurilor de puteri rţiole. Aceste puteri u proprietãţi idetice cu epoeţi umere turle.
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic V.. Idetitãţi fudmetle Oricre r fi,y,z,t,,,c R şi N, vem:. 4. y y. c y z t y cz t y dz ct c dy z t d cy z t 4. 5. 6. y z yz y z y z y z yz 7. y z y z yy zz 8. 4 4 9. 4 4. 5 5 4 4. 5 5 4 4. 4 4 5. 6 6 G. de Recquigy-Adso 4. - - - - 5. - -4-4 - 6. - - 7.. V.. Rdicli. Proprietãţi m m., > m m., > m., m m m m m 4.,, m 5. m, > m m m 6. c c,,, c, m m 7. : m,, > m m m 8., m m 9. : m, > m. m m, m m m., p., > m mp q m p qm.,, m p 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic m m 4., m q m p qm 5. : :,, > m p 6., R 7., 8., 9.,, A A. A ± B ±, dcã şi umi dcã A B.Epresi cojugtã lui ± este ir petru ± este VI. Ecuţii şi iecuţii de grdul îtâi VI.. Ecuţii de grdul îtâi su ecuţii fie,,, R Fie S mulţime de soluţii cestei ecuţii. Dcã., soluţie uicã. S { }.. şi, ecuţi u re soluţii: S. şi, orice umãr rel este soluţie ecuţiei fie dte S R. Semul fucţiei fie f:r R, f, - fx sem cotrr lui semul lui Grficul fucţiei de grdul îtâi v fi o liie dreptã. y A, 5 B, VI.. Iecuţii de grdul îtâi su ecuţii fie zul. >,,, R. Fie S mulţime soluţiilor. Dcã:. >, S,
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. <, S -,., >, S R 4.,, S. zul.,,, R. Dcã:. >, S, ]. <, S [,.,, S R 4., >, S. Iecuţiile < şi se reduc l cele douã czuri pri îmulţire iecuţiei respective cu şi schimre sesului ieglitãţilor. VI.. Modului uui umãr rel, dc <, dc, dc > Proprietãţi:,y R, vem:... y y su y 4., R 5. 6. y y 7. y y 8. y y 9. y y y. y y., y. y y Ecuţii şi iecuţii fudmetle, cre coţi modulul:.,,, R, S mulţime soluţiilor. > S < > { } 6
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. < S < R R\{} > {-, {, } S < > { } VII. Numere complee Defiiţi VII.. Se umeşte umãr comple orice elemet z, l mulţimii RR {,, R}, îzestrte cu douã operţii lgerice, dure: z,, z, RR, z z, şi îmulţire: z,, z, RR, z z -,. Mulţime umerelor complee se otezã cu şi este corp comuttiv. VII.. Form lgericã umerelor complee z i, cu,,, şi i,, respectiv i -. Eglitte douã umere complee z şi z : i i şi Adure umerelor complee re proprietãţile: este socitivã, comuttivã, dmite c elemet eutru pe şi orice umãr comple i dmite u opus i. Îmulţire umerelor complee re proprietãţile: este socitivã, comuttivã, dmite c elemet eutru pe şi orice umãr comple i eul dmite u ivers i i este distriutivã fţã de dure zz z zz zz z,z,z. Puterile umãrului i: m N, i 4m, i 4m i, i 4m -, i 4m -i. Defiiţi Dcã z i, tuci umãrul i se umeşte cojugtul lui z şi se otezã i i z. Au loc urmãtorele proprietãţi, z,z,z.. z z. z - z i. z ± z' z ± z' 4. zz' z z' 5. zz' i i 7
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 6. z z' z z' zz z z 7. 8. z ' z z'. z VII.. Modulul uui umãr comple z z zz su Avem poi:. z z. z z' z z'. z z' z z' z z' 4. zz ' z z' z' z' 5., z. z z z VII.. Form trigoometricã umerelor complee z rcos u isi u ude r z, ir ughiul u [, este soluţi ecuţiilor trigoometrice rcos u şi rsi u. De eemplu: dcã z - i, tuci 5 5 5 z, u şi z cos isi. 4 4 4 VII.4. Formul lui Moivre u R şi N, cos u isi u cosu isiu oseciţele formulei lui Moivre cos u cos u cos - u si u 4 cos -4 u si 4 u si u cos - u si u cos - u si u 5 5 tgu tg u tg u tg u. 4 4 tg u tg u VII.5. Etrgere rãdãciii de ordiul ditr-u umãr comple z rcos u isi u u k u k z k r cos isi, k,,,, k k k cos isi, k,,,, k k k cos isi, k,,,, 8
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Petru simplificre folosim urmãtore otţie: ε ω i ± k şi k k k VII.6. Ecuţi iomã i 9 A, A, A ρcos ϕ isi ϕ k A / ω k, k,, A R, A < k A / ε k, k,, A R, A > ϕ k ϕ k k p cos isi, k,, A \R VIII. Ecuţii şi iecuţii de grdul l II-le VIII.. Ecuţii de grdul l doile c,,,c R,. Formule de rezolvre: >,, 4c su ' ' ' ',,, c.. Formule utile î studiul ecuţiei de grdul l II-le: S P S SP 4 4 4 S 4 4S P P. Discuţi turii şi semul rãdãciilor î fucţie de semele lui 4c, P, S. P S Ntur şi semul rãdãciilor < - - ± i Rãdãcii complee:, - - Rãdãcii rele şi egle P > S > Rãdãcii rele pozitive > P > S < Rãdãcii rele egtive P < S > Rãdãcii rele şi de seme cotrre ce pozitivã este mi mre decât vlore solut celei egtivi P < S < Rãdãcii rele şi de seme cotrre ce egtivã este mi mre î vlore solutã.
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 4. Semul fucţiei f:r R, f c,,,c R > :, <. - f semul lui sem cotrr lui semul lui X - f semul lui semul lui < X - f semul lui 5. Grficul fucţiei f:r R, f c,,,c R este o prolã. Acestã fucţie se pote scrie şi su form f, umitã formã coicã. 4 y > > A, B,,c V, 4 O A B D 6. Mimul su miimul fucţiei de grdul l doile. Dcã >, fucţi f c re u miim egl cu relizezã petru. Dcã <, fucţi f c re u mim egl cu relizezã petru, miim ce se 4, mim ce se 4 7. Itervle de mootoie petru fucţi de grdul l doile Teoremã. Fie fucţi de grdul l doile f c,
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. Dcã >, fucţi f este strict descrescãtore pe itervlul crescãtore pe itervlul,., şi strict. Dcã <, fucţi f este strict crescãtore pe itervlul, şi strict descrescãtore pe itervlul,. Oservţie: Itervlele, şi, se umesc itervle de mootoie le fucţiei f. Descompuere triomului f X X c,,,c R,, şi fiid rãdãciile triomului.. >, f X X., f X. <, f este ireductiil pe R, deci f X X c ostruire uei ecuţii de grdul l doile câd se cuosc sum şi produsul rãdãciilor ei: S P, cu S şi P. Teoremã: Ecuţiile c şi c,,,c,,,c R,,, u cel puţi o rãdãciã comuã dcã şi umi dcã: c c su c c c c c c odiţii ecesre şi suficiete petru c umerele rele dte şi β sã fie î umite relţii cu rãdãciile şi le ecuţiei de grdul l doile f c,,c R,, respectiv, petru c f sã pãstreze u sem costt, R. Nr.crt. Relţii ître,, şi β odiţii ecesre şi suficiete < < β < su < < <β < < β < < β <. f fβ <. 4c. f >. fβ > 4. < 5. β >. f <. fβ < cee ce trge dupã sie >
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 4 < <. f < 5 <. f >.. < 6 <.. f >. < 7 fx,, R.. > 8 fx,, R.. < Oservţie: Rezolvre ecuţiei ipãtrte c, N, >, pri sustituţi y, se reduce l rezolvre uei ecuţii de grdul l doile î y, ume y y c şi l rezolvre douã ecuţii iome de form y, y. VIII.. Iecuţii fudmetle de grdul l II-le. c >,,,c R,, S mulţime soluţiilor: S > < > < > < > > < < -,,, R\{ } R.. c,,,c R,, S mulţime soluţiilor: S > > > < > -, ] [, [, ] R < { } < > R < < Iecuţiile c < şi c se reduc l czurile precedete pri îmulţire cu şi schimre sesului cestor ieglitãţi. VIII.. Rezolvre sistemelor de ecuţii cu coeficieţi reli. Sisteme formte ditr-o ecuţie de grdul l doile şi u de grdul îtâi Aceste sisteme sut de form:
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic f y e d y c y c y S Se rezolvã pri metod sustituţiei. Î prim ecuţie putem presupue cã su su dcã tuci prim ecuţie dispre. Presupuâd cã, tuci ecuţi y c este echivletã cu ecuţi c c y. Dcã sustituim î y î ce de dou ecuţie sistemului S, tuci S este echivlet cu sistemul: ' f c e d c c c c y S Rezolvâd ecuţi dou sistemului S oţiem vlorile lui, poi, îlocuid î prim ecuţie di sistemul S oţiem vlorile lui y. Discuţie.. Dcã ecuţi dou di sistemul S re douã rãdãcii rele, tuci sistemul S re o soluţie relã.. Dcã ecuţi dou di sistemul S re douã rãdãcii egle, su î czul câd cest este o ecuţie de grdul îtâi, tuci sistemul S re douã soluţii rele.. Dcã ecuţi dou sistemului S u re ici o rãdãciã relã, tuci sistemul S u re soluţii rele.. Sisteme de ecuţii omogee U stfel de sistem este de form: d y c y d y c y S Sistemul S se umeşte omoge deorece poliomele X XY c Y şi X XY c Y sut omogee, î sesul cã tote moomele cre pr î scriere lor u celşi grd. Presupuem mi îtâi cã d şi d. Eistã î ces cz umerele rele şi β diferite de zero stfel îcât d βd. Se îmulţeşte prim ecuţie cu şi ce de dou cu β şi poi se duã. Se oţie sistemul echivlet: ' y c c y d y c y S β β β Notãm coeficietul ecuţiei dou di S cu,,c. Atuci: ' y c y d y c y S Deorece d sistemul S u re soluţi şi y. Putem presupue cã. Împãrţim ecuţi dou di S cu şi oţiem ecuţi de grdul l doile î
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic y y y : c cre, rezolvtã, e dã î geerl douã vlori k şi k petru y y y dicã, k şi k. Rezolvre sistemului S este echivletã cu rezolvre urmãtorelor douã sisteme: y k S şi y c y d y k S y c y d âd d şi d, sistemul S este de form S şi rezolvre se cotiuã c petru sistemul S.. Sisteme de ecuţii simetrice Defiiţi VIII... O ecuţie î douã ecuoscute se zice simetricã dcã îlocuid cu y şi y cu, ecuţi u se schimã. Rezolvre sistemelor de ecuţii simetrice se fce stfel: se itroduc ecuoscutele uilire s şi p dte de relţiile: y s şi y p. Pri itroducere cestor oi ecuoscute s şi p, î forte multe czuri sistemul se reduce l u sistem de ecuţii formt ditr-o ecuţie de grdul îtâi şi o ecuţie de grdul l doile î ecuoscutele s şi p. IX. Ecuţii lgerice de grdul III, IV şi V IX.. Ecuţi reciprocã de grdul l treile ± ±,, R, Rezolvre ei se reduce l cee ecuţiei ± [ ] IX.. Ecuţi reciprocã de grdul l ptrule 4 ± c ±,,,c R, Rezolvre ei se reduce l cee uei ecuţii de grdul l doile, pri sustituţi y : ± c su y y c. IX.. Ecuţi ipãtrtã 4 c,,,c R, u y, rezultã ecuţi y y c, deci X. Logritmi,,,4 ± ± 4c Defiiţi X.. Fie R *, şi R * douã umere rele. Se umeşte logritm l umãrului rel strict pozitiv epoetul l cre treuie ridict umãrul, umit zã, petru oţie umãrul. Logritmul umãrului î z se otezã log 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic log Evidet. Petru oţiem logritmi zecimli, ir petru e oţiem logritmi turli. Proprietãţi:. log log c c,,c >. log. log 4. log c c log - log log log, m 5. log log, >, m N, m m 6. log log 7. Formul de schimre zei logritmului: 8. > şi y> log y log log y log log log 9. > şi y> log y log log y colog - log y. > şi, log < > şi > log >. << şi, log > << şi > log <. > şi <<y log < log y log log. >, y>, >, >,, log y log y 4. >, >,, N log log 5. R, >, e l. Operţii cu logritmi zecimli. Sum doi logritmi: se duã seprt crcteristicile se duã lgeric, îtrucât eistã crcteristici pozitive şi crcteristici egtive şi seprt mtisele cre sut îtotdeu pozitive î frã de czul î cre îtregul logritm este egtiv poi cele douã rezultte se duã lgeric.. Scãdere doi logritmi: se duã descãzutul cu logritmul scãzãtorului.. Îmulţire uui logritm cu u umãr îtreg: câd crcteristic este pozitivã, îmulţire se fce î mod oişuit câd crcteristic este egtivã se îmulţeşte seprt mtis şi seprt crcteristic şi se duã lgeric rezulttele. 4. Împãrţire uui logritm pritr-u umãr îtreg: î czul câd crcteristic este pozitivã, împãrţire se fce oişuit. Î czul î cre este egtivã se împrte seprt mtis şi seprt crcteristic dcã u se împrte ect cu crcteristic pri umãrul dt, tuci se dugã crcteristicii tâte uitãţi egtive câte sut ecesre petru ve u umãr diviziil pri împãrţitorul respectiv şi, petru u se modific rezulttul, se dugã şi mtisei tot tâte uitãţi, dr pozitive. X.. Ecuţii şi iecuţii logritmice fudmetle. log, >,, R. Soluţi:.. log >, R. Fie S mulţime soluţiilor. Avem: c c 5
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic S >, < <,. log <, R. Fie S mulţime soluţiilor. Avem: S >, < <, X.. Ecuţii şi iecuţii epoeţile fudmetle., >,, >. Soluţi log, R., >,,, u re ici o soluţie relã. >. Fie S mulţime soluţiilor. Avem: S > > < > < < > log, -, log R 4. <. Fie S mulţime soluţiilor. Avem: S > < < > > > < -, log log, XI. Metod iducţiei mtemtice XI.. Aiom de recureţã lui Peo Fie A o prte lui N stfel cã:. A. N, A A. Atuci rezultã A N. XI.. Metod iducţiei mtemtice Fie P o propoziţie cre depide de umãrul turl. Dcã vem:. P devãrtã. N, P devãrtã P devãrtã, tuci P este devãrtã petru orice umãr turl. Î demostrţie pri metod iducţiei mtemtice recureţã pote pãre î loc de, u umãr turl, dcã î propoziţi P pe cre vrem sã demostrãm m costtt. XI.. Vritã metodei iducţiei mtemtice Fie P o propoziţie cre depide de umãrul turl. Dcã vem:. P devãrtã 6
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. m N, m k Pm devãrtã Pk devãrtã, tuci P este devãrtã petru orice umãr turl. XII. Alizã comitorie XII.. Permutãri Defiiţi XII O mulţime împreuã cu o ordie ie determitã de dispuere elemetelor sle este o mulţime ordotã şi se otzã,,,. Defiiţi XII Se umesc permutãri le uei mulţimi A cu elemete tote mulţimile ordote cre se pot form cu cele elemete le lui. Numãrul permutãrilor elemete, N*, este P!! pri defiiţie.! Fctorile proprietãţi:!!! XII.. Arjmete Defiiţi XII Se umesc rjmete elemete lute câte m m le uei mulţimi A cu elemete, tote sumulţimile ordote cu câte m elemete cre se pot form di cele elemete le mulţimii A. Se otezã A m. Numãrul rjmetelor elemete lute câte m este: A m! m, m. m! Proprietãţi: A P A! su A! A A A.! XII.. omiãri Defiiţi XII... Se umesc comiãri elemete lute câte m m le uei mulţimi A cu elemete tote sumulţimile cu câte m elemete, cre se pot m form di cele elemete le mulţimii A. Se otezã. Proprietãţi:. m m m m.. Numãrul sumulţimilor uei mulţimi cu elemete este m m m m m m 4. m m m! p p 5. ude p p p pm p m- < p! p! p! XII.4. Biomul lui Newto k k k k k k k Proprietãţi:. Termeul de rk k este T k - k k -k k ude N 7
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 8. k k k k k k k k. T k k k T k su T k k k T k 4. Numãrul termeilor dezvoltãrii ± este 5. oeficieţii termeilor egl depãrtţi de etremi sut egli. Relţii importte: 5 4 Dezvoltãri prticulre uzule:. ± ±. c c c c. 4. 5. c c c c c c 6c 6. 4 4 4 6 4 4. XII.5. Sum puterilor semee le primelor umere turle Dcã S p p p p, p N, tuci vem: 9 6 6 5 4 S S S S S O relţie cre permite clculul lui S p, câd se cuosc S p-, S p-,, S este formul lui Pscl: p S S S p p p P p p XIII. Progresii XIII.. Progresii ritmetice Defiiţi XIII Se umeşte progresie ritmeticã u şir de umere,,,,, î cre fiecre terme, îcepâd cu, se oţie di cel precedet pri dãugre uui umãr costt umit rţi progresiei. Se otezã,,,, Dcã este primul terme, cel de-l -le terme termeul geerl, r rţi, umãrul termeilor şi S sum celor termei, tuci vem: - r, pri defiiţie r, pri defiiţie S, S
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic r S Termeii echidistţi de etremi. Îtr-o progresie ritmeticã sum termeilor echidistţi de etremi este eglã cu sum termeilor etremi: k -k. Oservţie. Dcã umãrul termeilor este impr m, tuci eistã u terme î mijloc, m, stfel îcât m m. odiţi ecesrã şi suficietã petru c trei termei,,c, lute î cestã ordie, sã formeze o progresie ritmeticã, este sã vem c. XIII.. Progresii geometrice Defiiţi XIII Se umeşte progresie geometricã u şir de umere,,,,, î cre fiecre terme, îcepâd cu, se oţie di cel precedet pri îmulţire cestui cu u celşi umãr q q umit rţie. Se otezã,,,, Dcã este primul terme, cel de-l -le terme termeul geerl, q rţi, umãrul termeilor şi S sum celor termei, tuci vem: q -, pri defiiţie q -, î fucţie de, q şi q S, S q q S,q q Termei echidistţi de etremi. Îtr-o progresie geometricã, produsul doi termei echidistţi de etremi este egl cu produsul termeilor etremi: p -p. Oservţie. Dcã umãrul termeilor este impr m tuci eistã u terme l mijloc, m, stfel îcât. m m odiţi ecesrã şi suficietã c trei umere,,c, lute î cestã ordie, sã formeze o progresie geometricã este sã vem c. XIV. Poliome XIV.. Form lgericã uui poliom f [] este f X X - X -, ude este grdul, coeficietul domit, termeul lier. Fucţi poliomilã socitã lui f [] este f ~ : f ~ f f fiid vlore poliomului f î. Teorem împãrţirii cu rest: f,g [], g eistã poliomele uice q,r [] stfel îcât f gq r, grd r < grd g. Împãrţire uui poliom cu X-: Restul împãrţirii poliomului f [], f l X- este f. 9
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Schem lui Horer: e jutã sã flãm câtul q X - X - - l împãrţirii poliomului f X X - X - l iomul X- precum şi restul cestei împãrţiri r f - - - - rf - XIV.. Diviziilitte poliomelor Defiiţi XIV Fie f,g [], spuem cã g divide pe f şi otãm g f dcã q [] stfel îcât fgq. Proprietãţi:. f, *, f []. g f şi f r. g f şi f grd f grd g 4. * f f 5. f f refeleivitte 6. f g şi g h f h trzitivitte 7. f g şi g f * cu f g f,g sut socite î diviziilitte. Defiiţi XIV U poliom d se umeşte cel mi mre divizor comu c.m.m.d.c. l poliomelor f şi g dcã: d f şi d g. d f şi d g d d şi otãm df,g Defiiţi XIV... Dcã d tuci f şi g se umesc prime ître ele. Defiiţi XIV..4. U poliom m se umeşte cel mi mic multiplu comu c.m.m.m.c. l poliomelor f şi g dcã: f m şi g m. f m şi g m m m f g Teoremã. Dcã df,g tuci m d XIV.. Rãdãciile poliomelor Defiiţi XIV... Numãrul se umeşte rãdãciã poliomului f dcã şi umi dcã f ~. Teorem lui Bezout: Numãrul este rãdãciã poliomului f X- f. Defiiţi XIV... Numãrul se umeşte rãdãciã multiplã de ordiul p poliomului f dcã şi umi dcã X- f ir X- p u-l divide pe f. Teoremã: Dcã f [] este u poliom de grdul şi,,,, sut rãdãciile lui cu ordiele de multiplicitte m,m,m,,m tuci m m m f X X X ude este coeficietul domit l lui f, ir m m m grd f. XIV.4. Ecuţii lgerice Defiiţi XIV.4.. O ecuţie de form f ude f este u poliom, se umeşte ecuţie lgericã. Teorem lui Ael-Ruffii: Ecuţiile lgerice de grd mi mre decât ptru u se pot rezolv pri rdicli. Teorem lui D Almert-Guss: Orice ecuţie lgericã de grd mi mre su egl cu uu, re cel puţi o rãdãciã compleã.
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Formulele lui Viete: Dcã umerele,,, sut rãdãciile poliomului f [], f X X -, tuci: 4 k k k k k mk mk m. XIV.5. Poliome cu coeficieţi di R, Q, Z Teoremã: Dcã f R[] dmite pe i, c rãdãciã tuci el dmite c rãdãciã şi pe i, ir şi u celşi ordi, de mutiplicitte. Teoremã: Dcã u poliom f Q[] dmite pe d, Q,, d R\Q c rãdãciã, tuci el dmite şi pe de mutiplicitte. d, ir şi u celşi ordi, Teoremã: Dcã u poliom f Z[], grd f, dmite o rãdãciã p Q, p,q tuci p şi q. Î prticulr dcã f Z[] re rãdãci p Z tuci p. XV. Permutãri, mtrici, determiţi XV.. Permutãri Defiiţie XV Fie A{,, }, ϕ se umeşte permutre de grdul dcã ϕ:a A şi ϕ ijectivã. ϕ ϕ ϕ σ S mulţime permutãrilor de grd crd S! A e, permutre ideticã e
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic ompuere permutãrilor Fie σ,τ S tuci σoτ S ϕ τ ϕ τ σ τ Trspoziţii Defiiţi XV Fie i,j A, i j, τ ij S, τ ij se umeşte trspoziţie dcã: j, dc k i i k j τ k i, dc k j τ k ij ij j k i k, dc k i, j Oservţii:. τ ij - τ ij. Numãrul trspoziţiilor de grd este Sigtur semul uei permutãri Defiiţi XV... Fie i,j AA, i<j, i,j se umeşte iversiue lui ϕ dcã ϕj<ϕi, mϕ umãrul iversiuilor lui ϕ: m ϕ εϕ - mϕ se umeşte sigtur lui ϕ. Oservţii:. Permutre ϕ se umeşte prã dcã εϕ, respectiv imprã dcã εϕ -. Orice trspoziţie este imprã ϕ i ϕ j. ε ϕ i< j i j 4. εϕ oσ εϕεσ. XV.. Mtrici Defiiţi XV Fie M {,, m} şi N {,, }. O plicţie A:MN Ai,j ij se umeşte mtrice de tipul m,: cu m liii şi coloe: A şi otãm M m, mulţime mtricelor de tipul m, cu m m m elemete umere complee. Defiiţi XV Dcã m tuci mtrice se umeşte pãtrticã de ordiul, ir mulţime lor se otezã M. Defiiţi XV... Douã mtrici A,B M m, sut egle dcã şi umi dcã ij ij i,j MN. Operţii cu mtrici:. Adure Fie A,B M m, tuci A B M m, ude c ij ij ij i,j MN este sum lor. Proprietãţi A,B, M m, :. AB BA comuttivitte. AB AB socitivitte
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. A A A elemetul eutru este mtrice ul 4. A-A -AA opusul lui A este A.. Îmulţire cu sclri Fie A M m, şi λ tuci BλA M m, ude ij λ ij i,j MN este produsul mtricei A cu sclrul λ. Proprietãţi A,B M m, şi λµ.. A A. λ A A λ. λab λa λb 4. λµa λa µa 5. λµa λµa µ λa.. Trspus uei mtrici Fie A M m, tuci t A M m, ude t ij ji, i,j MN 4. Îmulţire mtricelor Fie A M m, şi B M,p tuci A B M m,p ude i,j MN este produsul lor Proprietãţi:. A B A B socitivitte XV.. Determiţi. A I I A elemet eutru-mtrice uitte. AB A B 4. A B A B A. I Fie M mulţime mtricilor pãtrte de ordi cu elemete di : A, A M m m m Defiiţi XV... Se umeşte determitul mtricii A, umãrul det A ε σ σ σ σ det A σ S m c ij k ik kj,
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic det A i A i i A i i A i ude A ij este complemetul lgeric l elemetului ij di mtrice A: A ij - ij i i. i i- j- i-j- i j- j- j- j i-j i j j j i- i Dcã AB, tuci det det A det B A,B, M Determitul de ordiul : Determitul de ordiul : m XV.4. Ivers uei mtrici Fie A M, dcã det A eistã A - M stfel îcât AA - I, I M, I mtrice uitte: A A A A A det A A A A A A XVI.. Notţii: XVI. Sisteme liere ij coeficieţi, I ecuoscute, i termei lieri S, m ecuţii, ecuoscute m m m 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic A, A m m m m m r rgul mtricii A rgul sistemului XVI.. omptiilitte Sistemul S este comptiil determit dcã: 5 m,. r m sistem de tip rmer şi det A, tuci I i, ude i. r < m şi rg A r. Sistemul S este icomptiil dcã r mi m, şi rg A r. XVI.. Sisteme omogee i. Sut comptiile determite dcã r. Sut comptiile edetermite dcã r <. XVII. Structuri lgerice XVII.. Mooid Fie M,*, MM M,,y *y, M-evidã. Aiomele mooidului: M. *y*z *y*z,y,z M socitivitte M. e M stfel îcât *e e* M e elemet eutru dcã M. *y y*,,y M moidul este comuttiv. E:. N,, N, sut mooizi comuttivi. FE,o mooid ecomuttiv FE este mulţime fucţiilor f:e E, E evidã, o compuere fucţiilor. XVII.. Grup Fie G,*, GG G,,y *y, G-evidã. Aiomele grupului: G. *y*z *y*z,y,z Gsocitivitte G. e G stfel îcât *e e* G e elemet eutru G. G G stfel îcât * * e simetricul lui dcã G4. *y y*,,y G grupul este comuttiv su eli. E:. Z,, Q,, R,,, grupuri comuttive
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. R, grupul resturilor modulo, comuttiv. M Z, grupul mtricilor pãtrte de ordi cu elemete di Z 4. K, o grupul lui Klei l simetriilor fţã de sistemul de coordote, comuttiv 5. σ, o grupul simetric de grd l permutãrilor de elemete u este comuttiv Defiiţi XVII Fie G,* grup, H G, H este sugrup dcã,y H *y H şi H H este simetricul lui î rport cu operţi * Fie grupurile G,, G, : Defiiţi XVII f:g G se umeşte morfism de grupuri dcã f yf fy,,y G. Defiiţi XVII... f:g G se umeşte izomorfism de grupuri dcã f este ijectivã şi f yf fy,,y G. Defiiţi XVII..4. f:g G se umeşte utomorfism edomorfism l grupului G, dcã f este u izomorfism morfism. XVII.. Iel Fie A,,, AA A,,y y şi AA A,,y y, A evidã Defiiţi XVII... A,, este iel dcã: G. A, este grup eli M. A, este mooid şi D. este distriutivã fţã de : yz y y z yz y y z,,y,z A dcã. y y,y A, ielul este comuttiv. Eemple de iele:. Z,, ielul umerelor îtregi. Z[i],, ielul îtregilor lui Guss, Z[i] {z i, Z}. R,, ielul resturilor modulo 4. M A,, ielul mtricelor pãtrtice cu elemete di ielul A 5. Z,, ielul clselor de resturi modulo. Fie ielele A,,* şi A,,o: Defiiţi XVII... f:a A se umeşte izomorfism de iele dcã f este ijectivã şi f y f fy, f*y fofy,,y A. Defiiţi XVII... A,, este iel fãrã divizori i lui zero dcã, y implicã y. Defiiţi XVII... U iel comuttiv cu cel puţi douã elemete şi fãrã divizori i lui zero se umeşte domeiu itegritte. Defiiţi XVII..4. Dcã A,, este iel, tuci A[X],, este ielul comuttiv l poliomelor cu coeficieţi î A. f A[X], f X X X este form lgericã uui poliom de edetermitã X cu coeficieţi î A: - dcã, grd f coeficiet domit 6
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic - dcã, f poliom ul, grd -. Proprietãţi:. grd fg m{grd f, grd g}. grd f g grd f grd g. Teoremã. Dcã A este domeiu de itegritte tuci A[X] este domeiu de itegritte şi grd f g grd f grd g, f,g A[X]. XVII.4. orp Fie K,,, KK K,,y y şi KK k,,y y, K evidã. Defiiţi XVII.4.. K,, este corp dcã K,, este iel, şi K, - K, stfel îcât - -. Dcã y y,y K, corpul este comuttiv. Eemple de corpuri:. Q,, corpul umerelor rţiole. R,, corpul umerelor rele.,, corpul umerelor complee 4. Q d,, corpul umerelor pãtrtice d Z, d lier de pãtrte 5. Z p,, corpul clselor de resturi modulo p p N*, p >, p umãr prim. Defiiţi XVII.4.. Fie corpurile K,,* şi K,,o, f:k K este izomorfism de corpuri dcã f este ijectivã, f y f fy, f*y f o fy,y R. Teorem împãrţirii cu rest î mulţime K[X], K corp comuttiv şi g K[X], g : f K[X], eistã poliomele q,r K[X], uic determite stfel îcât f q gr, grd r < grd g. GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Notţii: - lugime lturilor triughiului AB, AB c, B, A - lugimile segmetelor importte î triughi: AD h AD B, h lugime îãlţimii di A, D B AD m BDB, m lugime mediei di A, D B AD BAD AD, lugime isectorei di A, D B c - p p semiperimetrul triughiului AB - A AB ri triughiului AB, ottã şi S - R rz cercului circumscris uui poligo - r rz cercului îscris îtr-u poligo - l ltur poligoului regult cu lturi - potem poligoului regult cu lturi - P perimetrul poligoului - A lt ri lterlã prismã, pirmidã, truchi de pirmidã - A tot ri totlã, ottã şi A - V volumul. 7
Zhri Virgil-Mihil I. Triughiul Mic memortor mtemtic Ieglitãţi gemetrice:. m MBA > m A, m MBA > m, MBA este ughi eterior. > c, c >, c >. > -c, > c-, c > - A c 4. m < 5. p < m m m c < P Teorem isectorei BAD DA B BD AB c BD D D A c c Oservţii:. etrul cercului circumscris uui triughi este puctul de itersecţie l meditorelor. etrul cercului îscris îtr-u triughi este puctul de itersecţie l isectorelor. etrul de greutte l triughiului este puctul de itersecţie l medielor. 4. Ortocetrul triughiului este puctul de itersecţie l îãlţimilor. II. Poligoe covee cerc. Sum S mãsurilor ughiurilor uui poligo cove cu lturi: S 8 Poligoul regult este iscriptiil îtr-u cerc şi pote fi circumscris uui lt III. Relţii metrice î triughi III.. Triughiul dreptughic AB m A 9, AD B. Teorem lui Pitgor: c. Teorem ctetei: D, c BD. Teorem îãlţimii: h BD D c 4. h, h, hc c 5. m, m, mc c 4 4 c 6. c c c c c c 7. A AB 8
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 8. R c 9. r c. Relţii eprimte pri fucţii trigoometrice: si B, cos, c tg B, c ctg. III.. Triughiul dreptughic AB c... 4. h m A AB 4 R r 6 III.. Triughiul orecre AB AD B. Teorem lui Pitgor geerliztã: c BD, dcã m B<9 c BD, dcã m B>9. Relţiile lui Stewrd O B: BO c O AO BO O c. m 4 4. h p p p p c 5. p p c c h 6. A S AB 7. S p p p p c 8. 9. c R 4S S r. p III.4. Relţii eprimte pri fucţii trigoometrice c. Teorem siusurilor: R si A si B si c. Teorem cosiusului: c c cos Acos A c 9
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic A B. Teorem tgetelor: tg tg B A 4. S si si si, S, S p p tg, S R si Asi Bsi si A A B 5. p 4R cos cos cos 6. Rsi Bsi h m R si A A B 7. 4cos si si 8. c A cos c A p p 9. cos c A p p c. si c A p p c. tg. p p IV. Ptrultere IV.. Prlelogrmul ABD AB D, B AD, DE AB D A BD {O} OA O, OB OD O A ABD AB DE A ABD AB AD si A. A E B IV.. Dreptughiul D ABD AB D, B AD, A 9 A BD O A ABD AB AD A B IV.. Romul ABD AB D, B AD, AB B A d, BD d AB A A BD d d A ABD B 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic IV.4. Pãtrtul ABD AB D, B AD, AB A D A 9, AB, A d A BD A BD O d A ABD. A B IV.5. Trpezul D ABD AB D, AB B, D MN liie mijlocie M B MN A ABD B h MN h M V. Poligoe îscrise î cerc A N B V.. Ptrulterul îscris î cerc BAD BD 8 BA BD Teorem lui Ptolomeu AB D AD B A BD A ABD ½ A BD si B A M D V.. Poligoe regulte îscrise î cercul de rzã R R R. Triughiul echilterl: l R,, S 4 R. Pãtrtul: l 4 R, 4, S R R R. Hegoul regult: l 6 R, 6, S 4. Poligoul regult cu lturi: l Rsi, Rcos, S R si p l ude p. Lugimi şi rii: l cerc R, A cerc R VI. ercul 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic R l rcab - mãsur î grde A 8 R A sectorab 8 µ AOB µ - mãsur î rdii B 8 Ughi cu vârful î iteriorul cercului: m AOB mab mab md m AMB Ughi cu vârful pe cerc OM MT M mab m AMB T mam m AMT A B A M D O B Ughi cu vârful î eteriorul cercului OT MT mab md m AMB mbt mdt m AMB Putere uui puct fţã de u cerc OT MT ρm MA MB OM r MT ρn NA NB r ON A B N M A T M B D T VII. omplemete de geometrie plã Triughiul ortic este triughiul determit de piciorele îãlţimilor uui triughi ditre tote triughiurile cu vârfurile respectiv pe lturile uui triughi su pe prelugiri, triughiul ortic re cel mi mic perimetru. evi este drept determitã de vârful uui triughi şi u puct l lturii opuse. Teorem lui ev: evieele AM, BN, P le triughiului AB sut MB N PA cocurete dcã şi umi dcã. M NA PB 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Teorem lui Meelus: Pe dreptele B, A, AB, determite de lturile triughiului AB, se cosiderã puctele M, N respectiv P situte douã ditre ele pe lturile triughiului şi uul pe prelugire uei lturi, su tote trei pe prelugiri MB N PA de lturi. Puctele M, N, P sut coliere dcã şi umi dcã:. M NA PB Drept lui Euler: Îtr-u triughi orecre, puctele H, O şi G ortocetrul, cetrul cercului circumscris şi cetrul de greutte sut coliere. Drept lui Simso: Proiecţiile uui puct de pe cercul circumscris uui triughi, pe dreptele suport le lturilor cestui, sut coliere. ercul eîscris: uui triughi este tget l o lturã triughiului şi l prelugirile celorllte douã lturi cetrul cercului eîscris este itersecţi isectorei uui ughi iterior cu isectorele celorllte douã ughiuri eteriore. ercul lui Euler cercul celor ouã pucte: piciorele îãlţimilor uui triughi, mijlocele lturilor şi mijlocele segmetelor determite de ortocetru şi vârfurile triughiului sut cociclice. VIII.. Prism. Prlelipipedul dreptughic A lt c A tot c c V c d c. uul de lturã c A 6 VIII. Poliedre V d. Prlelipipedul D B O AB A B B O h V A ABD h D O 4. Prism dreptã su olicã, de îãlţime h A B V A zei h h A A B Prism triughiulrã regultã AB O A B A lt h d c c B 4
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic A tot h V h 4 A O B VIII.. Pirmid. Tetredrul regult tote muchiile sut cogruete, AO BD, AM D h 6, AM 6 ˆ si ABO ˆ,si AMO A V. Tetredul dreptughic OA OB O OA, OA OB O, M AB 6 OM, M AB A AB A tot V 6 B A. Pirmid triughiulrã regultã AB A B A, VA VB V VM B, VM potemã VM h VM Alt A tot 4 h V 4 VM 44
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic Pirmid ptrulterã regultã ABD pãtrt de lturã, VA VB V VD, VM B VM h 4 A VM A lt tot h V VM 4. Pirmid hegolã regultã ABDEF hego regult VM B, VA VB V VD VE VF VM h 4 A VM A lt tot V h VM M A 5. Pirmid regultã piciorul îãlţimii coicide cu cetrul circumscris zei: Pzei potem Alt Azei h Atot Azei Alt V 6. Pirmid de îãlţime h: Azei h Atot Azei Alt V VIII.. Truchiul de pirmidã B ri zei mri, ri zei mici, h îãlţime 45 B
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic. Truchiul de pirmidã orecre: h V B B. Truchiul de pirmidã regult P perimetrul zei mri, p perimetrul zei mici, p potem P p p Alt P p p Atot B h V B B VIII.4. Poliedrul regult Relţi lui Euler: v-mf v uml vârfurilor, m umãrul muchiilor, f umãrul feţelor Tipurile de poliedre regulte: - tetredrul regult: f 4, v 4, m 6 - cuul heedru regult: f 6, v 8, m - octedrul regult: f 8, v 6, m - dodecedrul regult: f, v, m - icosedrul regult: f, v, m IX. orpuri rotude Notţii: R rzã, G geertore, h îãlţime IX.. ilidrul circulr drept h G A A lt tot RG R R G V R h 46
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 47 IX.. oul circulr drept h R V G R R A RG A R h G tot lt IX.. Truchiul de co r rz zei mici Rr r R h V r R r R G A r R G A r R h G tot lt IX.4. Sfer sferice 4 4 Rh A Rh A R V R A zoei clotei X. Fucţii trigoometrice X.. Defiiţii î triughiul dreptughic B si, c B cos, c tgb c ctgb, B cos si, ctg tgb A c B
Zhri Virgil-Mihil X.. Proprietãţile fucţiilor trigoometrice. si:r [-,] Mic memortor mtemtic si- -si, si k si, k Z. cos:r [-, cos- cos, cos k cos, k Z. tg:r\{k } R 4. ctg:r\{k} R tg- -tg tgk tg, k Z ctg- -ctg ctg k ctg, k Z XI. Formule trigoometrice XI.. Relţii ître fucţiile trigoometrice le uui rgumet:. si cos. si ± cos si tg cos cos ± si 48
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic 49 cos si tg tg tg ± ±. cos si tg ctg 4. si si cos cos tg tg 5. cos si si cos, tg ctg 6. si si cos cos tg tg 7. si si cos si tg tg XI.. Formule de dure: β β β β β β β β β tg tg tg tg tg ± ± ± ± ± si si cos cos cos cos si cos si si XI.. Formule petru multiplii de rgumet: si cos si cos si cos cos si cos si cos cos si cos si cos 4cos cos 4si si si cos si si cos cos cos si si 5 5 5 4 4 4 tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg tg ctg tg tg tg
Zhri Virgil-Mihil XI.4. Formule petru jumãtãţi de rgumet: cos cos si ± cos ± si cos cos tg ± cos si cos XI.5. Sume, difereţe şi produse: β β β si si si cos β β si si β si cos β β cos cos β cos cos β β cos cos β si si si β si β tg tgβ tg tgβ cos cos β cos cos β si cos si cos 4 4 si cos si cos 4 4 si si β [cos β cos β ] cos cos β [cos β cos β ] si cos β [si β si β ] tg tgβ tg tgβ ctg ctgβ Mic memortor mtemtic XII. Iversre fucţiilor trigoometrice XII.. rcsi:[-.] [-, ], rcse y rcsi - - rcsi XII.. rcos:[-,] [,], rcos - - rcos si y 5
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic XII.. rctg:r,, rctg - -rctg XII.4. rctg:r,, rctg - - rctg XIII. Soluţiile ecuţiilor trigoometrice simple XIII.. Ecuţii fudmetle.si, [,] { rcsi k k Z}.cos, [,] { ± rccos k k Z}. tg, R { rctg k k Z 4. ctg, R { ccctg k k Z} k XIII.. Tele de vlori: fucţi si cos 6 4 - - tg / / ctg / / / fucţi rcsi - 4 6 6 4 rcos 5 6 4 4 6 fucti - 5
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic rctg rcctg 5 6 4 4 6 6 4 4 6 XIV.. Segmete XIV. Elemete de geometrie liticã. Distţ ditre douã pucte A,y, B,y : AB y y y y. Pt dreptei AB: m AB y. oordotele,y le mijlocului segmetului AB:, y 4. oordotele puctului M cre împrte segmetul AB î rportul k: k y ky, y k XIV.. Ecuţi dreptei. Drepte prlele cu ele de coordote: d: d Oy, d:y d O y. Drept determitã de puctul M o o,y o şi vectorul ul u, v : d : r ro t, t R, r o -vectorul de poziţie lui M o r-vectorul de poziţie uui puct M l dreptei d. o ut d :, t R, ecuţiile prmetrice y yo vt. Ecuţi eplicitã: y m m R*, R, m pt, ordot l origie y 4. Ecuţi pri tãieturi:,, R* 5. Ecuţi dreptei de ptã m, pri puctul M o o,y o : y y o m o, m 6. Ecuţi dreptei determitã de puctele A,y, B,y : y y y y y y,,, y y su y y y y y 7. Ecuţi geerlã: y c 8. Ari triughiului AB A,y, B,y,,y : A AB, ude 5