Sisemi simulanih ednačina 5. SISTEMI SIMULTANIH JEDNAČINA Podseimo se opšeg oblika uzoračke funkcie višesrukog linearnog regresionog modela: Yi = β0 + βx i + β2x2i +... + βk Xk i + ε i i= 2... n. (5.) gde e: Y zavisna promenliva X X 2 X k- su obašnavauće promenlive ε e slučana greška β β 2 β k- su nepoznai parameri dok se indeks i odnosi na bro opservacie u uzorku. Da bi primenom meoda običnih namanih kvadraa (ONK) dobili poželne ocene parameara neophodno e da model zadovolava određene preposavke. Podseimo se preposavki klasičnog linearnog regresionog modela o svosvima raspodele verovanoće slučane greške ε i kao i uslova koe reba da zadovole obašnavauće promenlive:. E(ε i ) = 0 za svako i. 2. v(ε i ) = E(ε i 2 ) = δ 2 za svako i. 3. cov(ε i ε ) = E(ε i ε ) = 0 za svako i i ako da e i. 4. ε i : N (0 δ 2 ). 5. X X 2 X k- nisu slučane promenlive već uzimau fiksirane vrednosi iz ponovlenih uzoraka i 6. X X 2 X k- nisu međusobno linearno zavisne odnosno niedna obašnavauća promenliva se ne može izrazii kao linearna funkcia osalih. Polazna ednačina (5.) zaedno sa izloženim preposavkama -6. predsavla klasičan višesruki regresioni model. 40 40 Navedeno prema: Mladenović i Perović (207). 73
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena U ovom poglavlu dealnie se bavimo regresionom analizom u koo obašnavauća promenliva ne uzima ise vrednosi iz ponovlenih uzoraka odnosno ukoliko e narušena preposavka (5) koa se formalno definiše kao: Е(ε i X i )=0 za svako i. (5.a) Reč e o zahevu da obašnavauća promenliva nie sohasičke prirode odnosno uslovu da ne posoi korelisanos obašnavauće promenlive X i i slučane greške ε i. Ispunenos navedene preposavke upućue na egzogenu prirodu obašnavauće promenlive. U udžbeniku Mladenović i Perović (207) pokazano e da narušenos ove preposavke dovodi u piane kvalie ocena dobienih primenom meoda običnih namanih kvadraa (ONK) i da se ova problem prevazilazi primenom meoda insrumenalnih promenlivih (IP). Podseimo da problem endogenosi može nasai usled greške u merenu promenlivih izosavlanem relevanne obašnavauće promenlive kao i uklučivanem pomaknue zavisne promenlive Y - kao obašnavauće. Na ovom mesu dealno razmaramo problem korelisanosi obašnavauće promenlive i slučane greške koi nasae usled simulane međuzavisnosi između zavisne i obašnavauće promenlive. Simulana međuzavisnos analiziranih promenlivih e veoma česa u ekonomskim israživanima. Naime do sada smo razmarali poedinačne ednačine u koima e obašnavauća promenliva X uicala na kreane zavisne promenlive Y. Međuim u praksi e česo porebno posmarai dvosmernu zavisnos između promenlivih gde e Y funkcia nivoa X ali isovremeno i nivo Y uiče na nivo X. U naredno glavi se bavimo upravo ovim problemom koi dovodi do međusobne korelisanosi obašnavauće promenlive i slučane greške za ise opservacie. Za porebe israživana ovih relacia porebno e posmarai više ednačina u iso vreme. U om slučau e svaka promenliva definisana zasebnom ednačinom a model koim se opisue isovremena međuzavisnos posmaranih veličina naziva se sisem simulanih ednačina. Načešće primenivani meod za ocenivane sisema simulanih ednačina ese meod insrumenalnih promenlivih 4 (videi deo 7.5) ali su problemi izbora specifikacie ocenivana i inerpreacie parameara ovih modela specifični. Ovo poglavle dealno razmara eme vezane za inerpreaciu i ocenivane sisema simulanih ednačina. Polazimo od definisana meodološkog okvira 74 4 Videi: Mladenović i Perović (207).
Sisemi simulanih ednačina koi se korisi u analizi ovih modela. Daemo obašnene same prirode simulane međuzavisnosi kao i posledica koe ignorisane ovog problema ima na ocene dobiene meodom ONK. U nasavku se bavimo problemom idenifikacie i izbora meoda ocenivana sisema simulanih ednačina. 5.. Specifikacia sisema simulanih ednačina Analiziraćemo nekoliko primera simulanih ednačina. Prvi sisem e ednosavan makroekonomski model koi se sasoi od sledećih ednačina: porošna: C = α o + α Y + ε invesicie: I = β 0 + β Y + β 2 Y - + ε 2 drušveni proizvod: Y =C + I + G (5.2) gde e porošna (C ) funkcia drušvenog proizvoda (Y ) dok su invesicie (I ) funkcia ekućeg (Y ) i drušvenog proizvoda iz prehodnog perioda (Y - ). Treća ednačina sugeriše da e drušveni proizvod ednak sumi porošne invesicia i državnih rashoda (G ). Sisemom su određene ri endogene promenlive C I i Y. Kako e o načešće sluča reč e upravo o ri promenlive koe se nalaze na levo srani ednačina (zavisne promenlive) i definisane su unuar sisema. Ovako definisan sisem e dinamičke prirode 42 er pored egzogene promenlive G (definisane izvan modela) sadrži i predeerminisanu promenlivu Y -. Ova promenliva nie egzogena ali kako e reč o endogeno promenlivo sa pomakom nenu vrednos u ekućem periodu reiramo kao poznau. Prve dve ednačine opisuu ponašane ekonomskih subekaa sadrže nepoznae paramere koi mere direkne uicae promene obašnavauće promenlive na zavisnu i imau asnu ekonomsku inerpreaciu (npr. paramear α meri graničnu sklonos ka porošni i uzima vrednosi između nula i edan). Ovi parameri se nazivau srukurni parameri a navedena specifikacia predsavla srukurnu formu modela. Treća ednačina e idenie i ne sadrži paramere za ocenivane. Reč e o definiciono ednačini prema koo se dohodak razlaže na porošnu invesicie i državnu porošnu. 42 Sisem e dinamičan ako se u nemu nalaze vrednosi promenlivih koe se odnose na različie vremenske periode (ekuće i pomaknue vrednosi promenlivih). 75
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Važno e napomenui da bro ednačina u modelu zavisi od velikog broa fakora pre svega od cila israživana i raspoloživih podaaka. Opimalan nivo ednosavnosi modela uslovlen e prakičnim i eoriskim ograničenima. Naime već smo napomenuli da e bro ednačina ednak brou endogenih promenlivih koe su nima određene. Bro egzogenih promenlivih nie unapred ograničen i obedinue dva međusobno suprosavlena zaheva. Sa edne srane u model e porebno uklučii sve relevanne fakore dok e sa druge srane neophodno pošovai princip ekonomičnosi koi prednos dae mane komplikovanim modelima. Pri ome svrha modela opredelue da li neku promenlivu u daom israživanu reiramo kao egzogenu ili pak kao endogenu. Endogena priroda promenlive obezbeđue se uklučivanem u model dodane ednačine koom definišemo način nenog formirana. Drugi model opisue ponudu i ražnu za određenim proizvodom: ponuda: Q i p = α o + α P i + ε i ražna: Q i =β 0 + β P i + β 2 Y i + ε 2i uslov ravnoeže: Q p i = Q i (5.3) gde ponuda (Q i p ) zavisi od cene (P i ) i slučane greške (ε i ) a ražna (Q i ) od cene (P i ) dohoka (Y i ) i slučane greške (ε 2i ). Treća ednačina sugeriše ednakos ponude i ražne za daim proizvodom. Ova sisem se sasoi od dve ednačine ponašana e e porebno da idenifikuemo dve endogene promenlive kako bi sisem bilo moguće ocenii. 43 Osim količine proizvoda (ponuđene odnosno ražene) ekonomska eoria sugeriše cenu kao drugu promenlivu određenu unuar sisema (iako se nalazi na desno srani ednačina ponašana u seu obašnavaućih promenlivih). U sisemu se oš poavlue i dohodak porošača koi e egzogena promenliva (daa van sisema). Treći primer e model ravnoeže na ržišu robe i novca (IS-LM model): LM kriva: R = α o + α M + α 2 Y + α 3 M - + ε IS kriva: Y = β 0 + β R + β 2 I + ε 2 (5.4) 76 43 Ovakav sisem nazivamo komplenim a formalna definicia sledi u nasavku.
Sisemi simulanih ednačina pri čemu e R kamana sopa M realni novčani fondovi Y nivo bruo drušvenog proizvoda dok I predsavla invesicionu porošnu. U ovom modelu endogene promenlive su R i Y dok M i I smaramo egzogenim. Uočavamo da invesicionu porošnu sada reiramo kao egzogenu unapred dau promenlivu za razliku od prvog modela (5.2) gde e figurisala kao endogena i bila definisana posebnom ednačinom. Ova sisem se sasoi od dve srukurne ednačine koima su definisane dve endogene promenlive (R i Y ). Pored endogenih sisem sadrži i ri predeerminisane promenlive (M I i M - ). Na ovom primeru sisema od dve srukurne ednačine možemo inuiivno obasnii problem do koga dovodi simulana međuzavisnos. Preposavimo da rase greška prve ednačine a da e sve osalo u sisemu konsanno. Ras ε dovodi do rasa promenlive R u prvo ednačini koa dovodi do promene promenlive Y u drugo ednačini pri čemu e Y isovremeno i obašnavauća promenliva prve ednačine. Dakle obašnavauća promenliva Y u prvo ednačini e sohasičke prirode i kako ćemo u nasavku pokazai korelisana e sa slučanom greškom. Iz og razloga meod ONK nie pogodan za ocenivane ovakvog sisema ednačina. 5.2. Posledice ignorisana simulane međuzavisnosi na ocene dobiene meodom ONK Na prvom primeru modela simulanih ednačina (5.2) formalno ćemo pokazai do kakvih posledica dovodi primena meoda ONK u uslovima simulane međuzavisnosi između promenlivih. Preposavimo da e porebno ocenii graničnu sklonos ka porošni (α ) prve ednačine. Radi ednosavnosi izlagana preposavlamo da slučane greške obe ednačine ispunavau preosale preposavke za ocenivane meodom ONK kao i da su međusobno nekorelisane: Е(ε ) = Е(ε 2 ) =0 Е(ε 2 ) = σ 2 = cons; Е(ε 2 2 ) = σ 2 2 = cons za svako cov (ε ε s ) = 0; cov(ε 2 ε 2 s )=0 za svako i s cov (ε ε 2 ) = E (ε ε 2 ) = 0. (5.5) Polazeći od srukurne forme modela sisem e moguće rešii po endogenim promenlivama koe se izražavau kao funkcia egzogenih pomaknuih endogenih promenlivih i slučane greške. Naednosavnie e posupak započei zamenom u reću definicionu ednačinu. Rešavanem se dobia sledeća forma modela: 77
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena ( ) α0 β + αβ0 αβ 2 α β α C = + Y + G + ε + ε 2 α β α β α β α β α β v ( ) ( ) α β0 + α0β α β2 β β α I = + Y + G + ε + ε2 α β α β α β α β α β v 2 α0 + β0 β2 Y = + Y + G + ε + ε 2. α β α β α β α β α β (5.6) v 3 Reč e o specifikacii modela koa se naziva redukovana forma o čemu će u nasavku bii više reči. Uočavamo da su parameri uz obašnavauće promenlive redukovane forme funkcia parameara srukurne forme (α i β) kao i da su greške v ( se odnosi na redni bro ednačine ovde =2 i 3) dobiene kao kombinacia grešaka polaznih ednačina (ε i ε 2 ). Rešavanem po endogenim promenlivama na opisan način se ednosavno izvode redukovane forme druga dva analizirana srukurna modela. Polazeći od navedenog izraza za funkciu porošne ednosavno se pokazue da e u prvo ednačini obašnavauća promenliva Y korelisana sa greškom ise ednačine (ε ): ( Y ε ) = E ( Y E( Y) )( ε E( ε ) ) cov 2 = E ε + ε2 ε= σ 0. α β α β α β Slično u drugo ednačini izvodimo isi zaklučak o korelisanosi obašnavauće promenlive Y i slučane greške ε 2 : ( Y ε2) = E ( Y E( Y) )( ε2 E( ε2) ) cov 2 = E ε + ε2 ε2 = σ2 0. α β α β α β Ukoliko na ednačinu u koo posoi korelisanos obašnavauće promenlive i slučane greške direkno primenimo meod ONK dobiamo prisrasne i nekonzisenne ocene šo pokazuemo u nasavku. 78
Sisemi simulanih ednačina Ocena paramera granične sklonosi ka porošni u prvo ednačini (α ) dobiena na bazi uzorka od T opservacia e: T T T ( ) = + = = α T T T cy α y ε y yε = = = 2 2 + 2 y y y = = = α pri čemu su sa c i y označeni cenrirani podaci dobieni kao odsupane svarnih _ (originalnih) podaaka od odnosnih arimeičkih sredina ( c = C C i _ y = Y Y ). Očekivana vrednos ocene α dobiene meodom ONK e: E. T y ε = α α E T 2 = + y = Pri ome iz reće ednačine modela redukovane forme (5.6) uočavamo da e obašnavauća promenliva Y sohasičke prirode i da zavisi od slučanih greški ε i ε 2. Iz og razloga očekivana vrednos broioca drugog sabirka nie ednaka nuli šo se uočava razvianem izraza na sledeći način: ( T T T T T 2 ) ( ) ( ) ( ) ε ( ) = β 2 ε + ε + ε ε 2 + ε = = = = = E y E y E g E E α β Sve očekivane vrednosi u zagradi su ednake nuli osim u poslednem sabirku odakle sledi:. E T ( yε ) T σ = = 0. 2 = T 2 σ = α β α β (5.7) Dakle pokazali smo da e ocena paramera α prisrasna pri čemu prisrasnos iznosi: T y ε = E α α E 0. T 2 = y = (5.8) 79
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Uočavamo da prisrasnos ovako dobienih ocena zavisi od veličine uzorka odnosno da prisrasnos neće nesai sa povećanem uzorka. Sledi da e ocena dobiena meodom ONK nekonzisenna. Za razliku od srukurnih ednačina greške u ednačinama redukovane forme (v i ) su funkcie grešaka srukurnih ednačina ε i ε 2 i nisu korelisane sa obašnavaućim promenlivim u redukovano formi (G i Y - ). Iz og razloga meod ONK obezbeđue konzisenne ocene parameara redukovane forme šo će bii formalno pokazano u dalem izlaganu. 44 Podsećamo da e problem prilikom ocenivana parameara srukurnih ednačina izazvala korelacia koa posoi između obašnavauće promenlive i slučane greške do koe dovodi simulana međuzavisnos odnosno endogena priroda obašnavauće promenlive. Kako e već obašneno endogene promenlive su promenlive definisane unuar razmaranog sisema. Reč e o promenlivama čie kreane se može predvidei za razliku od onih koe su egzogene u odnosu na dai skup. Na ovom mesu e porebno da naglasimo razliku između pomova endogenosi i uzročnosi. Iako e formalno definisane ovih pomova predme znano složenie analize pokušaćemo da slobodnie inerpreiramo ovu razliku. Podsećamo da smo se u modelu ponude i ražne za određenim proizvodom (5.3) nedvosmisleno opredelili da cene reiramo kao endogenu promenlivu u sisemu. Međuim u raniim primerima smo porošnu funkciu ocenivali poedinačno primenuući meod ONK. Pri ome se činilo razumnim da pored raspoloživog dohoka i cene reiramo kao egzogenu promenlivu šo nie u popunosi opravdano imaući u vidu naveći bro poznaih makroekonomskih modela. Poam slabe egzogenosi se definiše u odnosu na razmarani skup promenlivih i odnosi se na one promenlive čia dinamika nie određena unuar samog sisema. Ova koncep e korišćen prilikom definisana redukovane forme sisema ednačina u koo su endogene promenlive izražene kao funkcia egzogenih i pomaknuih endogenih promenlivih. Naime u modelima vremenskih seria (važi i za uporedne podake) promenlivu X reiramo kao predeerminisanu ukoliko e X nezavisna od ekuće i budućih vrednosi slučane greške (ε +s za s 0). Odnosno ukoliko u ednačini figurišu pomaknue endogene promenlive u asimposkom smislu ih možemo reirai kao egzogene er omogućavau dobiane konzisennih ocena (dealnie razmarano u nasavku). 44 Slučana obašnavauća promenliva Y - nie korelisana sa greškom za isu opservaciu šo dovodi do oga da meod ONK dae prisrasne ali konzisenne ocene. Videi: Mladenović i Perović (207). 80
Sisemi simulanih ednačina Ovome blizak e i koncep uzročnosi koi e definisao Granger. Ukoliko prehodna vrednos promenlive Y (Y - ) uklučena u ednačinu za X ne doprinosi bolem obašnavanu kreana promenlive X ada kažemo da promenliva Y ne uzrokue promenlivu X. Sama provera posoana uzročnosi zasniva se na primeni F- esa koim se u ednačini za X ispiue opravdanos uklučivana pomaknue vrednosi promenlive Y (esiramo hipoezu da e paramear uz Y - ednak nuli). 45 Konačno ukoliko e X slabo egzogena promenliva i pri ome Y - ne uzrokue X u smislu Grangera ada e promenliva X ako egzogena. Po uzoru na Granger-ov es uzročnosi predložen e es koim se proverava egzogenos edne ili više promenlivih u sisemu. Reč e o Hausman-ovom esu specifikacie 46 čiu naednosavniu verziu obašnavamo na primeru IS- LM modela (model (5.4)). Podsećamo da e reč o modelu sa dve endogene (R i Y ) i ri egzogene promenlive (M I i M - ). Ako e prva ednačina modela definisana kao: R = α o + α M + α 2 Y + α 3 M - + ε možemo proverii da li e Y zaisa endogena promenliva. Meodom ONK možemo dobii ocenu redukovane forme za Y (Y oceneno kao funkcia konsane M I i M - ). 47 Nakon oga polaznu ednačinu proširuemo ovom ocenom iz redukovane forme ( Y ): R = α o + α M + α 2 Y + α 3 M - + λ Y + ε. (5.4a) 45 Iso važi i za više prehodnih vrednosi: Y -2 Y -3.Videi dealnie Mladenović i Noković (205) sr. 30-32. 46 Posupak esirana e u radu iz978. godine izložio Hausman ali su es sa isom osnovnom ideom nešo ranie predložili Wu (973) i Durbin (954). Ova es endogenosi e u lierauri pozna i kao Durbin-Wu-Hausman-ov es dok se u navedeno ednosavnio verzii naziva i samo Wu-ov es dodanih regresora. 47 U specifičnom slučau reč e o izboru ocenene redukovane fome kao insrumenalne promenlive za poencialno endogenu promenlivu (zapravo reč e o meodu 2SNK o kome će bii više reči u nasavku). Ovde se kao insrumeni inuiivno nameću egzogene i predeerminisane promenlive. Piane izbora insrumenaa e česo znano složenie ali se u koneksu analize podaaka vremenskih seria pomaknue vrednosi razmaranih promenlivih prirodno nameću kao adekvani insrumeni. U praksi e načešće mogućnos izbora insrumenalnih promenlivih ograničena i zavisi od specifičnosi razmaranog problema. Pri izboru insrumenalnih promenlivih israživači se rukovode porebom da insrumeni ispunavau dva obično međusobno suprosavlena zaheva da budu šo više korelisani sa promenlivom kou menau (relevannos insrumenaa) ali nekorelisani sa greškom modela (egzogenos insrumenaa). Za više deala oko izbora "opimalnih insrumenaa" kao i specifičom problemu "slabih insrumenaa" vidie dealnie u udžbeniku Greene (2008) sr. 350-352. 8
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Primenom F - esa proverava se opravdanos uklučivana dodane promenlive u razmaranu ednačinu (H 0 : λ = 0). U slučau odbacivana nule hipoeze promenlivu Y smo opravdano reirali kao endogenu dok bi e u supronom slučau svrsali u grupu egzogenih promenlivih. Opisanim posupkom moguće e poedinačno esirai endogenos svake od promenlivih u ednačini ali i poencialnu endogenos sea promenlivih. 48 Alernaivno opšii Hausman-ov es za okrivane problema endogenosi (korelisanos bar edne iz skupa obašnavaućih promenlivih i slučane greške) inerpreira se kao es koi poredi ocene dobiene meodom ONK (nekonzisenne u slučau endogenih regresora) i meodom IP (odnosno meodom dvosepenih namanih kvadraa (2SNK) o čemu govorimo u nasavku). Navedeno ilusruemo sledećom abelom koa rezimira svosva ocena u razmaranim siuaciama. 82 Tabela 5. Svosva ocena dobienih različiim meodama ocenivana Meod Egzogenos Endogenos ONK konzisenna efikasna nekonzisenna IP (2SNK) konzisenna neefikasna konzisenna U slučau važena nule hipoeze o nekorelisanosi obašnavauće promenlive i greške oba meoda dau konzisenne ocene. Ukoliko nula hipoeza nie isinia posoi značana razlika u ocenama koe dau ova dva meoda. Formalno vrđene nule hipoeze e da među ocenenim koeficienima nema sisemaske razlike ( d = αip αonk = 0 ). Tesirane se zasniva na Wald-ovo es-saisici: ( ) H = d' Asim.Var d d (5.4b) koa asimposki ima χ 2 raspodelu sa broem sepeni slobode koi e ednak brou promenlivih k * čiu endogenos ispiuemo (na primeru modela (5.4) za LM krivu k * =). Za izračunavane asimposke varianse Hausman e predložio da se asimposka kovariaciona (kovarianna) marica usled međusobne nezavisnosi ovih ocena ednosavno izračunava kao: Asim. Var ( d ) = Asim. Var αip Asim. Var αonk. 48 Za posupak esirana saisičke značanosi podskupa parameara (g) videi dealnie Mladenović i Perović (207). Y
Sisemi simulanih ednačina Odbacivane nule hipoeze znači da e bar edna od obašnavaućih promenlivih modela endogena i da e meod ONK nie adekvaan za negovo ocenivane. Problem sa primenom ove verzie Hausmanovog esa može nasai prilikom izračunavana asimposke kovariacione marice razlike d. Naime u slučau prisusva kolona koe su ise u obe marice (za egzogene promenlive koe su same sebi insrumeni) 49 navedeni posupak izračunavana komplene (uopšene) inverzne marice može bii vrlo zahevan. U om slučau se primenue ednosavnia verzia ovog esa koa proverava endogenos poedinačnih a ne celog skupa obašnavaućih promenlivih u ednačini poznaia kao Wu-ov (973) es dodanih regresora (obašnen na primeru ednačine (5.4a)). Primer 5. Primena Hausman-ovog esa u ednosavnom makroekonomskom modelu privrede SAD (model (5.2)) Primenu dve verzie Hausmanovog esa u posupku ocenivana meodom insrumenalnih promenlivih ilusrovaćemo koriseći kvaralne podake za SAD (period: 950: do 2000:4) koi su preuzei iz Greene-ovog udžbenika (2008). Posmaramo ednačinu agregane porošne privrede SAD (prva ednačina modela (5.2)): C = α o + α Y + ε pri čemu se Y odnosi na realni raspoloživi dohodak. U navedeno ednačini moguće e da posoi problem korelisanosi promenlive Y i slučane greške ε. Ukoliko ovu ednačinu posmaramo poedinačno (zanemarićemo specifikaciu komplenog sisema (5.2)) kao mogući kandida za insrumenalne promenlive nameću se pomaknue vrednosi razmaranih promenlivih: C - Y - i konsana. Na bazi 203 opservacie (gubiak edne opservacie usled korišćena pomaknuih vrednosi) model e ocenen u programskom pakeu EViews 9. Rezulai ocenivana primenom meoda ONK i IP prikazani su u nasavku. Tabela 5.2 Rezulai ocenivana ednačine porošne (C ) Meod ONK Meod IP (insrumeni za Y: Y- C- konsana) Promenliva Ocena paramera Sand. greška Ocena paramera Sand. greška konsana -5.9403 6.449-52.0283 6.449 dohodak (Y ) 0.6906 0.003 0.6906 0.003 49 Videi dealnie: Mladenović i Perović (207). 83
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Za porebe esirana poencialne endogenosi promenlive Y imamo u vidu svosva ocena sumirana Tabelom 5. i definišemo sledeće hipoeze: H 0 : Ocene dobiene na oba načina (meodama ONK i IP) su konzisenne pri čemu su ocene ONK relaivno efikasnie. H : Ocene IP su konzisenne dok meod ONK dae nekonzisenne ocene. Alernaivno navedene hipoeze možemo definisai i kao: H 0 : Ne posoi korelacia između Y i ε (Y e egzogena promenliva). H : Posoi korelacia između Y i ε (Y e endogena promenliva). U nasavku računamo saisiku Hausmanovog esa na dva opisana načina: a. U prvom koraku ocenimo Y kao funkciu konsane i pomaknuih vrednosi C - i Y -. Polaznu ednačinu proširuemo uklučivanem ove ocenene vrednosi u polaznu ednačinu (Wu-ova verzia esa videi ednačinu 5.4a): C = α o + α Y +λ Y + ε. Vrednos -saisike e 9.55 šo e veće od kriične vrednosi e odbacuemo nulu hipoezu (H 0 : λ = 0). Odbacivane nule hipoeze povrđue endogenos promenlive Y i opravdanos primene meoda IP. b. Izračunaa e vrednos Wald-ove saisike H=2.89 (Hausmanova verzia esa videi 5.4b) 50 kou poredimo sa kriičnom vrednošću χ 2 sa ednim sepenom slobode (k*=) koa e 3.84. Takođe odbacuemo nulu hipoezu i zaklučuemo da posoi korelacia između Y i ε odnosno da e Y porebno reirai kao endogenu promenlivu. Na krau sumiramo sledećom abelom moguće siuacie u posupku ocenivana ekonomeriskog modela. 50 Napominemo da programski pake EViews u okviru esa endogenosi navedeno raporira kao J-saisiku (izračunau na bazi razlike ocena dobienih primenom dva meoda ocenivana) i pridruženu verovanoću. 84
Sisemi simulanih ednačina Tabela 5.3 Specifikacia modela i mogućnosi dobiana pouzdanih ocena Modeli poedinačne ednačine Modeli simulanih ednačina. Jedna ednačina. Više od edne ednačine (sisem ednačina) 2. Primer porošne funkcie: 2. Primer porošne funkcie: C = α 0 + α Y + ε C = α 0 + α Y + ε Y = C + I 3. Moguće ocenii meodom ONK 3. Nie uvek moguće ocenii meodom ONK 4. Moguće e ocenii nepoznae paramere 4. Nie uvek moguće ocenii paramere poedinačne ednačine poedinačne ednačine 5.3. Srukurna redukovana i finalna forma modela Tri razmarana primera simulanih ednačina predsavlau srukurnu formu. Reč e o sisemu ednačina u kome su endogene promenlive funkcia drugih endogenih egzogenih i predeerminisanih promenlivih (pomaknuih endogenih promenlivih) kao i slučane greške. Na primeru razmaranog makroekonomskog modela (5.2) uočavamo da su sve ri ednačine određene drušvenim proizvodom iz ekućeg i prehodnog perioda državnom porošnom kao i da e sisem simulano međuzavisan. U opšem obliku srukurnu formu modela moguće e zapisai koriseći maričnu noaciu: y' Γ+ x' Β= ε' (5.9) ' gde e u M ednačina sa y obeležen vekor od M endogenih promenlivih (y ' y 2...y M ). Sa x obeležen e vekor od K egzogenih promenlivih koe mogu ' uklučivai i predeerminisane promenlive (x x 2...x K ) dok e sa ε označen vekor slučanih greški (ε ε 2... ε M ). Pri ome Γ e marica parameara ekućih vrednosi endogenih promenlivih (dimenzia M x M) a B marica parameara predeerminisanih promenlivih (dimenzia M x K). Koriseći navedenu noaciu razmarani sisem dale razviamo: 85
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena γ γ2 γ M β β2 β M γ2 γ22 γ 2 β2 β22 β 2M 2 M + 2 K = ' ' γ γm γm2 γ MM x βk βk2 β KM [ y y y M ] [ x x x ] = [ ε ε ε ] 2 M ' ε. Γ Β (5.0) Ekonomska eoria i princip ekonomičnosi u formulacii modela posavlau ograničena na paramere marica Γ i B. Jedna od promenlivih u svako od ednačina e zavisna i odgovaraući koeficien u marici Γ biće ednak edinici. Na a način bar edan od koeficienaa u svako koloni marice Γ biće ednak pri čemu normalizacia nie od sušinskog značaa za posupak ocenivana daog sisema. U definicionim ednačinama odgovarauće kolone u maricama Γ i B su sasvim poznae i u nima nie prisuna slučana greška. Pri ome uočavamo da se svaka kolona marice parameara odnosi na koeficiene određene ednačine a svaki red se odnosi na određenu endogenu promenlivu. Koriseći navedenu noaciu (5.0) razmarani makroekonomski model (5.2) posae: C 0 α0 β0 0 ε I 0 + Y 0 β2 0 = ε 2 Y α β G 0 0 0 y Γ x Β ε gde e y = (C I Y ) a x = ( Y - G ). Transponovanem izraza (5.9) dobia se: ' ' Γ +Β = y x ε. Da bismo u opšem slučau mogli da ocenimo nepoznae paramere sisema neophodno e da formiramo sisem ednačina u kome su endogene promenlive y izražene kao funkcia egzogenih promenlivih x i slučanih greški ε. Navedeni sisem predsavla redukovanu formu modela i dobia se množenem s desna srukurne forme modela (5.9) maricom Γ - : y = x ΒΓ + ε Γ 86
Sisemi simulanih ednačina odnosno: y = x Π+ v. (5.) Marica Π označava maricu parameara redukovane forme (dimenzia M x K) dok e v vekor slučanih grešaka redukovane forme. Veza sa srukurnom formom daa e kroz relacie: Π= ΒΓ i v' = ε' Γ. (5.2) Nakon ransponovana izraza (5.) redukovana forma posae: ' y =Π x + v. (5.3) Sisem e moguće rešii na ova način ukoliko e komplean odnosno uz uslov da marica Γ nie singularna. Navedeno prakično znači da bro ednačina mora bii ednak brou endogenih promenlivih. 5 Za vekor slučanih greški srukurne forme važi da posedue višedimenzionu normalnu raspodelu sa vekorom sredne vrednosi 0 i kovariacionom maricom Σ: Ε ε x = 0 i Ε εε' x =Σ uz preposavku o odsusvu auokorelacie i heeroskedasičnosi grešaka ednačina: Ε εε s' x xs = 0 za s. Tada na osnovu relacie (5.2) ν ' =ε ' Γ - za greške redukovane forme važi sledeće: ' ( ) 0 0 ( ) ' Ε v x = Γ = i Ε vv ' x = Γ Σ Γ =Ω ' odakle sledi da e Σ = Γ ΩΓ. 5 U nekomplenom sisemu moguće e ocenii neke ne i sve nepoznae paramere. Formalni uslov idenifikovanosi (uslov ranga) obašnavamo u nasavku. 87
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Prema uzorku od T opservacia srukurnu formu e moguće izrazii kao: YΓ + XΒ=Ε (5.4) Ε EX = 0 iε Т Ε' Ε X =Σ. pri čemu e: ( ) Pri ispunenim opšim preposavkama ovo e moguće zapisai kao: plim ( T) ΕΕ=Σ ' ] šo odgovara izrazu na osnovu koga se pokazue svosvo konzisennosi ocena ONK u uslovima ispunenosi preposavki KLPM: plim ( T) X' X] = Q gde e sa Q obeležena nesohasička poziivno definisana marica. 52 Takođe preposavlamo da e ispuneno: ( ) plim T X' E = 0 (5.5) odnosno da obašnavauće promenlive nisu korelisane sa slučanom greškom. Važene ednakosi (5.5) pravi razliku između predeerminisanih i endogenih promenlivih. Na ova način pokazano e da se parameri redukovane forme izraženi maricom Π mogu konzisenno ocenii meodom ONK. Razvieni oblik sisema u redukovano formi e: π π π 2 M π2 π22 π 2M = [ 2 K] + [ 2 M] y x x x v v v x ' π π π v ' K K2 KM Π. (5.6) Na primeru makroekonomskog sisema (5.2) definišemo opši oblik redukovane forme u razvienom obliku: C = π + π Y + π G + ν 2 3 I = π + π Y + π G + ν 2 22 32 2 Y = π3 + π23y + π33g + ν3 (5.7) 88 52 Videi: Mladenović i Perović (207).
Sisemi simulanih ednačina gde e π i paramear redukovane forme u -o ednačini (=2 i 3) uz i-u predeerminisanu promenlivu (i=2 i 3) dok su greške u ednačinama redukovane forme označene sa ν. Podseimo se izraza (5.6) u kome su endogene promenlive izražene u funkcii egzogenih promenlivih i parameara srukurne forme. Ukoliko uporedimo zapise (5.6) i (5.7) asno uočavamo da posoi odgovarauća veza parameara redukovane forme sa paramerima srukurnog modela kao i da su greške u ednačinama redukovane forme (ν ) linearna kombinacia grešaka iz polaznog modela (ε i ε 2 ). Na primeru makroekonomskog modela (5.2) veza parameara u srukurno formi sa paramerima redukovane forme izražena e kao: ( ) α0 β + αβ0 αβ 2 α α β α β α β π π2 π3 ( α) β0 + α0β ( α) β2 β ' π2 π22 π 32. π 3 π23 π α 33 β α β α β α0 β + 0 β2 α β α β α β (5.8) Π = = Slično moguće e izrazii greške u redukovano formi i kao funkciu grešaka polaznog modela: ( ) β ε + αε2 α β =. α β v βε + ( α) ε2 v2 v α 3 β ε + ε2 (5.9) Marica parameara redukovane forme Π može se konzisenno ocenii meodom ONK. Parameri redukovane forme su funkcia srukurnih parameara polaznog sisema i mere ukupan uica (zbir direknog i indireknog) promene predeerminisanih promenlivih na endogene. Na a način e obuhvaćena međuzavisnos svih razmaranih promenlivih unuar definisanog sisema ednačina. Jasno e da se indirekni uica može posredno izračunai kao razlika između ovako merenog ukupnog uicaa i direknog koi odražavau srukurni parameri. Pored oga ocenena redukovana forma korisi se za predviđane i izračunavane muli- 89
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena plikaora o čemu sledi dealnie obašnene. Ove ocene se dale korise u različiim posupcima koi su predloženi za dobiane konzisennih ocena srukurnih parameara (videi u nasavku meod INK IP odnosno meod 2SNK). Redukovana forma u maričnom zapisu (5.) se može izrazii ako da se u okviru vekora X odvoeno posmarau pomaknue endogene (y - ) i egzogene (w ) promenlive. Odvaa se i efeka pomaknuih egzogenih promenlivih (w - ) ukoliko su prisune u polaznom sisemu ednačina. Na ova način redukovana forma posae: y = y Π + wπ 2 + w Π 3 + v (5.20) pri čemu su radi ednosavnieg zapisivana zanemarene konsane. Marice Π Π 2 i Π 3 izražavau marice koeficienaa redukovane forme uz odnosne promenlive. Efeka delovana egzogene promenlive predsavlen e odgovaraućim koeficienima marica Π 2 (ekući efeka) i Π 3 (efeka iz prehodnog perioda). Međuim efeka iz prehodnog perioda prisuan e i u marici Π koa sadrži indirekne efeke ovih promenlivih. Ukupan efeka egzogene promenlive na endogenu posle ednog perioda dobiamo zamenom eksplicinog izraza za redukovanu formu promenlive y za renuak (-) odnosno zamenom y - na desnu sranu ednačine. Razvianem izraza (5.20) dobia se: ( y Π + w Π + w Π + v ) Π + w Π + w Π v y + = 2 2 2 3 2 iz čega vidimo da e složeni efeka posle ednog perioda ednak zbiru parameara uz egzogene promenlive sa pomakom edan (w - ) i izračunava se kao ( 2 + 3 ). Rekurzivnom zamenom unazad izraza za redukovanu formu pomaknuih endogenih promenlivih dolazimo do finalne forme modela koa nam omogućava da sagledamo efeke egzogenih promenlivih kako ekućih ako i nakon određenog broa perioda na odnosnu endogenu promenlivu. Dinamički muliplikaor predsavla zbir ekućih efekaa egzogene promenlive i složenih efekaa koi su mereni paramerima uz egzogene promenlive sa docnama. Jednosavno se pokazue da e ekući efeka meren odgovaraućim ocenama marice 2 dok se složeni efeka posle ednog dva ri i više perioda od ineresa izračunava kao: ( 2 + 3 ) ( 2 + 3 ) 2 ( 2 + 3 ) id. 3 90
Sisemi simulanih ednačina Ukupan efeka (ili ravnoežni muliplikaor) dobia se sabiranem ekućeg efeka i beskonačne serie složenih efekaa: '2 ( I ) ( ) ( ) ( ) ' ( ' 2' ' 2' 3' ) ( ' ) ( 2' 3' ). U =Π 2' + +Π ' +Π + Π' Π 2' +Π 3' =Π 2' + Π' Π' Π 2' +Π3' = I Π I Π Π +Π Π +Π = I Π Π +Π ( ) ( ) Iz relacie (5.20) izvodi se uslov sabilnosi modela simulanih ednačina. Naime model e sabilan ukoliko su sve karakerisične vrednosi marice po modulu mane od. Veličina i znak ovih karakerisičnih vrednosi ukazuu na brzinu i način približavana ravnoežnom položau. Približavane e uoliko duže ukoliko su karakerisične vrednosi po apsoluno vrednosi bliže edinici. Pri ome uica egzogene promenlive na endogenu može s vremenom opadai eksponencialno ili oscilaorno (odgovara poziivnim odnosno negaivnim vrednosima karakerisičnih rešena). Predviđane budućih vrednosi endogenih promenlivih vrši se akođe na osnovu ocenene redukovane forme. Slično posupku izračunavana muliplikaora polazimo od ocenene redukovane forme u koo zamenuemo obašnavauće promenlive iz ednog ili više perioda unapred. Pri ome važno e napomenui da se predviđane vrši za unapred poznae buduće vrednosi egzogenih promenlivih dok se vrednosi endogenih promenlivih za naredni period predviđau iz ocenenih ednačina redukovane forme. Razmorimo posupak predviđana poedinačnih ednačina srukurnog modela (direkno se uopšava za ceo sisem koriseći maričnu noaciu). Preposavimo da e iz opšeg oblika ocenene redukovane forme makroekonomskog sisema (5.7) porebno predvidei porošnu za dva perioda unapred. Predviđane se vrši iz ocenene redukovane forme za period (+2): + 2 = π+ π2 3. + + π + 2 C Y G Vrednos dohoka Y u periodu (+) predviđamo iz ocenene redukovane forme za u promenlivu dok e buduća vrednos egzogene promenlive za renuak (+2) unapred preposavlena (poznaa). Primer 5. (nasavak) Na primeru ednosavnog makroekonomskog modela (5.2) ilusrovaćemo posupak predviđana nivoa porošne i invesicia privrede SAD-a za prvi i drugi kvaral 200. godine. Reč e o već korišćenim realnim agreganim podacima preuzeim iz udžbenika Greene (2008). Preposavimo da e u narednim kvara- 9
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena lima predviđeno povećane državnih rashoda od po ednog procennog poena. Na osnovu posledneg raspoloživog podaka za nivo državnih rashoda u čevrom kvaralu 2000. godine (G =5828) izračunavamo planirani nivo budžeske porošne u narednim periodima: G + =5986 i G +2 =646. U programskom pakeu EViews 9 primenom meoda ONK ocenene su sledeće redukovane forme ednačina razmaranog sisema: C = -9893 + 0 720 Y -0728 G I = 355846 + 0345 Y -09084 G Y = 84802 + 04 Y -00447 G. Na osnovu ocenene redukovane forme reće ednačine predviđamo nivo BDP za prvi kvaral 200. godine: Y = 84802 + 04 Y -00447 G =938208. + + Koriseći predviđenu vrednos endogene promenlive (Y ) kao i preposavku o budućem rasu egzogene promenlive (G ) moguće e predvidei nivo porošne u naredna dva kvarala: C = -9893 + 0720 Y -0728 G = 634 56 + + C = -9893 + 0720 Y -0728 G = 6395 47. + 2 + + 2 Slično moguće e predvidei i nivo invesicia u narednim periodima: I = 355846 + 0345 Y -09084 G = 609 493 + + I = 355846 + 0345 Y -09084 G = 69 555. + 2 + + 2 92 Rekurzivni modeli simulanih ednačina U nasavku obašnavamo specialni sluča sisema simulanih ednačina. Reč e o sisemu u kome e marica parameara uz endogene promenlive Γ ' dona rougaona marica i akav model nazivamo rekurzivnim. Tada e endogena promenliva prve ednačine funkcia samo egzogenih promenlivih. U drugo ednačini se pored egzogenih kao obašnavauća promenliva može poavii i
Sisemi simulanih ednačina endogena definisana prvom ednačinom i ako redom. Rekurzivni sisem ednačina se može predsavii na sledeći način:... ( ) ε ( ) y = f x + y f y x 2 = 2 + ε2 ( ) y = f y y... y x + ε. M M 2 M M (5.2) U uslovima važena uobičaenih preposavki o nekorelisanosi grešaka različiih ednačina ednačine ovog modela moguće e ocenii meodom običnih namanih kvadraa. Jednosavan primer rekurzivnog sisema predsavla sledeći model koi čine ednačine cena i zarada: P = α 0 + α W - + α 2 R + α 3 M + α 4 L + ε W = β 0 + β UN + β 2 P + ε 2 pri čemu e P sopa promene cene po edinici proizvoda (prva diferenca odnosne vremenske serie) W sopa promene zarada po zaposlenom R sopa promene cene kapiala M sopa promene uvoznih cena L e sopa promene produkivnosi rada dok e UN sopa nezaposlenosi (u %). 53 Jednosavno se pokazue da e marica Γ ovog modela predsavlena rougaonom maricom kao i da ocene dobiene meodom ONK nisu prisrasne usled simulane međuzavisnosi. Prema umačenu nekih ekonomisa većina sisema u ekonomsko svarnosi ese rekurzivna er neminovno posoi izvesno kašnene u reakcii nekih od učesnika u ekonomskom živou. Ukoliko posmaramo primer ravnoeže cena i količine na ržišu (5.3) realno e preposavii da posoi izvesan period prilagođavana ražne na promenu cena ali i promena u kreanu zaliha e prilagođavane prodane cene u narednom periodu. Iz og razloga zaklučak o endogenosi neke promenlive može bii različi i u zavisnosi od frekvencie podaaka koe korisimo u israživanu (razmarana promenliva može bii endogena ukoliko modeliramo na bazi godišnih podaaka a egzogena ako relaciu ocenuemo na mesečnim podacima). 53 Primer e preuze iz udžbenika Guarai (995) sr. 68-682. 93
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena 5.4. Problem idenifikacie Sisem simulanih ednačina e moguće ocenii ukoliko e svaka ednačina sisema idenifikovana odnosno ima edinsvenu saisičku formu. Pri ome neophodno e da su ocene nepoznaih parameara srukurne forme dobiene na osnovu podaaka iz uzorka edinsvene. Kako e već obašneno konzisenne ocene parameara redukovane forme moguće e dobii primenom meoda ONK. Na primeru makroekonomskog modela (5.2) o bi značilo da primenom meoda ONK možemo izračunai ocene parameara π i (5.7). Podsećamo da e veza između parameara srukurne i redukovane forme definisana kao: Π= Γ ' ' Β ' odnosno B 0 Γ' Π+ ' ' =. (5.22) Posavla se piane da li e iz ocenenih parameara redukovane forme moguće dobii konzisenne ocene parameara u srukurno formi (paramere α i β). Ukoliko analiziramo redukovanu formu makroekonomskog modela ((5.6) odnosno (5.8)) asno se uočava da e ocenu paramera β iz ocenenih parameara redukovane forme moguće dobii na edinsven način kao: β π 32 α β β = =. π 33 α β Međuim ocenu granične sklonosi ka porošni α e iz ocenenih parameara redukovane forme moguće dobii na više načina na primer: α π 3 α β α = = π 33 α β ali i αβ 2 π 2 α β α = =. π β 23 2 α β Pored razmaranih posoe siuacie kada nie moguće izračunai ocenu parameara srukurne forme iz ocenenih parameara redukovane forme. Da rezimiramo ono šo smo pokazali na primerima. Prilikom razmaranog posupka indireknog izračunavana parameara srukurne forme razlikuemo ri moguće siuacie:. Paramere srukurne forme nie moguće ocenii iz veze sa ocenenim paramerima redukovane forme; 94
Sisemi simulanih ednačina 2. Parameri srukurne forme se mogu ocenii i dobiene ocene su ednoznačne; 3. Parameri srukurne forme se mogu ocenii pri čemu se dobia više mogućih rešena. Mogućnos dobiana rešena za paramere srukurne forme preko ocenenih parameara redukovane forme naziva se idenifikacia. U prvom slučau za ednačinu srukurne forme kažemo da e neidenifikovana (nedovolno idenifikovana). U drugom i rećem slučau ednačine esu idenifikovane. Koncep idenifikovanosi dozvolava da ednačina bude ačno idenifikovana ili prekomerno idenifikovana. Navedenim siuaciama odgovarau izvesni odnosi između broa parameara u srukurno ednačini koa se ocenue i broa egzogenih promenlivih u sisemu. Ukoliko e bro parameara u srukurno ednačini veći od broa parameara u redukovano formi nemoguće e ocenii ednačinu odnosno ednačina e nedovolno idenifikovana. Jedinsvena rešena se dobiau ukoliko e bro parameara srukurne ednačine ednak brou parameara u redukovano formi kada e ednačina ačno idenifikovana. Jednačina e prekomerno idenifikovana kada e bro parameara srukurne forme mani od broa parameara redukovane forme. 5.5. Formalni uslovi idenifikacie Razlikuemo dva uslova idenifikacie ednačina sisema: uslov reda i uslov ranga. Pri ome uslov reda e poreban dok e uslov ranga poreban i dovolan uslov za idenifikaciu. Dovolan uslov zaheva da svaka ednačina sisema ima edinsvenu saisičku formu odnosno da se ne može dobii ransformaciom ili linearnom kombinaciom preosalih ednačina u sisemu. Uslov reda nam omogućava da napravimo razliku između ačno i prekomerno idenifikovanih ednačina srukurne forme. Za ceo sisem kažemo da e idenifikovan ukoliko e svaka od ednačina sadržanih u sisemu idenifikovana. Za porebe formalnog definisana uslova idenifikacie po ugledu na Greene (2008) polazimo od izraza za poedinačnu ednačinu sisema. Proizvolna - a ednačina sisema se može definisai kao: y' Γ + x' Β = ε 95
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena pri čemu paramere -e ednačine čine parameri sadržani u -im kolonama marice Γ i B. U navedeno ednačini podrazumeva se da e edan od elemenaa u koloni Γ ednak edinici (uz endogenu promenlivu koa e definisana razmaranom ednačinom) kao i da se promenlive izosavlene iz e ednačine mogu poavii u preosalim ednačinama sisema. Ukoliko e koeficien uz y u razmarano -o ednačini ednak ukupan bro preosalih endogenih promenlivih u sisemu e (M-) i podelićemo ih na one zasuplene u ednačini (M ) i one izosavlene iz ednačine (M * ). U om slučau ukupan bro ednačina sisema se može izrazii kao: M=M * +M +. Slično ome ukupan bro predeerminisanih promenlivih K e ednak zbiru izosavlenih (K * ) i onih koe su zasuplene u -o ednačini (K). Koriseći uvedenu noaciu -a ednačina se može nešo drugačie zapisai kao: y = Y ' γ + Y ' γ + x ' β + x ' β + ε * * * *. Izosavlane promenlive podrazumeva ograničene da e γ * =0 i β * =0 pri čemu odgovarauće kolone marica Γ i B posau: Γ ' = γ ' 0' i Β ј ' = β ' 0'. Polazeći od maričnog izraza za paramere redukovane forme sisema ednačina (5.22): Π Γ= Β u proizvolno -o ednačini množenem sa -om kolonom marice Π dobiamo da važi: Π Γ = Β Koriseći paricie marice parameara redukovane forme (odvaaući razmaranu ednačinu i preosalih M i M * ednačina) za proizvolnu -u ednačinu važi: * () ( M ) ( M ) π Π Π β * γ = π 0 Π Π 0 * *. 96
Sisemi simulanih ednačina pri čemu se oznaka (*) odnosi na izosavlene promenlive odnosno ograničena u marici parameara redukovane forme. Množenem dobiamo dva podskupa ednačina prvi koi se odnosi na K a drugi na K * ednačina: ( I ) ( II ) ( ) ( M ) π Π γ = β * * π Π γ = 0. Relaciu (II) koa se odnosi na sisem od K * ednačina sa M nepoznaih drugačie zapisuemo kao: Π * γ = π *. Ukoliko e na osnovu og podsisema ednačina moguće izračunai vrednos za γ onda e moguće rešii sisem (I) odnosno dobii rešene za β i ada kažemo da e ednačina idenifikovana. Uslov reda za idenifikaciu -e ednačine formalno se definiše kao: K * M odnosno bro egzogenih promenlivih isklučenih iz -e ednačine ne sme bii mani od broa endogenih promenlivih uklučenih u u ednačinu. Uslovom ranga se posavlau ograničena na podmaricu marice parameara redukovane forme ako da mora bii ispuneno sledeće: * * * rang π Π ј = rang Π ј = М ј. Napre ćemo obasnii uslov reda. Ako e M bro endogenih promenlivih u sisemu (bro ednačina) dok e R bro promenlivih koe su isklučene iz posmarane ednačine (mogu bii endogene egzogene ili pomaknue endogene promenlive) prema uslovu reda važi sledeće: a) ako e R < M - ednačina e nedovolno idenifikovana; b) ako e R = M - ednačina e ačno idenifikovana i c) ako e R > M - ednačina e prekomerno idenifikovana. 97
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Podsećamo da e uslov reda poreban ali ne i dovolan uslov idenifikacie. Naime ednačina e nedovolno idenifikovana ukoliko e o uvrđeno prema uslovu ranga dok se idenifikovanos (ačna i prekomerna) može naknadno usanovii prema uslovu reda. Za prakično ispiivane idenifikovanosi po uslovu ranga porebno e formirai abelu sa kolonama za svaku promenlivu i redovima za svaku ednačinu sisema. U svako ednačini sa (+) označimo kolonu koa se odnosi na promenlivu koa e zasuplena u razmarano ednačini dok upisuemo (0) u supronom slučau. Nakon oga za svaku od ednačina porebno e sprovesi sledeći posupak: a. Isklučii (izosavii) red koi se odnosi na razmaranu ednačinu; b. Prepisai elemene sadržane u drugim ednačinama koi se nalaze u koloni koa odgovara oznaci 0 u razmarano ednačini. Drugim rečima prepisuemo ono šo se u drugim ednačinama nalazi na mesu gde posoi ograničene u ednačini čiu idenifikovanos ispiuemo. c. Ukoliko u ako formirano marici posoi bar (M-) red ili kolona u koo nemamo sve nule ednačina e idenifikovana (rang ako formirane marice e M-). U supronom ednačina e nedovolno idenifikovana. Primer 5. (nasavak) Posupak ispiivana idenifikovanosi ilusrovaćemo na primeru makroekonomskog modela (5.2). Za porebe provere uslova idenifikacie na opisan način formiramo sledeću abelu sa kolonama za svaku promenlivu i redovima za svaku od ednačina sisema. Tabela 5.4 Posupak ispiivana idenifikovanosi ednačina sisema (5.2) Promenliva C I Y Y- G. ednačina-porošna + 0 + + 0 0 2. ednačina-invesicie 0 + + + + 0 3. ednačina-dr. proizvod + + + 0 0 + Ispiivanem uslova reda ednosavno se pokazue da e prema ovom uslovu prva ednačina prekomerno a druga ačno idenifikovana. Naime bro ograničena (bro nula) u prvo ednačini e veći od broa endogenih promenlivih minus 98
Sisemi simulanih ednačina edan (R>M- odnosno 3>2) dok e u drugo ednačini ednak ovom brou (R=M- odnosno 2=2). Ispiivane uslova ranga za prvu ednačinu svodi se na ispiivane ranga marice: + + 0 + 0 + koa očigledno ima rang ednak M-=2. Razmarana marica formirana e od elemenaa iz abele koi se nalaze u preosale dve ednačine a izosavleni su iz prve ednačine. Dakle prema uslovu ranga prva ednačina e idenifikovana dok nam e uslov reda ukazao da e prekomerno idenifikovana. Slično ome analiziramo uslov ranga druge ednačine: + 0. + + Rang ove marice e akođe ednak dva e e i ednačina invesicia idenifikovana. Prema krieriumu reda reč e o ačno idenifikovano ednačini. Na a način smo pokazali idenifikovanos celog sisema (5.2) er su obe ednačine ponašana koe ga formirau idenifikovane. 5.6. Meodi ocenivana poedinačnih ednačina Meodi ocenivana sisema simulanih ednačina mogu se podelii na meode ocenivana poedinačnih ednačina (meodi sa ograničenom informaciom) i meode ocenivana celog sisema isovremeno (meodi sa popunom informaciom). U svako od ovih kaegoria razlikuemo meode namanih kvadraa i meode maksimalne verodosonosi. Predme dealnieg razmarana u okviru ovog poglavla biće meodi ocenivana poedinačnih ednačina primenom meoda namanih kvadraa. Reč e o meodama koe obezbeđuu dobiane konzisennih ocena a koe se zbog ednosavnosi primene i mane oselivosi ocene na prisusvo različiih grešaka specifikacie preporučuu u prakično primeni. Izbor meoda ocenivana poedinačnih ednačina u simulanom modelu uslovlen e prehodnim ispiivanem idenifikacie ednačine. Ocena nie moguće dobii u slučau nedovolno idenifikovanih ednačina. Ilusrovali smo da e u slučau idenifikovanih ednačina moguće dobii ocene srukurnih parameara iz 99
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena veze sa ocenenim paramerima redukovane forme. Reč e o meodu indireknih namanih kvadraa (INK) koi kao rezula dae prisrasne ali konzisenne ocene. Sam posupak INK podrazumeva sledeće korake:. Formuliše se redukovana forma ednačine odnosno svaku od endogenih ednačina izrazimo kao funkciu egzogenih promenlivih u sisemu; 2. Primenom meoda ONK ocenue se redukovana forma sisema; 3. Iz veze srukurnih parameara sa ocenenim paramerima redukovane forme dobiau se edinsvene ocene u slučau ačno idenifikovanih ednačina. Samo u siuacii koa e reka u realnosi kada su sve ednačine sisema ačno idenifikovane primena meoda INK dae konzisenne ocene koe su pri ome asimposki efikasne i poseduu asimposki normalnu raspodelu. U prakično primeni meod INK e prevaziđen iz više razloga. Kada se sisem sasoi od većeg broa ednačina sam posupak izračunavana se značano komplikue usled dobiana složenih izraza za redukovanu formu u funkcii parameara srukurne forme. Pored oga u praksi se pokazalo da e većina analiziranih srukurnih ednačina prekomerno idenifikovana šo ova meod čini neadekvanim za nihovo ocenivane. Tačno idenifikovane ednačine se alernaivno mogu ocenii i meodom dvosepenih namanih kvadraa (2SNK). Reč e o načešće korišćenom meodu koi obezbeđue konzisenne ocene u slučau idenifikovanih ednačina (bilo ačno ili prekomerno idenifikovanih) pripada opšio/širo klasi meoda insrumenalnih promenlivih (IP). Polazimo od srukurne forme proizvolne -e ednačine koa e na uzorku od T podaaka definisana kao: y' Γ + x' Β = ε. (5.23) Relacia (5.23) odnosi se na paramere razmarane ednačine koi se nalaze u - im kolonama marica Γ i B. Razdvaaući desvo endogenih i predeerminisanih promenlivih ova ednačina se može i nešo drugačie zapisai kao: y = Y γ + X β + ε = W δ + ε (5.24) gde e sa W obeležena marica obašnavaućih promenlivih u srukurno formi. 200
Sisemi simulanih ednačina Kako e ranie pokazano zbog korelisanosi obašnavaućih promenlivih sadržanih u W sa slučanom greškom ε meod ONK dae nekonzisenne ocene paramera δ. Uočavamo da marica obašnavaućih promenlivih srukurne forme (W ) uklučue i endogene (Y ) i predeerminisane (X ) promenlive odakle proizilazi sledeća paricia marice obašnavaućih promenlivih W = [Y X ]. Naopšii meod koi obezbeđue dobiane konzisennih ocena e meod insrumenalnih promenlivih. Preposavimo da marica Z (dimenzia T x (M +K)) ispunava porebne uslove da bude marica insrumenaa: ( ) ( ) ( ) plim T Z ' W =Σ konačna nesin gularna marica ZW plim T Z ' ε = 0 plim T Z ' Z =ΣZ Z poziivno definina marica. (5.25) Tada su ocene srukurnih parameara δ meodom IP: 54 δ = Z ' W Z ' y. IP (5.26) Na ova način dobiene su konzisenne ocene sa asimposkom kovariacionom maricom ocene vekora ˆ δ : σ Asim. Var IP δ = plim Z ' W Z ' Z W ' Z T T T T σ = ΣZW ΣZZ Σ W Z T (5.27) ako da se odgovarauća konzisenna ocena varianse izračunava na uobičaen način: σ y Wδ IP ' y Wδ IP =. T (5.28) 54 Videi dealnie o meodu IP u Mladenović i Perović (207). 20
Odabrane ekonomeriske eme meodologia i primena Predloženo e da se u prakičnom radu korigue bro sepeni slobode u broiocu (sugesia e da se umeso T korisi T-M -K ) s im da ova korekcia nie od sušinskog značaa u asimposkom smislu. Kako e ranie pomenuo načešće primenivan meod ocenivana sisema simulanih ednačina ese meod dvosepenih namanih kvadraa (2SNK). Reč e o meodu IP gde se kao specifični insrumeni korise ocene endogenih promenlivih iz redukovane forme: ( ) Y = X X' X XY = X Π. (5.29) Moguće e pokazai da u odsusvu heeroskedasičnosi i auokorelacie grešaka srukurnih ednačina upravo ove ocene endogenih promenlivih u funkcii egzogenih promenlivih (ocenene redukovane forme) predsavlau naefikasnie insrumene. 55 Ocene meodom 2SNK izračunavau se na sledeći način: ' ' δ ' 2SNK = Y Y Y X Y y X ' Y X ' X X ' y (5.30) gde e Y ˆ oznaka za ocenu endogene promenlive na osnovu redukovane forme. Ovde e važno naglasii da primena ovog meoda zaheva da ednačina bude idenifikovana. Ukoliko ednačina nie idenifikovana po oba uslova ocene srukurne ednačine se ne mogu izračunai. Ukoliko ednačina zadovolava uslov reda ali ne i uslov ranga dobiene ocene nisu konzisenne. Ocene meodom 2SNK možemo dobii i kao: δ 2SNK Y ' Y Y ' X = Y ' y. X ' ' X ' y Y X X (5.3) 202 55 Videi dealnie: Greene (2008).
Sisemi simulanih ednačina Ovo korisno poednosavlene izraza za ocene 2SNK (5.30) posledica e važena ednakosi: Y ' Y = Y ' Y (marica X(X'X) - X'=(I-M) e idempoenna) i X ' Y = X ' Y (važi da e X ' (X ' X) - X ' = X ' ). Na a način dolazimo do izraza (5.3) koi predsavla direknu primenu meoda ONK u regresii y na Y i X. Samo ime meode 2SNK e posledica pokazanog odnosno posupak se sasoi iz dve uzasopne primene meoda ONK:. U prvom koraku se endogena promenliva Y ocenue meodom ONK u funkcii egzogenih promenlivih X. Na a način iz redukovane forme (5.30) dobiamo oceney. 2. U narednom koraku se po drugi pu primenue meod ONK i ocenue srukurna forma ednačine u koo se endogene promenlive menau sopsvenim ocenama iz redukovane forme koe su dobiene u prehodnom koraku. Naime ocene ˆ δ se dobiau meodom ONK u regresii y na Y i X (5.3). Ilusrovaćemo primenu meoda 2SNK na primeru makroekonomskog sisema (5.2). Polazimo od ednačine porošne: C = α 0 + α Y + ε u koo bi direkna primena meoda ONK dala prisrasne i nekonzisenne ocene. Kako e pokazano problem predsavla korelisanos obašnavauće promenlive Y sa slučanom greškom ε. Iz og razloga promenlivu Y ćemo zamenii nenom ocenom iz redukovane forme koa se dobia primenom meoda ONK na redukovanu formu modela (5.7).. Prvi korak e ocenivane ednačine redukovane forme za Y meodom ONK i dobiane ocenenih vrednosi: Y π π Y π G = 3 + 23 + 33. 2. U drugom koraku meodom ONK ocenuemo sledeću ednačinu porošne: C = α + α Y + ε 0 203