taip: Q m : m Z, n N, t.y. aibę sudaro trupmenos n

Transcript

1 SKYRIUS AIBĖS IR FUNKCIJOS Aibės ir jų veiksmi Kiekvieme gmtos moksle esm tiek tiesos, kiek esm mtemtikos IKts Aibės sąvok mtemtikoje likom pirmie, es legvi suvokim ir eturi pibrėţimo Ji vrtojm ir ksdieiime gveime, ki klbm pie kurį ors objektų rikiį Objekti, sudrts miėtą rikiį, vdimi ibės elemetis Aibės ţmimos didţiosiomis lotiškomis ridėmis, o jų elemeti mţosiomis Norėdmi pskti, kd r ibės A elemets, ršsime A ( prikluso ibei A) Jeigu ėr ibės B elemets, ti ršsime B ( eprikluso ibei B) Aibės skirstomos į bigties ir beglies Bigtiės ibės elemetus glim išvrditi, pvzdţiui, skičių ibė A ;;;6 turi keturis elemetus skičius,, ir 6, kurie ršomi trp riestiių skliustų N ;;; r tūrliųjų skičių ibė, Z ; ; ;;;; sveikųjų skičių ibė Šių ibių visų elemetų išvrditi eglim, ti begliės ibės Dţi ibės pibūdimos urodt sąlgs, kuris turi tekiti ibės elemeti, pvzdţiui rcioliųjų skičių ibė uţršom tip: Q m : m Z, N, t ibę sudro trupmeos m, kurių skitiklis r sveiksis skičius, o vrdiklis tūrlusis skičius Skičii, kurių tokiomis trupmeomis eglim uţršti, vdimi ircioliisiis, pvzdţiui, ; 5; ; e Rciolieji ir irciolieji skičii krtu sudro reliųjų skičių ibę R= Q I ( pv) Aibė, kuri eturi ei vieo elemeto, vdim tuščiąj ibe ir ţmim Skom, kd ibė A r ibės B poibis (ţmim A B ), jeigu visi ibės A elemeti r ir ibės B elemeti Iš pveikslėlio mtti, kd N Z Q R Skom, kd ibės A ir B r lgios (ţmim A=B), jei A B ir B A Aibių A ir B sąjug vdim ibė A B, sudrt iš elemetų, priklusčių bet viei iš ibių A ir B Immuel Kt (7 8) Prūsijos filosofs, klsikiės vokiečių filosofijos prdiiks

2 pv Reliųjų skičių ibė R= Q I Aibių A ir B skirt vdim ibė A B rb A B, rb A&B, sudrt iš elemetų, priklusčių ir ibei A, ir ibei B Aibių A ir B skirtumu vdim ibė A\B rb A B, kurią sudro ibės A elemeti, epriklusts ibei B Pvzds Firm turi du tiekėjus A ir B Tiekėjs A pristto rţių, grikių, sorų ir kukurūzų kruops, o tiekėjs B pristto sorų, kukurūzų ir perlies kruops Glim uţršti kruopų ibes: A={rţii, grikii, soros, kukurūzi} ir B={soros, kukurūzi, perliės kruopos}, td A B={rţii, grikii, soros, kukurūzi, perliės kruopos}, A&B={soros, kukurūzi}, o A B={rţii, grikii} pv Aibių veiksmi:) sąjug, ) skirt, ) skirtums Aibes glim vizduoti grfiški kip plokštumos tškų ibes pveiksle pvizduoti ibių veiksmi rb vdimosios Veo digrmos Joh Ve (8-88) glų logiks

3 Aibių A ir B Dekrto sdug vdim ibė AB, sudrt iš visų glimų porų (;b), kurių pirmoji kompoetė A, o troji kompoetė ; b : A; b B bb, t AB pv AB b ; : ; - b Jei ibės A ir B r reliųjų skičių itervli A ; B ;, ti Dekrto sdug AB ; b: ; - b, o r vizduojm stčikmpio ABCD tškų ibe, eįskitt krštiių AB ir DC ( pv) Fukcijos sąvok Fukcijų grfiis vizdvims Ţodis fukcij dţiusii pibūdi dviejų kitmųjų ddţių, pvzdţiui, prekės ir prdvimo kios, ūgio ir svorio sąršį Dviejų kitmųjų trpusvio priklusombę ţodţiu fukcij pirmą krtą 67 metis pibūdio Gotfrds Leibics, o šiuolikię prsmę šii sąvoki suteikė Leords Oileris 5 Apibrėžims Viereikšmė fukcij r tisklė, pgl kurią kiekviem ibės X elemetui priskirims vies ir tik vies ibės Y elemets Dţi fukcij ţmim f : X Y rb f () Kitmsis vdims epriklusomu kitmuoju rb fukcijos rgumetu, o () fukcijos reikšme tške Lgbė f () vdim fukcijos lizie Ree Descrtes (596-65) prcūzų filosofs, mtemtiks, fiziks Gotfried Leibitz (66-76) vokiečių mtemtiks 5 Leohrd Euler (77-78) šveicrų mtemtiks

4 išrišk (lgtimi), ibė X fukcijos pibrėţimo sritimi (dţiusii ţmim D ), o ibė Y f ( ); X fukcijos reikšmių ibe (dţiusii ţmim E ) Kip pibūdimos fukcijos? Visų pirm, fukcijs glim uţršti letele, vieme jos stulpelje (eilutėje) išvrdit, o kitme reikšmės letelėje mtome vieos drbovietės lglpį VPAVARDĖ ATLYGINIMAS, Lt AAtitis,58 VJoitieė, AMkolitis 97,5 BPetritis,77 letelė Alglpis Mtemtiki, ekoomisti r vdbiiki dţi fukcijs vizduoj piešiiu, uroddmi ibes ir jų titikties tisklę rb grfiku ( pv) Tčiu dţiusii fukcijos pibūdimos litiški, t urodt tisklę f lgtimi (formule) pv Prekių ir pslugų kių ideksi (5 m,) Apibrėžims Itervle ;pibrėţt fukcij f () vdim

5 lgie, jei visuose pibrėţimo srities tškuose, glioj lgbė f ( ) f ( ), ir elgie, jei f ( ) f ( ) Lgiės fukcijos grfiks r simetrišks šies O tţvilgiu, o elgiės simetrišks koordičių prdţios tško O tţvilgiu (5 pv) 5 pv Lgiės ir elgiės fukcijų grfiki Apibrėžims Fukcij f () vdim periodie, ki egzistuoj toks skičius T>, kd su kiekvie reikšme iš šios fukcijos pibrėţimo srities, reikšmės +T ir T tip pt prikluso pibrėţimo sričii, be to glioj lgbė f ( T) f ( ) Mţiusis teigims skičius T vdims fukcijos f () periodu Apibrėžims Fukcijos, kiekviem pibrėţimo srities X elemetui priskiričios vieą ir tik vieą ibės Y elemetą, ir tvirkščii pgl psiriktąjį ibės Y elemetą gličios usttti vieitelį titikmą ibės X elemetą, vdimos bipusii viereikšmėmis (6 pv) 6 pv Aibių titikts 5

6 Apibrėžims Fukcijos f (), X, pibrėţičios ibių X ir Y elemetų bipusiški viereikšmę titiktį, tvirkštie vdim fukcij g(), Y, kiekviem priskiriti, su kuriuo f ( ) (7 pv) 7 pv Atvirkštiė fukcij Elemetriosios fukcijos Elemetriosios fukcijos detlii griėjmos mokkloje, todėl js tik trumpi pţvelgsime Apibrėžims Vieo kitmojo poliomu rb dugiriu vdim fukcij: P, () či koeficieti,,, r relieji skičii ( R, k,,, ), o k epriklusoms kitmsis Polioms () vdims -ojo lipsio poliomu, jeigu Ki, iš () gume pstoviąją fukciją ji visuose tškuose R įgj vieitelę reikšmę (8 pv), o jos grfiks horizotlioji tiesė Ki (9 pv) 8 pv Pstovioji fukcij, fukcij, vdim tiesie fukcij 6

7 9 pv Tiesiė fukcij Ki, fukcij; jos grfiks r prbolė ( pv), fukcij vdim kvdrtie pv Kvdrtiės fukcijos grfiki Ki, grfiks kubiė prbolė ( pv) Apibrėžims Dviejų poliomų Q m stkis vdims, fukcijos P ir P rcioliąj fukcij R Tokios fukcijos pibrėţimo sritis r Qm ibė tų reikšmių, su kuriomis vrdiklis elgus 7

8 pv) Fukcijos pv Kubiės fukcijos grfiki b b, b grfiks vdims hiperbole ( pv Hiperbolė Apibrėžims Fukcij vdim lipsie fukcij, či ir R Ki > grfiks vdims prbole, o ki < hiperbole Apibrėžims Fukcij, ki > ir, vdim rodiklie, o jos tvirkštiė fukcij log vdim logritmie Jų grfiki r simetriški tiesės tţvilgiu ( pv) Apibrėžims Pgridiės trigoometriės fukcijos r si ir cos, R, o jų grfiki siusoidė ( pv) ir kosiusoidė (5 pv) 8

9 pv Rodikliės ir logritmiės fukcijos grfiki: ) ki >, ) ki << Kitos dvi trigoometriės fukcijos tg ir ctg pibrėţimos lgbėmis: si tg ; k, k Z; cos cos ctg ; k, k Z si Jų grfiki pvizduoti 6 ir 7 pveiksluose pv Siusoidė 5 pv Kosiusoidė 6 pv Fukcijos tg grfiks 7 pv Fukcijos ctg grfiks 9

10 Kdgi si, cos, tg ir ctg r bipusii viereikšmės fukcijos tik urodtose itervluose: si, ;, si ; cos, ;, cos ; tg, ;, tg ; ctg, ;, ctg Tuomet, tvirkštiės trigoometriės fukcijos pibrėţimos tip: rcsi, ;, ; ; rccos, ;, ; ; rctg, R, ; ; rcctg, R, ; ; Apibrėžims Visos fukcijos, gutos iš či pmiėtų fukcijų tlikus su jomis lgebriius veiksmus (sudėties, timties, dugbos ir dlbos), bei sudrius sudėties fukcijs, vdimos elemetriosiomis fukcijomis Pvzds Nusttsime fukcijos 6 pibrėţimo sritį: Reiškis poškje turi būti eeigims, todėl 6 ; 6 ; 6 Tiesė ir jos lgties formos (-;-6 6; ) Tško ir tiesės, kip ir ibės, sąvokos mtemtikoje r pirmiės Tiesiog susitrt, kd tiesė r begliio ilgio ir ploumo liij su tokiomis

11 svbėmis: pţmėjus tiesės kuriuos ors du tškus trp jų esti tiesės tkrp bus rčiusis tstums trp šių tškų (8 pv) 8 pv Tiesė Tiesės sąvok r plčii pritikom prktikoje Alizuojt reiškiius, pirmiusi r sudroms uţdviio mtemtiis modelis, kuris pibūdi esmies reiškiio svbes Dţi kitmųjų sąršis reiškims tiesie fukcij rb jų sistem Ngriėsime sąudų pdegimo uţdviį Kiekvieos firmos r įmoės tiksls, kd gmbos pimts pdegtų gmbos sąuds ir teštų pelą Norit sudrti mtemtiį modelį reiki pjmų, sąudų ir pelo fukcijų liziių išriškų Pprsčiusiu tveju ti tiesiės fukcijos, kurios ţmimos titikmi R(), TC() ir P() Strumpos TC, R, P, V, F ir p kilusios iš glų klbos termių Totl Cost (bedrosios sąudos), Reveue (pjmos), Profit (pels), Vrible Cost (kitmosios sąudos), Fied Cost (pstoviosios sąudos), price (ki) ) Bedrųjų sąudų fukcij TC() ti gmiių pstoviųjų ir kitmųjų sąudų sum: TC( ) V F, či F pstoviosios gmiių sąudos (drbuotojų tlgiimi, uom, rikodr ir tt), V vieo gmiio sviki, pgmitų gmiių skičius ) Pjmų fukcij R() ti pjmos, gutos prdvus gmiių, ki gmiio ki p: R( ) p ) Pelo fukcij P() ti skirtums trp pjmų, gutų prdvus gmiių, ir jų bedrųjų sąudų: P( ) R( ) TC( ) p ( V F) ( p V) F Pjmos pdegs sąuds, ki R( ) TC( ) Pvzds Bedrovė gmi vizities korteles Kortelės šbloo pruošims (utoriis hoorrs, popierius ir tt) kiuoj Lt Kortelės gmiimo sviki (spusdiims, prdvims,

12 mokesčii) r ct Jei js ţdm prdviėti po ct uţ vieetą, ti kiek mţiusii kortelių turi uţsiskti kliets, kd bedrovė eturėtų uostolių? Ar gus bedrovė pelo, jei kliets uţsisks kortelių? Bedrųjų sąudų fukcij r TC ( ) ; Pjmų fukcij r R( ) ; Pelo fukcij P ( ) ( ) Pjmos pdegs sąuds, ki R( ) TC( ), t P ( ) Vdisi, kliets turi uţsiskti mţiusii kortelių, kd bedrovė eturėtų uostolio Jei kliets uţsisks kortelių, ti bedrovė gus pelą P ( ) Lt Pvizduokime fukcijs grfiški: Iš pelo lgties glim e tik pskičiuoti pelą, bet ir usttti, kip jis psikeis, pdidius r sumţius gmbos pimtis Pelo poktis r lgus koeficietui prie kitmojo, t ( p V ), es P( ) ( p V) F Šis tiesės lgties koeficiets vdims tiesės krpties koeficietu rb tiesės uoldţiu Pgl griėto pvzdţio duomeis, klietui uţsiskius kortelių dugiu, pels pdidėjo Lt Bedruoju tveju, ki A A ; A ir B B ; B r du tiesės tški, skirtums vdims rgumeto pokčiu ir ţmims, o skirtums B B A vdims tiesiės fukcijos pokčiu ir ţmims A

13 Pokčių stkis k, vdims tiesės uoldţiu Iš pveikslo mtome, kd tiesės uoldis r kmpo, kurį sudro tiesė su O šimi, tgets, t k tg Mţėjčios tiesės uoldis r eigims 9 pv Tiesės uoldis Tiesės uoldis visuose tškuose r vieods, ti glim įrodti remitis pšių trikmpių svbėmis Ki r ţioms tiesės uoldis k ir vies jos tšks M ( ; ), ti tiesę glim ubrėţti su kmpiiu ir liiuote Pimkime dr vieą, kittį, tiesės tšką M ( ; ) Apskičivus uoldį trp šių tškų ir pertvrkius, gusime lgtį k b, kuri vdim krptie tiesės lgtimi; či b r tiesės ir O šies susikirtimo tšks: k k k k k b b Ki r ţiomi du tiesės tški M ; ) ir M ; ), ti tiesę ( ( glim ubrėţti su liiuote Apskičivus uoldį k krptię tiesės lgtį, bei pertvrkius gum tiesės per du tškus lgtis: k dlijme iš ir įršius į

14 Jei rgumeto poktį pţmėsime B, o tiesės reikšmių poktį pţmėsime ( A) ir įršsime šiuos ujus pţmėjimus į tiesės krptię lgtį, ti gusime: A A k A B A B B B Pţmėjus A B C ir perkėlus į kirę lgbės pusę gusime lgtį A B C, kuri vdim bedrąj tiesės lgtimi Jei tšks prikluso tiesei, ti jo koorditės teki tiesės lgtį, ir tvirkščii Tiesės lgtis glim uţršti udojt vektorius, todėl prvrtu prisimiti krptiės tkrpos ir vektorius sąvoks Apibrėžims Krptiė tkrp r toki tkrp, kuri turi urodtą krptį Aibė krptiių tkrpų, turičių tą ptį ilgį ir tą pčią krptį, vdim vektoriumi ( pv) pv Vektorius Vektoriui uskti uţtek vieos krptiės tkrpos, todėl dţi sąvokos krptiė tkrp ir vektorius udojmi kip sioimi Vektorius ţmims mţosiomis lotiškomis ridėmis su rodkle virš jų: b, ir tt, rb dviem didţiosiomis lotiškomis ridėmis su rodkle virš jų: AB, AC ir tt, či pirmoji ridė urodo vektorius prdţią, o troji glą ( pv)

15 pv Krptiė tkrp Jei ţiomos krptiės tkrpos prdţios ir glo koorditės, t A ; ir A A B B ; B, ti vektorius AB koorditės skičiuojmos tip: AB B A; B A ; Vektorius ilgis ţmims modulio ţeklu ir skičiuojms tip: Jei vektorii r lgigretūs, ti jie vdimi kolieriis, ir jų titikmos koorditės r proporcigos, t, jei ; ir b b ; b r lgigretūs ( b ), ti Jei vektorii ; ir b b ; b r sttmei ( b ), ti b b jų titikmų koordičių sdugų sum lgi uliui, t b b Grįţkime prie tiesės Viereikšmiški uskti tiesę plokštumoje O glim įviriis būdis: Ţioms vies tiesės tšks M ( ; ) ir tiesei sttmes vektorius A; B, kuris vdims ormlės vektoriumi (ormle) ( pv) pv Tiesė, ki žioms tšks M ir ormlė Pimkime kurį ors tiesės tšką M ( ; ) Sudrkime vektorių M ; M Aišku, kd M M, vdisi jų titikmų koordičių sdugų sum lgi : 5

16 B( A B A B A B C A ) Gvome bedrąją tiesės lgtį, kur koeficieti prie eţiomųjų lgūs sttmeo tiesei vektorius koorditėms Ţioms vies tiesės tšks M ( ; ) ir tiesei lgigretus s l; m, kuris vdims krpties vektoriumi ( pv) vektorius C pv Tiesė, duot tšku M ir krpties vektoriumi Pimkime kurį ors tiesės tšką M ( ; ) Sudrkime vektorių M M ; Vektorii s ir M M r kolierūs, vdisi, jų koorditės proporcigos, t l m Gutoji lgtis vdim koie tiesės lgtimi Tiesės lgtis per du tškus r tskirs koiės lgties tvejis, ki krpties vektorius r M M Visd glim iš vieos lgties formos pereiti į kitą, pvzdţiui, iš bedrojo pvidlo orit pereiti į krptię tiesės lgtį uţtek tik išreikšti Jei dvi tiesės t ir t, kurių krptiės lgts r t : k b ir t : k b, r lgigrečios, ti k k, o jei sttmeos, ti k k, ir tvirkščii, jei k k, ti t t, o jei k k, ti t t Jei tiesių t ir t bedrosios lgts r t : A B C ir t A B C, ti tiesės lgigrečios td ir tik td, ki : A A B B C C, (sutmp, ki A B B A A A 6 B B ) ir sttmeos, ki Pvzds Pršsime lgtį tiesės t, kuri ei per tšką M(;-) ir r sttme tiesei 5 += C C

17 Brėţis: Glimi keli spredimo būdi būds be vektorių pglbos: Duot, kd tiesės sttmeos, vdisi glim uţršti krptię ieškomos tiesės lgtį, beliek tik susirsti uoldį k iš sąlgos, kd k k Reiki iš duotos tiesės bedrojo pvidlo rsti uoldį k : k 5 k 5 k Turime tšką ir rdome uoldį k glim uţršti lgtį: ( ) būds su vektorių pglb: Iš bedrosios tiesės lgties 5 += iškios ormliiu vektorius koorditės ( 5; ) : 7

18 Iš brėţiio mtome, kd duotos tiesės ormlė bus lgigreti ieškomi tiesei, vdisi ti tuo pčiu ir ieškomos tiesės krpties vektorius s, tigi glime uţršti koię lgtį: Atskms eprikluso uo spredimo būdo: 5 5 Svrkiškm drbui: Nusttkite, kuri iš šių fukcijų r lgiė rb elgiė: ; ) 5 ) Nusttkite pibrėţimo sritį: ) ; ) ; ) ; ) ; 5) ; 6) log 9 ; l( 5) 7) si ; 8) 6cos ; 5 9) 6 ; ) l 5 9 Rskite tiesių susikirtimo tško koordites: ) +5 5= ir + 7=; ) 9 = ir 7 7=; ) +5 8= ir 6+9 7= Sudrkite tiesės lgtį, jei tiesė O šį kert tške, o O šį tške 5 Nusttkite r šie tški r vieoje tiesėje: ) A ; ; B 5; ; C ; ; ) A ; ; B ; ; C ; ; ) A ; ; B 5; ; ; C 8

19 6 Bedrovė gmi kledorius, kuriuos prduod po 8 Lt Pstovios sąudos 5 Lt per mėesį, o kitmosios Lt uţ kledorių Apskičiuokite tą kledorių kiekį, su kuriuo bus pdegtos gmbos sąudos 7 Prškite lgtį tiesės, eičios per du tškus: ) A(-;-) ir B(-;-); ) A(;) ir B(;); ) A(-;) ir B(;-); ) A(;-) ir B(;) 8 Koki turi būti prmetro m reikšmė, kd tiesės būtų sttmeos: ) 5 = ir m =; ) m +8= ir 5++6=; ) m + = ir 8 +7=; ) + m += ir +5=? 9 Kurios iš šių tiesių r lgigrečios: ) += ir 5 7=; ) 5+ 8= ir 5++=; ) + 8= ir ++=; ) += ir ++=? 9

20 SKYRIUS MATRICOS IR DETERMINANTAI Yr pžiimo istr, lgii kip istr muziki Be šios istros ebūtų ei mtemtikos, ei tiksliųjų mokslų AEišteis 6 Mtricos ir veiksmi su mtricomis Apibrėžims Mtric r tm tikr tvrk surštų skičių stčikmpė letelė: A m m m Letelėje suršti skičii vdimi mtricos elemetis Ši mtric turi m eilučių ir stulpelių Ji vdim m formto stčikmpe mtric Mtric vdim kvdrtie, jei jos eilučių skičius lgus stulpelių skičiui Kvdrtiės mtricos eilučių skičius vdims mtricos eile Pvzdţiui, mtric A r tros eilės kvdrtiė mtric Mtric, kurios visi rii lgūs uliui, vdim ulie mtric Kvdrtiė mtric, kurios visi pgridiės įstrižiės elemeti lgūs vieetui, o kiti lgūs uliui, vdim vieetie mtric ir ţmim ride E: E Mtric, gut iš mtricos A sukeitus jos eilutes ir stulpelius vietomis, vdim trspouotąj mtric (lot trspoere perkelti, persoditi) ir ţmim A T : 6 Albert Eistei ( ) vokiečių fiziks

21 Veiksmi su mtricomis: Mtricų sudėtis Dviejų m mtricų sum likom mtric, kurią sudro tų mtricų titikmų elemetų sumos: Mtricų dugb iš skičius Skičius k ir mtricos A sdug vdim mtric ka, kurioje kiekvies mtricos A elemets r pdugits iš skičius k: jei mtric A=, o k=, ti - 6 Pvzds Vie bldų gmbos firm, turiti tris įmoes, gmi virtuvės bldus, spits, stlus Firmos įmoių veiklos rezultti pteikti letelėje: I įmoė II įmoė III įmoė Pjmos, tūkstlt Išlidos, tūkstlt Pjmos, tūkstlt Išlidos, tūkstlt Pjmos, tūkstlt Išlidos, tūkstlt Virtuvės 5 5 bldi Spitos 6 6 Stli Pgl letelę sudrsime pjmų mtric R bei išlidų mtric S: 5 5 R 6 6, S Jų skirtums R S r firmos įmoių pelo (Lt) mtric P : P R S Mtricų dugb Sudugiti dvi mtrics glim tik td, ki jos r suderitos Mtric A vdim suderit su mtric B, jei mtricos A stulpelių skičius lgus mtricos B eilučių skičiui m s mtricos A ir m mtric C, kurios elemeti s mtricos B sdug vdim

22 c ij r lgūs mtricos A i-osios eilutės elemetų ir mtricos B j-ojo stulpelio titikmų elemetų sdugų sumi: 7 jei psirekme mtrics A ir B, ti jų sdugą Pvzds Lietuvoje, Ltvijoje ir Estijoje įmoė prdviėj utomobilius Golf, Ford ir Škod 9 metis utomobilii buvo prduodmi po 57 Lt (Golf), 5 Lt (Ford)ir 7 Lt (Škod) Prdvimi suršti į letelę: Golf Ford Škod Lietuv 5 55 Ltvij 7 Estij 5 Uţ kokią sumą 9 metis buvo prduot utomobilių kiekvieoje šlje? Duomes suršome į mtrics ir js sudugime: Gvome tskmą: Lietuvoje buvo prduot utomobilių uţ 66 Lt, Ltvijoje 676 Lt ir Estijoje 687 Lt Determiti Apibrėžims Kiekviei tosios eilės kvdrtiei mtrici A priskirims skičius, kuris vdims jos determitu ir ţmims

23 A det A Pirmos eilės mtricos, t elemeto, determits r lgus mtricos elemetui : det A Atrosios eilės determits r lgus pgridiės įstriţiės elemetų ir šlutiės įstriţiės elemetų sdugų skirtumui: Trečiosios eilės determits skičiuojms pgl vdimąją Sriuso tisklę: det A Ti vdimoji trikmpių tisklė, kurią legv įsimiti ţiūrit šią schemą: rb ppildomų stulpelių tisklė

24 Pvzds Apskičiuosime: - 6 A ( 6) 6 6 B 5 5 ( ) ( ) ( ) 5( ) 5 Apibrėžims Determits, guts išbrukus i- tąją eilutę ir j- ąjį stulpelį, vdims elemeto mioru ir ţmims M ij Apibrėžims Mtricos A elemeto djukts r skičius ij Aij ) i j ( M, ij či M elemeto ij miors ij Apibrėžims - tosios eilės determits r skičius deta, kuris lgus kurios ors jo eilutės r stulpelio elemetų ir tų elemetų djuktų sdugų sumi, t det A i ij i iai i Ai j j ij i A Determitų svbės: Sukeitus determito eilutes ir stulpelius vietomis, jo reikšmė T epsikeiči: det A det A Prie vieos determito eilutės (stulpelio) pridėjus kitos eilutės (stulpelio)titikmus elemetus, pdugitus iš kurio ors skičius, determits epsikeiči Sukeitus dvi gretims eilutes (stulpelius) vietomis, psikeiči tik determito ţekls Jeigu kurios ors determito eilutės (stulpelio) elemeti turi bedrą dugiklį, ti jį glim iškelti prieš determito ţeklą 5 Determits, turitis ulię eilutę (stulpelį), lgus uliui i

25 6 Determits, turitis dvi vieods eilutes (stulpelius), lgus uliui Pvzds Apskičiuosime: A A A A A A Atvirkštiė mtric 5 Skkime, kd A r -osios eilės kvdrtiė mtric Ki det A, glim pskičiuoti mtricos A tvirkštię mtricą, kuri ţmim A ir pibrėţim lgbe A A A A E A pskičivimo formulėje kiekvies mtricos A elemets ij keičims jo djuktu A ij, pdlitu iš det A A, ir gutoji mtric trspouojm: A A A A A A A A A A A Jeigu det A, ti toki mtric vdim išsigimusi mtric tvirkštiės mtricos eturi Įsitikię, kd A egzistuoj pskičiuosime mtricos A tvirkštię mtricą

26 A Kdgi A, ti elemetų djuktus: ij A A A A M A egzistuoj Apskičiuosime visų mtricos A A M, A M 6, A M, A M, A M, A M, A M 8, A M, A M 5 Td tvirkštiė mtric: A A A A A A 6 A A A A Svrkiškm drbui: - - Duotos mtricos: A, 5 B Rskite mtricą C, ki: T ) C A B A ; ) C A B B ) C A B T ; 6

27 7 Apskičiuokite mtricos 8 5 A determitą Jei įmom pskičiuokite sdugs AB, ki, ) B A ; ; 5, 5 ) B A, 5 ) B A Rskite pteiktų mtricų tvirkšties mtrics, jeigu jos egzistuoj: ; ) 5 ) ; 5 )

28 SKYRIUS TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS IR JŲ SPRENDIMO METODAI Įrodiėti žmogui žiių būtiumą tolgu įtikiėti, kd regėjims r udigs MGorkis 7 Dviejų tiesiių lgčių sistemos su dviem ežiomisiis Est tm tikroms sąlgoms rikoje usistovi prekės rikos (pusiusvros) ki, kuri teki ir gmitoją, ir vrtotoją Pklusos fukcij r mţėjti (didesę kią titik mţesė pklus); o psiūlos fukcij didėjti (didesę kią titik didesė psiūl) Jei psiūl viršij pklusą, prekės ki krit, o jei tvirkščii prekės ki didėj Dţi pklus ir psiūl tiesiški prikluso uo kios: b c, () b c ; či prekių kiekis, prekių ki,,, b, b, c, c r ţiomi skičii, dţiusii jie usttomi eksperimetiški, pvzdţiui, tlikus rikos trimą Kdgi pklusos fukcij mţėj, o psiūlos didėj, ti js vizduojčios tiesės tikri susikert Susikirtimo tšks ir r sistemos () spredis pusiusvros kiekis ir rikos ki ( pv) pv Pusiusvros kiekis 7 Mksims Gorkis (rus Максим Горький, gimė kip Алексей Максимович Пешков 868 m, mirė 96 m) žmus rusų rštojs ir publicists 8

29 Pvzds Jei kompktiių plokštelių grotuvi prduodmi po 5 Lt, ti jų mėesio pklus 7 vieetų Nuo 5 Lt kii mţėjt 5 Lt, pklus pdidėj vieetų Gmitojui grotuvų epsimok prduoti po Lt rb mţese ki, tčiu prduodt po Lt, gmitojs ptiektų grotuvų Sudrsime tiesies pklusos ir psiūlos fukcijs ir rsime grotuvų rikos kią prekių kiekis, prekių ki Pklus: iš sąlgos glim uţršti du pklusos fukcijos tškus A 7;5 ir A ; Kdgi fukcij tiesiė, ti glim uţršti tiesės per du tškus lgtį: Psiūl: iš sąlgos glim uţršti du psiūlos fukcijos tškus B ; ir B ; Kdgi fukcij tiesiė, ti glim uţršti tiesės per du tškus lgtį: Norėdmi rsti prekių pusiusvros kiekį ir kią, turime išspręsti lgčių sistemą: Rikos ki r 5 Lt, uţ kurią būtų prduot grotuvų Dţi formlizuojt ekoomiius uţdviius, t sudrt jų mtemtiį modelį, euţtek dviejų kitmųjų ir dviejų lgčių Tiesiių lgčių sistemos Elemetrieji pertvrkii Apibrėžims Tiesie lgtimi su ežiomųjų vdim lgtis 9

30 b ; či i R ( i, ) r lgties koeficieti prie eţiomųjų, o b R lisvsis rs Apibrėžims Reliųjų skičių rikis s, s,, s vdims tiesiės lgties sprediiu, ki s s s b r tptbė, ir tokiu tveju skom, kd eţiomųjų reikšmės teki lgtį Apibrėžims Tiesiių lgčių ibė b ; b; () m m m bm vdim m tiesiių lgčių su ežiomųjų sistem Sutrumpiti tiesiių lgčių (toliu tl) sistemą glim uţršti tip Skičii ij j j b, i, m R, ( i, m, j, ) r koeficieti prie eţiomųjų, o ij b i R r lisvieji rii Sksime, kd sistem () r homogeiė, jeigu visi b, ki i,m, ir ehomogeiė, jei ors vies b i Apibrėžims Reliųjų skičių rikis s, s,, s vdims () tl sistemos sprediiu, jeigu teisig tptbė s b, i, m ij j i Kitip trit, jei rikis eteki ors vieos sistemos lgties, ti šis rikis ėr sistemos spredis Apibrėžims Tl sistem vdim suderit, jei ji turi bet vieą sprediį, ir esuderit, jei ji sprediių eturi Suderitoji tl sistemą vdim pibrėžtąj, jei ji turi vieitelį sprediį, ir epibrėžt, jei turi be glo dug sprediių ( pv) Apibrėžims Sksime, kd dvi tl sistemos r ekvivlečios, jeigu jų sprediių ibės sutmp Ekvivletumo ţekls ~ Nurodsime opercijs, kuris udojt tl sistem pertvrkom į ji ekvivlečią tl sistemą Šios opercijos vdimos elemetriisiis pertvrkiis: ) sistemos lgčių keitims vietomis; ) bet kurios sistemos lgties dugiims iš elgus uliui skičius; j i i

31 ) sistemos bet kurių dviejų r kelerių lgčių sudėtis pv Tl sistemų klsifikcij Tiesiių lgčių sistemą lbi ptogu uţršti mtricų form Teorem Mtriciė lgtis A X B r ekvivleti tl sistemi (); či mtric A, sudrt iš koeficietų prie m m m eţiomųjų ir vdim sistemos mtric; b b mtric B, sudrt iš lisvųjų rių ir vdim lisvųjų rių b m stulpeliu; mtric X, sudrt iš eţiomųjų ir vdim ežiomųjų m stulpeliu Tuo legv įsitikiti tiesiog sudugius šis mtrics Pbdkite!

32 Tiesiių lgčių sistemos spredims Ngriėjmą tl sistemą () glim išspręsti keliis būdis: Atvirkštiės mtricos metods Šis metods tik tik td, ki lgčių skičius lgus eţiomųjų skičiui: m Iš T ţiome, kd tl sistemą () glim uţršti mtricie lgtimi A X B Jei sistemos kvdrtiė mtric A turi tvirkštię A, ti iš kirės pdugius iš A reiškiius biejuose lgbės pusėse, gusime: A X B A, A A X A B, E E X A X B, Gvome mtriciės lgties sprediį, kuris r tl sistemos spredis uţršts mtricų form Šiuo metodu glėsime spręsti tik tokis tl sistems (), kurių koeficietų mtric A turi tvirkštię A, t det A Pvzds Sistemą išspręsime tvirkštiės mtricos metodu 7 Ţmime: A, B, 7 X ir sistemą pršome mtricų form: Rsime tvirkštię mtricą A : A 5 turi tvirkštię Determits, vdisi mtric A Skičiuojme djuktus: A ; A ; A A ;

33 Rdome tvirkštię mtricą 5 A Rdme kitmuosius: Ats: ; Krmerio 8 metods Či pteikimos Krmerio formulės be įrodmo : A i i, i,, či A sistemos kvdrtiės mtricos determits, i determits, kurime i-sis A stulpelis pkeists lisvųjų rių stulpeliu Jeigu A, lgčių sistem turi vieitelį sprediį; jeigu A = = == =, lgčių sistem turi be glo dug sprediių; jeigu A =o bet vies,,,, ti sistem sprediių eturi Pvzds Sistemą ; ; z z z išspręsime Krmerio metodu Pršome sistemą mtricų form B z A, či koeficietų mtric A, ir lisvųjų rių stulpelis B Pgl Krmerio formules 8 Gbriel Crmer (7 75) šveicrų mtemtiks

34 ; ; A A Apskičiuojme determitus: A ; z A ; ; z Ats: ;; Guso 9 metods Guso metods ti eţiomųjų uoseklus elimivimo metods, ki duotoji sistem pertvrkom į trpecijos formą () sistemą, elemetriųjų pertvrkių pglb suvedm į trpecijų formą (ţemiu pgridiės įstriţiės visi elemeti r ulii): Išplėstąj sistemos mtric A ~ vdim mtric A, ppildt dr vieu stulpeliu B: 9 Joh Crl Friedrich Guß ( ) vokiečių mtemtiks, fiziks

35 b ~ b A m m m bm Pvzdžii z ; Sistemą z ; išspręsime Guso metodu z Uţršome išplėstąją sistemos mtricą ir tliekme elemetriuosius pertvrkius: Gutąją trikmpės formos sistemą legv išspręsti: z 5 z 8 5z Iš trečios lgties mtome, kd z, td iš tros lgties ir iš pirmos Psitikrim: Ats: ;; z ; Sistemą z ; išspręsime Guso metodu z Uţršome išplėstąją sistemos mtricą ir tliekme elemetriuosius pertvrkius: 5

36 6 Gutąją trpecijos formos sistemą išspręsime tik td, ki vieą iš kitmųjų psiriksime lisvi, t t, z R: 8 5 z z t z t t t t t z Sistem suderit, bet epibrėţt, t turi be glo dug sprediių Norit psitikriti r geri išspredėme sistemą, reiki vietoje t psirikti bet kokį relų skičių, pvzdţiui t, td spredis ;6; : Ats: R t t t t, ; 5 8 ; 5 Svrkiškm drbui: Išspręskite tiesiių lgčių sistems visis metodis: ) ; ) 5; ) ; ) 5 ; 6; z z z 5) ; 5 6; 5 z z z 6) 5 ; 5 ; z z 7) ; ; z z z

37 7 8) ; ; z z z 9) 5 5 7; 5 ; z z z ) 6; 5; ;

38 SKYRIUS TIESINIŲ NELYGYBIŲ SISTEMOS IR JŲ GRAFINIS SPRENDIMAS Neudojm geležis rūdij, stovitis vduo suged rb užšąl, o žmogus prots eudojms kst Leords d Viči Tiesiės elgbės Tiesies elgbes su eţiomųjų glim uţršti įviriomis elgbėmis: b ; b ; b ; b Tiesiės elgbės sprediiu vdims toks reliųjų skičių rikis s, s,, s, kuris teki duotąją elgbę Visų tiesiės elgbės sprediių ibę ţmėsime Ω (omeg) Tiesiės elgbės su vieu ežiomuoju sprediius glim vizduoti skičių tiesės tškis Pvzdţiui, elgbės su vieu eţiomuoju sprediių ibė geometriški gli būti pvizduot itervlo tškis: pv Tiesiės elgbės su vieu ežiomuoju sprediių ibė Tiesiės elgbės su dviem ežiomisiis sprediii vizduojmi kurios ors pusplokštumės tškis Norit pvizduoti geometriški tiesiės elgbės su dviem eţiomisiis sprediius, reiki uţtušuoti tą plokštumos pusę, kurios tškų koorditės teki duotąją elgbę Pvzdţiui, spredţit geometriški elgbę, pirmiusii brėţim tiesė, ribojti pusplokštumę Tiesė brėţim per du Leordo d Vici (5 59 ) itlų Reesso rchitekts, tptojs, skulptorius, muzikts, meo teoretiks, ižiierius, išrdėjs, filosofs 8

39 tškus, t tokius tškus, kurių koorditės teki tiesės lgtį, pvzdţiui, (;) ir (;) Po to usttom, kurios pusplokštumės tškų koorditės teki duotąją elgbę (įršius gum teisig skitiė elgbė), ir uţtušuojm t pusplokštumė: pv Tiesiės elgbės su dviem ežiomisiis sprediių ibė Tiesiių elgbių sistemos Tiesiių elgbių su ežiomųjų sistem gli būti uţršt tip (elgbių ţekli gli būti ir kitokie): b, b,, m m m bm Spredţit elgbių sistemą geometriški, reiki sursti tą plokštumos sritį, kurios tškų koorditės teki kiekvieą iš duotųjų elgbių Pvzds Apsiribosime elgbių sistemomis su dviem eţiomisiis Pvizduosime grfiški šios tiesiių elgbių sistemos sprediių ibę: ; ; Pirmiusi ubrėţime tieses: L :, per du jos tškus (;) ir (6;); 9

40 L :, per du jos tškus (;) ir ( ;); L : horizotli tiesė Pskui usttome kiekvieos tiesiės elgbės sprediių pusplokštumę ir pţmime ją rodkle prie titikmos tiesės Šių pusplokštumių skirt ir r duotosios elgbių sistemos sprediių ibė Ω Tiesiis progrmvims Optimlus plvimo uždviių grfiis spredims Yr dug ekoomikos uţdviių, kuriuos spredţit reiki rsti tokis prmetrų reikšmes, su kuriomis tm tikr fukcij įgj didţiusią rb mţiusią reikšmę Pirmiusi sudromi mtemtiii modelii, o pgl jų sprediius pluojm ekoomiė veikl Geriusių vritų pieškos uţdviii vdimi optimizvimo uţdviiis Či griėsime tiesiio progrmvimo uţdviius Ti tokie optimizvimo uţdviii, kuriuos glime uţršti tiesiėmis fukcijomis, o eţiomųjų prmetrų sąršius (pribojimus) tiesiėmis elgbėmis Apsiribosime uţdviiis su dviem eţiomisiis Ngriėjt optimlus plvimo uţdviius pprsti išskirimos dvi esmiės kompoetės ekoomiės veiklos dlvių iteresi ir jų glimbės Iteresi išreiškimi tikslo fukcij, o glimbės leistiąj sprediių ibe Spredţit optimlios verslo veiklos plvimo uţdviį leistioje sprediių ibėje reiki rsti tokį kitmųjų rikiį, su kuriuo tikslo fukcij įgj optimlią (didţiusią rb mţiusią priklusomi uo uţdviio turiio) reikšmę

41 Sksime, kd reiki pskičiuoti mi z mi F(, ) mi c c, ki b, b, m m bm Či z F(, ) c c r tikslo fukcij, o leistioji ibė Ω tiesiių elgbių sistemos sprediių ibė Leistioji ibė, jeigu ji etušči, gli būti bigtiio rb begliio ploto Psirikime kurį ors leistiosios srities tšką Tikslo fukcijos reikšmę tme tške pţmėkime z Lgtis c c z vdim lgio lgtimi Šios lgties geometriis vizds r tiesė, kuri vdim tikslo fukcijos lgio tiese Kip ir bet kuri kit tiesė, lgio tiesė dlij plokštumą į dvi pusplokštumes Vieoje pvizduoti tiesiės elgbės c c z sprediii, o kitą uţpildo priešigos elgbės c c z sprediii Kdgi mus domi mic c, ti c c z Trukit lgio tiesę lgigrečii ţem, tikslo fukcijos F c c reikšmės mţėj kol psiekims ibės Ω ribiis tšks (dţiusii dugikmpio viršūė), kurio koordites įršius į tikslo fukciją ir gum optimli (šiuo tveju miimli) tikslo fukcijos reikšmė z opt Grfiški ti trodo šitip: pv Optimlios tikslo fukcijos reikšmės z opt usttms

42 Pvzds Įmoė pluoj gmiti prekes P ir P, udodm dviejų pvdiimų ţlivs Ž ir Ž Jų sąudos prekės kiekio vieetui pgmiti ir turimos ţlivų tsrgos surštos letelėje: Prekės Ţlivos P P Ţlivų tsrgos Ţ 5 7 Ţ Prekės vieeto Lt 7 Lt ki Sudrsime optimlų gmbos plą, kd prdvus produkciją būtų guts didţiusis pels Skkime, kd reiki pgmiti vieetų prekių P, ir vieetų prekių P Td ţlivų Ž bus suudot +5, o ţlivų Ž + Ţiodmi, kd ţlivų tsrgos ribotos ( 5 7 ir ), o ir eeigimi, sudrome elgbių sistemą: 5 7; ;, Prdvus vieetų prekių P ir vieetų prekių P bus gut z 7 Lt pjmų Kdgi įmoės tiksls r guti kuo didţiusis pjms, ti reiki išspręsti optimlus plvimo (tiesiio progrmvimo) uţdviį: pskičiuoti m z m (+7) Uţdviį išspredţime grfiški, t brėţime tieses: L : 5 7, per du jos tškus (;5) ir (;); L :, per du jos tškus (;7) ir (9;); Psirekme z =, td lgio tiesė +7=, per du jos tškus (;) ir (7; ) Nusttome kiekvieos tiesiės elgbės sprediių pusplokštumę ir pţmime ją rodkle prie titikmos tiesės, uţtušuojme gutą sprediių sritį Ω

43 Trukime lgio tiesę lgigrečii ukšt, kol psiekime pskutiį srities Ω tšką; ti ir r =m(+7) Beliek rsti šio tško z opt koordites ti tiesių L ir L susikirtimo tšks Didţiusis pjms z =m( 6 7 )=9 Lt įmoė gutų, jeigu gmitų 6 prekių P ir prekių P opt Svrkiškm drbui: Išspręskite grfiški šiuos tiesiio progrmvimo uţdviius ir rskite: ) m(+), ki ) m(+), ki 9; 9; 6; 8;,, ) mi( ), ki ; ) m(+7), ki 5;,

44 8; 7; ;, Cecho keturiuose bruose gmimi dviejų rūšių gmiii Reiki sudrti tokį gmbos plą, kd tidvus gmiius, būtų guts didţiusis pels Pirmme bre dirbm e dugiu 6 h, trme h, trečime 6 h ir ketvirtme h Letelėje urodt, kiek liko (vldomis) reiki kiekvieos rūšies gmiiui pgmiti titikmme bre Nulis rodo, kd gmis titikmme bre egmims Bri Gmiii I II 6 Bre glim dirbti(vldų) 6 6 Cechs gu tokį pelą: tidvęs vieą I rūšies gmiį Lt, II rūšies Lt Btų teljė siuv dviejų modelių A ir B vlę ir jiems pgmiti udoj trijų rūšių ţlivs, kurių tsrgos ribotos Be to, modelių A ir B viei pori pgmiti suudojmų ţlivų kiekii (dm ) pteikti letelėje Šioje letelėje tip pt urodt ţlivų tsrgų kiekii ir pgmitos btų poros sąlgiė ki (Lt) Gmiii Ţlivų Modelis A Modelis B tsrgos Ţ 5 Ţ Ţ 8 6 Gmiio vieeto ki 6 Sudrkite modelių A ir B optimlų gmbos plą, kd pjmos, gutos prdvus produkciją, būtų didţiusios

45 Kiekvieą dieą utoūkiui reiki mţiusii 65 litrų dzeliio kuro, litrų bezio ir 8 litrų lvos tm, kd utoūkis ormlii dirbtų Degliė A gli pristtti litrų dzeliio kuro, 6 litrus bezio ir litrus lvos, vis ti uţ Lt Pšis prekes siūlo ir degliė B, kuri uţ 65 litrus dzeliio kuro, 5 litrus bezio ir litrų lvos pršo Lt Kiek uţskmų ksdie reiki sudrti utoūkiui su kiekvie deglie, orit ptekiti dieos poreikius deglms ir teplms mţiusiomis kiomis? 5 Įmoė pluoj pirkti dugiusi utobusų, kurie glėtų perveţti mţiusii 6 keleivių Psirikti utobusų modelii A ir B Modelio A utobuss gli perveţti keleivių ir kiuoj Lt, o modelio B utobuss gli perveţti keleivių ir kiuoj 5 Lt Kiek ir kokio modelio utobusų turi upirkti įmoė, kd būtų ptekiti perveţimo reiklvimi, o išlidos pirkiims būtų mţiusios? Koki miimli pirkiio ki? 5

46 5 SKYRIUS PAPRASČIAUSIEJI FINANSINIAI SKAIČIAVIMAI Proceti ir promilės Žmogui epkk kupti žiis, reiki mokėti iš jų guti plūks JVGėtė Ţodis procets r kilęs iš lotų klbos ţodţių jugiio pro cetum, o ti reiški uo šimto Apibrėžims Vie šimtoji skičius dlis vdim procetu (uošimčiu): % =, Prktikoje dţiusii psitiko trs procetų uţdviių tipi: Duotojo skičius procetų rdims; Skičius rdims iš jo procetų; Dviejų skičių procetiio stkio rdims Duotojo skičius proceto rdims Duots skičius, reiki rsti duoto skičius p procetų: p b, či - pgridiė reikšmė, p procetų skičius, b procetų reikšmė ) jei pgridiis skičius (%) pdidits p%, ti tikom formulė: p b, p b) jei pgridiis skičius (%) sumžits p%, ti tikom formulė: p b p Pvzds Iš kg obuolių supuvo 5 % Kiek kg obuolių supuvo? b 5 kg * Joh Wolfgg vo Goethe (79-8) vokiečių rštojs, humists, politiks, moksliiks ir filosofs 6

47 Versliiks obuolims išleido Lt ir jm liko % turėtų piigų Kiek versliikui liko piigų? b 5 Lt Skičius rdims iš jo procetų Rsti skičių, kurio p procetų r b: b p ) jei pgridiis skičius pdidits p%, ti tikom formulė: b, p b) jei pgridiis skičius sumţits p%, ti tikom formulė: b p Pvzdžii Elektr pbrgo 5% ir kiuoj,5 Lt uţ kilovtvldę Kiek kivo elektros kilovtvldė iki pbrgimo? 5 9 Lt 5 Prekė kivo Lt Prekės ki pdidit krtus: pirmąjį krtą - %, o trąjį krtą % Koki glutiė prekės ki ir kiek procetų ji pdidėjo? Po pirmojo pdidiimo prekė kivo, Lt; po trojo pdidiimo prekė kivo, Lt; prekės kių skirtums (Lt), o ti sudro, rb % prdiės kios Dviejų skičių procetiio stkio rdims Kiek procetų skičius sudro skičius b: b p % % Pvzds Studets turėjo 5 Lt, jis išleido 5 Lt Kiek procetų piigų studets išleido? 5 p % 8% 5 7

48 Apibrėžims Vie tūksttoji skičius dlis vdim promile: =, Prktikoje promilės udojmos chrkterizuojt turiųjų metlų ldiius; či vrtojms specilus termis prb Pvzdžii Juvelrs suldė g sidbro, kurio prb 6 ir g sidbro, turičio prbą 95 Kokios prbos gutsis ldis? Rsime gro sidbro msę b b b ldije: 6 95 b, g, ir b, 7 g; b b b, 9g, o g g 6g, 6 prb,9,9 prb = Mieste sudegė pdrusts ms ir jme buvęs kilojms turts Uţ mą buvo mokm 96 Lt metiio mokesčio, skičiuojt po, o uţ kilojmą turtą 7,5 Lt, skičiuojt po 5,5 Kokią piigų sumą gvo drudėjs, jeigu drudimo įstig iš mo drudimo sumos išskičivo 5%, iš kilojmo turto drudimo sumos %? 96 Nms buvo pdrusts sum: Lt;, 7,5 turts buvo pdrusts sum: 5 Lt;,55 uţ mą drudėjs gvo 75%, t 75 8 Lt; uţ kilojmą turtą drudėjs gvo 9%, t Lt; drudimo įstig drudėjui sumokėjo:8+5=5lt Idėlii, pskolos ir plūkos Idėlis į bką pdėt piigų sum Idėlii r termiuoti pdėti ustttm likui ir etermiuoti pdėti eribotm likui Pskol (kredits) pskolit bko r smes piigų sum Ts, kuris piigus skoli, vdims kreditoriumi, o ts, kuris im pskolą debitoriumi rb skoliiku 8

49 Skoliiki uţ udojimąsi kreditis mok plūks Plūkų ir pskolos stkis r plūkų orm Plūkų orm išreiškim procetis Plūkos skirstomos į pprstąsis ir sudėties Pprstosios plūkos skičiuojmos uo prdiio idėlio prėjus tm tikrm liko trpui Jei pgridiė sum S pdedm į bką (skolim) sutrtm likui t metų su metiių plūkų orm p procetų, ti pprstosios plūkos P pskičiuojmos pgl formulę: t S pt P t, o guts idėlis pt S S Pvzds Į kokią sumą pvirs Lt, jei juos pskolisime 5 metms su 8%pprstųjų metiių plūkų? 85 S Lt Pskolię Lt 5 metms su 8% plūkom gusime Lt Sudėtiės plūkos skičiuojmos tm tikris vieodo ilgio trpis, vdimis periodis, uo visos idėlio sumos Jei plūkos priskičiuojmos kiekvieų metų gle, t periodo ilgis viei meti, ti po vieerių metų idėlio sum bus: p S S ; po dviejų metų: p p p p S S S S ; po t metų: p S S Gutoji formulė vdim sudėtiių plūkų formule Jeigu periodų skičius metuose, ti idėlio sum S pskičiuojm pgl formulę: 9 t

50 t p S i N, S S či i periodiių plūkų orm, o N periodų skičius Pvzdžii Į bką, kuris mok 7%metiių plūkų ir js priskičiuoj ks pusmetį, pdėt Lt Koks bus idėlis po metų? N,7 S S 979, 58 i Lt Bke pimts Lt kredits su %metiių plūkų Kreditą reiki grąţiti per 5 metus, kiekvieo mėesio gle įmokt po vieodą piigų sumą Kokio didumo bus įmokos? Po pirmos įmokos P kredito sum bus:, P, P ; po trosios:, P, P, P, ;; po 6-osios: ,, P,,, P, 6,, Td: P, Lt 6, Apibedrius ką tik griėtą pvzdį glim pibedriti išvestą formulę visiems ilglikio kredito grąžiimo uždviims: K i i P, i Či P įmok, K kredits, i metiė plūkų orm, įmokų skičius per visą kredito grąţiimo likotrpį Vertbiii popierii Vertbiii popierii ti dokumeti, įteisiti vlstbiiis juridiiis ktis ir suteikits tm tikrs turties teises Vertbiių popierių pvzdţii r kcijos, obligcijos, vekselii ir kt Vertbiii popierii gli būti prduodmi ir perkmi Juose r urodt t sum (omilioji vertė), kurią pirkėjs gus suėjus termiui 5

51 Akcij ti vertbiis popierius, ptvirtitis idėlį į kciį kpitlą ir duodtis jo sviikui teisę guti dividedus Divideds kciės bedrovės grojo pelo dlis, kuri pskirstom kciikų turimoms kcijoms Obligcij vertbiis popierius, prduodms ustttm likotrpiui su metie plūkų orm Obligcijų pleidims į pvrtą vdims emisij Pprsti obligcijos prduodmos su diskotu ir prėjus ustttm liko trpui jos išperkmos Diskots ti skirtums trp būsimos obligcijos vertės ir pirkimo kios Nom Perkt obligciją uţ ją mokm S, či S obligcijos it kurss (ki birţoje), N om omilioji vertė (oficilii ptvirtit vertė), i metiė plūkų orm, t meti Diskots D=N om S, kurį obligcijos sviiks gus išpirkimo metu Vekselis vertbiis popierius, pţmitis piigiį įsipreigojimą, išduodmą skoliiko kreditoriui ir suteikitis kreditoriui teisę reikluti iš psiskoliusiojo sumokėti ustttu liku sumą, urodtą vekselje Vekselio termis piigų grąţiimui usttts liks Vekselio sum (vliut) usttt mokėjimo sum Ki kreditorius prduod vekselį prieš termią, ti jis egu visos sumos, es iš jos išskičiuojmos plūkos Gvoji vekselio ki sum, kuri išmokm uţ vekselį prieš termią Diskots (tskit) skirtums trp vekselio sumos (vliutos) ir grosios kios Gvoji vekselio, kurio sum buvo V o, ki V pskičiuojm pgl formulę V V it, ki plūkos pprstosios, ir V V it, ki plūkos sudėtiės Pvzdžii Akciės bedrovės grsis pels sudro Lt Akciė bedrovė r išleidusi kcijų Dividedms išmokėti skirt 5%pelo Koks vieos kcijos divideds?,5 Divideds Lt Vriusbė išleido obligcijų uţ milijoų litų 5 metų termiui su 5%metiių plūkų orm Apskičiuokite diskotą Nom S 8 Lt, it,55 D N om S 6 8 Lt 5

52 Svrkiškm drbui: Yr Lt Kiek litų sudro % šios sumos? Prekė kivo Lt Kiek litų pdidės prekės ki, ki ją pdidis 5%? Bltijos jūros vdeje r 6 druskų Kiek druskų r kibire ( kg) jūros vdes? Dţiovit obuolius jie etek 8%msės Kiek reiki švieţių obuolių, kd gutume kg dţiovitų? 5 Bti, plts ir kostiums kiuoj 95 Lt Plts %brgesis uţ btus, bet 5%pigesis uţ kostiumą Kiek kiuoj bti, plts ir kostiums? 6 Dvirtiiks pirmąją dieą uvţivo %viso kelio, trąją - %likusios kelio dlies, o trečiąją pskutiiuosius 6 km Kiek kilometrų dvirtiiks uvţivo per tris dies? 7 Drbiiks, kurim drbo uţmokestis buvo pdidits 5%, gu per mėesį 55 Lt Kiek jis gudvo prieš pkelit drbo uţmokestį? 8 Prduotuvė pirmą dieą prdvė %visų prekių, o trą dieą - 5%likučio po pirmos dieos Kiek procetų prekių liko eprduot? 9 Kiek promilių sudro drudimo premij, jei uţ 6 Lt vertės turtą ksmet drudimo įstigi reiki sumokėti po 695, Lt premijos? Vies ldis turi 5%vrio, o kits - 5%vrio Po kiek kg reiki pimti kiekvieos rūšies ldiio, orit guti kg ldiio, turičio %vrio? Bko sudėtiių metiių plūkų orm %, periodo trukmė mėesii Apskičiuokite idėliiko piigų sumą po dviejų metų, jei prdiis idėlis lgus 5 Lt Kiek procetų pprstųjų metiių plūkų reiki preikluti, kd pskolię 5 Lt 8 mėesims gutume 6 Lt plūkų? Versliiks į bką pdėjo / turimų piigų uţ 8%metiių plūkų, priskičiuojmų ks meti Likusius piigus pdėjo į kitą bką, kuris mokėjo 6%metiių plūkų, priskičiuojmų ks mėesį Po dviejų metų gvo uţ du idėlius Lt plūkų Kiek piigų įdėjo į bkus versliiks? 5 metus iš eilės kiekvieo mėesio ketvirčio pirmąją dieą į bko sąskitą įmokm po Lt kiek piigų bus sąskitoje po 5 metų, jeigu bks mok 8%metiių plūkų, priskičiuojmų ks ketvirtį? 5

53 5 Ţmogus įdėjo į bką Lt uţ 6,5%metiių plūkų Tą pčią dieą jis pskolio kimui Lt uţ %metiių plūkų Po kelių metų bu kpitli bus vieodi, jei plūkos priskičiuojmos kiekvieų metų gle? 6 Petrs psiskolio Lt iš bko uţ %metiių plūkų Ks mėesį jis turi grąţiti po Lt Kiek procetų skolitos sumos bus sumokėt po pusės metų? 7 Noriu pimti Lt kreditą Plūkų reikluj sudėtiius procetus, o kreditą reiki grąţiti per metus, kiekvieo mėesio gle įmokt po vieodą piigų sumą Kokio didumo bus įmokos? 5

54 6 SKYRIUS SKAIČIŲ SEKOS Skičių sek ir jos ribos egzistvims Kuo mžiu žmoės žio, tuo pltesės jiems trodo jų žiios Ž Ž Ruso 99 metis iţiierius RNEliots sukūrė kcijų kurso progozės metodą, kurio mtemtiis pgrids r Fibočio skičii (Fibocci, tikroji pvrdė Leordo Piso ) Fibočio sekos pirmieji du skičii r lgūs, o tolesi skičii r lgūs dviejų pirmesiųjų sumi: += += +=5 +5=8 5+8= Apibrėžims Skičių sek vdim skitiė fukcij, pibrėţt tūrliųjų skičių ibėje N Šios fukcijos pibrėţimo sritis tūrlieji skičii, reikšmių ibė relieji skičii Sekos bedrąjį rį pţmėję pršti f () Seką ţmėsime simboliu (či rio umeris), glėsime Formulė f () urodo, kip pgl umerį pskičiuojms titikms sekos rs Pvzdţiui, fukcij pibrėţi seką:,,,,,,,, 5 7 ( ) ( ) Grįţkime prie Fibočio skičių ir pskičiuosime dviejų gretimų Fibočio skičių stkį: : = Je-Jcques Rousseu (7 778) prcūzų filosofs, rštojs, politikos teoretiks, švietėjs Rlph Nelso Elliott (87 98) merikiečių fisiiks Leordo Piso Fibocci (7-5) itlų mtemtiks 5

55 : = : =,5 5 : =,666 8 : 5=,6 : 8=,65 : =,65 : =,69 55 : =,67 89 : 55=,68 : 89=,68 : =,68 Mtome, kd Fibočio skičių stkis rtėj prie skičius,68 Šis skičius uo seo r geri ţioms moksliikms, meiikms ir filosofms ir vdims ukso pjūviu, bei ţmims ride [fi]: 68 Yr sekų, kurių rii ertėj prie jokio bigtiio skičius rb eriboti didėj Td skom, kd sek eturi ribos rb diverguoj Pvzdţiui, sek,,,,,,,,, ribos eturi, es ėr jokio skičius, prie kurio rtėtų sekos rii, o ju griėtos Fibočio sekos,,,, 5,8,, rii eprėţti didėj, t rtėj į beglbę Apibrėžims Skičius vdims sekos rib, ki ir skirisi kip orim mţi, imt pkkmi didelius Simboliški ršome: lim Šiuo tveju tip pt skom, kd kitmsis ršom, bei skom, kd sek koverguoj rtėj prie, ir Apibrėžims Sek vdim didėjčiąj, ki su kiekvie reikšme teisig elgbė, t ki didesius rių umerius titik didesi sekos rii Apibrėžims Sek vdim mžėjčiąj, ki su kiekvie reikšme teisig elgbė 55

56 Ki, turime emžėjčią seką, ki edidėjčią seką Nemţėjčios ir edidėjčios bei didėjčios ir mţėjčios sekos vdimos mootoiėmis sekomis Apibrėžims Sek vdim prėžtąj, ki visi jos rii prikluso kurim ors bigtiim itervlui (m;m), t teki sąlgą m M Teorem Mootoiė ir prėţt sek turi ribą Teorem Trpiio kitmojo ribos teorem Jei z ir rtėj prie, rtėj prie, ti ir z rtėj prie, či N Ši teorem juokis vdi dviejų policiikų teorem (6 pv) Mt jeigu trp dviejų policiikų ir svruoj girtuoklis z, ti jis tsidurs uovdoje, į kurią policiiki jį ir ved 6 pv Nežiomo utorius kriktūr Psiudodmi šiuo poţmiu susipţisime su svrbi mtemtie kostt skičiumi e, kurios bedrsis rs: Imkime seką, N Apskičivę kelis šios sekos rius, pvzdţiui, ki =, =, =, =, gume tokis ptiksles reikšmes: ;, 59 ;, 75;, 77 56

57 Įrodt, kd reikšmės prikluso itervlui (; ) Ti reiški, jog sek r prėţt ir mootoiški didėjti, todėl turi bigtię ribą Ši rib ir buvo pvdit skičiumi e : lim e Logritmi, kurių pgrids r e, vdimi tūrliisiis ir ţmimi l loge Rodikliė fukcij, kurios pgrids e, vdim ekspoetie fukcij ir ţmim ep e Ribų skičivimo tisklės Remitis tik pibrėţimu ėr legv ir pprst pskičiuoti sekos ribą, todėl psitelksime kelis ribų skičivimo tiskles koverguoj, t lim A, lim B, ti: Jei sekos ir ) A B lim ; ) lim C C A, či C cost ; ) A B lim ; ) lim ; A 5) lim, ki B B Jei vietoje sekų ir 57 r dugirii, be to A B, ti prvrtu įsimiti šią tisklę: Skičiuojt dugirių dlmes ribą, kiekvieą dėmeį skitiklje ir vrdiklje reiki dlti iš didţiusio trupmeoje esčių dugirių lipsio Pvzdžii Apskičiuosime ribs: ) lim lim lim

58 58 5 lim ) 5 lim 5 lim 5 lim 5 lim ) 5 lim 5 lim 5 lim 5 lim Geometriė progresij Apibrėžims Geometrie progresij vdim tokių skičių sek, kurios dviejų gretimų rių stkis r pstovus skičius q, vdims geometriės progresijos vrdikliu: q, q, Kdgi q, ti geometrię progresiją glim uţršti ir tip:,,,,,, q q q q Prisimeme sudėtiių plūkų skičivimo formulę N t i S p S S Mtome, kd ti geometriė progresij Kits geometriės progresijos pvzds r turto uvertėjimo skičivims dvigubo mţėjimo metodu:

59 C C, m či C dikto vertė metų prdţioje, m dikto gvvimo trukmė metis, C dikto vertė po metų Pvzds Automobilio prdiė vertė Lt ir jo gvvimo trukmė r metų Apskičiuosime utomobilio likutię vertę po 5 metų; po metų C, m, 5, vdisi utomobilio likutię vertę po 5 metų bus C 7, 5 Lt, o po metų C 9,98 Lt pirmųjų rių sum r vdim dlie sum ir ţmim Sekos S, t S q q q q Iš viduriės mokklos mtemtikos pmokų geri ţiome šios sumos skičivimo formulę: q S q q q q Sudrkime geometriės progresijos dliių sumų seką: ; ; ;; S q q q q q q q ; q q 5 q Jei sumuojmi visi kitokios sekos reiškis, vdims skičių eilute: rii, ti gums Apibrėžims Jeigu egzistuoj eilutės dliių sumų sekos S bigtiė rib, ti ši rib vdim eilutės sum, o eilutė koverguojči; kitis tvejis eilutė vdim diverguojči Rskime begliės geometriės progresijos sumą Iš pibrėţimo sek, kd reiki skičiuoti dliių sumų sekos ribą: 59

60 q q q q q lim S lim q q q lim lim lim Ši rib lim q prikluso uo q didumo Glimi trs tveji: ) jei q, ti limq ir lim S S q ; ) jei q, ti lim q, vdisi begliė geometriės progresijos eilutės sum lgi ; ) jei q, vėl gume eprėţti didėjčią eilutę, kurios sum lgi beglbei, o ki q, gume eilutę, kuri eturi ribos Todėl glim teigti, kd geometriės progresijos eilutė koverguoj, ki q, tokiu tveju jos sum S, ir diverguoj, ki q q Pesijų drudims, bedrovės vertės usttms, kcijų ki ir ivesticiii spredimi ti piigų sruti, kurie teoriški gli tęstis be glo ilgi, td spredţit šiuos uţdviius prverči ţiios pie beglię geometrię progresiją Kupimsis pesijų drudims umto etermiuoti ilgi mokėti pesiikui vieodą piigų sumą priedą prie sociliės pesijos Kl klusims: kokią piigų sumą turi sukupti pesiiks, kd išėjus į pesiją jm ks mėesį būtų mokms P Lt prieds, jei progozuojm mėesio plūkų orm r %? Po pirmo mėesio pesiiks gus: P P i, či P pesiiko įšs Po tro mėesio pesiiks gus: P P i, či P pesiiko įšs Po -tojo mėesio pesiiks gus: P P i, či P pesiiko įšs Išreikškime iki pesijos mokmus įšus: P P P ; i ; P P ; P i ; i Sudėjus šis sums gusime ieškomąją piigų sumą, kurią turi sukupti pesiiks, kd išėjus į pesiją jm ks mėesį būtų mokms P Lt prieds: 6

61 P P P S i i i Ti begliė kstm geometriė progresij, es jos vrdiklis r mţesis uţ, q, i todėl ši eilutė koverguoj ir jos sum: P P i i P i P S q i i i i i i Ši formulė udojm e tik pesijų, bet ir obligcijų bei dividedų dbrtiei vertei usttti Tigi, pesiiks, orėdms iki gvos glvos guti Lt priedą prie svo pesijos, jei umtom % mėesio plūkų orm, iki pesijos pirmos dieos turi būti sukupęs: P S Lt i, Svrkiškm drbui: Prškite šių sekų kelis pirmuosius rius: ) ; )!! ;)! :) Rskite šių sekų bedruosius rius: ),, 5, 7, 9, ; ), 5, 7, 9,, ; ),,,,, 5 Apskičiuokite ribs: ) lim ; ) lim ; 5 5 ) lim ; 5) lim ; ) lim ; 5 6

62 6) lim ; 5 8) lim 7) lim ; Kuri iš šių sekų r geometriė progresij: ) ; ) ; ) ; ) 5,,,,! 5 Buvo sudrt gvbės drudimo sutrtis su mėesiiu Lt įšu Koki sum bus sukupt po metų, jei buvo ţdėtos % metiių plūkų 6 Turto vertė metų prdţioje r Lt, o gvvimo trukmė metų Pgl dvigubo mţėjimo metodą pskičiuokite turto vertę kiekvieis metis 6

63 7 SKYRIUS FUNKCIJOS RIBOS, TOLYDUMAS Visi žmoės gimst kokim ors drbui Visi žeme vikščiojtieji turi svo priedermes gveime E Hemigvėjus 5 Fukcijos rib Fukcijos ribos pibrėţims g sudėtigs, todėl piliustruosime jį tokiu pvzdţiu Ištirsime, kokis reikšmes įgj fukcij f ( ), ki įgj reikšmes rtims, t dvejeto plikoje:,9,99,999,,, f(),9,99,999 epibrėţt,,, Iš letelės mtti, kd fukcijos f() reikšmės, ki reikšmės rtimos, mţi skirisi uo skičius Tokiu tveju skom, kd fukcijos f() rib, ki rtėj prie, r lgi ir uţršom lim Trkime, kd fukcij f () pibrėţt tm tikroje tško plikoje ir ebūtii pčime tške Apibrėžims Skičius b vdims fukcijos f () rib, ki rtėj prie, jei imt kip orime mţą skičių > rdm toki tško plik ;, kd su visis iš šios plikos, titikmos fukcijos reikšmės ptek į skičius b pliką b ; b ; tokiu tveju ršom lim f ( ) b Geometriški pibrėţims pvizduots 7 pveiksle 7 pv Fukcijos rib, ki rtėj prie 5 Erest Miller Hemigw (899 96) merikiečių romists ir ovelists, trumpų istorijų rštojs, Nobelio litertūros premijos lurets 6

64 Yr tokių fukcijų, kurios r pibrėţtos visoje skičių tiesėje, tčiu eturi ribos tške, pvzdţiui:, f ( ) ;, Fukcijos rib, ki, būdms didesis uţ, skirisi uo ribos, ki, būdms mţesis uţ (7 pv) Mtome, kd fukcijos reikšmės rtėj prie, ki iš kirės ( ), o ki, iš dešiės (+), fukcijos reikšmės rtėj prie Tokiu tveju, sksime, kd fukcij turi viepuses ribs: ) ki iš kirės, f() rib ţmim lim f ( ) ; ) ki iš dešiės, f() rib ţmim lim f ( ) 7 pv Fukcijos viepusės ribos Teorem Fukcij f (), pibrėţt su visomis reikšmėmis, rtimomis skičiui, turi ribą td ir tik td, ki bi viepusės ribos ške sutmp: lim f ( ) b lim f ( ) lim f ( ) b 6 Įvirios ekoomiės ktegorijos, kip ti ribiės pjmos, ribiis pels, pklus, psiūl bei fukcijų elstigums, r pgrįstos fukcijos ribos sąvok Nusttt prekės kią, vertit būsimą prekės pklusą, spredţit gmbos didiimo klusimą fukcijos ribos sąvok r būti Pvzdžii Remdmiesi grfiku, usttsime šis fukcijų f () ribs: lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( )

65 lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) eegzistuoj; lim f ( ) ; lim f ( ) Ngriėkime vidutiių gmbos sąudų modelį Jei vieo gmiio sviki r tūkstčii Lt, ti gmit vieetų kitmosios sąudos r VC( ) tūkstčių Lt Skkime, kd pstovios sąudos FC tūksttis Lt Vidutiės sąudos rodo sąudų kiekį, reikimą viem produkcijos vieetui pgmiti, todėl VC vidutiės kitmos sąudos AVC, VC FC vidutiės bedrosios sąudos AC Iš grfiko, pvizduoto 7 pveiksle, mtti, kd didėjt reikšmėms, fukcijos grfiks vidutiės bedrosios sąudos rtėj prie horizotliosios tiesės, t vidutiių kitmų sąudų grfiko 7 pv Vidutiės bedrosios sąudos 65