Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση (Multiple Linear Regression)

Transcript

1 Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 7 Ενότητα 6: Πολλαπλή Γραική Παλινδρόηη ultle Lear Regresso Στην προηγούνη νότητα χρηιοποιήα το απλό γραικό οντέλο για να διρυνήου την ξάρτηη ιας ταβλητή Υ απόκριης ή ξαρτηένη από ια άλλη ταβλητή Χ ρ- ηνυτική ή ανξάρτητη. Σ αρκτά όως προβλήατα η ταβλητή απόκριης Υ πορί να θωρηθί ότι πηράζται από πριότρς από ια ρηνυτικές ταβλητές έτω Χ Χ Χ -. Μπορού και πάλι να χρηιοποιήου ένα γραικό οντέλο για να διρυνήου την ξάρτηη της από τις -. Το οντέλο αυτό το οποίο αποτλί γνίκυη του οντέλου Υ Χ που λτήα την προηγούνη νότητα θα έχι τη ορφή... για κάποις παραέτρους -. Για να διρυνηθί η χέη ταξύ της και των - λαβάνται δίγα γέθους και για κάθ άτοο του δίγατος καταγράφονται οι τιές των υγκκριένων ταβλητών. Π.χ. για το -άτοο του δίγατος καταγράφονται οι τιές Υ Χ Χ Χ -. Εφαρόζου λοιπόν το οντέλο... όπου τα «φάλατα» θωρούνται ανξάρτητς τ.. από την N νώ οι ρηνυτικές ταβλητές - όπως και το απλό γραικό οντέλο δν θωρούνται τυχαίς. Το παραπάνω οντέλο γράφται τη βοήθια πινάκων την απλούτρη ορφή: όπου L L. Ο πίνακας καλίται και πίνακας χδιαού. Στο πολλαπλό οντέλο θωρού ότι τα ηία δν βρίκονται «κοντά» ια υθία αλλά «κοντά» ένα υπρπίπδο τις διατάις. 6.. Εκτίηη των παραέτρων - και Το τυχαίο διάνυα αποτλίται από ανξάρτητς Ν τυχαίς ταβλητές και πο- ένως θα έχι από κοινού.π.π. Ν Ι δηλαδή ακολουθί ία πολυδιάτατη κανονική κατανο- ή όπου Ι ίναι ο οναδιαίος πίνακας διάταης. Ως υνέπια το τυχαίο διάνυα Ως γνωτό η ονοδιάτατη κανονική κατανοή Ν έχι.π.π. / / π π e e f. Η παραπάνω πυκνότητα γνικύται k διατάις πολυδιάτατη κανονική ΝΣ ως ξής: kk k k k k k k k k e f π L L / /... Σ Σ Σ. Α Τ ίναι ο ανάτροφος πίνακας του Α. Ο Σ ίναι ένας k k πίνακας οριτικά θτικός δηλ. Σ > για κάθ και Σ ίναι η ορίζουά του. Αποδικνύται ότι αν Ζ Ζ Ζ Ζ k ~ NΣ τότ CovZ Z j j δηλαδή ο Σ ίναι ο πίνακας των διαπορών - υνδιαπορών του Ζ γράφου VZ Σ νώ πίης Z ~ N τη διαγώνιο βρίκονται οι διαπορές των Ζ. Αν Σ Ι k όπου Ι k ίναι ο οναδιαίος πίνακας έχι τη διαγώνιο και αλλού τότ οι τ.. Ζ Ζ Ζ k ίναι ανξάρτητς κανονικές τ.. διαπορά.

2 Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 7 [ ] Τ θα ακολουθί και αυτό πολυδιάτατη κανονική N Ι υνάρτηη πιθανοφάνιας / / ;... y y e y y y f L π η οποία γιτοποιίται ως προς ώτ να πάρου την..π. του όταν λαχιτοποιίται το. Το παραπάνω γράφται και παραγωγίζοντας ως προς... d d f f f ίναι ίο από ιδιότητς πινάκων d d Η παραπάνω παράγωγος δηλ. το διάνυα των ρικών παραγώγων ίναι ίη όταν. Το παραπάνω ύτηα των ξιώων αγνώτους το διάνυα έχι οναδική λύη όταν υπάρχι ο αντίτροφος του Χ Τ Χ και αυτή την πρίπτωη οι κτιήτρις έγιτης πιθανοφάνιας για το [ - ] θα ίναι αποδ. ότι πράγατι αποτλί λάχιτο της. Επίης..π. του ίναι η.... Όπως και το απλό γραικό οντέλο καλού προβλέψις των Υ redcted ή προαροένς πάνω το κτιηένο πίπδο γραικής παλινδρόηης τιές των Υ τις κτιήις των ΕΥ - - :... ή υνοπτικά P P. Και δώ οι διαφορές των προαροένων από τις παρατηρούνς Υ καλούνται κατάλοιπα resduals ή κτιηένα φάλατα και υβολίζονται ή υνοπτικά P I όπου ο P ίναι γνωτός ως πίνακας ορθής προβολής rojecto ή hat matr. 6.. Έλγχοι υποθέων και δ.. για τις παραέτρους του οντέλου. Υποθέτοντας ότι το διάνυα των φαλάτων ~ Ν Ι αποδικνύται ότι ~ Τ N

3 πολυδιάτατη κανονική έο [ - ] και πίνακα διαποράς υνδιαποράς Χ Τ Χ -. Επίης αποδικνύται ότι ~ I P χ χι-ττράγωνο βαθούς λυθρίας. Συνπώς ανάλογα και το απλό γραικό οντέλο θέτου ως κτιήτρια του την αρόληπτη αντί της..π. που ίδα παραπάνω S. Αν υβολίου c τα διαγώνια τοιχία του πίνακα Τ τότ προφανώς από όπου και από το γγονός ότι ~ N c Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 73 S / ~ χ S ανξάρτητη των προκύπτι ότι ~ t S c και ποένως τα παρακάτω ίναι δ.. για τα - αντίτοιχα.. a: a a S ct S ct νώ για τον έλγχο της υπόθης H : θα έχου αντίτοιχς πριοχές απόρριψης δίπλυροι έλγχοι.. a: K : a > t όπου S c αντίτοιχα -value αν από τα δδοένα βρέθηκ ότι t value P > t F t. t Αν για κάποιο απορριφθί η υπόθη Η : τότ πορού να πού ότι η ταβλητή Υ ξαρτάται από την Ερηνύοντας τη υνολική ταβλητότητα του οντέλου Όπως ακριβώς και το απλό γραικό οντέλο η διγατική διαπορά των παρατηρήων αποδικνύται ότι χωρίζται δύο αθροίατα τα οποία υβολίζονται και πάλι SS SSE και SSR αντίτοιχα. Το SS κφράζι τη υνολική παρατηρούνη ταβλητότητα των Υ το SSR κφράζι τη ταβλητότητα των προαροένων τιών νώ το SSE κφράζι τη ταβλητότητα των Υ χέη τις αντίτοιχς προαροένς τιές. Η ταβλητότητα του SSR ρηνύται από το οντέλο νώ του SSE όχι βλ. προηγ. νότητα. Το πηλίκο υντλτής προδιοριού SSR SS SSE R SS SS πορί να θωρηθί ότι κφράζι το ποοτό της ταβλητότητας των Υ που ρηνύται από το οντέλο. Είδα παραπάνω ότι SSE ~ χ. Επίης αν - τότ αποδικνύται ότι

4 SSR SS ~ χ και ~ χ διαφορτικά ακολουθούν κάποις η-κντρικές κατανοές χι-ττράγωνο. Εποένως αν - τότ SSR / SSR F / ~ F SSE / SSE / διότι SSR και SSE ίναι ανξάρτητς. Από το παραπάνω πορού να κατακυάου έναν έ- λγχο για την υπόθη Η : - δηλ. ότι η Υ δν ξαρτάται από καία από τις Χ Χ Χ -. Θα απορρίπτται η Η όταν η παραπάνω τατιτική υνάρτηη λαβάνι αυνήθιτα υπό την Η γάλς τιές δηλαδή όταν.. α SSR / F > F a : άνω a-ηίο της κατανοής F και β.. SSE / αντίτοιχο -value: SSR / value FF SSE / όπου FF ίναι η.κ. της κατανοής F --. Αντίθτα από το απλό το πολλαπλό οντέλο ο παραπάνω έλγχος έω της F ίναι διαφορτικός από τους έλγχους που ίδα την προηγούνη παράγραφο χρηιοποιώντας τις τατιτικές υναρτήις Τ... διότι οι έλγχοι κίνοι αφορούν τις υποθέις Η : Η : Η : - ξχωριτά. Όλς οι παραπάνω ποότητς υνοψίζονται και πάλι τον πίνακα ανάλυης διαποράς ANOVA: Sum of Squares df ea Square F-Rato Sg. -value Regresso SSReg P J SSR SR SR SE FF SR SE Resduals SSE I P SSE SE S otal SSΤ I J P J 6.4. Ατοική και έη πρόβλψη της Υ Αφού έχου κτιήι τους υντλτές - πορού να κάνου πρόβλψη της ταβλητής για οποιδήποτ τιές των ταβλητών Όπως και το απλό γραικό οντέλο πορού να προβλέψου την Υ και έω νός διατήατος: Το διάτηα έης πρόβλψης του Υ όταν - - δ.. υντ. a για το E - - [ - ] Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 74

5 a a S t S t. Αν πάρου έναν γάλο αριθό παρατηρήων - - τότ η έη τιή της αυτές τις παρατηρήις θα βρίκται έα το διάτηα έης πρόβλψης.. a. Το διάτηα ατοικής πρόβλψης dvdual redcto terval του όταν - - ίναι ένα διάτηα έα το οποίο βρίκται η - - πιθανότητα a: a a S t S t Αν πάρου ία νέα παρατήρηη - - τότ το Υ θα βρίκται έα το διάτηα ατοικής πρόβλψης.. a Εξέταη της ορθότητας του οντέλου. Όπως και το απλό γραικό οντέλο θα πρέπι να ββαιωθού ότι οι παρατηρήις ας προαρόζονται ικανοποιητικά το πολλαπλό οντέλο ώτ τα υπράατα που προκύπτουν να θωρούνται αξιόπιτα. ιαφορτικά θα πρέπι να τροποποιήου κατάλληλα το οντέλο. Ο έ- λγχος της ορθότητας του πολλαπλού οντέλου γίνται ακριβώς το ίδιο τρόπο που γίνται και το απλό βλ. παρ Χρηιοποιού και πάλι τα τυποποιηένα κατάλοιπα * S. όπου τώρα τα οχλύις - leverages ίναι τα τοιχία που βρίκονται τη διαγώνιο του πίνακα P Σύγκριη οντέλων Αρκτές φορές υβαίνι να έχου καταγράψι τις τιές αρκτών ανξάρτητων ταβλητών Χ Χ Χ - και θέλου να ξτάου ποιές από αυτές πηράζουν την ταβλητή απόκριης Υ. Ένας τρόπος που δν ίναι πάντα ο υντοότρος ίναι να φαρόου όλα τα δυνατά οντέλα και να πιλέξου αυτό που δίνι τα «καλύτρα» αποτλέατα. Αν π.χ. έχου καταγράψι τρις ταβλητές Χ Χ Χ 3 τότ πορού να ξτάου τα οντέλα: και να θωρήου καλύτρο αυτό που δίνι το γαλύτρο υντλτή προδιοριού R. Γρήγορα όως διαπιτώνου ότι το οντέλο το γαλύτρο R SSE/SS δν ίναι πάντοτ το καλύτρο. Αυτό υβαίνι διότι όο προθέτου ανξάρτητς ταβλητές το οντέλο όποις και αν ίναι αυτές το R αυξάνται ή παραένι ταθρό. Πράγατι όταν προθέτου ανξάρτητς ταβλητές το SSE ιώνται ή ένι ταθρό αφού SSE m νώ το SS παραένι πάντοτ ταθρό και η παραπάνω λαχιτοποίηη γίνται γαλύτρο χώρο πριότρα. Π.χ. έτω ότι η Υ πηράζται από τις Χ Χ νώ δν πηράζται καθόλου από την Χ 3 οπότ καλύτρο οντέλο θα έπρπ να ίναι το Υ. Προθέτοντας όως την Χ 3 αυτό το οντέλο προκύπτι το οντέλο Υ 3 3 το οποίο ύφωνα τα παραπάνω θα έχι γαλύτρο ή ίο R από το Υ. Εποένως Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 75

6 το R δν δίχνι πάντοτ το «καλύτρο» οντέλο. Αντί του R προτίνται η χρήη του «προαρ- οένου» R R adjusted. Έτι καλύτρο θα θωρίται το οντέλο το γαλύτρο SSE R adj. SS / Το προαροένο R «δίχνι» ως καλύτρο το οντέλο που έχι το ικρότρο S SSE/ το SS ίναι ταθρό όλα τα οντέλα. Ο δίκτης αυτός δν αυξάνται πάντοτ όταν αυξάνονται οι ανξάρτητς ταβλητές. Αξίζι να αναφρθί ότι για την ύρη του καλύτρου οντέλου έχουν προταθί και άλλοι δίκτς διάφορς αιτιολογήις Πολυυγγραικότητα Στην πολλαπλή παλινδρόηη ίναι δυνατό κάποις από τις ανξάρτητς ταβλητές - να ίναι γραικά ξαρτηένς υνέπια ο πίνακας πληροφορίας Χ Τ Χ να ην αντιτρέφται η ορίζουα του ίναι. Αυτό το πρόβληα ίναι γνωτό ως πρόβληα πολυυγγραικότητας. Ένας απλός τρόπος αντιτώπιης του ίναι η αφαίρη κάποιων ανξάρτητων ταβλητών από το οντέλο χάνοντας όως «πληροφορία». Ακόη και όταν η ορίζουα του Χ Τ Χ δν ίναι ακριβώς αλλά «κοντά» το αθνής πολυυγγραικότητα παρουιάζται πρόβληα. Σ αυτή την πρίπτωη πορί να φανιτούν φάλατα τρογγύλυης κατά την αντιτροφή του Χ Τ Χ υνέπια οι κτιήις που παίρνου- να ην ίναι αξιόπιτς. Αυτό υνήθως αντιτωπίζται ως ένα βαθό από το ίδιο το πακέτο το οποίο πριν προβί τους υπολογιούς των κτιήων τυποποιί όλς τις ταβλητές π.χ. ώτ να παίρνουν τιές το και κατά την φάνιη των αποτλάτων τις παναφέρι την αρχική κλίακα. Η ορίζουα του Χ Τ Χ ίναι κοντά το όταν υπάρχι ιχυρή υχέτιη ταξύ των ανξάρτητων ταβλητών. Μία ακόη «παρνέργια» της υγκκριένης κατάταης ίναι ότι πορί ο- ριένς ταβλητές να φαίνονται «ηαντικές» αντίτοιχο -value το t-ττ κοντά το κάποιο οντέλο νώ παύουν να ίναι ηαντικές όταν το οντέλο προθέου και άλλς ανξάρτητς ταβλητές. Για παράδιγα πορί το οντέλο Υ η να ίναι ηαντική απορρίπτου ότι νώ το γαλύτρο οντέλο Υ 3 3 να ην ίναι πια ηαντική νώ η Χ 3 που προθέα να ίναι. Χοντρικά αυτό πορί να υβαίνι διότι η Χ 3 ίναι αυτή που πηράζι την Υ αλλά όταν φαρόζου το πρώτο οντέλο το οποίο απουιάζι η Χ 3 η Χ φαίνται ηαντική διότι «οιάζι» την Χ 3. Όταν ντοπίου οάδα ή οάδς από ιχυρά υχτιένς ταβλητές π.χ. από τον πίνακα υχτίων των Χ τότ θα πρέπι το βέλτιτο οντέλο να κρατήου ία από κάθ οάδα. Σ αρκτές πριπτώις αυτό δν ίναι ύκολο οπότ ίναι ανάγκη να χρηιοποιήου άλλς θόδους π.χ. rcal comoets regresso ή rdge regresso. Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 76

7 Άκηη. Η γύη νός τυριού ξαρτάται από τη χηική του ύνθη η οποία πορί να αλλάζι την πάροδο του χρόνου. Για να διρυνηθούν ποις χηικές ουίς καθορίζουν γάλο βαθό την γύη νός τυριού Cheddar λήφθη δίγα 3 τέτοιων τυριών διάφορα τάδια ωρίανης. Σ καθένα από αυτά έγιν κτίηη της γύης από ένα ύνολο δοκιατών και τρήθηκ η πρικτικότητα τρις χηικές ουίς:. Acetc: Λογάριθος της πρικτικότητας οξικό οξύ acetc acd. HS: Λογάριθος της πρικτικότητας υδρόθιο hydroge sulfde 3. Lactc: πρικτικότητα γαλακτικό οξύ lactc acd Case taste Acetc HS Lactc Case taste Acetc HS Lactc Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 77 oore Davd S. ad George P. ccae 989. Itroducto to the Practce of Statstcs Στην υγκκριένη πρίπτωη πιθυού να διρυνήου την πιρροή της ξαρτηένης ταβλητής taste από τις ανξάρτητς ταβλητές Acetc ΗS Χ και Lactc 3.. Να φαρότ το οντέλο Υ Χ. Από το οντέλο αυτό πορού να πού ότι η πρικτικότητα οξικό οξύ πηράζι τη γύη του τυριού;. Να κατακυάτ όλα τα ανα δύο γραφήατα διαποράς των ταβλητών Υ Χ Χ Χ 3. Φαίνται να υπάρχι χέη ταξύ των ταβλητών; 3. Να φαρότ το οντέλο Υ Χ Χ 3 Χ 3. α Να κτιήτ τα ηιακά και δ.. υντλτού 95%. β Ποις ανξάρτητς ταβλητές πηράζουν την γύη νός τυριού;.. 5% γ Να κατακυάτ τον πίνακα ανάλυης διαποράς ΑNOVA και να κάντ τον έ- λγχο Η : 3 του οντέλου έω του F-ττ. Ποια ίναι η κτίηη της διαποράς των φαλάτων; δ Τι ποοτό της ταβλητότητας των ρηνύται από το οντέλο; 4. Ποιο από τα δύο οντέλα Υ Χ Χ 3 Υ Χ Χ 3 Χ 3 θωρίται «καλύτρο». Παρατηρίτ κάτι αντιφατικό χέη το ρώτηα ; να δώτ ρηνία 5. Εφαρότ το οντέλο Υ Χ Χ 3. α Να κτιήτ τα ηιακά και δ.. υντλτού 95%. Πώς πηράζται η γύη όταν ταβάλλονται το Γαλακτικό οξύ και το υδρόθιο; Ποιας ταβλητής η ταβολή πηράζι πριότρο την ταβολή της γύης; β Να δοθούν οι προαροένς τιές των Υ προβλέψις των Υ και τα τυποποιηένα κατάλοιπα. Υπάρχουν έ- κτροπς παρατηρήις; γ Εάν ένα τυρί έχι πρικτικότητα 3 και Log υδρόθιο και Γαλακτικό οξύ αντίτοιχα δώτ ια πρόβλψη του δίκτη της γύης του; δώτ ηιακή πρόβλψη και κατάλληλο διάτηα πρόβλψης. 6. Να κατακυάτ το τριδιάτατο γράφηα διαποράς των ΗS Lactc aste αζί το κτι- ηένο πίπδο γραικής παλινδρόηης. 7. Να γίνι έλγχος ορθότητας του οντέλου: α Εξτάτ αν τα τυποποιηένα κατάλοιπα προέρχονται πράγατι από κανονική κατανοή ιτόγραα Q-Q ή P-P lots και K-S ττ. β Εξτάτ αν υπάρχι χέη ταξύ των τυποποιηένων καταλοίπων και των ταβλητών Χ Χ 3 Υ. 8. Σ προηγούνη έρυνα έχι βρθί ότι η ταβολή της Lactc πηράζι 4 φορές πριότρο την ταβολή της γύης από ότι η ταβολή της ΗS. Επαληθύται αυτό από το βέλτιτο οντέλο Υ Χ Χ 3 ξάρτηη taste από ΗS Lactc που ίδα παραπάνω;.. 5%

8 Λύη.. Αρχικά ιάγου τα δδοένα το SPSS τέρις ταβλητές τήλς aste Acetc ΗS και Lactc. Εφαρόζοντας το υγκκριένο οντέλο Aalyze/Regresso/Lear/Deedet:aste Ideedet: Acetc λαβάνου τους πίνακς Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate 55 a a. Predctors: Costat ACEIC. Deedet Varale: ASE Regresso Resdual otal a. Predctors: Costat ACEIC. Deedet Varale: ASE ANOVA Sum of Squares df ea Square F Sg a Costat ACEIC a. Deedet Varale: ASE Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a Stadard zed Coeffce ts B Std. Error Beta t Sg Από το t-test του τρίτου πίνακα ή ιοδύναα από το F-test του δύτρου πίνακα βλέπου ότι το -value του λέγχου Η : ίναι. και ποένως απορρίπτου την Η. Σύφωνα το οντέλο αυτό η πρικτικότητα του τυριού οξικό οξύ πηράζι την γύη του τυριού.. Αντί να κατακυάου ξχωριτά όλα αυτά τα γραφήατα 4 3 γραφήατα πορού να τα κατακυάου όλα αζί ένα γράφηα από την διαδικαία Grahs/Scatter/atr/matr varales: aste Acetc ΗS Lactc: ASE ACEIC HS LACIC Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 78

9 Παρατηρού ότι ανά δύο όλς οι ταβλητές παρουιάζουν κάποια θτική υχέτιη ταξύ τους και ιδιαίτρα η aste φαίνται να ξαρτάται και από τις τρις ταβλητές 3 χήατα ης γρα- ής. 3. Εφαρόζου το πολλαπλό γραικό οντέλο Υ Χ Χ 3 Χ 3 Aalyze/ Regresso/ Lear/ Deedet:aste Ideedet: Acetc ΗS Lactc Statstcs:cofdece tervals λαβάνοντας τους πίνακς: Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate 87 a a. Predctors: Costat LACIC ACEIC HS. Deedet Varale: ASE Regresso Resdual otal ANOVA Sum of Squares df ea Square F Sg a a. Predctors: Costat LACIC ACEIC HS. Deedet Varale: ASE Costat ACEIC HS LACIC a. Deedet Varale: ASE Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a Stadard zed Coeffce ts 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error Beta t Sg. Lower Boud Uer Boud α Οι παραπάνω πίνακς πριλαβάνουν ποότητς αντίτοιχς αυτές που φανίζονται τους πίνακς του απλού γραικού οντέλου βλ. Άκηη προηγούνης νότητας. Από τον τρίτο πίνακα λαβάνου τις κτιήις για τα 3 αντίτοιχα. Στον ίδιο πίνακα δίνονται και τα δ.. για τα. β Τα t-ττ του τρίτου πίνακα αφορούν τους λέγχους Η : Η : Η : και Η : 3 αντίτοιχα. Από τα -value και.3 απορρίπτου.. 5% τις υποθέις Η : Η : 3. Εποένως ύφωνα τα παραπάνω όνο οι ταβλητές HS και Lactc φαίνται να πηράζουν την γύη του τυριού. γ Ο πίνακας ανάλυης διαποράς δίνται παραπάνω. Ο έλγχος της υπόθης Η : 3 το πολλαπλό οντέλο γίνται έω του F-ττ. Το υγκκριένο ττ δίνι -value χδόν και ποένως απορρίπτου την υγκκριένη υπόθη απορρίπτου δηλαδή ότι η γύη του τυριού ίναι ανξάρτητη από όλς τις υγκκριένς χηικές ουίς ξάλλου ίδα από τα t-tests ότι οι ταβλητές HS και Lactc πηράζουν την taste. Η κτίηη της διαποράς των φαλάτων του ίναι το SSE/.63 από τον πίνακα ANOVA. Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 79

10 δ Τo ποοτό της ταβλητότητας των που ρηνύται από το οντέλο ίναι R Σύφωνα την παράγραφο 6.5. καλύτρο οντέλο πορού να θωρήου αυτό που δίνι γαλύτρο προαροένο R adjusted R square. Το Υ Χ Χ 3 δίνι adjusted R square.66 υγκκριένα Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate 87 a a. Predctors: Costat LACIC HS. Deedet Varale: ASE νώ το Υ Χ Χ 3 Χ 3 δίνι adjusted R square.6 βλ. αντίτοιχο πίνακα το προηγ. ρώτηα. Καλύτρο ποένως ίναι αυτό που πριέχι όνο τις HS και Lactc και όχι την Acetc. Αυτό δικαιολογίται και από το γγονός ότι το πλήρς οντέλο που ξτάα το προηγούνο ρώτηα η ταβλητή Acetc δν ήταν ηαντική δν πηράζι την γύη του τυριού. Αυτό έρχται αντίθη από το οντέλο που φαρόα το ρώτηα όπου βρήκα την ταβλητή Acetc ηαντική. Το γγονός αυτό οφίλται την πολυυγγραικότητα των ανξάρτητων ταβλητών βλ. παρ Χονδρικά πορού να το ρηνύου ως ξής: η ταβλητή taste ξαρτάται όνο από τις HS και Lactc όπως διαπιτώνται το πλήρς οντέλο. Η ταβλητή Acetc έχι υψηλή υχέτιη τις δύο αυτές ταβλητές και έτι όταν βρίκται όνο αυτή το οντέλο απουιάζουν οι άλλς δύο φαίνται να πηράζι την taste απλώς διότι «οιάζι» τις άλλς δύο. 5. α Εφαρόζοντας το οντέλο όπως και παραπάνω παίρνου τους πίνακς Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estmate 87 a a. Predctors: Costat LACIC HS. Deedet Varale: ASE Regresso Resdual otal a. Predctors: Costat LACIC HS. Deedet Varale: ASE ANOVA Sum of Squares df ea Square F Sg a Costat HS LACIC Ustadardzed Coeffcets a. Deedet Varale: ASE Coeffcets a Stadard zed Coeffce ts 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error Beta t Sg. Lower Boud Uer Boud Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 8

11 Οι κτιήις των δίνονται τον παραπάνω πίνακα και αντίτοιχα. Παρατηρού ότι όο αυξάνται η πρικτικότητα υδρόθιο ή Γαλακτικό οξύ βλτιώνται και η γύη του τυριού τα αντίτοιχα ίναι θτικά. Επίης βλέπου ότι η αύξηη της ταβλητής ΗS κατά ία ονάδα αυξάνι την ταβλητή taste κατά 3.9 ονάδς πρίπου νώ αντίτοιχα η αύξηη της ταβλητής Lactc κατά ία ονάδα αυξάνι την ταβλητή taste κατά 9.9 ονάδς πρίπου. Εποένως η ταβολή της πρικτικότητας γαλακτικό οξύ πηράζι πριότρο την ταβολή της γύης. Προοχή τα παραπάνω υβαίνουν τουλάχιτον έα το ύρος των τιών που παίρνουν οι υγκκριένς ταβλητές το δίγα η HS παίρνι τιές ταξύ του 3 και του. νώ η Lactc ταξύ του.86 έως του.. Έξω από αυτά τα όρια πορί το οντέλο να ίναι διαφορτικό. β Όπως και το απλό γραικό οντέλο αυτό πορί να γίνι κτλώντας την ίδια ανάλυη Regresso/Lear/Deedet: taste Ideedet: Lactc HS πιλέγοντας save : ustadardzed redcted values studetzed resduals. Στον πίνακα δδοένων Data edtor προτίθνται δύο νές τήλς που έχουν τις ζητούνς ποότητς: Case taste HS Lactc redcted Stud. res. Case taste HS Lactc redcted Stud. res Έκτροπς παρατηρήις δν υπάρχουν όλα τα τυποποιηένα κατάλοιπα ίναι ταξύ των -33. Μόνο η παρατήρηη 5 case 5 έχι «αυνήθιτο» κατάλοιπο κτός του -. γ Η ηιακή πρόβλψη του δίκτη της γύης νός τυριού HS 3 και Lactc θα ίναι ύφωνα το οντέλο Μπορού όως να το πάρου απυθίας από το πακέτο ως ξής: ιάγου τά την τλυταία γραή των δδοένων την 3 η γραή τις τιές αυτές 3 και τις τήλς HS και Lactc όλα τα άλλα κλιά την 3 η γραή ένουν κνά. Στη υνέχια κτλού και πάλι Aalyze / Regresso / Lear πιλέγοντας το save τώρα τα Ustadardzed redcted values Predcto Itervals Idvdual. Στην 3 η γραή λαβάνονται τα αποτλέατα: Ανανόνη τιή του δίκτη της γύης: % για την ατοική πρόβλψη: Παρατηρού ότι το διάτηα ατοικής πρόβλψης ουιατικά δν προφέρι κάποια πληροφορία διότι ίναι πολύ υρύ χέη τις τιές που παίρνι η taste. Αυτό υβαίνι διότι το υγκκριένο οντέλο ρηνύι όνο το R 65.% της παρατηρούνης ταβλητότητας της taste. Είναι χρήιο αυτό το ηίο να υπογραίου ότι γνικά δν ίναι αφαλές να ζητά πρόβλψη του για τιές των ανξάρτητων ταβλητών κτός των ορίων των τιών τους τα δδοένα. Στην υγκκριένη πρίπτωη η HS παίρνι τιές ταξύ του 3 και του. νώ η Lactc ταξύ του.86 έως του.. Εποένως δν θα ήταν αφαλές να ζητούα πρόβλψη της taste όταν π.χ. HS 3 και Lactc 3 διότι αυτή την πριοχή των ταβλητών το οντέλο πορί να ίναι διαφορτικό βλ. και ανάλογη παρατήρηη παραπάνω. Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 8

12 6. Επιλέγου Grahs/Iteractve/Scaterlot: 3D coordate ιάγοντας την taste τον κάθτο άξονα και τις ΗS Lactc τους άλλους δύο άξονς. Επίης πιλέγου Ft: Regresso costat και αν θέλου πιλέγου και τα skes:ft Le. Το χήα που λαβάνου πορί διπλό κλίκ να πριτραφί το s tool τις 3 διατάις για να πιλέξου την καλύτρη γωνία θέαης: Στο Γράφηα έχου «αρκάρι» την παρατήρηη 5 το ot d tool την οποία όπως ίδα προηγ. ρώτηα αντιτοιχί χτικά γάλο κατάλοιπο. 7. α. Το ιτόγραα και τo Q-Q lot των studetzed resduals θα ίναι Grahs/hstogram Grahs/Q-Q lot Normal Q-Q Plot of Studetzed Resdual Std. Dev ea N 3 Eected Normal Value Studetzed Resdual Oserved Value από τα οποία δν φαίνται να υπάρχι ηαντική απόκλιη από το κανονικό οντέλο. Μάλιτα το Kolmogorov Smrov ττ δίνι Aalyze/oarametrc tests/-samle K-S test Oe-Samle Kolmogorov-Smrov est N Normal Parameters a ost Etreme Dffereces Kolmogorov-Smrov Z Asym. Sg. -taled a. est dstruto s Normal.. Calculated from data. ea Std. Devato Asolute Postve Negatve Studetzed Resdual 3 95E Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 8

13 και ποένως -value.947 δν πορού να απορρίψου ότι τα τυποποιηένα κατάλοιπα προέρχονται από την κανονική κατανοή. β Κατακυάζου τα αντίτοιχα γραφήατα scatterlot των ηίων redcted studetzed resduals ΗS studetzed resduals Lactc studetzed resduals: 3 Studetzed Resdual Ustadardzed Predcted Value 3 3 Studetzed Resdual Studetzed Resdual HS Οι παρατηρήις φαίνται ότι βρίκονται τυχαία το πίπδο και τα τρία γραφήατα και ποένως δν πρέπι να υπάρχι κάποια χέη ταξύ των ταβλητών αυτών και των καταλοίπων. 8. Στο οντέλο αυτό ίχα τις κτιήις Costat HS LACIC a. Deedet Varale: ASE Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a Stadard zed Coeffce ts LACIC 95% Cofdece Iterval for B B Std. Error Beta t Sg. Lower Boud Uer Boud και ουιατικά θέλου να λέγξου αν 4. Από το γγονός ότι δν πορού να αποφανθού αν ιχύι ή δν ιχύι κάτι τέτοιο. Ο έλγχος Η : 4 δν γίνται άα από το πακέτο και για το λόγο αυτό κάνου το ξής: ορίζου ία νέα ταβλητή γ 4 ώτ ο παραπάνω έλγχος να γίνι της ορφής Η : γ. Το SPSS πορί να λέγξι αν κάποια παράτρος ίναι και άρα αρκί να φανίου ως παράτρο το οντέλο την γ. Στο οντέλο Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 83

14 Υ Χ Χ 3 αντικαθιτού την την 4 γ λαβάνοντας το Υ Χ 4 γχ 3 Υ Χ 4Χ 3γΧ 3 Αρκί τώρα να το φαρόου και να λέγξου αν Η : γ. Χρηιοποιού ια νέα ταβλητή την Z 4 3 comute Z HS 4*Lactc και από την διαδικαία Regresso/ Lear/ deedet: taste deedet:z Lactc έχου ότι Costat Z LACIC a. Deedet Varale: ASE Ustadardzed Coeffcets Coeffcets a Stadard zed Coeffce ts B Std. Error Beta t Sg από όπου δν πορού να απορρίψου ότι γ -value.7 ή ιοδύναα ότι 4. Άρα τα δδοένα αυτά παληθύουν την προηγούνη έρυνα. Boutskas.V. 4 Σηιώις αθήατος «Στατιτικά Προγράατα» Τήα Στατ. & Αφ. Επιτήης Πανπιτήιο Πιραιώς 84