Απόκριση Γραµµικών Συστηµάτων σε Εκθετικές Εισόδους

Transcript

1 Σεραφείµ Καραµογιάς Αόκριση Γραµµικών Συστηµάτων σε Εκθετικές Εισόδους h x y όου Η αόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της διακριτής συχνότητας και γενικά έχει τη µορφή + h Η συνάρτησηη είναι ο ιακριτόςμετασχηµατισµός Fourir της h και ονοµάζεται Αόκριση Συχνότητας του Συστήµατος arg +φ Acos x y Αόκριση Αόκριση λάτους φάσης Acos + φ+ arg

2 Γεωµετρικός ή γραφικός ροσδιορισµός της Η Υολογίζεται οιοτικά η αόκριση συχνότητας και βασίζεται στο διάγραµµα όλων και µηδενικών της N N b ρ ρ ρ L L Για N N b ρ ρ ρ L L θ β β β N a a a N V D D D C C C b N L L Σεραφείµ Καραµογιάς Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

3 Σεραφείµ Καραµογιάς όου C i είναιηαόστασητουµηδενικού i αότοσηµείοτουµοναδιαίουκύκλου όουκαταλήγειτοδιάνυσµα D i είναι η αόσταση του όλου p i αό το σηµείο του µοναδιαίου κύκλου όου καταλήγειτοδιάνυσµα Οιφάσειςα i καιβ i είναιοιγωνίεςτωναντιστοίχωνδιανυσµάτωνµετονάξονατων θετικών ραγµατικών p i D i β i p i i C i i a i p i β i i ai Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

4 Σεραφείµ Καραµογιάς Το µέτρο είναι καιηφάσηείναι V b C D C D LC LD N θ a + a + L β + β + Lβ b + N + a N Η αρουσία ενός µηδενικού κοντά στο µοναδιαίο κύκλο αναγκάζει το µέτρο της αόκρισης συχνότητας να αίρνει ολύ µικρές τιµές, για τιµές της συχνότητας κοντά στο συγκεκριµένο σηµείο του µοναδιαίου κύκλου Η αρουσία ενός όλου κοντά στο µοναδιαίο κύκλο αναγκάζει το µέτρο της αόκρισης συχνότητας να αίρνει ολύ µεγάλες τιµές, για τιµές της συχνότητας κοντά στο συγκεκριµένο σηµείο του µοναδιαίου κύκλου Οι όλοι ειφέρουν το αντίθετο αοτέλεσµα αό τα µηδενικά Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-4

5 Σεραφείµ Καραµογιάς Να σχεδιαστεί ψηφιακό φίλτρο το οοίο να αοκότει τη συχνότητα. φίλτρο αοκοής ή αόρριψης συχνότητας. Για να δηµιουργήσουµε ένα µηδενικό στην αόκριση συχνότητας για µία συγκεκριµένη συχνότητα αλώς εισάγουµε ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών ± µηδενικώνάνωστοµοναδιαίοκύκλοκαισεµίαγωνία, δηλαδή, b cos + b αρατηρούµε ότι µηδενίζει τη συχνότητα ταυτόχρονα όµως εξασθενίζει ση- µαντικάκαιτιςσυχνότητεςγύρωαότην. Για να µειώσουµε το εύρος χρησιµοοιούµε τεχνικές FIR φίλτρων µεγαλύτερης τάξης Μία διαφορετική ροσέγγιση είναι αυτή της εισαγωγής όλων ου βρίσκονται στην ίδια γωνία συχνότητα µε τα µηδενικά στην αόκριση συχνότητας, δηλαδή,. r ±.. Το αοτέλεσµα των όλων είναι η εισαγωγή συντονισµού στην εριοχή γύρω αό τα µηδενικά και συνεώς η ελάττωση του εύρους των συχνοτήτων ου εηρεάζονται. p Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-5

6 cos cos + + r r b r r b οότε η αόκριση συχνότητας του φίλτρου γίνεται Σεραφείµ Καραµογιάς 9-6 Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης

7 Σεραφείµ Καραµογιάς Ιδανικά φίλτρα f f διέλευσης f c αοκοής f αοκοής f c f διέλευσης Ιδανικό βαθυερατό φίλτρο Ιδανικό υψιερατό φίλτρο f f αοκοής f διέλευσης f f αοκοής διέλευσης f αοκοής f f διέλευσης Ιδανικό ζωνοερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-7

8 Σεραφείµ Καραµογιάς Πραγµατικά φίλτρα f A A LPF f A A PF διέλευσης f c αοκοής f αοκοής f c διέλευσης f Πραγµατικό βαθυερατό φίλτρο Πραγµατικό υψιερατό φίλτρο f A A ΒPF f A A ΒRF αοκοής f διέλευσης f αοκοής f διέλευσης f αοκοής f f διέλευσης Πραγµατικό ζωνοερατό φίλτρο Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Στη συχνότητα 3dB η αόκριση λάτους f του συστήµατος είναι ίση µε το / της µεγίστης τιµής της. Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-8

9 Σεραφείµ Καραµογιάς Μέθοδοι σχεδίασης FIR φίλτρων Με τη βοήθεια συναρτήσεων µορφής αραθύρου Widow dsig tchiqus. Βασισµένη στη δειγµατοληψία στη συχνότητα Frqucy samplig dsig tchiqus. Βέλτιστη µέθοδος σχεδίασης ίσης κυµάτωσης Optimal quirippl tchiqus. Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-9

10 Σεραφείµ Καραµογιάς Ι ΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΝΗΣ - ΚΑΤΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ω όουω c είναιησυχνότητααοκοής. ω t,, ω < ωc ω > ω c ω arg ω αοκοής ω c διέλευσης ω c αοκοής ω ω Η είδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό εριεχόµενο εντοισµένοστηζώνηδιέλευσης, είναιµιαχρονικήκαθυστέρηση t. x t ω y t x t t t ω c ω c t Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης t 9-

11 Σεραφείµ Καραµογιάς Κρουστική αόκριση Αόκριση συχνότητας h t si ω c t t ω, ω < ωc, αλλι& ως Π ω ω c h t ω ωc ω c ω c t ω c ωc ω Ιδιότητα της ολίσθησης στο χρόνο του µετασχηµατισµού Fourir γιακάθεραγµατικόαριθµό t x F ω t X t t ω Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

12 Η κρουστική αόκριση και η αόκριση συχνότητας του ιδανικού κατωερατού φιλτρού h [ t t ] si ω c ωc ωc t t t sic t t ω Σεραφείµ Καραµογιάς ω t,, ω < ω c ω > ω c h t ω c ω t ω c t + ω c ω c ω c ω t t arg ω T c ω c ω Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

13 Σεραφείµ Καραµογιάς Σχεδιασµός FIR φίλτρων µε τη βοήθεια συναρτήσεων µορφής αραθύρου + δ δ Passbad rippl διέλευσης Μεταβατική ζώνη αοκοής Stopbad rippl δ P S Dcibls R P A S dblog max Η ταλάντωση ζώνης διέλευσης σε db Η εξασθένηση της ζώνης αοκοής σε db όου δ είναι η ανοχή tolrac της αντίστοιχης ζώνης R p A s δ log > >> + δ δ log > >> + δ Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

14 Αν µε d δηλώνουµε τη ειθυµητή αόκριση συχνοτήτων του ιδανικού φίλτρου ου θέλουµε να κατασκευάσουµε a, c d, c < Ησυχνότητα c καλείταισυχνότητααοκοής cutoff frqucy κρουστική αόκριση έχει µη εερασµένη διάρκεια και είναι Η h d h + + [ d ] d d d F h d si [ a ] a είναι συµµετρική ως ρος α ιδιότητα των φίλτρων ελάχιστης φάσης c Σεραφείµ Καραµογιάς a d h d a c c a+ c d a t c c Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-4

15 Για να βρούµε το FIR φίλτρο αό την h d εριορίζουµε την h d αό τις δύο λευρές. Για να είναι το φίλτρο αιτιατό, ευσταθές και ελάχιστης φάσης θα ρέει η κρουστικήτουαόκρισηναέχειµήκοςμ καιναβρίσκεταιαότην a η λειτουργία αυτή ονοµάζεται αραθύρωση και εριγράφεται αό την όου hd, h, w συµµετρική αοτελείτηνακολουθίααραθύρου. αλλιώς h h w συνάρτηση ωςρος α,, d και Σεραφείµ Καραµογιάς - αλλιώς Στην ερίτωση του ορθογώνιου αραθύρου είναι w,, αλλιώς - R Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-5

16 Ποιο είναι το τίµηµα της αραθύρωσης Η αόκριση συχνότητας του FIR φίλτρου είναι λ λ W d W d d Σεραφείµ Καραµογιάς dλ C C Ο F τουιδανικούφίλτρου h d Rippls Trasitio badwidth Μέγιστο ύψος λευρικού λοβού W Εύρος κύριου λοβού C Ο F του ορθογώνιου αραθύρου w Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-6 C iimum stopbad attuatio Ο F του ραγµατικού φίλτρου h

17 Σεραφείµ Καραµογιάς Για την ερίτωση του ορθογώνιου αραθύρου έχουµε w,, αλλιώς - R Η συνάρτηση αόκρισης συχνότητας είναι και η αόκριση λάτους είναι si W si W r si si Η αόκριση λάτους έχει το ρώτο µηδενισµό στη συχνότητα έτσι η ζώνη διέλευσης έχει ερίου εύρος 4, όου Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-7

18 Η κορυφή του ρώτου λευρικού λοβού βρίσκεται στη συχνότητα και έχει 3 si Wr, για >> 3 si 3 3 / Συγκρίνονταςτολάτοςαυτόµετολάτοςτουκύριουλοβούέχουµεότιτολάτοςτου λευρικού λοβού είναι,% 3dB 3 του λάτους του κεντρικού λοβού. Σεραφείµ Καραµογιάς 3 Παρατηρούµε ότι η ελάχιστη εξασθένιση της ζώνης αοκοής είναι db και ότι είναι ανεξάρτητη του µήκους του αραθύρου. 4 Είσης αρατηρούµε ότι το ακριβές εύρος της µεταβατικής ζώνης είναι τοοοίοείναιτοµισότουεύρουςτου s p 4 /,8 Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-8

19 Ορθογώνιο φίλτρο Τριγωνικό φίλτρο Σεραφείµ Καραµογιάς Φίλτρο ammig w w w db db db 6dB db 54dB Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-9

20 Σεραφείµ Καραµογιάς Παράθυρο Rctagular wboxcar w,, αλλιώς Bartltt aig ammig Blacma wtriag whaig whammig wblacma w w w w,,, αλλιώς,5 [ cos ],,,54,46 cos,,4,5cos, αλλιώς αλλιώς 4 +,8cos,, αλλιώς Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

21 Σεραφείµ Καραµογιάς Όνοµα αραθύρου Rctagular Bartltt aig ammig Blacma Εύρος µεταβατικής ζώνης Προσέγγιση Ακριβής τιµή ,8 6, 6, 6,6 Ελάχιστη αόσβεση stopbad db 5dB 44dB 54dB 74dB Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

22 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοερατό FIR φίλτρο διακριτού χρόνου µε χαρακτηριστικά p, s,3 Σεραφείµ Καραµογιάς R p, 5dB A s 5 db Λύση Μορούµε να ειλέξουµε είτε αράθυρο ammig είτε Blacma αφού και τα δύο δίνουν εξασθένηση µεγαλύτερη αό 5 db. Ειλέγεται αράθυρο ammig του οοίου η ακριβής τιµή του εύρους ζώνης είναι Έτσιητάξητουφίλτρουείναι s p 6,6 Με το ρόγραµµα ου ακολουθεί ροσδιορίζεται το φίλτρο η ταλάντωση της ζώνης διέλευσης, R p,καιηεξασθένησηζώνηςαοκοής A s. 6,6 + s p Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-

23 Σεραφείµ Καραµογιάς h d w Ιδανική κρουστική αόκριση h Παράθυρο ammig 5dB Πραγµατική κρουστική αόκριση Μέτρο αόκρισης συχνότητας σε db εύρος µεταβατικήςζώνης,34 67,7854 R,394 A 5 c p s Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

24 Σεραφείµ Καραµογιάς wp.*pi; ws.3*pi; tr_width ws - wp cil6.6*pi/tr_width + ; [::-]; wc ws+wp/ % Συχνότητα αοκοής του ιδανικού φίλτρου hd idal_lpwc,; % Ιδανικόφίλτρο w_ham hammig'; % Παράθυρο ammig h hd.* w_ham; %Πραγµατικόφίλτρο [db,mag,pha,grd,w] frq_mh,[]; dlta_w *pi/; Rp -midb::wp/dlta_w+ % Ταλάντωσηζώνηςδιέλευσης As -roudmaxdbws/dlta_w+::5 % Εξασθένησηζώνηςαοκοής % plots subplot,,; stm,hd; titl'ιδανικήκρουστικήαόκριση' axis[ ]; xlabl''; ylabl'hd' subplot,,; stm,w_ham; titl'παράθυρο ammig' axis[ -.]; xlabl''; ylabl'w' subplot,,3; stm,h;titl'πραγµατική κρουστική αόκριση' axis[ ]; xlabl''; ylabl'h' subplot,,4; plotw/pi,db; titl'μέτρο αόκρισης συχνότητας σε db'; grid axis[ - ]; xlabl'συχνότητασεµονάδες'; ylabl'dcibls' stgca,'xticod','maual','xtic',[,.,.3,] stgca,'yticod','maual','ytic',[-5,] stgca,'yticlablod','maual','yticlabls',['5';' '] Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-4

25 Σεραφείµ Καραµογιάς fuctio hd idal_lpwc,; % hd κρουστική αόκριση ιδανικού φίλτρου to - % wc συχνότητα αοκοής σε radias % µήκος του ιδανικού φίλτρου alpha -/; [::-]; m - alpha + ps; hd siwc*m./ pi*m; fuctio [db,mag,pha, w] frq_mb,a; % db Σχετικό µέτρο σε db στο διάστηµα έως radias % mag αόλυτο µέτρο στο διάστηµα έως radias % pha Αόκριση φάσης σε radias στο διάστηµα έως radias % w 5 δείγµατα συχνότητας στο διάστηµα έως radias % b Πολυώνυµοαριθµητήτου f για FIR: bh % a Πολυώνυµοαρανοµαστήτου για FIR: a[] [,w] frqb,a,,'whol'; ::5'; w w::5'; mag abs; db *logmag+ps/maxmag; pha agl; Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-5

26 Σεραφείµ Καραµογιάς Η αόκριση συχνότητας και για τα τέσσερα είδη φίλτρων γραµµικής φάσης είναι β r Στοίνακαουακολουθείδίνονταιοιτιµέςτουβκαιτου r Τύος φίλτρου γραµµικής φάσης Τύος- Τύος- Τύος-3 Τύος-4 εριττός, συµµετρική h άρτιος, συµµετρική h εριττός, αντισυµµετρική h άρτιος, αντισυµµετρική h β r / / a / b cos / c d si cos [ ] si [ ] Συντελεστές a h b h 3,, K c h,, K d h,, K Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-6

27 Μέθοδος σχεδίασης φίλτρων βασισµένη στη δειγµατοληψία στη συχνότητα. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος ανακτάται αό τα δείγµατά της µε βοήθεια της σχέσης / h όου είναιοdft -σηµείωντης f. Για φίλτρα γραµµικής φάσης έχουµε,,,, ± h h K όουτο + είναιγιαφίλτραγραµµικήςφάσηςτύου- καιτύου- ένωτο γιατα φίλτραγραµµικήςφάσηςτύου-3καιτύου-4. / µε,,,,, / K Η αόκριση συχνότητας του συστήµατος είναι Σεραφείµ Καραµογιάς 9-7 Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης

28 τελικά,,,,, r r r K όου r και &,,...,,,...,, Typ + 3& 4,,...,,,...,, Typ + ± ± ] IDFT[ h Η κρουστική αόκριση του φίλτρου είναι Σεραφείµ Καραµογιάς 9-8 Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης

29 Σεραφείµ Καραµογιάς Μέθοδος σχεδίασης φίλτρων βασισµένη στη δειγµατοληψία στη συχνότητα. ίνεται ένα ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης d. Προσδιορίζεται το µήκος του φίλτρου. Βρίσκονται Μ δείγµατα της d σε ισαέχοντα σηµεία στο διάστηµα έως. Βρίσκεται η κρουστική αόκριση του φίλτρου h και η αόκριση συχνότητας του ραγµατικού φίλτρου. d Ιδανική αόκριση συχνότητας και τα δείγµατά της Τα δείγµατα της ιδανικής αόκρισης και η ραγµατική κρουστική αόκριση Υάρχουν δύο τρόοι σχεδιάσης κατά ροσέγγιση Στον ρώτο δεχόµαστε όοιο σφάλµα αρουσιασθεί Στο δεύτερο ροσθέτουµε σηµεία στην µεταβατική ζώνη ώστε να ελαττώσουµε το σφάλµα Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-9

30 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοερατό FIR φίλτρο διακριτού χρόνου µε χαρακτηριστικά Λύση p, s,3 R p, 5dB A s 5 db Ειλέγουµε και έχουµε 3 δείγµατα στη ζώνη διέλευσης και 7 δείγµατα στη ζώνη αοκοής. Έτσι έχουµε [,,,,,,,,] 443 K r 5µηδενικά είναιείσηςμκαι a / 9,5έτσιέχουµετοφίλτρογραµµικήςφάσης τύου- και έχουµε για το όρισµα 9,5, + 9,5, r 9 9 και βρίσκουµε τα δείγµατα της συνάρτησης µεταφοράς αό την και την κρουστική αόκριση αό την r h IDFT[ ] Σεραφείµ Καραµογιάς Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

31 Σεραφείµ Καραµογιάς ; alpha -/; l :-; wl *pi/*l; rs [,,,ros,5,,]; dr [,,,]; wdl [,.5,.5,]; :floor-/; floor-/+:-; ag [-alpha**pi/*, alpha**pi/*-]; rs.*xp*ag; h ralifft,; [db,mag,pha,w] frq_mh,; [r,ww,a,l]r_typh; Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

32 Σεραφείµ Καραµογιάς r r r,5,39 r r r,5,39 r 6dB r 3dB r 43dB Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-3

33 Ή r µορεί να γραφεί, για όλες τις εριτώσεις, ως γινόµενο µίας συνάρτησηςτουτης Q καιενόςαθροίσµατοςσυνηµίτονων P, δηλαδή, Q P Σεραφείµ Καραµογιάς Τύος φίλτρου γραµµικής φάσης Q L P Τύος- εριττός, συµµετρική h L a cos Τύος- άρτιος, συµµετρική h cos L b ~ cos Τύος-3 εριττός, αντισυµµετρική h si 3 L c~ cos Τύος-4 άρτιος, αντισυµµετρική h si L d ~ cos Ψηφιακά φίλτρα εερασµένης κρουστικής αόκρισης 9-33