NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA
|
|
- Ξανθίππη Λούπης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiranja. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavanje problema linearnog programiranja simpleks metodu. Iako je od njenog otkri a proxlo vixe od pola veka (Dancig [1]), u naxoj sredini se jox uvek na tu metodu gleda kao na veoma specijalno i sloжeno matematiqko znanje. U nastavi se nalazi iskljuqivo na fakultetima matematiqkog i ekonomskog profila, qesto nejasno, komplikovano ili nekorektno izloжena. Cilj ovoga rada je da se na minimalnom broju strana prikaжu i,,pedagoxke i,,kompjuterske varijante simpleks metode i da tako ona postane dostupna svima koji imaju osnovno univerzitetsko matematiqko obrazovanje. Problem koji se rexava simpleks metodom je nalaжenje minimuma (ili maksimuma) linearne funkcije f(x) =cx (c je poznata vrsta, x =(x 1,x 2,...,x n ) je kolona sa n nepoznatih) pri ograniqenjima (1) Ax = b (A je poznata m n matrica, b je poznata kolona) i (2) x 0. Drugim reqima, traжi se minimum linearne funkcije od n nepoznatih na skupu nenegativnih rexenja sistema (1) linearnih jednaqina. Oblik (1)-(2) problema linearnog programiranja zove se kanonski. Svaki problem linearnog programiranja moжe se svesti na kanonski oblik, pri qemu se moжe pretpostaviti da je b 0. Zaista, ako problem ima nejednaqinu oblika ax β, ona se moжe zameniti sa ax + y = β, y 0, a nejednaqina oblika ax β sa ax y = β, y 0, pri qemu je y nova nenegativna promenljiva, koja se zove izravnavaju a za posmatrano ograniqenje. Ako u problemu nedostaje uslov nenegativnosti neke promenljive, ona se moжe zameniti razlikom dve nove nenegativne promenljive, jer je svaki broj razlika dva nenegativna broja. Glavna prednost kanonskog oblika nad ostalim oblicima je u uniformnom i uprox enom zapisu ograniqenja tipa nejednakosti, kao i u mogu nox u rexavanja sistema (1) linearnih jednaqina, xto se u simpleks metodi efikasno koristi.
2 28. Dugoxija Sistem (1) moжe se posmatrati kao problem da se kolona b izrazi kao linearna kombinacija kolona matrice A sa teжinama x j, j =1, 2,...,n: n (1) b = x j k j j=1 Iz linearne algebre je poznato da sve linearne kombinacije kolona matrice grade vektorski prostor. Maksimalni podskupovi linearno nezavisnih kolona matrice su baze tog prostora. Sve baze imaju isti broj elemenata jednak rangu r matrice A. Sistem (1) ima rexenja ako b pripada prostoru kolona. Tada se b kao i nebazisne kolone matrice mogu na jedinstven naqin izraziti kao linearne kombinacije kolona izabrane baze (bazisnih kolona). Sva rexenja sistema (1) dobijaju se kad se slobodno izaberu nepoznate uz nebazisne kolone i preostali sistem rexi po nepoznatim uz bazisne kolone, xto je na jedinstven naqin mogu e. Podmatrixu matrice sastavljenu od kolona neke baze prostora kolona zva emo baza matrice, a promenljive koje odgovaraju tim kolonama zva emo bazisne promenljive. Kolonu sastavljenu od bazisnih promenljivih obeleжava emo sa x B. Sa N emo obeleжiti podmatricu sastavljenu od nebazisnih kolona, a sa x N kolonu od nebazisnih promenljivih. Sistem (1) moжe se tada napisati u obliku (1) Bx B + Nx N = b i, ako ima rexenja, sva njegova rexenja imaju komponente x B i x N pri qemu se x N moжe slobodno izabrati dok se bazisne promenljive za bilo koji izbor x N mogu izraqunati na slede i naqin. Kako B ne mora biti kvadratna matrica, pomnoжimo obe strane u (1) najpre sa B,azatimsa(B B) 1 (xto postoji, jer su kolone u B linearno nezavisne). Dobijamo: x B =(B B) 1 [B b B Nx N ]. Rexenje koje odgovara izboru x N =0zove se bazisno rexenje za bazu B. Bazu za koju je pripadno bazisno rexenje nenegativno (dakle dopustiva taqka problema) zva emo dopustiva baza. I funkciju cilja moжemo izraziti iskljuqivo preko nebazisnih promenljivih zamenom izraqunatog x B u izraz za f: (3) f = c B x b + c N x N = c B (B B) 1 [B b B Nx N ]+c N x N = f 0 + r N x N, gde je f 0 = c B (B B) 1 B b i r N = c N c B (B B) 1 B N. U sluqaju da je matrica B invertibilna, prethodne formule se uprox- avaju, jer je (B B) 1 B = B 1. Iz (3) sledi jednostavan Dovoljan uslov optimalnosti. Ako je bazisno rexenje x za bazu B dopustivo, a svi koeficijenti r N uz nebazisne promenljive nenegativni, ono je optimalno rexenje polaznog problema.
3 Simpleks metoda 29 Zaista, iz (3) sledi f(x) f 0 = f(x) za sva dopustiva rexenja x problema. Ako x nije proxlo test optimalnosti, r N ima bar jednu negativnu koordinatu r j. Popravljanje rexenja Moжemo potraжiti bolje rexenje kao funkciju nenegativnog parametra x j = t, zadrжavaju i ostale slobodne promenljive iz x N na vrednosti nula. Za takav izbor slobodnih promenljivih imamo (4) x B (t) =x B (B B) 1 B k j t i (5) f(t) =f 0 + r j t. Iz poslednje veze vidi se da sa rastenjem parametra t dolazi do opadanja vrednosti funkcije cilja. Najvixe emo sniziti funkciju cilja ako biramo najve e nenegativno t za koga dobijemo dopustive taqke tj. za koga je (6) x B (t) 0. Primetimo da je (6) sistem linearnih nejednaqina sa jednom nepoznatom i da se moжe napisati u obliku (6 ) x B yt, pri qemu je y stubac koeficijenata kojima se izraжava kolona k j ubazib, tj. takav da je k j = By (xto, rexeno po y, daje y =(B B) 1 B k j ). Ako je y 0, (6) je zadovoljeno za sve t 0. Rexenje x(t) sa koordinatama x B = x B (B B) 1 B k j t, x j = t i ostalim koordinatama jednakim nuli je dopustivo za sve t 0 i f(t) kad t. Time je problem linearnog programiranja u ovom sluqaju rexen. Ako y ima bar jednu pozitivnu koordinatu, sistem (6) ima rexenje { xs gde je ˆt = min y s 0 t ˆt, } y s > 0, k s B. Neka je x i (ˆt) =x i ˆty i =0bilo koja koordinata vektora x B (ˆt) koja se anulira i za koju vaжi y i > 0. Skup kolona B 1 =(B \{k i }) {k j } ponovo qini bazu prostora kolona, jer se k j ubazib izraжava sa koeficijentom y i uz k i razliqitim od nule (pozitivnim). Bazisno rexenje koje odgovara bazi B 1 je upravo ˆx = x(ˆt), kojezbogf(ˆx) =f(x)+r jˆt f(x) nije loxije od x.
4 30. Dugoxija Algoritam simpleks metode Korak 0. Polazimo od neke baze qije je pripadno bazisno rexenje dopustivo. Korak 1. Proverimo optimalnost tog rexenja pomo u navedenog dovoljnog uslova. Ako rexenje zadovoljava uslov optimalnosti, problem je rexen. U sluqaju da rexenje ne zadovoljava dovoljan uslov, idemo na Korak 2. Traжimo bolje rexenje na opisani naqin. Ako nađemo zrak duж koga funkcija cilja neograniqeno opada, problem je rexen. U suprotnom nalazimo drugu dopustivu bazu koja se od prve razlikuje u jednoj koloni i qije pripadno bazisno rexenje po vrednosti funkcije cilja nije loxije od prethodnog i idemo ponovo na korak 1. Vode i raquna ( ) da se baze ne ponove, postupak e biti konaqan, jer je broj n baza najvixe. Ponavljanje baza (cikliranje) se moжe izbe i posebnim procedurama biranja ulaжenja i izlaжenja kolona iz baza. Jedna od najprostijih r takvih procedura je Blendovo pravilo minimalnog indeksa ([4]): U svakoj iteraciji za izlaz iz baze i za ulaz u bazu izabrati kandidata sa najmanjim indeksom. Dokaz je sloжen pa ga izostavljamo (vidi na primer [6] ili [7]). Bez primene procedure protiv cikliranja, ponavljanje baza je mogu e, ali je u praksi vrlo retko. Dokazano je da je verovatno a pojave cikliranja pri sluqajno izabranim koeficijentima problema jednaka nuli, te ve ina raqunarskih imlementacija simpleks metode ne vodi o tom raquna. Primer 1. Rexiti simpleks metodom problem min f = x y p.o. x + y 3, 2x + y 4, y 0. Problem prvo transformixemo u kanonski oblik uvode i izravnavaju e promenljive a i b i zamenjuju i x sa razlikom dve nenegativne promenljive x i x : min f = x x y p.o. x x + y + a =3, 2x 2x + y b =4, x,x,y,a,b 0. Matrica sistema je ( ) A = Jednu ( dopustivu ) bazu prostora kolona qine prva ( i poslednja ) kolona. Zaista za B = nebazisna podmatrica je N =, a pripadno bazisno rexenje, dobijeno izborom x = y = a =0i rexavanjem sistema po x i b, je
5 Simpleks metoda 31 (x,x,y,a,b) =(3, 0, 0, 0, 2) (00000).Kakoje ( B 1 = B, B N = r N = c N c B B 1 N =( 1 10) (1 0) ), ( ) =(0 2 1), kandidati za ulaz u bazu su tre a (uz y) i qetvrta (uz a) kolona matrice A. Saglasno Blendovom pravilu, izabra emo tre u kolonu za ulaz u bazu. Odredimo reprezentaciju tre e kolone u bazi B rexavanjem sistema ( 1 1 ) = By. ( ) ( ) 1 1 Dobijamo y = B 1 =. Odredimo sada najve e t za koje je x 1 1 B yt = ( ) ( ) ( ) t. To je ˆt = min{ , 2 1 } =2. Pri izboru t = ˆt anulira se druga od ovih nejednaqina (koja odgovara promenljivoj b), te je xesta kolona ( (uz) b) 1 1 (jedini) kandidat za izlaz iz baze. Nova dopustiva baza je zato B =, 2 1 a pripadno ( bazisno ) rexenje je ˆx =(3 ˆt, 0, ˆt, 0, 0) ( =(1, 0, )( 2, 0, 0). Dalje ) je B 1 =, r 2 1 N =( 1 00) (1 1) = (032) (000), pa je ˆx, prema dovoljnom uslovu optimalnosti, optimalno rexenje problema. Varijante simpleks metode Izloжeni algoritam simpleks metode je,,sirov jer u svakoj iteraciji metode treba vrxiti invertovanje matrica, xto nije lak posao ni ruqno ni raqunarski. Invertovanje je trivijalno ako je baza jediniqna matrica. Osim toga reprezentacija nebazisnih kolona preko jediniqnih bazisnih je neposredno qitljiva, a izraжavanje funkcije cilja preko nebazisnih promenljivih vrlo lako. U tu svrhu dovoljno je od funkcije cilja oduzeti pogodnu linearnu kombinaciju jednaqina sistema (1), biraju i za teжine brojeve suprotne koeficijentima uz bazisne promenljive. To daje ideju da se algoritam izmeni tako da se u svakom koraku pojavljuju jediniqne matrice kao baze. Pretpostavimo da je polazna dopustiva baza jediniqna. Primetimo da su koordinate pripadnog bazisnog rexenja u tom sluqaju bax koordinate vektora b (eventualno permutovane), te je dakle b 0. Neka prema algoritmu u bazu treba da uđe kolona k j =(a 1j a 2j a mj ) koja ima bar jedan pozitivan element. Po algoritmu, iz baze treba da izađe jediniqna bazisna kolona sa jedinicom u i-toj vrsti matrice A, pri qemu je i određeno sa (7) b i a ij = min { bs a sj a sj > 0 }.
6 32. Dugoxija Da bi nova baza postala jediniqna dovoljno je elementarnim transformacijama (koje ne menjaju skup dopustivih rexenja) pretvoriti kolonu k j u jediniqnu sa jedinicom na polju (i, j). Element a ij zva emo pivot. Da bismo ga pretvorili u jedinicu podelimo obe strane i-te jednaqine sa a ij, xto je korektno, jer je a ij 0. Da bismo anulirali ostale elemente j-te kolone, od s-te jednaqine oduzmemo (po stranama) umnoжak i-te jednaqine sa a sj. Slobodan qlan s-te a sj jednaqine postaje b s b i i, zbog (7), ostaje nenegativan za sve s i. Zato a ij je bazisno rexenje koje odgovara novoj jediniqnoj bazi nenegativno, pa se algoritam moжe nastaviti qix enjem funkcije cilja od nove bazisne promenljive x j. Ovo je mogu e uraditi odbijaju i od izraza za f umnoжak i-te jednaqine sistema sa koefijentom uz x j. Kako se polazni problem moжe zapisati matriqno (tabliqno) i algoritam predstaviti nizom transformacija matrica, izloжena varijanta simpleks metode zove se tabliqna simpleks metoda: Tabliqna simpleks metoda Problemu min f = cx + f 0, p.o, Ax = b, x 0 pridruжimo tablicu x f f 0 = c. b = A Iz pedagoxkih razloga (radi lakog dexifrovanja) zadrжali smo u tablici zapis funkcije f, promenljivih x iznakove= iako se oni obiqno ne zapisuju. Tablica se zove simpleks tablica, ako u matrici A postoji bazisna jediniqna podmatrica qiji je format jednak broju vrsta u A, akojeb 0 i ako su koeficijenti koji odgovaraju bazisnim kolonama u prvoj vrsti (izrazu za funkciju cilja) jednaki nuli. Tabliqna varijanta metode polazi od jedne simpleks tablice. Ako su elementi prve vrste sa izuzetkom prvog elementa nenegativni, pripadno bazisno rexenje je optimalno. U suprotnom izabere se kolona uz jedan od tih negativnih koeficijenata za ulaz u bazu. Ako ta kolona nema pozitivnih elemenata funkcija cilja je neograniqena odozdo. Ako kolona ima pozitivnih elemenata, među njima se odredi pivot kao jedan od pozitivnih elemenata za koga se dostiжe minimum u (7). Matrica se transformixe po slede em mnemotehniqkom pravilu: (i) vrsta pivota deli se pivotom; (ii) ostali elementi matrice menjaju se tako, xto se od stare vrednosti oduzme prozvod projekcija tog elementa na vrstu i kolonu pivota razdeljen pivotom. Time se ponovo dobija simpleks tablica i algoritam ponavlja. Ako se baze ne ponove, xto se moжe osigurati Blendovim pravilom, postupak je konaqan. Mana tabliqne simpleks metoda je mogu nost nagomilavanja grexaka prilikom iteracija. Zato ve ina komercijalnih programa radi tzv. revidiranom
7 Simpleks metoda 33 simpleks metodom koja se od algoritma koji smo prvobitno izloжili razlikuje samo u nekoliko finesa: Revidirana simpleks metoda Revidirana simpleks metoda polazi od neke dopustive baze B. Da bi se funkcija cilja izrazila preko nebazisnih promenljivih, od izraza za funkciju cilja oduzima se linearna kombinacija jednaqina sistema sa teжinama u = (u 1 u 2 u m ) takvim da je (8) c B = ub. Ovaj sistem je mogu e rexiti, jer njegova matrica sistema (B ) ima linearno nezavisne vrste. Izraz za funkciju cilja dobija oblik (9) f ub = r N x N, r N = c N un. U sluqaju da kolona k j treba da uđe u bazu, da bi se utvrdilo koja kolona treba da izađe iz nje, treba odrediti reprezentaciju kolone k j ustarojbazib, tj. rexiti sistem (10) k j = By. Dalje algoritam ide po ve opisanim pravilima (rexavanjem sistema (6 ) itd). Usko grlo revidirane simpleks metode je rexavanje sistema (8) i (10) bez invertovanja matrica. Na sre u oni se mogu svesti na rexavanje niza prostijih sistema, ako se iskoristi fakt da se nova baza dobija iz stare zamenom jedne kolone j-te po redu nekom drugom kolonom k. Zato se nova baza dobija kao proizvod stare baze i matrice kojoj je j-ta jediniqna kolona zamenjena kolonom k. Matrice koje se od jediniqne matrice razlikuju u jednoj koloni zovu se eta matrice. Ako je poqetna baza bila jediniqna matrica, p-ta baza ima oblik proizvoda eta matrica E 1 E 2 E p,paseup-toj iteraciji algoritma sistemi (8) i (10) mogu rexavati kao niz sistema, svaki sa jednom eta matricom: (8) (10) c B =( ((ue 1 )E 2 ) )E p. k j = E p (E p 1 ( (E 1 y) )). Kako pam enje eta matrice zahteva mnogo manje memorije nego pam enje pune matrice, ovom modifikacijom dobija se mogu nost obrade na raqunaru problema sa desetinama hiljada promenljivih i/ili ograniqenja, xto brojni komercijalni programi (na primer LINDO, BLP, GAMS i dr.) koriste. Kako startovati? Da bi se startovala simpleks metoda u svim varijantama potrebna je prva dopustiva baza. U sluqaju da ona nije odmah vidljiva, postoji vixe naqina da se nađe. Algoritmi koji to rade uglavnom koriste samu simpleks metodu
8 34. Dugoxija primenjenu na neki pomo ni problem. Izloжi emo veliko M-metodu Charnes-a ([5]). Za druge metode pogledati na primer [6] ili [8]. Metoda veliko M Ako u problemu (1), koji je u kanonskom obliku sa b 0, poqetna dopustiva baza nije vidljiva, moжemo posmatrati pridruжen problem min f = cx +(MM M)y p.o. Ax + y = b, x, y 0, gde je y kolona vextaqkih nenegativnih promenljivih i M veoma veliki nenegativan parametar (ve i od svakog konaqnog broja s kojim se u toku algoritma upoređuje). Primetimo da matrica pridruжenog problema ima jediniqnu dopustivu bazu (bazisne promenljive su y, a nebazisne x), a pripadno bazisno dopustivo rexenje je x =0, y = b. Stoga se pridruжeni problem moжe rexavati simpleks metodom. Analizirajmo mogu e zavrxetke simpleks metode uz pretpostavku da nema cikliranja: a) Neka je simpleks metoda zavrxila naxavxi optimalno rexenje sa komponentama ˆx i ŷ. Tada: (i) ako je ŷ =0,ondajeˆx optimalno rexenje polaznog problema. Zaista, prema jakoj teoremi dualnosti problem dualan pridruжenom max ub p.o. ua c, u (MM M) ima optimalno rexenje û i ûb = cˆx. Taqka û je dopustiva za dual max ub p.o. ua c polaznog problema, a ˆx je dopustivo rexenje polaznog problema. Zbog ûb = cˆx, ˆx je optimalno rexenje polaznog problema. (ii) ako je ŷ 0, polazni problem nema nijedno dopustivo rexenje. U suprotnom, za dovoljno veliko M, dobijena minimalna vrednost funkcije cilja pridruжenog problema bila bi ve a od vrednosti njegove funkcije cilja u dopustivoj taqki qije su komponente x (dopustiva taqka za polazni problem) i y =0, xto je kontradikcija. b) Ako je simpleks metoda zavrxila naxavxi dopustivi zrak (x 0,y 0 )+t(ˆx, ŷ), t 0 duж kojeg funkcija cilja neograniqeno opada kad t, tada je Ax 0 + y 0 = b, Aˆx +ŷ =0
9 Simpleks metoda 35 i, za dovoljno veliko M, mora biti ŷ =0i cˆx <0, pajex 0 + tˆx za t 0 zrak dopustivih taqaka za polazni problem duж kojeg funkcija cilja neograniqeno opada. Primer 2. Reximo tabliqnom simpleks metodom problem iz primera 1. Problemu odgovara tablica x x y a b f 0 = = = Kako matrica sistema nema jediniqnu dopustivu bazu (ima samo jednu jediniqnu kolonu uz izravnavaju u promenljivu a), dovoljno je da uvedemo jednu nenegativnu vextaqku promenljivu c uz koju u funkciji cilja stoji koeficijent M, au matrici ograniqenja nedostaju a jediniqna kolona. Proxirenom problemu tada odgovara tablica x x y a b c f 0 = M 3 = = Oqistimo funkciju cilja od bazisne promenljive c, mnoжe i poslednju vrstu sa M i dodaju i je prvoj vrsti matrice. Dobijamo tablicu x x y a b c f 4M = 1 2M 1+2M 1 M 0 M 0 3 = = Kako je parametar M jako veliki, bi e 1 2M <0 i 1 M <0, pa su kandidati za bazisne promenljive x i y. Prema Blendovom pravilu izabra emo x. Kolona koja odgovara ovoj promenljivoj ima dva pozitivna elementa među kojima traжimo pivot. Kako je 3 1 > 4, pivot je 2. Transformacijom tablice po navedenom 2 mnemotehniqkom pravilu dobijamo novu simpleks tablicu x x y a b c f 2 = 0 0 3/2 0 1/2 1/2+M 1 = 0 0 1/2 1 1/2 1/2 2 = 1 1 1/2 0 1/2 1/2 Koeficijent uz y u funkciji cilja je negativan, te pivot traжimo u koloni ispod y. Kakoje 1 1/2 < 2,pivotje1/2utre oj vrsti. Transformisana tablica 1/2 je x x y a b c 1 = M 1 2 = = Odavde qitamo optimalno rexenje: f min = 1 za (x,x,y,a,b,c)=(1, 0, 2, 0, 0, 0).
10 36. Dugoxija Komentar Algoritam simpleks metode ima i popularnu (ali retko gde koretno formulisanu) geometrijsku interpretaciju (vidi [6]). Dopustivi skup je konveksan poliedarski skup, a bazisno dopustivo rexenje (problema u kanonskom obliku) je njegova ekstremna taqka (vrh), tj. taqka bez koje je ostatak dopustivog skupa i dalje konveksan. Dve ekstremne taqke zovu se susedne, ako uklanjanjem duжi koje one određuju, od dopustivog skupa ostaje konveksan skup. U svakoj iteraciji simpleks metoda polazi iz jednog vrha dopustivog skupa i, ako pređe u drugu dopustivu taqku (a ne mora), ta taqka je njemu susedni vrh u kome funkcija cilja nije ve a nego u prethodnom. Cikliranje odgovara vra anju u neki vrh. Ako se primenjuje neko anticikling pravilo, postupak se zavrxava u vrhu koji je optimalno rexenje ili se dobija ekstremna ivica (zrak) dopustivog skupa duж koje funkcija cilja neograniqeno opada. Po brzini rada simpleks metoda spada u takozvane nepolinomijalne algoritme. Konstruisani su primeri sa n promenljivih koje simpleks metoda rexava u 2 n iteracija. Zato se moжe oqekivati da e sa porastom dimenzije problema (broja nepoznatih i ograniqenja) do i do problema u radu. Praksa pak pokazuje da se to retko događa. Razlog leжi u tome xto su ekstremno texki sluqajevi retki. Teorijski je pokazano da je simpleks algoritam,,u srednjem polinomijalan. Ipak, traganje za efikasnim polinomijalnim algoritmom za rexenje problema linearnog programiranja bilo je glavni problem u poslednje dve dekade. On je uspexno okonqan otkrivanjem Karmakarove i srodnih,,unutraxnjih metoda (vidi [8]). I pored toga, simpleks metoda ostaje jedna od glavnih metoda za rexavanje problema linearnog programiranja. LITERATURA [1] Danzig, G., Linear Programming and Extensions, Princeton [2] Dugoxija,., Furije-Mockinov metod eliminacije, Nastava matematike XLV 2000, sv.1-2, [3] Dugoxija,, Teorija linearnog programiranja, Nastava matematike XLV 2000, sv.3-4, [4] Bland, R.G., New finite pivoting rule for the simplex method, Mathematics of Operations Researq 2, 1977, [5] Charnes, A., Optimality and degeneracy in linear programming, Ekonometrica 20, 1952, [6] Dugoxija,., Linearno programiranje (skripta), Matematiqki fakultet, Beograd, [7] Chvatal, V., Linear Programming, Freeman and Company, [8] Cvetkovi, D., Qangalovi, M., Dugoxija,., Kovaqevi -Vujqi, V., Simi, S., Vuleta, J., Kombinatorna optimizacija, Dopis, Beograd 1996.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραuniformno konvergira na [ 2, 2]?
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2). 2. Definisati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότερα2. Tautologije; Bulove funkcije (SDNF, SKNF)
III dvoqas veжbi Vladimir Balti 2. Tautologije; Bulove funkcije SDNF, SKNF) Tautologije Teorijski uvod Navedimo neke tautologije zajedno sa Ƭihovim nazivima) koje se qesto koriste. naziv formula zakon
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSeminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli
Seminar Druxtva matematiqara Srbije, Beograd, 12.02.2017. Polinomi u nastavi matematike u osnovnoj i sredƭoj xkoli dr Vladimir Balti, Matematiqka gimnazija, baltic@matf.bg.ac.yu Polinomi su izuzetno bitna
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija. Teorijski uvod
IspitivaƬe funkcija Teorijski uvod IspitivaƬe funkcija je centralni i svakako najbitniji deo svakog kursa matematike. On daje matematiqku osnovu za skiciraƭe grafika na osnovu matematiqke formule određenih
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραA Pismeni ispit iz DMS-a, A
A Pismeni ispit iz DMS-a, 08.0.009. A Prezime i ime studenta br. indeksa 1. (5 poena) Misle i da je atraktivan izgled dovoljan za karijeru pevaqice, pet mojih mladih sugrađanki (Kristina, Jelena, Tanja,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα