ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA NA FAKULTETU TEHNIČKIH NAUKA

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD ZBIRKA ZADATAKA SA PRIJEMNIH ISPITA NA FAKULTETU TEHNIČKIH NAUKA (MATEMATIKA) NOVI SAD, 0

2 Izdvč: Fultet tehničih nu Trg Dositej Obrdović 000 Novi Sd Glvni i odgovorni uredni: Prof dr Ilij Ćosić, den Uređivči odbor: Prof dr Ilij Ćosić Prof dr Ilij Kovčević Prof dr Jno Hodolič Prof dr Vldimir Ktić Prof dr Srđn Kolović Tehnič obrd: Mr Rno Bojnić Mr Nend Simeunović Gordn Bjčetić Štmpnje odobrio: Svet z izdvču deltnost Fultet tehničih nu Predsedni Svet z izdvču deltnost: Prof dr Rdomir Folić Informcije: Trg Dositej Obrdović Telefon: (0) 59- F: (0) 58- e-mil: bojnicr@unscrs wwwftnunscrs Tirž: Štmp:

3 OPŠTE INFORMACIJE O PRIJEMNOM ISPITU Prijemni ispit Prijemni ispit iz Mtemtie polžu ndidti oji žele d upišu sledeće oblsti: - Eletrotehni i rčunrstvo (ndidti se upisuju n jedn od sledeć dv studijs progrm: Energeti, eletroni i teleomunicije; Rčunrstvo i utomti) - Sobrćj (ndidti se upisuju n jedn od sledeć dv studijs progrm: Sobrćj i trnsport; Poštnsi sobrćj i teleomunicije) - Grđevinrstvo (ndidti se upisuju n studijsi progrm: Grđevinrstvo) - Mehtroni (ndidti se upisuju n studijsi progrm: Mehtroni) - Geodezij (ndidti se upisuju n studijsi progrm: Geodezij i geomti) - Rčunrs grfi (ndidti se upisuju n studijsi progrm: Animcije u inženjerstvu) b Prijemni ispit iz Mtemtie s proverom slonosti z studije odgovrjuće oblsti polžu ndidti oji žele d upišu sledeće oblsti: - Mšinstvo Mtemti s proverom slonosti z studije mšinstv (ndidti se upisuju n jedn od sledeć četiri studijsа progrmа: Proizvodno mšinstvo; Mehnizcij i onstruciono mšinstvo; Energeti i procesn tehni; Tehnič mehni i dizjn u tehnici) - Industrijso inženjerstvo i inženjersi mendžment Mtemti s proverom slonosti z studije industrijsog inženjerstv i inženjersog mendžment (ndidti se upisuju n jedn od sledeć dv studijsа progrmа: Industrijso inženjerstvo; Inženjersi mendžment) - Grfičo inženjerstvo i dizjn Mtemti s proverom slonosti z studije grfičog inženjerstv i dizjn (ndidti se upisuju n jedn studijsi progrm: Grfičo inženjerstvo i dizjn) - Inženjerstvo zštite životne sredine i zštite n rdu Mtemti s proverom slonosti z studije inženjerstv zštite životne sredine (ndidti se upisuju n jedn od sledeć dv studijs progrm: Inženjerstvo zštite životne sredine; Inženjerstvo zstite n rdu) c Prijemni ispit iz Geometrije s rhitetonsom i opštom ulturom; Slobodoručno crtnje i Prostorn ompozicij polžu ndidti oji žele d upišu sledeću struu (oblst): - Arhitetur (ndidti se upisuju n studijsi progrm: Arhitetur i urbnizm) Nčin bodovnj Uupn broj bodov n osnovu ojeg se vrši rngirnje ndidt z upis n Fultet formir se o zbir bodov ostvrenih po sledećem riterijumu: Opšti uspeh u srednjem obrzovnju - podrzumev zbir prosečnih ocen iz svih predmet u I, II, III i IV rzredu, pomnožen s brojem (dv) Po ovom osnovu ndidt može steći njmnje, njviše 0 bodov Opšti uspeh u srednjem obrzovnju rčun se zoruživnjem n dve decimle Kndidt je položio prijemni ispit (i time steo prvo n rngirnje rdi upis) uolio n prijemnom ispitu osvoji njmnje: - bodov iz mtemtie z ndidte oji polžu smo mtemtiu, - 7 bodov iz mtemtie i 7 bodov iz test provere slonosti z ndidte oji polžu mtemtiu s proverom slonosti z studije odgovrjuće oblsti - bodov iz geometrije s rhitetonsom i opštom ulturom, bod iz prostorne ompozicije i bod iz slobodoručnog crtnj z ndidte oji polžu prijemni ispit z Arhiteturu Uspeh n prijemnom ispitu iz mtemtie z upis n Eletrotehniu i rčunrstvo, Mehtroniu i Rčunrsu grfiu boduje se od 0 do 0 bodov Uspeh n prijemnom ispitu iz mtemtie z upis n Grđevinrstvo, Sobrćj i Geodeziju i geomtiu boduje se od 0 do 0 bodov 5 Uspeh n prijemnom ispitu iz mtemtie s proverom slonosti z studije odgovrjuće oblsti z upis n Mšinstvo, Industrijso inženjerstvo i inženjersi mendžment, Grfičo inženjerstvo i dizjn i Inženjerstvo zštite životne sredine i zštite n rdu boduje se od 0 do 0 bodov: ) Mtemti se boduje od 0 do 0 bodov, b) Prover slonosti z studije odgovrjuće oblsti se boduje od 0 do 0 bodov

4 Uspeh n prijemnom ispitu z upis n Arhiteturu i urbnizm boduje se od 0 do 0 bodov: ) Geometrij s rhitetonsom i opštom ulturom boduje se od 0 do 0 bodov, b) Prostorn ompozicij boduje se od 0 do 5 bod, c) Slobodoručno crtnje boduje se od 0 do 5 bod Msimln broj bodov je 00 Priprem z polgnje prijemnog ispit z upis rhiteture se izvodi n Fultetu toom cele godine Informcije se mogu dobiti n telefon: 0 / 50 9 и 0 / 85 Informcije z pripremnu nstvu iz mtemtie se mogu dobiti n telefon : 0/ PROGRAM PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA UPIS ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA; GRAĐEVINARSTVA; SAOBRAĆAJA; MEHATRONIKE; GEODEZIJE I GEOMATIKE; RAČUNARSKE GRAFIKE N ispitu iz mtemtie polže se grdivo predviđeno nstvnim plnom i progrmom z srednje obrzovnje Osnovne logiče opercije, pojm funcije Brojevi (prirodni, celi, rcionlni, ircionlni, relni, omplesni) Proporcionlnost veličin i primene Rcionlni lgebrsi izrzi Polinomi 5 Linern funcij Linerne jednčine i nejednčine, sistemi linernih jednčin i nejednčin Stepenovnje i orenovnje 7 Kvdrtn funcij Kvdrtne jednčine i nejednčine Sistemi vdrtnih jednčin 8 Algebrse i ircionlne jednčine i nejednčine 9 Pojm logritm Logritms i esponencijln funcij Logritmse i esponencijlne jednčine i nejednčine 0 Trigonometrijse funcije Identiteti, jednčine i nejednčine Primen trigonometrije Mtemtič inducij i nizovi Aritmetič i geometrijs progresij Kombintori i binomni obrzc Plnimetrij (prvenstveno geometrij trougl, četvorougl i rug) Stereometrij (prizm, pirmid, zrubljen pirmid, vlj, up, zrubljen up, sfer i delovi sfere) 5 Vetori Anlitič geometrij u rvni (prv, ružnic, elips, hiperbol i prbol) 7 Grnične vrednosti nizov i funcij Izvod i primen Litertur Srednjošolsi udžbenici iz mtemtie Zbir zdt s prijemnih ispit, FTN, 00

5 PROGRAM PRIJEMNOG ISPITA ZA UPIS ARHITEKTURE Prijemni ispit z upis Arhitetonse strue sstoji se od (tri ) del i to: - Slobodoručno crtnje, - Prostorn ompozicij, - Geometrij s rhitetonsom i opštom ulturom Progrm prijemnog ispit iz Sloboručnog crtnj Predviđene su četiri teme i liovn područj od ojih će ndidti rditi n dn ispit SAMO JEDNU Odbir teme biće poznt smo i jedino ruovodiocu ispit i to neposredno pred ispit Teme: ) grdsi prostor (trg, ulic, tvrđv, grup uć ili nei drugi urbni mbijent Novog Sd) ) enterijer neog objet (jvn zgrd, bn, hrm itd) ) scenogrfs postv (plstičn i rtiulisn pozorišn scen ili televizijsi deor s mnoštvom element) ) prostorn ompozicij oj se postvlj uoči ispit čine je geometrijs tel, tnin, drveni štpovi, sulptorsi modeli i rznolii predmeti svodnevne upotrebe, o i bilo oji drugi motivi mrtve prirode Progrm prijemnog ispit iz Prostorne ompozicije Ovj deo ispit z ndidte treb d pože njihovo osećnje z prostor, sposobnost slobodoručnog obliovnj n osnovu zdtih element i d otrije njihovo osećnje z meru, poštujući mštu i čvrsto vezivnje z logiu mterijl i obli Osećnje prostor, liovni izrz, rdost ontrolisne igre i stvrlči dr treb d budu u osnovi ovog ispit, oji se u tom smislu niti uči niti može nučiti Orgniztori prijemnog ispit neće do poslednjeg dn odrediti ni mterijle ni elemente od ojih će ov ispitn ompozicij biti prvljen Međutim, ompozicij će svo biti rđen n bzi ppir, rton, drvenih ljsni, testil, žic, np ili bilo og drugog mterijl ili upotrebnog predmet z oji će se omisij odlučiti Progrm prijemnog ispit iz Geometrije s rhitetonsom i opštom ulturom Ispit se sstoji od 8 pitnj n oje je potrebno dti rte odgovore Pitnj su iz oblsti geometrije, rhiteture, njiževnosti, muzie, liovne umetnosti, pozorišt, film, istorije, društv Litertur: Arhitetons ultur: Rno Rdović, Nov ntologij uć, primer rhiteture i urbnizm svet, Grđevins njig, Beogrd, 00 Miln P Ročević, Uvod u rhitetonso projetovnje, Arhitetonsi fultet Univerzitet u Beogrdu, 998 ( čs rhiteture nslov novog izdnj) Jirgen Jedie (Jürgen Joedice), Obli i prostor u rhiteturi, Orion rt, Beogrd, 009 Zbir zdt s prijemnih ispit n Fultetu tehničih nu, FTN, 00 Opšt ultur: Lj Niolić, B Milić, Čitn s njiževno teoretsim pojmovim z III rzred srednje šole, Zvod z udžbenie i nstvn sredstv, Beogrd, 000 Lj Niolić, B Milić, Čitn s njiževno teoretsim pojmovim z IV rzred srednje šole, Zvod z udžbenie i nstvn sredstv, Beogrd, 999 V Glović, B Krdžić, Liovn ultur, z gimnziju i strednje stručne šole, Zvod z udžbenie i nstvn sredstv, Beogrd, 000 S Mrinović, Muzič ultur z gimnziju i stručne šole, Zvod z udžbenie i nstvn sredstv, Beogrd, K Bogdnović, B Burić, Teorij forme Zvod z udžbenie i nstvn sredstv, Beogrd, 999 Zbir zdt s prijemnih ispit n Fultetu tehničih nu, FTN, 00 Geometrij: Srednjošolsi udžbenici iz Mtemtie i Ncrtne geometrije Zbir zdt s prijemnih ispit n Fultetu tehničih nu, FTN, 00

6 PROGRAM PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE SA PROVEROM SKLONOSTI ZA STUDIJE ODGOVARAJUĆE OBLASTI ZA UPIS: MAŠINSTVA; INDUSTRIJSKOG INŽENJERSTVA I INŽENJERSKOG MENADžMENTA; GRAFIČKOG INŽENJERSTVA I DIZAJNA; INŽENJERSTVA ZAŠTITE ŽIVOTNE SREDINE I ZAŠTITE NA RADU Ispit se sstoji iz dv del i to: - Mtemti (pet zdt) - Prover slonosti z studije odgovrjuće strue (deset pitnj) Progrm del prijemnog ispit: Mtemti Litertur Osnovne logiče opercije, pojm funcije Brojevi (prirodni, celi, rcionlni, ircionlni, relni), stepenovnje i orenovnje, rcionlni lgebrsi izrzi i polinomi Proporcionlnost veličin i primene Linern funcij Linerne jednčine i nejednčine, sistemi linernih jednčin i nejednčin 5 Kvdrtn funcij Kvdrtne jednčine i nejednčine Sistemi vdrtnih jednčin Algebrse i ircionlne jednčine i nejednčine 7 Pojm logritm Logritms i esponencijln funcij Logritmse i esponencijlne jednčine i nejednčine 8 Trigonometrijse funcije Identiteti, jednčine i nejednčine Primen trigonometrije 9 Mtemtič inducij i binomni obrzc 0 Vetori Srednjošolsi udžbeni iz mtemtie Zbir zdt s prijemnih ispit, FTN, 00

7 jul 00 godine ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO, SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO (prijemni ispit u julu 00 i septembru 00 i 00 godine je bio isti z ove tri strue) U supu relnih brojev nći sup rešenj nejednčine Nći m to d zbir oren (rešenj) jednčine m m m 0 ( ) bude jedn 0, d proizvod bude jedn Dozti d z svi prirodn broj vži jednost n( n ) n 0 Zbir prv tri čln geometrijsog niz je 9 Ao se zbir prvog i trećeg čln pomnoži s, dobij se drugi čln niz Odrediti prv tri čln niz 5 U supu relnih brojev rešiti jednčinu log ( ) U supu relnih brojev rešiti jednčinu cos sin sin 0 7 Strnic romb je 5, zbir dijgonl d d Izrčunti površinu romb 8 Kolio se petocifrenih brojev može npisti od cifr 0,,, 9, o se cifre mogu ponvljti; b ne mogu ponvljti 9 Dt je prv y 0 i prbol y Nći jednčinu tngente n prbolu u M, y, y < 0, prve i prbole presečnoj tči ( ) Visin i izvodnic upe odnose s o :, njen zpremin je 000π cm Izrčunti površinu upe Svi zdt nosi bodov REŠENJA:,, ( ] [ ) N osnovu Vietovih formul, iz ( m m ) 0 i m sledi d je m D dt jednost vži z svi prirodn broj n dozćemo oristeći princip mtemtiče inducije Z n dt jednost vži, jer je ( ) Pretpostvimo d dt jednost vži z n, tj ( ) Dozćemo d dt jednost vži i z n 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) Dle, n osnovu princip mtemtiče inducije dt jednost vži z svi prirodn broj n

8 Oznčimo s b, b i b prv tri čln geometrijsog niz Iz 0 b b b 9, ( b b ) b, sledi d je 0 b i b b Iz b b i b b 900 sledi d je ( b b, b ) {( 5,0,), (,0,5) }, 5 Iz log ( ) sledi d je ( ) 0 Deljenjem dte jednčine s cos ( cos 0 ) dobij se jednčin rešenjim tg ili tg Iz tg sledi d je sup rešenj ove jednčine π A π : Z B rctg π : Z sup rešenj ove jednčine { }, tj d je rešenje dte jednčine reln broj tg tg 0 s Iz tg sledi d je Sup svih rešenj dte jednčine je sup C A U B 7 Iz d d i 5 sledi d je d d 8 Ko je površin romb P d d to je površin trženog romb P ) V 5 V b) V V Iz y i y ( 9, ) sledi d je ( y, ) (,) ili (, ) ( 9, ) y Dle, tržen tč je M Jednčin tngente u dtoj tči M n prbolu je prv y 0 Ko je H : s :, to je s H Iz r s H sledi d je r H Iz V r π H 000π cm sledi d je H 0cm, p je r 0 cm, s 0cm Dle, tržen površin upe je P r π rπs 00π ( ) cm

9 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO, SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO septembr 00 Izrčunti Rešiti nejednčinu 0 n( n ) Dozti d z svi prirodn broj n vži n U jednčini ( ) ( ) 0 odredi reln prmetr to d jedn oren (nul) jednčine bude dv put veći od drugog oren 5 Ao je zbir prv tri čln ritmetičog niz, zbir prvih šest člnov 78, nći zbir prvih devet člnov U supu relnih brojev rešiti jednčinu U supu relnih brojev rešiti jednčinu sin cos 0 8 U prvouglom trouglu dte su tete cm i b cm Odredi visinu oj odgovr hipotenuzi 9 Odrediti presečne tče ružnice y y 0 i prve y 0 0 Prvougli trougo čije su tete cm i b cm rotir oo tete b Nći zpreminu nstlog rotcionog tel Svi zdt nosi bodov REŠENJA: ) ) ( )( ) 0 0,, ( ] [ ) ) n : ; ( ) Pretpostv d tvrđenje vži z n : L Doz d tvrđenje vži z n : ( ) ( ) ( ) ( )( ) L ( ) ( ) ) 9 ( ) 7 7

10 5) S S 78 ( d ) ( 5 d) 78 Rešvnjem sistem jednčin d 7 5d dobijmo i d to d je 0 S 0 ( 9 ) , t, ) ( ) t 9, t, 9, Dle, rešenje je smo reln broj 8± t 8t 9 0, t/ ; 9 nem rešenj 7) cos cos 0 cos sin cos 0 cos cos 0 ( ) cos nem rešenje π, Z 8) c b 5 b ch c hc hc cm 5 9) ( y ) y ( y ) y y 0 A ( 0, ) y 5 B ( 5, ) 0 y 0) V B H, H b cm r cm B r π 9π V 9 π V π cm 8

11 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO, MEHATRONIKA, SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO septembr 00 Nći intervl njmnje dužine ojem pripd reln broj to d rešenj, vdrtne jednčine ( ) ( 5) ( ) 0 zdovoljv uslov > Cen neog proizvod povećn je z 0% Z olio procent treb menjti dobijenu cenu, d bi se dobil prosečn cen? Zbir tri uzstopn čln ritmetiče progresije je 5 Ao je njveći od njih dv put veći od njmnjeg, nći proizvod t tri broj Ao je cos cos y, sin sin y b, 0, pozti d je b y tg Nći cos y o funciju od i b ( ) 5 Rešiti jednčinu log log Nći jednčinu ružnice oj spolj dodiruje rušnicu y 5 0 centr joj je u tči C ( 5, ) 7 Dijgonle jednorog trpez su uzjmno normlne Izrčunti njegovu površinu o je r c 5, odnos osnovic : 8 Osnov prve prvilne šestostrne pirmide je upisn u osnovu vlj njen vrh leži u centru gornje osnove vlj Ao je visin pirmide H cm, njen zpremin V cm, nći površinu vlj 9 Nći rešenje jednčine 50 0 Koeficijent četvrtog i šestog čln u rzvijenom obliu binom odnose se o 5:8 Nći vrednost čln oji ne sdrži Svi zdt nosi bodov n REŠENJA: 5 9 > > > < 9, ( ) 0 C- prvobitn cen non povećnj: 0 7 C C C smnjuje se z procent C C C 857%

12 0 58 8,, d d d d d d ( ) cos cos cos cos sin cos cos sin sin b b b b y tg y tg y y tg y y y y y y b 5 log log log log log t t t t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 :, 5 0 5, 9 : y r C A d r C A d y 7 5 y y h P m c h m c y

13 8 π π π V V P r H r P H B V r t t t t t ( ) 0 5, :8 5 : 0 0 n n n n n n n n Čln oji ne sdrži je 95

14 E LEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 00 Proizvod oren jednčine 5 b c je Prmetri b i c su relni brojevi Funcij f ( ) 5 b c im msimum z Odrediti orene te jednčine Z oje vrednosti relnog prmetr će izrz: biti negtivn z svi reln broj? U supu relnih brojev rešiti jednčinu: 9 80 Nći sup rešenj nejednčine : log ( 5) < 5 Prvougoni ABCD ispresecn je s prvih oje su prlelne s strnicom AB i 8 prvih oje su prlelne s strnicom BC Kolio uupno im prvougoni n dobijenoj slici? Ne je b, b,, b, geometrijs progresij s oličniom q z oju vži d je zbir n b b b b n b n i d je b b 7( q ) Izrčunti b 00 n 7 Rešiti nejednčinu: sin sin sin 5 < 0 z ( 0, π ) 8 Ne su A (,,), B(,, ) i C (,, ) temen prlelogrm ABCD Izrčunti oordinte temen D i težišt T trougl ABC 9 Ne je nd tetm OA i OB jednoro prvouglog trougl OAB, o nd prečnicim onstruisne ružnice i ) Dozti d tč C pripd hipotenuzi AB, gde su O i C presečne tče ružnic i b) Izrčunti površinu prese rugov oji su određeni ružnicm i, o je OAcm 0 Izrčunti zpreminu lopte upisne u prvilni otedr ivice ( Prvilni otedr se sstoji od dve jednoivične prve prvilne četvorostrne pirmide oje imju zjedniču vdrtnu osnovu, vrhovi tih pirmid su s rzličitih strn te osnove) Svi zdt nosi bodov REŠENJA: c b b c 0 f ( ) 0 b 0 b f ( ) 0 < 0 Dle, z funcij f () im msimum Sledi d su oreni ; Dt jednčin je vdrtn o je 0 Z 0 vrednost izrz f ( ) je f( ) < 0 z svo R Z 0 dti izrz će biti negtivn z svo R o je < 0 i D ( ) ( ) < 0 (,0) Dle, f ( ) < 0 z svo o (, 0] ( ) 80; t t t 90 0 { } t 0, t 9 t 09 9 je rešenje jednčine

15 Dt nejednčin je definisn z > 0, i 5 > 0 tj z ( 0,) (, ) Z > logritm je monotono rstuć funcij p je 5 log ( 5) < 5 < 5 > 0 (, ) (, ) Dle, rešenje je (, ) 5 Z 0 < < logritm je monotono opdjuć funcij p je log ( 5) < 5 > 5 < 0 (,) Dle, rešenje je (0,) Znči sup rešenj je (0,) (, ) 5 5 Ko je proizvoljn prvougoni određen izborom dve prve od horizontlnih ( im ih 8 ) i 8 0 dve prve od vertilnih ( im ih ) to je broj svih prvougoni jedn 0 b S n b b bn b ( q) q b b bq b b( q ) b( q )( q q ) 7( q) 7( q ) b q Sledi d je q b, q p je b 00 bq 7 f ( ) sin sin sin 5 (sin sin 5) sin sin (cos ) 0 π π π π π sin - cos f ( ) - - π π π π Dle, sup rešenj dte nejednčine je,, 8 OD OA OC OB (,,) (,,) (,,) (,0, ) ; 7 OT ( OA OB OC) (,,7) Dle, oordinte su D(,0,); T (,, ) 9 ) Ko su uglovi OCA i OCB svi od 90 0 to su tče A,C, i B olinerne; b) Ao je r poluprečni dtih rugov to je tržen površin r π r π P PΔ OCA r r Ko je u nšem slučju r cm to je P (π ) cm 0 Ne je S centr upisne lopte u otedr ABCDVV, tj prese dijgonl AC i BD vdrt ABCD i ne je T normln projecij tče S n rvn trougl BCV (o je u pitnju prvilnui otedr to tč T mor d bude bš težište trougl BCV) S r oznčimo poluprečni upisne lopte Ao je P sredin ivice BC td iz prvouglog trougl STP sledi d je r ST SP PT ( ) tj r, p je zpremin tržene lopte V π 7

16 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 00 U supu relnih brojev uprostiti izrz: tgα, z tg α ) π π π π π π α, b) α,, (8 bodov) U supu relnih brojev rešiti nejednčinu 7 9 < 5 (5 bodov) U supu relnih brojev rešiti sistem jednčin y y 77 7 ( bodov) Nči sup rešenj sistem jednčin log log y 0 5 y (5 bodov) 5 N olio rzličitih nčin se od prvih 7 uzstopnih prirodnih brojev, mogu odbrti tri broj, to d njihov zbir bude deljiv s? (7 bodov) Odrediti to d brojevi,, obrzuju ritmetiču progresiju log 5 log 5 log 5 ( bodov) 7 U supu relnih brojev rešiti nejednčinu tg ( ) tg < 0 ( bodov) 8 Ne su P i Q sredine redom strnic BC i CD prlelogrm ABCD, ne je R prese duži AP i BQ i ne je AB, b BC ) Izrčunti ϕ i ψ o je ϕ ψ b 0 ; ( bodov) b) Ao je PR α PA i RB β QB, td izrziti vetore BP, PR i RB u zvisnosti od vetor i b i slr (relnih brojev) α i β ; ( bodov) c) Izrčunti α i β i AR:RP, oristeći zbir BP PR RB ( bodov) π 9 Izrčunti površinu trpez ABCD čije osnovice su AB8 i CD, uglovi n osnovici su α i π β ( bodov) 0 Izrčunti zpreminu prvilnog tetredr, o mu je rstojnje između sredin dve nsprmne ivice (7 bodov) REŠENJA: tgα tgα tg α tg α tgα tgα tgα tgα tgα tgα tg α tg α π π tgα tgα Ao je α,, td je tgα [,],p je tgα ; tgα tgα π π Ao je α,, td je ( ] tgα,,p je tgα tgα tgα tgα tg α ;

17 π π tgα tgα Ao je α,, td je tgα [, ),p je tgα tgα tgα 7 9 ( 5)( ) < < 0 5,, 5 ( )( ) ( ) ( ) y Smenom u, v dti sistem se svodi n evivlentn sistem u v 77 u v 7 Deljenjem ovih jednčin dobij se u v u v 7, p je (u,v)(9,) odnosno (,y)(,) log log y 0 5 y log log y 0 5 y log log y 0 5 y y 5 y (, y) { (,),(,)} 5 Podelimo tih 7 brojev u tri grupe po 9 brojev to d su u prvoj grupi svi brojevi oji su deljivi s, u drugoj grupi su brojevi oji pri deljenju s dju ostt i u trećoj grupi svi brojevi oji pri deljenju s dju ostt D bi zbir tri izbrn broj bio deljiv s tri morju ti brojevi d budu u 9 istoj grupi ili sv tri broj treb d budu iz rzličitih grup U prvom slučju im ih uupno, 9 u drugom slučju im ih uupno 9, te je rezultt d ih im uupno 9 98 Ko vži log 5, log 5, log 5 to iz uslov d oni tim redom obrzuju log 5 log 5 log 5 ritmetiču progresiju sledi d je log log log log Ko je tg ( ) tg < 0 ( tg )( tg ) < 0 tg (, ) to je rešenje dte π π π π nejednčine nd intervlom, intervl,, nd celim supom relnih brojev unije π π svih intervl obli π, π, gde prolzi roz sup celih brojev 8 ) Ko su vetori i b neolinerni to vži ϕ ψ b 0 ϕ 0 ψ 0 ; b) BP b, PR α ( b ), RB β ( b) ; c) BP PR RB 0 b α ( b ) β ( b) 0 α α ( α β ) ( β ) b 0 α β 0 β 0 α β 5 5 Sledi d je AR : RP : 9 Ao su E i F redom normlne projecije tč D i C n osnovicu AB i o je DECFh, td je AB AEEFFBhh 8, odle sledi d je h, te je tržen površin 8 P ( ) ( ) 0 Ao s M i N oznčimo redom sredine ivic AB i CD tetredr ABCD s AB to iz prvouglog trougl AMN sledi d je ( ) V odnosno d je Sledi d je zpremin tetredr jedn 5

18 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 00 U supu relnih brojev rešiti nejednčinu: Z oje vrednosti relnih brojev i b jednčin b 0 im tčno jedno rešenje 0 z oje vži 0 0 U supu relnih brojev rešiti jednčinu tg ( sin ) cos U supu relnih brojev rešiti jednčinu log ( ) log ( ) 5 U supu relnih brojev rešiti sistem jednčin y ; y Dt je oc s temenim A(0,0,0); B(,0,0); C(,,0); D(0,,0); A (0,0, ) ; B (,0,) ; C (,, ) ; D (0,, ) ) Izrčunti ugo između vetor AB i A C ; b) Izrčunti slrni prozvod vetor AB i A C ; c) Izrčunti oordinte težišt T trougl ACB 7 Dte su tče A(,); B(,); C (, ) i ružnic K čij je jednčin ( ) y Odrediti jednčine onih tngenti ružnice K oje su prlelne s simetrlom unutršnjeg ugl od temen A trougl ABC 8 D li postoji geometrijsi niz { } n obrzložiti b od og je ( b b b ) ( b b )? Odgovor n 9 Dozti d z svi prirodn broj n, broj 0 n 0 deljiv s 0 Košrši lub A im n rspolgnju 8 igrč, ošrši lub B im n rspolgnju 9 igrč Svi od lubov z utmicu bir prvu postvu od 5 ošrš Kolio im rzličitih nčin d 0 igrč izđe n pret? Svi zdt nosi bodov REŠENJA: Dt nejednčin je definisn z ,, Rešenj vdrtne jednčine 0 0 su brojevi 0 0; 0 Uvrštvnjem 0 0 u jednčinu b 0 dobij se d je b 0 i td je 0 ( ) 0, p o je 0 0 jedino rešenje te jednčine, sledi d mor d bude 0 Uvrštvnjem 0 u jednčinu b 0 dobij se d je b 0 odnosno b-, p dt jednčin sd glsi 0 Ko je 0 jedino rešenje sledi d mor d bude ili 0 b ili

19 0; ; Sledi d je u ovom slučju ;b Dle, rešenje je b 0 ( 0 b ) ( b ) π Dt jednčin definisn je z π : Z sin tg ( sin ) ( sin ) cos cos cos sin sin 0 sin sin Sup rešenj jednčine sin je π 5π lπ : l Z mπ : m Z, do jednčin sin nem rešenj Dle, sup rešenj π 5π polzne jednčine je lπ : l Z mπ : m Z Dt jednčin je definisn z > log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) ( ) Rešenje polzne jednčine je smo reln broj, do reln broj nije rešenje, jer dt jednčin je definisn z > y 5 Smenom u, v dti sistem se svodi n evivlentn sistem u v ;u v, s u,v ) (,9 ),( 9, ), y ) (, ),(log 9,log ) rešenjim ( { }, odnosno s rešenjim { } ( AB OB OA (,0,) ( 0,0,0 ) AC sledi d si ) Ao s α oznčimo ugo između vetor (,0, ) A C OC OA (,,) (0,0,) (,,0 ) to iz AB, i cos α AB A C AB A C odnosno π α b) AB AC (,0,) (,,0 ) 0 0 c) OT ( OA OC OB ) ((0,0,0 ) (,,) (,0,)) (,, ) 7 Ko prv bp(a,b) čij je jednčin y zlp ugo 0 s pozitivnim delom -ose, prv π cp(a,c) čij je jednčin y zlp ugo s pozitivnim delom -ose, to π tngente treb s pozitivnim delom -ose d zlpju ugo Dle, tngente treb d imju π oeficijent prvc tg D bi prv p:yn bil tngent ružnice ( ) ( y y ), treb d vži uslov dodir r ( ) ( y n ) Uvrštvjući 0 0 r,0, y0 0,r u uslov dodir dobij se d je tngente su prve t : y ; t : y 0 0,n Dle, tržene n 7

20 8 Pretpostvimo d postoji geometrijsi niz { b n } N osnovu uslov treb d vži b b ( b b b ) ( b b ) ( q q ) ( q q ) Ao je b 0, to sledi d stcionrn niz { bn : bn 0,n N} ispunjv dti uslov Dlje, o je b 0 sledi iz b b ( q q ) ( q q ) 0 ( q )( q q ) q Sledi d su jedini relni geometrisi nizovi oji ispunjvju dti uslov stcionrni nizovi, tj nizovi obli b : b b R,n N { } n n 9 Tvrđenje je tčno z n, jer je broj deljiv s Pretpostvimo d tvrđenje vži z n, tj d je broj 0 0 deljiv s Potrebno je dozti d tvrđenje vži i z n, tj d je broj 0 ( ) 0 deljiv s Ko je: 0 ( ) (0 0) (8 9) i 0 0 M po pretpostvci, to je 0 ( ) 0 (9M 8 9) Dle, po principu mtemtiče inducije, dti broj je deljiv s z svi prirodn broj 8 0 Klub A prvu postvu može izbrti n nčin, lub B prvu postvu može izbrti n nčin Dle, utmic može d zpočne n nčin 9 5 8

21 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 005 log Odrediti oblst definisnosti i izrčunti nulu funcije ( ) ( 5 5) f Ne su i rešenj (oreni) u supu omplesnih brojev vdrtne jednčine p q 0 Izrčunti relne brojeve p i q to d vži p i q Rešiti jednčinu Dt je jednčin I : tg ctg π ) rešiti po jednčinu I n intervlu 0, ; π b) rešiti po jednčinu I n intervlu, π 5 Dti su vetori p q i p q, gde je p q i b ( p, q) ) Izrčunti površinu prlelogrm onstruisnog nd vetorim i b b) Izrčunti intezitet vetor c) Ispitti d li su vetori i b normlni π Izrčunti površinu romb čij je strnic, rzli dijgonl d d 9 7 Z omplesne brojeve z i i w i izrčunti z ) z w b) z w c) d) rg ( z) e) z f ) z w n 8 Dt je binom ) d li postoji n Ν z oje prv tri binomn oeficijent u rzvijenom obliu binom obrzuju tri uzstopn čln neog ritmetičog niz? b) Z n odrediti binomni oeficijent uz u rzvijenom obliu binom 9 Kolio im rzličitih 5-cifrenih brojev (prv cifr je rzličit od 0) oji među svojim cifrm sdrže br jednu cifru? 0 Dt je funcij f ( ) e ) Izrčunti y0 z oju tč (, y0 ) b) Nći jednčinu tngente u tči ( 0,0) A pripd grfiu dte funcije O grfi dte funcije c) Ispitti monotoniju i estremne vrednosti dte funcije Svi zdt nosi bodov 9

22 REŠENJA: Argument logritmse funcije mor biti pozitivn, imenilc u rzlomu mor biti rzličit od 0, potoren veličin mor biti negtivn: ( ) log > , ( ( log ( 5 5) 0 > ) ) ( log ( 5 5) 0 < ) ,, ( (,] ) [, ) ( ( ]) [ ),, D,, Z D je Dle, domen funcije je ( ] [ ) ( ) log 5 5 f , D { } Dle, funcij f im dve nule: i Z rešenj i vdrtne jednčine J : V: p U : Iz [ ] q p q 0 vže Vietove formule V: q [ ] [ ] q sledi d mor biti 0 i 0, te je I q [ V, ][ V] p q, odle sledi pq [ ] Dlje je [ U ] ( ) p ( ) 0* ( )( ) : p q ( ) ( ) p p p q q q q odle sledi [*] qp qq q q q q q, uvrštvnjem zdnje jednosti u [*] dobijmo p q [ V ] Pri tome je, 0 p Dle, zdt im jedno rešenje: 0

23 Ko je 5 ( 5 ), smenom t 5 ± 0 ( t 5 t t 0) ( t 5 t, {,8} ) ( 5 5 8) log5 8 dobijmo d je jednčin evivlentn s π Funcije tg i ctg su definisne z svo ( 0, ) i svo ( π, π ) () N intervlu ( 0, π ) su pozitivne obe funcije tg i ctg, te je n ( ) π tg ctg Stog je z ( 0, ) jednčin I evivlentn s tg / ctg tg tg 0 tg t tg t t 0 t tg t t tg tg π π π π 0, 0, (b) N intervlu ( π, π ) su negtivne obe funcije tg i ctg, te je n ( π, ) tg ctg Stog je z ( π π ) jednčin J evivlentn s, tg tg / ctg tg ctg tg tg 0 t tg t t 0 t tg t t tg tg π π 5π π, π, π 5 ) Po definiciji vetorsog proizvod, površin prlelogrm je r r ur r ur r ur ur ur r r ur r r b ( p q) ( p q) p p p q q p q q r ur r ur r r 0 p q p q 0 ur r 5 p q ur r 5 p q sin ur r p, q 0, π pozitivn i funcij ( ( )) π 0 sin 0 b) r r r r r ur r ur r ur ur urr rur r r ( pq) ( p q) p ppq qp 9q q ur ur r r ur r ur r π p pq 9 q 0 p q cos ( ( p, q) ) 0 cos 0 7 π negtivn i funcij

24 c) Ko je r r ur r ur r ur ur ur r ur r r r ur ur r r b ( pq) ( p q) p p p qp qq q p p q q ur r ur r p q cos p, q 0, ( ( )) sledi d vetori r i b r nisu ortogonlni Dijgonle romb se seu pod prvim uglom, te n osnovu Pitgorine teoreme sledi d 8 d d d / d d d d d 8 d d d dd 0, odle sledi d je površin romb te uvrštvnjem druge jednosti u prvu dobijmo dd P 80 7 Z omplesne brojeve z i i w i izrčunti ) z w b) z w i( ) z c) i w π d) rg( z) e) z f) 5 π i π, i π z e e e i π, e i n n n nn ( ) 8 ) Binomni oeficijenti, n i obrzuju tri uzstopn čln neog 0 ritmetičog niz o i smo o je srednji jedn ritmetičoj sredini prvog i trećeg: nn ( ) n n n n 5n n n što znči d ne postoji tv prirodn broj n b) pri čemu je 0 0 0

25 Dle, rdi se o binomnom oeficijentu Polzeći od 0 se n isti nčin dobij binomni oeficijent Uupno, rzličitih 5-cifrenih brojev im (prv cifr ne može biti 0) Rzličitih 5-cifrenih brojev oji među svojim cifrm ne sdrže ni jednu cifru im (prv cifr ne može biti ni 0 ni, ostle su rzličite od ) Prem tome, rzličitih 5-cifrenih brojev oji među svojim cifrm sdrže br jednu cifru im () Iz f () e e sledi y0 e (b) N isti nčin o pod () se proverv d O (0,0) pripd grfiu dte funcije Iz f '( ) e e e ( ) f, te je oeficijent prvc tngente u tči O jedn, odnosno tngent u tči O je obli y n Ko tngent treb d prolzi roz oordintni počet O, sledi n 0, te tržen tngent im jednčinu y sledi '(0) (0 ) (c) Z svo je e > 0 i e > 0, te je f '( ) > 0 z svo To znči d je funcij f strogo monotono rstuć n celom supu i nem ni tču minimum ni tču msimum

26 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 00 godine Ao su i oreni (rešenj) vdrtne jednčine p q 0, z oje vži jednost, odrediti sup uređenih prov relnih brojev (p,q) z oje su oreni dte jednčine relni brojevi ) Rešiti po jednčinu b) Odrediti oblst definisnosti funcije y f( ) log ) Odrediti sv rešenj jednčine sin sin sin 0 5 b) Rešiti nejednčinu sin cos< 0 Dte su funcije f( ) log, f( ) log, f( ) log, f( ) log Ao među dtim funcijm im jednih, npisti oje su jedne Odgovore obrzložiti uuur ur ) Dt je prviln šestougo ABCDEF strnice s centrom u tči O Ao je AO m i uuur r uuur uuur uuur ur r AB n, izrziti vetore AC, BC, AE preo vetor m i n r ur r r ur r ur r ur r π b) Ao je p q, b pq, gde je p, q, ( p, q ), () odrediti površinu prlelogrm onstruisnog nd vetorim r i b r () proveriti d li su vetori r i b r normlni π Površin romb je P r 8, jedn od njegovih uglov je α Izrčunti površinu omotč tel oje nstje rotcijom romb oo njegove strnice 7 Odrediti sve vrednosti z: ) u supu relnih brojev, b) u supu omplesnih brojev, c) rešenj jednčine 0 u supu relnih brojev, d) rešenj jednčine 0 u supu omplesnih brojev, e) rešenj jednčine 0 u supu relnih brojev, f) rešenj jednčine 0 u supu omplesnih brojev lim n n n 8 ) Izrčunti ( ) n b) Dozti d z binomne oeficijente (iz binomnog obrsc) z svi prirodn broj n vži n n n n n jednost: 0 L n 9 Dt je funcij y f( ) ) Odrediti estremne vrednosti funcije f() b) Ne je s sečic oj prolzi roz tče A(, y ) i B(, y ) grfi funcije f Odrediti jednčinu tngente t grfi funcije f prlelne s sečicom s Odrediti jednčinu normle n u dodirnoj tči tngente t 0 Kolio im rzličitih 7-cifrenih brojev čije su prve cifre rzličiti neprni brojevi, poslednje cifre su prni brojevi?

27 REŠENJA: N osnovu Vietovih prvil je q i p, te iz jednosti sledi q p D bi rešenj vdrtne jednčine bil reln, disriminnt te jednčine mor biti nenegtivn: p q 0 p p 0 p( p ) 0 ( p 0 p) p (, ] [ 0, ) Zljuč: rešenj vdrtne jednčine su relni brojevi z pq { tt t ( ] [ ) } (, ) (, ), 0, ) Ko je 9, uvođenjem smene t dobijmo vdrtnu jednčinu t 8t 9 0, čij 8± su rešenj t, {, 9} Vrćnjem smene dobijmo d jednčin nem rešenj, rešenje jednčine 9 je Zljuč: rešenje jednčine je b) Oblst definisnosti funcije f su oni R z oje je > 0 log 0, odnosno > 0 - Kvdrtn funcij je pozitivn z sve te je > 0 > 0 > - Ko je 0, nule vdrtne funcije, sledi d je su i 0 (, ), te je [ ] Zljuč: oblst definisnosti funcije f su tče [, ] α β α β ) Primenom trigonometrijsih identitet sinα sin β sin cos i cos( α) cosα n prvi i treći sbir dobijmo sin sin sin 0 sin sin cos 0 sin ( cos ) 0 π (sin 0 cos ) ( π, π ±, ) Zljuč: rešenj jednčine su π π π π π 5

28 b) Prvi nčin: π π Z cos 0 tj ± π, uvrštvnjem dobijmo d π, π nisu, π, jesu rešenj nejednčine π π Z cos > 0, tj π, π,, deljenjem nejednčine s cos dobijmo sin cos< 0 tg < 0 tg<, π π z π, π, je poslednj nejednost tčn d π π π, π, π π Z cos < 0, tj π, π,, deljenjem nejednčine s cos dobijmo sin cos< 0 tg < 0 tg<, π π z π, π, je poslednj nejednost tčn d 5π π 7π π π, π,, odnosno π, π, 7π π Zljuč: rešenj nejednčine su π, π, 5π π (što je isto što i π, π, ) π Drugi nčin: sin cos < 0 sin cos < 0 sin( ) < 0 π 7π π ( π π,π) π, π, Ao domene funcij f, f, f, f obeležimo redom s D( f), D( f), D( f), D( f ), td je D( f ) (0, ) D( f ) \ 0 (,0) (0, ),, { } { }, D f { } D( f ) \ 0 (,0) (0, ) ( ) \ (0,) (, ) Stog, eventulno mogu biti jedne smo funcije f i f Ko z > 0 vži log log log log i o su funcije f i f prne, sledi d su i jedne Zljuč: Od dtih funcij, jedne su smo f i f 5 ) AC AO OC AO AB m n, BC AO m, AE AD DE AO ED AO AB mn Zljuč: AC m n, BC m, AE mn

29 b) Po definiciji vetorsog proizvod, površin prlelogrm onstruisnog nd vetorim i b je jedn intenzitetu vetorsog proizvod vetor i b, te oristeći definiciju i osobine vetorsog proizvod dobijmo b ( p q) ( p q) p p p q q p q q, 0 p q p q 0 5p q b 5p q 5 p q 5 p q sin( ( p, q)) 5 5 Zljuč: površin prlelogrm je 5 Vetori su normlni o i smo o je njihov slrni proizvod 0 Korišćenjem definicije i osobin slrnog proizvod dobijmo b ( p q)( p q) pp pq qp qq p pq q pq 9 5 pqsin( ( pq, )) Zljuč: Vetori i b nisu normlni h Ao je strnic romb i h visin romb oj je nsprmn oštrom uglu, td je sinα, te je h Iz 8 Pr h dobijmo Površin P obrtnog tel sstoji se od površine P OV omotč vlj visine i poluprečni osnove h, i dve površine P OK omotč prve upe s izvodnicom i poluprečniom osnove h: POV ( hπ ) π π, POK hπ π 8π, Zljuč: P P P 7π OV OK 7 ), b),, i, i, c),, d),, i, i, e), f), i, i 8 n n n n nn ) lim ( n n n) lim ( n n n) lim n n n n n n n n n n lim lim lim n n n n n n n n 0 n n b) Korišćenjem binomnog obrsc dobijmo n n n n 0 n n n n n 0 n n n n n ( ) 0 n 0 n 7

30 9 0 ) Stcionrne tče (tče među ojim se nlze tče estremnih vrednosti) su nule prvog ' izvod: f ( ) ( )( ) 0 ( ) Ko je f '' ( ) i f '' ( ) < 0i lolni msimum, u tči lolni minimum f '' () > 0, sledi d u tči funcij f im b) Iz A f i B f sledi d je y f( ) i y f() Ko tngent treb d je prleln sečici oj sdrži A i B, sledi d je oeficijent prvc tržene tngente t: y m jedn oeficijentu prvc prve AB, dle 0, tj tngent treb d je prleln s -osom Koeficijent prvc tngente u ( ) ' dodirnoj tči M ( 0, y 0) je vrednost prvog izvod f ( ) funcije f u tči, te iz 0 ' f ( 0) 0 0 dobijmo 0 ili 0 (postoje dve tve tngente) Z 0 je y0 f( 0), te uvrštvnjem M (, ) u jednčinu tngente dobijmo m, odnosno tngentu t: y Norml grfi funcije u tči M (, ) je prv oj je normln n tngentu u toj tči Ko je tngent prleln s -osom, norml je prleln s y-osom, te je njen jednčin N isti nčin z 0 i odgovorjuće y 0 dobijmo tngentu y i njenu normlu Zljuč: Jednčine trženih tngenti su redom t : y i t : y, tržene normle su redom n : i n : Neprnih cifr im 5 (,, 5, 7 i 9), o i prnih (0,,, i 8), te e trženi broj je ( ) ( ) Svi zdt nosi bodov 8

31 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 007 godine Ne je P K površin а O obim rug K i ne je Δ ABC jednostrničn trougo upisn u rug K P Ao je olični 0, nći: ) poluprečni r rug K, b) obim trougl O Δ ABC, c) površinu trougl Δ ABC Ne je : f Nći: ) nule funcije f, b) estremne vrednosti funcije f, c) intervl u ome funcij f opd, d) tču A(, y ) grfi funcije f s celobrojnim oordintm u ojoj je tngent grfi prleln s prvom y Ne je : f definisn s ( ) ( )( ) f funcij definisn s f ( ) ) Rešiti jednčinu f ( ) 0, log b) Odrediti oblst definisnosti funcije f, f o g f g c) Ao je ( ), v ( ) g odrediti funciju ( )( ) ( ) Ne je (,, 8 ) i b ( 8,, ) ) D li se tč A (,, 8 ) i B( 8,,) 5 Ne je : v nlze u istom otntu? Odgovor obrzložiti v v b) Izrčunti intenzitete vetor i b i ugo između njih, v v c) Izrčunti površinu prlelogrm onstruisnog nd vetorim i b, v v d) Izrčunj intenzitet vetor b, v v uv b v vv vv e) Izrčunti ugo između vetor p v v i q b b b f funcij definisn s ( ) f ) Rešiti jednčinu f ( ) 0 b) Nći sup svih rešenj nejednčine f ( ) > 0 f 5 c) Rešiti jednčinu ( ) ) Nd intervlom [ 0, π ] rešiti nejednčinu cos( ) > b) Nd intervlom [ ] ( ) 7 0, π rešiti jednčinu sin sin cos n n Dozti d je n z svi prirodn broj n ( ) 8 Sve bočne ivice prve, prvilne, trostrne pirmide jedne i ne su i uglovi između sve dve bočne ivice jedni π ) Izrčunti zpreminu i površinu pirmide b) Izrčunti visinu pirmide 9

32 9 Ao je z i i z i, odrediti: z 007 ) z z A, o je A, z, z z, b) Sup { } { } 0 ) N olio nčin se mogu smestiti uglice rzličite težine u 5 utij rzličite veličine, to d je u svoj utiji njviše jedn uglic i d z sve dve uglice vži d je tež uglic u većoj utiji? b) N olio nčin se mogu smestiti uglice rzličite težine u n utij rzličite veličine, to d je u svoj utiji njviše jedn uglic i d z sve dve uglice vži d je trženuglic u većoj utiji? Svi zdt nosi bodov REŠENJA: Iz PK 7 r π 0 sledi r 0 Ztim iz 0 O rπ h r i h sledi 0, p je obim K trougl ABC jedn 0 Površin trougl ABC je ) Nule polinom b) 00 su i, te su,, 7 sve nule funcije f f '( ) 5 0,5 Ko je ''( ) f i f ''( ) < 0, 00 f ''(5) > 0, to je msimum u tči M (, ), minimum u tči N(5, ) 7 c) Funcij opd u intervlu (,5) d) Koeficijent prvc tngente je f '( ) 5 tj 7 0, Dle, zbog uslov zdt zdovoljv smo tč A(, ) ) b) f ( ) 0 log ( )( ) > 0 > 0 ( )( ) Dle, oblst definisnosti funcije f je (, ) U(,) U (, ) c) ( f o g)( ) log log 0

33 ) Tče se nlze u istom otntu o su im sve odgovrjuće oordinte istog zn Ko su od tč A i B već prve oordinte rzličitog zn, sledi d tče A i B nisu u istom otntu r r π rr b) b ( 8) ( 8) 9 i ugo izmedju njih je zbog b 0 c) Ko je tj prlelogrm vdrt strnice 9, to je tržen površin 8 r r r d) Ko je intenzitet vetor b jedn površini prlelogrm onstruisnog nd vetorim i b r r r to je trženi intenzitet jedn b 8 r r r r ur r b r r r r b r r r r r r e) pq ( r r )( b b) ( )(9 9 b) ( b)( b) b 0, b 9 9 ur uur π p je ( pq, ) 5 ) b) c) 0/: 0 > 0/: > 0 > 0 > ( ) / : t t t 0 log ) b) π π cos> cos> U ( π, π) π π π π π π 7π 9π U ( π, π) KU( π, π) U(, ) U(, ) UK Prese ove unije intervl svih rešenj, s supom [ ] π 7π 0, U, π 8 8 0,π, je trženi sup svih rešenj sin (sin cos ) sin sin cos ( cos ) sin sin π π π cos π 8 π 5π što u preseu s [ 0,π ] dje, 8 8

34 7 Doz izvodimo mtemtičom inducijom Diretnom proverom utvrdjujemo d je jednost tčn z n Pretpostvimo d je tčn z: ( ) K Sledi doz z : ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( )(( ) ) 8 ) Ao bočnu strnu pirmide uzmemo z osnovu, td je to pirmid čij osnov je prvougli trougo čije tete su jedne, visin pirmide je todje, p je zpremin jedn Površin se sstoji od površine tri prvougl trougl i površine jednog jednostrničnog trougl strnice, p je površin jedn ( ) ( ) b) Ao sd uzmemo d je osnov pirmide jednostrnični trougo strnice, td je ( ) zpremin pirmide jedn H, odle je H 9 ) b) * * z i i i i i z i i i π π 007 π π z (cos isin ) cos(007 ) isin(007 ) cos8π i sin8π * nlogno dobijmo 007 z Dle, { z 007 z A} {} 0 ) Ne je {,, } sup od tri uglice od ojih su sve dve rzličite težine i ne je {,,,, 5} sup od 5 utij od ojih su sve dve rzličite veličine Ao sd u prvoj vrsti npišemo uglice po težini, u drugoj vrsti ispod sve uglice npišemo utiju u oju je smešten, td će zbog uslov zdt d je tež uglic u većoj utiji slediti d u drugoj vrsti su brojevi (utije) poredjni po veličini tj svi nčini su: Primetimo d su to sve rstuće funcije tročlnog sup {,, } u sup {,,,, 5}, todje drug vrst predstvlj sve tročlne podsupove petočlnog sup {,,,, 5}, to jesu sve moguće KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA OD 5 ELEMENATA 5 TREĆE KLASE, ojih im 0 n b) N osnovu rešenj pod ) sledi d je rešenje

35 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 008 godine Svi zdt nosi bodov

36 REŠENJA:

37 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 009 godine Svi zdt nosi bodov 5

38 REŠENJA: 5 7 8

39 9 0 7

40 ELEKTROTEHNIKA I RAČUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 00 godine

41 REŠENJA: 5 7 9

42 00

43 SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO jul 00 godine Rešiti nejednčinu: < 5 5 Rešiti jednčinu: log ( ) Rešiti jednčinu: cos sin 0 Dozti d z svo n N vži: n 7 7 (n 5) (n ) n Ne su i rešenj jednčine: 5(m ) ( m ) 0 Odrediti prmetr m to 5 de je : Dti su brojevi i b 8 Odrediti brojeve i y, <<y<b, to d,,y čine ritmetiču,y,b geometrijsu progresiju 7 Pun ugo je podeljen n tri del (ugl) oji se odnose o :: Z olio je stepeni drugi deo veći od prvog, z olio je treći veći od drugog? Z olio procent je drugi deo veći od prvog, z olio je treći veći od drugog? 8 Ao je površin rug upisnog u romb jedn π, jedn ugo romb je dijgonle romb o 0, izrčunti 9 Prv prviln šestostrn pirmid osnovne ivice i bočne ivice s 0 presečen je rvni oj prolzi roz sredinu visine prleln je rvni osnove Izrčunti površinu dobijene zrubljene pirmide 0 Ne su P,Q,R,S redom sredine strnic AB,BC,CD i DA proizvoljnog četvorougl ABCD i ne je AB p, BC q i CD r Ao je { M } PR QS, izrziti vetor AM u zvisnosti od vetor p, q i r Svi zdt nosi bodov REŠENJE < < 0 < 0 (,) (, ) Dt jednčin je definisn z svo log ( ) ( ) 8 0 je rešenje dte jednčine cos sin 0 sin sin 0 (sin )(sin ) 0 { () π : Z }

44 D dt jednost vži z svi prirodn broj n dozćemo oristeći princip mtemtiče inducije Z n dt jednost vži, jer je 7 Pretpostvimo d dt jednost vži z n, tj 7 7 ( 5) ( ) Dozćemo d dt jednost vži i z n 7 7 ( 5) ( ) (( ) 5) (( ) ) ( ) ( 7) 7 Dle, n osnovu princip mtemtiče inducije dt jednost vži z svi prirodn broj n 5 ( ) ( 5(m )) 5 5 m m 0 0 m, (Primetimo d je m Iz ( m ) m sledilo bi d su rešenj 0, 5, tj d dt jednost nije definisn) Iz činjenice d su b,, člnovi ritmetiče progresije sledi d je y y Iz činjenice d su, yb, člnovi geometrijse progresije sledi d je y y b Rešvjući dti sistem jednčin dobij se d je ; y 8 7 Oznčimo uglove s α, β, γ Iz uslov α ; β ; γ ; α β γ π 0 o α 80 o, β 0 o, γ 0 o o 00 β α 0, γ β 0 Ugo β je veći od ugl α z 50% ugo γ od ugl α z % 8 Oznčimo s r poluprečni upisnog rug, h visinu romb, s d, d dijgonle o romb r π π r ; h r ; α < DAB 0 Dle, trougo ABD je h jednostrničn Sledi d je d BD AB 8; d AC h 8 9 VA : VA A B : AB VO : VO : A B s 5 9 l h s l P B B M h (5 9 9) 0 AM AP PM Ko je PQRS prlelogrm (PQ i RS su prlelne i podudrne o srednje linije trouglov ABC i CDA) to sledi d je AM AP PR AB ( PB BC CR) ( AB AB BC CD) ( p q r ) o

45 SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO Rešiti nejednčinu: jul 00 godine U jednčini m (m ) 0 odrediti prmetr m to d jednčin im orene i rzličitog zn z oje je 5 Rešiti nejednčinu : 5 < to d je sin sin sin sin 5 Dozti d z svo n N vži: n 5 (n ) (n ) n Rešiti sistem: log log y (log ) log (y ) Nći [ 0,π ) 7 Prvi, treći i sedmi čln ritmetičog niz čine prv tri čln geometrijsog niz Nći olični geometrijsog niz Koje mesto u ritmetičom nizu zuzim četvrti čln geometrijsog niz? 8 U rug poluprečni 9 cm upisn je četvorougo ABCD s normlnim dijgonlm, oje se seu u tči S Rstojnj dijgonl od centr rug O su cm i 7cm Izrčunti površinu četvorougl ABCD i odnos u ome tč S deli dužu dijgonlu BD 9 Poprečni prese nl je jednori trpez s osnovicm 0cm (gornji deo nl), bcm (dno nl) i rom c5cm Kopnje nl je trjlo dn i svog dn je isopno 00m dužine Koli je zpremin isopne zemlje i olio dn bi trjlo opnje d je svog dn isopno 0m dužine? 0 Ne je S sredin strnice CD prlelogrm ABCD, O prese dijgonl AC i BD ) Ao je BO p, BC q, izrziti vetor AS preo vetor p q ; b) Ao je A(,0,-), B(,-,5), C(0,,0), odrediti oordinte tče S Svi zdt nosi bodov REŠENJA: i Z 0 vži [ 0,) ; Z < 0 vži (,0) ; Dle, sup rešenj polzne jednčine je sup (,) (m ) 5 ( ) 5 5 m {,} m m Iz uslov m < 0 sledi d je rešenje m m 5 < ( ) 5 < 0 (,8) ( 0,8 ) (, ) cos cos cos sin sin sin sin cos8 cos cos cos5 0 S obzirom d se trže rešenj nd intervlom π π π π 7π π 9π [ 0,π ) to je sup rešenj dje jednčine,,,,,,

46 5 D dt jednost vži z svi prirodn broj n dozžemo oristeći princip mtemtiče inducije Z n dt jednost vži, jer je 5 5 Pretpostvimo d dt jednost vži z n, tj 5 ( ) ( ) Dozćemo d dt jednost vži i z n 5 ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5) 5 Dle, n osnovu princip mtemtiče inducije dt jednost vži z svi prirodn broj n Dti sistem je definisn z ( 0,) (, ) ; y ( 0, ) log log y log log y y y (log ) log (y ) log (y ) log y log Sledi d je, y, immo d je rešenje sistem ( ) 7 Z ritmetiči niz { } n d) ( d) d 7 ( Z geometrijsi niz { } b d 7 q b bq ( n ) d 8 n 5 b d d b se dobij d je 8 Ne je O normln projecij centr rug O n dijgonlu BD dtog četvorougl, O normln projecij centr rug O n dijgonlu AC dtog četverougl Sledi d je BD O B 9 cm, AC BD AC O A 9 7 cm Dle, P ABCD 9cm, DS : SB ( 7) : ( 7) 9 Oznčimo s h dubinu nl ( visin jednorog trpez) b b ABCD h c m; B P h 8 m ; H m; H Zpremin je V BH m ; trženi broj dn n je n ) AS AD DS q DC q ( DB BC) ( q p) b) OS ( OC OD) ( OA OC OB) (,, ) (,, ) Dle, tč S(,, ) n

47 SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO jul 00 godine 8 Nći rešenj nejednčine: U jednčini ( m ) m 0 odrediti vrednost prmetr m to d zbir rešenj dte jednčine bude jedn zbiru njihovih vdrt Rešiti jednčinu : 9 0 Rešiti jednčinu log 8 log, > 0, 9 π 5 Rešiti jednčinu cos( ) cos Dte su tče A(,); B(5,5) Odrediti tču C u ojoj simetrl duži AB seče y osu, ztim npisti jednčinu ružnice s centrom u tči C oj prolzi roz tče A i B 7 Oo rug poluprečni cm opisn je jednori trpez površine 0cm Nći strnice tog trpez 8 Dt je oc ABCDA BC D zpremine cm Ao je S sredin ivice A D odrediti površinu pirmide ABCDS 9 Peti čln ritmetičog niz je, rzli osmog i trećeg čln je 5 Odrediti prvi čln niz i rzliu Kolio člnov ovog niz treb sbrti d bi zbir iznosio? n 0 U rzvoju binom, zbir binomnih oeficijent prv tri čln je 9 Odrediti n i izrčunti drugi čln u rzvoju binom Svi zdt nosi bodov REŠENJA: Dt nejednčin je definisn z ; (, ] [,) Ne su i rešenj dte jednčine ( ) ( m ) ( m ) ( m ) m m 0 m, 9 0 ( ) 7 0 Ao stvimo t dobijmo vdrtnu jednčinu t t 7 0 s rešenjim t, t 9 Jednčin nem rešenj 9 Dle, sup rešenj dte jednčine je { } log 8 log9 log9 log 9 log 9 log 9 Ao stvimo log 9 t dobijmo log log 9 9 vdrtnu jednčinu t t 0 s rešenjim t, t log 9 ;log 9 9 Dle, sup rešenj dte jednčine je, 9 5

48 π 5 cos( ) cos sin cos sin sin sin sin 0 Ao stvimo sin t dobijmo vdrtnu jednčinu t t 0 s rešenjim π 5π t, t sin π : Z lπ : l Z π sin mπ : m Z Dle, sup rešenj dte jednčine je π 5π π π : Z lπ : l Z m π : m Z Oznčimo s i oeficijente prvc prve AB i simetrle s duži AB, respetivno Td je 5 i Sredin S duži AB im oordinte S(,) Jednčin simetrle s je 5 prv y ( ), odnosno prv y 5 Ko tč C ( 0, y0 ) pripd simetrli s sledi d je y 5, odnosno C (0,5) Ko je ( 0 ) (5 ) r AC 5 poluprečni dte 0 ružnice, sledi d je jednčin tržene ružnice ( y 5) 5 b 7 Iz P h 0, h r sledi d je b 0 Ko je četvorougo tngentni to je b b c c 5 Iz c h sledi d je b Sd iz b 0 i b sledi d je 8 i b h 8 V ; B B h PΔ ADS 8 h h AS 5 PΔ ABS 5 h h SS A B PΔ BCS 8 P B P P P 8( 5 ) Δ ADS ΔABS ΔBCS 9 d ;8 ( 7d ) ( d ) 5d 5 d ; d n S n ( ( n )d ) n n 5 0 n 5 0 n n n n( n ) n 0 9 n 7 ( ) T 8

49 SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO n 7 n n R n n N n 5n 5 n n Dt je rcionlni lgebrsi izrz: ( ),, ) Uprostiti dti izrz, b) Nći lim R( n) n 9 Rešiti nejednčine: Rešiti jednčinu: 5 5 log y Rešiti sistem jednčin: log( 5), log ( 5) log 9 5 Rešiti jednčinu: cos sin 0 Dozti d z svo N vži n n ( n-) y n n ( )( n) jul 005 godine 7 Brojevi <b<c su prv tri čln ritmetičog niz Ao broj povećmo z 8, dobijmo prv tri čln geometrijsog niz Ao je zbir ov tri čln dobijenog geometrijsog niz, odrediti brojeve, b i c 8 Ne su i b redom dužine ivic donje i gornje osnove prve prvilne četvorostrne zrubljene o pirmide ABCDAB CD Ao je α 5 ugo između bočne ivice s i donje osnove ABCD nći površinu pirmide 9 Dt su temen A(0,0,0), B(,0,0), C(,,0), D(0,,0), A (0,0,), (,0,), C(,,), D(0,,), oce ABCDAB CD ) Ao je tč M prese dijgonl vdrt ABCD, N prese dijgonl vdrt BCC B, pozti d su vetori MN i A b) Odrediti ugo između vetor BA i BC B 0 Nći jednčine tngente i normlne ružnice pripd Svi zdt nosi bodov y y 0 u teči ( y ),, 0 y 0 > 0 oj joj REŠENJA: R ( n) ( n )( n n 9) 5 ( n ) ( n ) ( n ) ( n 9) ( n )( n ) n n n n n ) ( n n 9) n 9 n n 9 5 n 9 n n 9 n n lim lim lim n n n b) R( n) 9 5 n n 7

50 Polzn nejednost je evivlentn s f ( ) ( )( ) 0 Poslednju nejednost rešvmo pomoću tbele i dobijm d je (, ] [,) Uvođenjem smene 5 t, t > 0 esponencijln jednčin se svodi n je dnčinu t 75, 5 t tj n t 0t 75, 0 čij su rešenj t 5 t 5 Zbog t>0 rešenje t se odbcuje, iz t sledi d je jedino rešenje polzne jednčine Rešenje mor d zdovolji uslov 5 > 0, y > 0, y Sistem se primenom prvil logritmovnj svodi n evivlentni sistem log ( 5) log y, log ( 5) log y, oj se smenm log ( 5) t, log y s svodi n sistem linernih jednčin t s t s, čije je rešenje ( t, s) (, ) Dle : ( 5) t log 5, s log y log y, y, 8 p je ončno rešenje sistem ( ), 8 5 cos sin 0 cos ( cos ) 0 cos cos 0 π cos cos - cos ± π, Z 8

51 9 Oznčimo s ( ) N n n T, dto tvrđenje Doz sprovodimo inducijom Z n je ( ) ( )( ) T Predpostvimo d je ( ) ( )( ) : ) ( T tčno i dožimo ( ) ( )( ) ( )( )( ) : ) ( T Dodvnjem ()() i levoj i desnoj strni jednosti T(), dobij se: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )( ), čime je tvrđenje dozno 7 Brojevi,b,c su uzstopni elementi ritmetičog niz, p možemo npisti d je bd i cd Brojevi 8, d i d su uzstopni elementi geometrijsog niz, odle sledi d je ( ) ( )( ), 8 d d njihov zbir je, te immo d d d d 8 8 Uvrštvnjem ovog rezultt u predhodnu jednčinu dobij se: ( )( ) Rešenje 0 odbcujemo budući d iz njeg sledi d je d-, što protivreči uslovu d brojevi,b i c prestvljju uzstopne elemente rstućeg ritmetičog niz, to d je jedino zdovoljvjuće rešenje -, d, odle su trženi brojevi -, b, c8 8 Trougo A А A je jednoro prvougli, p je H A A te iz jednorog trpez A ACC immo ( ) b H b H Poprečni prese pirmide je jednori trpez PQRS čije su osnovice i b, r visin bočne strne h, visin jedn H Stog je H b h Površin pirmide je 5 h b b M B B P

52 9 ) M sredin AC M,, N sredin BC N,, uuuur MN,,,0, uuur AB ( uuur 0, 0 uuuur 0, 0 ) (, uuur 0, ) uuuur Dle, AB MN, p su AB i MN olinerni Npome n: Duž MN je srednj linij trougl CA B p je MN A B, uuuur uuuuur odnosno vetori A B i MN olinerni uuur uuuur ( BA BC) uuur uuuur BA BC ( ) ( ) 0 0, rccos rccos rccos BA BC I nčin Jednčin ružnice se može npisti u obliu ( y ) 5 iz og se vidi d n ružnici immo dve tče s -oordintom : (,) i (,-5), od ojih smo prv zdovoljv uslov y 0 > 0 Dle, jednčinu tngente y y0 t( 0) i normle y y0 n( 0) tržimo u tči ( 0, y0 ) (,) Esplicitni obli jednčine dte ružnice je y ± 5 Prvi izvod je y p 5 je t y ( ) Prem tome jednčin tngente je 9 y ( ) y Ko je n, jednčin normle je t y ( ) y II nčin Jednčin prve oj prolzi roz tču (,) je y ( ) Zmenivši y u jednčinu ružnice dobijmo d je 0 8 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 D bi posmtrn prv bil tngent ružnice dovoljno je d disriminnt poslednje vdrtne jednčine po bude jedn nuli, tj D ( 8 ) ( )( ) 0 ( ) 0 Dle, jednčin tržene tngente je 9 y ( ) y odnosno normle y ( ) y π 50

53 SAOBRAĆAJ I GRAĐEVINARSTVO b b Dt je izrz I (, b) b b jul 00 godine ) Uprostiti dti izrz b) Izrčunti vrednosti dtog izrz z i, b 5 5 Dt je funcij f ( ) ) Rešiti nejednčinu f ( ) f b) Nći ( ) Rešiti nejednčinu 0 > 0 Rešiti sistem jednčin: log log9 y 5 log log y π 5 Ao je tgα, izrčunti sin α 5 Dte su tče U(8,), V(,-0) i W(,) uuuur uuur ) Pozti d su vetori WU i WV ortogonlni b) Npisti jednčinu ružnice čiji je prečni duž UV i jednčinu njene tngente u tči U 7 Odrediti tri uzstopn čln opdjuće ritmetiče progresije,o je njihov zbir 5, zbir njihovih ubov 5 8 Prese dijgonl jednorog trpez PQRS s osnovicm PQ i RS b je tč M Ao 0 je ugo RMS jedn 0, digonl tog trpez d, c 5, izrčunti površinu trpez 9 Ne je ocu ABCDAB CD strnice m upisn up čij je upisn u vdrt ABCD, vrh je u središtu vdrt ABCD Odrediti odnos R : r, gde je R poluprečni sfere opisne oo te upe, r poluprečni sfere upisne u upu 0 Ao se binomni oeficijent drugog čln prem binomnom oeficijentu trećeg čln n u rzvoju binom odnosi o :7, odredi čln u rzvoju oji ne zvisi od Svi zdt nosi bodov 5