NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiraǌa. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavaǌe problema linearnog programiraǌa simpleks metodu. Iako je od ǌenog otkri a proxlo vixe od pola veka (Dancig [1]), u naxoj sredini se jox uvek na tu metodu gleda kao na veoma specijalno i sloжeno matematiqko znaǌe. U nastavi se nalazi iskǉuqivo na fakultetima matematiqkog i ekonomskog profila, qesto nejasno, komplikovano ili nekorektno izloжena. Ciǉ ovoga rada je da se na minimalnom broju strana prikaжu i,,pedagoxke i,,kompjuterske varijante simpleks metode i da tako ona postane dostupna svima koji imaju osnovno univerzitetsko matematiqko obrazovaǌe. Problem koji se rexava simpleks metodom je nalaжeǌe minimuma (ili maksimuma) linearne funkcije f(x) =cx (c je poznata vrsta, x =(x 1,x 2,...,x n ) je kolona sa n nepoznatih) pri ograniqeǌima (1) Ax = b (A je poznata m n matrica, b je poznata kolona) i (2) x 0. Drugim reqima, traжi se minimum linearne funkcije od n nepoznatih na skupu nenegativnih rexeǌa sistema (1) linearnih jednaqina. Oblik (1)-(2) problema linearnog programiraǌa zove se kanonski. Svaki problem linearnog programiraǌa moжe se svesti na kanonski oblik, pri qemu se moжe pretpostaviti da je b 0. Zaista, ako problem ima nejednaqinu oblika ax β, ona se moжe zameniti sa ax + y = β, y 0, a nejednaqina oblika ax β sa ax y = β, y 0, pri qemu je y nova nenegativna promenǉiva, koja se zove izravnavaju a za posmatrano ograniqeǌe. Ako u problemu nedostaje uslov nenegativnosti neke promenǉive, ona se moжe zameniti razlikom dve nove nenegativne promenǉive, jer je svaki broj razlika dva nenegativna broja. Glavna prednost kanonskog oblika nad ostalim oblicima je u uniformnom i uprox enom zapisu ograniqeǌa tipa nejednakosti, kao i u mogu nox u rexavaǌa sistema (1) linearnih jednaqina, xto se u simpleks metodi efikasno koristi.

28. Dugoxija Sistem (1) moжe se posmatrati kao problem da se kolona b izrazi kao linearna kombinacija kolona matrice A sa teжinama x j, j =1, 2,...,n: n (1) b = x j k j j=1 Iz linearne algebre je poznato da sve linearne kombinacije kolona matrice grade vektorski prostor. Maksimalni podskupovi linearno nezavisnih kolona matrice su baze tog prostora. Sve baze imaju isti broj elemenata jednak rangu r matrice A. Sistem (1) ima rexeǌa ako b pripada prostoru kolona. Tada se b kao i nebazisne kolone matrice mogu na jedinstven naqin izraziti kao linearne kombinacije kolona izabrane baze (bazisnih kolona). Sva rexeǌa sistema (1) dobijaju se kad se slobodno izaberu nepoznate uz nebazisne kolone i preostali sistem rexi po nepoznatim uz bazisne kolone, xto je na jedinstven naqin mogu e. Podmatrixu matrice sastavǉenu od kolona neke baze prostora kolona zva emo baza matrice, a promenǉive koje odgovaraju tim kolonama zva emo bazisne promenǉive. Kolonu sastavǉenu od bazisnih promenǉivih obeleжava emo sa x B. Sa N emo obeleжiti podmatricu sastavǉenu od nebazisnih kolona, a sa x N kolonu od nebazisnih promenǉivih. Sistem (1) moжe se tada napisati u obliku (1) Bx B + Nx N = b i, ako ima rexeǌa, sva ǌegova rexeǌa imaju komponente x B i x N pri qemu se x N moжe slobodno izabrati dok se bazisne promenǉive za bilo koji izbor x N mogu izraqunati na slede i naqin. Kako B ne mora biti kvadratna matrica, pomnoжimo obe strane u (1) najpre sa B,azatimsa(B B) 1 (xto postoji, jer su kolone u B linearno nezavisne). Dobijamo: x B =(B B) 1 [B b B Nx N ]. Rexeǌe koje odgovara izboru x N =0zove se bazisno rexeǌe za bazu B. Bazu za koju je pripadno bazisno rexeǌe nenegativno (dakle dopustiva taqka problema) zva emo dopustiva baza. I funkciju ciǉa moжemo izraziti iskǉuqivo preko nebazisnih promenǉivih zamenom izraqunatog x B u izraz za f: (3) f = c B x b + c N x N = c B (B B) 1 [B b B Nx N ]+c N x N = f 0 + r N x N, gde je f 0 = c B (B B) 1 B b i r N = c N c B (B B) 1 B N. U sluqaju da je matrica B invertibilna, prethodne formule se uprox- avaju, jer je (B B) 1 B = B 1. Iz (3) sledi jednostavan Dovoǉan uslov optimalnosti. Ako je bazisno rexeǌe x za bazu B dopustivo, a svi koeficijenti r N uz nebazisne promenǉive nenegativni, ono je optimalno rexeǌe polaznog problema.

Simpleks metoda 29 Zaista, iz (3) sledi f(x) f 0 = f(x) za sva dopustiva rexeǌa x problema. Ako x nije proxlo test optimalnosti, r N ima bar jednu negativnu koordinatu r j. Popravǉaǌe rexeǌa Moжemo potraжiti boǉe rexeǌe kao funkciju nenegativnog parametra x j = t, zadrжavaju i ostale slobodne promenǉive iz x N na vrednosti nula. Za takav izbor slobodnih promenǉivih imamo (4) x B (t) =x B (B B) 1 B k j t i (5) f(t) =f 0 + r j t. Iz posledǌe veze vidi se da sa rasteǌem parametra t dolazi do opadaǌa vrednosti funkcije ciǉa. Najvixe emo sniziti funkciju ciǉa ako biramo najve e nenegativno t za koga dobijemo dopustive taqke tj. za koga je (6) x B (t) 0. Primetimo da je (6) sistem linearnih nejednaqina sa jednom nepoznatom i da se moжe napisati u obliku (6 ) x B yt, pri qemu je y stubac koeficijenata kojima se izraжava kolona k j ubazib, tj. takav da je k j = By (xto, rexeno po y, daje y =(B B) 1 B k j ). Ako je y 0, (6) je zadovoǉeno za sve t 0. Rexeǌe x(t) sa koordinatama x B = x B (B B) 1 B k j t, x j = t i ostalim koordinatama jednakim nuli je dopustivo za sve t 0 i f(t) kad t. Time je problem linearnog programiraǌa u ovom sluqaju rexen. Ako y ima bar jednu pozitivnu koordinatu, sistem (6) ima rexeǌe { xs gde je ˆt = min y s 0 t ˆt, } y s > 0, k s B. Neka je x i (ˆt) =x i ˆty i =0bilo koja koordinata vektora x B (ˆt) koja se anulira i za koju vaжi y i > 0. Skup kolona B 1 =(B \{k i }) {k j } ponovo qini bazu prostora kolona, jer se k j ubazib izraжava sa koeficijentom y i uz k i razliqitim od nule (pozitivnim). Bazisno rexeǌe koje odgovara bazi B 1 je upravo ˆx = x(ˆt), kojezbogf(ˆx) =f(x)+r jˆt f(x) nije loxije od x.

30. Dugoxija Algoritam simpleks metode Korak 0. Polazimo od neke baze qije je pripadno bazisno rexeǌe dopustivo. Korak 1. Proverimo optimalnost tog rexeǌa pomo u navedenog dovoǉnog uslova. Ako rexeǌe zadovoǉava uslov optimalnosti, problem je rexen. U sluqaju da rexeǌe ne zadovoǉava dovoǉan uslov, idemo na Korak 2. Traжimo boǉe rexeǌe na opisani naqin. Ako nađemo zrak duж koga funkcija ciǉa neograniqeno opada, problem je rexen. U suprotnom nalazimo drugu dopustivu bazu koja se od prve razlikuje u jednoj koloni i qije pripadno bazisno rexeǌe po vrednosti funkcije ciǉa nije loxije od prethodnog i idemo ponovo na korak 1. Vode i raquna ( ) da se baze ne ponove, postupak e biti konaqan, jer je broj n baza najvixe. Ponavǉaǌe baza (cikliraǌe) se moжe izbe i posebnim procedurama biraǌa ulaжeǌa i izlaжeǌa kolona iz baza. Jedna od najprostijih r takvih procedura je Blendovo pravilo minimalnog indeksa ([4]): U svakoj iteraciji za izlaz iz baze i za ulaz u bazu izabrati kandidata sa najmaǌim indeksom. Dokaz je sloжen pa ga izostavǉamo (vidi na primer [6] ili [7]). Bez primene procedure protiv cikliraǌa, ponavǉaǌe baza je mogu e, ali je u praksi vrlo retko. Dokazano je da je verovatno a pojave cikliraǌa pri sluqajno izabranim koeficijentima problema jednaka nuli, te ve ina raqunarskih imlementacija simpleks metode ne vodi o tom raquna. Primer 1. Rexiti simpleks metodom problem min f = x y p.o. x + y 3, 2x + y 4, y 0. Problem prvo transformixemo u kanonski oblik uvode i izravnavaju e promenǉive a i b i zameǌuju i x sa razlikom dve nenegativne promenǉive x i x : min f = x x y p.o. x x + y + a =3, 2x 2x + y b =4, x,x,y,a,b 0. Matrica sistema je ( ) 1 1 1 1 0 A =. 2 2 1 0 1 Jednu ( dopustivu ) bazu prostora kolona qine prva ( i posledǌa ) kolona. Zaista 1 0 1 1 1 za B = nebazisna podmatrica je N =, a pripadno bazisno rexeǌe, dobijeno izborom x = y = a =0i rexavaǌem sistema po x i b, 2 1 2 1 0 je

Simpleks metoda 31 (x,x,y,a,b) =(3, 0, 0, 0, 2) (00000).Kakoje ( B 1 = B, B 1 1 1 1 N = 0 1 2 r N = c N c B B 1 N =( 1 10) (1 0) ), ( 1 1 1 0 1 2 ) =(0 2 1), kandidati za ulaz u bazu su tre a (uz y) i qetvrta (uz a) kolona matrice A. Saglasno Blendovom pravilu, izabra emo tre u kolonu za ulaz u bazu. Odredimo reprezentaciju tre e kolone u bazi B rexavaǌem sistema ( 1 1 ) = By. ( ) ( ) 1 1 Dobijamo y = B 1 =. Odredimo sada najve e t za koje je x 1 1 B yt = ( ) ( ) ( ) 3 1 0 t. To je ˆt = min{ 3 2 1 0 1, 2 1 } =2. Pri izboru t = ˆt anulira se druga od ovih nejednaqina (koja odgovara promenǉivoj b), te je xesta kolona ( (uz) b) 1 1 (jedini) kandidat za izlaz iz baze. Nova dopustiva baza je zato B =, 2 1 a pripadno ( bazisno ) rexeǌe je ˆx =(3 ˆt, 0, ˆt, 0, 0) ( =(1, 0, )( 2, 0, 0). Daǉe ) je 1 1 1 1 1 1 0 B 1 =, r 2 1 N =( 1 00) (1 1) = 2 1 2 0 1 (032) (000), pa je ˆx, prema dovoǉnom uslovu optimalnosti, optimalno rexeǌe problema. Varijante simpleks metode Izloжeni algoritam simpleks metode je,,sirov jer u svakoj iteraciji metode treba vrxiti invertovaǌe matrica, xto nije lak posao ni ruqno ni raqunarski. Invertovaǌe je trivijalno ako je baza jediniqna matrica. Osim toga reprezentacija nebazisnih kolona preko jediniqnih bazisnih je neposredno qitǉiva, a izraжavaǌe funkcije ciǉa preko nebazisnih promenǉivih vrlo lako. U tu svrhu dovoǉno je od funkcije ciǉa oduzeti pogodnu linearnu kombinaciju jednaqina sistema (1), biraju i za teжine brojeve suprotne koeficijentima uz bazisne promenǉive. To daje ideju da se algoritam izmeni tako da se u svakom koraku pojavǉuju jediniqne matrice kao baze. Pretpostavimo da je polazna dopustiva baza jediniqna. Primetimo da su koordinate pripadnog bazisnog rexeǌa u tom sluqaju bax koordinate vektora b (eventualno permutovane), te je dakle b 0. Neka prema algoritmu u bazu treba da uđe kolona k j =(a 1j a 2j a mj ) koja ima bar jedan pozitivan element. Po algoritmu, iz baze treba da izađe jediniqna bazisna kolona sa jedinicom u i-toj vrsti matrice A, pri qemu je i određeno sa (7) b i a ij = min { bs a sj a sj > 0 }.

32. Dugoxija Da bi nova baza postala jediniqna dovoǉno je elementarnim transformacijama (koje ne meǌaju skup dopustivih rexeǌa) pretvoriti kolonu k j u jediniqnu sa jedinicom na poǉu (i, j). Element a ij zva emo pivot. Da bismo ga pretvorili u jedinicu podelimo obe strane i-te jednaqine sa a ij, xto je korektno, jer je a ij 0. Da bismo anulirali ostale elemente j-te kolone, od s-te jednaqine oduzmemo (po stranama) umnoжak i-te jednaqine sa a sj. Slobodan qlan s-te a sj jednaqine postaje b s b i i, zbog (7), ostaje nenegativan za sve s i. Zato a ij je bazisno rexeǌe koje odgovara novoj jediniqnoj bazi nenegativno, pa se algoritam moжe nastaviti qix eǌem funkcije ciǉa od nove bazisne promenǉive x j. Ovo je mogu e uraditi odbijaju i od izraza za f umnoжak i-te jednaqine sistema sa koefijentom uz x j. Kako se polazni problem moжe zapisati matriqno (tabliqno) i algoritam predstaviti nizom transformacija matrica, izloжena varijanta simpleks metode zove se tabliqna simpleks metoda: Tabliqna simpleks metoda Problemu min f = cx + f 0, p.o, Ax = b, x 0 pridruжimo tablicu x f f 0 = c. b = A Iz pedagoxkih razloga (radi lakog dexifrovaǌa) zadrжali smo u tablici zapis funkcije f, promenǉivih x iznakove= iako se oni obiqno ne zapisuju. Tablica se zove simpleks tablica, ako u matrici A postoji bazisna jediniqna podmatrica qiji je format jednak broju vrsta u A, akojeb 0 i ako su koeficijenti koji odgovaraju bazisnim kolonama u prvoj vrsti (izrazu za funkciju ciǉa) jednaki nuli. Tabliqna varijanta metode polazi od jedne simpleks tablice. Ako su elementi prve vrste sa izuzetkom prvog elementa nenegativni, pripadno bazisno rexeǌe je optimalno. U suprotnom izabere se kolona uz jedan od tih negativnih koeficijenata za ulaz u bazu. Ako ta kolona nema pozitivnih elemenata funkcija ciǉa je neograniqena odozdo. Ako kolona ima pozitivnih elemenata, među ǌima se odredi pivot kao jedan od pozitivnih elemenata za koga se dostiжe minimum u (7). Matrica se transformixe po slede em mnemotehniqkom pravilu: (i) vrsta pivota deli se pivotom; (ii) ostali elementi matrice meǌaju se tako, xto se od stare vrednosti oduzme prozvod projekcija tog elementa na vrstu i kolonu pivota razdeǉen pivotom. Time se ponovo dobija simpleks tablica i algoritam ponavǉa. Ako se baze ne ponove, xto se moжe osigurati Blendovim pravilom, postupak je konaqan. Mana tabliqne simpleks metoda je mogu nost nagomilavaǌa grexaka prilikom iteracija. Zato ve ina komercijalnih programa radi tzv. revidiranom

Simpleks metoda 33 simpleks metodom koja se od algoritma koji smo prvobitno izloжili razlikuje samo u nekoliko finesa: Revidirana simpleks metoda Revidirana simpleks metoda polazi od neke dopustive baze B. Da bi se funkcija ciǉa izrazila preko nebazisnih promenǉivih, od izraza za funkciju ciǉa oduzima se linearna kombinacija jednaqina sistema sa teжinama u = (u 1 u 2 u m ) takvim da je (8) c B = ub. Ovaj sistem je mogu e rexiti, jer ǌegova matrica sistema (B ) ima linearno nezavisne vrste. Izraz za funkciju ciǉa dobija oblik (9) f ub = r N x N, r N = c N un. U sluqaju da kolona k j treba da uđe u bazu, da bi se utvrdilo koja kolona treba da izađe iz ǌe, treba odrediti reprezentaciju kolone k j ustarojbazib, tj. rexiti sistem (10) k j = By. Daǉe algoritam ide po ve opisanim pravilima (rexavaǌem sistema (6 ) itd). Usko grlo revidirane simpleks metode je rexavaǌe sistema (8) i (10) bez invertovaǌa matrica. Na sre u oni se mogu svesti na rexavaǌe niza prostijih sistema, ako se iskoristi fakt da se nova baza dobija iz stare zamenom jedne kolone j-te po redu nekom drugom kolonom k. Zato se nova baza dobija kao proizvod stare baze i matrice kojoj je j-ta jediniqna kolona zameǌena kolonom k. Matrice koje se od jediniqne matrice razlikuju u jednoj koloni zovu se eta matrice. Ako je poqetna baza bila jediniqna matrica, p-ta baza ima oblik proizvoda eta matrica E 1 E 2 E p,paseup-toj iteraciji algoritma sistemi (8) i (10) mogu rexavati kao niz sistema, svaki sa jednom eta matricom: (8) (10) c B =( ((ue 1 )E 2 ) )E p. k j = E p (E p 1 ( (E 1 y) )). Kako pam eǌe eta matrice zahteva mnogo maǌe memorije nego pam eǌe pune matrice, ovom modifikacijom dobija se mogu nost obrade na raqunaru problema sa desetinama hiǉada promenǉivih i/ili ograniqeǌa, xto brojni komercijalni programi (na primer LINDO, BLP, GAMS i dr.) koriste. Kako startovati? Da bi se startovala simpleks metoda u svim varijantama potrebna je prva dopustiva baza. U sluqaju da ona nije odmah vidǉiva, postoji vixe naqina da se nađe. Algoritmi koji to rade uglavnom koriste samu simpleks metodu

34. Dugoxija primeǌenu na neki pomo ni problem. Izloжi emo veliko M-metodu Charnes-a ([5]). Za druge metode pogledati na primer [6] ili [8]. Metoda veliko M Ako u problemu (1), koji je u kanonskom obliku sa b 0, poqetna dopustiva baza nije vidǉiva, moжemo posmatrati pridruжen problem min f = cx +(MM M)y p.o. Ax + y = b, x, y 0, gde je y kolona vextaqkih nenegativnih promenǉivih i M veoma veliki nenegativan parametar (ve i od svakog konaqnog broja s kojim se u toku algoritma upoređuje). Primetimo da matrica pridruжenog problema ima jediniqnu dopustivu bazu (bazisne promenǉive su y, a nebazisne x), a pripadno bazisno dopustivo rexeǌe je x =0, y = b. Stoga se pridruжeni problem moжe rexavati simpleks metodom. Analizirajmo mogu e zavrxetke simpleks metode uz pretpostavku da nema cikliraǌa: a) Neka je simpleks metoda zavrxila naxavxi optimalno rexeǌe sa komponentama ˆx i ŷ. Tada: (i) ako je ŷ =0,ondajeˆx optimalno rexeǌe polaznog problema. Zaista, prema jakoj teoremi dualnosti problem dualan pridruжenom max ub p.o. ua c, u (MM M) ima optimalno rexeǌe û i ûb = cˆx. Taqka û je dopustiva za dual max ub p.o. ua c polaznog problema, a ˆx je dopustivo rexeǌe polaznog problema. Zbog ûb = cˆx, ˆx je optimalno rexeǌe polaznog problema. (ii) ako je ŷ 0, polazni problem nema nijedno dopustivo rexeǌe. U suprotnom, za dovoǉno veliko M, dobijena minimalna vrednost funkcije ciǉa pridruжenog problema bila bi ve a od vrednosti ǌegove funkcije ciǉa u dopustivoj taqki qije su komponente x (dopustiva taqka za polazni problem) i y =0, xto je kontradikcija. b) Ako je simpleks metoda zavrxila naxavxi dopustivi zrak (x 0,y 0 )+t(ˆx, ŷ), t 0 duж kojeg funkcija ciǉa neograniqeno opada kad t, tada je Ax 0 + y 0 = b, Aˆx +ŷ =0

Simpleks metoda 35 i, za dovoǉno veliko M, mora biti ŷ =0i cˆx <0, pajex 0 + tˆx za t 0 zrak dopustivih taqaka za polazni problem duж kojeg funkcija ciǉa neograniqeno opada. Primer 2. Reximo tabliqnom simpleks metodom problem iz primera 1. Problemu odgovara tablica x x y a b f 0 = 1 1 1 0 0 3 = 1 1 1 1 0 4 = 2 2 1 0 1 Kako matrica sistema nema jediniqnu dopustivu bazu (ima samo jednu jediniqnu kolonu uz izravnavaju u promenǉivu a), dovoǉno je da uvedemo jednu nenegativnu vextaqku promenǉivu c uz koju u funkciji ciǉa stoji koeficijent M, au matrici ograniqeǌa nedostaju a jediniqna kolona. Proxirenom problemu tada odgovara tablica x x y a b c f 0 = 1 1 1 0 0 M 3 = 1 1 1 1 0 0 4 = 2 2 1 0 1 1 Oqistimo funkciju ciǉa od bazisne promenǉive c, mnoжe i posledǌu vrstu sa M i dodaju i je prvoj vrsti matrice. Dobijamo tablicu x x y a b c f 4M = 1 2M 1+2M 1 M 0 M 0 3 = 1 1 1 1 0 0 4 = 2 2 1 0 1 1 Kako je parametar M jako veliki, bi e 1 2M <0 i 1 M <0, pa su kandidati za bazisne promenǉive x i y. Prema Blendovom pravilu izabra emo x. Kolona koja odgovara ovoj promenǉivoj ima dva pozitivna elementa među kojima traжimo pivot. Kako je 3 1 > 4, pivot je 2. Transformacijom tablice po navedenom 2 mnemotehniqkom pravilu dobijamo novu simpleks tablicu x x y a b c f 2 = 0 0 3/2 0 1/2 1/2+M 1 = 0 0 1/2 1 1/2 1/2 2 = 1 1 1/2 0 1/2 1/2 Koeficijent uz y u funkciji ciǉa je negativan, te pivot traжimo u koloni ispod y. Kakoje 1 1/2 < 2,pivotje1/2utre oj vrsti. Transformisana tablica 1/2 je x x y a b c 1 = 0 0 0 3 2 M 1 2 = 0 0 1 2 1 1 1 = 1 1 0 1 1 1 Odavde qitamo optimalno rexeǌe: f min = 1 za (x,x,y,a,b,c)=(1, 0, 2, 0, 0, 0).

36. Dugoxija Komentar Algoritam simpleks metode ima i popularnu (ali retko gde koretno formulisanu) geometrijsku interpretaciju (vidi [6]). Dopustivi skup je konveksan poliedarski skup, a bazisno dopustivo rexeǌe (problema u kanonskom obliku) je ǌegova ekstremna taqka (vrh), tj. taqka bez koje je ostatak dopustivog skupa i daǉe konveksan. Dve ekstremne taqke zovu se susedne, ako uklaǌaǌem duжi koje one određuju, od dopustivog skupa ostaje konveksan skup. U svakoj iteraciji simpleks metoda polazi iz jednog vrha dopustivog skupa i, ako pređe u drugu dopustivu taqku (a ne mora), ta taqka je ǌemu susedni vrh u kome funkcija ciǉa nije ve a nego u prethodnom. Cikliraǌe odgovara vra aǌu u neki vrh. Ako se primeǌuje neko anticikling pravilo, postupak se zavrxava u vrhu koji je optimalno rexeǌe ili se dobija ekstremna ivica (zrak) dopustivog skupa duж koje funkcija ciǉa neograniqeno opada. Po brzini rada simpleks metoda spada u takozvane nepolinomijalne algoritme. Konstruisani su primeri sa n promenǉivih koje simpleks metoda rexava u 2 n iteracija. Zato se moжe oqekivati da e sa porastom dimenzije problema (broja nepoznatih i ograniqeǌa) do i do problema u radu. Praksa pak pokazuje da se to retko događa. Razlog leжi u tome xto su ekstremno texki sluqajevi retki. Teorijski je pokazano da je simpleks algoritam,,u sredǌem polinomijalan. Ipak, tragaǌe za efikasnim polinomijalnim algoritmom za rexeǌe problema linearnog programiraǌa bilo je glavni problem u posledǌe dve dekade. On je uspexno okonqan otkrivaǌem Karmakarove i srodnih,,unutraxǌih metoda (vidi [8]). I pored toga, simpleks metoda ostaje jedna od glavnih metoda za rexavaǌe problema linearnog programiraǌa. LITERATURA [1] Danzig, G., Linear Programming and Extensions, Princeton 1963. [2] Dugoxija,., Furije-Mockinov metod eliminacije, Nastava matematike XLV 2000, sv.1-2, 42 47. [3] Dugoxija,, Teorija linearnog programiraǌa, Nastava matematike XLV 2000, sv.3-4, 42 48. [4] Bland, R.G., New finite pivoting rule for the simplex method, Mathematics of Operations Researq 2, 1977, 103 107. [5] Charnes, A., Optimality and degeneracy in linear programming, Ekonometrica 20, 1952, 160 170. [6] Dugoxija,., Linearno programiraǌe (skripta), Matematiqki fakultet, Beograd, 1994. [7] Chvatal, V., Linear Programming, Freeman and Company, 1983. [8] Cvetkovi, D., Qangalovi, M., Dugoxija,., Kovaqevi -Vujqi, V., Simi, S., Vuleta, J., Kombinatorna optimizacija, Dopis, Beograd 1996.