PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU

BOSNA I HERCEGOVINA FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE TUZLANSKI KANTON MINISTARSTVO OBRAZOVANJA/NAOBRAZBE, NAUKE/ZNANOSTI, KULTURE I SPORTA/ŠPORTA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA M PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU Matematika Primjenjuje se od juna 006. godine

CILJ - sticanje matematičkih znanja i sposobnosti neophodnih za razumijevanje zakonitosti u prirodi i društvu, za primjenu u praksi i u procesu proizvodnje, kao i za uspješno nastavljanje obrazovanja; - razvijanje sposobnosti učenika da pravilno rasuđuju, logički zaključuju, da razvijaju maštu, stvaralačko matematičko mišljenje i pozitivne osobine ličnosti. ZADACI - sticanje znanja potrebnih za razumijevanje kvantitativnih i prostornih odnosa, razvijanje opće matematičke kulture neophodne za uključivanje u svijet rada i za praćenje savremenog društveno-ekonomskog i naučno-tehničkog razvoja; - osposobljavanje učenika za uspješno i kvalitetno nastavljanje obrazovanja i uključivanje u druge naučne oblasti u kojima se matematika primjenjuje u toku školovanja i kasnije u procesu proizvodnje; - razvijanje pravilnog logičkog i apstraktnog mišljenja i zaključivanja; - izgrađivanje pozitivnih osobina ličnosti kao što su: radne navike, upornost, sistematičnost, urednost, tačnost, preciznost, odgovornost, kritičnost, smisao za samostalni rad, razvijanje kulturnih, etničkih i estetskih navika kod učenika; - razvijanje sposobnosti učenika za samostalno korištenje stručne literature i drugih izvora znanja. PROGRAMSKI SADRŽAJI 1. OSNOVI MATEMATIČKE LOGIKE I TEORIJE SKUPOVA Osnovni pojmovi matematičke logike: iskaz, disjunkcija, konjunkcija, negacija, implikacija, ekvivalencija. Osnovni pojmovi teorije skupova: skup, podskup, unija, presjek, razlika, komplement. Dekartov proizvod.. SKUP REALNIH BROJEVA Skupovi N, Z i Q. Skup I iracionalnih brojeva i skup R realnih brojeva. Apsolutna vrijednost realnog broja. 3. ALGEBARSKI IZRAZI Stepen (potencija) s cjelobrojnim izložiocem (eksponentom). Operacije sa stepenima jednakih osnova (baza), odnosno izložilaca. Cijeli algebarski izrazi. Pojam promjenljive (varijable). Pravila formiranja. Cijeli algebarski izaz kao funkcija. Transformacija cijelih algebarskih izraza. Monomi. Sabiranje i množenje monoma. Polinomi u jednoj varijabli. Sabiranje, oduzimanje i množenje polinoma. Kvadrat zbira i razlike, razlika kvadrata, kub zbira i razlike, zbir i razlika kubova. Rastavljanje cijelih algebarskih izraza na faktore. Dijeljenje polinoma s ostatkom. Nule polinoma, Bezuova (Bezout) teorema. Teorema identičnosti polinoma. Razlomljeni (racionalni) brojevni izrazi. Vrijednost i transformacija razlomljenog brojevnog izraza. Razlomljeni (racionalni) algebarski izrazi. Transformacija razlomljenih algebarskih izraza.

. GEOMETRIJA U RAVNI Osnovni izvedeni pojmovi i stavovi u geometriji. Osnovni geometrijski objekti i njihovi međusobni odnosi. Poluprava, duž, mnogougaona (poligonalna) linija, poluravan, poluprostor. Podudarnost (kongruentnost) duži. Mjerenje duži. Ugao. Podudarnost uglova. Mjerenje uglova. Uglovi uz transverzalu. Prvi ugao, normala (okomica). Uglovi sa paralelnim i uglovi sa normalnim kracima. Unakrsni uglovi. Trougao (trokut). Mnogougao (poligon, mnogokutnik). Zbir unutrašnjih uglova u trouglu i u mnogouglu. Broj dijagonala mnogougla. Podudarnost trouglova. Teoreme o podudarnosti, odnos uglova i stranica u trouglu. Osnovna nejednakost trougla. Simetrala duži i simetrala ugla. Značajne tačke trougla. Konstrukcija normale, simetrale duži i simetrale ugla. Četvorougao. Vektori u ravni. Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora. Množenje vektora realnim brojem. 5. KOORDINATNI SISTEM U RAVNI Pravougli koordinatni sistem u ravni. Pravougle koordinate tačke. Razmjera (omjer). Proporcionalnost i proporcija. Procentni račun. Funkcija direktne proporcionalnosti (homogena linearna funkcija) y = kx (k 0). Afina (linearna nehomogena) funkcija y = kx + n. Funkcije obrnute proporcionalnosti y = x k (k 0), njen tok i grafik (hiperbola). 6. LINEARNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Jednakosti i jednačine. Ekvivalentne jednačine. Rješavanje linearnih jednačina s jednom nepoznatom. Diskusija rješenja. Problemi koji se rješavaju pomoću linearnih jednačina s jednom nepoznatom. Nejednakost i nejednačine. Ekvivalentne nejednačine. Rješavanje linearnih nejednačina s jednom nepoznatom. Sistem linearnih nejednačina s jednom nepoznatom (grafički prikaz rješenja). 7. SISTEMI LINEATNIH JEDNAČINA I NEJEDNAČINA Linearna jednačina sa dvije nepoznate. Sistem od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate. Metode rješavanja: metoda supstitucije, Gausova (Gauss) metoda, metoda determinanti, grafička metoda. Primjena sistema linearnih jednačina sa dvije nepoznanice. Sistemi od tri i više linearnih jednačina s tri i više nepoznatih. 8. HOMOTETIJA I SLIČNOST Krug i kružnica (kružna linija). Centralni i periferijski ugao. Tangente kružnice. Proporcionalnost duži. Sličnost. Sličnost trouglova i mnogouglova. Teorema sličnosti. Primjena sličnosti na pravougli trougao. Pitagorina teorema. Cilj: 9. STEPENI KORIJENI Stepen čiji je izložilac cio poozitivan broj ili nula. Pravila stepenovanja. Operacije sa stepenima. Stepen čiji je izložilac cio negativan broj. Korijen. Pravila korjenovanja. Operacije sa korijenima. Racionaliziranje imenioca. Stepeni sa racionanim eksponentima. 10. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA Formiranje skupa kompleksnih brojeva. Operacija u skupu kompleksnih brojeva. Preslikavanje skupa kompleksnih brojeva u skup tačaka kompleksne ravni. 3

11. KVADRATNE FUNKCIJE, KVADRATNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Kvadratne jednačine. Potpuna i nepotpuna kvadratna jednačina, normalni oblik, Vietove formule. Primjena kvadratnih jednačina. Kvadratni trinom. Rastavljanje na linearne faktore. Znak kvadratnog trinoma. Kvadratne funkcije y = ax, y = ax + bx + c (grafik, nule, znak, ekstrem, tok). Kvadratne nejenačine. 1. JEDNAČINE VIŠEG REDA, SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA Bikvadratne jednačine ax + bx + c = 0. Sistemi jednačina sa dvije nepoznate od kojih je jedna pravog, a jedna drugog stepena. Sistemi kvadratnih jednačina sa dvije nepoznate. 13. IRACIONALNE JEDNAČINE Pojam iracionalne jednačine. Iracionalne jednačine f (x) =g(x), gdje je f(x) cijela ili razlomljena racionalna funkcija. 1. EKSPONENCIJALNE JEDNAČINE Eksponencijalna funkcija u = a x. Pojam, svojstva i grafik. Eksponencijalne jednačine oblika a f(x) = a g(x), pri čemu su f(x) i g(x) polinomi ili racionalne funkcije najviše drugog stepena. 15. LOGARITMI, LOGARITAMSKE JEDNAČINE Pojam inverzne funkcije. Pojam logaritma i logaritamske funkcije. Osobine, svojstva i grafik. Pravila logaritmiranja. Prelazak s jedne baze na drugu. Dekadski i prirodni logaritmi. Primjena logaritama. Logaritamske jednačine oblika log a f(x) = log a g(x), pri čemu su f(x) i g(x) polinomi ili racionalne funkcije najviše drugog stepena. 16. OSNOVI TRIGONOMETRIJE Definicija trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija od 6 π, π, 3 π. Osnovni trigonometrijski identiteti. 17. TRIGONOMETRIJA Orijentisani ugao. Radijan. Trigonometrijska kružnica. Definicija trigonometrijskih funkcija na kružnici. Periodičnost trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijske funkcije negativnog argumenta. Svođenje na pravi kvadrant. Adicione teoreme. Trigonometrijske funkcije dvostranog ugla. Transformacija trigonometrijskih funkcija u proizvod. Transformacija trigonometrijskih izraza. Sinusna i kosinusna teorema i rješavanje pravouglog i kosouglog trougla. Trigonometrijske jednačine. Rješavanje raznih tipova trigonometrijskih jednačina (jednostavniji slučajevi). 18. TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Proizvod i količnik kompleksnog broja. Stepen kompleksnog broja. Moavrova formula. 19. JEDNAČINE I NEJEDNAČINE Iracionalne nejednačine. Eksponencijalne nejednačine. Logaritamske nejednačine. Jednačine nejednačine i funkcije sa apsolutnim vrijednostima. Trigonometrijske funkcije poluugla; pretvaranje proizvoda u zbir. Složenije trigonometrijske jednačine.

0. ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI Koordinatni sistemi. Udaljenost dviju tačaka. Podjela duži u datom omjeru, koordinate djelišta. Površina trougla. Uslov da tri tačke pripadaju istoj pravoj. Pojam i formiranje jednačine geometrijskog mjesta tačaka u ravni. Jednačine prave. ugao između dvije prave. Uslov paralelnosti i normalnosti pravih. Presjek dvije prave. Jednačina prave kroz jednu tačku. Jednačina prave kroz dvije tačke. Jednačina kružnice (centralna i opća). Centralni oblik jednačine elipse, hiperbole i parabole. Međusobni položaj prave i krive drugog reda (kružnice, elipse, hiperbole i parabole), uslov dodira. Jednačina tangente u dodirnoj tački. 1. POVRŠINA GEOMETRIJSKIH FIGURA U RAVNI Površina pravougaonika (pravokutnika), kvadrata, paralelograma, površine trougla, trapeza, četverougla (četverokutnika) s normalnim (okomitim) dijagonalama. Heronov obrazac. Površina mnogougla. Površina kruga, kružnog isječka; kružnog prstena i kružnog odsječka.. GEOMETRIJSKE FIGURE U PROSTORU (STEREOMETRIJA) Prizma, piramida i njihovi ravni presjeci. Površina i zapremina poliedara. Zapremina kvadra. Zapremina prizme, piramide i zarubljene piramide. Obrtna (rotaciona) tijela. Valjak (cilindar). Kupa (stožac). Lopta (kugla). Ravni presjeci obrtnih tijela. Površina i zapremina uspravnog valjka uspravne kupe i uspravne zarubljene kupe. 3. MATEMATIČKA INDUKCIJA Matematička indukcija, primjena na dokazivanje jednakosti i djeljivost brojeva.. KOMBINATORIKA I VJEROVATNOĆA Binomni obrazac. Osobine binomnih koeficijenata. 5. NIZOVI I REDOVI Brojni niz. Aritmetička progresija. Geometrijska progresija. 6. REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE Pojam realne funkcije jedne realne promjenljive. Područje definiranosti i područje vrijednosti funkcije. Grafik funkcije. Kompozicija funkcija. Osobine funkcije; ograničenost, parnost, monotonost, periodičnost. Pregled elementarnih funkcija. Granična vrijednost funkcije sin x lim =1. Računanje s graničnim vrijednostima funkcijama. Asimptote krivih. x 0 x 7. DIFERENCIJALNI RAČUN Izvod funkcije u tački. Geometrijsko značenje izvoda. Tangenta i normala. Pravila diferenciranja. Izvod složene funkcije. Izvod osnovnih elementarnih funkcija. Pojam diferencijala. Izvodi višeg reda. Lopitalovo pravilo i primjena.primjena izvoda na zadatke o ekstremima funkcija. 5

BOSNA I HERCEGOVINA FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE TUZLANSKI KANTON MINISTARSTVO OBRAZOVANJA/NAOBRAZBE, NAUKE/ZNANOSTI, KULTURE I SPORTA/ŠPORTA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Šifra Kandidata juni, 006. godine MATEMATIKA Uputstvo kandidatu: Test popunjavajte perom ili hemijskom olovkom. Dozvoljeno je korištenje pomagala: logaritamskih tablica, džepnih računara bez mogućnosti simboličkog računanja i geometrijskog pribora. Vrijeme izrade testa: 180 minuta. Pažljivo proučite uputstvo. Počnite sa izradom testa, kada Vam dežurni nastavnik da potrebne upute. Prilijepite kod, odnosno upišite svoju šifru (u okvir u gornjem desnom uglu). Pomoćne radnje, u rješavanju zadataka, radite uz tekst zadatka. Ocjenjivač neće uzimati u obzir dodatne listove. Pišite čitko, perom ili hemijskom olovkom. Ako pogriješite, napisano prekrižite. Pazite da Vaš rad bude pregledan i čitljiv. U zadacima mora biti jasno i korektno predstavljen put do rezultata. Nejasni i nečitljivi zadaci neće se bodovati. Svaki zadatak brižljivo provjerite. Rješavajte ih promišljeno. Uzdajte se u sebe i svoje sposobnosti. Broj bodova, koje možete osvojiti, je 100. Prema broju osvojenih bodova, ocjene su: Osvojeni bodovi Ocjena - od 0 39... 1 - od 0 5... - od 55 69... 3 - od 70 8... - od 85 100... 5 - Želimo Vam puno uspjeha. 6

1. a) Odrediti vrijednost izraza: ( 1 ) + ( 3). (3 p) b) Ako je a = ( 1+ ) 1 i b = ( 1 ) 1 ( ) 1 + 1 + ( b + 1) 1, izračunati vrijednost izraza: a. (6 p). Ako je f ( x + 005 ) = x + 005 a) ( x ), f ( 006) b) f ( x), f, c) ( f o f )( 0), ( f o f )( 0)., odrediti: (7 p) 3. Odrediti skup svih vrijednosti parametra a za koje su rješenja kvadratne jednadžbe x ( a + ) x + a + 5 = 0 negativna. (7 p). Kroz tačku u trouglu ABC povučene su prave paralelne stranicama trougla. Na taj način formirana su tri manja trougla čije su površine 1, i 9. Odrediti površinu trougla ABC. (10 p) 5. Odrediti sva rješenja jednadžbe: 1 sin x = cosx sin x 0,π. (1 p) koja pripadaju intervalu [ ] 6. U razvoju binoma: 1 a a 8 a 5 odrediti onaj član koji ne sadrži a, ako je zbir binomnih koeficijenata drugog člana od početka i trećeg člana od kraja razvoja jednak 78. (7 p) n 7. U datu pravu (uspravnu) kupu (stožac) poluprečnika r i visine H = r upisana je kocka ABCDA1B1C1D1 tako da osnova (baza) ABCD pripada osnovi kupe, a tjemena A1B1C1D1 pripadaju omotaču kupe. Odrediti odnos zapremina kupe i kocke. (10 p) 7

8. Dati su skupovi: 1 3 A = x R :, x + x 3 log0, 5( 5 8) x + x+ B = x R :,5. 5 Odrediti skupove A i B i grafički ih predstaviti na brojnoj osi, a zatim odrediti skupove: a) A B, b) A B, c) A B, d) B A. (0 p) 9. U figuru ograničenu lukom krive x y = 6 i osom Ox upisan je pravougaonik tako da su mu dva tjemena na osi Ox. Odrediti maksimalnu površinu takvog pravougaonika. (8 p) 10. Zbir tri broja koji obrazuju rastući geometrijski niz je 16. Ako je srednji član, odrediti ostala dva člana niza. (10 p) 8

RJEŠENJA 1. Ukupno: 9 poena a) ( 1 ) + ( 3) = 1 + 3... 1 p > 1 1 =, 3 > 3 = 3... 1 p rez : + 3 =... 1 p 1 a = = =... (1 + 1) * p 1+ b) = ( 1+ ) ( 1 ) ( + 1)( ) 1 1+ b = = = =... (1 + 1) 1 ( 1 )( 1+ ) * p ( * 1p za stepenovanje neg. brojem, 1p za racinaliziranje) 1 1 a + 1 + b + 1 = + = + =... p ( ) ( ) ( ) ( ) 0. Ukupno: 7 poena Smjena: t = x + 005 x = t 005... 1 p f ( t) = ( t 005) + 005 = t 005... 1 p a) f ( 006 ) = 006 005 = 007 ili direktno u polaznu formulu f ( 006 ) = f ( 1 + 005) = 1 + 005 = 007... 1 p 1 x + 005 f =... p b) ( x) = x 005 x = f ( x) 005 f ( x) c) ( f )( 0) = f f ( 0) ( ) = i( 0) = 0 005 005 ( ) = f = 005 = 0 f o ili f f () 0... 1 p + 1p za obrat... p 3. Ukupno: 7 poena Prvo, rješenja moraju biti realna, tj. mora biti D = [ ( a + ) ] ( a + 5) 0... 1 p tj. a 16 0 a (, ] [, + )... 1 p Drugo, rješenja moraju biti istog znaka,... 1 p tj. mora biti x 1x = q = a + 5 > 0 a > 5.... 1 p Konačno, da bi rješenja bila negativna, mora biti x 1 + x < 0. 1 p odnosno, x 1 + x = p = [ ( a + ) ] = a + < 0 a <... 1 p a 5,. 1 p Rezultat (presjek dobijenih međurezultata za a): ( ] 9

. Ukupno: 10 poena C P S P 3 A P 1 B Za dobro skiciranu sliku s označenim osnovicama odgovarajućih trouglova... 1 p Sva tri manja trougla, čije su površine P 1 = 1, P =, P3 = 9, očigledno su slična s trouglom ABC.... 1 p Neka je AB = c i neka su c1, c, c3 odgovarajuće stranice manjih trouglova. Vrijedi c 1 + c + c3 = c.... p Pri tome vrijedi: c1 P1 P1 = c1 = c, i analogno c P P Sabiranjem se dobija: P P3 c = c, c3 = c... 3 p P P ( P + P + ) = 36. P1 P P3 1 = + + P = 1 P3 P P P. 3 p 5. Ukupno: 1 poena 1 sin x = cos x sin x sin x + cos x sin xcos x = cos x sin x... 1 p ( cosx sin x) = cosx sin x ( cosx sin x)( cosx sin x ) = 0... 1 p cos x sin x = 0 cosx sin x = 1... 1 p ( ) π 1) cosx sin x = 0 sin x = sin x π π x = x + kπ, k Z x = + kπ, k Z... 1 p π 5π k = 0 x = [ 0,π ]; k = 1 x = [ 0,π]...(1 + 1) p ) cos x sin x = 1 cos x sin x =... 1 p π π π π 3π sin x = x = + kπ x = + kπ, k Z... 1 p 10

π x = kπ x = + kπ, k Z... 1 p 3π k = 0 x = 0; k = 1 x = π x =... p π 5π 3π Rezultat: 5 rješenja: x = 0, x = π, x =, x =, x =.... 1 p 6. Ukupno: 7 poena n n + = 78... 1 p 1 n n n + = 78... 1 p 1 n( n ) n + = 78... n = 1.... 1 p Dati se binom može napisati u obliku 1 k k a 5 a 5 8 1, pa je opći član 5 5 1 8 razvoja T ( ) k k 1 a a + = 1 k.... 1 p Kako tražimo onaj član koji ne sadrži a, to mora biti 5( 1 k ) 5k 8 0 a = a,... 1 p odakle neposredno slijedi k = 8.... 1 p 1 1 Rezultat: u pitanju je 9-ti član razvoja binoma, tj. T 9 = = 95 8 =.... 1 p 7. Ukupno: 10 poena S A 1 S 1 B 1 M A S B N Za dovoljno dobru sliku, na kojoj je naznačeno najmanje presjek kupe u obliku jednakokrakog trougla i presjek kocke u obliku kvadrata koji je upisan u spomenuti trougao, te visina kupe...max p 11

MS = MA MS S MAA1... p SS AA1 1 r a r ili =... p H a a r r =... 1 p r a r a =... 1 p 1 V r πr kupe Konačno je: 3 π = =... p 3 V r 3 kocke 8. Ukupno: 0 poena 1 3 1 3 x 9 0 x + x 3 x + x 3 x + x 3 ( )( ) 0... p x 9-3 + -x-9 + - - - x+ - - + + x-3 - - - + R + - + - 0 ND ND Ispravno popunjena tablica (ili neki drugi postupak za rješavanje posljednje nejdnadžbe)... p 9 Zaključak: A =, ( 3, + ).... 1 p Slučaj skupa B: DP: x + 5x + 8 > 0... x (, + )... p log0, 5( x + 5x+ 8) 5,5 = =... 1 p 5 5 log0,5 ( x + 5x + 8), jer je baza < 1... 1 p 5 log ( ) ( ) 1 0,5 x + 5x + 8 log0,5 0, 5... 1 p 1 x + 5x + 8 ( 0,5) = =, jer je baza logaritma 0,5<1... 1 p x + 5x + 0... x [, ]... 1 p B =,... 1 p Zajedno sa DP, ovo daje [ ] 1

Pravilno grafički predstavljeni skupovi A i B na brojnoj pravoj... 1 p 9 - - -1 3 A 9... 1 p A B =,... 1 p A 9,... p 9 A B =, 3, +... 1 p B A =,,... p B A =,... 1 p a) B =, ( 3, + ) b) [ ) c) Za tačno rješenje B =, ( 3, + ) a za netačno rješenje oblika ( ) d) Za tačno rješenje [ ] a za netačno rješenje oblika ( ] 9. Ukupno: 8 poena Za dobro nacrtanu sliku sa parabolom y = x 6, koja siječe Ox osu u tačkama ± 3, i nacrtanim pravougaonikom sa dva vrha ( a, 0), B( a,0), 0 < a < 3 A i dva vrha na paraboli ispod ose Ox.. 1 p y y=x -6 -a a x - 3 A B 3 C(-a,a -6) D(a,a -6) Za izračunata ostala dva vrha pravougaonika ( a,a 6 ), D( a,a 6) C i dužine stranica pravougaonika: a, a + 6...( 1 + 1) p 3 Za formiranje funkcije površine: P( a) a( a + 6) = a + 1a ( a) = a + 1 = 0 a = ± 1 a = 1 Za provjeru da za a = 1 funkcija ( a) P ( a) = a = 1 = < 0 P( a) Rezultat: = P( 1) 8 =.. 1 p P, zbog a > 0... p P ima maksimum, npr. ima maksimum u a = 1... 1 p P... 1 p max = 13

10. Ukupno: 10 poena Zaključak: a, aq, aq - rastući niz q > 1... p ( aq) q = q aq = aq =... p a + aq + aq = 16 a + + q = 16 a = 10 q... p Zbog toga je: 1 aq = ( 10 q ) q = q 17q + = 0 q = < 1 q = < 1 q =... p a = 10 q = 6, aq = q = 96... 1 p Rezultat: niz ima oblik: 6,, 96.... 1 p 1