4. ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII (ÎMPRĂŞTIERII) VALORILOR INDIVIDUALE Feomeele de masă studate de statstcă se mafestă pr utăţle dvduale ale colectvtăţ cercetate care preztă o varabltate (împrăştere) ma mare sau ma mcă î fucţe de umărul atura drecţa ş sesul acţu factorlor sstematc ş îtâmplător. Parametr tedţe cetrale studaţ î captolul ateror u pot caracterza gradul de varabltate al termelor sere de date. Estă ser statstce smple sau de dstrbuţe (frecveţe) care deş au aceeaş mede ş medaă dferă foarte mult pr gradul de cocetrare sau dsperse al valorlor lor. De eemplu serle: X: 6 0 0 0 Y: 6 au aceeaş mede ş medaă dar împrăşterea valorlor lor faţă de dcator med este dfertă. Cu cît feomeele au u grad ma mare de completate cu atât varaţa valorlor dvduale este ma mare ar utlzarea corectă a dcatorlor tedţe cetrale î fudametarea deczlor ecestă verfcarea stabltăţ ş reprezetatvtăţ valorlor îregstrate de aceşta. Astfel determarea valor mede ca dcator al tedţe cetrale a ue caracterstc studate trebue să fe îsoţtă de verfcarea omogetăţ valorlor dvduale d care ea s-a calculat. Verfcarea omogetăţ valorlor dvduale mplcă aalza împrăşter datelor dvduale faţă de valorle cetrale calculate. Idcator împrăşter (varaţe) utlzaţ î aalzele statstce oferă o ma buă fudametare a deczlor statstce rezolvâd uele probleme de aalză ş cuoaştere statstcă dtre care meţoăm: a) Aalza gradulu de omogetate a datelor d care s-au calculat dcator tedţe cetrale ş verfcarea reprezetatvtăţ acestora ca valor tpce a sere respectve. b) Compararea î tmp ş spaţu a ma multor ser de repartţe după caracterstc depedete sau terdepedete. c) Selectarea obectvă a factorlor semfcatv de flueţă după care se structurează utăţle ue colectvtăţ statstce separarea acţu factorlor eseţal ş îtâmplător ş detfcarea acţu acestora de la o grupă de utăţ statstce la alta. d) Cocetrarea valorlor dvduale ale caracterstclor faţă de valorle tpce.
70 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 Idcator statstc a împrăşter (varaţe) utlzaţ î aalzele statstce pot f clasfcaţ după ma multe crter: c ) după modul de calcul ş eprmare aceşta pot f mărm absolute sau mărm relatve; c ) după umărul valorlor dvduale luate î calcul aceşta pot f smpl sau stetc; c 3 ) după dmesuea sere de date pot f dcator a varaţe serlor udmesoale bdmesoale sau multdmesoale. 4.. Idcator smpl a varaţe Caracterzează gradul de împrăştere a varatelor caracterstc studate petru utăţle populaţe cercetare. Dtre aceşta prezetăm: a) Ampltudea absolută a varaţe se determă ca dfereţă ître cea ma mare valoare observată ş cea ma mcă valoare observată. Petru o sere de valor X:... : (4...) A ma m ude: ma ma {... } m m {... }. Dacă varabla statstcă X a o ftate de valor se îlocueşte ma ş m pr supremum respectv fmmum adcă A este dfereţa dtre margea superoară a valorlor lu X ş margea feroară a valorlor lu X. Ampltudea absolută a varaţe valorlor ue ser de date are semfcaţe statstcă dacă datele obţute î urma observaţlor făcute sut reprezetate oarecum uform. Aceşt dcator se eprmă î utăţle de măsură ca ş caracterstca aalzată. Acest fapt mpue utlzarea acestu dcator î compararea uma a caracterstclor de aceeaş atură. Această restrcţe poate f elmată pr utlzarea dcatorulu relatvzat A%. b) Ampltudea relatvă a varaţe A% se calculează ca raport ître ampltudea absolută ş velul medu al caracterstc ş de regulă se eprmă î procete. A A % 00 ma m 00 Ampltudea varaţe este utlă petru alegerea umărulu de grupe ş a mărm tervalelor de grupare atuc câd aceasta are loc. Petru serle de frecveţe pe tervale î cadrul ampltud varaţe se a î cosderaţe margea superoară a tervalulu superor ş margea feroară a tervalulu feror.
4.. - Idcator smpl a varaţe 7 Eemplul. Să presupuem că petru caracterstcle X a ue populaţ formată d 30 de utăţ statstce s-a îregstrat sera de frecveţe pe tervale dată î tabelul 4.. Să se calculeze velul medu ş ampltudea absolută respectv relatvă a varaţe sere date. Atuc: Tabelul 4.. Itervalele de valor petru Frecveţa de aparţe caracterstca X 3 7 4 7 6 5 8 5 9 Total 0 5 4 + 9 6 + 3 8 + 7 06 0 A 9 3 6 A % A 00 6 0.6 00 5094 % c) Abaterea tercuatlcă se calculează ca dfereţă ître cuatla superoară ş cuatla feroară de acelaş ord. Astfel: petru r 4 pe lugmea de Q 3 Q sut împrăştate 50% d umărul observaţlor; petru r 0 pe lugmea D 9 D sut împrăştate 80% d umărul observaţlor. Dacă observaţle asupra ue colectvtăţ statstce petru caracterstca X sut dstrbute după o lege ormală atuc abaterea tercuatlcă se repreztă grafc ca î fg.4.. Fg.4..
7 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 Spre deosebre de calculul ampltud calculul abater tercuatlce u utlzează valorle dvduale etreme care ueor pot f eşte d cotetul ormal. Acest dcator perde formaţle refertoare la valorle etreme dar oferă o ma buă reflectare a omogetăţ datelor statstce. Atât ampltudea cât ş abaterea tercuatlcă u se utlzează î calcule statstce petru obţerea altor dcator. d) Abaterle dvduale faţă de u dcator cetral eprmă cu câte utăţ de măsură (absolute) sau cu cât la sută valoarea caracterstc urmărtă la fecare utate a colectvtăţ cercetare se abate de la mărmea uu dcator al tedţe cetrale (mede artmetcă medaă etc.). Dec abaterle dvduale pot f mărm absolute sau relatve ş petru o valoare dvduală se calculează astfel: d sau d % 00 (am cosderat ca dcator cetral meda artmetcă). Raportat la medaa m e avem: % me d m e sau d 00 me Se cuoaşte că atât petru o sere smplă cât ş petru o sere de frecveţe suma abaterlor dvduale de la meda artmetcă este ulă adcă: ( ) 0 respectv ( ) 0 Î cazul serlor de frecveţe pe tervale petru calculul abaterlor dvduale se au î cosderare cetrele de terval. Î uele aalze statstce se urmăresc î mod deosebt abaterle mame poztve ş egatve calculate ca mărm absolute ş relatve: d d ma+ ma sau d ma ma % + + 00 d d ma m sau d ma ma % 00 Petru sera de frecveţe pe tervale d Eemplul abaterle dvduale la meda artmetcă sut date î tabelul 4.. Idcator smpl a împrăşter preztă dezavatajul că u ţ seama de u umăr redus de valor dvduale ş permt uma o caracterzare apromatvă a împrăşter valorlor î cadrul sere statstce. O steză a împrăşter valorlor î cadrul sere este ofertă de dcator stetc a împrăşter.
4.. - Idcator stetc a împrăşter 73 Tabelul 4. Itervale de valor petru caracterstca X - ( - ) 3 7 4 5-560 -40 7 6 9-60 -960 5 8 3 40 90 5 9 7 640 80 Total 0 - - 00 4.. Idcator stetc a împrăşter Prcpal dcator stetc care caracterzează varaţa termelor ue ser faţă de tedţa lor cetrală sut: abaterea mede absolută dspersa ş coefcetul de varaţe. Aceşt dcator se calculează pe baza abaterlor dvduale. Compesarea abaterlor dvduale luate î calcul este evtată pr operarea cu valorle absolute sau cu pătratele acestora. 4... Abaterea mede absolută Abaterea mede absolută repreztă meda artmetcă smplă sau poderată a abaterlor absolute ale termelor sere de la tedţa lor cetrală caracterzată de obce cu ajutorul mede (artmetce) sau medae. Astfel petru o sere smplă X:... avem abaterle med absolute: a a m m e e Petru o sere de frecveţă: K X : K avem: a e fd meda sere ar m e medaa. D modul de calcul al abaterlor med absolute următoarele: ( ) a m ( me ) a deducem a m e
74 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 a) Ele se eprmă î utatea de măsură a caracterstclor urmărte. b) Î cazul serlor de frecveţe pe tervale petru calculul lor se utlzează cetrele tervalelor. c) Abaterea mede absolută faţă de tedţa cetrală este mmă atuc câd se calculează faţă de medaă adcă a m e a. d) Calculul abaterlor med absolute de la tedţa cetrală preztă teres atuc câd are mportaţă uma mărmea abaterlor u ş semul lor (poztv sau egatv). Eemplul. Se cosderă sera smplă X: 4 5 7 8 9 0 3; Să se determe abaterle med absolute faţă de mede respectv medaă. Petru varabla statstcă X valoarea mede 767 ar medaa m e 8. Petru a determa cele două abater med absolute este utl să costrum u tabel 4.3. Tabelul 4.3. 4 5 7 8 9 0 3 767 567 367 67 067 033 33 33 333 5.33 8 6 4 3 0 3 5 5 Utlzâd tabelul 4.3. se obţe a 533 8 ar a m 78 9 e. 9 Observăm că a m e < a. Cele două med absolute a m ş a sut egale doar î e cazul dstrbuţlor smetrce. Î calculul abaterlor med absolute abaterle dvduale respectv m e au fost luate fără sem. O stuaţe asemăătoare terve dacă se au î calcul pătratele abaterlor dvduale. Î această stuaţe se obţ alţ dcator a varaţe ue ser statstce faţă de tedţa cetrală ş aume varaţa (dspersa) ş abaterea mede pătratcă care sut ce ma des utlzaţ î aalza serlor statstce. 4... Varaţa (dspersa) Dspersa este o măsură stetcă a împrăşter (varaţe) datelor îtr-o sere statstcă faţă de valoarea mede. Ea se calculează ca mede artmetcă smplă sau poderată a pătratelor abaterlor valorlor dvduale de la tedţa cetrală (meda artmetcă ) ş se otează de obce cu ltera alfabetulu grec. Î cazul ue ser smple X:... avem:
4.. - Idcator stetc a împrăşter 75 (4..) ( ) Î cazul ue ser de dstrbuţe de frecveţe X : K K : (4..) ( ). Dacă utlzăm frecveţele relatve f avem: (4..3) ( ) f Î formulele de ma sus repreztă umărul măsurătorlor efectuate asupra utăţlor colectvtăţ cercetate. Se cuoaşte că de fapt tpc practc statstce actuale este cercetarea statstcă pr sodaj. Dacă repreztă umărul măsurătorlor efectuate asupra uu eşato (dmesuea de eşatoaare) atuc petru varaţa datelor sere obţute pr eşatoare câd u este foarte mare se adoptă formula de calcul puţ modfcată. Varaţa (dspersa) de sodaj a măsurător Y: y y... y se defeşte ca fd valoarea obţută pr raportarea sume pătratelor abaterlor dvduale faţă de meda de sodaj y la -. Notăm această dsperse care este de fapt o apromaţe a dsperse varable X petru îtreaga populaţe cercetată cu s ş dec vom avea: (4..4) ( ) y y s
76 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 De eemplu dacă î urma etrager uu eşato de 5 utăţ î urma efectuăr măsurătorlor s-a obţut sera statstcă Y: 4 5 7 utlzâd formula 80 (4..4.) ş tabelul 4.4. ( y 38) obţem: s 5 70 4 Tabelul 4.4. y 4 5 7 9 y y -8-8 0 3 00 ( y) y 784 34 004 44 04 80 Î aceste cosderaţ se presupue că y repreztă o apromaţe sufcet de buă a mede caracterstc petru îtreaga populaţe. Cu această presupuere s-a costatat că petru eşatoae de dmesu mc s repreztă o apromare ma buă a dsperse valorlor caracterstc petru îtreaga populaţe decât dacă am folos formula: (4..5) s ' ( y y) care corespude relaţe (4..). Dacă îsă volumul eşatoulu este foarte mare atuc cum (4..5) ş (4..4) dferă doar pr umtor s ş s vor f apromatv egale. Eemplul. Se cosderă următoarea repartţe de frecveţe pe tervale egale a trărlor î cotul bacar al ue socetăţ (tabelul 4.5): Tabelul 4.5. Itervale de trăr î cot [m le] 3 4 4 5 5 6 6 7 7-8 Număr de trăr 6 33 64 7 0 Să se determe trarea mede zlcă ş dspersa faţă de această trare mede zlcă. Se preztă datele sub formă tabelară (tabelul 4.6.). 7 Pe baza llor obţem 5 086 m le ar d la 40 ( ) obţem dspersa 4. D modul de calcul a dsperse observăm că cu cât valorle dvduale ale caracterstc studate sut ma omogee cu atât mărmea dsperse este ma mcă. Dacă magăm o trecere la lmtă î omogetate aceasta îsemă că dfereţele td la 0 ceea ce coduce la omogetatea perfectă ş dec 0.
4.. - Idcator stetc a împrăşter 77 Tabelul 4.6. Itervale de valor 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 Total Număr de trăr ( ) 6 33 64 7 0 40 Cetre de tervale ( ) 35 45 55 65 75-9 485 35 455 75 7-58 -058 04 4 4 - ( ) ( ) 496 0336 068 06 5808-64896 088 075 4 5808 5898 Pe baza defţe dsperse se pot demostra următoarele propretăţ de calcul ale acestu dcator care î uele stuaţ ma complcate prvd volumul datelor ş mărmea lor pot duce la smplfcarea calcululu dsperse. a) Fe o varablă statstcă X smplă sau de frecveţe luâd valorle X:... de varaţă. Atuc varabla statstcă X de valor ± u are varaţa (dspersa) egală cu cea ţală adcă (X ). b) Varabla statstcă X de valor " a 0 are dspersa adcă a a ( X" ) ( X). a c) Varaţa ue ser statstce poate f calculată faţă de o valoare arbtrară c. Ître varaţa calculată faţă de costata arbtrară c ş cea faţă de valoarea mede se stableşte relaţa de legătură: (4..6.) ( X) ( X) + ( c) c Relaţa de ma sus arată că dspersa ue varable statstce X faţă de o costată c este mmă atuc câd costata cocde cu medaa a varable statstce. d) Dacă valorle sere de frecveţe K X : se împarte î două K grupe a ş b formâd astfel două ser compoete avâd frecveţele cumulate a respectv b ( a + b 0) ş dspersle a respectv b atuc ître varaţa (dspersa) sere date ş a serlor defte de cele două grupe de valor estă relaţa:
78 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 ( ) ( b ) (4..7) a b a ( ) a + b a + b X +. a + b a + b Prmul terme al sume d membrul drept repreztă meda poderată a varaţelor de la velul subserlor compoete ar al dolea terme repreztă meda poderată a pătratelor abaterlor medlor de la velul subgrupelor faţă de meda sere ţale. Dacă otăm cu respectv δ ce do terme a membrulu drept al egaltăţ de ma sus atuc avem: (4..8) ( X) ( X) + δ ( X) stetzează împrăşterea d terorul subgrupelor. Aceasta se datorează factorlor specfc aleator; δ stetzează flueţa factorulu sstematc de structură a colectvtăţ asupra împrăşter geerale a valorlor dvduale. δ ca dsperse ître grupe stetzează varaţa dtre subcolectvtăţle î care s-a structurat colectvtatea geerală. Coefcetul (4..9.) R δ 00 umt grad de determaţe eprmă măsura î care varaţa caracterstc urmărte depde de factorul sstematc după care s-a structurat gruparea colectvtăţ. Coefcetul K 00 R umt grad de edetermare eprmă cât la sută d dspersa geerală este determată de factorul care acţoează î fecare subcolectvtate a colectvtăţ geerale. Eemplul. Să presupuem că socetatea comercală M.E. S.A. îş desfăşoară actvtatea î două flale: M.E.T. S.A. ş. M.E.L. S.A. Datele refertoare la umărul de persoal ş salarle brute pe categor de persoal ş pe flale sut date sub formă tabelară tabelul 4.7. Să se calculeze dspersa salarlor brute pe socetatea M.E. S.A. pe cele două flale ş gradele de determaţe respectv de edetermare ale dsperse pe îtreaga socetate î raport cu cele corespuzătoare celor două flale.
4.. - Idcator stetc a împrăşter 79 Persoal cu stud med Persoal cu stud superoare Persoal de coducere Tabelul 4.7. Flala M.E.T. S.A. Flala M.E.L. S.A. Socetatea M.E. S.A. Nr.de agajaţ Salar med brute Nr.de agajaţ Salar med brute Nr.de agajaţ Salar med brute ( a ) [ml.le] a ( b ) [ml.le] b ( a + b ) [ml.le] X 50 4 30 5 80 43 0 6 0 7 30 63 0 8 5 9 5 83 Total 80-45 - 5 - Să otăm cu X X ş respectv X varablele statstce corespuzătoare a b socetăţ comercale date ş celor două flale ale sale. Petru varabla X obţem valoarea mede : 53. Dspersa geerală a salarlor pe îtreaga socetate se obţe pr: ( 50 4 + 0 6 + 0 8 + 30 5 + 0 7 + 5 9 ) 5 ( 50 4 + 0 6 + 0 8 + 30 5 + 0 7 + 5 9) 4; 5 a ( a ) + b( b ) 80 + 45 93 ( X) 97 a + b 5 de ude rezultă că: 4 97 + 07. ( X) ( X) + δ ( X) Rezultatele arată că dspersa varaţe salarlor î socetatea cosderată se eplcă î proporţe de 9% prtr-o împrăştere a salarlor ca urmare a factorlor specfc care acţoează î cadrul fecăre flale ş uma î foarte mcă măsură 8% pr împrăşterea salarlor med ale flalelor faţă de salarul medu pe îtreaga socetate. D modul de calcul al dsperse rezultă că aceasta ca ş meda este sesblă la prezeţa valorlor etreme. Dspersa ca dcator stetc al împrăşter valorlor dvduale î jurul tedţe lor cetrale (mede medaă) aşa cum se observă ş d relaţle e de calcul
80 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 u are îtotdeaua utate de măsură cu coţut ecoomc. De eemplu petru o caracterstcă măsurată î le dspersa se măsoară î le la pătrat ceea ce u are ses d puct de vedere ecoomc. Petru elmarea eajusurlor rezultate d utlzarea dsperse ca măsură a împrăşter valorlor dvduale faţă de tedţa cetrală se utlzează abaterea mede pătratcă. 4..3. Abaterea mede pătratcă Abaterea mede pătratcă umtă abatere stadard sau abatere tp se defeşte ca mede pătrată smplă sau poderată a abaterlor valorlor dvduale de la tedţa cetrală sau ca rădăcă pătratcă a dsperse adcă relaţa de calcul a acestea este : (4..0) Abaterea mede pătratcă se eprmă î utatea de măsură a caracterstc studate; valoarea sa este cu atât ma mare cu cât varaţa valorlor dvduale d care s-a calculat este ma mare. Comparâd abaterea mede pătratcă cu abaterea mede absolută calculate petru aceeaş sere X se costată că: a 4 sau ma eact a 5 Ce do dcator a împrăşter valorlor dvduale au valor apropate; totuş abaterea mede pătratcă este preferată î aalzele statstce ea fd u parametru al leg ormale care stă la baza majortăţ metodelor de prelucrare statstcă. Î acelaş tmp pe lâgă faptul că abaterea mede pătratcă stă la baza verfcăr omogetăţ valorlor dvduale ş a reprezetatvtăţ medlor lor ea terve î costrurea uor tervale cetrate î care coţ u aumt procet d masa totală a observaţlor. Astfel ştm că dacă o caracterstcă X cercetată urmează o repartţe ormală atuc tervalul [ - +] coţe 9544% d măsurător ar tervalul [ -3 +3] coţe 9974% d observaţle efectuate. Î aalzele facar bursere abaterea mede pătratcă se utlzează ca o măsură a rsculu uor plasamete. De eemplu rscul uu portofolu de ţatve de plasare a captalulu este cu atât ma mc cu cât abaterea mede pătratcă a portofolulu respectv este ma mcă. Acelaş dcator este utlzat î studle de maretg ş ale caltăţ produselor petru elaborarea varatelor de progoză.
4.. - Idcator stetc a împrăşter 8 Dacă rescrem formula de calcul (4..0) petru abaterea mede pătratcă î cazul ue ser statstce smple X: ( ) X : cu vom obţe următoarele formule de calcul ale abaterlor med pătratce: (4..) ( X) ( ) respectv (4..) ( X) ( ). Dacă îsă ţem seama de dettatea: d (4..) obţem: ( ) ( X) (X ) ( ) Î cazul calcululu abater med pătratce corespuzătoare uu eşato de volum relatv mc îtr-o cercetare pr sodaj este dcată formula: s (Y) s (Y) petru o ma buă apromare ( ( X) (Y) ) eşatoulu ar y datele de sodaj. ( y y) fd î acest caz volumul Eemplul. Se cosderă sera de dstrbuţe de frecveţe pe tervale dată î tabelul 4.8. Să se calculeze abaterea stadard (abaterea mede pătratcă) ş u terval care să îcadreze valoarea mede ş să coţă apromatv 93% d măsurătorle efectuate.
8 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 Itervale de valor petru caracterstca X obţem: Frecveţe absolute Tabelul 4.8. 0 0 0 30 30 40 40 50 50 60 Total 4 7 0 0 5 46 5 46 46 5 + 0 ( 4 5 + 7 5 + 0 35 + 0 45 + 5 55) 660 36 09 [ + 0 ( 09) ( ) 4 ( 09) + 7 ( 09) 46 46 ( 30) + 5 ( 80) ] 54575 406. Abaterea stadard: 406 0 68. Cu ş calculaţ determăm u terval cetrat î de forma (- +). Am văzut ma sus că î cazul ue repartţ ormale petru sau 3 u astfel de terval coţe aproape toate valorle sere ce urmează o astfel de repartţe. Î fg.4.. este reprezetată grafc hstograma sere de dstrbuţe. + Fg.4..
4.. - Idcator stetc a împrăşter 83 Dacă emprc ea poate f asmlată uu clopot (curba lu Gauss) putem (cu apromaţe) aplca cele cuoscute de la repartţa ormală. Coform cu procetul dat să alegem. Itervalul propus va f: ( - +) (3609 36 3609 + + 36) (473 5745). Numărul de observaţ cuprs î acest terval se determă cu metoda terpolăr. 0 437 5745 50 4 + 7 + 0 + 0 + 5 484 măsurător 0 0 ceea ce repreztă 930% adcă u procet ce satsface codţa cerută. 4..4. Coefcet de varaţe Am văzut că meda ş abaterea stadard asocate ue varable statstce X se eprmă î aceleaş utăţ de măsură a valorlor dvduale ale caracterstc pe care o repreztă X. Dacă petru o populaţe statstcă dată se studază ma multe caracterstc acestora î geeral le corespud utăţ de măsură dferte ar dcator meţoaţ ma sus u ma pot f comparaţ petru caracterstc dferte. Petru a evta acest eajus a apărut ecestatea calcululu uu parametru admesoal umt coefcet de varaţe sau omogetate. Coefcetul de varaţe CV al caracterstc X se defeşte ca raportul dtre abaterea mede pătratcă ş meda artmetcă a asamblulu măsurătorlor efectuate asupra caracterstc X. Avem: (4..3) CV sau î procete: CV % 00 Coefcetul de varaţe este cel ma stetc dcator al împrăşter datelor î raport cu tedţa cetrală ( ). El permte compararea varabltăţ petru caracterstc de atură dfertă ş are valorle localzate î tervalul [0 00] (î procete). Cu cât valorle sut ma apropate de 0 cu atât sera statstcă este ma omogeă ş meda este ma reprezetatvă. Cu cât valorle sale sut ma apropate de 00 împrăşterea valorlor dvduale observate este ma mare ar meda calculată este ma puţ reprezetatvă. Utlzarea practcă a coefcetulu de varaţe a stablt ca prag de trecere de la omogetate la eterogetate procetul 30% - 35%. Ueor calculul coefcetulu de varaţe utlzează abaterea mede absolută; avem astfel:
84 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 a a CV a sau CV % a 00 Idferet după ce relaţe se calculează coefcetul de varaţe permte o terpretare ma uaţată a dsperse. Î aalzele facar bursere este o măsură a rsculu relatv. Idcator smpl ş stetc a împrăşter valorlor dvduale ale caracterstclor î jurul tedţe cetrale oferă formaţ utle petru cuoaşterea evoluţe feomeelor de masă ş petru fudametarea deczlor legate de acestea. Petru o aalză statstcă ma profudă aceste formaţ se completează cu altele refertoare la cocetrarea valorlor dvduale la deplasarea acestora faţă de aumte valor tpce. Pr urmare preztă mportaţă pe lâgă o măsură umercă a varaţe valorlor dvduale ş aalza formelor de dstrbure a acestora ceea ce va face obectul următorulu paragraf. 4.3. Caracterzarea statstcă a forme de reprezetare a frecveţelor O dstrbuţe de frecveţe este smetrcă dacă măsurătorle efectuate se dspersează î mod egal de o parte ş de alta a valor lor cetrale. Îtr-o dstrbuţe smetrcă cele tre valor pr care se eprmă tedţa cetrală valoarea modală m 0 medaa m e ş valoarea mede sut egale. O dstrbuţe de frecveţe smetrcă are grafcul smetrc faţă de paralela la aa frecveţelor care trece pr puctul de valoare mede ( 0) (fg.4.3.). Fg.4.3.
4.3. - Caracterzarea statstcă a forme de reprezetare a frecveţelor 85 Evdet o repartţe de frecveţe este asmetrcă dacă frecveţele valorlor caracterstc urmărte sut deplasate îtr-o parte sau alta faţă de tedţa cetrală eprmată pr m 0 m e sau îtr-o măsură ma mare sau ma mcă. Repartţle de frecveţe avâd grafcele d fg.4.4. sut oblce spre stâga respectv spre dreapta. Fg.4.4. Yulle ş Kedall Pearso ş Fsher au propus aumţ coefceţ admesoal petru a caracterza amploarea asmetre statstce umodale. Ţâd cot de pozţa cuartlelor î raport cu medaa Yulle ş Kedall au recomadat petru măsurarea asmetre coefcetul: ( Q3 me ) ( me Q) Cay ( Q3 me ) + ( me Q) Se observă că valorle coefcetulu C ay sut cuprse î tervalul (- ). C ay 0 este echvalet cu o dspuere smetrcă a datelor (cuatlele sut smetrce). Dacă C az > 0 îseamă că estă o asmetre la stâga sau etalarea frecveţelor la dreapta C ay <0 este echvalet cu o asmetre la dreapta sau etalarea frecveţelor spre stâga. K. Pearso a propus petru măsurarea asmetre aalzarea pozţlor mede ş valor modale relatv la abaterea mede pătratcă. Coefcetul petru măsurarea asmetre propus de Pearso este: m C 0 as Cu cît valorle acestu coefcet sut ma apropate de zero cu atât sera este ma smetrcă cu cît valorle sale sut ma apropate de uu cu atât sera este ma asmetrcă; valoarea zero a coefcetulu C as dcă esteţa ue smetr. O repartţe de frecveţe X este cosderată moderat asmetrcă dacă valorle cetrale m 0 m e ş verfcă î mod apromatv relaţa m 0-3(m 0 - ).
86 Aalza statstcă a varabltăţ (împrăşter) valorlor dvduale - 4 Pe lâgă coefceţ de asmetre de ma sus î practca statstca se utlzează ş alţ coefceţ de asmetre [] [6]. Î afara asmetre serlor statstce de repartţe preztă mportaţă ş caracterzarea aplatzăr (boltr) repartţlor de frecveţă ş a cocetrăr frecveţelor î serle de repartţe. Presupuem că o dstrbuţe de frecveţe este aplatzată dacă o mare varaţe a caracterstc urmărte atreează o uşoară varaţe a frecveţelor ş vers. De obce aplatzarea ue dstrbuţ de frecveţe este comparată grafc cu grafcul leg ormale (Gauss-Laplace). Petru caracterzarea aplatzăr se utlzează de asemeea coefceţ de aplatzare. Cocetrarea salarlor a veturlor etc. arată că o caracterzare a cocetrăr frecveţelor este ecesară î fudametarea deczlor de poltcă ecoomcofacară.