Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM, veliki 205KM, minivan 40KM i luksuzna limuzina 40KM Za slijedeću sedmicu znate da će vam potrebe po veličinama biti: 4 kompaktna, srednja, 2 velikih, 2 minivana i luksuzna limuzina Kako biste izračunali ukupnu cijenu iznajmljivanja automobila? Ako biste izačunali 4 9KM + 60KM +2 205KM +2 40KM + 40KM = 4606KM bili biste u pravu No upravo ste uradili problem množenja matrica a da niste toga bili svjesni! Potrebno auta Sedmica Sedmica 2 Sedmica Kompakt 4 2 Srednji 5 5 Veliki 2 9 5 Minivan 2 Limuzina 2 Ukupna cijena iznajmljivanja za svaku sedmicu bi se izračunala tako što pomnožimo ove količine sa odgovarajućim cijenama Definicija matrice Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola smještenih u redove i kolone Stoga potrebe iznajmljivanja automobila za tri sedmice se može napisati kao matrica: 4 2 5 5 A = 2 9 5 2 2 Svaki red odgovara veličini auta, a svaka kolona odgovara sedmici koju posmatramo Uobičajeno je da se matrice označavaju velikim slovima, npr A,B,C,M,N i sl a da su članovi matrice uokvireni zagradama( ili [ ]
Svaki član matrice se zove element matrice Elementi matrice moraju formirati kompletan pravougaonik, bez praznih mjesta U gornjem primjeru imamo 5 redova i kolone Veličina matrice se naziva red matrice Ako matrica imamredova i n kolona, kažemo da je matrica redam n MatricaAje reda5 Definicija vektora Matrice sa samo jednom kolonom ili samo jednim redom se nazivaju vektori Na primjer, skup cijena iznajmljivanja automobila sa početka je vektor reda 5 (9602054040, dok su potrebe iznajmljivanja za prvu sedmicu 5 vektor: 4 2 2 2 Operacije na matricama Sabiranje i oduzimanje matrica Matrice koje imaju isti red se mogu oduzimati i sabirati Sabiranje, odnosno, oduzimanje se radi na odgovarajućim elementima Primjer Trgovac prodaje dva proizvoda, Q i R i ima dvije prodavnice, A i B Broj proizvoda koji su prodani u zadnje 4 sedmice su pokazane u matricama A i B ispod, gdje kolone predstavljaju sedmice a redovi odgovaraju proizvodima Q i R respektivno A = ( 5 4 2 0 2 9 4 ( 8 9 4, B = 8 8 2 5 Kako prikazati ukupnu prodaju proizvoda po sedmicama u obje prodavnice? Jednostavno, saberemo matrice! ( ( 5 4 2 8 9 4 T = A+B = + 0 2 9 4 8 8 2 5 2
( 5+8 4+9 2+ +4 0+8 2+8 9+2 4+5 ( 5 = 8 0 0 9 = Oduzimanje matrica Primjer Ako jea = ( 2 0 8 5 = A B = ( 5, a B = 4 8 ( 2 0 8 5 ( 2 0 5 8 4 5 8 ( 5 4 8 =, koliko je A B? ( 5 5 4 Množenje skalarom Postoje dvije vrste množenja koja se mogu izvršiti nad matricama Matricu možemo pomnožiti specifičnom vrijednošću, kao što je broj (množenje skalarom ili drugom matricom (matrično množenje Skalarno množenje je vrlo jednostavno i predstavlja množenje svakog elementa matrice datim skalarom! Matrično množenje je dosta komplikovanije, ali o tome malo poslije ( 2 0 Data je matrica dva prodana proizvoda za dvije sedmice A =, 8 5 gdje redovi predstavljaju proizvode, a kolone sedmice Ako svaki proizvod košta 4KM, izračunajte pazar po proizvodima po sedmicama ( 2 0 P = 4A = 4 8 5 = ( 48 20 2 60 Dijeljenje skalarom radi na apsolutno isti način (sve dok taj skalar nije nula! Primjer Ako skup cijena iznajmljivanja automobila p = (9 60 205 40 40 uključuje PDV od %, a vaša kompanija može dobiti povrat poreza, dajte vektor v cijena bez poreza v =, p = ( 8,80 6,5 5,2 290,60 6,52
Množenje matrica Ako množimo jednu matricu s drugom matricom, osnovno pravilo je da množimo elemente duž redova prve matrice sa odgovarajućim elementima niz kolonu druge matrice Najjednostavniji način da se ovo razumije je da prvo pogledamo nekoliko primjera sa vektorima Vratimo se našem primjeru s početka i posmatrajmo vektore: 4 p = (9602054040, q = 2 2 Dakle kao što smo uradili na početku, prvi element redovnog vektora množimo sa prvim elementom kolonskog vektora, te to saberemo sa proizvodom drugog elementa sa drugim, itd 9 4+60 +205 2+40 2+40 = 4606 Posmatrajmo sada slučaj kada trebamo izračunati sve cijene po sedmicama, tj 4 2 5 5 A = 2 9 5 2 2 Kako bismo izračunali sve cijene po sedmicama, trebamo naći vektor 4 2 5 5 t = p A = (9602054040 2 9 5 2 2 Rezultat je t = (460648898 Ako prva matrica pri množenju ima više od jednog reda, onda se postupak ponavlja dok ne iskoristimo sve redove 4
Primjer Pomnožimo matrice ( ( 4 5 2 A =, B = 8 4 8 ( ( 4 5 2 A B = 8 4 8 ( ( 4 + 4 4 5+ 8 4 2+ 56 6 5 = = 8 + 4 8 5+ 8 8 2+ 60 48 Sad se možete zapitati šta se dogodi kada pokušamo pomnožiti matrice gdje se broj elemenata duž redova prve matrice ne poklapa sa brojem elemenata duž kolona druge matrice Odgovor je da se tada te matrice ne mogu množiti! Dakle, ako matricaaima redm n, a druga matricab ima redr s, množenje tih matrica je moguće ako i samo ako jen = r i tada matricaab ima redm s Množenje matrica - opšti slučaj Opću m n matricu možemo napisati kao a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn U ovom opštem slučaju kada množimo dvije matrice, A reda m n i B reda n r a a 2 a n b b 2 b r a 2 a 22 a 2n b 2 b 22 b 2r A B = a m a m2 a mn b n b n2 b nr = Ovdje su elementi matricec dati sa c c 2 c r c 2 c 22 c 2r c m c m2 c mr = C c c 2 = a b +a 2 b 2 ++a n b n = a b 2 +a 2 b 22 ++a n b n2 c mr = a m b r +a m2 b 2r ++a mn b nr 5
Primjer Na dite proizvod matrica A = 4 2 2 6 0 20, B = 8 5 0 0,5 6 8 2,5 4 4 2 0 Primjer Na dite proizvod matrica A = 2 0, B = 0 5 5 4 0 2 0 0 0 2 5 0 Jedinična matrica Zadnja matrica AB predstavlja primjer specifične matrice Matrica sa jednicama na svojoj principalnoj dijagonali i nulama svugdje drugo se zove jedinična matrica Označava se sa I Jedinična matrica mora uvijek biti kvadratna, tj reda n n Bilo koja matrica reda m n pomnožena sa jediničnom matricom reda n n ostaje nepromjenjena, tj A I = A Matrica koja na svim elementima ima nulu se zove nula matrica Problem dijeljenja Problemu dijeljenja matrica se pristupa preko derivacije inverzne matrice Jedna od motivacija za traženje inverzne matrice je rješavanje sistema jednačina Npr Rješenje gornjeg sistema je x +8x 2 +x +2x 4 = 96 20x 2x 2 +4x +05x 4 = 69 x = 005 4 no to za sada nije najvažnije x +x 2 +x 5x 4 = 5 x +2x 2 +x +8x 4 = 4,x2 = 405 4 5 58,x =,x4 = 9 4, 6
Ove jednačine možemo da predstavimo u matričnoj formi Ax = b, naime 8 2 x 96 Ax = 20 2 4 05 x 2 5 x = 69 5 = b 2 8 x 4 4 Kako riješiti ovaj sistem jednačina koristeći se gornjim matričnim oblikom? Sjetite se jedinične matrice - ukoliko bismo na neki način mogli pomnožiti obje strane jednačine odgovarajućom matricom B tako da sa lijeve strane jednakosti dobijemo BA = I, tada bi na desnoj strani jednakosti dobili rješenje sistema jednačina Bb! No nalaženje te matriceb nije trivijalna stvar Inverzna matrica je pojam koji nam je neophodan kako bismo rješili gornji problem Predznanja za inverzne matrice Kako bismo pronašli inverznu matricu, moramo posmatrati slijedeće koncepte u matričnoj teoriji: Determinate; Minori; Kofaktori; Adjungirana matrica 2 Determinante 2 Definicija determinante Determinante Svakoj kvadratnoj matrici A možemo pripisati jedinstven broj koji se naziva determinanta matrice det A Determinanta (kvadratne matrice je sam jedini element matrice! Determinanta (kvadratne matrice 2 2 je broj koji dobijemo kada pomnožimo elemente na suprotnim ćoškovima i oduzmemo ih, tj a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2
Primjer Naći determinantu matrice ( 5 4 9 5 4 9 = 5 9 4 = 45 28 = Sarusovo pravilo Sarusovo pravilo je jednostavan način za izračunati determinantu trećeg reda a a 2 a a a 2 a 2 a 22 a 2 a 2 a 22 = a a 22 a +a 2 a 2 a +a a 2 a 2 a a 2 a a a 2 a a 22 a a 2 a 2 a a a 2 a 2 Primjer Izračunati determinantu pomoću Sarusovog pravila: 2 2 4 5 6 4 5 = 5 0+2 6 + 4 8 8 0 8 5 6 8 2 4 0 = Pojam minora Definicija Minor M ij elementa a ij matrice A je subdeterminanta koja se dobije izdeta brisanjemi-te vrste i j-te kolone Primjer A = 2 0 4 2 0,M 2 = 2 2 0 M = 0 2 0 = 2 = 4, Pojam kofaktora Definicija 2 Kofaktor ili algebarski komplementa ij elementaa ij matricea A ij := ( i+j M ij Primjer A 2 = ( 2+ M 2 = 4, A = ( + M 2 = 2 8
Laplaceov teorem Teorem Laplaceov teorem nam daje način računanja determinante proizvoljne kvadratne matrice, po formuli deta = n a ij A ij = j= n a ij A ij Očito imamo dva načina za račun, no oba daju isti rezultat Prvo se zove razvoj po i-toj vrsti, a drugo razvoj po j-toj koloni Drukčije rečeno, imamo: deta = a A +a 2 A 2 ++a n A n = a A +a 2 A 2 ++a n A n Primjedba Laplaceov razvoj je najbolje raditi po onom redu (ili koloni u kojoj ima najviše nula! Moguće je, ne mijenjajući vrijednost determinante postići da u nekom redu (koloni imamo što veći broj nula To se postiže korištenjem osobina determinanti, no o tomu malo poslije i= Determinanta matrice trećeg reda Za opću matricu trećeg reda, determinanta se može, na primjer, izračunati po formuli: a a 2 a a 2 a 22 a 2 a a 2 a = a a 22 a 2 a 2 a a 2 a 2 a 2 a a +a a 2 a 22 a a 2 a a 22 a a a 2 a 2 a 2 a 2 a +a 2 a 2 a +a a 2 a 2 a a 22 a Primjedba Iako smo determinantu matrice našli posmatrajući duž prvog reda, mogli smo to uraditi duž bilo kojeg drugog reda ili kolone No u tom slučaju treba obratiti pažnju! Primjer Naći determinantu matrice 4 6 2 5 2 9 0 4 4 6 2 5 2 9 0 4 = a A +a 2 A 2 +a A 9 6 0 4 +4 4 6 5 2 2 2 2 5 9
= 9 (6 2 5+4 (4 5 6 2 = 9 +4 8 = 95 Prije nego sto pre demo na osobine determinanti, treba nam jedan koncept u matricama koji do sada nismo koristili, a to je pojam transponovane matrice Definicija Neka je data proizvoljna pravougaona matrica A reda m n Njena transponovana matricaa T je matrica redan m koja se dobie iz matriceaobrtanjem pojmova redova i kolona, tj ako je A = (a ij, i =,m,j =,n, A T = (a ji,j =,,n,i =,,m Primjer A = 0 0,5 6 8 2,5 4 4 2 0 A T = 0 6 0,5 4 8 2 2,5 0 22 Osobine determinanti Osobine determinanti P deta T = deta Primjer A = ( 2 0 P2 Zamjenom dvaju redova (ili kolonaunutar determinante mijenja se znak determinante, no ne i numerička vrijednost Primjer 2 4 P Determinantu množimo nekim brojem tako da joj sve elemente jednog reda (ili kolone pomnožimo tim brojem Drukčije, zajednički faktor nekog reda (ili kolone se može izvući ispred determinante Primjer A = ( 2 2 6 P4 Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (ili kolone jednaki nuli P5 Determinanta je jednaka nuli ako su elementi jednog reda (ili kolone proporcionalni odgovarajućim elementima nekog drugog reda (odnosno kolone 0
Primjer 2 4 0 5 8 2 4 6 8 0 4 = 0 P6 Vrijednost determinante se neće promijeniti ako elementima jednog reda (ili kolone dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog reda (kolone pomnožene jednim istim brojem Primjer P det(a B = deta detb Primjer A = 2 0 2 4 0 ( 2 4 ( 0,B = 2 P8 det(a = deta Primjer A = ( 2 2 6 (,A = 2 Inverzna matrica Izračunavanje inverzne matrice Inverzna matrica Definicija 4 Neka je A kvadratna matrica n n Ako postoji kvadratna matrica X n n takva da je AX = XA = I, tada se ona naziva inverznom matricom matrice A Obično se označava sa A Dakle imamo da je AA = A A = I Osobine inverznih matrica Nema svaka matrica svoju inverznu matricu Prije svega, mora biti kvadratna matrica Ako kvadratna matrica ima inverznu matricu, onda se ona naziva regularnom, a inače se zove singularnom
2 Ako postojia, onda je i A inverzna matrica matricea, tj (A = A Ako inverzna matrica postoji, ona je jedinstvena 4 (AB = B A (Dokaz 5 (A T = (A T (Primjer Dokaz Neka su matricea,b,a B i B A inverzibilne (A B (A B = I A A B (A B = A I B (A B = A B B (A B = B A I (A B = B A Uslovi za postojanje inverzne matrice Inverznu matricua možemo samo pronaći za kvadratnu matricua U nekim slučajevima matricaa neće postojati! Ako matrica ima inverznu matricu, ona se naziva regularnom Inače naziva se singularnom Matrica A je inverzibilna ako i samo ako postoji matrica A za koju vrijedi AA = I Nula matrica nije inverzibilna Linearna zavisnost dva ili više redova (ili kolona unutar matrice tako der onemogućava inverziju Teorem 2 Matrica A je singularna ako i samo ako je deta = 0, tj matrica A je regularna ako i samo akodeta 0 Dokaz deta det(a = det(a A = deti = Odavdje slijedi da jedeta 0! Dakle, kriterij regularnosti matrice A je da imamo deta 0 2
Kofaktorska matrica Definicija 5 Kofaktorska matrica matrice A je matrica koja sadrži kofaktore elemenata matriceana odgovarajućim mjestima A A 2 A n A 2 A 22 A 2n cof(a = A n A n2 A nn 2 Adjungirana matrica Adjungirana matrica Definicija 6 Adjungirana matrica matrice A je matrica definisana sa adj(a = (cof(a T, tj A A 2 A n A 2 A 22 A n2 adj(a = A n A 2n A nn Inverzna matrica - KONAČNO! Teorem Neka je kvadratna matrica A regularna Tada postoji njena inverzna matricaa i imamo da je Primjer A = ( 2 4 A = deta adj(a Primjer det A = 0 0, stoga postoji inverzna matrica! Na dimo sada sve minore: M = 4,M 2 = 2,M 2 =,M 22 = Stoga su kofaktorska matrica i adjungirana matrica: ( ( 4 2 4 cof(a =,adj(a = 2 Konačno A = ( 4 0 2 ( 2 = 5 5 0 0
Algoritam izračunavanja inverzne matrice IZRAČUNAJTE DETERMINANTU deta!!! Ako je deta 0, onda zaključimo regularnost i inverzna matrica postoji 2 Izračunajte sve minore matrice A Izračunajte sve kofaktore matriceainapišite cof(a 4 Izračunajte adj(a = [cof(a] T 5 Podijelite adj(a sa determinantom!!! 6 Dobivena matrica je A PROVJERITE REZULTAT!! Primjer Naći inverznu matricu matric A = 2 0 0 2 4 deta = 0 ( 2 4 2 4 = 0! A 0 2 M =, M 2 = 2, M 2 = M 2 = 8, M 22 = 4, M 2 = 5, M = 6, M 2 =, M = 2 A =, A 2 = 2,A =,A 2 = 8, A 22 = 4,A 2 = 5, A = 6, A 2 =, A = 2 4 cof(a = adj(a = 2 8 4 5 6 2 8 6 2 4 5 2 5 A = det(a adj(a =, 2 8 4 5 6 2 6 A A = A A = I 4
Primjena u rješavanju matričnih jednačina Matrična jednačina je jednačina u kojoj su nepoznate i koeficijenti matrice Primjer A X = B Tada ovo rješavamo tako što pomnožimo cijelu jednakost s lijeve strane sa A A X = B A A X = A B I X = A B, daklex = A B ( ( 2 2 Primjer A =, B = Riješiti X A = B Ako matričnu 0 0 4 jednačinu pomnožimo sa A sa desne strane, dobijemo X = B A, pod uslovom da postoji deta = 6 A adja = ( 0 2 Stoga je nepoznata matrica ( 2 X = 0 4 ( 2 6 0 A = ( 2 6 0 ( = 2 2 4 0 Linearna (nezavisnost matrica Mi ćemo razmatrati samo linearnu (nezavisnost kolonskih i redovnih matrica (vektora Za dvije matricev,v 2 kažemo da su linearno nezavisne ukoliko α v +α 2 v 2 = 0 α = α 2 = 0 Za porodicu matricav,v 2,,v n kažemo da su linearno nezavisne ukoliko α v +α 2 v 2 ++α n v n = 0 α = α 2 = = α n = 0 U suprotnom, kažemo da su linearno zavisne Linearna zavisnost slijedi ako barem jedan odα i 0 Primjer Provjerite linearnu (nezavisnost vektorav,v 2,v : v = (,2,0,v 2 = (,0,,v = (2,2, αv +βv 2 +γv = (α,2α,0+(β,0,β+(2γ,2γ,γ = (α+β +2γ,2α+2γ,β +γ 5
Ovaj zbir je jednak nula matrici ako i samo ako je zadovoljen α+β +2γ = 0 2α+2γ = 0 β +γ = 0 Budući da je ovo kvadratni sistem, on će imati netrivijalnih rješenja ako i samo ako je determinanta sistem D = 0 (o tomu više brzo! 2 D = 2 0 2 0 = 0 Stoga možemo naći α,β,γ 0 tako da je αv +βv 2 +γv = 0 Takvi su na primjer α =,β =,γ = Vjezba Provjerite linearnu (nezavisnost vektorav,v 2,v i vektorav,v 2,v,v 4 : v = (0,0,,v 2 = (0,2, 2,v = (, 2,,v 4 = (4,2, 4 Rang matrice Rang matrice Koncept linearne zavisnosti vektora (tj matrica nam omogućava uvo denje jednog važnog pojma i osobine matrica, naime rang matrice Važno je napomenuti da, za razliku od determinanti, rang matrice A možemo pronaći za bilo koju matricu A, tj dimenzijam n Definicija Ako je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji možemo naći u matriciajednak brojur, tada taj broj nazivamo rang matrice A i označavamo ga sa r(a Primjedba Rang matrice r(a tako der u isto vrijeme označava maksimalni broj linearno nezavisnih kolona! Primjedba Rang matrice može biti maksimalnomili n, tj r(a min(m,n Primjedba Po definiciji, n n regularna matrica ima n linearno nezavisnih redova (tj kolona pa ima rang r(a = n S obzirom na vezu linearne zavisnosti i determinanti, rang matrice možemo drugačije definisati: Definicija 8 Rang matrice r(a je maksimalni red determinante različite od nule koja se može formirati od redova i kolona te matrice! 6
Izračunavanje ranga matrice Pri odre divanju ranga matrice koristit ćemo tzv elementarne transformacije matrice: zamjena mjesta dva reda ili dvije kolone; 2 množenje reda ili kolone nekim brojem različitim od nule; elementima jednog reda (kolone možemo dodati odgovarajuće elemente drugog reda (kolone Primjenom ovih transformacija, dobit će se matrica koja ima isti rang kao i početna matrica (kažemoa B akor(a = r(b Ovaj postupak ide na način da svaki naredni red ima jednu nulu više od prethodnog, što se naziva i postupak Gaussove eliminacije Ovaj postupak je sličan onome vi denom kod izračunavanja determinanti (svo denje kolone ili reda na što više nula Rang ove dvije matrice će biti isti zato što će se vrijednost maksimalne determinante možda promjeniti, no nikada ne može postati jednaka nuli! Po završenoj Gaussovoj eliminaciji, rang je u stvari broj redova (tj kolona koji imaju barem jedan element različit od nule! Primjer 2 4 2 0 2 5 0 2 4 Oduzevši 2 prvi red od drugog reda, prvi red od trećeg reda i 5 prvi red od četvrtog reda, dobivamo 2 4 2 4 A 0 6 9 0 5 0 2 0 5 0 0 24 0 0 24 Dodavši x drugi red trećem redu i 0x drugi red četvrtom redu, dobivamo A 2 4 0 2 0 0 6 0 0 6 Konačno, oduzimanjem trećeg reda od četvrtog reda, dobivamo 2 4 A 0 2 0 0 6 0 0 0 0
Ova matrica ima rang, jer se iz nje može napraviti determinanta različita od nule, tj 2 0 2 0 0 =, a ne i 4 4 determinanta različita od nule, pa je rang početne matrice! Primjer II 2I,IV I 2 4 2 0 0 0 2 2 6 2 5 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 5 5 2 0 2 4 0 0 2 2 6 2 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8