PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju, kao i na svojstva tih skupova koja će se koristiti u nastavku kursa. Podrazumeva se da studenti znaju da manipulišu osnovnim matematičkim operacijama, pa stoga njihova precizna definicija, kao i, na primer, dokaz da je 0 < 1, neće ovde biti predmet razmatranja. Smatra se da su studentima poznati pojmovi skupa i podskupa, komplementa skupa, kao i osnovne operacije sa skupovima: unija, presek i razlika. Takod e, smatra se da je poznat pojam Dekartov proizvod i ured en par ili ured ena dvojka. U nastavku će se koristiti uobičajene oznake za logičke operacije:,,,,,... i za kvantifikatore: (univerzalni kvantifikator) i (egzistencijalni kvantifikator). 1.1. Funkcije. Osnovni predmet izučavanja ovog kursa su funkcije. Preciznije, funkcije realne promenljive i svojstvo neprekidnosti. Podsetimo se, funkcija f : X Y je preslikavanje koje svakom elementu skupa X dodeljuje neki, jedinstveno odred en element skupa Y. Simbolički zapisano: f : X Y je funkcija ( x X)( y Y )(f(x) = y). Skup X se naziva domen, oblast definisanosti ili skup originala, a skup Y se naziva kodomen ili skup slika funkcije f. Elementi skupa X se nazivaju nezavisno promenljive. Funkcija f : X Y je 1 1 ili injekcija ako važi: ( x 1, x 2 X)(x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )), to jest ako različitim originalima odgovaraju različite slike. Funkcija f : X Y je na ili surjekcija ako važi: ( y Y )( x Y )(y = f(x)), to jest ako za proizvoljan element kodomena postoji original koji se funkcijom f na njega preslikava. Funkcija koja istovremeno i 1 1 i na naziva se bijekcija. 1

2 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA U prethodnom školovanju proučavani su značajni primeri funkcija kao što su: linearna, kvadratna, polinomi, trigonometrijske funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije, eksponencijalna i logaritamska funkcija. Navedene funkcije se nazivaju osnovne elementarne funkcije i smatra se da su njihova svojstva poznata. Umesto pojedinačnih funkcija, u ovom kursu će nas zanimati opšta svojstva funkcija, obuhvaćena definicijama i teoremama koje važe za široku klasu funkcija. Na primer, sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne na svojim prirodnim domenima. Mi ćemo dokazati da ma koja neprekidna funkcija dostiže minimalnu i maksimalnu vrednost nad zatvorenim intervalom koji je podskup njenog domena. Ovakav tip tvrd enja je karakterističan za kurs Uvod u analizu. Posledica ove teoreme je da svaka elementarna funkcija dostiže minimalnu i maksimalnu vrednost nad zatvorenim intervalom nad kojim je definisana. Domen za funkcije u ovom kursu je skup realnih brojeva ili neki njegov podskup. Stoga je prva velika tema kursa utvrd ivanje pojma realnog broja i izučavanje strukture skupa realnih brojeva. Da bi se motivisalo uvod enje strukture realnih brojeva pomoću aksioma u nastavku se izlažu osnovna svojstva skupova prirodnih, celih i racionalnih brojeva. Kao što će se videti, navedeni skupovi su snabdeveni algebarskom strukturom, pa njihovo precizno definisanje i izučavanje spada u oblast algebre i matematičke logike. 1.2. Prirodni brojevi. Neki skup X je odred en ako postoji pravilo kojim se za proizvoljan objekat, to jest element x može utvrditi da li x pripada skupu X, x X, ili mu ne pripada, x X. Skup prirodnih brojeva se može zadati nabrajanjem i intuitivnim shvatanjem tog nabrajanja: N = {1, 2, 3, 4, 5,... }, pri čemu se podrazumeva da... označava pravilo po kojem važi da ako je neki broj n u skupu N onda je i n + 1 u skupu N. Precizniji opis skupa N daju Peanove aksiome koje navodimo u nastavku. A 1 1 N (jedan je prirodan broj). A 2 ( x N)( x N) (svaki prirodan broj x ima jedinstvenog sledbenika, u oznaci x koji je takod e prirodan broj). A 3 ( x N)(1 x ) (jedan nije sledbenik nikojeg prirodnog broja). A 4 ( x, y N)(x = y x = y) (ako su sledbenici prirodnih brojeva jednaki, onda su ti brojevi jednaki). A 5 Neka je M N. Ako važi 1 M i ako iz x M sledi x M onda je M = N. Aksioma A 5 se naziva aksioma matematičke indukcije.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 3 1.2.1. Princip matematičke indukcije. U tesnoj vezi sa aksiomom A 5 je princip matematičke indukcije koji je od neprocenjivog značaja za izučavanje svojstava prirodnih brojeva, a koji se koristi pri dokazivanju raznih nejednakosti, osobina deljivosti i identiteta u kojima figurišu prirodni brojevi. 1 Sledi jedna od formulacija principa matematičke indukcije. Neka su dati iskazi P (n), n N. Ako važi: 1) Iskaz P (1) tačan (istinit). 2) Iz pretpostavke da je iskaz P (k) istinit (za ma koji broj k N) sledi da je iskaz P (k + 1) istinit. Tada je iskaz P (n) istinit za sve prirodne brojeve n. Primer 1.1. Dokazati da je zbir prvih n neparnih brojeva jednak kvadratu njihovog broja: n (2k 1) = 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n 2, n N. k=1 Neka je P (n) oznaka za iskaz: 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n 2. Tada je P (1) iskaz 1 = 1, koji je očigledno istinit. Pretpostavimo da važi 1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k 2 za neki broj k N. Tada je 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2, pa iz pretpostavke da je iskaz P (k) istinit sledi da je iskaz P (k + 1) istinit. Na osnovu principa matematičke indukcije sledi da P (n) važi za sve prirodne brojeve n. 1.2.2. Relacija poretka i svojstvo grupoida. U skupu prirodnih brojeva definišu se operacije sabiranja i množenja i relacija poretka. Precizna definicija ovih operacija se izvodi u okviru matematičke logike, a relacija poretka je refleksivna: ( x N)(x x); antisimetrična: ( x, y N)(x y y x x = y); tranzitivna: ( x, y, z N)(x y y z x z). Štaviše, N je totalno, to jest linearno ured en skup: ( x, y N)(x y y x). Uz relaciju (manje ili jednako), posmatra se i strogo ured enje (strogo manje): x < y x y x y. 1 Zadaci u kojima se primenjuje princip matematičke indukcije će se raditi u okviru redovnih vežbi.

4 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA Upotreba pojmova veće ili jednako i strogo veće je jasna. U odnosu na sabiranje, prirodni brojevi obrazuju grupoid. To znači da je sabiranje zatvorena i asocijativna operacija. Isto važi i za množenje, pri čemu je broj 1 jedinični element: ( x N)(x 1 = x). Da bi se sabiranje upotpunilo analognim svojstvom, često se posmatra skup prirodnih brojeva proširen nulom, neutralnim elementom za sabiranje: N 0 = N {0}, pri čemu je 0 prethodnik broja 1 i važi ( x N)(x + 0 = x). 1.2.3. Deljivost i prosti brojevi. Od posebnog značaja u skupu prirodnih brojeva je svojstvo deljivosti. Broj x N je deljiv brojem y N ako postoji broj a N tako da je x = a y. Jasno, svaki prirodan broj je deljiv brojem 1 i samim sobom. Brojevi koji su deljivi samo samim sobom i jedinicom su prosti brojevi. Svaki prirodan broj može se rastaviti na proste činioce što je veoma značajno, na primer pri odred ivanju najvećeg zajedničkog delitelja zadatih brojeva. Prostim brojevima se detaljno bavi teorija brojeva, u kojoj se kriju mnoge tajne. Izmed u ostalog, raspodela prostih brojeva je povezana sa Rimanovom hipotezom za čije rešenje je ponud ena nagrada od milion dolara. 2 Ako je veoma velik broj proizvod svega dva velika prosta broja, njegovo rastavljanje na proste činioce uobičajenim načinima nije efikasno, to jest praktično je nerešiv problem u realnom vremenu. Ova činjenica je osnovni teorijski rezultat koji unosi sigurnost u kodiranje pomoću RSA algoritma. Navedeni algoritam se koristi pri transakcijama internetom. 3 U RSA algoritmu često se koriste Mersenovi prosti brojevi, koji su oblika M p = 2 p 1. 4 1.2.4. Goldbahova hipoteza. Ako se umesto množenja posmatra sabiranje, jasno je da je bilo koji prirodan broj moguće predstaviti kao sumu prostih brojeva i da ta repezentacija nije jedinstvena. Evo nekih primera: 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 36 = 5 + 31 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19, 46 = 3 + 43 = 5 + 41 = 17 + 29 = 23 + 23, 2 Detalji u vezi sa nagradom se mogu naći na internet stranici: http://www.claymath.org/millennium/ 3 Navodno, kvantni kompjuteri će biti u stanju da dešifruju kod zasnovan na RSA algoritmu. 4 Krajem februara 2014. godine je, nakon osam godina provere potvrd eno da je M 30402457 četrdeset treći Mersenov prostog broj, videti:http://www.mersenne.org/.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 5 389965026819938 = 5569 + 389965026814369 (ovde ne postoji razlaganje prostim sabircima koji su manji od 5 569), 9 = 3 + 3 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5, 17 = 3 + 3 + 11 = 3 + 7 + 7 = 5 + 5 + 7... Na margini pisma koje je poslao Leonhardu Euler-u 7. juna 1742. godine, Christian Goldbach je pretostavio da se svaki broj veći od 2 može predstaviti kao zbir tri prosta broja. 5 Ova pretpostavka je postala poznata kao Goldbahova hipoteza, a u med uvremenu je podeljena na jaku Goldbahovu hipotezu po kojoj se svaki paran broj veći od 4 može napisati kao zbir dva prosta broja i na slabu Goldbahovu hipotezu po kojoj se svaki neparan broj veći od 5 može napisati kao zbir tri prosta broja. Jaka Goldbahova hipoteza implicira slabu jer, ako je broj veći od 5, kada oduzmemo 3 dobićemo paran broj koji se, po jakoj hipotezi, može predstaviti kao zbir dva prosta broja, pa dodavanjem broja 3 dobija se tvrdjenje slabe Goldbahove hipoteze. Sa druge strane, slaba Goldbahova hipoteza ne implicira jaku, jer nije izvesno da će se oduzimanjem jednog prostog broja u reprezentaciji slabe hipoteze mogu dobiti svi parni brojevi. Tokom 2013. godine, Harald Helfgott je na internet postavio naučni članak u kojem je najverovatnije dokazano tvrd enje slabe Goldbahove hipoteze. Prepravljena verzija je postavljena na internet u januaru 2014. godine. 1.2.5. Twin primes. Prosti brojevi blizanci 6 su prosti brojevi izmed u kojih postoji samo jedan broj. Prema tome, razlika većeg i manjeg od njih je dva: 17 i 19, 101 i 103, 881 i 883, 2003663613 2 195000 1 i 2003663613 2 195000 + 1... Tvrd enje o prostim brojevima blizancima 7 kaže da postoji beskonačno mnogo takvih prostih brojeva. Da li postoje 3 prosta broja izmed u kojih postoji po samo jedan broj, odnosno da li postoji prost broj p takav da su p + 1 i p + 3 oba prosti brojevi? 8 1.2.6. Beal-ova nagrada. Podsetimo se velike Fermaove teoreme. Pitagorine trojke su prirodni brojevi a, b, c za koje je a 2 + b 2 = c 2. Na primer, 3 2 + 4 2 = 5 2. Med utim, ako pokušamo da pronad emo a, b, c za koje je a n + b n = c n, za n prirodan broj strogo veći od 2 bićemo u problemu. Pjer de Ferma je 1637. godine pretpostavio da takve trojke 5 aggregatum trium numerorum primarum. Pismo je, inače, napisano na neobičnoj mešavini nemačkog i latinskog jezika. 6 engl. twin primes 7 engl. twin primes conjecture 8 Ovaj zadatak se spominje u krimi-romanu Lovci na glave norveškog pisca Jo Nesbo-a objavljenom 2008. godine.

6 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA ne postoje. Ta pretpostavka je dokazana u radovima Andrew Wiles-a koji su objavljeni sredinom devedesetih godina XX veka. Andrew Beal, američki bankar i multimilijarder 9 je 1993. godine pretpostavio da važi sledeće tvrd enje: Neka su a, b, c, x, y, z prirodni brojevi i pri tome x, y i z strogo veći od dva. Ako je a x + b y = c z, onda a, b i c imaju zajednički delitelj. Na primer, 3 3 + 6 3 = 3 5. Beal je 3. juna 2013. godine ponudio nagradu za rešenje ovog problema u iznosu od milion dolara. 2. Drugo predavanje - celi i racionalni brojevi U nastavku se struktura prirodnih brojeva proširuje u dva smera. Najpre do prstena celih brojeva, u kojem je moguće rešavanje jednačina oblika a + x = b, a, b N, a zatim do polja racionalnih brojeva u kojem se rešavaju jednačine oblika a x = b, a, b Z, a 0. Tako se celi brojevi definišu parovima prirodnih brojeva, a racionalni brojevi parovima celih brojeva. 2.1. Celi brojevi. Prelazak sa prirodnih brojeva na cele brojeve, Z je posledica želje da se struktura (N, +,, ) obogati tako da jednačina oblika a + x = b ima rešenje za sve a, b N. Jasno, ako je a < b (znači a b i a b) onda je rešenje x = b a prirodan broj. U suprotnom, b a je element nekog novog skupa. Tako skup Z može da se definiše kao skup u kojem se nalaze rešenja svih mogućih jednačina oblika a + x = b, a, b N. Pri tome se odgovarajuće operacije sabiranja i množenja i relacija poretka proširuju na odgovarajući način, što se definiše aparatom matematičke logike. Ako je b = 0, onda se rešenje jednačine a + x = 0 zove suprotni element elementu a i uvodi se oznaka x = a. Tako se dobija Z = N {0} N, gde je N = { n n N}. Za razliku od (N, +), struktura (Z, +) je komutativna grupa. U njoj je 0 neutralni element, i svaki element ima inverzni: ( x Z)( y Z)(x + y = 0). U stvari, ovo proširenje prethodne strukture je ekvivalentno gore opisanom proširenju skupa N rešenjima linearnih jednačina. Pojam deljivosti se na prirodan način proširuje na skup Z. 9 Detalji o nekim Beal-ovim aktivnostima mogu se pronaći na http://www.andrewbeal.com/.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 7 Konačno, treba primetiti da se skup Z može identifikovati sa skupom ured enih dvojki (a, b) prirodnih brojeva: Z x (a, b) a + x = b. Ova identifikacija nije jedinstvena. Celi brojevi se, kao i prirodni, mogu predstaviti u geometrijskom obliku na brojnoj pravoj. Pri tome, x < y implicira da je y desno od x. Svi brojevi x Z za koje važi 0 < x (koji se nalaze desno u odnosu na 0) su pozitivni brojevi, a brojevi koji su strogo manji od nule se zovu negativni brojevi. 2.2. Racionalni brojevi. Kao i kod uvod enja celih brojeva, motivacija za uvod enje racionalnih brojeva, to jest razlomaka, je algebarske prirode. Struktura (Z, +,, ) je totalno ured en prsten. Želja za proširenjem svojstva sabiranja na operaciju množenja, je, u stvari želja za proširenjem strukture prstena na strukturu polja. Naime, za svaki ceo broj x Z postoji njemu suprotan broj x Z, tako da je njihov zbir jednak neutralnom elementu operacije sabiranja: x+( x) = 0. Analogna situacija za množenje podrazumeva da za svaki broj x postoji neki broj y tako da je njihov proizvod jednak jediničnom elementu operacije množenja: x y = 1. U skupu celih brojeva samo dva broja imaju ovo svojstvo: 1 1 = 1, ( 1) ( 1) = 1. Stoga se skup celih brojeva proširuje novim elementima koji čine skup Q, racionalnih brojeva tako da za svaki element x Q \ {0} postoji njemu inverzni element x 1 Q tako da je x x 1 = 1. Jasno, broj nula se izuzima, jer 0 x = 1 ne može da važi ni za koje x Q. Kao što je Z dobijen posmatranjem jednačina oblika a + x = b, a, b N, tako skup Q čine elementi koji su rešenja jednačina oblika a x = b, a, b Z, pri čemu je a 0. Ako je b = 1, onda je x inverzni element elementa a. Jasno, uz oznaku a 1 koristi se i 1/a.

8 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA Prema tome, skup Q se može identifikovati sa skupom ured enih dvojki (a, b) celih brojeva: Q x (a, b) a x = b, a 0. Tada je x razlomak: x = b/a. Ova identifikacija nije jedinstvena. Med utim, ako su a i b uzajamno prosti brojevi (znači nemaju zajedničkih delitelja većih od 1) i ako uvedemo ograničenje: a N, b Z, onda ćemo dobiti jedinstvenu reprezentaciju svakog racionalnog broja u vidu razlomka. Jasno, ako brojilac b i imenilac a nisu uzajamno prosti, razlomak se može skratiti tako da se dobije njemu jednak razlomak sa uzajamno prostim brojiocem i imeniocem. U nastavku će se uvek posmatrati ovako odred ena identifikacija racionalnih brojeva i ured enih dvojki (a, b) N Z. Na ovaj način dobija se struktura totalno ured enog polja racionalnih brojeva, (Q, +,, ). Znači, u odnosu na sabiranje Q je komutativna grupa, u odnosu na množenje Q \ {0} je komutativna grupa, množenje je distributivno u odnosu na sabiranje, relacija je relacija totalnog poretka i važi: ( x, y, z Q)(x y x + z y + z), ( x, y Q)(0 x 0 y 0 x y). Lako se može dokazati da važi zakon trihotomije koji kaže da za svaka dva elementa x, y Q važi tačno jedna od sledećih relacija: x < y ili je y < x ili je x = y. Svi racionalni brojevi imaju geometrijsku reprezentaciju na brojnoj pravi.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 9 Izuzev ovih predstavljanja, racionalni brojevi se mogu predstaviti u jedinstveno odred enom decimalnom zapisu uz pomoć arapskih cifara 0, 1, 2,..., 8, 9, pri čemu se koristi i decimalni zarez. Pri tome, ili postoji konačno mnogo cifara iza decimalnog zapisa ili se nakon izvesnog preioda cifre u decimalnom zapisu ponavljaju. Tako je 0, 23232323 = 0, 23 jednak broju 23/99 (jer je 100 0, 23 = 23 + 0, 23 99 0, 23 = 23 0, 23 = 23/99). Kao što je poznato, izmed u dva prirodna broja niti izmed u dva cela broja ne mora da postoji prirodan, odnosno ceo broj. Preciznije, ako x, y Z i ako je x < y, postavlja se pitanje da li postoji z Z tako da važi: x < z < y? Odgovor je negativan ako su x i y uzastopni brojevi, to jest, ako je y = x + 1. Sa druge strane, kadgod je x < y i x, y Q, moguće je odrediti z Q za koje je x < z < y. Jednostavno, broj z = (x + y)/2 ispunjava traženi uslov. Dakle, važi: ( x, y Q)(x < y ( z Q)(x < z < y)), pa je strogo ured enje < gusto u Q. 3. Racionalni brojevi - nastavak (treće predavanje) U ovom predavanju se daje spisak znanja koja samo do sada stekli o racionalnim brojevima, a zatim se posebna pažnja poklanja podskupovima skupa racionalnih brojeva. 3.1. Aksiome totalno ured enog polja. Struktura (Q, +,, ) je, dakle, totalno ured eno polje. To znači da su ispunjene sledeće aksiome: Svojstva operacije +: A.1 ( x, y Q)(x + y = y + x), A.2 ( x, y, z Q)((x + y) + z = x + (y + z)), A.3 ( 0 Q)( x Q)(x + 0 = x), A.4 ( x Q)( ( x) Q)(x + ( x) = 0). Svojstva operacije : A.5 ( x, y Q)(x y = y x), A.6 ( x, y, z Q)((x y) z = x (y z)), A.7 ( 1 Q \ {0})( x Q)(x 1 = x), A.8 ( x Q)( x 1 Q)(x x 1 = 1). Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje: A.9 ( x, y, z Q)((x (y + z) = x y + x z)). Svojstva relacije : A.10 ( x Q)(x x),

10 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA A.11 ( x, y Q)(x y y x x = y), A.12 ( x, y, z Q)(x y y z x z)), A.13 ( x, y Q)(x y y x). Odnos operacija + i i relacije : A.14 ( x, y, z Q)(x y x + z y + z), A.15 ( x, y, z Q)(0 x 0 y 0 x y). Primetimo da je tačno jedan od sledeća tri iskaza istinit: x < y, y < x, x = y. Algebarske posledice ovih aksioma nisu predmet proučavanja na ovim predavanjima. Ipak, kao ilustraciju, dokazujemo jednostavno tvrd enje: Lema 3.1. Dati su brojevi x, y Q. Dokazati da važi: x < y ( ε > 0)(x + ε = y). Dokaz. Neka je x < y. Na osnovu definicije stroge nejednakosti i aksiome A.14, dodavanjem x na obe strane nejednakosti dobija se 0 < y x. Traženo ε je definisano sa ε := y x. Jasno, tada važi ε > 0 kao i x + ε = x + (y x) = x + ( x) + y = 0 + y = y (čitaocu ostavljamo da proveri koje aksiome su ovde iskorišćene. Sa druge strane, ako je x + ε = y za neki broj ε > 0, onda je (dodavanjem x na obe strane jednakosti) ε = y x, pa je y x > 0 odnosno y > x, što je i trebalo da se dokaže. 3.2. Podskupovi skupa Q. U nastavku predavanja pažnju usmeravamo na podskupove skupa Q. Dati su brojevi a, b Q takvi da je a < b. Za broj (a + b)/2 važi: a = (a + a)/2 < (a + b)/2 < (b + b)/2 = b. Kada za x Q važi a < x < b, kaže se da je x izmed u brojeva a i b. Jasno, i (a + (a + b)/2)/2 je izmed u a i b, pa sledi da u postoji beskonačno mnogo brojeva izmed u a i b. Skup takvih brojeva zove se interval. U zavisnosti od toga da li takvi skupovi sadrže brojeve a i b (granice intervala) razlikuju se: otvoreni interval: (a, b) Q = {x Q a < x < b}, zatvoreni interval [a, b] Q = {x Q a x b}, poluotvoreni interval sa leve strane: (a, b] Q = {x Q a < x b}, poluotvoreni interval sa desne strane: [a, b) Q = {x Q a x < b}. Poluotvoreni interval sa leve strane je istovremeno poluzatvoren sa desne strane, a poluotvoreni interval sa desne strane je istovremeno

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 11 poluzatvoren sa leve strane. Broj a je leva, a broj b desna granica intervala. U svim ovim slučajevima, dužina intervala je broj b a. U geometrijskoj interpetaciji, b a je dužina duži čiji su krajevi tačke a i b. Definicija 3.2. Dat je neprazan skup S Q. Skup S je ograničen sa gornje strane (to jest odozgo) ako postoji M Q takav da za sve s S važi s M. Broj M je u tom slučaju gornje ograničenje skupa S. Skup S je ograničen sa donje strane (to jest odozdo) ako postoji m Q takav da za sve s S važi m s. Broj m je u tom slučaju donje ograničenje skupa S. Skup S je ograničen ako i samo ako je ograničen i sa gornje i sa donje strane. Intervali su ograničeni skupovi, pri čemu je donje ograničenje leva granica intervala, a gornje ograničenje je desna njegova granica. Uopšte, iz definicije sledi da je skup S ograničen ako i samo ako je S podskup nekog zatvorenog intervala. Primetimo takod e da, u slučaju da je S ograničen, njegovo donje i gornje ograničenje nisu jedinstveno odred eni brojevi. Čitaocu se ostavlja da dokaže da je skup S ograničen ako i samo postoji p Q tako da je S [ p, p]. Skup N je ograničen sa donje strane, ali nije ograničen sa gornje strane u Q. Skup Z nije ograničen ni sa gornje ni sa donje strane u Q. Definicija 3.3. Dat je neprazan skup S Q. Broj min S S je minimalni element skupa S ako za sve s S važi min S s. Broj max S S je maksimalni element skupa S ako za sve s S važi s max S. Ovi elementi ne moraju da postoje, ali ako postoji min S onda je on istovremeno i donje ograničenje skupa S, a ako postoji max S onda je on istovremeno i gornje ograničenje skupa S. Primer 3.4. Ispitati da li su sledeći skupovi ograničeni i da li imaju minimalni i maksimalni element: (1) (0, ) Q = {x Q 0 < x}, (2) {2}, {a 1, a 2,..., a k }, a j Q, j = 1, 2,..., k, (3) A = {1/n n N}, B = {n/(n + m) n, m N}, (4) X = {x Q 0 < x x 2 < 2}, (5) Y = {y Q 0 < y 2 < y 2 }, (6) Z = {z Q 0 < z z 2 = 2}. Rešenje. (1) Skup (0, ) Q je ograničen sa donje strane (na primer nulom, ili bilo kojim negativnim brojem), a nije ograničen sa gornje

12 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA strane, pa stoga nema maksimalni element. Ovaj skup nema ni minimalni element. Dokaz se izvodi kontradikcijom: Pretpostavimo da je m (0, ) Q minimalni element datog skupa. To znači da za sve x (0, ) Q važi m x. Sa druge strane, ako se izabere x = m/2 sledi m/2 < m, ali m/2 (0, ) Q, a svi elementi tog skupa su veći od (ili jednaki sa) m, što daje kontradikciju. Prema tome, odbacuje se pretpostavka da postoji minimalni element datog skupa. U stvari, kadgod je dat otvoren interval ili poluotvoren interval sa donje strane, on nema minimalni element, a dokaz je u duhu isti kao i upravo naveden dokaz. Slično i za maksimalni element. (2) Skup {2} je ograničen i broj 2 je njegovo gornje i donje ograničenje i njegov minimalni i maksimalni element. Čitaocu se ostavlja da dokaže da je svaki skup S Q koji ima konačno mnogo elemenata ograničen u Q kao i da on ima minimalni i maksimalni element. (3) max A = 1, a min A ne postoji. Slično, min B ne postoji. Takod e, pretpostavka da je n 0 /(n 0 + m 0 ) = max B daje kontradikciju, jer je n 0 /(n 0 + m 0 ) < (n 0 + 1)/(n 0 + 1 + m 0 ) B. (4) Primetimo pre svega da skup X nije prazan, jer, na primer 1 X. Jasno, X je ograničen (sa nulom odozdo i sa, na primer, brojem 2 odozgo). Da min X ne postoji može se pokazati na isti način kao što je to urad eno u (1). Preostaje da se ispita da li postoji max X. Pretpostavimo da je m = max X, što znači da je x m za sve x X. Posmatrajmo x = 2 m+1 m+2. Ako pokažemo da x X i m < x doći ćemo u kontradikciju i zaključiti da skup X nema maksimalni element. Pre svega, x > 0. Važi: 2 (x ) 2 = 2 2 m2 (2+m) 2 > 0 odakle sledi x X. Kako je, x m > 0, na osnovu kontradikcije sledi da max X ne postoji. Čitaocu se ostavlja da ispita skup Y. 4. Algebarski brojevi Pokazali smo da skupovi X = {x Q 0 < x x 2 < 2} i Y = {y Q 0 < y 2 < y 2 } nemaju maksimalni i minimalni element, respektivno. 10 Preostaje da se ispitaju svojstva skupa Z = {z Q 0 < z z 2 = 2}. Na ovom mestu zgodno je uvesti pojam samerljivih veličina i dovesti u vezu algebarska i geometrijska svojstva. 4.1. Samerljive veličine. Dve duži [AB] i [CD] su samerljive ako postoje prirodni brojevi n i m tako da važi n[ab] = m[cd]. U tom 10 Respektivno znači tim redom. Dakle, skup X nema maksimalni, a skup Y nema minimalni element.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 13 slučaju koristi se i zapis [AB] : [CD] = m : n i kaže se da su duži samerljive ako je odnos njihovih dužina racionalan broj. 11 U suprotnom, [AB] i [CD] su nesamerljive. Duž [C, D] je jedinična ako je njena dužina jednaka 1. Duž [AB] samerljiva sa jediničnom duži [C, D] ako je [AB] : [CD] = [AB] : 1 = [AB] = m : n. Na ovaj način svaki pozitivan racionalni broj može da se interpretira kao dužina neke duži koja je samerljiva sa jediničnom duži. Da li važi i obratno? Drugim rečima, da li je svaka duž samerljiva sa jediničnom duži? U suprotnom, njenu dužinu nije moguće predstaviti nekim racionalnim brojem. Slika 1. jedinični kvadrat Posmatrajmo jedinični kvadrat, kao na slici (kvadrat čije su stranice dužine 1). Dužina kvadrata njegove dijagonale d je na osnovu Pitagorine teoreme data sa d 2 = 1 2 + 1 2 = 2. Dakle, dijagonala jediničnog kvadrata samerljiva sa jediničnom duži ako i samo ako je skup Z neprazan. Pretpostavimo da postoji d Q, d > 0 i d 2 = 2. Tada postoje p, q N tako da važi d = p : q i pri tome su p i q uzajamno prosti brojevi, NZD(p, q) = 1. Kako je (p/q) 2 = 2 sledi p 2 = 2q 2. Odavde sledi da je p 2 paran broj. Broj p je, prema tome takod e paran broj, 12 odnosno postoji k N tako da je p = 2k. Važi p 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2q 2, odakle je q 2 = 2k 2, pa je q 2 paran broj iz čega sledi da je q paran broj. Znači q = 2l, za neki broj l N. Prema tome NZD(p, q) = NZD(2k, 2l) 2 odnosno p i q nisu uzajamno prosti. Ovo je kontradikcija. Dakle, ne postoji razlomak čiji je kvadrat jednak broju 2, skup Z je prazan, pa nema smisla govoriti o njegovoj ograničnosti niti o maksimalnom i minimalnom elementu. 11 Dužina duži se definiše u okviru kursa iz geometrije. 12 Ako je p neparan, to jest p = 2k+1 za neki broj k N, onda je p 2 = 4k 2 +2k+1 neparan broj, što je kontradikcija sa činjenicom da je p 2 paran broj.

14 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA Zaključujemo da dijagonala jediničnog kvadrata nije samerljiva sa [0, 1] Q. Na sličan način se dužina dijagonale jedinične kocke dovodi u vezu sa algebarskom jednačinom x 2 = 3 čije rešenje nije racionalan broj. Takod e, pozitivno rešenje jednačine x 2 + x 1 = 0 nije racionalan broj. Ova jednačina proizilazi iz (geometrijskog) problema: podeliti jediničnu duž tačkom x tako da se duži deo prema celoj duži odnosi kao kraći deo prema dužem delu. Dakle, tačka x je odred ena proporcijom x : 1 = (1 x) : x. Pozitivno rešenje date jednačine je ( 5 1)/2 0, 618033.... S obzirom na geometrijsku interpetaciju racionalnih brojeva u iskušenju smo da zaključimo da na racionalnoj pravoj postoje rupe, odnosno, da je neophodno dodati nove brojeve. Dosadašnji primeri su rešenja algebarskih jednačina, to jest koreni polinoma izvesnog stepena sa celobrojnim koeficijentima. Tako se, na prirodan način, razlomci proširuju algebarskim brojevima. U nastavku se navodi primer nesamerljive duži čija dužina nije rešenje algebarske jednačine. 4.2. Transcendentni brojevi. Posmatra se problem odred ivanja poluobima O/2 jedinične kružnice, kružnice poluprečnika 1. Slika 2. upisani šestougao Slika 3. opisani šestougao Arhimed je, u III veku pre Hrista utvrdio da važi 223/71 < O/2 < 22/7. Da bi ovo pokazao izvršio je merenje poluobima pravilnih mnogouglova upisanih u i opisanih oko jedinične kružnice. Na slici se vide pravilni šestouglovi. Arhimed je uzastopno duplirao broj stranica, mereći pritom odgovarajuće poluobime dvanaestougla, četrdesetougla i devedesetšestougla. Ova metoda se naziva iscrpljivanje ili ekshaustija. Istom metodom Ludolf fon Cojlen je u XVI veku izračunao poluobim jedinične kružnice sa 35 cifara iza decimalnog zareza: 3.14159265358979323846264338327950288, a krajem decembra 2013. godine izračunato je više od 12 10 12 cifara tog broja. Oznaku π za ovaj broj uveo je početkom XVIII veka Vilijam

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 15 Džons 13 u knjizi Šynopsis Palmariorum Matheseos. Tek 1761. godine Lambert je dokazao da π nije racionalan broj. Za razliku od dužine dijagonale jediničnog kvadrata, ne postoji algrebarska jednačina takva da je π jedno njeno rešenje. Ovo je dokazao Lindeman 1882. godine. Dužina poluobima jedinične kružnice nije algebarski, nego transcendentan broj. Sredinom XIX veka Liuvil je dokazao da je broj 10 1! + 10 2! + + 10 n! + = n=1 1 10 n! transcendentan, to jest da nije rešenje nijedne algebarske jednačine. Obratimo pažnju da je lakše konstruisati primer transcendentnog broja nego za neki zadat broj utvrditi da je transcendentan. Tako, na primer nije poznato da li je Ojlerova konstants γ transcendentan broj, videti dodatak ovom predavanju. Sledeći primer je računanje kamate kontinualnim (neprekidnim) kapitalisanjem. Ako se 1 dinar uloži uz 100 procenata kamate na godišnjem nivou, na kraju obračunskog perioda uz godišnje kapitalisanje dobiće se 2 dinara. Ako je, med utim, kapitalisanje polugodišnje, na kraju godine na računu će biti: 1 + 0,5 + 0,75 = 2,25 dinara. Sa kvartalnim kapitalisanjem dobija se 2,44140625 dinara. Svi ovi slučajevi su obuhvaćeni formulom: 1 (1 + 1/n) n, gde je n = 1, 2, 4 respektivno. Kada je kapitalisanje kontinualno, na kraju godine se dobija broj koji je približno jednak racionalnom broju 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995. Vrednost traženog broja se označava sa e, a da je taj broj transcendentan dokazao je Hermit 1873. godine. Tridesetih godina XX veka dokazano je da je broj e π transcendentan, a u ovom trenutku nije poznato da li je broj π e transcendentan. Primetimo da oba primera transcendentnih brojeva uključuju metode uzastopnog približavanja njihovoj stvarnoj vrednosti, odnosno neograničenom (u broju koraka) broju aproksimacija, približnim vrednostima koje su racionalni brojevi. Ovo važi i za primer algebarskog broja 2 čiji je kvadrat jednak broju 2. Naime, 2 se može aproksimirati nizom brojeva definisanih na sledeći način: x 1 = 1, x n+1 = 1 2 (x n + 2 x n ), n N. 13 engl. William Jones (1675-1749)

16 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 4.3. Aksioma kompletnosti. Na osnovu dosadašnjih razmatranja, razumeli smo neophodnost proširivanja strukture totalno ured enog polja racionalnih brojeva novom strukturom koja bi očuvala operacije i totalno ured enje, a koja bi obuhvatila i brojeve 2, π, e, e π i mnoge druge. Ta nova struktura uvodi se jednom dodatnom aksiomom, aksiomom kompletnosti koja štvara nove brojeve. Dakle, struktura (R, +,, ) skupa realnih brojeva je totalno ured eno polje: A.1 ( x, y R)(x + y = y + x), A.2 ( x, y, z R)((x + y) + z = x + (y + z)), A.3 ( 0 R)( x R)(x + 0 = x), A.4 ( x R)( ( x) R)(x + ( x) = 0). A.5 ( x, y R)(x y = y x), A.6 ( x, y, z R)((x y) z = x (y z)), A.7 ( 1 R \ {0})( x R)(x 1 = x), A.8 ( x R)( x 1 R)(x x 1 = 1). A.9 ( x, y, z R)((x (y + z) = x y + x z)). A.10 ( x R)(x x), A.11 ( x, y R)(x y y x x = y), A.12 ( x, y, z R)(x y y z x z)), A.13 ( x, y R)(x y y x). A.14 ( x, y, z R)(x y x + z y + z), A.15 ( x, y, z R)(0 x 0 y 0 x y). Uz to, u (R, +,, ) važi aksioma kompletnosti (potpunosti, neprekidnosti): A.16 Neka su X i Y neprazni podskupovi skupa R takvi da je svaki element skupa X manji od bilo kojeg elementa skupa Y : ( x X)( y Y )(x y). Tada postoji c R) tako da važi ( x X)( y Y )(x c y). Teorema 4.1. U (Q, +,, ) ne važi A.16. Dokaz. Dovoljno je pronaći primer nepraznih skupova racionalnih brojeva X i Y takvih da je svaki element skupa X manji od bilo kojeg elementa skupa Y i takvih da ne postoji c Q) tako da važi ( x X)( y Y )(x c y). Neka je X = {x Q 0 < x x 2 < 2} i Y = {y Q 0 < y 2 < y 2 }. Ove skupove smo već posmatrali na prethodnom predavanju i znamo da nisu prazni (1 X, 2 Y ). Iz tranzitivnosti relacije < sledi da je x y za sve x X i sve y Y. Ako A.16 važi u (Q, +,, ), onda postoji c Q takav da je x c y za sve x X i sve y Y. Sa jedne strane, taj broj ne pripada skupu X

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 17 jer bi, u tom slučaju c bio maksimalni element skupa X, a dokazali smo da ne postoji maksimalni element skupa X. Znači, 2 c 2, to jest ili je 2 < c 2 ili je c 2 = 2. Sa druge strane, iako je c y za sve y Y, znamo da c Y jer skup Y nema minimalni element. Dakle c 2 nije strogo veći od 2. Preostaje c 2 = 2. Ovo je, med utim, kontradikcija sa dokazanom činjenicom da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak broju 2. Zaključak: A.16 ne važi u totalno ured enom polju (Q, +,, ). Teorema 4.2. U (R, +,, ) postoji x takav da je x 2 = 2. Dokaz. Neka je, kao i u prethodnom predavanju, X = {x Q 0 < x x 2 < 2} i Y = {y Q 0 < y 2 < y 2 }. Ovi skupovi realnih brojeva nisu prazni: 1 X, 2 Y, a iz tranzitivnosti relacije < sledi da je x y za sve x X i sve y Y. Iz aksiome kompletnosti sledi da postoji c R takav da je x c y za sve x X i sve y Y. Na osnovu zakona trihotomije, za broj c 2 važi tačno jedna od tri mogućnosti: c 2 < 2, c 2 > 2, c 2 = 2. Ako je c 2 < 2, onda c X, pa iz x cza sve x X sledi da je c maksimalni element skupa X. Med utim, na prethodnom predavanju je pokazano da skup X nema maksimalni element skupa X. Znači, preostaje tačno jedna od mogućnosti: 2 < c 2 i c 2 = 2. Ako je 2 < c 2 onda c Y, pa iz c y za sve y Y sledi da je c minimalni element skupa Y. Med utim, skup Y nema minimalni element. Prema tome nije 2 < c 2. Zaključak: c 2 = 2. Napomena 4.3. Posmatrajmo skupove X i Y definisane sa X = {x n x n je poluobim pravilnog n tougla upisanog u jediničnu kružnicu, n N}, Y = {y n y n je poluobim pravilnogn tougla opisanog oko jedinične kružnice, n N}. Ovo su neprazni skupovi i svaki element skupa X je manji od bilo kog elementa skupa Y, x n < y m za sve n, m N. Primetimo da x n < y n znači da su u relaciji < samo oni elementi koji imaju isti indeks, što ne znači da nejednakost važi za proizvoljne elemente datih skupova. Na osnovu A.16, postoji realan broj c takav da za sve x X i sve y Y važi x c y. Taj broj se označava sa π i može se dokazati da je on jednak poluobimu jedinične kružnice. Posmatrajmo sada skupove X i Y definisane sa X = {x n = (1 + 1 n )n n N}, Y = {y n = (1 + 1 n )n+1 n N}.

18 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA Ovo su neprazni skupovi i može se dokazati da je svaki element skupa X manji od bilo kog elementa skupa Y, x n < y m za sve n, m N. Primetimo da x n < y n očigledno važi, ali to ne znači da nejednakost važi za proizvoljne elemente datih skupova. Na osnovu A.16, postoji realan broj c takav da za sve x X i sve y Y važi x c y. Taj broj se označava sa e i može se dokazati da je on jednak transcendentnom broju e iz prethodnog predavanja. 5. Posledice aksiome kompletnosti Kao što je rečeno, aksioma kompletnosti dodaje/upotpunjuje/kompletira strukturu racionalnih brojeva novim elementima, iracionalnim brojevima: R = Q I, pri čemu je Q I =. Iracionalni broj može da bude algebarski ili transcendentan. Kažemo da je x 0 R algebarski realan broj ako postoji polinom n P n (x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = a k x k, a k Z, k = 0, 1,..., n, takav da je P n (x 0 ) = 0. Za razliku od aksioma totalno ured enog polja, u aksiomi kompletnosti figurišu kolekcije elemenata, neprezni podskupovi skupa R i ona, na neki način, generiše sve realne brojeve, a posebno algebarske i transcendentne brojeve. U nastavku se diskutuju najznačajnije posledice aksiome kompletnosti. Neprazan skup X R je ograničen sa gornje strane (odozgo) ako postoji M R tako da važi: x M, x X. Ako, pritom, postoji x 0 X takav da je x x 0, x X, onda se x 0 naziva maksimalni element skupa X. Čitalac može da se definiše pojam ograničenosti sa donje strane i pojam minimalnog elementa za neprazne podskupove skupa R. Definicija 5.1. Neka je X neprazan podskup skupa R. Supremum skupa X, ako postoji, je najmanje od svih gornjih ograničenja skupa X: s = sup X ako i samo ako je x s, x X (s je gornje ograničenje) i k=0 ( M R) ((x M)( x X) s M) (s je manje od svih gornjih ograničenja skupa X). Infimum skupa X, ako postoji, je naveće od svih donjih ograničenja skupa X: i = inf X ako i samo ako je i x, x X (i je donje ograničenje) i ( m R) ((m x)( x X) m i) (i je veće od svih donjih ograničenja skupa X).

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 19 Iz definicije sledi jedinstvenost supremuma i infimuma, ako postoje. Takod e, očigledno je da, ako skup X ima maksimalni element, onda je taj element istovremeno i supremum skupa X, a ako skup X ima minimalni element, onda je taj element istovremeno i infimum skupa X. Takod e, ako skup X nije ograničen sa gornje strane, onda on nema supremum u skupu R, a ako skup X nije ograničen sa donje strane, onda on nema infimum u skupu R. U nastavku se razmatra egzistencija supremuma i infimuma ako je X ograničen sa gornje, odnosno sa donje strane. U skupu Q postoje odozgo ograniženi skupovi koji nemaju supremum. Na primer, skup X = {x Q 0 x x 2 < 2} je ograničen sa gornje strane, ali u skupu racionalnih brojeva ne postoji najmanje gornje ograničenje tog skupa. Objasnimo to. Znamo da ne postoji maksimalni element skupa X, pa sup X ako postoji nije element skupa X. Skup gornjih ograničenja skupa X u skupu Q je dat sa Y = {y Q 0 y 2 y 2 }, pa je sup X, ako postoji, minimalni element skupa Y. S obzirom da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak broju 2 sledi sup X = min Y = {y Q 0 y 2 < y 2 }. Med utim, pokazali smo da skup Y nema minimalni element, odakle sledi da ne postoji sup X u skupu Q. Teorema 5.2. Neka je X neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa gornje strane i neka je s jedno gornje ograničenje skupa X. Tada važi: s = sup X ako i samo ako (1) ( ε > 0)( x 0 X)(s ε < x 0 ). Neka je X neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa donje strane i neka je i jedno donje ograničenje skupa X. Tada važi: i = inf X ako i samo ako ( ε > 0)( x 0 X)(x 0 < i + ε). Dokaz. Dokazaćemo samo deo teoreme koji se odnosi na supremum, a čitaocu se ostavlja za vežbu da dokaže drugi deo teoreme. Neka je s = sup X, tvrdnju da tada važi (1) dokazaćemo kontrapozicijom. 14 Neka važi negacija iskaza (1): ( ε > 0)( x 0 X)(x 0 s ε). 14 Dokaz kontrapozicijom koristi tautologiju: (p q) ( q p).

20 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA Odavde sledi da je s ε gornje ograničenje skupa X, a kako je ε > 0 važi s ε < s, pa s nije najmanje gornje ograničenje skupa X, to jest s sup X. Kontrapozicijom zaključujemo da, ako je s = sup X onda važi (1). Pretpostavimo sada da važi (1) i dokažimo da je tada s = sup X, odnosno da za svako gornje ograničenje y skupa X važi s y. Pretpostavimo da je y gornje ograničenje skupa X ali da je y < s. Dakle, važi x y za sve elemente x skupa X. Na osnovu leme 1.1 15 sledi da postoji broj ε 0 > 0 tako da važi y + ε 0 = s. Za tako odabran broj iz (1) sledi da postoji neki element x 0 X za koji je s ε < x 0. Kako je y = s ε sledi da je y < x 0, što je u kontradikciji sa iskazom x y za sve elemente x skupa X. Prema tome, odbacuje se pretpostavka y < s, odnosno, ako je s gornje ograničenje skupa X, tada iz (1) sledi s = sup X. Ova teorema je od izuzetnog značaja za kasnija razmatranja. Podsetimo se, ako neki skup A R nije ograničen odozgo onda je skup njegovih gornjih ograničenja prazan skup, te ne postoji sup A R. Sledeća teorema, Princip supremuma je prva od nekoliko posledica aksiome kompletnosti i obezbed uje egzistenciju supremuma u slučaju da je posmatrani skup ograničen odozgo. Teorema 5.3. Svaki neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa gornje strane ima supremum u R. Dokaz. Neka je X proizvoljan neprazan odozgo ograničen skup i neka je Y skup njegovih gornjih ograničenja. Jasno, Y nije prazan skup i za sve x X i sve y Y važi x y. Prema tome, na osnovu aksiome kompletnosti sledi da postoji c R tako da važi: ( x X)( y Y )(x c y). Na osnovu leve nejednakosti c je jedno od gornjih ograničenja skupa X, a na osnovu desne nejednakosti c je najmanje gornje ograničenje skupa X, što sledi iz definicije skupa Y. Dakle, c = sup X, čime je princip supremuma dokazan. Princip infimuma glasi: Teorema 5.4. Svaki neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa donje strane ima infimum u R. Dokaz se ostavlja čitaocu za vežbu. U strukturi totalno ured enog polja u kojoj važi princip supremuma, može se dokazati aksioma kompletnosti. Preciznije: 15 Videti treće predavanje.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 21 Teorema 5.5. Neka je (R, +,, ) totalno ured eno polje u kojem svaki neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa gornje strane ima supremum u R. Tada važi aksioma kompletnosti, A.16. Dokaz. Neka su X i Y neprazni podskupovi skupa R za koje važi: ( x X)( y Y )(x y). Skup X je ograničen odozgo, bilo koji element skupa Y je njegovo gornje ograničenje. Prema tome, postoji supremum skupa X u R, označimo ga sa c. Dakle, ( x X)(x c). Proizvoljan element y Y je jedno gornje ograničenje skupa X pa je c y. Dakle, ( x X)( y Y )(x c y), odnosno važi aksioma kompletnosti. Sada smo u mogućnosti da dokažemo poznatu činjenicu da skup Z nije ograničen. Iako to tvrd enje nije nepoznato, poenta je da se u dokazu koristi princip supremuma, odnosno, aksioma kompletnosti, pa tako struktura skupa realnih brojeva nameće neograničenost skupa Z. Teorema 5.6. Neka je A neprazan sa gornje strane ograničen podskup skupa Z. Dokazati da postoji maksimalni element skupa A. Skup Z nije ograničen sa gornje strane. Dokaz. Iz principa supremuma sledi da postoji s = sup A R, a iz teoreme 5.2 sledi da, ako se izabere ε = 1, postoji a A tako da je s 1 < a. Neka je z Z strogo veći od a, odnosno a + 1 z. Tada iz s < a + 1 z sledi da z A jer nijedan element skupa A nije strogo veći od njegovog supremuma. Dakle, a = max A. Odavde direktno sledi da Z nije ograničen sa gornje strane jer bi u suprotnom on imao maksimalni element a, što je kontradikcija sa a + 1 Z i a + 1 Z. Drugim rečima, skup Z ne može da ima maksimalni element (jer svaki broj a Z ima sledbenika koji je strogo veći od a) pa, na osnovu prethodnog dela dokaza, Z ne može da bude ograničen. Napomena 5.7. Na isti način se dokazuje da teorema 5.6 važi kada se umesto skupa Z posmatra N. Čitaocu se ostavlja za vežbu da dokaže da svaki neprazan sa donje strane ograničen podskup skupa Z ima minimalni element i da sku Z nije ograničen sa donje strane. 5.1. Prošireni skup realnih brojeva. U nekim situacijama je zgodno proširiti skup R takozvanim fiktivnim elementima, + i, čime se dobija proširen skup realnih brojeva R = R +,. U tako proširenom skupu posebno se definišu operacije sabiranja i množenja fiktivnim elementima, kao i relacija poretka. Na primer, za sve x R važi x + (± ) = ±, kao i ± + (± ) = ±, kao i < x <

22 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA +. 16 Čitaocu se ostavlja za vežbu da razmisli o proširenju operacije množenja sa R na R. Na žalost, mana ovakvog proširenja je postojanje neodred enih izraza, kao što su + + ( ) i 0 ±, o čemu će biti reči u nastavku kursa, kada se budu proučavali nizovi realnih brojeva. U proširenom skupu realnih brojeva, po dogovoru, supremum skupa koji nije ograničen sa gornje strane je +, a infimum skupa koji nije ograničen sa donje strane je, pa tako svaki podskup skupa R ima supremum i infimum u R. Ovim proširenjem se omogućava definisanje neograničenih otvorenih i zatvorenih intervala, kao što su, na primer, za a R: (, a) = {x R x < a}, (, a] = {x R x a}, (a, + ) = {x R a < x}, [a, + ) = {x R a x} i R = (, + ). U nastavku će se + označavati i sa. 6. Podsetimo se U ovom izlaganju dopunjuje se predavanje o transcendentnim brojevima razmatranjima o Ojlerovoj konstanti. Prirodni brojevi se dobijaju dodavanjem sledbenika jedinici. Tako je, na primer 10 100 prirodan broj, kojeg je jedan devetogodišnjak prozvao googol, krajem tridesetih godina XX veka (dečak je bratanac američkog matematičara Edward-a Kasner-a). Broj 10 googol se zove googolplex. 17 Racionalni brojevi ili razlomci su osnovni elementi uz čiju pomoć se dospeva do definicije skupa realnih brojeva. Pri tome, obično se pretpostavlja da su brojilac i imenilac uzajamno prosti. To nije slučaj sa 16 64, 19 95, 26 65, 49 98,... Pretpostavlja se da čitalac poznaje aksiome (pojam) totalno ured enog polja. Dodavanjem aksiome kompletnosti/potpunosti dobija se struktura čiji su elementi realni brojevi. Neka je (R, +,, ) totalno ured eno polje. Jedna od ekvivalentnih formulacija aksiome kompletnosti je princip supremuma: Svaki neprazan podskup skupa R koji je ograničen sa gornje strane ima supremum. Pri tome, X R je ograničen sa gornje strane ako postoji M R tako da važi: x M, x X. Supremum skupa X je najmanje od 16 Oznaka ± je zamena za + i tim redom. 17 Kompanija Google, registrovana 1997. godine je ime dobila pogrešnim zapisivanjem reči googol.

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 23 svih gornjih ograničenja skupa X: s = sup X ako i samo ako je x s, x X (s je gornje ograničenje) i ( M R) ((x M)( x X) s M) (s je manje od svih gornjih ograničenja skupa X). Pokazali smo da princip supremuma ne važi u totalno ured enom polju racionalnih brojeva na primeru skupa Y = {y Q 0 y y 2 < 2}. Ovaj skup je ograničen sa gornje strane, ali u skupu racionalnih brojeva ne postoji najmanje gornje ograničenje skupa Y. Uz to, pokazali smo da svi racionalni brojevi imaju konačan decimalni zapis ili decimalni zapis u kojem se, počev od neke cifre, grupe cifara periodično ponavljaju. Odrediti razlomke čiji je decimalni zapis dat sa: 0, 01010101... i sa 0, 09090909... Na primer, 0, 01001000100001000001... broj u kojem se izmed u dve jedinice nalazi sve više i više nula, nije racionalan broj, kao što, uostalom nije ni 2 (ovo smo dokazali kotradikcijom). Zaključak: Aksioma kompletnosti dodaje/upotpunjuje/kompletira strukturu racionalnih brojeva novim elementima. Ti novi elementi se nazivaju iracionalni brojevi: R = Q I, pri čemu je Q I =. Iracionalni brojevi se sastoje od algebarskih iracionalnih brojeva i od transcendentnih iracionalnih brojeva i ta dva skupa su disjunktna. Algebarski brojevi su rešenja algebarskih jednačina izvesnog stepena, odnosno nule polinoma sa celobrojnim koeficijentima, kao što je 2. 7. Primeri realnih brojeva Da li postoje realni brojevi koji nisu algebarski? Da, π, e,... Kako znamo? Hm... Joseph Liouville je sredinom XIX veka dokazao da postoje transcedentni brojevi i naveo sledeći primer: 10 1! + 10 2! + 10 3! + 10 4! + + 10 (n 1)! + 10 n! + 10 (n+1)! +... Ispostavlja se da je lakše dokazati da takvi brojevi postoje nego ispitati da li je unapred zadati broj transcendentan. Na primer, 0, 1234567891011121314151617181920... jeste transcendentan. Johann Heinrich Lambert je 1761. godine dokazao da je π iracionalan i pretpostavio da su e i π transcendentni. Transcendentnost broja e dokazao je Charles Hermite 1873. godine i to je prvi broj za koji

24 PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA je dokazano da je transcendentan, a da nije konstruisan u tu svrhu. Transcendentnost broja π je posledica Lindeman-Weierstrass teoreme iz 1882. odnosno 1885. godine. Lindeman je dokazao da je e α transcendentan broj ako je α 0 algebarski broj. Hilbertov sedmi problem (1900): Da li je broj a b transcendentan ako je a {0, 1}, a broj b je iracionalan algebarski broj? (Ako je a algebarski i b racionalan, onda je a b algebarski.) Ovaj problem je rešen 1933. i 1934. godine i rešenje je poznato kao Gelfond - Schneider teorema. Jedna od posledica ove teoreme je činjenica da su brojevi 2 2 i e π transcendentni. Nasuprot tome, ne zna se da li je broj π e (i)racionalan. 8. Ojlerova konstanta U ovom poglavlju bavimo se realnim brojevima koji se mogu definisati kao beskonačne sume razlomaka. Definisaće se i Ojlerova konstanta γ 0, 57721566... U ovom trenutku nije poznato da li je γ (i)racionalan broj. Zbir beskonačno mnogo sabiraka (takav zbir se zove red) može da bude konačan broj. Na primer, π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 = ( 1) k+1 2k 1 ili, formula iz 1997. godine: 18 1 π = 16 k k=0 k=1 ( 4 8k + 1 2 8k + 4 1 8k + 5 1 8k + 6 Zbir recipročnih vrednosti svih prirodnih brojeva nije konačan: 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + = +. k=1 Ovaj red se zove harmonijski red. Da bi se dobio broj veći od 10, treba sabrati 12367 članova, a za broj 20 oko 272400600 članova. Zbir je veći od 100 ako se sabere 1, 5 10 43 članova. Na ovom mestu nećemo dokazivati da je zbir svih članova harmonijskog reda beskonačan. Koliko je velik ovaj broj, 10 43? Zamislimo da je moguće sabrati milion članova u sekundi. Tada bi nam trebalo 10 37 sekundi da saberemo 10 43 članova. Ali, od Velikog praska do danas je proteklo oko 10 17 sekundi... 18 Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon, On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Mathematics of Computation 66 (218): 903913. ).

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 25 Ako izostavimo članove harmonijskog reda koji sadrže cifru 0, dobijeni red će moći da se sumira i njegov zbir je otprilike 23, 10345... 19 Zbir recipročnih vrednosti kvadrata prirodnih brojeva dovodi u vezu broj π i harmonijski red: 1 k = 1 + 1 2 2 + 1 2 3 + = π2 2 6. k=1 Proučavanjem geometrijske reprezentacije harmonijskog reda dolazi se do zaključka da zbir n članova (n ta parcijalna suma) liči na ln n, odnosno lim s n = lim (1 + 12 + 13 + + 1n ) ln n = γ. n n Na ovaj način smo došli do suštinske razlike izmed u strukture realnih i strukture racionalnih brojeva. Za razumevanje svojstava skupa realnih brojeva potrebno je definisati i proučiti novu operaciju koja podrazumeva mogućnost manipulisanja sa beskonačnom količinom razlomaka. Ta operacija se naziva granična vrednost i nalazi se (implicitno) u srcu konstrukcije skupa realnih brojeva, u principu supremuma. 9. Posledice aksiome kompletnosti, II deo U ovom predavanju dokazuju se značajne posledice aksiome kompletnosti: Arhimedov i Kantorov princip. 9.1. Arhimedov princip i posledice. U prethodnom predavanju smo videli kako se može dokazati da skup prirodnih brojeva nije ograničen sa gornje strane, što znači da za svaki x R postoji n N tako da je x < n, a to je jedna od ekvivalentnih formulacija arhimedovskog svojstva. U nastavku dajemo dokaz nešto opštijeg tvrd enja, a zatim i najbitnije posledice Arhimedovog principa, gustine skupa Q u skupu R. Teorema 9.1. (Arhimedov princip) Dati su brojevi a > 0 i b R. Tada postoji jedinstveno odred en ceo broj k tako da važi: (k 1) a b < k a. b Dokaz. Neka je A Z definisan sa A = {n Z < n}. Skup A a nije prazan, jer bi u suprotnom skup Z bio ograničen sa gornje strane brojem b/a. Po definiciji A je ogranižen sa donje strane, pa na osnovu komentara teoreme sa prethodnih predavanja sledi da postoji minimalni element skupa A, označimo ga sa k Z. Jasno, taj broj je jedinstveno odred en. Iz k A (i a > 0) sledi b < k a, a kako je k 19 http://plus.maths.org/content/perfect-harmony