Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/ X(ω) } je dog. koji pripada F, za svako R (2)P{ω/ X(ω)= }= P{ω/ X(ω)=- }=0 Tada je X slučajna promenljiva. Merljivost, jer na F-u verovat. def. kao mera ω Ω da ne X 0 R X(ω) Finitnost, skoro nemoguć dog. Moguće da se više ishoda preslika u jedan broj, nije moguće da se jedan ishod preslika u dva broja Ω R 1 (jednodimenzion. sl. prom.), Ω R 2 (dvodimenzion. sl. prom.)

Slučajna promenljiva Koristićemo sledeće oznake: [X ] ili {X } za {ω/ X(ω) } [X=] ili {X=} za {ω/ X(ω)=} Ravnopravno se koristi i termin slučajna veličina. Diskretne slučajne promenljive (X(ω) skup vrednosti preslikavanja je konačan ili prebrojiv) Neprekidne slučajne promenljive (X(ω) neprebrojiv) Mešovite slučajne promenljive

Diskretne slučajne promenljive Neka je { 1,...,, n n} } skup vrednosti slučajne promenljive X i neka je: P[X= k ]=p k, k = 1,...,n. Tada imamo zakon raspodele (verovatnoća) sl. prom. X K n X : 1 1 < 2 <... < n p 1 K pn X je diskretna slučajna promenljiva (sa konačno mnogo vrednosti). p 1 + p 2 +... + p n =1 Zakon raspodele sl. prom. je preslikavanje koje vrednostima sl. prom. dodeljuje odgovarajuće verovatnoće.

Primer slučajne promenljive Pri bacanju numerisane kocke igrač dobija ili plaća određenu sumu od X dinara, u zavisnosti od broja k koji se dobija na gornjoj strani kocke: k, k = 4 ili 5 X = 3k, k = 1 ili 2 0, k = 3 ili 6 Pokazati da tako definisana funkcija X predstavlja slučajnu promenljivu. Označimo sa ω k el. ishod: dobijen je broj k. Tada imamo preslikavanje: ω 1-3, ω 2-6, ω 3 0, ω 4 4, ω 5 5, ω 6 0

Primer, nastavak Uslov (2) je ispunjen. Uslov (1), u zavisnosti od vrednosti realnog broja imamo: Ako je <-6, tada je {ω/ X(ω) } = [X ]=Ø F Ako je -6 <-3, tada je [X ]={ω 2 } F Ako je -3 <0, tada je [X ]={ω 1, ω 2 } F Ako je 0 <4, tada je [X ]={ω 1, ω 2, ω 3, ω 6 } F Ako je 4 <5, tada je [X ]={ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 6 } F Ako je 5, tada je [X ]=Ω Ω F Zakon raspodele ove slučajne promenljive je: 6 3 0 4 5 X : 1 1 2 1 1 6 6 6 6 6

Indikator događaja Neka su dati: Ω, sluč. dog. A Ω, polje događaja F ={Ø, Ω, A, Ā} i neka je P verovatnoća na F. Preslikavanje X: Ω R zadato sa X(ω)=1, ω A i X(ω)=0, ω Ā je slučajna promenljiva indikator slučajnog događaja A. I A 0 1 : P(A) P(A)

Elementarna slučajna promenljiva Ako je skup slučajne promenljive X prebrojiv, tj. ako je njen zakon raspodele oblika: X : 1 K n p1 K p n K K p 1 +... + p n +... = 1, p j > 0, j N X je elementarna slučajna promenljiva. Slučajne promenljive su opštije od slučajnih događaja Slučajne promenljive su opštije od slučajnih događaja, jer opisuju jedan prostor elementarnih ishoda u celini.

Funkcija raspodele Definicija: Neka je X slučajna promenljiva. Realna funkcija F definisana jednakošću: F()=P{ω/ X(ω) } = P[X ], R je funkcija raspodele slučajne promenljive X. Primer. Odrediti funkciju raspodele diskretne slučajne promenljive X čiji je zakon raspodele: 1 6 1 3 0 2 1 4 1 5 X : 6 6 6 6 6 U zavisnosti od vrednosti realnog broja računamo verovatnoće oblika P[X ].

Osobine funkcije raspodele Teorema. Ako je F funkcija raspodele neke slučajne promenljive, tada je: a) F neopadajuća funkcija b) F(- )=0, F( )=1, c) F neprekidna sa desne strane za svako R Dokaz. Neka su a i b realni brojevi takvi da je a<b. Treba dokazati da je F(a) F(b). a)imamo da je {ω/ X(ω) a} {ω/ X(ω) b}. Zato: F(a)=P{ω/ X(ω) a} P{ω/ X(ω) b}=f (b). b) lim F( ) = 0 (jer P(X=- )=0) lim F ( ) = 1 + c) lim F( ) = F( 0) 0 (jer (X ) Ω), kada

Funkcija raspodele dsp Za diskretne slučajne promenljive sa konačno mnogo vrednosti postoji karakteristični oblik funkcije raspodele X : p 1 1 p 2 K 2 K p m m Za svako < 1, F()=0 Za svako [ 1, 2 ), F()=p 1 Kada je iz ovog intervala, imamo samo 1 sa ver. p 1 Za svako [ 2, 3), F()=p 2 +p 1 1 Za svako m, F()=1 1 2 0 m

Primer funkcije raspodele Ako je -6 <3,, tada je P[X ]={ω] { 2 2} }=1/6 Na osnovu toga možemo napisati izraz za funkciju raspodele i skicirati grafik. F( ) 0, 1/ 6, 2 / 6, 4 / 6, 5/ 6, 1, < 6, 6 < 3, 3 0 < 0, = 1 < 4, 4 < 5, 5. -6-3 0 4 5

F-ja raspodele sl. promenljiva Teorema. Za svaku f-ju koja ima osobine a-c, postoji sl. prom. kojoj je to f-ja raspodele. Ta sl. prom. je određena do na dog. verovatnoće nula (tj. ako su X i Y sl. prom. i F(t) ( ) f-ja raspodele i za X i za Y): ) F(t)=P(X<t) F(t)=P(Y<t), za svako t R, onda je P(X Y)=0 mogu da se razlikuju ali ti elementarni ishodi imaju verovatnoću nula: P{ω/ X(ω) Y(ω)}=0 Teorema. Pošto je f-ja neprekidna, ograničena i neopadajuća može imate najviše prebrojivo mnogo tačaka prekida prve vrste.

Zakon raspodele verovatnoća Zakon raspodele verovatnoća slučajne promenljive je pravilo po kome svakoj vrednosti slučajne promenljive pridružujemo odgovarajuću verovatnoću. Raspodela verovatnoća kao potpuna karakteristika postoji samo za diskretne slučajne promenljive. Za neprekidnu slučajnu promenljivu ne može se formirati raspodela verovatnoća, jer ima beskonačno mnogo vrednosti koje ispunjavaju neki interval (neprebrojiv skup vrednosti). Do univerzalne karakteristike kt tik za sl. prom. doći ćemo ako posmatramo verovatnoće dog. X, a ne X=. Funkcija je i naziva se funkcijom raspodele verovatnoća.

Računanje verovatnoće događaja Pomoću funkcije raspodele možemo računati verovatnoće događaja vezanih za posmatranu sl. prom. Pomoću f-je raspodele sl. prom. X možemo da izrazimo verovatnoću nejednakosti a <X b, a i b proizvoljni realni brojevi. P[a <X b]=f(b)-f(a) (*) Specijalno, iz (*) dobijamo P[X = a]=lim F()-F(a), a, >a To znači da ako je a tačka neprekidnosti funkcije F, tada P[X = a]=0

Jednakosti za f-ju raspodele Po definiciji: P[X b]=f(b) ] ( ) Važe i jednakosti: P[X b]=1-f(b)+ P[X = b] P[X > b]=1-f(b) Ako je F neprekidna u a, onda P[X > a]= P[X a]

Apsolutno neprekidne sluč. prom. Definicija. Neka je data sluč. promenljiva X. Ako postoji funkcija g(), R, sa svojstvima: 1. g() 0, 2. P[ X < ] = g ( t ) d t Tada je X apsolutno neprekidna slučajna promenljiva, a g() njena gustina raspodele. nenegativna integrabilna Definicija. Ako izvod funkcije raspodele slučajne promenljive X postoji i jednak je nuli skoro svuda, tada je X singularna slučajna promenljiva. Diskretna slučajna promenljiva nema gustinu raspodele.

Gustina raspodele Na osnovu osobina funkcije raspodele i uslova 2. prethodne definicije zaključujemo da gustina raspodele mora imati svojstvo: g( t)dt = 1 Ako je X ansp sa gustinom raspodele g() i funkcijom raspodele F(), tada je: 1 g ( ) = F'( ) b 2 P[ a X < b] = g( )d = F( b) F( a) a 3 P[ X = a] = 0 R a, b R a b

Gustina i funkcija raspodele F() = P[X < ] =P[- < X < ] F ( ) = g ( ) d g() F() 1 P[X < ] F()

Primer gustine i f-je raspodele Odrediti konstantu c tako da funkcija g(), R,, predstavlja gustinu raspodele, a zatim odrediti odgovarajuću funkciju raspodele, ako je: + 1, [ 1,0) g( ) = c, [0,2] 0, [ 1,2] Ako je g gustina raspodele sl. prom. X, odrediti verovatnoću P{X [0,1)}. [, Iz uslova g( t)dt = 1 c = 1 4

Primer gustine i f-je raspodele, nast. Za <-1,, važi F ( ) = 0d t = 0 Za -1 < 0, važi Za 0 < 2, važi 1 1 F( ) = 0dt + ( t 1 0 + 1)dt = ( + 1) 2 1 1 F ( ) = 0d t + ( t + 1)d t + d t = + 4 2 1 0 2 4 Za 2,, važi F( ) = 1 P{X (0,1]}=F(1)-F (0)=1/4

Primer gustine i f-je raspodele 1 Gustina raspodele 1 Funkcija raspodele 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 g() 0.5 F() 0.5 0.4 0.4 0.3 03 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5

Mešovite slučajne promenljive Imaju neprebrojivo mnogo vrednosti. Najviše prebrojivo mnogo vrednosti se postiže sa verovatnoćom različitom od nule. Ostalih neprebrojivo mnogo vrednosti se postiže sa verovatnoćom jednakom nula.