Tejlorova formula i primene

MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007

Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome 4 Tejlorova formula za proizvoʃnu funkciju 5 3 Asimptotska oznaka o i Ƭene primene 7 4 Oblici ostatka Tejlorove formule 8 5 Maklorenova formula 9 6 Tejlorov red 9 3 Primena Tejlorove formule 0 3 Aproksimacije u nekoj taqki 0 3 Maklorenov razvoj elementarnih funkcija 4 3 Razvoj funkcije f = sin 4 3 Razvoj funkcije f = cos 5 33 Razvoj funkcije f = arctg 6 34 Razvoj funkcije f = e 6 35 Razvoj funkcije f = + α 7 36 Razvoj funkcije f = ln + 7 37 Razvoj funkcije f = arcsin 8 38 Razvoj funkcije f = arccos 8 39 Razvoj funkcije f = tg 8 33 Pribliжna izraqunavaƭa 9 34 IzraqunavaƬe graniqnih vrednosti 35 NalaжeƬe kosih asimptota 7 36 IspitivaƬe konvergencije redova 9 Literatura 30

Uvod Postoje izvori da je Tejlorov razvoj otkriven jo u Indiji, u XIV veku Međutim nema saquvanih pismenih beleki tih radova Smatra se da su indijski matematiqari otkrili nekoliko Tejlorovih razvoja koji su specijalni sluqajevi, ukʃuquju i razvoje za trigonometrijske funkcije, sinus, kosinus, tangens, i arkustangens, ali samo nekoliko prvih stepena Takođe se pomiƭe, da su znali broj π i π, da aproksimiraju, pomo u 4 beskonaqnog racionalnog deʃeƭa Generalna ideja za nalaжeƭe razvoja za sve funkcije, za koje postoje, predstavʃena je u delu,,direktna i inverzna metoda prirataja, Methodus Incrementorum Directa et Inversa koje je objavio Bruk Tejlor 75 godine Danas ovi razvoji po Ƭemu nose ime, i Maklorenu, ƫutnovom 3 uqeniku i prijateʃu, koji je svoje objavio u delu,,rasprava o fluksu Treatise of Fluions 74 godine Tejlor je svoje razvoje koristio za integraciju nekih diferencijalnih jednaqina Znaqaj ovih razvoja nije u potpunosti shva en sve dok ih Ojler 4 nije primenio u diferencijalnom raqunu Tejlorova forula je snaжan alat za reavaƭe mnogih problema, uglavnom onih iz matematiqke analize, ali i numeriqke CiƩ ovog maturskog rada je da prezentuje samo neke primere primene Tejlorove formule u analizi, a i u realnom жivotu i to one koje se oslaƭaju na znaƭe koje se moжe ste i u sredƭoj koli U prvoj polovini rada paжƭa je posve ena Tejlorovoj formuli i drugim teorijskim pitaƭima koja su vezana za Ƭu, i koje je potrebno imati na umu pri reavaƭu zadataka Polako naqin obrazlagaƭa postaje sve vie okrenut problemima, qije bi reavaƭe bilo veoma teko bez Tejlorove formule i koji ustvari i ilustruju pravu snagu Tejlorove formule B Taylor 685-73, engleski matematiqar C Maclaurin 698-746, kotski matematiqar 3 I Newton 643-77, engleski matematiqar i fiziqar 4 L Euler 707-783, vajcarski matematiqar 3

Tejlorova formula Jo u radovima ƫutna i Lajbnica 5 prilikom uvođeƭa izvoda i diferencijala, znamo da leжi ideja o aproksimaciji, i to linearnoj, nekoj vrsti zamene date funkcije linearnom funkcijom u okolini neke taqke Tako je samo definisaƭe izvoda bilo motivisano potrebom uvođeƭa tangente grafika linearne funkcije za datu funkciju u datoj taqki Prirodno je postaviti pitaƭe moжe li se funkcija f, koja ima vie izvoda u taqki a, ili Ƭenoj okolini, aproksimirati polinomom vieg stepena od jedan Takođe ciʃ te aproksimacije je da greka bude to je mogu e maƭa Odgovor na ovo pitaƭe daje Tejlorova formula Tejlorova formula za polinome Neka je P = c n n + c n n + c n n + + c + c + c 0, c 0,c,,c n R Nađimo sada izvode ovog polinoma, sve do n tog, pa u funkciji od Ƭih izrazimo koeficijente P = c n n + c n n + c n n + + c + c + c 0 P0 = c 0 c 0 = P0 0! P = nc n n + n c n n + + 3c 3 + c + c P 0 = c c = P 0! P = nn c n n + + 6c 3 + c P 0 =!c c = P 0! P = nn n c n n 3 + + 6c 3 P 0 = 3!c 3 c 3 = P 0 3! P n = n!c n P n 0 = n!c n c n = P n 0 n! Na kraju kada koeficijente zamenimo u funkciji od izvoda, dobijamo P = P n 0 n! n + P n 0 n! n + + P 0! + P 0! + P0 0! Sada polinom P predstavimo u obliku P = A n a n + A n a n + A n a n + + A a + A a + A 0, gde a R i a = Z, i Z R Takođe imamo da je, P = PZ 5 G W Leibnitz 646-76, nemaqki matematiqar i filozof 4

Zatim ponovo odredimo koeficijente u funkciji od izvoda pa zamenimo u prethodnu formulu, A 0 = P0 0! A = P 0! A = P 0! A n = P n 0 n! PZ = Pa + Z P0 = Pa A 0 = Pa 0! P Z = P a + Z P 0 = P a A = P a! P Z = P a + Z P 0 = P a A = P a P n Z = P n a + Z P n 0 = P n a A n = P n a, n!! i na kraju dobijamo, T n,a = Pa + P a! a + P a! a + + P n a n! a n + P n a a n n! Dobijeni polinom naziva se Tejlorovim polinomom n tog stepena, polinoma P u taqki a Tejlorova formula za proizvoʃnu funkciju Teorema Neka je funkcija f definisana i neprekidna zajedno sa svojih n izvoda na odseqku [a,] pri qemu moжe biti a < i a > i neka u intervalu a,, ili,a ima n + vi izvod Tada, pod tim uslovima vaжi Tejlorova formula: f = T n,a + R n,a, tj postoji taqka c a,, odnosno c, a takva da je R n,a = f T n,a = fn+ c n +! an+, gde je T n,a Tejlorov polinom pridruжen funkciji f u taqki = a, a R n,a tzv ostatak ili greka aproksimacije f = T n,a + fn+ c n +! an+ 5

Dokaz Neka je, a < Posmatrajmo pomo nu funkciju φ : [a,] R datu sa [ = f φt = f T n,t tn+ λ = n +! ] ft + f t t + + fn t t n n! tn+ λ n +! Parametar λ R izaberemo tako da funkcija φ zadovoʃava uslove za primenu Rolove 6 teoreme na odseqku [a,], odnosno λ tako da je: φ = f T n,a an+ λ = R n,a n +! φa = 0 an+ λ = 0 n +! Funkcija φt je oqigledno neprekidna na [a,], a unutar intervala a, ima izvod φ t = [f t f t + tf t tf t + tn f n t + n! = ] tn f n+ t + n! tn λ f n+ t n! t f t + tn λ = n! IspuƬeni su svi uslovi Rolove teoreme, pa dobijamo da postoji broj c a,, takav da je φ c = 0, tj na kraju dobijamo c n λ f n+ c = 0 λ = f n+ c, n! R n,a = fn+ c n +! an+, to je trebalo i dokazati 6 M Rolle 65-79, francuski matematiqar 6

3 Asimptotska oznaka o i Ƭene primene Kada se upoređuje ponaaƭe neke funkcije u okolini neke fiksne taqke konaqne ili beskonaqne, u kojoj sama funkcija ne mora biti definisana, sa ponaaƭem neke druge obiqno jednostavnije funkcije, kaжemo da se ispituje asimptotsko ponaaƭe prve funkcije u okolini te taqke Definicija Kaжemo da je funkcija f beskonaqno mala u odnosu na funkciju g kada a i piemo f = og a ako postoji okolina U taqke a, takva da je f = αg za U, a, gde je α beskonaqno mala funkcija kada a Oznaka qita se kao,,f je malo o od g kad a Specijalno, ako su f i g beskonaqno male kada teжi a, kaжemo da je f beskonaqno mala vieg reda u odnosu na g, a Teorema Neka su funkcije f i g definisane u nekoj okolini taqke a Tada je: f og = ofg a; of + of = of a; 3 oof = of a Pre nego to dokaжemo ove relacije, treba precizirati smisao nekih od Ƭih Prema definiciji of a nije oznaka za jednu funkciju, ve za skup svih onih funkcija koje su beskonaqno male u odnosu na f kad a u tom smislu treba shvatiti relaciju, ona praktiqno znaqi da je zbir dveju funkcija, beskonaqno malih u odnosu na f kad a, ponovo beskonaqno mala funkcija u odnosu na f kad a To ujedno znaqi da se ralacije u kojima se pojavʃuje simbol o ne smeju qitati,,zdesna ulevo Vaжi = o 0, ali naravno nema smisla napisati o = 0, jer ima mnogo drugih funkcija koje su,,malo o od kad 0 Dokaz Treba da dokaжemo da ako je h neka funkcija koja je beskonaqno mala u odnosu na g kad a, tada je proizvod fh beskonaqno mala u odnosu na fg kad a Ako je h = og a, onda je u nekoj okolini taqke a ispuƭeno h = αg, gde je α beskonaqno mala kad a Tada je fh = αfg pa je zaista fh = ofg a, to je i trebalo dokazati Neka je g = of i g = of a Tada je g = β f i g = β f, gde β,β 0 a, pa je g + g = β + β f, gde β + β 0 a, to znaqi da je i g + g = of a 3 Neka je g = oof kad a To znaqi da je g = oh a, gde je h proizvoʃna funkcija oblika h = of a, tj h = βf za neku beskonaqno malu funkciju β a Onda je g = γh = γβf gde γ 0 a, pa i γβ 0 a, to znaqi da je g = of a 7

4 Oblici ostatka Tejlorove formule Smisao Tejlorove formule je da se funkcija aproksimira polinomom Ostatak je, ustvari, greka te aproksimacije Kao to se vidi iz oblika ostatka, aproksimacija je utoliko boʃa ukoliko je taqka bliжa taqki a U tom smislu, ovo je lokalna aproksimacija, tj moжe da se koristi u dovoʃno maloj okolini taqke a Za dato i fiksno, pod određenim uslovima, greka aproksimacije se smaƭuje sa pove aƭem n Prema tome, Tejlorov polinom vieg stepena boʃe aproksimira funkciju od polinoma maƭeg stepena Ilustraciju prethodnog, pokazuju primeri sa graficima u delu 3 Ve pomenuti oblik ostatka naziva se Lagranжov 7 ostatak R n,a = fn+ c n +! an+, Lagranжov ostatak se qesto pie i u drugom obliku, ako stavimo da je c = a + θ a, gde je 0 < θ <, dobijamo R n,a = an+ f n+ a + θ a, n +! a ako jo dodamo j = a, j R konaqno dobijamo R n,a = jn+ n +! fn+ a + θj Ako u Lagranжov ostatak stavimo da je p = n +, p N, dobijamo slede e p a c n+ R n,a = f n+ c c p n! Ovaj oblik se naziva Xlemilh 8 -Roov 9 Ako stavimo p =, c = a + θ a, 0 < θ <, dobijamo Koijev 0 oblik ostatka R n,a = an+ θ n f n+ a + θ a n! Qesto se koristi i Peanov oblik ostatka R n,a = o a n, a qija vrednost zapravo i ne moжe da se izraquna Ovaj oblik ostatka se koristi kada nije ni potrebno da se on izraquna, nego je jednostavno potrebno da se pri nekim raqunaƭima u nekim zadacima naglasi da je ostatak beskonaqno mala veliqina Najvie emo ga koristiti pri raqunaƭu nekih graniqnih vrednosti, ili asimptota funkcija 7 J L Lagrange 736-83, francuski matematiqar 8 O Schlömilch 83-90, nemaqki matematiqar 9 E Roche 80-883, francuski matematiqar 0 A L Cauchy 789-857, francuski matematiqar G Peano 858-93, italijanski matematiqar 8

Peanov oblik ostatka zapravo ukazuje na to da vaжi R n,a a a n = 0 Teorema 3 Za ma koju funkciju R za koju je R n a = R na = R na = = R n n a = 0 vaжi a R n a n = 0 Dokaz Dokaжimo tvrđeƭe matematiqkom indukcijom Baza, n =, R a = R a = 0, R R treba da vaжi = 0, primenimo Lopitalovo pravilo i dobijamo a = 0 a a a Indukcijski korak, pretpostavimo da tvrđeƭe vaжi za n = k, tj kada je R k a = R k R k a = R k a = Rk k a = 0 da vaжi = 0 Dokaжimo da kada je a a k R k+ a = R k+ R k+ a = R k+ a = Rk k+ a = Rk+ k+ a = 0, da je = 0 a a k+ Lagranжova teorema primeƭena na funkciju R k+ na segmentu [a,], daje R k+ R k+ a = R k+c a, a < c < Kako je c a < a i R k+ a = 0, dobijamo da je R k+ = R k+c a = o a k a = o a k+, a, to je i trebalo dokazati 5 Maklorenova formula Dobila je ime po kotskom matematiqaru Maklorenu koji je prvi koristio u svom radu Maklorenova formula je specijalan sluqaj Tejlorove formule, to je Tejlorova formula kada je a = 0, tj razvoj Tejlorove formule u okolini nule f = T n,0 + R n,0 Maklorenova formula je zanimʃiva iz razloga to neke funkcije imaju neformalno govore i jednostavne izvode u nuli tako da se qesto dobija jednostavna formula - laka za kori eƭe, izvođeƭe i pam eƭe Svi pomenuti oblici ostataka Tejlorove formule su aktuelni i ovde i bi e kori eni kasnije zajedno sa Maklorenovom formulom 6 Tejlorov red Definicija Neka funkcija f ima u taqki = a konaqan n ti izvod f n za svaki prirodan broj n Beskonaqan red + k=0 f k a a k k! zove se Tejlorov red koji odgovra funkciji f u taqki a 9

3 Primena Tejlorove formule 3 Aproksimacije u nekoj taqki Primer Odrediti Tejlorov polinom tre eg stepena kojim se funkcija f = ln aproksimira u taqki = ReeƬe Odredimo prva tri izvoda funkcije f = ln, a zatim izraqunajmo vrednosti dobijenih izvoda u taqki =, f = ln f = 0 f = ln + f = f = ln + + = ln + 3 f = 3 f = f = Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3, = f + f! + f! + f 3 + o 3 = 3! = + 3 + 3 3 + o 3 Primer Aproksimirati funkciju f = e Tejlorovim polinomom tre eg stepena u taqki = ReeƬe Izraqunamo prva tri izvoda funkcije f = e, a zatim odredimo vrednosti dobijenih izvoda u taqki =, f = e f = 4e f = e e = e f = 0 f = e e = e 4 + f = e f = e 4 + + e 4 = e + 6 6 f = e Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3, = + f! + f! + f 3 + o 3 = 3! = 4e + 0 e + + e 6 3 + o 3 = = 4e e + 3e 3 + o 3 0

Primer 3 Odrediti Tejlorov polinom tre eg stepena funkcije f = sin u taqki = π ReeƬe Izraqunamo prva tri izvoda funkcije f = sin, a zatim odredimo vrednosti dobijenih izvoda u taqki = π, π f = sin f = π π f = sin + cos f = π f = cos sin f = π π f = 3sin cos f = 3 Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, π π π π f T 3, π = f + π f + π f +!! 3! = π + π π + = π 4 π π 3 + 3! π π 3 + o π 3 = π 3 + o π 3 = 3 + o π 3 Primer 4 Aproksimirati funkciju f = ln + sin Tejlorovim polinomom tre eg stepena u taqki = π ReeƬe Odredimo prva tri izvoda funkcije f = ln + sin, a zatim izraqunajmo vrednosti dobijenih izvoda u taqki = π, f = ln + sin fπ = 0 f = cos + sin f π = f = sin + sin cos + sin = sin sin cos + sin = = sin + + sin = + sin f π = f cos = + sin f π = Sada dobijene vrednosti izvoda zamenimo u Tejlorov polinom tre eg stepena, T 3,π = fπ + f π! π + f π! π + f π π 3 + o π 3 = 3! = π π 6 π3 + o π 3

Primer 5 Na i Maklorenov razvoj petog stepena funkcije f = + + + ReeƬe Uvedemo smenu t = +, imamo da je f = + + + = 3 + + = 3 t = 3 t + t t 3 + ot 3 DaƩe je t = + 4 3 + o 3, t 3 = 3 + o 3, ot 3 = o 3, gde smo koristili razvoj za t i t 3 do tre eg stepena Zamenom ovih izraza dobijamo f = 3 + + 4 3 3 + o 3 = = 3 + 3 3 + 3 4 9 5 + o 5 Primer 6 Funkciju f = tg razviti u okolini nule do qlana sa 5 ReeƬe Primenom razvoja funkcije sin i cos dobijamo tg = sin cos = 3 6 + 5 0 + o5 + 4 4 + o5 Drugi faktor se daʃe moжe razviti primenom smene t = + 4 4, + 4 4 + o5 = t = + t + t = + + 54 4 + o4 Prema tome, tg = 3 6 + 5 0 + o5 + + 54 4 + o4 = + 3 5 3 5 + o5 0 y Primer 7 Na slici je data aproksimacija trigonometrijske funkcije f = sin4 cos Maklorenovim polinomom devetog stetpena Vidimo da se ove funkcije, f i Maklorenov polinom T 9 poklapaju na ve em delu intervala,, to je dovoʃno velika okolina taqke = 0 4 3 0 3 sin4 cos T 9 Sl

Primer 8 Ovde je prikazana aproksimacija funkcije f =, Tejlorovim polinomom drugog i petog stepena u taqki = Aproksimacija je utoliko boʃa ukoliko + je taqka bliжa taqki a Takođe, Tejlorov polinom vieg stepena boʃe aproksimira funkciju od Tejlorovog polinoma maƭeg stepena Ma slici levo smo funkciju f = + aproksimirali Tejlorovim polinomom drugog stepena T, dok na slici 3 desno Tejlorovim polinomom petog stepena T 5, vidimo da je ova druga aproksimacija boʃa Takođe se prime uje da su obe aproksimacije dobre u okolini taqke M, y 5 4 3 T 5 y 5 4 3 5 + 4 3 M 0 3 4 5 5 4 + 3 M 0 3 4 5 3 3 T 4 5 Sl 4 5 Sl 3 3

3 Maklorenov razvoj nekih elementarnih funkcija 3 Razvoj funkcije f = sin Nađimo nekoliko prvih izvoda funkcije f = sin f = cos = sin + π f = sin = sin + π f = cos = sin + 3π f = sin = sin + π = sin Sada uopteno za n ti izvod dobijamo slede e f n = f 4k+ = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + f 4k+ = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + f 4k+3 = sin + 3π = sin + 3π + kπ za n = 4k + 3 f 4k+4 = sin + π = sin + π + kπ za n = 4k + 4 daʃe je f n = pa je f 4k+ = sin + π + kπ = sin + 4k + π f 4k+ = sin + π + kπ = sin + 4k + π f 4k+3 = sin + 3π + kπ = sin + 4k + 3 π f 4k+4 = sin + π + kπ = sin + 4k + 4 π f n = sin + n π = sin + n π = sin + n π = sin + n π = sin + n π Sada nađimo vrednosti izvoda u taqki = 0 f n 0 = π f 4k+ 0 = sin = za n = 4k + f 4k+ 0 = sinπ = 0 za n = 4k + 3π f 4k+3 0 = sin = za n = 4k + 3 f 4k+4 0 = sinπ = 0 za n = 4k + 4 Dakle, Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = sin glasi sin = 3 3! + 5 5! 7 7! + + n n n! + on 4

3 Razvoj funkcije f = cos Nađimo nekoliko prvih izvoda funkcije f = cos f = sin = cos + π f = cos = cos + π f = sin = cos + 3π f = cos = cos + π = cos Sada uopteno za n ti izvod dobijamo slede e f n = f 4k+ = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + f 4k+ = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + f 4k+3 = cos + 3π = cos + 3π + kπ za n = 4k + 3 f 4k+4 = cos + π = cos + π + kπ za n = 4k + 4 daʃe je f n = pa je f 4k+ = cos + π + kπ = cos + 4k + π f 4k+ = cos + π + kπ = cos + 4k + π f 4k+3 = cos + 3π + kπ = cos + 4k + 3 π f 4k+4 = cos + π + kπ = cos + 4k + 4 π f n = cos + n π = cos + n π = cos + n π = cos + n π = cos + n π Sada nađimo vrednosti izvoda u taqki = 0 f n 0 = π f 4k+ 0 = cos = 0 za n = 4k + f 4k+ 0 = cos π = za n = 4k + 3π f 4k+3 0 = cos = 0 za n = 4k + 3 f 4k+4 0 = cos π = za n = 4k + 4 Pa Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = cos izgleda ovako cos =! + 4 4! 6 n + + n 6! n! + on+ 5

33 Razvoj funkcije f = arctg Odredimo Ƭene izvode u taqki = 0 Iz f = prema Lajbnicovoj formuli, za n je + sledi f + =, R, a odakle sledi + f n+ + nf n + nn f n = 0, f n+ 0 = nn f n 0 Kako je f0 = 0,f 0 =, dobijamo Sada je f n 0 = { 0, za n = k, k N, k k!, za n = k +, k N {0} f =! 3! 3 + 4! 5! 5 + + k k! k +! k+ + o k+, konaqno dobijamo Maklorenov polinom n tog stepena za funkciju f = arctg arctg = 3 3 + 5 5 + + k k + k+ + o k+ 34 Razvoj funkcije e Poznato je za funkciju f = e, da je f n = e, za svako n N Zato je za n N {0}, f n 0 = Pa dobijamo da Maklorenov polinom n tog stepena funkcije f = e izgleda ovako e = + +! + 3 n + + 3! n! + n n! + on 6

35 Razvoj funkcije f = + α Posmatrajmo ovu funkciju za α R\N i odredimo Ƭene izvode u taqki = 0 Dobijamo f = α + α f 0 = α f = αα + α f 0 = αα f = αα α + α f 0 = αα α f n = αα α n + + α n f 0 = αα α n + αα α n + Izraz a n =, podse a na poznati binomni koeficijent Usvojeno je n! α da se i u ovom sluqaju, i kada α nije prirodan broj, pie oznaka Dakle Maklorenov n polinom n tog stepena funkcije f = + α se moжe napisati na ovaj naqin + α = + α + α + + α n + o n n 36 Razvoj funkcije f = ln + Data funkcija je definisana za > Nađimo sada n ti izvod ove funkcije u taqki = 0 Iz f = + sledi f + =, a prema Lajbnicovoj formuli, za n je pa je za = 0 f n+ + = nf n, f n+ 0 = nf n 0 Kako je f 0 =, dobijamo daʃe f 0 =, f 0 =,, pa moжemo zakʃuqiti da je f n 0 = n n! Sada dobijamo da Maklorenov polinom n tog stepena funkcije f = ln + izgleda ovako ln + = + 3 n + n 3 n + on 7

37 Razvoj funkcije f = tg tg = n k= B k 4 k 4 k k + o k = k! = + 3 3 + 5 5 + + B n 4 n 4 n n + o n n! 38 Razvoj funkcije f = arcsin arcsin = n k=0 k! 4 k k! k + n+ + o n+ = = + 6 3 + 3 n! 40 5 + + 4 n n! n + n+ + o n+ arcsin = n 0 n!! n+ n!!n + 39 Razvoj funkcije f = arccos arccos = π n k=0 k! 4 k k! k + n+ + o n+ = = π 6 3 3 n! 40 5 4 n n! n + n+ + o n+ 8

33 Pribliжna izraqunavaƭa Kako je smisao primene Tejlorove formule aproksimacija funkcije polinomom, od interesa je poznavaƭe greke te aproksimacije Naravno, taqna vrednost greke je nepoznata, ali se ona moжe proceniti, polaze i od Lagranжovog ili Koijevog oblika ostatka Na primer, ako posmatramo Maklorenovu formulu sa ostatkom u Lagranжovom obliku, ciʃ procene greke je da se nađe gorƭa granica za R n = f n+ θ n+ n +!, gde ima datu vrednost ili pripada datoj okolini nule i gde je θ 0, Kod procene greke se obiqno koriste najjednostavnije nejednakosti, traжeƭem,,najgoreg sluqaja u kome oba faktora dostiжu maksimalnu apsolutnu vrednost Stoga je stvarna greka uglavnom znatno maƭa od proceƭene Primer Odrediti stepen Maklorenovog polinoma funkcije e koji omogu ava izraqunavaƭe e za,5 s taqno u 0 3 ReeƬe Neka je R n ostatak Maklorenovog polinoma Treba na i n, za koje je R n = f n+ c n +! n+ < 0 3, tj treba da vaжi e n +! n+ < 0 3, pa dobijamo 0 4 n+ < n+! Ova nejednakost je ispuƭena za najmaƭe n = 0 Primer Za koje vrednosti vaжi pribliжna formula cos grekom koja je maƭa od 0 4? sa apsolutnom ReeƬe Iz Maklorenove formule nalazimo da je cos = + cos θ 4 4, θ 0, Greka date pribliжne formule je R n 4, odakle se vidi da je traжeni uslov ispuƭen za one vrednosti za koje 4 je 4 4 0 4 tj 4 4 0 4 0, Dobijeni rezultat je izraжen u radijanima, kada izrazimo u stepenima nalazimo da je 9

Primer 3 Izraqunati 3 8 sa grekom koja nije ve a od 0 4 ReeƬe Ovaj zadatak moжemo da reimo na vie naqina, ali najlaki je slede i Izvrimo transformaciju 3 8 = 7 3 + = 3 3 + 7 7 = 3 + 3 7 Pribliжna vrednost za 3 8 moжe se, prema tome, dobiti iz Maklorenovog razvoja funkcije f = 3 + 3, za =, daʃe dobijamo 7 3 8 = 3 + 3 + /3 + + /3 /3 n + 3 + c n 3 n+ n n + Primetimo da je maksimalna vrednost ostatka jednaka za = c =, pa je 7 /3 R n = 3 + n 3 n+ < 0 4 n + 7 7 NajmaƬe n za koje je nejednakost ispuƭena je n =, sada na kraju dobijamo 3 8 3 + 7 87 3,03658 Primer 4 Primenom Tejlorove formule izraqunati sin 9 sa grekom ne ve om od 0 5 ReeƬe Iskoristimo Tejlorov razvoj funkcije sin u okolini nule, tj Makloreno razvoj Znamo da je gde je sin = 3 3! + 5 5! 7 7! + + n n n! + R, R = n cos θ n+ n +!, θ 0, U ovim formulama je = 9 = π Ne treba zaboraviti da se stepeni pretvaraju u 0 radijane! Nepoznati broj n određujemo iz uslova da maksimalna apsolutna vrednost ostatka R nije ve a od 0 5 Pa dobijamo da mora vaжiti π 0 n+ n +! < 0 5 IzraqunavaƬem leve strane dobijamo da nejednakost vaжi za najmaƭe n = Apsolutna vrednost greke tada je maƭa od 8 0 7, tako da je pomo u formule sin 9 π 0 π 3 3!, 0 sinus od 9 stepeni izraqunat sa zadataom taqno u u stvari, sa ve om taqno u od traжene Proverom na kalkulatoru, dobijamo da je sin 9 0,564344, dok je iz dobijene formule sin9 0,564336, to daje razliku taqno od 8 0 7 0

Primer 5 Kao to smo ve videli Maklorenov polinom funkcije f = arctg, izgleda ovako arctg = 3 3 + 5 5 ++ k k + k+ +o k+ Kada u ovu formulu zamenimo =, dobijamo jednu zanimʃivu formulu odnosno arctg = 3 + 5 7 + + 9 = n n +, n= π 4 = 3 + 5 7 + 9 + = n n + Na ovaj naqin moжemo izraqunati vrednost π, odnosno π sa proizvoʃnom taqno u 4 n= Primer 6 Pokazati kako moжe da se izraquna broj e, i dokazati da je iracionalan ReeƬe Videli smo da Maklorenov razvoj funkcije e izgleda ovako e = + +! + 3 n + + 3! n! + n n! + eθ n +! n+ Kada u ovu formulu zamenimo =, dobijamo slede u zanimʃivu formulu e = + +! + 3! + + n! + n! + e θ n +! Ako se uzme dovoʃno veliko n, ovako se broj e moжe izraqunati sa proizvoʃnom taqno u Sada da dokaжemo da je broj e iracionalan Pretpostavimo suprotno, da je broj e racionalan broj, oblika m, m,n N i n Prema prethodnoj formuli imamo da n je n! e!! = R n n! n! Odakle je R n n! prirodan broj S druge strane, iz jednakosti R n = stavʃaju i θ = 0 i θ =, n +! < R 3 n < n +!, sada nejednakost pomnoжimo sa n!, pa je daʃe n + < n! R n < 3 n +, e θ n +! se dobija odakle sledi da je 0 < n!r n < Kontradikcija ZakƩuqak je da je broj e iracionalan Raqunari i kalkulatori izraqunavaju vrednosti funkcija npr sin,cos,ln,e, Ƭihovom aproksimacijom pomo u Tejlorove formule

34 IzraqunavaƬe graniqnih vrednosti Primer Izraqunati e sin + 3 ReeƬe Funkcije e i sin razvijemo do tre eg stepena MnoжeƬem, i zadrжavaƭem qlanova do 3 dobijamo, + +! + 3 3! + o3 3 3! + o3 3 SređivaƬem dobijenog izraza dobijamo konaqni rezultat, 3 + + = 3! 3 3! + 3 o3 3 = 3 + o3 3 = 3! + o3 3 3! 3 U ovom zadatku, kao i u sliqnim zadacima gde se primeƭuje Tejlorova formula, standardno pitaƭe je:,,kako znamo do kog stepena treba pisati Tejlorov razvoj? U stvari, to ne znamo unapred Ako je izraz oblika A B, tada B razvijamo do onog stepena posle kog bi ostali dodati sabirci pomnoжeni sa A, teжili nuli, odnosno kada imamo situaciju B, tada B razvijamo do stepena koji je A Xto je sliqno kao prethodni sluqaj, samo je A mnoжeƭe zameƭeno deʃeƭem cos + ln + Primer Odrediti 4 ReeƬe Prvo uprostimo malo es, pa emo dobiti, cos + ln + 4 DaƩe razvijemo funkcije cos i ln +, 4 4!! + o4 + 4 + o4 4 Jednostavnim mnoжeƭem i sređivaƭem dobijamo, 4 4! 4 4 + 5 4 o4 4 = 4! + o 4 4 = 5 4

Primer 3 Kori eƭem Maklorenovog razvoja na i cos cos 4 ReeƬe U ovakvim primerima treba voditi raquna ta prvo razvijamo Jedan put moжe da zakomplikuje stvari, pa treba izabrati pravi U ovom sluqaju prvo emo razviti kosinus sa argumentom, pa dobijamo, DaƩe je cos + o 4 4 8 + o4 4 cos = = 4 8 + o4 4 = 8 o 4 Primer 4 Odrediti realan parametar a tako da L = a ln + + konaqan Za nađeƭu vrednost parametra a na i graniqnu vrednost ReeƬe RazvijaƬem ln +, po, dobijamo ln + = + o, pa je, L = a + a + o a + Prvi qlan u zagradi,, teжi ka + Da bi graniqna vrednost bila konaqna mora negde da se pojavi sabirak, a to je mogu e ako i samo ako je a =, tj a = U tom sluqaju dobijamo L = + + o = bude Da bismo se uverili da je ovo jedino reeƭe, primetimo da je za a > qlan a dok je za a < qlan + Pa je prethodno reeƭe zaista jedinstveno +, Primer 5 Izraqunati vrednost tg sin ReeƬe Poznate razvoje tg = + 3 3 + o 4, sin = 6 3 + o 4, 0, uvrstimo u poqetnu graniqnu vrednost, i dobijamo krajƭi rezultat + 3 3 + o 4 6 3 + o 4 = 3 3 + o 4 = 6 3 + o 4 3

arcsin arcsin Primer 6 Uz pomo Maklorenovog razvoja odrediti 3 ReeƬe Razvijemo funkcije arcsin, do qlana 3, i zatim sredimo izraz DaƩe dobijamo konaqni rezultat, + 6 83 + o 4 + 6 3 + o 4 3 + o 4 3 = 3 = Primer 7 Izraqunati cos sin 3 ReeƬe Kada imamo ovakav zadatak, tj situaciju f g, uradi emo slede e e ln fg, pa sada odredimo tu graniqnu vrednost Primenom prethodnog dobijamo, Izraqunajmo sada esin ln cos 3 sin ln cos = sin ln + o = = 3 3! + o3 + o = 3 + o3 Sada dobijeni rezultat zamenimo na poqetku DaƩe je, 3 e + o3 3 3 + o3 = 3 = 3 + o3 3 = Primer 8 Odrediti vrednost π arccos ReeƬe Moжemo izvriti transformaciju ln π arccos π arccos = e Izraqunajmo sada novi es, imaju i u vidu da je pa dobijamo daʃe, ln π arccos arccos = π + o, ln + = + o, 0, = ln π + o = π + o = π Zamenom u poqetnu graniqnu vrednost, dobijamo rezultat π arccos = e π 4

+ tg + sin Primer 9 Kori eƭem Tejlorove formule izraqunati 3 ReeƬe Prvo emo razviti funkcije tg i sin, a zatim korene, + = + + 3 + o 4 + 6 3 + o 4 3 = + 6 3 + o 4 + 3 3 + o 4 3 Sada jednostavnim sređivaƭem dobijamo krajƭi rezultat, 6 3 + 3 + o 4 3 = 4 3 + o 4 3 = 4 Primer 0 Izraqunati graniqnu vrednost ln + tg ReeƬe Kada proirimo na zajedniqki imenilac dobijamo tg ln + ln + tg Sada iskoristimo poznate razvoje funkcija tg i ln +, daʃe je, + o + o = + o ln + tg + o + o = Primer Odrediti vrednost esa + 3 3 + 3 ReeƬe Kada +, ili, obiqno se koristi Maklorenov razvoj, pa dati es treba malo transformisati, i razviti po qlanu U ovom primeru, iz korena izvuqemo pa zatim razvijemo po qlanovima 3 i Sada je + + 3 3 = + + 3 3 + o SređivaƬem dobijenog, konaqno dobijamo rezultat, + + o = + o 5

Primer Primenom Tejlorove formule, izraqunati sinsin 3 5 ReeƬe Koriste i poznate razvoje, imamo, kad 0 sinsin = sin 6 sin3 + 0 sin5 + o 5 = = 6 3 + 0 5 + o 5 3 6 6 3 + o 3 + 0 + o5 StepenovaƬem i zadrжavaƭem qlanova do 5 u prethodnoj jednakosti, dobijamo DaƩe je 3 = + /3 sinsin = 3 3 + 0 5 + o 5 + /3 + o 4 Zamenom dobijenih rezultata u poqetni es, dobijemo sinsin 3 5 = = 3 3 + 0 5 + o 5 0 5 + 9 5 + o 5 9 5 = 90 5 + o 5 5 = 9 90 = 3 3 9 5 + o 5 3 3 9 5 + o 5 5 = Tejlorova formula ima ogromnu primenu kod izraqunavaƭa graniqnih vrednosti, kao to su i prethodni primeri to ilustrovali Mnogi od ovih primera ne moжe da se ree elementarnim putem, tj raznim transformacijama Neki esi su mogli da se odrede primenom Lopitalovog pravila, ali taj put je daleko teжi, i zahteva dosta raqunaƭa, i dobrog snalaжeƭa sa izvodima G F A de I Hospital 66-704, francuski matematiqar 6

35 NalaжeƬe kosih asimptota NalaжeƬe kosih asimptota, se svodi na raqunaƭe graniqne vrednosti funkcije kada + ili, u zavisnosti od domena funkcije Tada se obiqno vri razvoj po qlanu, dok su pre toga izvrene maƭe transformacije, i sređivaƭa Primer Izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = + 3 + 3 3 ReeƬe Izvu i emo iz korena, i zatim izvriti razvoj po qlanu f = + 3 + 3 3 + = + 3 + + 3 = + 3 + + 3 + + 3 4 9 + o = + 4 9 + o [ + 3 9 ] 4 + o = Dakle, kosa asimptota grafika date funkcije je prava y = +, i to i za + i za Dodatni qlan 4 9 govori o tome da li se grafik nalazi,,ispod ili,,iznad dobijene asimptote Ako je qlan pozitivan, grafik je,,iznad, a ako je negativan, grafik je,,ispod dobijene asimptote Primer Izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = arctg ReeƬe Iskoristimo poznati razvoj za funkciju arctg, daʃe je f = 3 3 + o 4 = 3 + o 3 ZakƩuqujemo da je prava y = obostrana horizontalna asimptota Kada i + grafik je,,ispod asimptote Primer 3 Na i kose asimptote ako postoje funkcije f = e ReeƬe Poto je e = + + e i + =, pa datu funkciju + moжemo napisati kao f = e, za + Posmatramo samo za +, jer za funkcija nije definisana Sada je, f = + + + o = + + 3 + o Prava y = + nije kosa asimptota, jer postoji qlan, a = +, pa je zakʃuqak + da data funkcija nema kosih asimptota 7

Primer 4 Primenom Maklorenovog razvoja izraqunati kose asimptote ako postoje funkcije f = sin + + e ReeƬe Grupiemo sabirke na slede i naqin, f = + sin + e, i zatim razvijemo funkcije sin i e, + + o + 6 3 o 3 SređivaƬem izraza dobijamo, = + + o 6 o = 6 + o Sledi da je prava y = obostrana horizontalna asimptota, kada, grafik je,,iznad asimptote, a za +, grafik je,,ispod asimptote + Primer 5 Odrediti kose asimptote ako postoje funkcije f = e ReeƬe Zapiemo funkciju kao f = + e Zatim razvijemo eksponencijalnu funkciju, po, daʃe je f = + + + o 3 Za imamo da je f = + + + o 3, kada sredimo, dobijamo f = + 3 + o Za + imamo da je f = + + + o 3, kada sredimo, dobijamo f = + 3 + o Prava y =, je leva kosa asimptota, i grafik je,,ispod asimptote, a prava y = +, je desna kosa asimptota, i grafik je takođe,,ispod asimptote Vidimo da Tejlorova formula moжe da se upotrebi i kod izraqunavaƭa kosih asimptota funkcije Kod ispitivaƭa funkcija, ovakav naqin qesto dosta olaka posao, jer moжe da se dogodi, da esi preko kojih određujemo koeficijente budu komplikovani, i teki za izraqunavaƭe U ovom sluqaju, imamo jo dodatni tre i sabirak koji pomaжe da vidimo da li je grafik,,ispod, ili,,iznad asimptote, to moжe da sluжi kao pomo za proveru nekih drugih rezultata da li su taqni 8

36 IspitivaƬe konvergencije redova Primer Ispitati konvergenciju reda n, ako je > 0, n+ = 3 n sin n n= ReeƬe Imamo da je n+ = 3 n n + 3 n 6 + o3 n = n 3 + o n Po Dalemberovom 3 kriterijumu je = 6 n+ n, pa je red konvergentan 3 n 6 Primer Ispitati konvergenciju reda n α sin n β ln n +, α R, β > 0 n n= ReeƬe Kako je a n = n α sin n β ln n + n α sin n n β ln + n α β n n =, dobijamo nβ α+ da je red konvergentan ako i samo ako je β α + >, tj β > α Primer 3 Ispitati konvergenciju reda ReeƬe Kako je cos n a n = cos n ln p n n ln p n = = Primer 4 Ispitati konvergenciju reda ReeƬe a n+ a n = n + o n n n +! n+ n + α n +! n! n cos n ln p n n= n + o n = n + o n, pa je n nln p Dobijamo da red konvergira ako i samo ako je p > n = n α n! + α + o n n= n! n n α n! n + n α n + α n + n + = + + α+ = n n n = + n α + n n n Po Gausovom 4 kriterijumu red konvergira ako i samo ako je α > 3 n + Primer 5 Neka je a n = n + n + + n + c n Odrediti c tako da red a n konvergira ReeƬe RacionalisaƬem, dobijamo a n = n + n + n + c n = n + n + n + c n = n + n + n 8n + α n 3 + o n 3 + c n = + 3 8n + α n +o n + c n = 8c + 3 + α n n + o n Red konvergira ako i samo ako je 8c + 3 = 0, tj c = 8 3 J le R D Alambert 77-783, francuski matematiqar 4 C F Gauss 777-855, nemaqki matematiqar n= 9

Literatura [] Z Kadelburg, V Mi i, S OgƬanovi : Analiza sa algebrom 4, tre e dopuƭeno izdaƭe,,krug, Beograd 003 [] M Merkle, Matematiqka analiza, teorija i hiʃadu zadataka,,akademska misao, Beograd 005 [3] V Balti : Tejlorov i Maklorenov polinom, Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Beograd 004 [4] Z Kadelburg, V Mi i, S OgƬanovi : Analiza sa algebrom 3, tre e dopuƭeno izdaƭe,,krug, Beograd 003 [5] D Adnađevi, Z Kadelburg: Matematiqka analiza I, esto izdaƭe, Matematiqki fakultet, Beograd 003 [6] Qasopis,,Tangenta, Drutvo matematiqara Srbije, Kragujevac-Beograd [7] Elektronski materijal: http://wwwmathworldwolframcom [8] Elektronski materijal: http://wwwenwikipediacom 30