Neprekinute slu cajne varijable

5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble kojim je skup vrijednosti intervl (ogrni cen ili ne) u skupu relnih brojev Tkve slu cjne vrijble mogu poprimiti svku vrijednost unutr tog intervl S obzirom d mogućih vrijednosti im neprebrojivo mnogo, vjerojtnost relizcije svke od njih redovito će biti jednk nuli Po tome se ovkve slu cjne vrijble rzlikuju od diskretnih, gdje je tkv vjerojtnost bil pozitivn broj Pri prou cvnju neprekinutih slu cjnih vrijbli koristimo se prtom mtemti cke nlize Nizove brojev koji zdju rzdiobu zmijenit će reln funkcij, umjesto sum koristit ćemo tehnike integrlnog i diferencijlnog r cun Posebice, efiksno sredstvo u teorijskom i prkti cnom pogledu cinit će Fourierov i Lplceov trnsformcij Slu cjn vrijbl Zpo cnimo s definicijom, koj se minimlno rzlikuje od definicije diskretne slu cjne vrijble, u sebi uklju cuje i tu vrstu slu cjnih vrijbli Slu cjne vrijble i funkcij rzdiobe Nek je (, F, P ) vjerojtnosni prostor Preslikvnje X : R nzivmo slu cjn vrijbl kojezsvki R skup A = { : X( ) < } dog dj, dkle element lgebre F Skup { : X( ) < } ozn cvt ćemo krće s {X < } Funkcij rzdiobe slu cjne vrijble X je funkcij F : R [, ] definirn formulom F() := P ({X < }) (5)

5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Funkcij rzdiobe (i njezin derivcij) bit će njv zniji pojm vezn uz slu cjnu vrijblu Poznvnjem funkcije rzdiobe, mo zemo u potpunosti opisti pripdnu slu cjnu vrijblu Upoznjmo se odmh s osnovnim svojstvim funkcije rzdiobe Funkcij rzdiobe Teorem 5 Nek je F funkcij rzdiobe slu cjne vrijble X On posjeduje svojstv: P ({ X < })=F( ) F( ), F je neopdjuć: < = F( ) F( ), lim F() =, lim F() =, F je neprekinut slijev: F( ) := lim F( ) =F(), R Dokz Nek je < Ond vrijedi F( )=P ({X < })=P ({X < } { X < }) = P ({X < })+P ({ X < }) = F( )+P ({ X < }) Nek je ponovo < Kko vrijedi {X < } {X < }, tvrdnj slijedi zbog monotonosti vjerojtnosti Nek je ( n ) po volji odbrn pdjući niz relnih brojev, lim n n = Ozn cimo A n = {X < n } Ond su A n pdjući skupovi: A A i vrijedi n= A n = Zto je, zbog svojstv neprekinutosti vjerojtnosti, lim F() = lim F( n)= lim P (A n)= n n Drug se tvrdnj dokzuje n isti n cin Tvrdnj ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojtnosti Nime, ko je ( n ) niz pozitivnih brojev koji opd prem nuli, ond je s A n = {X < n } definirn rstući niz skupov z koji vrijedi n= A n = {X < } p tvrdnj slijedi zbog neprekinutosti vjerojtnosti: F( ) =lim F( ) = lim F( n) n = lim P (A n)=p (A) =F(), R n

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE Sl 5 Grf funkcij rzdiob nekih slu cjnih vrijbli Koj se svojstv tih vrijbli mogu o citti iz ovog grf? Primjer 5 Slu cjn vrijbl X uzim vrijednosti,, s vjerojtnostim,, redom Odredimo funkciju rzdiobe vrijble X i ncrtjmo njezin grf Ako je, td dog dj {X < } im vjerojtnost te je F() =z tkve Z < vrijedi Z < vrijedi P (X < ) =P (X = ) = itd Tko dobivmo P (X < ) =P (X = )+P (X = ) = + = F() =,,, <,, <,, < b r y 6 b b r r Sl 5 Općenito, funkcij rzdiobe diskretne slu cjne vrijble s zkonom ( ) X p p p je stepenst funkcij s skokovim u to ckm,, Iznosi skokov su vjerojtnosti p, p,

5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Sl 5 Grf funkcije rzdiobe diskretne slu cjne vrijble je stepenst funkcij U to ckm prekid neprekinut je slijev Iznos skokov jednk je vjerojtnosti s kojom slu cjn vrijbl poprim vrijednost u toj to cki Neprekinute slu cjne vrijble Upoznt ćemo sd drugu v znu klsu slu cjnih vrijbli Neprekinute slu cjne vrijble Gustoć rzdiobe Z slu cjnu vrijblu X k zemo d je neprekinut (kontinuirn) ko postoji nenegtivn funkcij f : R R tkv d vrijedi F() = f (t)dt (5) Funkcij f nziv se gustoć rzdiobe vjerojtnosti slu cjne vrijble X On nije nu zno neprekinut, no u to ckm neprekinutosti od f vrijedi f () = df() d (5) Dkko, funkcij rzdiobe neprekinute slu cjne vrijble je i sm neprekinut, jer je to funkcij gornje grnice integrl Zto vrijedi P (X = ) = F(+) F() = z svki R Stog su i svi dogdji { < X < }, { X < }, { < X }, { X } jednko vjerojtni Njihov se vjerojtnost r cun n n cin P ( < X < )=F( ) F( )= Funkcij gustoće pozitivn je funkcij s integrlom f (t)dt (5) f ()d = (55) Slik prikzuje neku funkciju rzdiobe i pripdnu gustoću

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 5 Sl 5 Rzlik vrijednosti funkcije rzdiobe jednk je vjerojtnosti d slu cjn vrijbl X poprimi vrijednost u tom intervlu Kod funkcije gustoće t je vjerojtnost predo cen povr sinom ispod grf funkcije Znmo d je funkcij rzdiobe neopdjuć funkcij s vrijednostim unutr intervl [, ] Stog ćemo neke formule zpisivti u skrćenom obliku Tko npr umjesto zpis pist ćemo krtko F() =,,, < <,,, F() =, < <, jerjetdnu zno F() =z if() =z Tko der, ko gustoću rzdiobe definirmo nekom formulom z [, b],td smtrmo d je vn tog intervl po definiciji jednk nuli N koncu, ko je funkcij F ili f definirn nekom formulom bez nznke podru cj definicije, td će to redovito biti citv R Jednolik rzdiob Opi simo sd jednostvnu, li vrlo v znu rzdiobu Prisjetimo se situcije koju smo imli kd je podru cje vrijednosti slu cjne vrijble S = {,, n }, bio diskretn skup Slu cjn vrijbl, koj je popriml vrijednosti unutr S s jednkim vjerojtnostim, opisivl je pokus birnj n sreću element skup S Td je vjerojtnost njezine relizcije bil P (X = k )=,zsvki k =,,n n Jsno je d povećnjem broj element u skupu S ove vjerojtnosti te ze k nuli Ako je n primjer S skup prirodnih brojev, mo zemo postviti pitnje: postoji li lgoritm kojim bi, s jednkom vjerojtno sću, birli neki prirodni broj Odgovor n ovo v zno pitnje je negtivn, tkv lgoritm ne postoji Nime, jsno je d bi vjerojtnost izbor svkog prirodnog broj morl biti jednk nuli, p je zbog svojstv ditivnosti vjerojtnosti P i vjerojtnost izbor bilo kojeg podskup skup prirodnih brojev jednk nuli Pretpostvimo sd d je skup S intervl [, b] To ck unutr tog intervl im beskon cno (neprebrojivo) mnogo Zmislimo postupk odbir n sreću nekog broj unutr tog intervl

6 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE N sreću odbrni broj Jednolik rzdiob K zemo d birmo n sreću broj unutr intervl [, b] ko je vjerojtnost d će on biti izbrn unutr nekog podintervl proporcionln duljini tog podintervl Z slu cjnu vrijblu koj uzim vrijednost ovko izbrnog broj k zemo d im jednoliku (uniformnu) rzdiobu n intervlu [, b] Nek X ozn cv tu slu cjnu vrijblu Prem definiciji, mor biti F() F() =P ( X < ) =K( ) X uzim vrijednost unutr intervl [, b] Zto je Odredimo njezinu funkciju rzdiobe P {X < } = = F(), = P { X < b} = F(b) F() =K(b ), i odvde je K = Tko dobivmo: b Jednolik rzdiob, lterntivn de nicij, rzdiob i gustoć Z slu cjnu vrijblu X k zemo d je jednoliko (uniformno) distribuirn n intervlu [, b], ko je zdn funkcijom rzdiobe odnosno funkcijom gustoće: F() =, b, b f () =, b b Pi semo X U(, b) Grfovi funkcije gustoće i pripdne funkcije rzdiobe izgledju ovko: b 6 f b 6 F Sl 55 Funkcij rzdiobe jednolike rzdiobe je fin n intervlu [, b] Gustoć jednolike rzdiobe konstntn je n tom intervlu Odtle i ime rzdiobi b

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 7 Primjer 5 Dvije to cke odbrne su n sreću unutr du zine duljine Definirjmo slu cjnu vrijblu Z ko udljenost me du njim Odredi funkciju rzdiobe vrijble Z Izbor dviju to ck i y unutr intervl [, ] ekvivlentn je izboru jedne to cke (, y) unutr kvdrt [, ] [, ] Vrijednost koju slu cjn vrijbl Z poprim, jednk je Z = y Vrijbl Z uzim vrijednosti iz intervl [, ] Pritom je z < z z < y < + z Zto će nejednkost y < z biti ispunjen kd se odbere to ck (, y) unutr podru cj G z Ztoje F(z) =P {Z < z} = m(g z )=z z, z Nezvisnost slu cjnih vrijbli 6y G z z Sl 56 y=+z y= z Pojm nezvisnosti slu cjnih vrijbli upoznli smo z vrijble diskretnog tip Tko smo ukzli i n kriterij nezvisnosti koji se provjerv preko mrginlnih rzdiob slu cjnog vektor Anlogne definicije i tvrdnje vrijedit će i z općenite slu cjne vrijble O tome će biti vi se rije ci u nstvku Z sd, zdovoljit ćemo se definicijom nezvisnosti, kriterije i dodtn svojstv mormo odlo ziti do poglvlj o slu cjnim vektorim De nicij nezvisnosti K zemo d su slu cjne vrijble X i Y nezvisne, ukoliko z sve intervle A, B iz skup R vrijedi P (X A, Y B) =P (X A)P (Y B) O cekivnje i disperzij Nek je X neprekinut s gustoćom f Njezino o cekivnje definir se n n cin E(X) = f()d (56) Ako ovj neprvi integrl ne konvergir, o cekivnje ne postoji Ozn cimo = E(X) Disperzij D(X) slu cjne vrijble X r cun se uz pomoć formul: D(X) =E[(X ) ]=E(X ) Dkle D(X) = ( ) f ()d = f ()d (57) Od svojstv o cekivnj i disperzije izdvojit ćemo smo njv znij:

8 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Svojstv o cekivnj i disperzije Z sve slu cjne vrijble X, Y i relne brojeve s, t vrijedi E(sX + ty) = se(x)+ te(y) (svojstvo linernosti o cekivnj) Z disperziju pk vrijedi Ako su X i Y nezvisne, ond vrijedi D(sX) =s D(X) E(XY) =E(X)E(Y), D(X + Y) =D(X)+D(Y) Ov ćemo svojstv dokzti nkndno Primjer 5 (Jednolik rzdiob) Izr cunjmo o cekivnje i disperziju jednolike rzdiobe Promotrit ćemo njprije, jednostvnosti rdi, jednoliku rzdiobu n intervlu [, ] Z nju je gustoć f () =,pimmo E(X) = D(X) = d = =, d = = = Ako Y im jednoliku rzdiobu n intervlu [, b],tdslu cjn vrijbl X = Y b im jednoliku rzdiobu n intervlu [, ] Obrtno, ko X im jednoliku rzdiobu n [, ], ond Y =(b )X + im jednoliku rzdiobu n intervlu [, b] O cekivnje ove slu cjne vrijble je E(Y) =E[(b )X + ] =(b )E(X)+ =(b ) + = + b, njezin disperzij D(Y) =D[(b )X + ] =(b ) D(X) = (b )

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 9 Primjer 5 N sreću odbiremo to cku T unutr kvdrt strnice Nek je vrijednost slu cjne vrijble X njmnj od udljenosti te to cke do strnic kvdrt Odredimo funkciju rzdiobe i o cekivnje od X G Sl 57 Odredimo njprije funkciju rzdiobe: F() =P {X < } = P {T G } = m(g ) m(s) = ( ) =, Gustoć rzdiobe je f () =, te o cekivnje iznosi E(X) = ( )d = Primjer 55 To cksebirnsreću unutr polukrug polumjer r Nek je X udljenost to cke do promjer Odredimo o cekivnje vrijble X Uovomprimjerunećemo r cunti funkciju rzdiobe, veććemo gustoću odrediti n temelju veze: f () =F () = lim F( + ) F() = lim P ( < X < + ) Z mle vrijedi stog f () = P ( < X < + ) = m( S) m(s) = r r Sl 58 Pri r cunnju povr sine S, prugu debljine mo zemo proksimirti prvokutnikom iste debljine Pritom je u cinjen pogre sk veli cine ( ), koj u limesu ne utje ce n funkciju f () @C +Δ r S ΔS Odvde dobivmo funkciju gustoće: f () = r r, r Sd mo zemo izr cunti o cekivnje: E(X) = r r r d = r r r d(r )= r

5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE RiemnnStieltjesov integrl Nek je F : R R monotono rstuć funkcij, neprekinut slijev Nek je g : [, b] R ogrni cen Izberimo bilo koju prticiju P = {,,, n } intervl [, b], = < << n = b Definirjmo integrlnu sumu n S(P, g, F) = g( i )[F( i ) F( i )] Ozn cimo s = m i i, i= RiemnnStieltjesov integrl, de nicij K zemo d je g RiemnnStieltjes integrbiln u odnosu n F, ko postoji limes integrlnih sum, neovisno o izboru prticije i to ck i [ i, i ] Tj limes nzivmo RiemnnStieltjesov integrl, ozn cvmo n sljedeći n cin: g()df() := lim S(P, g, F) Primijetimo d z F() = RiemnnStieltjesov integrl postje Riemnnov integrl Sd ćemo dovesti u vezu RiemnnStieltjesov i klsi cni Riemnnov integrl, z siroku klsu funkcij F v znih u primjenm Nek je F po dijelovim konstntn n intervlu [, b], s skokom iznos p u to cki c unutr tog intervl: { r, c F() = r + p, > c Izr cunjmo g()df(), z neku funkciju g, neprekinutu n intervlu [, b] Sl 59 Z bilo koju prticiju vrijedi F( i ) F( i )= z svki indeks i osim z onj z koji je i c < i, jer je funkcij F konstntn lijevo i desno od to cke c Zto

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE u integrlnoj sumi ostje smo jedn cln: S(P, g, F) =g( i )[F( i ) F( i )] = g( i ) p U limesu, kd,to ck i te zi k c Ztoje g()df() =g(c) p Općenito, ko F im skokove iznos p i uto ckm c i, z njezin Riemnn Stieltjesov integrl vrijedi n g()df() = g(c i ) p i Nek je sd F neprekinuto diferencijbiln funkcij Td, po teoremu srednje vrijednosti immo F( i ) F( i )=F ( i )( i i ),znekuto cku i i, i Integrln sum glsi n g( i )F ( i )( i i ) i= Limes ove integrlne sume o cito definir Riemnnov integrl i= g()f ()d RiemnnStieltjesov integrl, n cin r cunnj Ako F im skokove iznos p i uto ckm c i, z njezin RiemnnStieltjesov integrl vrijedi n g()df() = g(c i ) p i Ako je F neprekinuto diferencijbiln funkcij, ond vrijedi g()df() = i= g()f ()d Prem tome, kori stenjem RiemnnStieltjesovog integrl mi ćemo istovremeno pokrivti obje v zne klse slu cjnih vrijbli, diskretne i neprekinute slu cjne vrijble Tko, n primjer, o cekivnje neke slu cjne vrijble mo zemo izrziti formulom disperziju D(X) = Integrli su RiemnnStieltjesovi E(X) = df(), df() E(X)

5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Primjer 56 Izr cunj o cekivnje slu cjne vrijble cij je funkcij rzdiobe zdn slikom: 6 F q Sl 5 Funkcij rzdiobe glsi,,, <, F() = +, <,, F im skokove iznos E(X) = Krkteristi cn funkcij = = uto ckm = i = Zto je df() F ()d + + d + + d + = 5 q F ()d + Svkoj slu cjnoj vrijbli X mo zemo pridru ziti krkteristi cnu funkciju To je funkcij relnog rgument s kompleksnim vrijednostim, : R C zdn formulom (t) := E(e itx )= e it df() (58) Osnovn svojstv krkteristi cne funkcije su Krkteristi cn funkcij jednozn cno odre duje rzdiobu: dvije rzli cite rzdiobe ne mogu imti istu krkteristi cnu funkciju Ako su X,,X n nezvisne, td je Vrijedi formul X ++X n (t) = X (t) Xn (t) (59) E(X r )= (r) () i r, r =,, (5)

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE ukoliko o cekivnje postoji Specijlno, E(X) = i (), D(X) = ()+ () (5) Ako je X krkteristi cn funkcij vrijble X, td vrijbl Y = + bx im krkteristi cnu funkciju e it X (bt) Primjer 57 Odredimo krkteristi cnu funkciju slu cjne vrijble jednoliko distribuirne n intervlu [, b] Gustoć ove rzdiobe je f () =, b Stog b (t) = e it f ()d = e it b d = eibt e it (b )it Uslu cju simetri cnog intervl [, ], krkteristi cn funkcij postje reln: (t) = eit e it ( + )it = sin t t Ako je X neprekinut slu cjn vrijbl, s gustoćom f, td njezin krkteristi cn funkcij iznosi (t) = e it f ()d (5) To je uprvo Fourierov trnsformcij funkcije f Stog će, ukoliko zdovoljv uvjet (t) dt <, vrijediti formul inverzije f () = (t)e it dt (5) Primjer 58 Odredi funkciju gustoće rzdiobe odredene krkteristi cnom funkcijom (t) =e t, t R Ov je funkcij psolutno integrbiln, stog će gustoć biti odreden formulom inverzije (5) f () = e it (t)dt = e it e t dt = ( ) e it e t dt + e it e t dt = ( e ( i+)t i + + e( i )t ) i = ( i + + ) = i + ( + ) Rzdiob s ovom gustoćom nziv se Cuchyjev rzdiob Zbog jedinstvenosti, zklju cujemo d je t e t krkteristi cn funkcij te rzdiobe

5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Lplceov trnsformcij Krkteristi cn je funkcij Fourierov trnsformcij gustoće Pri izboru trnsformcije gustoć pozitivne slu cjne vrijble, mo zemo koristiti i Lplceovu trnsformciju Ako je F funkcij rzdiobe pozitivne slu cjne vrijble X, ond je njezin LplceStieltjesov trnsformt f (s) =E(e sx )= e s df() (5) Ako je X neprekinut s gustoćom f, ond je f uobi cjeni Lplceov trnsformt funkcije f : f (s) = e s f ()d (55) Ako je pk X diskretn slu cjn vrijbl koj uzim vrijednosti u skupu {,,,}, td LplceStieltjesov trnsformt glsi f (s) = e sk p k = X (e s ) (56) k= Dkle, u ovom se slu cju Lplceov trnsformt podudr s funkcijom izvodnice u kojoj je rgument z zmijenjen s e s Derivcijom integrl po prmetru dobivmo d ds f (s) = ( )e s df() d ds f (s) = ( ) e s df() d n ds n f (s) = Odvde, stvljjući s =, slijedi E(X n )= ( ) n e s df() n df() =( ) n dn f (s) ds n (57) s= Singulrne slu cjne vrijble Do sd smo promtrli diskretne i neprekinute slu cjne vrijble Spomenimo d uz njih postoji i treć kls tzv singulrnih slu cjnih vrijbli, cij je funkcij rzdiobe neprekinut, no nemju gustoće Tkv se funkcij ne mo ze npisti u obliku f (t)dt Klsu singulrnih slu cjnih vrijbli ne susrećemo u primjenm, jer se njihov funkcij rzdiobe ne mo ze eksplicitno izrziti slu zeći se smo ogrni cenim brojem elementrnih funkcij (isklju cimo li grni cne procese) Definirjmo n intervlu [, ] funkciju F () F () = z F () = F () = F je neprekinut i fin n intervlim (, ), (, )

5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 5 Grf funkcije F ncrtn je n slici: 6 F Sl 5 U drugom korku svki od intervl [, ], [, ] podijelimo n tri dijel i definirmo neprekinutu funkciju F :, [ 9, 9 ], F () = F () = F () =, [, ],, [ 7 9, 8 9 ] N ostlim intervlim definirmo F d bude neprekinut i fin: 6 F 9 9 9 Sl 5 Nstvimo ovj postupk Niz funkcij {F n } te zit će k funkciji F koj je neprekinut, neopdjuć, s vrijednostim u [, ] Pritom je F() =, F() = i F predstvlj funkciju rzdiobe neke slu cjne vrijble Derivcij funkcije F jednk je nuli svugdje gdje je F konstntn Duljin tkvih intervl se z svku funkciju F n povećv i iznosi + 9 + 7 + = = tj F () = skoro svud i F se ne mo ze npisti u obliku postoji gustoć ove rzdiobe 6 9 7 9 8 9 f (t)dt Stog ne Svk se funkcij rzdiobe F mo ze npisti u obliku F = p F + p F + p F, gdje je p k, p + p + p =, F, F, F su redom funkcije rzdiob diskretne, neprekinute i singulrne slu cjne vrijble