Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre tegrâd um î umte pucte (de eemplu se cuosc vlorle ucțe î pucte pe z uor măsurător epermetle. Petru rezolvre prolemelor euțte se pot utlz următorele metode de tegrre umercă: Metode de tegrre clsce de tp Newto-Côtes (metod trpezelor metod Smpso Metode de tegrre geerlzte de tp Newto-Côtes (metod trpezelor geerlztă metod Smpso geerlztă Metode de tegrre de tp Romerg Metode de tegrre clsce de tp Guss. Metode de tegrre de tp Newto-Cotes Se cosderă ucț promre umercă vlor tegrle :[ ] R cotuă pe tervlul [] petru cre se dorește ( d tuc câd tegrl u pote drect = clcullă su ucț este cuoscută dor î cele pucte dstcte dcă î odurle [ ] y = ( =... ceste stuț d crcterstce ș plcțlor d ger electrcă. Se utlzeză promre ucțe ( pr polome de terpolre de tp Lgrge ( L ( R ( = puctele dte î tervlul [] d ecdstte cu psul de dscretzre = prmul ș ultmul puct corespuzâd cpetelor tervlulu [] = < < <... < < = k = k =. Formul de cudrtură (tegrre umercă Newto-Côtes este: ( ( ξ( = (d L (d R (d ( l( d ( = d = = = (! ude: ξ este u puct termedr d cel m mc tervl cre coțe odurle ș ( [ ] ξ petru orce. ~~... d (
Î coture se vor cosder czurle î cre ormulele se deduc utlzâd ucțle Lgrge de terpolre de ordul (ormul trpezulu ș de ordul (ormul lu Smpso cu odurle ecdstte. Aceste ormule u ost umte de Gutsc c ș c de ăte tegrăr umerce ele ăcâdu-ș orte e tre tuc câd tervlul de tegrre este mărgt ș tegrdul este eprolemtc. Metod de tegrre trpezelor Formul clscă trpezelor rezultă pr prtculrzre ce m smplă versu clsce metode Newto-Côtes petru =. Dec este o plcțe drectă terpolăr lre Lgrge î două pucte. Se cuoște ucț î două odur = ( ( ș se dorește clculul promtv l tegrle dete = = ( ( d terpolre Lgrge dcă scrd ucț ( L ( R ( ormul trpezulu este: ude: ( ( ( ( L utlzâd polomul lr de =. Dec tegrl clcultă cu ( d = L d R d Trpez Trpez Erore = < ξ < = restul ș polomul de terpolre Lgrge de ordul sut: ' ' ( ξ R ( = ( (! Trpez = l = = = = ( ( ( ( ( L Dec tegrâd polomul Lgrge ș restul se oțe ormul trpezulu: Trpez ( ( d = [ ( ( ] ( = ''( ξ Dcă estă M> stel îcât ''( M petru orce [ ] Metod trpezelor geerlztă Erore Trpez ( Erore Trpez tuc re loc relț: ( ( (4 M ( 6 Petru creștere precze clcululu tervlul [] pote dvzt î sutervle egle: =... = < < < < < = = = = > pe cre se plcă repett ormul trpezulu dcă: ( ( d d (6 = Dec plcâd ormul trpezulu pe sutervle se oțe ormul trpezulu geerlztă petru = = r geometrc îsemă că ucț ( s- promt cu segmete de ~~
dreptă ître două odur succesve de scse dcă tegrl rezultă pr îsumre rlor tuturor celor trpeze cre se ormeză ître puctele ș. Dec ormul trpezelor geerlztă cu ξ ( TrpezGe ~~ este: = = ( ( d = ( ( ( ( Dcă estă M> stel îcât ''( M petru orce [ ] metod geerlztă: Metod de tegrre Smpso Erore TrpezGe ( '' Erore TrpezGe ( ξ (7 tuc erore petru M = M (8 Formul clscă lu Smpso rezultă pr prtculrzre versu geerle metode Newto-Côtes petru =. Se cuosc vlorle ucțe ( î tre odur ecdstte: = = c = = ( ( ( (9 ( = = = c = c = r polomul de terpolre Lgrge de ord do este cel cu cre se promeză ucț de su tegrl detă ( L ( R ( ude L =. Dec tegrl detă v : ( ( ( ( L ( d = L d R d Smpso Smso Erore = < ξ < = restul ș polomul de terpolre Lgrge de ord sut: R ( = ' ' ' ( ( ( c( = ( c( ( ξ! Smpso ( ( c( ( ( ( c ( c ( ( c ( ( c ( = l ( ( c ( = = = Dec ormul lu Smpso se v scre: Smpso ( = ( d = ( ( ( 6 ( ξ ( 4 ( c ( ''' 88 Dcă estă M> stel îcât '''( M petru orce [ ] Erore Smpso ( EroreSmpso tuc re loc relț: ( ( ( M ( 88 Metod de tegrre geerlztă lu Smpso pe perec de sutervle Formul geerlztă lu Smpso repreztă plcre repettă ormule clsce lu Smpso pe m sutervle de lugme oțute pr dvzre tervlulu [] î =m părț
egle dete de puctele = î cre se cuosc vlorle ucțe (. Cele m sutervle de orm [ ] =... m ( cu = = ș psul de dscretzre =. Aplcâd petru ecre sutervl ormul clscă lu Smpso se oțe: m m ( ( ( 4 SmpsoGe( = d ( ( m 4 ( k ( k ( ξ 4 (4 6m k = Dcă presupuem că estă M4> stel îcât re loc relț: Erore SmpsoGe k = 88 m Erore Smpso ( 4 ( M 4 petru orce [ ] ( Dervre umercă ztă pe polomul de terpolre Lgrge Dervt ucțe î puctul este: ' tuc M ( 4 4 88 m ( ( ( = lm Acestă ormulă e dă o promțe dervte ucțe pr clculre termeulu ( ( petru vlor le lu orte mc dr cest mod de clcul l dervte comportă eror mr de clcul. Specc ceste metode este îlocure dervtelor ucțe :[ ] R (dervlă pe [] ș căror vlor y = sut cuoscute î odurle de terpolre... d [ ] cu ( cele le polomulu de terpolre cu cre se promeză ucț. De regulă se promeză dervtele î puctele... (6 (odur î cre vlore ucțe este cuoscută dr se pot utlz ș petru lte pucte d tervlul []. Petru oțe ormule de dervre geerle promtve se presupu odur dstcte... îtr-u tervl ș ucț C ( vem: petru ξ ( ( l ( ( R ( = l ( ( ș coorm ormule de terpolre Lgrge ( ( (... ( = k k k k ( ξ ( (7 k = k =!. Dervâd epres ucțe este: ' ( (...( (! d ( [ ( ξ ( ] d ( ( (...! ( ( ξ ( d d ( d( lk ( = = ( k d k = d d (8 ~4~
Apr proleme legte de estmre eror de trucere dtortă ecuoșter termeulu ( [ ( ξ ( ] d. Î cest scop se lege c d uul dtre odurle î cre ucț se cuoște d r ormul deve: ' ( ( d( l ( ( ( k ξ = ( k k = d (! k = ( k l' k (ormul de promre dervte petru pucte ( k Oservțe: Formul de promre dervte petru tre pucte de evlure deve orte utlă dcă ele sut ecdstte: = = se oț ormule petru promre dervte î puctul : '( = [ ( 4 ( ( ] '''( ξ ( ude: < ξ < ude: ' < < ξ ' ( [ ( ( ] '' ( ξ (9 = ( 6 Deș erorle î mele ormule de m sus sut de ordul O( totuș erore î relț două este promtv umătte d erore trodusă de prm relțe. Ast petru că relț dou utlzeză dte d mele părț lu ș prm relțe um dtr-o prte. Fucț treue evlută um î două pucte dcă se utlzeză relț dou ș dcă se utlzeză prm relțe ucț treue evlută î tre pucte. Apromre dervte utlzâd prm ormulă se utlzeză î propere cpetelor tervlulu petru că ormțle reertore l î r tervlulu u sut cuoscute. Dervre umercă utlzâd dezvoltre î sere Tylor Metod permte promre vlorlor dervtelor ucțe î puctele [ ] cre vlore ucțe este cuoscută. Se cosderă cele pucte ecdstte ecdstț ître odur estâd petru czul α= dcă psul de dscretzre este = î = α =. Pord de l dezvoltre î sere Tylor ucțe î urul puctulu ș eglâd terme cre urmeză după cel cre coțe dervt de ord ( dmte dervte cel puț pâă l ordul se oțe: ( ( ' (! (! '' ( ( '''! R se eglez ( t t ( ( ~~
Dervd s prtculrzâd relț petru = ș = po scăzâd cele două relț oțute rezultă dervt de ordul '( r duâd relțle se determă dervt de ord ''( : ' ( [ ( ( ] '' ( [ ( ( ( ] = ( Î terpretre geometrcă pr cestă relțe petru clculul promtv l prme dervte ue ucț se promeză pt tgete î puctul l cur y=( cu pt corz ce uește puctele ( y ( y. Rezulttul petru dervt dou este um orettv el d ectt de eror mportte. Î prmul puct l domeulu petru = se olosește ormul de dervre: ' ( r î ultmul puct petru =: ' ( ( 4 ( ( = ( = ( 4 ( ( (4 Îsă ceste ormule sut sesl m puț precse ș m puț udmetle decât ormul geerlă cest d ș motvul petru c î puctele etreme le domeulu să u se clculeze dervt dcă u este epărt ecesr (dcă u se cere î cocluz plcțe. Erore de trucere l clculul prme dervte ucțe î puctul de scsă se pote prec utlzâd dezvoltre î sere Tylor cu 4 terme: ude: < < ( '''( ξ '''( ξ ( '''( ξ Erore = = ( 6 '' ξ ''' ξ ξ. ' = ξ stel îcât ( ( ( Erore se mcșoreză odtă cu reducere psulu dcă derețe dtre scsele două odur cosecutve dr totuș pr mcșorre dstțe pote duce ș l reducere derețe ( ( cee ce r pute duce l creștere eror de roture. Dcă odurle u sut ecdstte dcă = α α se oțe: '( ''( ( α [ ( ( ] α( α [ α ( ( α ( ( ] Petru dervtele de ord m mre decât se procedeză semăător clculele d m complcte. De eemplu petru ordul se rețe î dezvoltre Tylor îcă u terme ș se oțe: '''( ( ( (6 (7 ( ( ~6~
Se oservă că tote relțle coț pucte lte de mele părț le lu d cetrle. Se pot deduce ș relț ulterle cre utlzeză pucte lte um de o prte su lt lu m puț precse decât cele cetrle. Dervre umercă pote geer eror mr dtortă mposltăț reducer psulu de dscretzre su o umtă vlore lmtă determtă eîțeles ș de erorle de roture. Dervre umercă este o operțe crtcă ș de cee este e să e evttă pe cât posl deorece cr dcă promt este uă u rezultă că dervt promte este o promțe uă dervte. Dec dervt polomulu de terpolre cre este pt tgete l grcul polomulu î puctul pote să dere cosderl î mărme de dervt ucțe pe cre o promeză. Aceste derețe cresc orte mult dcă dervtele sut de ord superor. Formulele de dervre umercă sut orte utle petru deducere uor metode umerce î specl petru ecuț derețle ordre ș ecuț cu dervte prțle. ~7~