16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno 5 6 + 1 ( )( 3) = A + B + C 3, (1) 5 6 + 1 = A( )( 3) + B( 3) + C( ). Koeficijente A, B, C možemo naći metodom neodred enih koeficijenata ili, što je jednostavnije, zamenom tri proizvoljne vrednosti za u jednakost (1). Ako stavimo = 0,, 3 neposredno nalazimo da je A = 1/6, B = 9/, C = 8/3, pa važi jednakost: 1 f() = 1 + 1 6 9 ( ) + 8 3( 3). 1.4.4. Eksponencijalna i logaritamska funkcija Ako je b > 0, eksponencijalna funkcija je preslikavanje b i definisano je za svako R. Broj b naziva se osnovom eksponencijalne funkcije. Isto kao kod stepene funkcije, ovde za sada imamo problema sa strogim definisanjem ove funkcije za slučaj kada nije racionalan broj. Aproksimacija iracionalnog broja svojim decimalnim razvojem sa konačno mnogo decimala može i ovde poslužiti kao primer rešavanja tog problema. Slika 4. Eksponencijalna funkcija za razne vrednosti osnove b. Eksponencijalna funkcija sa osnovom b > 1 je monotono rastuća na R, dok je eksponencijalna funkcija sa 0 < b < 1 monotono opadajuća. Ako je b = 1, onda je b = 1 za svako R. Za svako R i za svaku pozitivnu osnovu važi da je b > 0. U matematici i njenim primenama posebno je važna eksponencijalna funkcija sa osnovom e =.7188... Videćemo kasnije (primer 0) kako se broj e definiše 1 Iako (11) ne važi za = 0,, 3, relacija (1) je jednakost polinoma, pa mora da važi za svako R. Zato je dozvoljeno uvrstiti navedene vrednosti u (1).
1.4. REALNE FUNKCIJE 17 i izračunava. Za eksponencijalnu funkciju sa osnovom e koristi se i oznaka ep: = e = ep. Kako je eksponencijalna funkcija sa osnovom b 1 strogo monotona, ona ima inverznu funkciju to je logaritamska funkcija. Imamo da je = log b b =. Logaritamska funkcija se može definisati za svaku pozitivnu osnovu b 1; njen domen je interval (0,+ ). Ako je b > 1, ova funkcija je monotono rastuća, a za 0 < b < 1 je monotono opadajuća. Logaritam nije definisan za osnovu b = 1. Slika 5. Logaritamska funkcija za dve vrednosti osnove b. Logaritam za osnovu e naziva se prirodnim logaritmom i tradicionalno se obeležava sa ln. U novije vreme preovlad uje oznaka log (koja je ranije korišćena za logaritme za osnovu 10) i mi ćemo u daljem tekstu upotrebljavati isključivo tu oznaku: log ln log e. Nekoliko osobina logaritamske funkcije: log b = log b log b, log b a = alog b, log b = log c log c b. Iz navedenih osobina, kao specijalan, ali važan slučaj, dobija se 1 log b = log b. Eksponencijalna i logaritamska funkcija imaju posebnu ulogu u matematici, jer se pomoću njih mogu izraziti druge funkcije. Za stepenu funkciju na primer, imamo da je a = e a log (a > 0). U vezi sa eksponencijalnom funkcijom su tzv. hiperboličke funkcije: sinus hiperbolički, kosinus, tangens i kotangens hiperbolički. One se definišu na sledeći način:!
18 1. UVOD U ANALIZU sh = e e, ch = e + e th = e e e + e, cth = e + e e e Ove funkcije su dobile svoje nazive po izvesnoj analogiji sa trigonometrijskim funkcijama. Neposredno iz definicije može se videti da je ch sh = 1, sh (+) = shch +chsh, ch (+) = ch ch +shsh, a i ostale formule su po obliku iste ili slične odgovarajućim trigonometrijskim. Slika 6. Grafici hiperboličkih funkcija. Med utim, iako su formule analogne, hiperboličke funkcije po obliku grafika ne liče na odgovarajuće trigonometrijske. Nijedna od njih nije periodična, a funkcije sh, ch i cth su neograničene. Funkcija sh je monotono rastuća. Njena inverzna funkcija, area sinus hiperbolički, definiše se pomoću relacije = arsh = sh, R, R. Jednačina = sh = (e e )/ može se rešiti po, uvod enjem smene e = t. Tako se dobija da je arsh = log( + + 1). Funkcija ch nije monotona na R, ali je monotona na [0,+ ). Ako se potraži nenegativno rešenje jednačine = ch = (e + e )/, dobija se = arch = log( + 1), 1, 0. 1.4.5. Trigonometrijske funkcije strana 40, zadaci 87-99 Funkcije sin, cos, tg i ctg mogu se definisati za uglove trougla polazeći od geometrijskih činjenica, a zatim se periodično produžuju na celu realnu osu. Osnovni (najmanji) period funkcija sin i cos je π, a funkcije tg i ctg imaju osnovni period π. Jedinica mere ugla je radijan (180 = π rad). Neke karakteristične vrednosti funkcije sin su date u tabeli:
1.4. REALNE FUNKCIJE 19 = sin = tg -p - p/ p/ p -p - p/ p/ p = cos = ctg Slika 7. Grafici trigonometrijskih funkcija π/ π/3 π/4 π/6 sin 1 3/ / 1/ Navodimo osnovne trigonometrijske jednakosti: sin + cos = 1 cos( ± ) = cos cos sin sin, sin( ± ) = sin cos ± cos sin, tg ( ± ) = tg ± tg 1 tg tg. Ako u ovim formulama stavimo =, dobijamo sin = sin cos, cos = cos sin, tg = tg 1 tg. Funkcije polovine ugla se nalaze iz: sin 1 cos = ±, cos 1 + cos = ±, pri čemu se uzima znak + ili u zavisnosti od toga u kom se kvadrantu nalazi /. Iz Eulerove formule e i = cos + isin dobijaju se sledeće jednakosti: cos = ei + e i, sin = ei e i. i Pored pomenutih funkcija, definišu se i funkcije sekans i kosekans: sec = 1 cos, cosec = 1 sin.!
0 1. UVOD U ANALIZU Pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod: sin α + sinβ = sin α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β cos α β sin α β Navedene jednakosti mogu da se izvedu primenom Eulerove formule. Na primer, sin α + sin β = Im ( e iα + e iβ) = Im = Im = Im α+β (e i( + α β ) + e i( α+β α β ) ) )) (e i α+β ( e i α+β = sin α + β (e i α β + e α β i cos α β ) cos α β. Kombinacija koja nedostaje (sin α+cos β) svodi se na postojeće formule pomoću jednakosti sinα + cos β = sin α + sin( π β) = sin α β + π/ cos α + β π/. Pretvaranje proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir: sin α sinβ = 1 ( ) cos(α β) cos(α + β) sin α cos β = 1 ( ) sin(α + β) + sin(α β) cos α cos β = 1 ( ) cos(α + β) + cos(α β) Ove formule se izvode iz prethodnih ili obrnuto. Na primer, znajući da je sin α + sin β = sin α + β cos α β, smenom u = (α + β)/, v = (α β)/, imamo, čitajući unatrag: sin u cos v = sinα + sinβ = sin(u + v) + sin(u v).
1.4. REALNE FUNKCIJE 1 Pomoću jedne od trigonometrijskih funkcija mogu se izraziti i ostale (sa tačnošću do znaka): sin = t : cos = ± 1 t t, tg = sgn (cos ), 1 t cos = t : sin = ± 1 t 1 t, tg = sgn (sin ), t t tg = t : sin = sgn (cos ), cos = ± 1, 1 + t 1 + t tg t 1 t = t : sin =, cos = 1 + t 1 + t. U prve tri formule znak se odred uje prema tome u kom kvadrantu se nalazi. p/ p -1 1 = arcsin = arccos p/ -p/ -1 1 p = arctg = arcctg p/ -p/ Slika 8. Inverzne trigonometrijske funkcije Osnovne trigonometrijske funkcije su periodične i zato nemaju inverznu funkciju na skupu R. Na primer, jednačina (po ) sin = ima beskonačno mnogo rešenja za svako dato [ 1,1]. Med utim, ako tražimo rešenje ove jednačine samo na nekom od intervala dužine π na kome je funkcija sin monotona, dobićemo jedno i samo jedno rešenje za svako [ 1,1]. Ako se rešenje traži na segmentu [ π/,π/], dobija se funkcija arcsin : [ = arcsin = sin π, π ]. Na sličan način se definišu ostale inverzne trigonometrijske funkcije: = arccos = cos ( [0,π], = arctg = tg π, π ), = arcctg = ctg (0,π). Iz ovih definicija proizilazi da je, na primer, sin(arcsin ) =,