Prsteni neprekidnih funkcija

0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013.

Sadržaj 1 Uvod 3 1.1 Osnovne definicije i oznake........................ 3 1.2 Algebra.................................. 3 1.3 Topologija................................. 7 2 Ideali i z-filteri 17 2.1 Uvodna razmatranja........................... 17 2.2 z-ideali i prosti ideali........................... 20 2.3 Konvergencija z-filtera.......................... 22 3 Fiksni ideali. Kompaktni prostori 25 3.1 Uvodna razmatranja........................... 25 3.2 Slučaj kompaktnih prostora....................... 28 4 Ured enje količnik prstena 33 4.1 Uvodna razmatranja........................... 33 4.2 Realni i hiper-realni ideali........................ 36 4.3 Prostori ordinala............................. 38 5 Kompatifikacija Stoun-Čeha 43 5.1 Kompatifikacije.............................. 44 5.2 Kompatifikacija Stoun-Čeha....................... 50 6 Karakterizacija maksimalnih ideala 55 6.1 Slučaj prstena C (X)........................... 55 6.2 Slučaj prstena C(X)........................... 56 6.3 Ekstenzija f............................... 57 6.4 Strukturni prostori............................ 59 6.5 O p i prosti ideali............................. 60 1

2 SADRZ AJ

Glava 1 Uvod 1.1 Osnovne definicije i oznake Uvešćemo, najpre, neke osnovne definicije i oznake koje ćemo koristiti u radu. Za datu funkciju f : A B i S A, T B sa f[s] označavamo sliku skupa S tj. f[s] = {f(s) : s S}, dok sa f T označavamo inverznu sliku skupa T, tj. skup {a A : f(a) T }. Ako je T = {b} umesto f {b} pisaćemo f (b). Ukoliko je funkcija f bijekcija iz A na skup B onda ćemo njoj inverznu funkciju označavati sa f. Ako je B = R i f(a) 0 za svako a A, onda ćemo sa f 1 : A R označavati funkciju definisanu sa f 1 (a) = 1 za a A. Ako je r R sa r : A R f(a) označavaćemo konstatnu funkciju datu sa r(a) = r za svako a A. Neka je F neprazna familija skupova. F ima osobinu konačnog (prebojivog) preseka ako je presek proizvoljne konačne (prebrojive) podfamilije od F neprazan. U parcijalno ured enom skupu (A, ρ) simbolom a b označavaćemo supremum skupa {a, b}, ako postoji, tj. najmanji element skupa {x A : aρx bρx}. Takod e, a b označava infimum skupa {a, b}, ako on postoji, tj. najveći element skupa {x A : xρa xρb}. Kada postoje obe vrednosti i a b i a b za svako a, b A, kažemo da je A mrežno ured en skup. 1.2 Algebra U ovom radu pod pojmom prsten podrazumevaćemo isključivo komutativan prsten sa jedinicom. Neka je A prsten sa jedinicom 1. Element a prstena A je invertibilan ako ima multiplikativni inverz. Multiplikativni inverz elementa a označavaćemo sa a 1. Dakle a 1 a = aa 1 = 1. 1 Element a 0 prstena A je delitelj nule ako postoji b A \ {0} tako da je a b = 0, tj. b a = 0. Prsten je bez delitelja nule ako i samo ako za svaki a, b A 1 Zbog komutativnosti operacije dovoljno je posmatrati jednu od relacija a 1 a = 1 ili aa 1 = 1 3

4 GLAVA 1. UVOD iz ab = 0 sledi a = 0 ili b = 0. Za prsten bez delitelja nule kažemo da je integralni domen. 2 Neprazan podskup I A odred uje ideal u A ako i samo ako je I pravi potprsten od A takav da za svaki a I i svaki x A element ax pripada I. 3 U skladu sa ovim dogovorom, ideal prstena A ne može sadržati nijedan invertibilan element prstena. Homomorfizam iz prstena A u prsten B je svako preslikavanje f iz skupa A u skup B tako da za svaki a 1, a 2 A važi: f(a 1 + a 2 ) = f(a 1 ) + f(a 2 ) i f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). Jezgro homomorfizma f označavamo sa Ker(f); Ker(f) = f (0 B ), gde je 0 B nula prstena B. Ako je f nenula homomorfizam, onda je Ker(f) ideal u A. Ako je I ideal u A, onda je I jezgro prirodnog epimorfizma iz prstena A na količnik prsten A/I. 4 Ako je I jezgro homomorfizma iz A na B, tada je prsten A/I izomorfan sa prstenom B. Presek bilo koje neprazne familije ideala prstena A je ideal u A. Ideal P prstena A je prost ako za svaki a, b A iz ab P sledi a P ili b P. Ideal P je prost u A ako i samo ako je A/P integralni domen. Ideal M prstena A je maksimalan u A ako ne postoji ideal K u A takav da je M pravi podskup od K. M je maksimalan ako i samo ako je A/M polje. Svaki maksimalni ideal je prost. Za ideal I prstena A i element a A definišemo (I, a) = {i + xa : i I, x A}. Dakle ako je a I, onda je (I, a) = I. Ako ideal I nije maksimalan u A, onda je (I, a) najmanji ideal prstena A koji sadrži dati ideal I (jer je A komutativan prsten sa jedinicom). Ako je I maksimalan ideal i a I, onda je (I, a) = A. U tom slučaju 1 (I, a), pa je 1 = xa + i za neki x A i i I; pišemo 1 xa (mod I). Ako je (P, ) parcijalno ured en skup, za S P kažemo da je lanac (linearno ured en skup) ako su svaka dva elementa iz S uporediva u odnosu na relaciju. Lanac S je maksimalan ako ne postoji nijedan lanac L P takav da je S pravi podskup od L. Teorema 1.1 (Hauzdorfov princip maksimalnosti) Svaki parcijalno ured en skup sadrži maksimalan lanac. Prema Hauzdorfovom principu maksimalnosti, svaki ideal prstena A sadržan je u nekom maksimalnom idealu prstena A. Odatle sledi da je svaki neinvertibilan element iz A sadržan u nekom maksimalnom idealu. Teorema 1.2 Neka je I ideal u A i S A neprazan skup zatvoren za množenje i disjuktan sa I. Tada postoji ideal P maksimalan u familiji svih ideala prstena A koji sadrže I i disjuktni su sa S. Ideal P je prost u A. Dokaz. Prema Hauzdorfovom principu maksimalnosti, postoji maksimalan lanac (u odnosu na ured enje inkluzijom) ideala K koji sadrže I i disjuktni su sa S. Neka je 2 Napomena: u radu se posmatraju samo komutativni prsteni sa jedinicom. 3 Zbog komutativnosti operacije je i element xa I 4 Prirodni epimorfizam ϕ : A A/I definisan je sa ϕ(a) = a + I, a A.

1.2. ALGEBRA 5 P = K. Tada je P traženi ideal. Dokazaćemo da je P prost. Neka su a, b A takvi da ab P. Pretpostavimo suprotno, a P i b P. Zbog izbora ideala P postoje s, t S tako da je s (P, a) i t (P, b). Dakle, s xa (mod P ) i t yb (mod P ), za neke x, y A. Kako je S zatvoren za množenje, to je xyab st 0 (mod P ). Dakle ab P. Posledica 1.1 Neka je I ideal. Ako nijedan stepen elementa a ne pripada I, tada postoji prost ideal koji sadrži I ali ne i element a. Teorema 1.3 Presek svih prostih ideala koji sadrže dati ideal I je upravo skup svih onih elemenata čiji bar jedan stepen pripada I. Dokaz. Ako postoji prost ideal P koji sadrži I ali ne i element a, tada nijedan stepen elementa a ne može pripadati idealu I, jer ne postoji stepen elementa a koji pripada P. Obrnuto, ako ne postoji stepen elementa a koji pripada I, onda prema Posledici 1.1 postoji neki prost ideal koji sadrži I ali ne i element a. Neka je A prsten i relacija parcijalno ured enje na skupu A. Relacija je dualna za relaciju, tj. za x, y A je x y ako i samo ako je y x. Za A ćemo reći da je parcijalno ured en prsten u odnosu na relaciju ako za svako a, b, x, y A važi a b a + x b + x i Sledeća tvrd enja su očigledna: 1. a b akko je a b 0 2. a 0 akko je a 0 a b, y 0 ay by 3. Ako je a r i b s tada je a + b r + s. Da bi smo definisali takvo parcijalno ured enje potrebno je i dovoljno da opišemo skup svih nenegativnih elemenata u prstenu A, odnosno elemenata a A sa osobinom a 0. Ako skup svih nenegativnih elemenata iz A označimo sa E, onda važi: 0 E, E ( E) = {0}, a, b E a + b, ab E i a b a b E. Obrnuto, ako neki skup S elemenata prstena A zadovoljava uslove 0 S, S ( S) = {0} i df a, b S a + b, ab S, i ako definišemo a b a b S, onda je prsten A parcijalno ured en u odnosu na relaciju i pritom je S upravo skup svih njegovih nenegativnih elemenata. Da pokažemo da je A linearno ured en prsten, dovoljno je da ustanovimo da je svaki njegov element uporediv sa 0.

6 GLAVA 1. UVOD Neka su A i B parcijalno ured eni prsteni u odnosu na relacije A i B, redom. Homomorfizam ϕ iz prstena A u prsten B čuva ured enje ako za svaki a, b A iz a A b sledi ϕ(a) B ϕ(b) (što je ekvivalentno sa tim da za svako a A iz a A 0 A sledi ϕ(a) B 0 B ). Ako u ured enom prstenu A element a b postoji za svako a i b, tada i a b postoji za svako a i b pritom i važi a b = ( a b). U tom slučaju za A kažemo da A je mrežno ured en prsten. Dakle, da bi A bio mrežno ured en prsten dovoljno je pokazati da a b postoji za svako a i b. U mrežno ured enom prstenu A za element a sa a označavamo element a a. Za svaki a A je a 0. Neka je A integralni domen linearno ured en u odnosu na relaciju. Za svaki a, b, c, d A važi: b, c > 0 b > a d > c bd > ac. 5 Prema tome, kvadrati nenula elemenata iz A su pozitivni. Kako iz 1 0 sledi 1 0, to 1 nije kvadrat nijednog elementa iz A. Takod e, iz 1 > 0 sledi (n+1) 1 > n 1 > 0, za svaki n N. Odatle zaključujemo da A ne može biti konačne karakteristike. Zbog toga je poddomen < 1 > domena A generisan jedinicom izomorfan prstenu celih brojeva. 6 Ako je A linearno ured eno polje, onda je potpolje < 1 > polja A generisano jedinicom izomorfno polju racionalnih brojeva. 7 Komentar U skladu sa prethodnom diskusijom, možemo smatrati da je integralni domen Z (polje Q) poddomen (potpolje) svakog linearno ured enog integralnog domena (linearno ured enog polja). Podskup S linearno udred enog skupa A je kofinalan (koinicijalan) ako za svako x A postoji s S tako da je s x (s x). Definicija 1.1 Ured eno polje A je Arhimedovo ako je kanonska kopija prstena celih brojeva kofinalan skup tog ured enja, tj. ako za svako a A postoji neko n N tako da je a n 1. Teorema 1.4 Ured eno polje je Arhimedovo akko je izomorfno sa nekim podpoljem ured enog polja R. Dokaz. Dajemo skicu dokaza. Očigledno, svako podpolje realnih brojeva je Arhimedovo. Obrnuto, neka je F bilo koje Arhimedovo polje. Za date x, y F tako da 5 Ako je b > a > 0 tada je b n > a n za svako n N. 6 < 1 >= {m 1 : m Z} 7 < 1 >= {m 1 (n 1) 1 : m Z, n N}

1.3. TOPOLOGIJA 7 je x < y izaberimo n N tako da je n > 1 i neka je m najmanji ceo broj koji (y x) je veći od nx. Tada je x < m < y. Ovo pokazuje da je skup Q gust u F, pa je n zato svaki element iz F jedinstveno odredjen odgovarajućim Dedekindovim rezom skupa Q. Stoga postoji neko injektivno preslikavanje ϕ : F R koje čuva ured enje i za koje je ϕ(q) = q za svako q Q. Ako r, s pripadaju ured enom polju F, i ako su a, b, c, d racionalni brojevi koji zadovoljavaju a r < b i c s < d tada je a + c r + s < b + d, pa odavde sledi da je sabiranje u F, poput sabiranja u R, jedinstveno odredjeno Dedekindovim rezovima skupa Q. Isto važi i za operaciju množenja. Ovo pokazuje da preslikavanje ϕ indukuje izomorfizam iz polja F u potpolje ϕ[f ] polja R. Teorema 1.5 Jedini nenula homomorfizam iz R u samog sebe je identičko preslikavanje. Dokaz. Neka je ϕ : R R proizvoljan homomorfizam. Iz ϕr = (ϕr)(ϕ1) za svako r, a kako je ϕ nenula homomorfizam, sledi da je ϕ1 = 1. Odavde se lako da zaključiti da je restrikcija homomorfizma ϕ na skup Q identičko preslikavanje. Realan broj je nenegativan akko je kvadrat nekog broja. Kako svaki homomorfizam slika kvadrate u kvadrate, on slika nenegativne brojeve u nenegativne i dakle čuva ured enje. Neka je x R proizvoljno. Pokazujemo da je ϕ(x) = x. Ako je q Q i q x onda je q = ϕ(q) ϕ(x) pa je ϕ(x) sup{q Q : q x} = x. Kad bi bilo ϕ(x) > x postojalo bi neko l Q tako da je x < l < ϕ(x), pa bi sledilo ϕ(x) ϕ(l) = l < ϕ(x), kontradikcija. Dakle ϕ(x) = x. Teorema 1.6 Postoji najviše jedan izomorfizam iz nekog prstena na R. Bilo koji epimorfizam iz nekog prstena na R jedinstveno je odredjen svojim jezgrom. Dokaz. Ako su ϕ i µ dva izomorfizma iz jednog te istog prstena na R tada je ϕ µ automorfizam na R pa je on identičko preslikavanje. Dakle ϕ = µ. Neka su dati homomorfizmi f i t iz prstena A na R sa istim jezgrom I i neka su f i t izomorfizmi iz A/I na R takvi da je f = f η i t = t η, gde je η kanonski epimorfizam iz A u A/I. Imamo f = t pa zaključujemo da mora biti f = t. 1.3 Topologija Skup svih neprekidnih funkcija iz topološkog prostora X u topoloski prostor R označavaćemo sa C(X) ili kada znamo o kom je prostoru reč samo C(X). Podskup C (X) = C skupa C(X) se sastoji od svih ograničenih, neprekidnih funkcija. C(X) je prsten u odnosu na operaciju sabiranje funkcija datu sa (f + g)(x) = f(x) + g(x) i operaciju množenje funkcija datu sa (f g)(x) = f(x) g(x) za svako x X.

8 GLAVA 1. UVOD C(X) postaje mrežno ured en prsten ako za f, g C(X) definišemo da je f g akko važi f(x) g(x) za svako x X; tada je (f g)(x) = max{f(x), g(x)} i (f g)(x) = min{f(x), g(x)}. Skup f (0) = {x X : f(x) = 0} nazivamo nul-skup funkcije f : X R; ovaj skup obeležavamo i sa Z(f) = Z X (f). Za S X kažemo da je nul-skup prostora X ako je on nul-skup neke funkcije f C(X). Ako je nul-skup Z okolina nekog skupa A, onda ćemo za Z reći da je nul-okolina skupa A. Ako je C C(X) onda ćemo sa Z[C ] označavati familiju skupova {Z(f) : f C }. Reći ćemo da je podprostor S prostora X C-postavljen u (prostoru) X ako svaka funkcija iz C(S) ima ekstenziju u C(X). Slično, za S ćemo reći da je C - postavljen u X ako svaka funkcija iz C (S) ima ekstenziju u C (X). Podsetimo se da je Hauzdorfov prostor kompaktan ako svaka familija zatvorenih skupova sa osobinom konačnog preseka ima neprazan presek. Naglašavamo da je u ovom radu svaki kompaktan prostor po definiciji Hauzdorfov. Par (Y, c), gde je Y kompaktan prostor a c : X Y potapanje prostora X u prostor Y tako da je c(x) = Y, je kompatifikacija prostora X. Ukoliko je jasno o kom se preslikavanju c radi česta je praksa da se govori jednostavno kompaktifikacija Y prostora X. Teorema 1.7 Svaki homomorfizam t iz prstena C(Y ) ili C (Y ) u prsten C(X) je homomorfizam mreža. Dokaz. Ako je g = l 2 onda važi t(g) = (t(l)) 2, pa t slika nenegativne funkcije u nenegativne. Dalje imamo (t( g )) 2 = t( g 2 ) = t(g 2 ) = (t(g)) 2, i pošto je t ( g ) 0, imamo t( g ) = t(g). Iz ovog i formule: dobijamo: (g h) + (g h) = g + h + g h, t(g h) + t(g h) = t(g) + t(h) + t(g) t(h) = (t(g) t(h)) + (t(g) t(h)). Ali funkcije t(g h) i t(g) t(h) su realne funkcije (definisane na X), pa važi: t(g h) = t(g) t(h).

1.3. TOPOLOGIJA 9 Teorema 1.8 Svaki homomorfizam t iz prstena C(Y ) ili C (Y ) u prsten C(X) slika ograničene funkcije u ograničene. Dokaz. Za bilo koji homomorfizam važi: t(1) = t(1 1) = t(1)t(1), pa je t(1) idempotent u C(X). Dakle, on na X može imati jedino vrednosti 0 ili 1. Stoga, za svako n N funkcija t(n) = t(1) +... + t(1) može imati vrednosti 0 ili n. Uočimo sada proizvoljnu funkciju g C (Y ). Pošto je g n za odgovarajuće n N imamo t(g) t(n) n. Iz ove teoreme proizilazi sledeće tvrd enje (setimo se da se prostor X kaže da je pseudokompaktan akko je svaka realna neprekidna funkcija definisana na X ograničena): Teorema 1.9 Ako X nije pseudokompaktan, tada C(X) nije homomorfna slika od C (Y ), ni za jedno Y. Podskupovi A i B skupa X su kompletno razdvojeni u X ako postoji f C (X) tako da je f[a] = 0, f[b] = 1 0 f 1. Teorema 1.10 Ako su A i A kompletno razdvojeni, tada postoje nul-skupovi F i Z tako da je A X\Z F X\A. Teorema 1.11 (Urisonova teorema) Podprostor S prostora X je C (X) -postavljen u X akko su svaka dva kompletno razdvojena skupa u S kompletno razdvojena i u X. Dokaz. ( :) Ako su A i B skupovi,koji su kompletno razdvojeni u S, tada postoji funkcija f C (X) koja ima vrednost 0 na A, a vrednost 1 na B. Prema pretpostavci f ima ekstenziju g C (X). Pošto je g ima vrednost 0 na A, i vrednost 1 na B, ovi skupovi su kompletno razdvojeni u X. ( :) Neka je f 1 C (X) proizvoljna. Onda postoji m N tako da je f 1 m Radi lakšeg zapisivanja definisimo: r n = m ( 2 ) n (n N). 2 3 Tada je f 1 m = 3r 1 Pretpostavimo da ovo važi za n tj. za datu f n C (X) imamo f n r n, i dokazaćemo da važi za n + 1. Definišimo skupove: A n = {s S : f n (s) r n } B n = {s S : f n (s) r n }.

10 GLAVA 1. UVOD Tada su A n i B n kompletno razdvojeni u S, pa prema pretpostavci moraju biti potpuno razdvojeni i u X. Prema tome postoji g n C (X) koja ima vrednost r n na A n i r n na B n, i još važi g n r n. Vrednosti f n i g n na A n su izmed u 3r n i r n, dok su na B n izmed u r n i 3r n ; i bilo gde na S su izmed u r n i r n. Sada definišimo : f n+1 = f n g n S, i tada imamo f n+1 2r n tj. f n+1 3r n+1. Ovim smo završili indukcijski korak. Sada definišimo : g(x) = n N g n (x) (x X). Ovaj red konvergira ravnomerno, pa je ovako definisana funkcija neprekidna. Dalje, (g 1 +... + g n ) S = (f 1 f 2 ) +... + (f n f n+1 ) = f 1 f n+1. Kako niz ( f n+1 (s) : n N ) teži nuli za svako s S, ovo pokazuje da je g(s) = f 1 (s). Dakle g je ekstenzija funkcije f 1. Ovim je dokaz završen. Definicija 1.2 Za Hauzdorfov prostor X kažemo da je potpuno regularan ako za svaki zatvoren skup F i svaku tačku x koja mu ne pripada, postoji funkcija f C(X) tako da je f(x) = 1 i f[f ] = {0} (tj. ako su F i {x} potpuno razdvojeni). Teorema 1.12 Hausdorfov prostor X je potpuno regularan akko familija Z(X) svih nul-skupova baza za zatvorene skupove. Dokaz. ( :) Pretpostavimo da je X potpuno regularan. Tada za svaki zatvoren skup F i svaku tačku x F, postoji f C(X) tako da je f(x) = 1 i f[f ] = 0. Tada je Z(f) F i x Z(f). Dakle Z(X) je baza. ( :) Pretpostavimo da je Z(X) baza. Tada za svaki zatvoren skup F i x X\F postoji nul-skup recimo, Z(g) tako da je Z(g) F i x Z(g). Označimo r = g(x). Tada je r 0 i funkcija f = gr 1 je iz C(X). Očigledno, f(x) = 1 i f[f ] = {0}. Dakle Hausdorfov prostor X je potpuno regularan. Definicija 1.3 Neka je X proizvoljan prostor. Slaba topologija inukovana familijom funkcija C R X je najmanja topologija na X tako da sve funkcije iz C budu neprekidne.

1.3. TOPOLOGIJA 11 Da vidimo šta ovo zapravo znači podsetimo se kada je funkcija f neprekidna. Funkcija f : X R je neprekidna, ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa u R skup otvoren u X. Stoga da bi sve funkcije iz C bile neprekidne potrebno je i dovoljno da sve inverzne slike otvorenih skupova budu otvorene za svako f C. Označimo sa L familiju svih inverznih slika, to jest U X pripada familiji L akko postoji f C i otvoren skup V u R tako da je U = f [V ]. Ovoj familiji uvek pripada X, jer je f [R] = X za svako f C. Med utim L ne mora biti topologija za X, pa čak ni baza, što pokazuje sledeći primer. Neka se X, sastoji iz tri elementa {a, b, c}, i C = {f, g}, gde je f(a) = g(b) = 0 i f(b) = f(c) = g(a) = g(c) = 1. Tada je {c} presek dva člana iz L, ali ne pripada familiji L. Slaba topologija indukovana sa C, je najmanja topologija koja sadrži L. Da bi smo napravili slabu topologiju, nije neophodno da posmatramo sve inverzne slike svih otvorenih skupova u R : inverzne slike otvorenih skupova iz baze, ili čak predbaze takod e, čine predbazu za slabu topologiju. Imajući u vidu da je familija svih otvorenih intervala jedana baza za R, zaključujemo da je familija svih skupova oblika: {y X : f(x) f(y) < ϵ} (f C, ϵ > 0) jedna predbaza slabe topologije u tački x X. Umesto toga, možemo raditi i sa zatvorenim skupovima. Kako skupovi oblika (, r] i [r, ) za r R čine predbazu za zatvorene skupove, njihove inverzne slike: i (b) {x X : f(x) r} (b ) {x X : f(x) r} (f C, r R) čine predbazu za zatvorene skupove u X. Definicija 1.4 Neka je dat topološki prostor X. Ako se data topologija na X poklapa sa slabom topologijom indukovanom familijom funkcija C, onda ćemo reći da familija C odred uje topologiju prostora. U slučaju da je C = C(X) ili C (X) = C tada se skupovi iz (b) poklapaju sa nul-skupovima funkcija iz C. Zapravo: {x : f(x) r} = Z((f r) 0), pa je svaki takav skup nul-skup. Obrnuto, svaki nul-skup je oblika Z(f) = {x : f (x) 0}. Kako je unija dva nul-skupa, nul-skup, predbaza Z[C(X)] = Z[C (X)] je baza za zatvorene skupove. Rezimiraćemo sve ovo u narednoj teoremi, koja uključuje preformulisanje Teoreme 1.12.

12 GLAVA 1. UVOD Teorema 1.13 Neka je X topološki prostor. Familije C(X) i C (X) indukuju istu slabu topologiju na X. Baza za zatvorene skupove je familija nul skupova Z(X). Jedna lokalna baza u tački x je data familijom skupova: y X : f(x) f(y) < ϵ (f C, ϵ > 0). Konačno, ako je X Hauzdorfov prostor, tada je X potpuno regularan akko se njegova topologija poklapa sa slabom topologijom indukovanom sa C(X) i C (X). Teorema 1.14 Ako je X Hauzdorfov prostor čija je topologija odred ena sa nekom podfamilijom C od R X, tada je X potpuno regularan. Dokaz. Jasno, svaka funkcija iz C je neprekidna, tj. C C(X). Stoga je slaba topologija indukovana sa C sadržana u slaboj topologiji indukovanoj sa C(X). Ali potonja topologija je uvek sadržana u datoj topologiji na X. Prema pretpostavci sada sledi da se ove dve topologije poklapaju. Zato sada na osnovu Teoreme 1.13 sledi da je X potpuno regularan. Teorema 1.15 Neka je C podfamilija od C(Y ) koja odredjuje topologiju na Y. Preslikavanje σ iz prostora S u Y je neprekidno akko je kompozicija funkcija g σ u C(S) za svako g C. Dokaz. Potreban uslov je očigledan. Da proverimo dovoljan, obratimo paznju na predbazu zatvorenih skupova u Y koje ćemo preslikati sa σ. Oni su dat i, prema pretpostavci, u obliku g [F ], gde je g C, i F je zatvoren skup u R. Sada: σ [g [F ]] = (g σ) [F ]; i ovaj skup je zatvoren u S, jer je prema pretpostavci g σ neprekidna. Dakle σ je neprekidna. Teorema 1.16 Za svaki topološki prostor X postoji potpuno regularan prostor Y i neprekidno preslikavanje τ iz X na Y, tako da je preslikavanje g g τ izomorfizam iz prstena C(Y ) na prsten C(X). Dokaz. Definišimo x x akko je f(x) = f(x ) za svako f C(X). Očigledno ovo je relacija ekvivalencije. Neka je Y skup svih klasa ekvivalencije ove relacije i τ : X Y preslikavanje definisano tako da je τ(x) klasa ekvivalencije kojoj x pripada. Funkciji f C(X) dodelimo funkciju g R Y definisanu sa { g(y) } = { f(x) : x y }, za y Y. Tada je f = g τ. Označimo sa C familiju svih takvih funkcija g, tj. g C akko je g τ C(X). Skup Y snabdimo slabom topologijom indukovanom sa C. Prema definiciji, svaka funkcija iz C je neprekidna na Y. tj. C C(Y ). Prema Teoremi 1.15 sledi da je τ neprekidno.

1.3. TOPOLOGIJA 13 Očigledno je da ako su y i y dve razlicite tacke u Y, tada postoji g C tako da je g(y) g(y ). Iz ovog sledi da je Y Hauzdorfov prostor. Stoga Y mora biti potpuno regularan na osnovu Teoreme 1.14. Konačno, neka je h proizvoljna funkcija iz C(Y ). Kako je τ neprekidno to je h τ neprekidno na X. Ali odavde sledi da je h C. Dakle C C(Y ). Imamo da je C = C(Y ) i onda se lako proverava da je preslikavanje dato sa g g τ izomorfizam. Kao posledica gorepomenutih teorema, algebarske osobine kao i osobine mrežnog ured enja koje važe za C(X), odnosno C (X), kada je X potpuno regularan, takod e važe i ako je X proizvoljan prostor. Kao primer možemo navesti Teoremu 4.6, gde se kaže da je svaki količnik prsten po modulu prostog ideala linearno ured en. Mi smo definisali slabu topologiju pomoću familije funkcija sa realnim vrednostima. Sada ćemo pokušati da to malo uopštimo. Neka je X proizvoljan skup i neka je Φ proizvoljna familija koja se sastoji od preslikavanja ϕ α iz X u topološki prostor Y α, za α A. Tada je slaba topologija indukovana sa Φ na X, prema definiciji, najmanja topologija u odnosu na koju je ϕ α neprekidna funkcija za svako α A. U slučaju da je Y α potpuno regularan, familija skupova ϕ α [Z α ] gde je Z α nul-skup u Y α i α A je predbaza za zatvorene skupove u X. Ovo se čini kao pogodan momenat da se podsetimo definicije (Tihonovskog) proizvoda topoloških prostora. Proizvod topologija na X = α X α je slaba topologija indukovana familijom projekcija : π α : X X α. Kada je svaki X α potpuno regularan, familija svih konačnih unija π α1 [Z 1 ]... π αn [Z n ], gde je Z k nul-skup u X αk je baza za zatvorene skpove u X. Primetimo da je svaka ovakva unija nul-skup zato što: Možemo zaključiti sledeće: π α [Z Xα (f)] = Z X (f π α ). Teorema 1.17 1. Proizvod proizvoljne familije potpuno regularnih prostora je potpuno regularan. 2. Neka je Φ familija preslikavanja koja odredjuje topologiju na X. Preslikavanje σ iz S u X je neprekidno akko je ϕ σ neprekidno za svako ϕ Φ. 3. Preslikavanje σ iz nekog prostora u proizvod prostora X = α X α je neprekidno akko je π α σ neprekidno za svaku projekciju π α (π α : X X α ). Naredno tvrd enje sadrži par korisnih zapažanja koje će se kasnije prećutno koristiti.

14 GLAVA 1. UVOD Teorema 1.18 1. U potpuno regularnom prostoru, bilo koja dva zatvorena skupa, od kojih je jedan kompaktan su potpuno razdvojena. 2. U potpuno regularnom prostoru za svaki G δ skup A koji sadrži dat kompaktan skup S postoji neki nul-skup P takav da je S P A. 3. Svaki kompaktan skup u potpuno regularnom prostoru je C-postavljen. Dokaz. (1) Pretpostavimo da su A i A dva disjuktna zatvorena skupa, kod kojih je A kompaktan. Za svako x A izaberimo disjuktne nul-skupove Z x i Z x gde je Z x okolina tacke x i Z x A. Pokrivac {Z x } x A kompaktnog skupa A ima konacan potpokrivač, recimo {Z x1,..., Z xn }. Tada su A i A sadržani u disjuktnim nul-skupovima Z x1... Z xn i Z x 1... Z x n, respektivno. (2) Neka je dat G δ skup A. Po definiciji on je oblika n N U n gde su U n otvoreni skupovi. Ako A sadrži S tada su S i X\U n potpuno razdvojeni, pa postoji nul-skup F n koji zadovoljava S F n U n. Tada je S n F n A i n F n je nul skup. (3) Neka je S kompaktan podprostor potpuno regularnog prostora X. Potpuno razdvojeni skupovi u S imaju disjuktna zatvorenja u S, Kako su ova zatvorenja kompaktni, prema (1) su potpuno razdvojeni u X. Sada tvrd enje sledi na osnovu Urisonove Teoreme 1.11. Hauzdorfov prostor X je normalan ako za svaka dva zatvorena disjuktna skupa postoje njihove okoline koje su takodje disjuktne. Najvažniji rezultat u vezi sa normalnim prostorima je Urisonova lema. Najpre ćemo pokazati jedno korisno tvrd enje. Lema 1.1 Neka je X proizvoljan prostor, i neka je R 0 bilo koji gust skup u R. Pretpostavimo da su otvoreni skupovi u X, U r, definisani za svako r R 0 na sledeći način: U r = X, U r = i Tada r clu r U s, r < s. f(x) = inf{r R 0 : x U r } (x X) definiše funkciju f koja je neprekidna na X. r

1.3. TOPOLOGIJA 15 Dokaz. Najpre, primetimo da na osnovu datih pretpostavki sledi da je funkcija f dobro definisana. Očigledno x U r povlači f(x) r, i f(x) r povlači x U r. Takodje, X clu r povlači x U s za svako r < s, pa je f(x) r. Sada fiksirajmo a X. Posto je R 0 gust u R, segmenti [r, s] gde su r, s R 0 i r < f(a) < s, formiraju bazu okolina tačke f(a). Prethodna zapažanja pokazuju da je za tako izabrane brojeve r, s, skup U s \U r okolina tačke x i f(x) [r, s], za svako x iz te okoline. Dakle f je neprekidna u a. Lema 1.2 (Urisonova lema) Bilo koja dva disjuktna zatvorena skupa u normalnom prostoru su potpuno razdvojena. Stoga, svaki normalan prostor je potpuno regularan. Dokaz. Neka su A i B disjuktni zatvoreni skupovi u normalnom prostoru X. Definišimo otvorene skupove U r za sve racionalne brojeve r, na sledeći način: Najpre stavimo U r = za svako r < 0 i U r = X za svako r > 1. Dalje, stavimo U 1 = X\B. Tada je U 1 okolina skupa A, pa kako je X normalan, U 1 sadrži zatvorenu okolinu skupa A. Izaberimo onda U 0 tako da je A U 0 i clu 0 U 1. Sada sve racionalne brojeve iz [0, 1] stavimo u niz (r n ) n N na sledeći način: stavimo da je r 1 = 0, r 2 = 1. Induktivno, za svako n > 2 izaberemo otvoren skup U rn tako da je clu rk U rn i clu rn U rl, kad god je r k < r n < r l i k, l < n. Skupovi U r (r Q zadovoljavaju pretpostavke Leme 1.1, pa je funkcija definisana u toj lemi neprekidna. Jasno, ona slika A u 0 i B u 1, pa su ovi skupovi potpuno razdvojeni. Teorema 1.19 Svaki podprostor kompaktnog prostora je potpuno regularan. Dokaz. Znamo da su kompaktni prostori normalni. Prema Urisonovoj lemi oni su potpuno regularni, pa su i svi njihovi podprostori potpuno regularni. Napomenućemo činjenicu da su potpuno regularni prostori upravo oni prostori koji su podskupovi kompakata, što nas dovodi do sledećeg : samo takvi prostori imaju kompaktifikaciju. Zaista, ako je T kompaktan prostor koji sadrži X, tada je cl T X kompatifikacija za X. Mi smo maločas proverili da je svaki podprostor kompaktnog prostora potpuno regularan. Obrat ovog tvrd enja tj. to da svaki potpuno regularan prostor ima kompatifikaciju biće pokazan u nekom od narednih poglavlja. Na kraju ove glave uvodimo jednu konvenciju koja se opravdava Teoremom 1.16. Konvencija U nastavku ćemo svuda u radu, osim ako se drugačije ne naglasi, pod rečju prostor podrazumevati isključivo potpuno regularan prostor.

16 GLAVA 1. UVOD

Glava 2 Ideali i z-filteri 2.1 Uvodna razmatranja U okviru izučavanja veza izmed u algebarskih osobina C(X) i topoloških osobina prostora X, sada ćemo se pozabaviti pitanjem kakve su specifičnosti familije svih nul-skupova nekog datog ideala funkcija. Ispostavlja se da se takve familije ponašaju slično filtrima skupova; ova činjenica imaće centralnu ulogu u daljem razmatranju. Podsetimo se da je pravi podskup I od C(X) ideal (funkcija) ako važi da je I podprsten tako da je gf I gde f pripada I, a g je iz C(X) proizvoljno. Podskup koji ima ove algebarske osobine je pravi podskup akko ne sadrži nijedan invertibilan element prstena. Naglašavamo da su prema našoj konvenciji ideali pravi podskupovi od C(X); u izuzetnim slučajevima za sam prsten C(X) rezervisaćemo termin trivijalan ideal (jednočlan skup {0} nazivamo nula ideal). Presek svake neprazne familije ideala je ideal. Svaki ideal je sadržan u nekom maksimalnom idealu. Svaki maksimalan ideal M je prost, to jest: ako je fg M tada je f M ili g M. Najmanji ideal, trivijalan ili ne, koji sadrži datu kolekciju ideala I i skup elemenata F, obeležavamo sa (I; F ); on se sastoji od svih elemenata prstena C(X) koji se mogu predstaviti u obliku neke konačne sume n j=1 a j + m j=1 s jf j, gde je a j I j I za j = 1, n, i s j C(X), f j F j = 1, m. Ako je I = {I 1,..., I k } i F = {f 1,..., f l } onda koristimo skraćen zapis (I 1,, I k ; f 1,...f l ). Iste ove opaske stoje i u slučaju prstena C (X) (pa i proizvoljnog komutativnog prstena sa jedinicom). Očigledno ako je I ideal u C(X) tada je I C (X) ideal u C (X). Definicija 2.1 Neprazna podfamilija F familije Z(X) je z-filter na X ako zadovoljava: 1. ne pripada familiji F; 2. ako su Z 1, Z 2 F tada Z 1 Z 2 F; 17

18 GLAVA 2. IDEALI I Z-FILTERI 3. ako je Z F, Z 1 Z(X) i Z 1 Z tada Z 1 F Primetimo da prema trećoj stavki ceo skup X pripada svakom z-filteru. Zbog uslova (3), ništa se ne menja ako uslov (2) zamenimo uslovom: (2*) ako su Z 1, Z 2 F tada Z 1 Z 2 sadrži neki član familije F. Svaka familija B nul-skupova sa osobinom konačanog preseka je sadržana u nekom z-filteru: najmanja takva familija je familija F svih nul-skupova koji sadrže preseke konačno mnogo članova familije B; za ovaj z-filter F kažemo da je generisan familijom B. Ako je familija B zatvorena za konačne preseke, nazivamo je bazom za F. Definicija z-filtera je naravno analogna poznatoj definiciji pojma filtra skupova tj. neprazne familije podskupova od X, zatvorene za konačne preseke i nadskupove svojih članova, a koja ne sadrži prazan skup. U diskretnom prostoru svaki skup je nul-skup pa se filtri i z-filtri poklapaju. U bilo kom prostoru X presek Z(X) i bilo kog filtra je z-filter. Obrnuto, ako je F najmanji filter koji sadrži dati z-filter F (tj. F je baza za F ), tada je F Z(X)=F. Teorema 2.1 1. Ako je I ideal u C(X) tada je familija Z[I] = {Z(f) : f I}. z-filter na X. 2. Ako je F z-filter na X tada je familija Z [F] = {f : Z(f) F} ideal u C. Dokaz. (1). (i) Kako I ne sadrži nijedan invertibilan element to ne pripada Z[I]. (ii) Neka su Z 1 iz 2 Z[I]. Tada postoje f 1 if 2 I tako da je Z 1 =Z(f 1 ) i Z 2 =Z(f 2 ). Kako je I ideal to je f 1 2 + f 2 2 I. Stoga Z 1 Z 2 =Z(f 1 2 + f 2 2 ) Z[I] (iii) Neka je Z Z[I] i Z Z(X). Tada postoje f I i f C tako da je Z = Z(f) i Z = Z(f ). Kako je I ideal imamo f f I. Imamo jos i Z Z pa je Z = Z Z = Z(f f ) Z[I]. (2) Neka je J=Z [F]. Prema Definiciji 2.1 pod 1, J ne sadrži nijedan invertibilni element. Neka su f, g J i h C(X) Tada je Z(f g) Z(f) Z(g) F na osnovu Definicije 2.1 pod 2. Z(h f) Z(f) F i Z(f g) F i Z(h f) F,na osnovu Definicije 2.1 pod 3. Zaključujemo da je f g, h f J t.j J je ideal u C(X).

2.1. UVODNA RAZMATRANJA 19 Kao i svako preslikavanje Z zadovoljava (za svako F Z(X) i svaki ideal I u C(X)) Z[Z [F]] = F Z [Z[I]] I. Prva relacija pokazuje da je svaki z-filter dat u obliku Z[J] za neki ideal J u C(X). Inače inkluzija u drugoj relaciji može biti i stroga kao što pokazuje i naredni primer. Primer 2.1 Posmatrajmo glavni ideal I = (i) u C(R) (sa i smo označili identičko preslikavanje na R). Ovaj ideal sadrži sve funkcije f iz C(R) koje su oblika f(x) = xg(x) za neko g C(R). Specijalno, svaka funkcija iz I ima vrednost 0 u tački 0. Stoga svaki nul-skup u I sadrži tačku 0. Kako je jasno {0} Z[I], zaključujemo da je Z[I] familija svih nul-skupova koji sadrže 0. Dalje, ideal M 0 = Z [Z[I]] se očigledno sastoji od svih funkcija iz C(R) koje imaju vrednost 0 u tački 0. Stoga M 0 sadrži ideal I. Ako uočimo funkciju h(x) = 3 x za svako x R vidimo da ona pripada idealu M 0, ali ne i idealu I. Zaista, ako bi funkcija h pripadala idealu I, onda bi postojala funkcija g C(R) tako da je h = g i. No tada bi moralo da bude g(x) = 3 1 x za svako x R \ {0}, pa g ne bi 2 bila neprekidna u tački 0, što je kontradikcija. Dakle M 0 I. Ako je J ideal u C (X), tada Z[J] ne mora biti z-filter. Z[J] zadovoljava uslove 1. i 2. iz Definicije 2.1, med utim uslov 1. ne mora da važi (jer I može da sadrži neki invertibilan element prstena C(X) koji nije invertibilan u C (X)). Primer 2.2 Uočimo skup svih nizova iz C (N) koji konvergiraju ka nuli i označimo ga sa J. Očigledno J je ideal u C (N). Med utim kako niz j = ( 1 : n N) pripada n idealu J i Z(j) =, onda je Z[J]. Dakle familija Z[J] ne može biti z-filter. Vidimo da J nije ideal u C(N) jer je j invertibilan element u C(N). Definicija 2.2 Pod z-ultrafiltrom na X podrazumevamo maksimalan z-filter na X, tj. svaki onaj z-filter koji nije pravi podskup ni jednog z-filtra. Dakle, z-ultrafiltri su maksimalne podfamilije familije Z(X) koje imaju osobinu konačnog preseka. Na osnovu Hauzdorfovog principa maksimalnosti možemo zaključiti da je svaka podfamilija familije Z(X) koja ima osobinu konačnog preseka sadržana u nekom z-ultrafilteru. U diskretnom prostoru, z-ultrafiltri su isto što i ultrafiltri, tj. maksimalni filtri. Teorema 2.2 na X. 1. Ako je M maksimalan ideal u C(X), tada je Z[M] z-ultrafilter 2. Ako je A z-ultrafilter na X,tada je Z [A] maksimalan ideal u C(X). Preslikavanje Z je jedan-jedan preslikavanje iz skupa svih maksimalnih ideala na skup svih z-ultrafiltera. Dokaz. Kako preslikavanja Z i Z cuvalu maksimalnost rezultat sledi na osnovu Teoreme 2.1.

20 GLAVA 2. IDEALI I Z-FILTERI Teorema 2.3 1. Neka je M maksimalan ideal u C(X); ako Z(f) seče svaki član iz Z(X) tada je f M. 2. Neka je A z-ultrafilter na X; Ako nul skup Z seče svaki član iz A tada je Z A. Dokaz. Na osnovu Teoreme 2.2 sledi da je 1. ekvialentno sa 2.. Dokaz za 2.: A {Z} generiše neki z-filter. Taj z-filter sadrži z-ultrafilter A pa se on mora poklapati sa A; otuda je Z A. Svojstva navedena u teoremi su zapravo karakterizacije maksimalnih ideala i z- filtera: Ako z-filter A sadrži svaki nul koji ima neprazan presek sa svim članovima iz A tada je, očigledno, A z-ultrafilter. 2.2 z-ideali i prosti ideali Definicija 2.3 Ideal I u C(X) je z-ideal ako važi implikacija Z(f) Z[I] f I, ili ekvivalentno, ako je I = Z [Z[I]]. Ako je F z-filter tada je Z [F]] z-ideal (F = Z[Z [F]] ). Stoga ako je J bilo koji ideal u C(X) tada je I = Z [Z[J]] z-ideal,jasno I je najmanji z-ideal koji sadrži ideal J. Očigledno svaki maksimalan ideal je z-ideal. Presek proizvoljne familije z-ideala je z-ideal. Z je 1-1 preslikavanje iz skupa svih z-ideala u skup svih z-filtera. Ako je S proizvoljan neprezan skup u prstoru X tada je familija svih funkcija iz C(X) koje imaju vrednost 0 na S z-ideal. U C(N) (N je sa diskretnom topologijom) svaki ideal je z-ideal. Neka je I proizvoljan ideal u C(N) i neka je Z(f) Z[I]. Tada je Z(f) = Z(g) za neko g I. Definišimo funkciju h na sledeci nacin: h(n) = 0, za n Z(g), h(n) = f(n) kada g(n) n ne pripada Z(g). Kako je N diskretan prostor h je neprekidna na N. Očigledno f I. Teorema 2.4 Svaki z-ideal u C(X) je presek prostih ideala. Dokaz. Znamo da važi Z(f n ) = Z(f) za svako n N. Stoga ako je I bilo koji z-ideal tada važi implikacija: f n I f I. Sada je na osnovu Teoreme 1.3 ideal I presek svih prostih ideala koji ga sadrže. Dakle, presek proizvoljne familije maksimalnih ideala je z-ideal, i svaki z-ideal je presek prosth ideala. Sledeća teorema daje odredjenu vezu izmedju ideala i z-ideala. Teorema 2.5 Za svaki z-ideal I u C, sledeća tvrd enja su ekvivalentna. 1. I je prost ideal.

2.2. Z-IDEALI I PROSTI IDEALI 21 2. I sadrži prost ideal. 3. Za svako g, h C, ako je gh = 0 tada je g I ili h I. 4. Za svaku funkciju f C postoji nul skup u Z[I] gde f ne menja znak. Dokaz. (1) (2): Trivijalno. (2) (3): Ako I sadrži prost ideal P, gh=0 tada gh P, kako je P prost sledi g P ili h P, tj. h I ili g I. (3) (4) Dovoljno je da primetimo (f 0)(f 0) = 0 za svako f C. (4) (1): Neka je gh I. Posmatrajmo funkciju g h. Prema pretpostavci, postoji nul-skup ideala I gde funkcija g h ne menja znak neka je, recimo, funkcija nenegativna na tom skupu. Tada je svaka nula funkcije g koja je iz Z i nula funkcije h. Stoga Z(h) Z Z(h) = Z Z(gh) Z[I], pa je Z(h) Z[I]. Kako je I z-ideal imamo h I, tj. I je prost ideal. Ako su J i J ideali tako da jedan ne sadrži drugi, tada J J nije prost ideal. Zapravo ova činjenica važi u bilo kom komutativnom prstenu. Zaista: neka je a J\J i a J \J tada niti a niti a ne pripadaju J J,ali aa J J. Teorema 2.6 Svaki prost ideal u C(X) je sadržan u jedinstvenom maksimalnom idealu. Dokaz. Znamo, da je svaki ideal sadržan u nekom maksimalnom idealu, pa ostaje da dokažemo samo jedinstvenost. Pretpostavimo suprotno: neka su M i M dva različita maksimalna ideala koja sadrže neki prosti ideal. Njihov presek je z-ideal.(jer su oba z-ideali), ali nije prost ideal. Iz Teoreme 2.5 sledi da M M ne sadrži prost ideal, što je kontradikcija. Analogno tvrd enje važi i za prsten C (X), ali tu činjenicu na ovom mestu nećemo dokazivati. Definicija 2.4 Prost z-filter F je z-filter sa sledećom osobinom: ako unija dva nul-skupa pripada z-filteru F, tada bar jedan od njih pripada z-filteru F. Teorema 2.7 1. Ako je P prost ideal u C(X), tada je Z[P ] prost z-filter. 2. Ako je F prost z-filter,tada je Z [F] prost ideal. Dokaz. (1) Neka je Q = Z [Z[P ]]. Tada Z[Q] = Z[P ] i Q je z-ideal koji sadrži prost ideal P. Na osnovu Teoreme 2.5 Q je prost ideal. Pretpostavimo sada: Z(f) Z(g) Z[P ], sledi Z(f g) Z[Q]. Pa na osnovu definicije z-ideala f g Q. Kako je Q prost ideal sledi f Q recimo. Tada je Z(f) Z[Q] = Z[P ].

22 GLAVA 2. IDEALI I Z-FILTERI (2) Mi znamo da je ideal P = Z [F] z-ideal. Pretpostavimo sada da je f g P. Tada Z(f g) = Z(f) Z(g) Z[P ] = F. Iz pretpostavke i iz definicije glavnog z-filtera Z(f) Z[P ] recimo. Sledi f pripada z-idealu P. Dalje sledi da je svaki prost z-filter sadržan u tačno jednom z-ultrafilteru. Kako je svaki maksimalan ideal, prost ideal, to je svaki z-ultrafilter, prost z-filter. Ovo možemo pokazati i direktno: ako su Z i Z nul-skupovi koji ne pripadaju z-ultrafilteru A, onda na osnovu Teoreme 2.5 stavka (2) postoje B, B A tako da je Z B = Z B = ; sledi da Z Z ne seče skup B B koji je u z-ultrafilteru A, pa ne može pripadati A. U diskretnom prostoru X, nema razlike izmed u prostog i maksimalnog filtera, tj. svaki prost filter U je ultrafilter. Zaista: ako A ne pripada prostom filteru U, tada X\A U, pa A ne možemo pridruziti filteru U. Veze izmed u z-filtera na X i ideala u C(X) koje su utvrd ene u ovoj glavi, predstavljaju moćno sredstvo za proučavanje skupa C(X). No ovakve veze više ne važe ako se C(X) zameni sa C (X), a konsekventno i većina teorema iz ove glave nije na snazi u tom slučaju. Postoji jedna druga klasa z-filtera na X koja se prirodno dovodi vezu sa idealima na C (X) i koja služi za izučavanje prstena C (X) (videti 2L u [2]], koje je dosta komplikovanije od izučavanja prstena C(X). 2.3 Konvergencija z-filtera Definicija 2.5 Neka je X potpuno regularan prostor. Tačka p je tačka nagomilavanja z-filtera F ako svaka okolina tačke p seče svaki član iz F. Pošto su članovi familije F zatvoreni skupovi onda je p tačka nagomilavanja akko p F. Ako je S neprazan podskup od X, tada je cls skup svih tački nagomilavanja z-filtera F koji se sastoji iz svih nul-skupova koji sadrže S, obzirom da nul-skupovi u potpuno regularnom prostoru čine bazu za zatvorene skupove. Definicija 2.6 z-filter F konvergira ka tački p ako svaka okolina tačke p sadrži neki član z-filtera F. F. Očigledno, ako F konvergira ka tački p, onda je p tačka nagomilavanja familije Teorema 2.8 p. 1. F konvergira ka p akko F sadrži z-filter svih nul-okolina tacke 2. Ako je p tačka nagomilavanja z-filtera F onda postoji bar jedan z-ultrafilter koji sadrži F i konvergira ka p.

2.3. KONVERGENCIJA Z-FILTERA 23 Dokaz. (1) Dovoljno je samo da se podsetimo činjenice da u potpuno regularnom prostoru X, svaka okolina tačke p, sadrži nul-okolinu tačke p. (2) Označimo sa E z-filter svih nul-okolina tačke p. Tada F E ima osobinu konačnog preseka, pa je sadržan u nekom z-ultrafiltru A. Kako A sadrži E imamo da A konvergira ka p. Ako F konvergira ka p, u potpuno regularnom prostoru, tada je F = {p}. (Dakle z-filter ima najviše jednu graničnu vrednost). Obrnuti smer ne važi uvek. Sledeća teorema se dotiče ovog pitanja. Teorema 2.9 Neka X potpuno regularan prostor, neka je p X i neka je F prost z-filter na X. Sledeća tvrd enja su ekvivalentna: 1. p je tačka nagomilavanja damilije F. 2. F konvergira ka p. 3. F = {p} Dokaz. Dovoljno je pokazati da (1) (2). Neka je V bilo koja nul-okolina tačke p. Kako je X potpuno regularan, V sadrži okolinu tačke p,oblika X\Z, gde je Z nul-skup. Kako je V Z = X ili V ili Z pripadaju prostom z-filtru F. Ali Z ne moze pripadati F, zato što p Z, pa je V F. Dakle F konvergira ka p (Teorema 2.8). Označimo sa A p familiju svih nul skupova koji sadrže tačku p. Očigledno A p je z-filter. Kako je svaki nul-skup koji ne sadrži p potpuno razdvojen od {p}, A p je zapravo z-ultrafilter. Prema Teoremi 2.9 sledi da su z-ultrafiltri A p za p X upravo (svi) oni koji konvergiraju (jasno A p konvergira ka tački p). Imajući ovo u vidu nije teško uveriti se u istinitost narednog tvrd enja. Teorema 2.10 1. p je tačka nagomilavanja z-filtera F akko je F A p 2. A p je jedinstveni z-ultrafilter koji konvergira ka p. 3. Različiti z-ultrafiltri ne mogu imati zajedničku tačku nagomilavanja. 4. Ako je F z-filter koji konvergira ka p, tada je A p jedini z-ultrafilter koji sadrži F

24 GLAVA 2. IDEALI I Z-FILTERI

Glava 3 Fiksni ideali. Kompaktni prostori 3.1 Uvodna razmatranja Uočili smo u dosadašnjem izučavanju prstena neprekidnih funkcija da nema razloga da se bavimo prostorima koji nisu potpuno regularni. U vezi sa tim potsećamo čitaoca na našu ranije uvedenu konvenciju da podrazumevamo da su svi prostori potpuno regularni. Naravno kada konstruišemo prostor, moramo proveriti da li je potpuno regularan. Definicija 3.1 Neka je I ideal u C(X) ili C (X). Ako je Z[I] neprazan za I ćemo reći da je fiksan ideal; ako je Z[I] = za I kažemo da je slobodan ideal. Očigledno ideal I je slobodan akko za svaku tačku x X postoji funkcija f I tako da je f(x) 0. Dublje veze izmed u X, C(X), C (X) zavisiće od analize skupa svih maksimalnih ideala. Fiksne maksimalne ideale je lakše opisati, kao što cemo videti u ovom poglavlju. Za karakterizaciju slobodnih ideala potrebno je razviti jaču aparaturu od ove kojom zasad raspolažemo. Postoje prostori koji ne sadrže slobodne ideale to su upravo kompaktni prostori (Teorema 3.4). U vezi sa ovim prostorima ćemo ubrzo prezentovati jedan od rezultata centralnih za razvoj teorije prstena neprekidnih funkcija: u klasi kompaktnih prostora, struktura prstena C (X) odred uje prostor X do na homeomorfizam (Teorema 3.3). Očigledno svaki z-ideal je fiksan ideal. Opštije, ako je Z(f) neprazan, tada je glavni ideal (f) fiksan jer je jasno, Z[(f)] = Z(f). Štaviše, svaki slobodan ideal u C(X) ili C (X) sadrži neki nenula fiksni ideal. Zapravo, ako I sadrži nenula funkciju h čiji je nul-skup neprazan, onda I sadrži nenula fiksni ideal (h). Da pokažemo da I uvek sadrži takav element (čak i u slučaju I C ) primetimo najpre da, pošto 25

26 GLAVA 3. FIKSNI IDEALI. KOMPAKTNI PROSTORI je I slobodan, I sadrži neku nenula funkciju f. Ako je Z(f) =, izaberimo neko r f[x]. Tada je funkcija h = f (f r) tražena. S druge strane, očigledno je da nijedan fiksni ideal ne sadrži slobodan ideal. Još jedan primer fiksnog ideala dat je kako sledi. Neka je S neprazan podskup od X. Kao što znamo skup {f C : f[s] = {0}} je ideal u C(X). Ovaj ideal je fiksan u C(X), a njegov presek sa C (X) je fiksan ideal u C (X). On je nenula ideal akko S nije gust podskup od X. Sada ćemo navesti primer jednog slobodnog ideala u C(X) i C (X) Primer 3.1 Bilo koji ideal u C (N) koji sadrži funkciju j C (N) definisanu sa j(n) = 1/n, za svako n N, je slobodan (takav ideal postoji jer j nije invertibilan u C (N)). Primer 3.2 Skup C K (N) svih funkcija koje imaju vrednost 0 na celom skupu N osim u konačno mnogo tačaka je očigledno slobodan ideal i u C(N) i u C (N). Pokazaćemo da je C K presek svih slobodnih ideala, i u C(X) i u C (X). Da ovo proverimo dovoljno je da pokažemo da ako je I bilo koji slobodan ideal, tada za svako n N funkcija f C (N) definisana sa f(n) = 1 i f(m) = 0, m n (tj. karakteristična funkcija skupa {n}) pripada idealu I. Zaista, kako je I slobodan, postoji g I tako da je r := g(n) 0; pritom je f = r 1 fg. Otuda je f I. Prelazimo sada na razmatranje fiksnih maksimalnih ideala u prstenima C(X) i C (X). Ako je I fiksni ideal u C(X), tada je skup S = Z[I] neprazan i skup I = {f C(X) : f[s] = {0}} je fiksan ideal koji sadrži I. Stoga svaki fiksni maksimalni ideal mora biti ovog oblika. Dalje, pošto I možemo da uvećamo tako što smanjujemo skup S, kandidati za maksimalne ideale biće samo oni kod kojih je skup S jednočlan. Da su oni zaista maksimalni pokazaćemo kasnije. Odgovarajući zaključci važe i za C (X). Ideal I koji smo gore posmatrali očigledno sadrži z-ideal Z [Z[I]]. U opštem slučaju ova dva ideala su razıčita: skup S = Z[I] ne mora da pripada familiji Z[I], čak i ako je S nul-skup. Kako nul-skupovi čine bazu za zatvorene skupove, S može biti proizvoljan zatvoren skup, ne obavezno nul-skup. Neka je I ideal u proizvoljnom prstenu A. Setimo se da simbolom I(a) označavamo klasu ekvivalencije a + I kojoj pripada element a. Teorema 3.1 1. Fiksni maksimalni ideali u C(X) su upravo skupovi M p = {f C(X) : f(p) = 0} (p X)

3.1. UVODNA RAZMATRANJA 27 Ideali M p su različiti za različite elemente p. Za svako p X, C(X)/M p je izomorfan sa poljem realnih brojeva R; zapravo preslikavanje dato sa M p (f) f(p) je jedinstveni izomorfizam iz C(X)/M p na R. 2. Fiksni maksimalni ideali u C (X) su upravo skupovi M p = {f C ( X) : f(p) = 0} (p X) Ideali M p su različiti za različite elemente p. Za svako p X, C (X)/M p je izomorfan sa poljem realni brojeva R; zapravo preslikavanje dato sa M p (f) f(p) je jedinstveni izomorfizam iz C(X)/M p na R. Dokaz. (1) M p je jezgro homomorfizma datog sa f f(p) iz C(X) u R. Pošto je r(p) = r za svaki realan broj r, ovo je epimorfizam na polje R. Stoga je njegovo jezgro M p maksimalan ideal i pritom je C(X)/M p izomorfno sa R. Implikacija p q M p M q je neposredna posledica kompletne regularnosti prostora X. S druge strane, ako je M bilo koji fiksni maximalni ideal u C(X), postoji neka tačka p Z[M], pa je M sadržan u M p, a upravo je pokazano da je M p (pravi) ideal. Kako je M maksimalan, mora biti M = M p. Ne mogu da postojati drugi izomorfizmi iz C(X)/M p na R obzirom na to da je jedini automorfizam polja R identički. Dokaz za (2) je identičan dokazu pod (1). Prethodna teorema implicira da se može uspostaviti bijekcija izmed u skupova svih fiksnih maksimalnih ideala u C(X) i u C (X). Ona je data na sledeći jednostavan način: M p M p = M p C (X) Štaviše M p je jedini maksimalan ideal u C(X) koji u preseku sa C (X) daje M p. Zaista, posmatrajmo bilo koji maksimalni ideal M u C(X) koji je različit od M p. Tada postoji f M tako da je f(p) 0. Neka je g = f 1. Tada je g C (X) i Z(f) = Z(g). Otuda je i g(p) 0, pa dakle g ne pripada skupu M p, takod e, g pripada z-idealu M. Stoga g pripada M C (X) ali ne i M p. Ako je M proizvoljan maksimalan ideal u C(X), tada je M C (X) uvek prost ideal. Ali kako ćemo sada pokazati: 1. niti M C (X) mora biti maksimalan 2. niti svaki slobodan maksimalan ideal u C (X) mora biti ovog oblika. Uočimo funkciju j(n) = 1 n, za n N, u C (N). Pošto je j invertibilan element u C(N), on ne može pripadati ni jednom idealu u C(N). Pokazaćemo niže da j pripada svakom slobodnom maksimalnom idealu u C (N). Prihvatimo, trenutno, da je to tako i uočimo proizvoljan slobodan maksimalan ideal M u C(N) (on zaista postoji Primer 3.1). Kao što smo videli M C (N) ne može biti fiksan maksimalan ideal u C (N), a pošto ne sadrži j ne može biti ni slobodan maksimalan ideal. Ovim smo

28 GLAVA 3. FIKSNI IDEALI. KOMPAKTNI PROSTORI pokazali (1). Ostaje da pokažemo (2): ne postoji slobodan maksimalan ideal u C (N) (ponovo na osnovu Primera 3.1 takav ideal M postoji) koji je oblika M C (N) za neki maksimalan ideal M u C(N). Da pokažemo da j pripada svakom slobodnom maksimalnom idealu u C (N), izaberimo bilo koji takav ideal M, i pretpostavimo da j ne pripada M. Tada je (M, j) = C (N), pa postoji f C (N) tako da je fj 1 M. Kako je f ograničena, skup Z(fj 1) = {n N : f(n) = n} je konačan. Prema Primeru 3.1 sledi da postoji funkcija g M koja nema nula u Z(fj 1). Tada je h := g 2 + (1 fj) 2 M ; dakle h nije invertibilan element prstena C (N), tj. inf h [N] = 0. Zbog 0 h [N], ovo znači da postoji rastući niz (k n : n N) prirodnih brojeva takav da niz (h(k n ) : n N) konvergira ka 0. Odatle sledi i da niz ((fj 1)(k n ) : n N) konvergira ka 0, te zaključujemo da je f neograničena funkcija kontradikcija. Tačnu vezu izmedju maksimalnih ideala M u C(X) i ideala u C (X) koji su oblika M C (X) daćemo kasnije. 3.2 Slučaj kompaktnih prostora Teorema 3.2 Ako je X kompaktan prostor, tada je svaki ideal I u C(X) fiksan. Dokaz. Dovoljno je samo da primetimo da je Z[I] familija zatvorenih skupova sa osobinom konačnog preseka. Imajući u vidu Teoremu 3.1 možemo izvesti sledeći zaključak: ako je X kompaktan, tada je preslikavanje dato sa p M p bijekcija izmed u skupa X i skupa svih maksimalnih ideala u C(X). Pošto su maksimalni ideali algebarske invarijante, ovo znači se tačke kompaktnog prostora mogu da rekonstruisati na osnovu algebarske stukture prstena C(X). Dalje, nul-skupovi u X formiraju bazu za zatvorene skupove, a relacija p Z(f) je ekvivalentna relaciji f M p. Stoga je i topologija prostora X u potpunosti odred ena algebarskom stukturom prstena C(X). Preciznije, označimo sa M(X) familiju maksimalnih ideala na prostoru X. Uvedimo topologiju na M(X) tako što za jednu predbazu uzmemo familiju skupova: U f X = {J M(X) : f J} (f C(X)) Lako se proverava da je ovo baza ako uočimo da važi U f X U g X = U fg X što direktno sledi iz činjenice da je svaki maksimalan ideal prost. Ovako definisana topologija zove se Stounova topologija na M(X).