1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili rečenica je smisaona usmena ili pismena tvrdnja koja je ili tačna ili netačna, ali ne može istovremeno biti i tačna i netačna. Za iskaz se kaže da je prost (za rečenicu da je atomska) ako sadrži samo jednu činjenicu i nije sačinjen od drugih iskaza. Iskazi se obično označavaju sa p, q, r... Veznici omogućavaju povezivanje iskaza u složenije iskaze u skladu sa pravilima za operacije iskaznog računa. Primer 1 Kiša pada je prost iskaz, a Kiša pada i vetar duva je složen iskaz jer sadrži više od jedne činjenice. Njega čine dva iskaza i veznik i. Tačnost odnosno netačnost složenog iskaza se može odrediti na osnovu tačnosti i netačnosti iskaza od kojih je izgražen, kao i veznika kojima su ovi iskazi povezani, odnosno operacija pomoću kojih je složeni iskaz dobijen. Tačnost iskaza se označava sa 1 ( ) a netačnost sa 0 ( ). Najjednostavnija operacija nad iskazima je operacija negacije. Negacija je operacija nad jednim iskazom. Negacija iskaza p označava se sa pȧko je iskaz p tačan, iskaz p je netačan, i obratno, ako je iskaz p netačan, iskaz p je tačan. Negacija se može definisati i tablicom istinitosti 1. p p 1 0 0 1 Tabela 1: Tablica istinitosti za operaciju negacije Dok negacija zahteva samo jedan iskaz, operacija konjunkcije (i) zahteva dva iskaza, dakle kombinuje iskaze. Konjunkcija dva iskaza p i q se označava sa p q i tačna je samo ako su oba iskaza koji je sačinjavaju tačna, u protivnom je netačna. Konjunkcija se može definisati i tablicom istinitosti 2. p q p q 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Tabela 2: Tablica istinitosti za operaciju konjunkcije

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 4 Operacija disjunkcije (ili) takože kombinuje dva iskaza p i q i označava se sa p q a tačna je ako je bar jedan od iskaza koji je sačinjavaju tačan, u protivnom je netačna. Ova se disjunkcija naziva i inkluzivnom disjunkcijom i može se defnisati tablicom istinitosti 3. p q p q 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 Tabela 3: Tablica istinitosti za operaciju disjunkcije Pored inkluzivne disjunkcije postoji i ekskluzivna disjunkcija koja se obeležava sa p q (p q), i koja je tačna ako je samo jedan od iskaza koji je sačinjavaju tačan, u protivnom je netačna. Ekskluzivna disjunkcija je definisana tablicom istinitosti 4. p q p q 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 Tabela 4: Tablica istinitosti za operaciju ekskluzivne disjunkcije Primer 2 Pokažimo kako se nalaze sve istinitosne vrednosti složenog iskaza Kiša pada i vetar duva, ili Petar trči. Ako se sa p, q i r redom označe prosti iskazi Kiša pada, Vetar duva i Petar trči, od kojih svaki može biti ili tačan ili netačan, onda je istinitosna vrednosti iskaza (p q) r data tablicom istinitosti 5. Naredna operacija je implikacija ili kondicional koja se označava sa ( ). Iskaz p q se čita ako p, onda q. Operacija se zadaje tablicom istinitosti 6. Kao što se vidi iz tablice p q i q p su iskazi koji imaju različite istinitosne vrednosti što znači da je ova operacija nekomutativna (za razliku od konjunkcije i disjunkcije). U iskazu p q iskaz p se naziva antecedentom, a q konsekventom. Jedini slučaj kada je implikacija netačna je kada je antecedent tačan, a konsekvent netačan. Ako je antecedent netačan, implikacija je uvek tačna ( ex falso quodlibet ).

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 5 p q r p q (p q) r 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabela 5: Tablica istinitosti za primer Kiša pada i vetar duva, ili Petar trči p q p q q p 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 Tabela 6: Tablica istinitosti za operaciju implikacije Primer 3 Ako Cezar je otkrio Ameriku, onda Kolumbo je bio vojskovoža je tačan iskaz jer je antecedent netačan. Mežutim tačan je i iskaz Ako Cezar je otkrio Ameriku, onda Beograd je glavni grad Srbije. Poslednji veznik je ( ), i njime se uvodi operacija ekvivalencije koja se zadaje tablicom istinitosti 7. Iz tablice se vidi da je iskaz p q je tačan ako oba iskaza p i q imaju istu istinitosnu vrednost. Ekvivalencija se čita ako i samo ako što se može kraće zapisati i sa akko. p q p q 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 Tabela 7: Tablica istinitosti za operaciju ekvivalencije Na osnovu navedenih tablica istinitosti za veznike, odnosno operacije, uvek se može formirati tablica istinosti za bilo koji složeni iskaz. Primer 4 Istinitost iskaza [p (q r)] p ispitana je tablicom 8.

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 6 p q r q r p (q r) [p (q r)] p 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Tabela 8: Tablica istinitosti za primer [p (q r)] p Ako je neki složeni iskaz uvek tačan, odnosno ako su vrednosti u tablici istinitosti za neki iskaz uvek 1, onda se takav iskaz naziva tautologijom. Bez obzira na činjenice (istinitosnu vrednost prostih iskaza) tautologija je uvek tačna. U svakodnevnom govoru postoji mnogo načina da se kaže isto. Slično je i u iskaznom računu. Mogu se formirati različiti izrazi od prostih iskaza i veznika koji mogu imati isto značenje, tako što će za iste istinitosne vrednosti prostih iskaza imati identičnu istinitosnu vrednost, odnosno istovremeno biti tačni ili netačni. Ako su p i q dva složena iskaza koja imaju identične istinitosne vrednosti, onda će tablica istinitosti za iskaz p q uvek imati vrednost 1 (tačno), odnosno predstavljaće tautologiju. Za takva dva iskaza p i q kažemo da su logički ekvivalentna. Primer 5 Iskaz Objekat X je kvadrat ili objekat X nije kvadrat je tautologija bez obzira na to kakav je zaista objekat X. Svi naredni iskazi su tautologije: 1. p ( p) 2. (p q) [ ( p q)] 3. (p q) [ ( p q)] 4. (p q) (p q) 5. (p q) ( p q) Tautologije 2 i 3 su poznate pod nazivom De Morganovi zakoni. Primer 6 Za iskaz 4, pokažimo da je tautologija tablicom 9.

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 7 p q p q p q (p q) (p q) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 Tabela 9: Tablica istinitosti za tautologiju (p q) (p q) Takože, tautologije su i: 1. ( p) p 2. p q q p 3. p q q p 4. (p q) r p (q r) 5. (p q) r p (q r) 6. p (q r) (p q) (p r) 7. p (q r) (p q) (p r) 8. (p q) p q 9. (p q) p q 10. p p p 11. p p p 12. p q p 13. p q q 14. p p q 15. q p q Ako je istinitosna vrednost iskaza uvek 0, iskaz se naziva kontradikcija. Očigledno, ako je p tautologija, onda je p kontradikcija. Ako se u tautologiji p koriste samo veznici, i, onda se iz nje može dobiti kontradikcija q ako se svaki od iskaza od koji je sastavljen iskaz p negira, svaki veznik u iskazu p se zameni sa, a sa. Tada je p q tautologija, i kaže se da je q iskaz koji je dobijen iz iskaza p pomoću dualnosti. U načelu princip dualnosti proističe iz De Morganovih zakona.

1.2 Prošireni iskazni račun 8 Primer 7 U De Morganovom zakonu p q ( p q) desna strana se može dobiti iz leve pomoću dualnosti. Redosled izvršavanja logičkih operacija kojima se formira složeni iskaz zasniva se na sledećoj hijerarhiji: najpre se izvršava operacija, zatim, zatim, i. Za složene iskaze mogu se koristiti i zagrade da bi se ovaj redosled izmenio odnosno da bi se istaklo koji su argumenti odreženog operatora. Primer 8 Iskaz može se napisati i kao p q r p q s (((( p) q) ( r)) p) (q s) 1.2 Prošireni iskazni račun Uvoženjem promenljivih u iskaze, i tzv. kvantifikatora dobija se prošireni ili kvantifikovani iskazni račun. Ukoliko se u tvrženju pojavljuje promenljiva, ono se naziva otvorenim iskazom (rečenicom) koja postaje iskaz kada promenljiva dobije odreženu vrednost (bude instancionirana). Kvantifikatori uz otvorene rečenice pokazuju da li su oni tačni za svako x (univerzalni kvantifikator x) ili za neko x (egzistencijalni kvantifikator x). x(p (x)) znači da je otvorena rečenica P (x) tačan iskaz za svaku vrednost promenljive x. x(p (x)) znači da je tvrženje rečenice P (x) tačno bar za jednu vrednost promenljive x. Primer 9 Ako je P (x) otvorena rečenica x je kvadrat, a Q(x) rečenica x je pravougaonik, onda je x(p (x) Q(x)) x(p (x) Q(x))

1.3 Skupovi 9 1.3 Skupovi Skup se zadaje preko svojih elemenata. Skupove označavamo velikim, a elemente malim slovima abecede. Skup A koji sadrži elemente a, b i c se označava sa A = {a, b, c} Redosled elemenata u skupu je nebitan. Skup se može zadati nabrajanjem elemenata, ali i navoženjem osobina koje kvalifikuju elemente. A = {x S(x)} sadrži sve elemente x koji imaju osobinu opisanu rečenicom S(x). Primer 10 Skup svih kvadrata može se zadati sa: A = {x x je kvadrat} ili A = {x x je pravougaonik i x ima jednake stranice} Skup koji ne sadrži ni jedan element naziva se praznim skupom i obeležava se sa. Ako element a pripada skupu A, onda se piše a A, a ako ne pripada, onda se piše a / A. Izmežu dva skupa A i B postoji relacija inkluzije: A B ukoliko je svaki element skupa A istovremeno element skupa B. A B x(x A x B) Za skup A se tada kaže da je podskup skupa B. Dva skupa su mežusobno jednaka A = B ako važi A B i B A, odnosno ako su elementi skupa A istovremeno elementi skupa B i obratno. A = B A B B A Za dva skupa A i B može se definisati operacija unije kojom se dobija novi skup C = A B čiji su elementi svi elementi skupa A i svi elementi skupa B: Unija ima sledeće osobine: 1. A B = B A A B = {x x A x B}

1.3 Skupovi 10 2. A (B C) = (A B) C 3. A A = A 4. A = A Za dva skupa A i B može se definisati operacija preseka kojom se dobija novi skup C = A B čiji su elementi istovremeno elementi i skupa A i skupa B: Presek ima sledeće osobine: 1. A B = B A 2. (A B) C = A (B C) 3. A A = A 4. A = A B = {x x A x B} Unija i presek imaju sledeće osobine: 1. (A B) C = (A C) (B C) 2. (A B) C = (A C) (B C) Za dva skupa A i B može se definisati i razlika skupova A\B, koju čine svi elementi skupa A koji nisu istovremeno i lementi skupa B: A\B = {x x A x / B} Ako je A S onda je S\A komplement skupa A u odnosu na S i označava se sa C S A ili CA. Primer 11 A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A B = {2, 3} A\B = {1, 4, 5}

1.3 Skupovi 11 Primer 12 Dokazati: A\(B\C) = (A\B) (A C) x A\(B\C) x A x / (B\C) x A (x / B x C) (x A x / B) (x A x C) x (A\B) x (A C) x (A\B) (A C) Elementi skupova mogu biti i drugi skupovi. Na primer: A = {{a}, {b, c}} je skup koji čine dva elementa: skup {a} i skup {b, c}. Partitivni skup skupa A je skup svih njegovih podskupova: Primer 13 Partitivni skup skupa: je skup: P A = {X X A} A = {a, b, c} P A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Ako skup A ima n elemenata, P A ima 2 n elemenata. Pod ureženim parom (a, b) podrazumevamo skup od dva elementa u kome je a prvi, a b drugi element. Postoje i urežene trojke (a, b, c), četvorke (a, b, c, d), itd. Ureženi par (a, b) nije isto što i dvočlani skup {a, b} jer je za različite elemente a i b {a, b} = {b, a}, ali (a, b) (b, a). Pod Dekartovim proizvodom dva skupa A i B u oznaci A B podrazumevamo skup ureženih parova u kojima je a A i b B Primer 14 A = {a, b}, B = {c, d, e} A B = {(a, b) a A b B} A B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)} A A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} Dekartov proizvod skupa sa samim sobom A A označava se i sa A 2.

1.4 Binarne relacije 12 1.4 Binarne relacije Svaki podskup R Dekartovog proizvoda A B je binarna relacija izmežu elemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su a A i b B u relaciji R, piše se (a, b) R ili arb. Inverzna relacija relacije R je R 1 B A takva da je (x, y) R 1 (y, x) R Ako je A = B tada je R A 2 binarna relacija na skupu A. Ako za relaciju R na skupu A važi: ( a A)((a, a) R) relacija je refleksivna, ( a, b, c A)((a, b) R (b, c) R (a, c) R) relacija je tranzitivna, ( a, b A)((a, b) R (b, a) R) relacija je simetrična, ( a, b A)((a, b) R (b, a) R a = b) relacija je antisimetrična ( a A)((a, a) / R) relacija je antirefleksivna. Ako je R A 2 refleksivna, simetrična i tranzitivna relacija, onda je R relacija ekvivalencije (primer je paralelnost pravih). Ako je R A 2 refleksivna, antisimetrična i tranzitivna relacija, onda je R relacija poretka (primer je poredak slova u abecedi). Ako je na skupu A zadata relacija poretka skup A je urežen skup. Ako su svaka dva elementa skupa u relaciji poretka (mežusobno uporediva) skup A je totalno urežen skup. Antirefleksivna relacija poretka je relacija strogog poretka. Ako je E urežen skup gde je relacija poretka i ako je A E i A onda je M E majoranta skupa A ako je ( a A)(a M) (A je ograničen odozgo, sa gornje strane). Ako je pri tome M A, tada je M maksimum skupa A (max A). Ako je E urežen skup i A E i A onda je m E minoranta skupa A ako je ( a A)(m a) (A je ograničen odozdo, sa donje strane). Ako je pri tome m A, tada je M minimum skupa A (min A). Skup može imati samo jedan minimum (maksimum). Ako su m 1 i m 2 minimumi m 1 m 2 i m 2 m 1, onda važi m 1 = m 2 zbog antisimetričnosti. Supremum skupa A E, u oznaci sup A je minimum majoranti, ako postoji. Infimum skupa A E, u oznaci inf A je maksimum minoranti, ako postoji. Skup ima najviše jedan supremum i infimum (jer može postojati samo jedan maksimum i minimum). Ako skup ima maksimum, onda

1.5 Funkcije 13 je supremum jednak tom maksimumu, a ako ima minimum, onda je njegov infimum jednak tom minimumu. Primer 15 1. Da li je relacija R definisana sa arb a 2 b 2 gde je poredak na skupu celih brojeva takože relacije poretka (a) na skupu prirodnih brojeva, (b) na skupu celih brojeva? (a) jeste (b) nije - nije antisimetrična ar( a) ( a)ra, a pritom a a. 2. Dat je skup A = {a, b, c, d}, njegov partitivni skup je P A, a R je inkluzija. Dokazati da je R relacija poretka i naći (a) min P A, max P A (b) skup majoranti, minoranti, sup, inf, max i min za skup A 1 P A: Inkluzija je poredak: X X - refleksivnost A 1 = {{a}, {a, b}, {a, c}} X Y Y Z X Z - tranzitivnost X Y Y X X = Y antisimetričnost min P A = max P A = A Majorante za A 1 su {a, b, c} i {a, b, c, d}. Minorante za A 1 su {a} i. max A 1 ne postoji. min A 1 = {a} sup A 1 = {a, b, c} inf A 1 = min A 1 = {a} 1.5 Funkcije Ako svakom elementu x nepraznog skupa X odgovara tačno jedan element nepraznog skupa Y onda postoji jednoznačno preslikavanje ili funkcija f koja skup X preslikava u skup Y. To zapisujemo kao f : X Y ili X f Y. Pri

1.5 Funkcije 14 tome je X definicioni skup, odnosno domen, a f(x) = {f(x) x X} Y je skup vrednosti, odnosno antidomen. Ako su f : X Y i g : Y Z dva preslikavanja, onda preslikavanje g f : X Z, takvo da je ( x X)g f(x) = g(f(x)) predstavlja proizvod ili kompoziciju preslikavanja f i g. Dve funkcije koje preslikavaju skup X u skup Y su jednake ako važi ( x X)(f(x) = g(x)) Funkcija F preslikava skup X na skup Y i naziva se surjekcija ako je f(x) = Y : svaki element skupa Y je slika bar jednog elementa skupa X. Ako za funkciju f važi f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 onda je f injekcija ili preslikavanje 1-1. Ako je f preslikavanje na i 1-1 onda se ono naziva obostrano jednoznačno ili bijekcija. Ako je f obostrano jednoznačno preslikavanje skupa X na skup Y, onda postoji funkcija koja preslikava skup Y na skup X, koja svakom elementu y Y pridružuje element x X, takav da je y = f(x). Ovo je inverzna funkcija finkciji f i označava se sa f 1. Tada važi f 1 (f(x)) = x. Primer 16 X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} x 1 2 3 f(x) a b a Ni surjekcija ni injekcija X = {1, 2, 3} Y = {a, b} x 1 2 3 f(x) a b a Surjekcija X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d} x 1 2 3 f(x) a b c Injekcija X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

1.6 Binarne operacije 15 x 1 2 3 f(x) a b c Bijekcija X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} y a b c f(y) 1 2 3 Funkcija inverzna prethodnoj X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} Z = {α, β} x 1 2 3 f(x) a b c x a b c (g f)(x) α β α y a b c g(y) α β α Kompozicija funkcija g f 1.6 Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je funkcija koja preslikava elemente skupa A A u skup A. Za (x, y) A A postoji z A takvo da je z rezultat (kompozicija) operacije primenjene na ureženi par (x, y) z = x y Skup A je zatvoren u odnosu na binarnu operaciju ako za svako (x, y) A A, z = x y takože pripada skupu A. Ako je x y = y x operacija je komutativna (x y) z = x (y z) operacija je asocijativna x e = e x = x, e je neutralni element x x = x x = e, x je inverzni element elementa x i obratno Primer 17 O skupovima bojeva biće detaljnije reči u narednom odeljku. Ovde ćemo ih samo iskoristiti kao ilustraciju navedenih osobina binarne operacije za dobro poznate operacije sabiranja i množenja brojeva.

1.6 Binarne operacije 16 Skup neparnih brojeva nije zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja (zbir dva neparna broja nije neparan). Skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na sabiranje i množenje, ima neutralan element za množenje (1), nema za sabiranje (0 ne pripada skupu prirodnih brojeva), nema inverznih elemenata ni za sabiranje ni za množenje. Skup celih brojeva ima oba neutralna elementa (0 i 1), inverzne za sabiranje, ali nema inverzne za množenje.