Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni (vidi sliku) Ako je dužin cisterne c noetr M okzuje ntritisk odrediti sile ritisk tečnosti n rednju i zdnju strnu cisterne Rešenje: X = 0, Y = w, Z = d = ( Xdx + Ydy + Zdz) -osnovn jednčin idrosttike Zeno rojekcij zreinske sile u retodnoj jednčini dobij se: d = ( wdy dz) Intercijo oslednje jednčine dobij se jednčin: = wy z + C ; Konstnt C određuje se iz rnično uslov z ritisk: x=0, y=0, z=0: = + C = + retodn jednčin ostje: = wy z -jednčin rsored ritisk u tečnosti Ond je sil ritisk tečnosti n rednju strnu cisterne: P = de je ( 0,0, b) ( ) A C težište rednje strne cisterne, A = bπ -ovršin rednje strne cisterne Ond se dobij d je: P = + b b C ( ) π Sil ritisk tečnosti n zdnju strnu sud je: P = de je ( 0, c, b) C z ( ) A težište zdnje strne sud Ond je: P C ( + wc + b) π = b z
Zdtk Priztičn cistern dužine b čiji je bzis etouonik dt n slici, nunjen je tečnošću ustine do visine, odtle do vr tečnošću ustine i kreće se konstntni ubrznje o orizontlno rvolinijsko utu Ako je, z vree kretnj, okzivnje vkuuetr v, tčk Arid rzdelnoj ovrši tečnosti, odrediti silu ritisk n zdnju strnu cisterne Tečnosti se ne ešju Rešenje Obe tečnosti reltivno iruju i z jednu i z druu vži osnovn jednčin z idrosttiku Z tečnost ustine on je: d = Xdx + Ydy + Zdz () Kko su, z izbrni koordintni siste, rojekcije rezultujuće zreinske sile: X = 0, Y =, Z = () jednčin () ostje: d = ( dy dz) (3) Intercijo jednčine (3) dobij se jednčin: = ( y z) + C () de se konstnt C određuje korišćenje rnično uslov: = v z y = b,z = i iznosi: C = v + ( b + ) Unošenje izrz z konstntu Cu jednčinu () dobij se jednčin rsored ritisk, z tečnost ustine, u obliku: = + b y + z (5) Pritisk u tčki ( 0, b,0) ( ) ( ) v A koj rid rzdelnoj ovrši tečnosti dobij se iz jednčine (5) unošenje koordint tčke A i iznosi: = + PA v
Težište del zdnje strne, koji kvsi tečnost ustine, je u tčki C 0,0, 3 je sil ritisk tečnosti n ovj deo zdnjue strne dt izrzo: P = ( ) C A = v + b + 3 određene iz jednčine (5) unošenje koordint tčke de je rzlik ritisk ( ) C C Z tečnost ustine, onvljjući isti ostuk, dolzi se do jednčine: = ( y + z) + C (6) C određuje se korišćenje oznto ritisk u tčki A i iznosi: C = v + + b (7) C jednčin (6) ostje: konstnt S ovko određeno konstnto = + b y z + (8) ( ) v Težište del zdnje strne koji kvsi tečnost ustine C 0,0, se iz jednčine (8) dobij d je u tčki C : ( ) C = v + b + (9) Sil ritisk n ovj deo zdnje strne je: P = ( ) C A = v + b + rezultujuć sil ritisk je: P = P + P = 3 v + ( b ) + + b 3 je u tčki ( )
3 Zdtk Sud rikzn n slici sstoji se od dv obrtn rboloid i nunjen je tečnošću ustine Sud se kreće u orizontlnoj rvni o rvolinijsko utu konstntni ubrznje Ako su veličine dte n slici oznte, okzivnje noetr je odrediti vertiklne koonente sil ritisk tečnosti n obrtne rboloide Rešenje: Tečnost reltivno iruje u susdu vži jednčin: d = ( Xdx + Ydy + Zdz) Kko je, z izbrni koordintni siste: X = 0, Y =, Z = oslednj jednčin se svodi n oblik: d = ( dy + dz) Intercijo osldenje jednčine dobij se: = ( y + z) + C konstnt C određuje se korišćenje oznto ritisk u tčki M, tj z : x=0, y=0, z=: = +, i iznosi: C = + + Unošenje izrz z konstntu C u oslednju jednčinu dobij se jednčin rsored ritisk u obliku: = + y + ( z) Koristeći činjenicu d je z fiktivnu slobodnu ovršinu tečnosti = iz oslednje jednčine (rsored ritisk) dobij se jednčin fiktivne slobodne ovršine tečnosti u obliku: z = + y Vertikln koonent sile ritisk tečnosti n ornji rboloid je: ( ) P = V = R π + R π = R π + n donji rboloid: ( ) 3 = = π + π P V R R = R π +
Jednoliko obrtnje sud s tečnošću Zdtk Sud oblik zrubljeno konus dienzij,d i nunjen je tečnošću ustine i obrće se, oko svoje vertiklne ose, konstntno brzino (vidi sliku) Ako je, z vree obrtnj, okzivnje noetr odrediti sile ritisk tečnosti n ornji i donji bzis sud Rešenje: Tečnost u sudu reltivno iruje vži osnovn jednčin z idrosttiku: d = ( Xdx + Ydy + Zdz) () Z odbrni koordintni siste rojekcije rezultujuće zreinske sile su: X = x, Y = y, Z = () Unošenje rojekcij () u jednčinu () on ostje: d = ( xdx + ydy dz) Intercijo oslednje jednčine, čln o čln, dobij se jednčin: = r z + C (3) de je r = x + y Koristeći oznti ritisk u tčki M dobij se d je intercion konstnt: C = + + Unošenje konstnte C u jednčinu (3) dobij se jednčin rsored ritisk u obliku: = + r + ( z) () Jednčin rsored ritisk z ornji bzis dobij se iz jednčine () unošenje u nju z = (jednčin rvni kojoj rid ornji bzis) i i oblik: ( ) G = + r Ond je sil ritisk tečnosti n ornji bzis dt izrzo: d d d π PG = ( ) G da G = r r dr + π = A 0 + 6 G Jednčin rsored ritisk n donji bzis dobij se iz jednčine () u nju z = 0 (jednčin rvni kojoj rid donji bzis) i i oblik: ( ) = + r + Sil ritisk tečnosti n donji bzis dt je izrzo: π P π = = da = + r + r dr A 0 ( ) + + 6 G
Zdtk Sud oblik obrtno rboloid rečnik osnove i visine, nunjen tečnošću ustine, obrće se oko svoje vertiklne ose konstntno uono brzino (vidi sliku) Pokzivnje noetr je Odrediti: jednčinu rsored ritisk u tečnosti, jednčinu rsored ritisk z ootč sud, silu ritisk tečnosti n osnovu i ootč sud Rešenje: Polzeći od osnovne jednčine z idrosttiku: d = ( Xdx + Ydy + Zdz) i unoseći u nju rojekcije rezultujuće zreinske sile: X = x, Y = y, Z = dobij se jednčin: d = ( xdx + ydy dz), čijo se intercijo dolzi do jednčine: = r z + C () de je izvršen relz n olrno-cilindrični koordintni siste Korišćenje oznto ritisk u tčki M dobij se d je intercion konstnt: C = + + se jednčin () svodi n jednčinu: = + r + ( z) () koj retstvlj jednčinu rsored ritisk u tečnosti Jednčin ovrši, kojoj rid ootč sud, z odbrni koordintni siste je: r z = (3) Unošenje izrz (3) u jednčinu () dobij se jednčin: ( ) o r = + + koj retstvlj jednčinu rored ritisk tečnosti z ootč sud Zenjujući = u jednčini () dobij se jednčin fiktivne slobodne ovrši tečnosti u obliku: z = + + r () Sil ritisk tečnosti n ootč dt je izrzo:
π π π = = 0 o V P (5) de se veličin dobij iz jednčine (), unošenje u nju r =, i iznosi: + + = ond je veličin: 0 = = Unošenje veličin 0 i u izrz (5) dobij se d je: 6 P o π + + = Sil ritisk tečnosti n osnovu sud je: 6 P P o B π + + = π + =
3 Zdtk Ztvoreni sud oblik kružno cilindr olurečnik R nunjen je tečnošću ustine i obrće se, oko vertiklne ose, konstntno uono brzino Kružni okloc rečnik R, koji ztvr isti tkv otvor n ornje bzisu cilindr održv u rvnoteži, z vree obrtnj sud, sil intenzitet F (vidi sliku) Odrediti jednčinu rsored ritisk u tečnosti i silu ritisk tečnosti n ornji bzis sud Rešenje Polzeći od osnovne jednčine z idrosttiku: d = ( Xdx + Ydy + Zdz) i unoseći u nju rojekcije rezultujuće zreinske sile koj deluje n tečnost u sudu: X = x, Y = y, Z = i interleći je dolzi se do jednčine rsored ritisk u sudu: = r z + C () u kojoj je intercion konstnt C, z sd, neoznt Unoseći z = 0 (jednčin rvni kojoj rid ornji bzis sud) u jednčinu () dolzi se do jednčine rsored ritisk tečnosti z ornji bzis sud u obliku: = r + C () Koristeći činjenicu d sil, intenzitet F, održv okloc u rvnoteži dolzi se do jednčine: ( ) da = F (3) A u kojoj je A ovršin okloc Uzijući d je eleentrn ovršin da = rdrdϕ i unoseći je zjedno s izrzo () u jednčinu (3) ist se svodi n jednčinu: π R cos ϕ dϕ r + C rdr = F () π 0 koj, osle relizcije nznčene intercije i zene rnic, ostje: 3 R π R π + ( C ) = F (5) 6 Iz jednčine (5) dobij se d je: 3 C = + F R π R π 6 jednčin rsored ritisk (), osle zene vrednosti z C, ostje: 3 = r z + F R π (6) R π 6
Jednčin rsored ritisk, z ornji bzis sud, dobij se iz jednčine (6), zeno z = 0, i i oblik: 3 = + r F R π (7) R π 6 Sil ritisk tečnosti, n ornji bzis sud, dt je izrzo: P = ( )da A koji se, osle zene da = rπdr i unošenje izrz (7), svodi n oblik: R 3 P = r + F R rπdr π R 6 0 π iz ko se, osle relizcije nznčene intercije i zene rnic, dobij d je: P = F + R π 6
Zdtk Konusni sud, rečnik d i visine, nunjen tečnošću ustine, obrće se oko svoje vertiklne ose, konstntno uono brzino Z dno sud n rstojnju d od ose obrtnj, riključen je cev s tečnošću ustine koj se obrće zjedno s sudo (vidi sliku) Ako su veličine dte n slici oznte odrediti silu ritisk tečnosti n dno sud i ritisk n vru konus Tečnosti se ne ešju Rešenje Unoseći u osnovnu jednčinu z idrosttiku z tečnost ustine d = ( Xdx + Ydy + Zdz) rojekcije rezultujuće zreine sile: X = x, Y = y, Z = () i interleći tko dobijenu jednčinu dolzi se do jednčine: = r z + C () Kko je z r = d i z = : = to se iz jednčine () dobij d je: C = d + se ist jednčin svodi n jednčinu: = + ( r d ) ( z ) (3) N isti nčin, z tečnost ustine, dolzi se do jednčine: = r z + C Koristeći činjenicu d se ritisk u tčki A( d, ), ože srčunti korišćenje jednčine (3) ili jednčine () dolzi se do jednčine: 3 3 d + = d + + C 8 iz koje je: d C = ( 3 + ) + ( 3 ) 8 Unošenje izrz (5) u jednčinu () ist se svodi n jednčinu: d = r z ( 3 + ) + ( 3 ) (6) 8 koj retstvlj jednčinu rsored ritisk z tečnost ustine Jednčin rsored ritisk z dno sud dobij se iz jednčine (6) z z = 0 i i oblik:
d 8 Intenzitet sile ritisk tečnosti n dno dt je izrzo: ( ) = r ( 3 + ) + ( ) 3 d ( ) P = rπdr, 0 koji se osle unošenj jednčine (7), intercije i zene rnic, svodi n izrz: Unošenje koordint tčke ( 0, ) d π P = ( 3 ) d ( 6 + ) 8 8 S u jednčinu (6) dobij se d je ritisk n vru konus dt izrzo: 3 d s = + ( ) ( 3 + ) 8
5 Zdtk Cilindrični sud, olurečnik osnove R, nunjen je tečnošću ustine, obrće se konstntno uono brzino oko orizontlne ose OO Mnoetr M (vidi sliku) okzuje ntritisk Odrediti jednčinu rsored ritisk u tečnosti i ritisk o njnižoj izvodnici cilindr Rešenje: Unoseći rojekcije rezultujuće zreinske sile: X = x, Y = 0, Z = z u osnovnu jednčinu z idrosttiku i interleći je dobij se jednčin: = ( x + z ) z + C () Kko je, z x = 0, y = 0,z = 0, = + to se iz jednčine () dobij d je intercion konstnt: C = ( + ) Unošenje ovo izrz z konstntu C u jednčinu (9 dobij se jednčin rsored ritisk u tečnosti u obliku: = + + ( x + z ) z () Jednčin rve kojoj rid njniž izvodnic cilindr je ( x = 0,z = R ) se njeni unošenje u jednčinu () dobij ritisk o njnižoj izvodnici cilindr u obliku: n R = + + + R