Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije f u tački : f + f. f n f n, n N, f 0 f. Pravila diferenciranja:. f + g f + g ;. fg f g + fg ; 3. f f g fg g g ; 4. f g f g g. Lajbnicova formula n ti izvod proizvoda: fg n n k0 n f k g n k k n k0 n f n k g k. k
Izvod inverzne funkcije: f y f. Logaritamski izvod funkcije f ϕ ψ : log f log ϕ ψ ψ log ϕ log f ψ log ϕ f f ψ log ϕ + ψ ϕ ϕ f ϕ ψ ψ log ϕ + ψ ϕ ϕ. Izvodi parametarski definisane funkcije { ϕt, y ψt : y dy d dψ dt dϕ dt ψ tt ψt ϕ t t ϕt, y d d Diferencijal: dy d d d ψ t t ϕ t t d dt ψ t t dt ϕ t t d d dt ψ tϕ t ψ tϕ t ϕ t 3 ψt ϕt ψt ϕt ϕt 3. df f d, d n f f n d n, n N. ψ t t ϕ t t d dt Napomena. U celokupnom izlaganju podrazumeva se log log e.
3 Tablica izvoda: n n n ; arcsin ; e e ; arccos ; a a log a; arctan + ; log ; arccot + ; sin cos ; sinh cosh ; cos sin ; cosh sinh ; tan cos ; tanh cosh ; cot sin ; coth sinh. Zadaci. Po definiciji odrediti f ako je: a f + ; b f sin ; c f e. Rešenje: a Kako je f 3, to je f f f lim lim lim +. + lim +
4 b Slično odred ujemo f f f sin sin sin + sin lim lim lim sin cos + cos sin sin lim Kako je sin lim cos + sin lim cos cos sin cos sin sin cos lim, lim, lim 0,. dobija se f cos. c S obzirom na poznatu graničnu vrednost važi sledeće: e lim log e, f f f e e lim lim lim ee e.. Odrediti izvode sledećih eksplicitno zadatih funkcija: a y cos π + sin π; b y sinlog + coslog ; c y arctan e e + ; d y esin + e cos sin cos e y log loge ; f y log cos + cos + ; g y log sin + cos sin cos ; h y arcsin 3.
5 Rešenje: a Najpre koristimo pravilo za izvod proizvoda, a zatim za izvod složene funkcije: y cos π + sin π cos π + sin π + cos π + sin π π sin π π sin π + sin π + cos π + sin π + cos π π sin π + sin π cos π + sin π + sin π + sin π π sin3 π + sin π. + sin π π sin π cos π b Za odred ivanje izvoda primenjujemo pravilo za izvod količnika, a posle toga pravilo za izvod zbira i izvod složene funkcije: sinlog + coslog y sinlog + coslog sinlog + coslog coslog log sinlog log sinlog + coslog coslog sinlog sinlog + coslog coslog sinlog sinlog coslog sinlog. c U ovom slučaju najpre primenjujemo pravilo za izvod složene funkcije, a zatim za izvod količnika, zbira i ponovo složene funkcije: y arctan e e e + e e + + e + e + e e + e e + e + + e e +
6 e e + e e e 4 + e + + e 4 e + e e + e + e 4 + e e 4 +. e d y sin + e cos sin cos e sin + e cos sin cos e sin + e cos sin cos sin cos e sin cos + e cos sin sin cos e sin + e cos cos + sin sin cos e sin + e cos sin cos cos sin cos e sin + sin ecos sin cos cos esin sin e cos sin cos sin + cos e sin + ecos sin cos. e y log loge loge e e + e loge loge + loge. loge e e f y log cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + sin + sin + cos + cos + cos + sin cos cos + cos + sin cos + sin cos cos +
7 cos + cos + sin cos +. cos sin + + cos cos + g y sin + cos log logsin + cos logsin cos sin cos sin + cos cos sin cos + sin sin cos cos sin sin + cos sin + cos sin cos cos + sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin + cos cos cos. h y arcsin 3 3 3 3 3 3 3 3 3. 3. Odrediti izvode sledećih implicitno zadatih funkcija: a y + arctan y ; b cos + y + sin + y y ; c e cos y log + y ; d tany arctan + y; e + y cosy; f y log + y 0; g y + + y y + y ; h y y.
8 Rešenje: a Imajući u vidu da je y zavisno promenljiva, tj. funkcija nezavisno promenljive, tražimo izvod leve i desne strane jednakosti i dobijamo: y + arctan y, y + arctan y, y + y + + y y. Rešavanjem dobijene jednačine po y imamo: y + y + y + y + y, + y + y + y y y + y y + y +. b Opisanim postupkom dobijamo y kroz sledeći niz jednakosti: cos + y + sin + y y, sin + y + y + cos + y + y y y, sin + y + y + cos + yy + y y y, sin + y + y + cos + yy + y y y, 3 cos + y sin + y y sin + y y cos + y y. Konačno je y sin + y y cos + y y 3 cos + y sin + y. c e cos y log + y, e cos y log + y, e cos y cos y + y + y,
9 e cos y sin yy + y + yy, + y sin y e cos y y + yy, y + + y sin y e cos y y, y y + + y sin y e cos y. d tany arctan + y, tany arctan + y, cos y y + y + + y + y, + + y y + y cos y + y, + + y cos y y cos y y + + y, y cos y y + + y + + y cos y. e + y cosy, + y cosy, + y + y sinyy + y, + y + siny y + y y siny, y + y + y siny + y + siny. f y log + y 0, y log + y 0, y + y + y + y 0, + yy + y + y 0,
0 + y y y + y, y y + y + y. g y + + y y + y, y + + y + y, y y + y + + y y y + + yy y y + y + y y + y + y y y, y y, + y + + y y yy + y + y + y + 3 + y y yy + y + y + y, + y. Konačno, dobijamo y yy + + yy + y. y + y + 3 + h Najpre logaritmujemo, a zatim diferenciramo jednakost: log y log y, y log log y, y log log y, y log + y log y + y y.
Traženi izvod y se dobija rešavanjem dobijene jednačine: 4. Odrediti izvode sledećih funkcija: yy log + y y log y + y, y log y y log y y, y y log y y y log. a y log ; b y arctan ; tan c y ; d y sin +cos. + Rešenje: a Kako je funkcija zadata u obliku stepena u kome i osnova i izložilac zavise od nezavisno promenljive, najpre logaritmujemo jednakost i dobijamo log y log log log log, tj. log y log. Diferenciranje dobijene jednakosti daje: log y log, y y log, y y log, y log log. b Sličnim postupkom dobijamo: y arctan, log y logarctan logarctan, log y logarctan, y y logarctan + arctan +,
y y logarctan + arctan +, y arctan arctan logarctan + +. tan c y, + log y tan log log y, + tan log, + y y cos log + tan + + y y cos log y y + + + cos log + tan + + +, tan,, y tan + cos log + tan +. + d y sin +cos, log y + cos logsin, log y + cos logsin, y y cos sin logsin + + cos cos, sin y y sin cos logsin + + cos cos, sin y cos sin cos + cos sin logsin.
3 5. Odrediti izvode sledećih parametarski zadatih funkcija: a { te t, y arctan t; b { t cos t, y t sin t; c { t 3 +, y t 3 + t + ; d { t log t, y log t. t Rešenje: a Kako je t te t e t + te t + te t, y t arctan t + t, to je y y t t + t + te t e t + t + t + t 3. b t cos t, y t sin t, y y t t t sin t t cos t t sin t + t cos t sin t + t cos t t cos t cos t t sin t. t sin t c t 3 +, y t 3 + t +, y y t t 3 t + t + t 3 + 3t + 3t + 3t. d t log t, y log t, t y y t t log t t t log t t t log t t log t + t t log t t + log t.
4 6. Odrediti vrednosti y i y 0 ako je funkcija y zadata sa: log a y arctan, 0 e ; b y y + 6 0, 0 3, y 0 ; c y + cos, 0 0; d { t sin t, y cos t, 0 π, y 0. log Rešenje: a Funkcija y arctan je diferencijabilna na 0, + i u svakoj tački tog intervala je Za 0 /e e važi y 0 y e y log + log. log e e + log e e + e + e. b Primenjujući postupak za odred ivanje izvoda implicitno zadate funkcije opisan u zadatku 3. nalazimo izvod funkcije y u proizvoljnoj tački iz oblasti definisanosti: y y y + 6 y. y + 6 y Zato je y 0 y 0 y 0 0 y 0 + 6 0, 0 y 0 + 6 y 0 tj., y 3 3 + 6 3 5 3 + 6.
5 c Kao u zadatku 4., jednakost y + cos logaritmujemo, a zatim diferenciramo: odakle dobijamo Specijalno, log y log + cos, y y log + cos + sin + cos, y + cos + cos log + cos sin. y 0 + cos 0 + cos 0 log + cos 0 0 sin 0 log 3. d Izvod parametarski zadate funkcije t sin t, y cos t u proizvoljnoj tački je y y t cos t t t sin t sin t cos t. Da bismo odredili vrednost patametra t 0 tako da je t 0 0, yt 0 y 0, rešavamo sistem jednačina t sin t π, cos t. Iz druge jednačine zaključujemo da je cos t, tj. t π + kπ, k Z. Zamenom u prvoj jednačini dobijamo π + kπ sinπ + kπ π, odakle je kπ 0, tj. k 0. Prema tome, t 0 π, pa je y 0 sin t 0 cos t 0 0. 7. Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata eksplicitno: a y e tan + + ; b y arctan cos.
6 Rešenje: a y e tan + cos, y e tan cos cos sin etan + sin cos, e y y tan + sin cos e tan cos + cos cos e tan + sin cos sin cos 4 etan + cos 3 + sin cos e tan + sin cos cos 4 etan + sin cos + cos cos + sin cos 4 etan + sin + cos + sin cos 4, y 0 etan 0 + sin 0 + cos 0 + sin 0 b y arctan +, cos 4 0. y, y / 3/, y 0 0. 3 8. Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata implicitno: a + y + y 4 + y, 0 ; b e y + y, 0 0; c log y + y, 0 0.
7 Rešenje: a Primetimo da su jednačinom + y + y 4 + y implicitno zadate dve funkcije y y i y y. Primenom postupka opisanog u zadatku 3. dobijamo njihov prvi izvod: y y + + y. Diferenciranjem dobijene jednakosti nalazimo drugi izvod obeju funkcija u proizvoljnoj tački oblasti definisanosti: Za imamo y y y + + y y + + y y + + y + + y y + + y y + y + + y 3 + y + + y. y 3 + y + + y. Za odred ivanje y zamenimo u jednačini + y + y 4 + y i dobijamo tj. + y + y 4 + y, y + 4y 5 0, čija su rešenja y i y 5. Sada je y y + + y 0, y y + + y 6 3
8 i y 3 + y + + y 3 3 3, y 3 + y + + y 3 3 3. b Izvodi funkcije implicitno zadate sa e y + y u proizvoljnoj tački su y yey e y, ye y y y e y yey e y ye y e y e y y e y ye y y + y e y ye y e y + e y y + y e y e y y + yy + y e y + ye y + y + y e y e y ey + y y + ye y + y e y. Zamenom 0 u jednačini e y + y dobijamo y0, pa je y 0 e0 0 e 0 0, y 0 e 0 0 e 0 + 0 0 + e 0 0 + 0 e 0. c Jednačinu možemo da transformišemo u oblik y log y + y, a zatim diferenciranjem i rešavanjem dobijene jednačine po y dobijamo prvi izvod funkcije u proizvoljnoj tački: y log y.
9 Ponovnim diferenciranjem dobijamo i drugi izvod: y y log y log y y y y y log y. Vrednost funkcije u tački 0 je y0 e, a vrednosti izvoda su y 0, y 0 e. Primetimo da se bez transformacije polazne jednačine dobijaju drugačiji oblici prvog i drugog izvoda funkcije: y y y, y y y y. Oni su ekvivalentni onima koji su prethodno dobijeni, što se može pokazati korišćenjem polazne jednačine. 9. Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata parametarski: a { e t, y e t, 0 e; b { t cos t, y sin t, 0 π. Rešenje: a Prvi izvod parametarski zadate funkcije u proizvoljnoj tački je y dy d dy dt d dt et e t et e t e4t. Drugi izvod odred ujemo na sledeći način: y d dy d e 4t. d d d Primenjujući pravila za izvod složene funkcije: d e 4t d e 4t dt dt 4e4t d dt d d
0 i izvod inverzne funkcije: dobijamo dt d d dt e t, y 4e 4t e t e6t. Tačka čija je apscisa 0 e dobija se za vrednost parametra t 0 /. Zato je y e e 3 e 3. b Slično kao u prethodnom zadatku odred ujemo: y dy d y d d dy dt d dt dy d d d + sin t d dt sin t t cos t cos t + sin t cos t + sin t, cos t d cos t + sin t dt + sin t + sin t Specijalno, t cos t π se dobija za t 0 π/, pa je 0. Dokazati da je funkcija y π rešenje diferencijalne jednačine dt d + sin t + sin t. + sin π/ 8. y e + e y + y 4 y 0. Rešenje: Izvodi zadate funkcije su y e e, y e + e + 4.
Zamenom u levoj strani jednačine dobija se y + y 4 y e + e + 4 + e e 4 e + + e + 4. Dokazati da funkcija f log e e + zadovoljava diferencijalnu jednačinu Rešenje: Kako je imamo f e 4 + f + e 4 f 0. 4e e 4, e 4 + f + e 4 f e + e 4 e + e 4 f 8e e 4 + e 4, e 4 + 4e e 4 e 4 8e. Odrediti y n n N ako je: e 4 + e 4 0. a y sina + b; b y cosa + b; c y e a+b ; d y loga + b. Rešenje: a Imajući u vidu da je prvih nekoliko izvoda funkcije jednako: y sina + b a cosa + b a sin a + b + π, y a sin a + b + π a cos a + b + π a sin a + b + π, y a sin a + b + π a 3 cos a + b + π a 3 sin a + b + 3 π, y 4 a 3 sin a + b + 3 π a 4 cos a + b + 3 π a 4 sin a + b + 4 π, 0.
možemo da pretpostavimo da je izvod reda n n N oblika y n a n sin a + b + nπ Dokaz izvodimo matematičkom indukcijom. Za n tvrd enje važi. Pretpostavimo da važi za neki prirodni broj k, tj. da je y k a k sin a + b + kπ. Tada je y k+ y k a k sin a + b + kπ a k+ cos a + b + kπ a k+ sin a + b + kπ + π a k+ k + π sin a + b +, što znači da važi i za prirodan broj k +. Prema tome, tvrd enje važi za svaki prirodan broj n, tj. y n sina + b n a n sin a + b + nπ.. b Na isti način dobijamo cosa + b n a n cos a + b + nπ n N. c Kako za funkciju y e a+b važi: y ae a+b, y a e a+b, y a 3 e a+b,... pretpostavljamo da je y n e a+b n a n e a+b n N. Tvrd enje se dokazuje matematičkom indukcijom na prethodno opisan način. d Za funkciju y loga + b imamo: y a a + b, a y a + b, y a 3 a + b 3, y4 3 a4 a + b 4.
3 S obzirom na prva četiri izvoda pretpostavljamo da je y n n an n! a + b n i dokazujemo matematičkom indukcijom. Za n tvrd enje važi. Iz indukcijske pretpostavke da tvrd enje važi za n k, tj. sledi y k+ y k k ak k! a + b k, y k k ak k! a + b k k a k k! a + b k k a k k! kaa + b k k a k+ k! a + b k+, što znači da važi i za n k +. Prema tome, važi y n loga + b n n an n! a + b n n N. 3. Ako je n N, odrediti: a n ; b 3 + 3 n ; c 3 n. 4 9 Rešenje: a Na način opisan u zadatku. d dokazujemo da je n n n n! 3 3 n+. b Kako je važi + 3 3 + 6 3, + 3 n + 6 n n 6 n 6 n n! 3 3 3 3 n+.
4 c Transformišemo datu racionalnu funkciju na sledeći način: odakle dobijamo 4 9 + 3 3 6 3, + 3 n 4 9 6 3 n n n! 6 + 3 n 6 3 n+ n n n! + 3 n+ n n n! 6 3 3 n+ + 3 n+ n n + 3. 4. Odrediti n n N, a zatim, koristeći dobijeni rezultat, odrediti i + + n n N. Rešenje: Neka je f. Tada je: f / 3/, f 3/ 3 5/, f 3 5/ 3 5 7/. Uočavanjem pravilnosti pretpostavljamo da za proizvoljno n N važi f n n n 3 3 n n+/. n!! n n+. Dokaz matematičkom indukcijom opisan u zadatku. biće izostavljen.
5 Za odred ivanje + + n primenjujemo Lajbnicovu formulu fg n n k0 n f n k g k, k pri čemu je g + +. Kako je g +, g, g k 0, k 3, 4,... u navedenoj sumi su svi sabirci za k 3, 4,..., n jednaki nuli. Zato je fg n n n k k0 n 0 f n k g k n n f n g + f n g + f n g n!! n + + n 3!! n+ + n n + n n 5!! + nn n. n 3 Sred ivanjem poslednjeg izraza dobijamo + + n 3n 5!! n n+ 6n + 4n n +. 5. Za n N odrediti a e 3+ n ; b 3 + + e 3+ n. Rešenje: a Izvod reda n funkcije f e 3+ je videti zadatak. c f n e 3+ n 3 n e 3+. b Izvod 3 + + e 3+ n odred ujemo primenom Lajbnicove formule za izvod proizvoda funkcija f e 3+ i g 3 + +.
6 Izvodi ovih funkcija su pa važi: f k 3 k e 3+, k 0,,,..., g 0 3 + +, g 6 +, g 6, g k 0, k 3, 4,..., 3 + + e 3+ n fg n n 0 n 0 f n g 0 + k0 n f n g + n n k n f n k g k f n g n 3 n e 3+ 3 + + + 3 n e 3+ 6 + + 3 n e 3+ 33 + + + n3 + + nn 3 n e 3+ 9 + 6n + + n + n + 3. n 3 n e 3+ 6 6. Odrediti 3 3 n n N. Rešenje: Matematičkom indukcijom se može dokazati da za proizvoljno n N važi: 3 n 3 log n 3, 3 n log 3 n 3. Primenom Lajbnicove formule dobijamo: 3 3 n n n 3 k 3 n k k k0 n n 3 log n 3 log 3 n k 3 k k0 log 3 n 3 3 n k0 n k 3 log log 3 log 3 n 3 3 + 3 log log 3 n log 3 n 3 log 3 + 3 log n 3 log 3 n 3 3 log n 7. k
7 Do istog rezultata se može doći i bez korišćenja Lajbnicove formule na sledeći način: 3 3 n 3 3 n 7 n 7 log 7 3 3 log n 7. 7. Dokazati da funkcija f arctan zadovoljava diferencijalnu jednačinu + f f 0 i odrediti f 0 i f 0. Da li se može odrediti f n 0 za proizvoljno n N? Rešenje: Izvodi date funkcije su pa je zaista f, f, f f 0. Da bismo odredili f n 0 za proizvoljno n N, potražimo nti izvod izraza na levoj i desnoj strani jednakosti primenom Lajbnicove formule: n k0 f f, f n f n, n n k f n k k k0 n k f n k. k Kako je f n k f n k+, f n k f n k+,,, k 0, k 3, 4,... i, k 0, k, 3,...,
8 imamo: tj. n 0 f n+ + n n f n+ + n n f n+ + 0 f n f n, f n+ nf n+ nn f n f n+ + nf n. Za 0 jednakost postaje f n+ 0 n f n 0, n N. Imajući u vidu da je f 0 / i f 0 0, važi sledeće: f 0, f 4 0 0, f 5 0 3, f 6 0 0, f 7 0 5 3, f 8 0 0. Pretpostavku da je za proizvoljno k N f k+ 0 k!!, f k 0 0. treba dokazati matematičkom indukcujom, što prepuštamo čitaocu.