Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.

Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk z dodtno usvršvnje i npredovnje: Bermn: Zbirk zdtk iz Mtemtike nlize, Nun knjig, 978 Peri, Tomi, Kri: Zbirk riješenih zdtk iz Mtemtike II, Svjetlost, 987 Ušumli, Milii: Zbirk zdtk iz Mtemtike II, Nun knjig, Ferenci, Ungr, omi, Cvijetnovi, Uzelc: Zbirk zdtk iz Mtemtike z studente Tehnikih fkultet, Nun knjig, 98 Zei, Husknovi, Aljbegovi: Mtemtik I z tehnike fkultete, MF, 9 Dodtk A Osnovene formule iz Mtektike II 5 Sedmic broj 8, 9 i (Krivoliniski integrli) Krivoliniski integrli prve vrste (po luku) i njegov primjen: Runnje površine cilindrine površi. 9 Krivoliniski integrli druge vrste (po koordintm). Green formul. 7 Primjen krivoliniski integrli druge vrste: Runnje površine rvne figure. Nezvisnost krivol. integrl od vrste konture. Odreivnje primitivnih f-j. 55 Sedmic broj i (Površinski integrli) Površinski integrli I (prve) i II (druge) vrste 75 Primjen površinskog integrl. Stoksov formul. Formul Gus-Ostrogrdskog. (svesk je skinut s strnice pf.unze.b\nbokov U svesci je mogu pojv grešk. Z sve uoene greške pisti n inforrt@gmil.com) Sedmic broj (Integrli ovisni o prmetru) Diferencirnje svojstvenog i nesvojstvenog integrl ovisnog o prmetru 9 Sedmic broj i 5 (Vektorsk teorij polj) Sklrno polje. Grdijent sklrnog polj. Vektorsko polje. Rotor i divergencij vektorskog polj. 9 Cirkulcij i fluks vektorskog polj. 57 Dodtk B (Ispitni rokovi) Svi ispitni rokovi iz. i. godine 7

(ov strnic je ostvljen przn) (ov strnic je ostvljen przn)

Dio tblic integrl.. u du = u+ + C,. + du u. u du = u = d =ln u + C. u. u du = u ln + C; e u du = e u + C.. sin du = cos u + C. 5. cos du =sinu + C. 6. du =tgu + C. cos u Osnovne formule iz Mtemtike II 7. sin du = ctg u + C. u du 8. u + = rc tg u + C. du 9. u = ln u + C. u + du. u =rcsinu + C. du. u + =ln u + u + + C. Newton-Leibnizov formul. b b f(u)du = f(u)du = F (u) b = F (b) F (), gdje je F (u) =f(u). Osobine određenih integrl. b. f()d = f()d. b. f()d =. b c b. f()d = f()d + f()d. c b b. [f ()+f () f ()]d = f ()d + 5. b b cf()d = c b f()d. b b f ()d f ()d. Smjen promjenjivih u određenom integrlu. = ϕ(t) = = ϕ(α) t = α β β f()d = d = ϕ (t)dt = b b = ϕ(β) t = β = f(ϕ(t))ϕ (t)dt = h(t)dt α α Neprvi integrli. + f()d = lim b b f()d, b f()d = lim b f()d,... b d Rčunnje površine rvne figure. U zvisnosti od izgled slike: P = f()d, P = g()d, c b b d P = f()d, P = [η() μ()]d, P = [g() h()]d,... = η(t) Zpremin rotcionog tijel. Ako, kriv dt u prmetrskom obliku C : = μ(t) t t t oko -ose, zpremine se rčun po formuli t V = π [μ(t)] η (t) dt. t c t Ist kriv ko rotir oko -ose, V = π [η(t)] μ (t) dt. Iz ove dvije formule, z funkcije = f() i = g(), slijedi V = π b t [f()] d i V = π d c [g()] d. 5 rotir C : Dužin luk krive. C : { b = f() b,l= = η(t) = μ(t) t t t +[ ()] d; C :,l= t t [η (t)] +[μ (t)] dt; { d = g() c d,l= c +[g ()] d; Komplncij obrtne površi. Površin omotč tijel dobijenog rotcijom krive = η(t) t C : = μ(t), oko -ose, se rčun po formuli: P =π μ(t) [η (t)] +[μ (t)] ]dt; t t t t { b = f() C : b, P =π f() +[f ()] ]d;... Funkcije dvije nzvisno promjenjive.... Prcijlni izvodi f-j više pomjenjivih. z = f(, ), z = z = lim f( +Δ, ) f(, )... Δ Δ Diferencirnje funkcij više promjenjivih. u = f(,, z), du = u d + u u d + dz... z Diferencirnje složenih funkcij.... Prcijlni izvodi višeg red složenih funkcij.... Ekstremne vrijednosti f-j dvije promjenjive.... Uslovni ekstremi f-j dvije promjenjive.... Jednčin tngentne rvni i jednčin normle n površ. Ako je S u obliku F (,, z) = Dvojni integrli. α : F (,,z )( )+F (,,z )( )+F z(,,z )(z z )= D D n : F (,,z ) = F (,,z ) = z z F z(,,z ) b f(, ) = d f(, ) = c d d h() g() μ() η() f(, )d = f(, )d = b h() g() d μ() c η() f(, )d d, f(, )d d... Smjen promjenjivih u dvojnim integrlim. Z prelzk s prvougonih n polrne = r cos(ϕ) koordinte koristimo smjene = r sin(ϕ), poopštene plrne koordinte su oblik dd = rdrdϕ = rcos(ϕ), ( >) = brsin(ϕ), (b >) dd = brdrdϕ J = u u v v Trojni integrli...., z proizvoljne smjene 6 = η(u, v) = μ(u, v) dd = J dudv, gdje je J Jkobijn,

Rčunnje trojnih integrl uvođenjem cilindričnih i sfernih koordint. = r cos(ϕ) = r sin(ϕ) N cilindrične koordinte prelzimo pomoću z = z dddz = rdrdϕdz Primjen dvostrukih integrl. () P =, opis tčke je Z prelzk s prvougonih n sferne koordinte koristimo = r sin(ϕ)cos(θ) = r sin(ϕ) sin(θ) sljedeće smjene, z = r cos(ϕ) dddz = r sin(ϕ)drdϕdθ (opis tčke je prikzn n slici lijevo). D dd. (b) V = D f(, )dd. Primjen trostrukih integrl. () V = dddz. Ω (b) T ( T, T,z T ), T = dddz, T = dddz,z T = zdddz. V V V Krivoliniski integrl prve vrste (po luku). = η(t) t C : = μ(t), f(, )ds = t t t C t { b = f() C : b, z(, )ds = C Ω Ω f(η(t),μ(t)) (η (t)) +(μ (t)) dt. z(, f()) +(f ()) d. Primjen krivoliniskog integrl { prve vrste - Rčunnje površine cilindrične površi. F (, ) = C :, P = z(, )ds. z = Krivoliniski integrl druge vrste (po koordintm). = η(t) t C : = μ(t), P (, )d + Q(, )d = [P (η(t),μ(t))η (t)+q(η(t),μ(t))μ (t)]dt. t t t C t { b = f() C : b, P (, )d + Q(, )d = [P (, f()) + Q(, f())f ()]d. C Krivoliniski integrl druge vrste ovisi o smjeru put integrcije. Formul Green. ( Q P (, )d + Q(, )d = P ) dd. C S Primjen krivoliniskog integrl druge vrste - Rčunnje površine rvne figure. P = d d. C Nezvisnost krivoliniskog integrl od vrste konture. Određivnje primitivnih funkcij...., Q = P u,..., du(, ) = ud + d,... 7 C Ω Površinski integrl prve vrste. ( ) ( ) η η D projekcij od S: z = η(, ) n - f(,, z)ds = f(,, η(, )) + + dd. S D ( ) ( ) μ μ E projekcij od S: = μ(, z) nz - f(,, z)ds = f(, μ(, z), z) + + ddz. z S E ( ) ( ) γ γ F projekcij od S: = γ(, z) nz - f(,, z)ds = f(γ(, z),,z) + + ddz. z S F Površinski integrl druge vrste. Ako je integrl oblik P (,, z)ddz + Q(,, z)ddz + R(,, z)dd obično g podjelimo n tri S dijel P (,, z)ddz, Q(,, z)ddz, R(,, z)dd. Nekje n =(cosα, cos β,cos γ) vektor S S S normle n površinu S, gdje su α, β i γ uglovi koje vektor normle zklp s, i z osom. Td S : = η(, z), nek je D projekcij od S n z rvn, I = P (,, z)ddz = = ± P (η(, z),,z)ddz gdje S nek je α ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, D vrijednost z ± zvisi od cos(α) (cos(α) > stvljmo +, z cos(α) < stvljmo -, z cos(α) = immo I = ). Slično z I i I S : = μ(, z), nek je E projekcij od S n z rvn, I = Q(,, z)ddz = = ± Q(, μ(, z), z)ddz. S nek je β ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, E S : z = δ(, ), nek je F projekcij od S n rvn, I = R(,, z)dd = = ± R(,, δ(, ))dd. S nek je γ ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, F Primjen površinskog integrl prve vrste - Izrčunvnje površine dijel gltke površi. ( ) ( ) η η P = ds = + + dd, gdje je D projekcij od S: z = η(, ) n rvn. S D Stoksov formul.... Formul Guss-Ostrogrdski. S P (,, z)ddz + Q(,, z)ddz + R(,, z)dd = Ω ( P + Q + R ) dddz z Integrli ovisni o prmetru. b(α) b(α) I(α) = f(, α)d = I (α) = f α(, α)d + b (α)f(b(α),α) (α)f((α),α). (α) (α) b Ako grnice i b ne zvise od α td I (α) = f α(, α)d. Vektorsk teorij polj.... Cirkulcij i fluks vektorskog polj. C = v d r = v d + v d + v z dz. c c Φ= v n ds = v ddz + v ddz + v z ddz. S S 8

. Izrunj krivolinijski integrl od tke A(,) do tke B(,). d d I L ) ( ) po prvoj += b) duž prbole c) duž elipse =cost ; = sint Rješenj: ) Skicirjmo dtu prvu (uput vidi sliku desno). += = - d = -d 6 ) 6 ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( d d d d d d d I L b) Skicirjmo prbolu (uput: vidi sliku iznd). d d d d d d d d d d I L 6 8 6 ) ( 5. 5 7 5 5 5 6 8 8 6 96 6 6 8 96 8 6 5 6 5 d c) Skicirjmo elipsu (uput: vidi sliku s prethodne strnice). = cost = sint d = costdt sin cos : t t t L sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos ) cos sin sin sin (cos sin cos ) sin cos sin ( cos sin cos ) sin ( ) sin (cos ) ( t t t c t c u du u du tdt u t tdt t c t c u du u du tdt du tdt u t tdt t tdt t tdt tdt t dt t t t t t tdt t dt t t t tdt t t tdt t t d d I L

. Izrunti površinu figure koj je ogrnien krivom: ) elipsom cost, bsint ; b) petljom Dekrtovim listom. Rješenj: ) Koristit emo sljedeu formulu: Slik : elips P d d, C gdje je (vidi sliku ) cost C bsint t Izrunjmo izvode od i : d sint dt d bcost dt Uvrstimo u formulu: P d d cost b cost b sint ( ) sint dt C ( ) bcos t b sin t dt b cos t sin t dt b dt b t b b Konno rješenje: P b. 57 58

b) Slik : Dekrtov list D bismo koristili formulu P d d, C mormo prei n prmetrsku jedninu krive uzevši: t, t Vidimo d polrni rdijus OM (vidi sliku ), gdje je O(,) i M(,), opisuje cijelu petlju krive kd t ide od do +. Uvrstimo smjenu t u te n dobiveni rezultt unijeti i smjenu t p emo imti: t t t t /: t ( t ) t t t t t t t t t t t t t t P dlje runmo izvod z : t t ( t ) d dt ( t ) t t( t ) d dt ( t ) t d dt ( ) t te i z : 6 t t t ( t ) d dt ( t ) t t( t ) d t dt ( t ) t t d t dt ( t ) t d t dt ( t ) Pomnožimo izvode s d i d s i, redom t t d t dt t ( t ) Sd uvrstimo dobijene rezultte: d 9 t dt d 9 t dt t t t t d dt t ( t ) t t t ( t ) t t P d d 9 9 t t C t ( t ) t t t 9 9 t dt t dt dt 59 6

. Izrunti površinski integrl: ), gdje je ds z I ) 6 ( oblst rvni ++z = 6, u prvom oktntu; b) ds z K W ) (, gdje je W površin cilindr, koj se nlzi izmeu rvni z = i z = h. Rješenj: ) Skicirjmo oblst (vidi sliku desno) ++z = 6/:6 6 z segmentni oblik jednine rvni z 6-6 - z 6 z dd z z z f ds z f D )), (,, ( ),, ( z z 9 9 9 z z Projekcij n O rvn izgled: Ncrtti projekciju (uput:vidi O rvn s slike iznd). 8 6 6 8 6 8 6 6 6 6 D 6 : 5 6) 5 (9 ) ( 6) 6 (6 6 ) (6 5 ) (6 6 ) (6 ) (6 5 6 5 6 5 6 5 6 6 ) (6 6 6 6 6 d d d d d d d dd dd ds z I D D b) ds z K W ) ( z = i z = h Skicirjmo oblst W (vidi sliku n sljedeoj strnici) dd z z z f ds z f W D ) ),, (, ( ),, ( 8

z K K K i h z D : ddz ddz ddz ds h h D D W zdz d dz d ddz z ddz z ds z K cos cos sin cos sin cos cos sin h h t h h dt h h t tdt h h t tdt h h t tdt h h t t tdt d t d h h 8 dd ds z sin cos cos sin h t h dt h t tdt h t t tdt d t d h z d zdz d ddz z ddz z ds z K h h D D W h h h h h h h K 8

(Zdci su skinuti s strnice: \pf.unze.b\nbokov Z uočene greške pisti n inforrt@gmil.com) 7 8

p i j k kroz elipsoidu. Ni protok (fluks) vektorskog polj z b c. Rješenje: Slik : elipsoid Kko je S ztvoren površ možemo primijeniti formulu Guss - Ostrogrdski v v v z pn ds div p dddz dddz z S Immo: p v v v,, z,, v v vz,, z z b c dddz (*) Oblst je ogrnien elipsoidom (vidi sliku ) Uvedimo sferne koordinte: 67 68

rsin cos rbsinsin z rccos d d dz r sin bc dr d d r ' * ( rb sin sin) r sinbc dr d d ' bc r dr sin d rb sin sin d bc r dr ( rb sin ( cos cos )sin d bc r dr ( rb sin )sin d bc r dr sin d bc r dr sin d bc ( cos bc ( ( ) bc r dr cos )r dr )r dr bc ( ) bc (Zdci su skinuti s strnice: \pf.unze.b\nbokov Z uočene greške pisti n inforrt@gmil.com) Prem tome bc. 69 7

Grup A Pismeni dio ispit iz Mtemtike II (MF),.... A rctg tg d. sincos 5. Odrediti ekstreme funkcije z.. Dt je trostruki integrl d d dz i oblst. I ddz dzd zdd, ko je S donj strn dijel Grup B površi z kojeg isjec površ. B rctg rctg S. tg d. sin6cos7. Odrediti ekstreme funkcije z e 9. I z d ddz, unutršnjost lopte z.. nti površinski integrl I ddz dzd z dd, ko je S vnjsk strn tijel,, z h i dijelom konus S. z u prvom oktntu. Stri progrm: n n n. Ispitti konvergenciju red. n n iv. cos.. I z d ddz, unutršnjost lopte z.. I ddz dzd z dd, ko je S vnjsk strn tijel,, z h i dijelom konus S 7 z u prvom oktntu. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II (MF), 7... GRUPA A. stje rotcijom oko ( ) i prvm,.. I d, ko je D dio krug u D prvom kvdrntu.. 5t 5t,, t. 5 5 t t ln. I d. GRUPA B. cijom oko ose figure u drugom kvdrntu ( ) i prvm,.. I d, ko je oblst D D,.. I t t,,t. t t. I. Stri progrm:. red: rctg d n n n n n.... t t,,t. t t. I rctg d. ferencirnj po prmetru. 7

Drugi prcijlni ispit, 8.6.. GRUPA A : z 6, z, z. ds, ko je c kriv t, t, z t,t. I zds, S : z, z. GRUPA B c S Drugi prcijlni ispit, 8.6.. : z, z, z. z ds, ko je c kriv t, t, z t,t. c E z z ds, S z z S :,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,.6.. GRUPA A. lom, i normlom n prbolu koj zklp ugo od 5 s osom.. z b, ko je.. I dddz, ko je z,, z, z,.. I ddz dzd z dd, ko je S vnjski dio površi z, z. GRUPA B b., b, b. b. z c, A,, c S okomit je n rvn.. z I I dddz, ko je, z, z, z,.. I z z sin ddz z sin z dzd z dd, ko je S S ovršim z, z. i Stri progrm.. n n n n5.. z. I dddz, ko je obls, z, z, z,.. I z z sin ddz z sin z dzd z dd, ko je S S z, z. 7 7

GRUPA A. unti integrl Pismeni ispit iz Mtemtike II, 6.7.. d rctg. 76. Promijeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d. 7 76. Odrediti brojeve i b tko d vektorsko polje v z, z b z, z ju duž prvolinijske,, B,,. A. ds, cos. GRUPA B. nti integrl rcsin d.. Promijeniti poredk integrcije u integrlu c d f, d.. Dokzti d je vektorsko polje v z, z, z tog polj kroz vnjsku strnu sfere z.. 6 8 A,,, B,,, C9,,. 5 5 ABC, c ko je c desn ltic lemniskte z ds, ko je c kontur trougl Stri progrm. Rzviti u Fourierov red funkciju f,,... v z, z b z, z. Odrediti brojeve i b tko d vektorsko polje bude,, B,,. A. ds, cos. c 75 ko je c desn ltic lemniskte GRUPA A Pismeni ispit iz Mtemtike II, 6.9... Odrediti zpreminu tijel nstlog rotcijom krive ( ) ( ) oko ose.. z dddz, :, z z,. ko je d d c. pozitivno orjentisn kontur kružnice.. zddz dzd dd, ko je S dio sfere unutr cilindr,. GRUPA B S. Odrediti zpreminu tijel nstlog rotcijom krive ( ) ( ) oko ose.., ko je c z d d dz, ko je oblst z i z 5.. olinijski integrl e de d, c linijm,.. zddz dzd zdd, tijel koje pripd prvom oktntu,, z, z. Stri progrm:. Rzviti u Fourierov red funkciju f,,... S, te rvnim d d c. nove formule krivolinijski integrl pozitivno orjentisn kontur kružnice.. zddz dzd dd, ko je S dio sfere unutr cilindr,. S 76, ko je c z

Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,... GRUPA A. Ni površinu figure koj je ogrnien linijm,.. Ni ekstreme funkcije z 5.. Ni zpreminu tijel ogrnienog rvnim,,, 5, z, z.. Izrunti krivolinijski integrl I c z zds, ko je c kriv r r cos t, cos t, z rsin t, t,. GRUPA B. Izrunti površinu rotcionog tijel koje se dobije rotcijom prbole od tke do tke.. Ni uslovne ekstreme funkcije z 6 uz uslov.. Ni zpreminu tijel ogrnienog rvnim,,,, z, z.. Izrunti krivolinijski integrl I c zds, ko je c kriv 6 sin t, cos t, z sin t, t,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, 8.. GRUPA A d. Izrunti integrle: I d, I. sin cos. Izmjeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d.. Izrunti površinski integrl P z d, z u prvom oktntu.. Izrunti integrl I ko je. e e S S S je dio sfere d pomou diferencirnj po prmetru GRUPA B d sin. Izrunti integrle: I, I d. sin cos. Izmjeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d.. Izrunti površinski integrl S ds, gdje je (S) omot površi z, z. 9. Izrunti pomou diferencirnj po prmetru integrl GRUPA A I ln sin cos d,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,.6... Izrunti dužinu luk krive e ln e od tke s pscisom do tke s pscisom.. Izrunti pomou dvostrukog integrl zpreminu tijel kojeg ogrnivju površi z,,.. Izrunti pomou Greenove formule krivolinijski integrl I d ln d, ko je c kontur koj c ogrniv oblst,,.. Izrunti površinski integrl I z ds, ko je S polulopt z z 9,. S GRUPA B. Izrunti dužinu luk krive ln ( ) B, ln.. Izrunti pomou dvostrukog integrl zpreminu tijel kojeg ogrnivju ( ),, z z i rvn z. površi od tke A, do tke 77 78

. Izrunti krivolinijski integrl ds, ko je c lemniskt,.. Izrunti površinski integrl I z ds, z z,. c ko je S polulopt Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, 8.7.. Grup A z. Odrediti jedninu tngentne rvni n površ, koj je normln n b c z prvoj.. Izrunti integrl po gltkom luku koji spj tke A i B d d dz z z, A(,,), B(,,), AB,, z:,, z z AB S. Izrunti zpreminu onog dijel lopte z koji se nlzi unutr cilindr ( ).. Dto je vektorsko polje A ( e z,, e z).pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti integrl A dr, gdje je L duž PQ, P (,, -), Q (,, ), orijentisn od P prem Q. L Grup B. Dokzti d proizvoljn tngentn rvn površi S: z (,konstnt) obrzuje s 9 koordintnim rvnim tetredr stlne zpremine V.. Izrunti integrl po gltkom luku koji spj tke A i B zd dz zd A (7,,), B(5,,), z. ( z) AB. Izrunti zpreminu tijel koje je ogrnieno površim,, z, z.. Dto je vektorsko polje A ( ( z) z, z ( ) z, z ( ) ).Pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti fluks vektorskog polj A kroz spoljnu strnu polusfere : z z, Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, 5.9.. GRUPA A. Izrunti površinu figure koju odreuju prv i dio elipse 9 6 u prvom kvdrntu. 79. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl 8 I d. Izrunti površinu dijel površi z koji se nlzi iznd rvni z. d d d d. Dti su krivolinijski integrli I, I, gdje je c duž GRUPA B c c AB, A,, B,, orjentisn od tke A prem tki B, c je prbol koj prolzi kroz tke A,, B, i C,. Dokzti d je I I i izrunti tj broj.. Izrunti površinu krivolinijskog etverougl omeenog prbolm,,,.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl ln d I d.. Izrunti površinu dijel sfere z koji se nlzi u unutršnjosti cilindr, b. b. Izrunti krivolinijski integrl rctg I d e d, ko je c pozitivno orjentisn kontur oblsti odreene isjekom kružnog prsten,. c Pism eni dio ispit iz Mtemtike II,.9.. GRUPA A. Izrunti površinu figure koju odreuju prv i dio elipse 9 6 u prvom kvdrntu.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl I d 8 d. 5. Izrunti površinu dijel površi z koji se nlzi iznd rvni z. 8 d. 5

d d d d. Dti su krivolinijski integrli I, I, gdje je c duž AB, B A,, B, i c c c A,,,, orjentisn od tke A prem tki B, je prbol koj prolzi kroz tke tj broj. C,. Dokzti d je I I i izrunti GRUPA B. Izrunti površinu krivolinijskog etverougl omeenog prbolm,,,.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl I d ln d.. Izrunti površinu dijel sfere z koji se nlzi u unutršnjosti cilindr, b. b. Izrunti krivolinijski integrl rctg I d e d, ko je c pozitivno orjentisn kontur oblsti odreene isjekom kružnog prsten,. c Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, oktobr. z. Odrediti jedninu tngentne rvni n površ, koj je normln n b c z prvoj.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl ln d I d.. Izrunti krivolinijski integrl ds, ko je c lemniskt, c.. Dto je vektorsko polje A ( ( z) z, z ( ) z, z ( ) ). Pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti fluks vektorskog polj A kroz spoljnu strnu polusfere : z z,. 8