1.1 Pojam krive. Krivolinijski integrali

Glava 1 Teorija integrala 1.1 Pojam krive. Krivolinijski integrali 1.1.1 Krive u prostoru Definicija 1. (Pojam krive) Neka su date funkcije x, y, z koje slikaju I u R px, y, z : I Ñ Rq, gde je I bilo koji neprazan podskup skupa R (H I Ă R). Najčešće će I predstavljati neki od intervala ra, bs, pa, bq, pa, bs ili ra, bq. Kriva C je skup tačaka, definisan na sledeći način: $ & C : px, y, zq P R3 % ˇ x x ptq y y ptq z z ptq, t P I. Definicija 2. (Definicija zatvorene krive) Kriva C, definisana u definiciji 1, je zatvorena ako je: pxpaq, ypaq, zpaqq looooooooomooooooooon početna tačka pxpbq, loooooooomoooooooon ypbq, zpbqq. krajnja tačka Definicija 3. (Definicija proste krive) Neka je I bilo koji interval. Kriva, definisana u definiciji 1, je prosta ako važi: t 1, t P I, t 1 t ñ pxpt 1 q, ypt 1 q, zpt 1 qq pxpt q, ypt q, zpt qq, 1

2 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA pri čemu prethodni uslov ne mora biti ispunjen ako su t 1 i t 2 početna i krajnja tačka intervala. Definicija 4. (Definicija neprekidne krive) Kriva C, definisana u definiciji 1, pri čemu je I neki od navedenih intervala, je neprekidna kriva, ako su sve funkcije x xptq, y yptq, z zptq neprekidne funkcije na I. Definicija 5. (Definicija rektificijabilne krive) Kriva C je rektificijabilna ako ima konačnu dužinu. Teorema 1. (Dovoljan uslov rektificijabilnost krive) Ako su funkcije t Ñ x 1 ptq, t Ñ y 1 ptq, t Ñ z 1 ptq neprekidne na I tada je kriva C rektificijabilna. Teorema 2. Ako je kriva C zadata parametarski x x ptq, y y ptq, z z ptq i ako funkcije x, y, z : I Ñ R imaju neprekidne prve izvode na nekom segmentu rt 0, T s, tada je kriva C zadata parametarskim funkcijama na ovom segmentu rektificijabilna i pri tome važi Tş b da je dužina krive S prq px 1 q 2 ` py 1 q 2 ` pz 1 q 2 dt. t 0 1.1.2 Krivolinijski integral prve vrste Definicija 6. (Definicija krivolinijskog integrala I vrste) Neka je kriva C, iz definicije 1, pri čemu je I neki od intervala ra, bs, pa, bq, pa, bs ili ra, bq, neprekidna, prosta i rektificijabilna. Neka je početna tačka krive označena sa A 0. Krivu C podelimo tačkama A 0, A 1,..., A n, pri čemu je A n krajnja tačka te krive, na proizvoljan način. Izbor ovih tačaka zovemo podela P krive C, i neka su sa A Ŕ k A k`1, pk 0, 1,..., n 1q označen deo krive izmed u tačaka A k i A k`1. Neka σ k označava dužinu luka A Ŕ k A k`1. Na svakom od lukova A Ŕ k A k`1 izaberimo proizvoljnu tačku M k M k pξ k, φ k, η k q pk 0, 1,..., n 1q. Neka je data funkcija f : R 3 Ñ R, koja je definisana u svim tačkama krive C. Sa σ označimo Darbouxovu sumu σ ř n 1 k0 f pm kq σ k, funkcije f za izabranu podelu P. Neka je λ max σ k. 0ďkďn 1 Ako postoji konstanta I tako da je lim σ I odnosno da je ispunjen λñ0`

1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 3 sledeći Cauchy-ev uslov: pdi P Rq p@ε ą 0q pdδ ą 0q p@pqp@m k P Ŕ A k A k`1 q λ ă δ ñ σ I ă ε, tada za funkciju f kažemo da je integrabilna u smislu krivolinijskog integrala I vrste po krivoj C. Broj I nazivamo krivolinijski integral I vrste funkcije f duž date krive C i pišemo I piq ş f px, y, zq ds. C Teorema 3. (Svod enje krivolinijskih integrala I vrste na Riemann-ov integral). Ako je C : x φptq, y ψptq, z θptq, t P ra, bs tada važi da je C b fpx, y, zqds prq a b f pφptq, ψptq, θptqq pφ 1 ptqq 2 ` pψ 1 ptqq 2 ` pθ 1 ptqq 2 dt. Dokaz: Teorema 3 dokazuje se primenom Teoreme 2. 1.1.3 Krivolinijski integral druge vrste Definicija 7. (Definicija krivolinijskog integrala II vrste po x-osi) Neka za krivu C, tačke A k i M k P A Ŕ k A k`1 pk 0, 1,..., n 1q, funkciju f : C Ñ R pc Ă R 3 q važe iste pretpostavke kao i u slučaju definicije krivolinijskog integrala I vrste. Neka su sa x k označene projekcije tačaka A k na x-osu i neka je x k x k`1 x k, pk 0, 1,..., n 1q. Posmatrajmo Darboux-ovu sumu: σ n 1 ÿ k0 f pm k q x k.

4 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Neka je λ max x k dijametar podele P. Ako postoji konačan 0ďkďn 1 realan broj I tako da važi lim σ I, odnosno da je ispunjen sledeći λñ0` Cauchy-ev uslov: pdi P Rq p@ε ą 0q pdδ ą 0q p@pq `@M k P A Ŕ k A k`1 λ ă δ ñ σ I ă ε, tada broj I nazivamo krivolinijski integral II vrste funkcije f duž krive C po x-osi. Za funkciju f kažemo da je integrabilna u smislu krivolinijskog integrala po x-osi i pišemo I (II) ş f px, y, zq dx. Slično se C definišu krivolinijski integrali druge vrste po y i z osi. Definicija 8. (Definicija Krivolinijski integral II vrste) Neka su date funkcije P px, y, zq, Qpx, y, zq i Rpx, y, zq : R 3 Ñ R i neka su definisane u svim tačkama krive C iz R 3, pri čemu je ta kriva neprekidna, prosta, rektificijabilna. Za funkciju P definišimo krivolinijski integral II vrste po x-osi kao u prethodnoj definiciji, a za Q i R definišemo analogne integrale, ali respektivno po osama y i z. Tada se krivolinijski integral II vrste definiše kao sledeći zbir: I piiq P dx ` Q dy ` R dz C piiq C P px, y, zq dx`piiq Qpx, y, zq dy`piiq Rpx, y, zq dz C C Teorema 4. (Izračunavanje krivolinijskog integrala II vrste) Neka je data kriva C : x x ptq, y y ptq, z z ptq, pri čemu t P I (I je neki od intervala ra, bs, pa, bq, pa, bs ili ra, bq), tako da su funkcije x, y, z, x 1, y 1, z 1 neprekidne na I. Neka su date funkcije P, Q, R : C Ñ R koje su neprekidne u svim tačkama krive C. Tada se integral I piiq ş P dx`qdy `Rdz svodi na Riemann-ov integral na sledeći način: C I b a pp pxptq, yptq, zptqq x 1 ptq ` Qpxptq, yptq, zptqq y 1 ptq `Rpxptq, yptq, zptqq z 1 ptqqdt. Dokaz: Pošto je polazni krivolinijski integral zbir tri integrala, dokaz izvodimo za jedan sabirak. Dokazaćemo da je: b I piiq P dx prq P px ptq, y ptq, z ptqq x 1 ptqdt. C a

1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 5 Prethodnu jednakost dokazaćemo u slučaju kada je I ra, bs. Pokazaćemo da se razlika Darboux-ove sume krivolinijskog integrala i Riemann-ovog integrala može učiniti proizvoljno malom, manjom od unapred zadanog proizvoljnog ε ą 0. To će značiti da su integrali iz iskaza teoreme jednaki. Kako je krivolinijski integral II vrste jednak I, važi: p@pq `@M k P Ŕ A k A k`1 p@ε ą 0q pdδ ą 0q λ ă δ ñ σ I ă ε. Posmatrajmo podelu P čiji je dijametar λ ă δ (δ je veličina iz uslova koji obezbed uje postojanja krivolinijskog integrala). Neka su A k px k, y k, z k q px pt k q, y pt k q, z pt k qq podeone tačke krive C, a t 0 ă t 1 ă t 2 ă... ă t n b i x k x k`1 x k za k 0, 1,..., n 1. Posmatrajmo Darboux-ovu sumu σ za krivolinijski integral II vrste. σ pri čemu su n 1 ÿ k0 P pm k q x k n 1 ÿ k0 n 1 ÿ k0 P px p t k q, y p t k q, z p t k qq x k P px p t k q, y p t k q, z p t k qq pxpt k`1 q xpt k qq M k px p t k q, y p t k q, z p t k qq P Ŕ A k A k`1, t k P rt k, t k`1 s. Kako je prema Newton-Leibnitz-ovoj formuli x k x k`1 x k x pt k`1 q x pt k q tk`1 dobijamo da je prethodna Darboux-ova suma jednaka t k x 1 ptq dt, σ n 1 ÿ k0 n 1 ÿ tk`1 k0 P px p t k q, y p t k q, z p t k qq t k tk`1 t k x 1 ptq dt P px p t k q, y p t k q, z p t k qq x 1 ptq dt.

6 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Takod e, na osnovu osobine aditivnosti integrala, imamo da je polazni Riemannov integral jednak: I b a P px ptq, y ptq, z ptqq x 1 ptq dt n 1 ÿ k0 tk`1 U cilju daljeg izvod enja dokaza, uočimo nekoliko činjenica: t k P px ptq, y ptq, z ptqq x 1 ptq dt. Zbog Weierstrass-ove teoreme neprekidna funkcija x 1 ptq dostiže svoj sup na intervalu ra, bs, što znači da pdl ą 0q p@t P ra, bsq x 1 ptq ď L. Ako t, t k P rt k, t k`1 s, pošto je λ ă δ, sledi da je t k ď λ ă δ. Pošto je funkcija t Ñ P px ptq, y ptq, z ptqq neprekidna na segmentu ra, bs, tada za proizvoljno ε 1 ą 0 postoji δ 1 ą 0 (uzimamo da je δ 1 ă δ, a ako taj uslov nije ispunjen uzima se δ 2 mintδ, δ 1 u), tako da važi uslov: t 1 t 2 ă δ 1 ñ P pxpt 1 q, ypt 1 q, zpt 1 qq P pxpt 2 q, ypt 2 q, zpt 2 qq ă ε 1. Na osnovu prethodnog, zbog neprekidnosti i činjenice navedene u 2. tački, važi da je za t, t k P rt k, t k`1 s ispunjeno P pxp t k q, yp t k q, zp t k qq P pxptq, yptq, zptqq ă ε 1. Na osnovu prethodnog imamo da je 0 ď σ I n 1 ÿ tk`1 pp px p t k q, y p t k q, z p t k qq P px ptq, y ptq, z ptqqq x 1 ptq dt ˇ ˇ ď k0 t k n 1 ÿ tk`1 k0 ď L t k n 1 ÿ k0 P px p t k q, y p t k q, z p t k qq P px ptq, y ptq, z ptqq x 1 ptq dt tk`1 t k `P `x `tk, y `tk, z `tk P px ptq, y ptq, z ptqq dt

1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 7 ď L n 1 ÿ k0 tk`1 t k ε 1 dt. Za polazno ε ą 0 i za ε 1 uslov iz 2. tačke. ε postoji Lpb aq δ1 ă δ tako da je ispunjen Sada možemo da zaključimo da važi sledeća implikacija. ˆ p@ε ą 0qp Dδ 1 δ 1 ε ą 0q λ ă δ 1 ă δ Lpb aq ñ σ I ď L ε pb aq n 1 ÿ k0 odakle dobijamo n 1 ÿ k0 tk`1 tk`1 t k t k dt ε Lpb aq dt n 1 ε ÿ pt k`1 t k q pb aq k0 p@ε ą 0qp Dδ ą 0qλ ă δ ñ σ I ď ε, ε pb aq ε, pb aq što znači da je lim λñ0` σ prq ş b a fpxptq, yptq, zptqqx1 ptqdt, odnosno C fpx, y, zqdx prq b a fpxptq, yptq, zptqqx 1 ptqdt. Na sličan način dokazujemo jednakost krivolinijskih integrala po y i z osi odgovarajućim Riemann-ovim integralima, te važi: C P dx ` Qdy ` Rdz prq b a P 1 x ` Q 1 y ` R 1 z dt. Tvrd enje teoreme važi i u slučajevima kada je interval I otvoren ili poluotvoren, što se dokazuje na osnovu prethodno dokazanog i osobine aditivnosti integrala.

8 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA 1.1.4 Nezavisnost krivolinijskog integrala druge vrste od puta integracije Podsetimo se nekih pojmova: (a) Za oblast H D Ă R 3 kažemo da je povezana, ako za D važe sledeći uslovi: Skup D ima neprazan interior (intd 0). Svake dve tačke skupa D se mogu spojiti izlomljenom linijom takvom da ta linija čitava leži u D. (b) Za krivu L kažemo da je glatka ako se u svakoj tački te krive može postaviti tangenta na tu krivu, na jedinstven način. (c) Za krivu L kažemo da je deo po deo glatka ako se ona sastoji iz najviše konačno mnogo glatkih delova. Neka je data povezana oblast D Ă R 3, D H i neka su funkcije P P px, y, zq, Q Q px, y, zq, R Rpx, y, zq P CpDq. Ako je kriva L Ă D deo po deo glatka takva da joj je A početna tačka, a B krajnja tačka, ş kakvi uslovi moraju biti zadovoljeni tako da vrednost integrala P dx ` Q dy ` Rdz ne zavisi od oblika krive (puta integracije)? L Odgovor na ovo pitanje biće iskazan u vidu dve teoreme. Teorema 5. Integral ş P dx`q dy`rdz ne zavisi od puta integracije L ako i samo ako postoji funkcija u : D Ñ R, D Ă R 3 takva da je du Bu Bx dx ` Bu By dy ` Bu Bz u 1 x Bu Bx P, u1 y Bu By Q i u1 y Bu Bz R. dz P dx ` Qdy ` Rdz, odnosno mora važiti Dokaz: Najpre dokažimo da ako posmatrani integral ne zavisi od puta integracije, tada postoji funkcija u : D Ñ R, tako da je du P dx ` Qdy ` Rdz koja je definisana sa upx, y, zq px,y,zq px 0,y 0,z 0 q P dx ` Qdy ` Rdz. Dokazaćemo da definisana funkcija zadovoljava uslove teoreme. Posmatrajmo:

1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 9 u upx` x, y, zq upx, y, zq px` x,y,zq px 0, y 0, z 0 q looooomooooon L 1 P dx ` Qdy ` Rdz px,y,zq px 0, y 0, z 0 q looooomooooon L P dx ` Qdy ` Rdz px` x,y,zq px, y, zq looomooon Parametrizujmo interval I sa I P dx ` Qdy ` Rdz. $ & x t, t P px, x ` xq I : y const, dy 0 % z const, dy 0. Kako je P neprekidna funkcija, na osnovu Teoreme o srednjoj vrednosti integrala, iz prethodnog dobijamo da je u prq x` x x P pt, y, zqdt xp px ` θ x, y, zq, 0 ă θ ă 1. u Iz prethodnog dobijamo da je lim P px, y, zq, odnosno važi da xñ0 x je u 1 xpx, y, zq P px, y, zq. Na sličan način se dokazuje: u 1 ypx, y, zq Qpx, y, zq, u 1 zpx, y, zq Rpx, y, zq. Dokažimo teoremu u obrnutom smeru. Neka postoji funkcija u : D Ñ R, D Ă R 3 takva da je du P dx ` Qdy ` Rdz. Tada za glatki luk L i njegovu parametrizaciju φ : ra, bs Ñ R 3, za v u φ : ra, bs Ñ R pv vptqq važi: P dx ` Q dy ` Rdz du b a L v 1 ptqdt vpbq vpaq upφpbqq upφpaqq upxpbq, ypbq, zpbqq upxpaq, ypaq, zpaqq. Dakle integral ne zavisi od puta integracije, nego samo od vrednosti funkcije u u krajnjim tačkama. L

10 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Teorema 6. Neka su P P px, y, zq, Q Q px, y, zq, R Rpx, y, zq P CpDq neprekidne funkcije. Tada važi: Izraz P dx`qdy`rdz je totalni diferencijal neke funkcije u : D Ñ R, ako i samo ako važe uslovi: p q BP By BQ Bx, BR By BQ Bz i BP Bz BR Bx. Dokaz: Dokaz ćemo izvršiti samo u jednom smeru. Pokazaćemo da ako je izraz P dx`qdy`rdz totalni diferencijal, da tada važe navedeni uslovi. Za u : D Ñ R, gde du P dx ` Qdy ` Rdz, u P C 2 pdq važi: B ˆBu B2 u Bx By BxBy B2 u ByBx, B 2 u ByBz B2 u BzBy, B 2 u BxBz B2 u BzBx ñ BQ Bx BP By, BR By BQ Bz, BR Bx BP Bz Obrnut smer dokaza je dosta složeniji i ovde ga izostavljamo. 1.2 Dvojni, trojni i višestruki integral 1.2.1 Pojam dvojnog, trojnog i višestrukog integrala Definicija 9. (Definicija dvojnog integrala) Neka je dat neprazan skup Dp Hq Ă R 2 i funkcija f : D Ñ R, koja je ograničena, tj. postoji konstanta M ą 0 takva da je za @px, yq P D ispunjen uslov: fpx, yq ď M. Razložimo oblast D podelom P na podoblasti D 1, D 2,..., D n, tako da važi: (i) p@i P Nq D i Ă D i D i H, (ii) Ť n i1 D i D, (iii) intd i X intd j H; i, j 1, 2,..., n; i j. U svakoj od oblasti D i proizvoljnu izaberimo po jednu tačku T i px i, y i q P D i p1 ď i ď nq. Sa λ označimo maksimum od dijametara oblasti D i : λ max λ i, gde je λ i diampd i q sup pdpa, Bqq. 1ďiďn A,BPD i

1.2. DVOJNI, TROJNI I VIŠESTRUKI INTEGRAL 11 Izrazom σ ř n i1 f pt iq mes pd i q, gde mes pd i q označava površinu oblasti D i, definišemo Darbouxovu sumu funkcije f po oblasti D za podelu P i izbor tačaka T i. Ako postoji konstanta I P R tako da je ispunjen sledeći Cauchy-ev uslov: lim σ I odnosno da je λñ0` pdi P Rq p@ε ą 0q pdδ ą 0q p@pq p@t k P D k q λ ă δ ñ σ I ă ε, tada kažemo da je funkcija f integrabilna u smislu postojanja dvojnog integrala po oblasti D. Broj I naziva se dvojnim integralom funkcije f po oblasti D u oznaci I ť f px, yq dxdy. D Napomena: Veoma slično i pod sličnim uslovima definišemo trojni (trostruki), a takod e i višestruki integral. Darbouxova suma u slučaju višestrukog integrala glasi σ ř n k1 f pm kq mespv k q, pri čemu mespv k q označava n-dimenzionu zapreminu podeoka V k. Trojni integral označavamo sa I ţ fpx, y, zqdv, a n-dimenzioni sa I ţ... ş fpx 1,..., x n qdv. V V 1.2.2 Zamena promenljivih u dvojnom integralu Teorema o smeni promenljive u dvojnom integralu. Posmatrajmo integral I ť f px, yqdxdy. Neka se parametrizacijom x D xpξ, ηq, y ypξ, ηq, pξ, ηq P Ă R 2, skup Ă R 2 slika u D Ă R 2, pri čemu su x xpξ, ηq, y ypξ, ηq jednoznačna i glatka preslikavanja. Tada važi da je ij ij I fpx, yqdxdy fpxpξ, ηq, ypξ, ηqq J dξdη, ˇ gde je J ypξ, ηq. D ˇ Dpx,yq Dpξ,ηq ˇ Jacobieva determinanta preslikavanja x xpξ, ηq, y Dokaz. Izvršićemo dokaz, za dobro odabran oblik oblasti Ă R 2 (Svaka oblast može se razložiti na oblasti bilo kog oblika, te izbor oblika oblasti ne umanjuje opštost dokaza.) Neka se preslikavanje ovih oblasti vrši kao na slici:

12 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Neka se tačke Π 1 pξ, ηq, Π 2 pξ ` dξ, ηq, Π 3 pξ ` dξ, η ` dηq, Π 4 pξ, η ` dηq, slikaju redom u tačke P 1 pxpξ, ηq, ypξ, ηqq, P 2 pxpξ ` dξ, ηq, ypξ ` dξ, ηqq, P 3 pxpξ ` dξ, η ` dηq, ypξ ` dξ, η ` dηqq, P 4 pxpξ, η ` dηq, ypξ, η ` dηqq. Izvršimo aproksimaciju Taylor ovom formulom, koordinate tačaka: xpξ ` dξ, ηq «xpξ, ηq ` Bx Bξ ypξ ` dξ, ηq «ypξ, ηq ` By Bξ xpξ ` dξ, η ` dηq «xpξ, ηq ` Bx Bξ ypξ ` dξ, η ` dηq «ypξ, ηq ` By Bξ Bx dξ x ` By dξ y ` dξ Bξ dξ Bξ dξ ` Bx Bη dξ ` By Bη Zamenom u koordinate tačaka dobijamo da je: P 1 px, yq P 2 px ` Bx Bξ P 3 px ` Bx Bξ P 4 px ` Bx Bη By dξ, y ` dξq Bξ Bx dξ ` Bη By dη, y ` By dη, y ` Bξ dηq Bη dη x ` Bx Bξ dη y ` By Bξ dξ ` By Bη dηq Bx dξ ` By dξ ` dη Bη dη Bη Podsetimo se iz analitičke geometrije, da je površina trougla čija su temena Apx 1, y 1 q, Bpx 2, y 2 q, Cpx 3, y 3 q jednaka P ABC 1 2 ˇˇˇˇ x 2 x 1 x 3 x 2 y 2 y 1 y 3 y 2 ˇ.

1.2. DVOJNI, TROJNI I VIŠESTRUKI INTEGRAL 13 Površina krivolinijskog paralelograma P 1 P 2 P 3 P 4 jednaka je: Bx Bξ P pp 1 P 2 P 3 P 4 q 2 P pp 1 P 2 P 4 q dξ Bx dη Bx Bx Bη By By ˇ ˇ Bξ Bη dξ dη. ˇ ˇ Iz poslednjeg sledi da je dx dy ˇ Bx Bξ By Bξ Bx Bη By Bη Bξ dξ Bη dη By Bξ ˇ dξ dη J dξ dη. By Bη 1.2.3 Green-Riemann-ova formula Green-Riemann-ova formula. Neka su P, Q : D Ñ R, neprekidno diferencijabilna preslikavanja oblasti D Ă R 2 koju ograničava zatvorena kriva L. Tada važi ij ˆBQ P px, yq dx ` Q px, yq dy Bx BP dxdy. By L` Dokaz. Izvršimo dokaz za dovoljno jednostavne oblasti. D Pretpostavimo da je data oblast D Ă R 2 i pretpostavimo da je ova oblast D ograničena zatvorenom konturom L Ŕ P QRS, koja je definisana na sledeći način: y 0 y 0 pxq, y Y pxq, a ď x ď b, pri čemu je @x P ra, bs, y 0 pxq ď Y pxq i ordinatama x a, x b.

14 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Tada, na osnovu Newton-Leibnitz-ove formule imamo da je ij BP b Y pxq I By dxdy BP dx a y 0 pxq By dy ŊSR b a P px, yq dx ` D P px, Y pxqq dx ŊQP P px, yq dx b a L P px, y 0 pxqq dx p q P px, yq dx P px, yq dx (*) zbog ş Ŋ RQ P px, yq dx ş Ŋ P S P px, yq dx 0, jer je dx 0. Pošto se analogno može izvesti da je J ť BQ dxdy ű Qpx, yqdy D Bx L` sabiranjem integrala I u J dobija se zadato tvrd enje čime je dokaz završen. L` 1.3 Površinski integrali 1.3.1 Površinski integral I vrste Definicija 10. (Definicija površinskog integrala I vrste) Neka je data površ S Ă R 3 koja je deo po deo glatka (sastoji se od unije najviše prebrojivo mnogo glatkih površi - površi kod kojih se u svakoj tački, osim u rubnim tačkama, može postaviti tangentna ravan i to na jedinstven način), ograničena i rektificijabilna (ima konačnu površinu). Neka je površ S razložena podelom P na podpovrši: S 1, S 2,..., S n tako da važi: (i) S i Ă S, i 1, 2,..., n; (ii) Ť n i1 S i S; (iii) ints i X ints j H, za i j pi, j 1, 2,..., nq. Na proizvoljan način odaberimo po jednu tačku M k M k px k, y k, z k q P S k p1 ď k ď nq. Neka je λ max diamps kq, pri čemu je dijametar 1ďkďn

1.3. POVRŠINSKI INTEGRALI 15 skupa S k definisan sa diamps k q sup pdpa, Bqq. Neka je f : S Ñ R A,BPS k ograničena funkcija definisana u svim tačkama površi S. Definišimo Darboux-ovu sumu funkcije f po površi S, na sledeći način: σ nÿ f pm k q mesps k q, k1 pri čemu je sa mesps k q označena površina površi S k. Ako postoji konstanta I P R tako da je ispunjen sledeći Cauchy-ev uslov: lim σ I, odnosno da je λñ0` pdi P Rq p@ε ą 0q pdδ ą 0q p@pq p@m k P S k q λ ă δ ñ σ I ă ε, tada broj I nazivamo površinski integral I vrste funkcije f po površi S. Za funkciju f, u tom slučaju, kažemo da je integrabilna po površi S u smislu postojanja površinskog integrala I vrste i pišemo I fpx, y, zqds. S Teorema 1. (Teorema o izračunavanju površinskog integrala I vrste) Neka je S Ă R 3 x,y,z površ u prostoru R 3 i neka je ova površ jednoznačna slika oblasti Ă R 2 u,v, sledećim neprekidno diferencijabilnim funkcijama x xpu, vq, y ypu, vq, z zpu, vq. Neka je funkcija f ograničena na površi S. Tada važi sledeća jednakost: ij fpx, y, zqds f pxpu, vq, ypu, vq, zpu, vqq?e G F 2 dudv S

16 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA gde je E 2 ˆBx ` Bu 2 ˆBy ` Bu ˆ 2 Bz Bu F Bx Bu Bx Bv ` By Bu By Bv ` Bz Bu Bz Bv 2 2 ˆBx ˆBy ˆBz G ` ` Bv Bv Bv 2. 1.3.2 Jednostrane i dvostrane površi Pretpostavimo da je data glatka površ S Ă R 3, pri čemu je rub ove površi zatvorena kontura C. U proizvoljnoj tački N ove površi povučemo jedinstvenu normalu n p nksq i opišemo konturu L Ă S takvu da je L X C H i da kontura L sadrži podnožje normale n. Pomeramo n duž konture L. Mogu nastati dva slučaja: (i) Pomerajući n duž konture L, posle povratka u tačku N normala n se vraća u polazni položaj zadržavajući isti smer. (ii) Pomerajući n duž konture L, posle povratka u tačku N normala n se vraća u polazni položaj menjajući smer u njemu suprotan.

1.3. POVRŠINSKI INTEGRALI 17 Ako za svaku konturu L Ă S normala zadržava isti smer kao i u početnom položaju za površ S kažemo da je dvostrana ( na primer, sfera). Ako postoji barem jedna kontura L takva da posle njenog obilaska vektor n menja svoj smer za površ S kažemo da je jednostrana (na primer, Mebijusov list). Definicija 11. (Definicija strane površi) Izaberimo na dvostranoj, deo po deo glatkoj, ograničenoj i rektificijabilnoj površi S jednu tačku P i u njoj postavimo normalu n p nksq, pri čemu biramo na proizvoljan način i fiksiramo jedan od dva moguća smera. Osim ovoga uočimo proizvoljnu tačku X na S. Za tačku X i tačku P kažemo da pripadaju istoj strani dvostrane površi S ako za svaku konturu L koja sadrži i P i X, ali ne seče granicu od S, normala n posle obilaska te konture zadržava isti smer kao i u početnom položaju. Skup svih tačaka koje pripadaju istoj strani dvostrane površi obrazuju jednu od dve strane te površi. Skup preosalih tačaka obrazuju drugu stranu te površi. Ukoliko je na površi S izabrana jedna strana površi tada za površ kažemo da je orijentisana. 1.3.3 Površinski integrali II vrste Definicija 12. (Definicija površinskog integrala II vrste po Oxy-ravni) Neka je površ S Ă R 3 deo po deo glatka, ograničena, rektificijabilna (tj. možemo da odredimo površinu površi), dvostrana i orijentisana (na S je izabrana jedna strana površi označena sa S ).

18 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA Neka je u svakoj taški površi S definisana funkcija Rpx, y, zq : S Ñ R koja je ograničena na S (tj. pdk ą 0qp@px, y, zq P Sq Rpx, y, zq ď K). Neka je P podela površi S na orijentisane površi S i p1 ď i ď nq, pri čemu je svaka podpovrš iste orijentacije kao površ S. Projektujmo S i na Oxy ravni i neka su D i p1 ď i ď nq projekcije površi S i, čije površine imaju veličinu mespd i q. Proizvoljno odaberimo tačke M i M i px, y, zq P S i p1 ď i ď nq. Neka je dijametar λ podele P, λ max dps iq, gde su dps i q dijametri površi 1ďkďn S i. Darbouxovu sumu za površinski integral funkcije R po projekciji površi S na xoy ravan definišemo sa: nÿ σ R pm i q mespd i q k1 gde ima D i znak `, ako je odbarana spoljnja strana, a znak ako je odabrana unutrašnja strana. Ako postoji konstanta I P R tako da je ispunjen sledeći Cauchy-ev uslov: lim σ I, odnosno da je λñ0` pdi P Rq p@ε ą 0q pdδ ą 0q p@pq p@m k P S k q λ ă δ ñ σ I ă ε, tada za funkciju R kažemo da je integrabilna po projekciji površi S na Oxy-ravan, u smislu postojanja površinskog integrala druge vrste. Broj I nazivamo površinski integral druge vrste po projekciji površi S na Oxy-ravan i pišemo ij I Rpx, y, zqdxdy. S Napomena. Uobičajeno je da se spoljna strana površi S označava sa S`, a unutrašnja sa S. Definicija 13. (Definicija površinskog integrala II vrste) Slično kao u prethodnoj definicija definišemo integrale funkcija P P px, y, zq i Q Qpx, y, zq po projekciji površi S na Oyz i Ozx ravni, redom. Tada je sa ij I P px, y, zqdydz ` Qpx, y, zqdzdx ` Rpx, y, zqdxdy S

1.3. POVRŠINSKI INTEGRALI 19 definisan površinski integral druge vrste po površi S i to onoj strani koja je odred ena sa. 1.3.4 Veza površinskih integrala prve i druge vrste Neka je npcos α, cos β, cos γq jedinični vektor normale na datu površ S (α, β, γ su uglovi koje n zaklapa sa x,y, z osama). Izdelimo S na veoma male površi, kojima dodeljujemo po vektor n. Neka je mes pd i q mera površine projekcije površi S i na Oxy. Tada imamo da je ˇ ˇ mespd iq mesps i q ˇ cos γ i, (odnosno dxdy ds cos γ), pa je mespd i q mesps i q cos γ i p γ i u izabranoj takiq. S obzirom na prethodno, Darboux ova suma kojom se definiše integral po xoy ravni postaje nÿ σ fpx i, y i, z i q cos γ i mesps i q ñ I fpx, y, zq cos γds. i1 S Dakle, važi: piiq P dydz`qdzdx`rdxdy piq pp cos α ` Q cos β ` R cos γq ds. S S 1.3.5 Izračunavanje površinskog integrala II vrste Date su tri funkcije: x xpu, vq, y ypu, vq, z zpu, vq, koje jednoznačno preslikavaju px, y, zq P S ô na pu, vq P Ă 1 1 R2. Vektor standardizovane normale na površ je standardizovan vektor koji se dobija iz Ñ Ñ Ñ i j k vektorskog proizvoda x u y u z u ˇ Označimo koordinate prethodnog ˇ x v y v z ˇ. v vektorskog proizvoda sa A Dpy,zq, B Dpz,xq, C Dpx,yq. Dpu,vq Dpu,vq Dpu,vq Kako je cos α A?A 2`B2`C, cos β 2 B?A 2`B2`C, cos γ 2 C?A 2`B2`C, 2

20 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA a ds? A 2 ` B 2 ` C 2 dudv, dobijamo da je: I piiq P dydz ` Qdzdx ` Rdxdy S pdvojniq lomon zavisi od strane povrsi ij pp A ` QB ` RCq dudv. 1.3.6 Stokes-ova formula Stokes-ova formula predstavlja vezu izmed u površinskog integrala II vrste i krivolinijskog integrala II vrste. Neka je S Ă R 3 prosta (ne seče samu sebe), glatka, dvostrana površ, ograničena deo po deo glatkom konturom L, pri čemu na površi S biramo spoljnu stranu, a na L pozitivnu orijentaciju kretanja. Neka je data funkcija P P px, y, zq koja je neprekidna zajedno sa svim svojim prvim parcijalnim izvodima po svim promenljivim x, y, z i to u oblasti S Y L. Pod svim ovim uslovima važi: (A) L` P dx S` BP BP dzdx Bz By dxdy.

1.3. POVRŠINSKI INTEGRALI 21 Dokaz : Neka se parametarskim funkcijama x xpu, vq, y ypu, vq, z zpu, vq površ S jednoznačno preslikava na P R 2 u,v (pri tome se kontura L preslikava na konturu Λ koja ograničava ). Kako u tom slučaju iz x xpu, vq ñ dx Bx Bx du ` dv imamo da je Bu Bv L` P dx Λ ˆ P Bx du ` Bu ˆ P Bx Bv dv. (* označava odgovarajuću orjentaciju koja se dobija projektovanjem krive L`.) Prema Greenovoj formuli dobijamo da je: ij P dx p B ˆ P Bx B ˆ P Bx qdudv Bu Bv Bv Bu ij L` ˆBP Bz B BP By C dudv S BP BP dzdx Bz By dxdy. Pretpostavimo dalje da još uvek važe sve pretpostavke koje se odnose na S Y L, ali da su date još dve funkcije Q Qpx, y, zq i R Rpx, y, zq koje zadovoljavaju analogne pretpostavke, tada važe i sledeće dve formule: BQ BQ (B) Qdy dxdy Bx Bz dydz i (C) L` L` Rdz S` S` BR BR dydz Bz Bx dzdx Iz formula (A), (B) i (C) sledi da važi sledeća jednakost, koja se naziva Stokes-ova formula, i koja glasi: cos α cos β cos γ P dx ` Qdy ` Rdz piq B B B Bx By Bz ˇ P Q R ˇ ds S` L` ˆBR By BQ Bz ˆBP dydz ` Bz BR Bx S ˆBQ dzdx ` Bx BP dxdy By

22 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA gde je n npcos α, cos β, cos γq jedinični vektor normale postavljen na površi S u tački px, y, zq P S. 1.3.7 Teorema Gauss Ostrogradski Teorema Gauss-Ostrogradski daje vezu izmed u površinkog integrala II vrste i trojnog integrala. Teorema Gauss-Ostrogradski. Neka je V kompaktan (zatvoren i ograničen), povezan skup u R 3, čiji je rub deo po deo glatka površ S. Neka su P, Q, R : V Ñ R 3 neprekidno diferencijabilne funkcije (Dovoljno je da budu neprekidni oni parcijalni izvodi koji učestvuju u formuli.) Tada važi formula Gauss-Ostrogradskog: p BP Bx ` BQ By ` BR Bz qdxdydz P dydz ` Qdzdx ` Rdxdy. V Dokaz. Dokaz ćemo izvršiti za telo koje je dato na slici. S` U skladu sa oznakama na crtežu pretpostavimo da su date dve funkcije S 1 : z z 0 px, yq, S 2 : z Zpx, yq, gde je px, yq P D i gde je ispunjen

1.3. POVRŠINSKI INTEGRALI 23 sledeći uslov z 0 px, yq ď Zpx, yq za svako px, yq P D. Površ S 3 je ortogonalna na xoy ravan. Površi S 1, S 2 i S 3 su deo po deo glatke površi. Neka je takod e sa S` označena spoljna strana površi S S 1 Y S 2 Y S 3. Neka je oblast D ograničena konturom K koja je deo po deo glatka. Imamo da je V ij BR Bz dxdydz D Zpx,yq BR dxdy z 0 px,yq Bz dz ij ij Rpx, y, Zpx, yqqdxdy Rpx, y, z 0 px, yqqdxdy D D Rpx, y, zqdxdy Rpx, y, zqdxdy S` 2 S` 2 Rpx, y, zqdxdy` S` 1 S 1 ij Rpx, y, zqdxdy` ` Rpx, y, zqdxdy. S` 3 Rpx, y, zqdxdy 0 ˇ ˇ promena dxdy je 0 na S 3 S` Dakle, dobili smo da važi (I) Analogno se dokazuju sledeće dve veze: BP (II) Bx dxdydz P px, y, zqdydz V S BQ (III) By dxdydz Qpx, y, zqdzdx V S V BR Bz dxdydz S Rpx, y, zqdxdy. Sabiranjem (I), (II) i (III) dobijamo formulu Gauss-Ostrogradskog.

24 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA 1.4 Elementi teorije polja Definicija 14. (Definicija skalarnog polja) Neka je data bilo koja funkcija: u u p rq : R 3 Ñ R. Tada kažemo da je dato skalarno polje. (R 3 razmatramo kao skup vektora.) Definicija 15. (Definicija gradijenta) Ako je u upx, y, zq : R 3 Ñ R skalarno polje i ako postoje parcijalni izvodi u 1 x, u 1 y, u 1 z, tada vektor u grad u Bu Bx i ` Bu By j ` Bu Bz k nazivamo gradijent skalarnog polja u. Definicija 16. (Definicija vektorskog polja) Ako su data tri skalarna polja: P, Q, R : R 3 Ñ R, tada ona definišu vektorsko polje A : R 3 Ñ R 3 opisano jednakošću A p rq P p rq i ` Q p rq j ` R p rq k. Nadalje ćemo smatrati da je vektorsko polje A zadato skalarnim poljima P, Q i R, osim ukoliko nije drugačije precizirano. Definicija 17. (Definicija fluksa) Neka je dato vektorsko polje A. Za broj Φ definisan sledećim povrinškim integralom ij Φ pp cos α ` Q cos β ` R cos γqds S kažemo da je fluks vektorskog polja A kroz površ S. Definicija 18. (Definicija divergencije) Ako je A vektorsko polje, tada se skalarno polje: div A BP Bx ` BQ By ` BR Bz naziva divergencija vektorskog polja A. Napomena: Važi da je div A A, gde je operator B Bx i ` B By j ` B Bz k.

1.4. ELEMENTI TEORIJE POLJA 25 Definicija 19. (Cirkulacija vektorskog polja) Ako je A vektorsko polje, tada se izraz: P dx ` Qdy ` Rdz C naziva cirkulacija vektorskog polja A duž krive C. Definicija 20. (Definicija rotora) Ako je A vektorsko polje, tada se vektorsko polje: rot A i j k B B B Bx By Bz ˇ P Q R ˇ naziva rotor vektorskog polja A. Napomena: Važi da je rot A ˆ A, gde je operator B Bx i ` B By j ` B Bz k. 1.4.1 Vrste specijalnih polja Definicija 21. (Definicija potencijalnog vektorskog polja) Ako za vektorsko polje A postoji skalarno polje u takvo da važi A grad u, tada se vektorsko polje A naziva potencijalno vektorsko polje. Dakle, za potencijalno vektorsko polje A p rq P p rq i`q p rq j`r p rq k mora važiti Bu Bx P, Bu By Q, Bu Bz R, pa će postajati takvo skalarno polje u ako i samo ako je BP By BQ Bx, BQ Bz BR By, odnosno ako i samo ako je rot A 0. BR Bx BP Bz, Definicija 22. (Definicija solenoidnog vektorskog polja) Ako za vektorsko polje A postoji vektorsko polje B takvo da važi A rot B, tada se vektorsko polje A naziva solenoidno vektorsko polje. Vektorsko polje A je solenoidno ako i samo ako je div A 0. Klasifikacija vektorskog polja A:

26 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA (i) Potencijalno (bezvrtložno) polje: rot A 0 i div A 0. (ii) Solenoidno (vrtložno) polje: rot A 0 i div A 0. (iii) Laplace-ovo polje rot A 0 i div A 0. (iv) Složeno polje: rot A 0 i div A 0.