Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje jedinstveno odredjeni q Z i r N, 0 r < n takvi da važi m = nq + r. Tada pišemo m r(mod n) i kažemo da je m kongruentno sa r po modulu n. 2 Grupe Definicija 2.1 Neka je G skup sa binarnom operacijom : G G G. Struktura (G, ) je grupa ako važi: i) operacija je asocijativna, tj. važi a (b c) = (a b) c za sve a, b, c G; ii) postoji element e G takav da a e = a = e a za svaki a G; iii) za svaki a G postoji element b G takav da je a b = e = b a. Element e se naziva jedinični element (ili neutral) grupe, a element b inverzni element elementa a i označava se sa b = a 1. Primedba 2.1 Pored notacije iz Definicije 2.1 često se koristi i tzv. multiplikativna notacija, tj. množenje se označava sa, inverz elementa a sa a 1, a jedinični element sa 1. Druga česta notacija je aditivna notacija. U njoj se množenje (koje je zapravo sabiranje, pa otud i naziv aditivna) označava sa +, inverz elementa a sa a, a jedinični element sa 0. 2.1 a) Dokazati da je jedinični element e grupe G jedinstven. b) Dokazati da je za svaki a njegov inverzni element b = a 1 jedinstven, tj. da je u grupi definisana unarna operacija inverza 1 : G G. 2.2 Dokazati da u grupi (G, ) važi: a) (a b) 1 = b 1 a 1, a, b G; b) (a m ) n = a mn, a G, m, n Z. 2.3 Ispitati da li su sledeće strukture grupe (F := F/{0}): a) (N 0, +); b) (Z, +); c) (Z, ); d) (Z, ); e) 2Z := {2k kz} (parni celi brojevi); f) nz := {nk kz} (grupa brojeva deljivih sa n); g) (Q, +); h) (Q, ); i) (R, +); j) (R, ); k) (C, +); l) (C, ); m) (G, ), G := {a n n Z}, a R/{0, 1, 1}. n) (R +, ), a b := a b ; o) (R +, ), a b := a 2 b 2. jedinice). 2.4 Dokazati da je struktura (G n, ), G n := {z C z n = 1} Abelova grupa (tzv. grupa n-tih korena 2.5 Dokazati da je za svako n N struktura (Z n, + n ) Abelova grupa, gde je Z n := {0, 1,..., n 1}, a + n b = a + b(mod n) (tzv. grupa ostataka modula n). 2.6 Na skupu Z n definišimo operaciju n relacijom a n b = ab(mod n). Dokazati da je struktura (Z n, n) grupa ako i samo ako je n prost broj.

2.7 Dokazati da je skup S n svih permutacija skupa od n elemenata grupa u odnosu na kompoziciju permutacija (tzv. grupa permutacija). Koliki je red grupe S n? 2.8 Dokazati da je skup D n svih simetrija pravilog n-tougla grupa u odnosu na kompoziciju preslikavanja. Koliki je red grupe D n? 2.9 a) Dokazati da je skup H = {±1, ±i, ±j, ±k} grupa u odnosu na operaciju definisanu tablicom: 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 Pri množenju levi činilac čitamo iz kolone, a desni iz vrste, recimo i j = k, ali j i = k. Grupa H naziva se grupa baznih kvaterniona. b) Označimo H = {a + bi + cj + dk a, b, c, d R} (identifikujemo a a1). Dokazati da je H Abelova grupa u odnosu na sabiranje + definisano sa (a + bi + cj + dk) + (a + b i + c j + d k) := (a + a ) + (b + b )i + (c + c )j + (d + d )k. c) Dokazati da je skup H grupa u odnosu na množenje koje je definisano tablicom pod a) i linearno je. Grupa H se naziva multiplikativna grupa nenula kvaterniona. 2.10 Dokazati da je skup jediničnih kompleksnih brojeva C 1 = {z C z = 1} grupa u odnosu na množenje kompleksnih brojeva. 2.11 Dokazati da je skup matrica {( cos φ sin φ SO(2) := sin φ cos φ ) } φ R grupa u odnosu na množenje matrica (tzv. grupa rotacija ravni). 2.12 Dokazati da je skup G = R R grupa u odnosu na operaciju definisanu sa (a, b ) (a, b) := (a a, a b + b ). 2.13 Dokazati da je skup preslikavanja aff(r) = {f a,b a 0, a, b R}, f a,b (x) := ax + b, x R, grupa u odnosu na kompoziciju preslikavanja (tzv. grupa afinih preslikavanja prave). Definicija 2.2 Broj elemenata G grupe G naziva se red grupe. Za elemenat a G najmanje n N za koje je a n = e naziva se red elementa a i obeležava sa n = ord (a). Ako takav n ne postoji pišemo ord (a) =. Definicija 2.3 Neka je (G, ) grupa. Skup H G je podgrupa grupe G ako je (H, ) grupa. Pišemo H < G. 2.14 Neka je G grupa. Za elemenat a G obeležimo a := {a n n Z} Dokazati da je a podgrupa od G reda ord (a). Definicija 2.4 Grupa a naziva se cilična podgrupa generisana elementom a. Ako postoji a G takav da je G = a tada se G naziva ciklička grupa, dok je a je njen primitivni element. 2.15 Odrediti red svakog elementa i njime generisanu cikličnu grupu grupe: a) (Z 5, + 5 ); b) (Z 6, + 6 ); c) (Z 7, + 7 ); d) (Z 5, 5); e) H; f) S 3 ; g) D 3 ; h) G 5 ; i) (Z, +). Koje od tih grupa su cikličke?

2.16 Neka je red grupe konačan. a) Dokazati da red elementa deli red grupe. b) Dokazati da red podgrupe deli red grupe. 2.17 Neka je C n = a ciklična grupa reda n. Dokazati da je element b = a k primitivan ako i samo ako je (k, n) = 1. 2.18 Odrediti primitivne elemente i sve podgrupe u Z 6. 2.19 Odrediti red svih elemenata u S 3 i sve podgrupe u S 3. 2.20 Dokazati da su skupovi Tra(R) := {f 1,b b R}, Hom(R) := {f a,0 a R }, podgrupe grupe aff(r) iz Zadatka 2.13 (tzv. podgrupe translacija i homotetija afine prave, redom). Definicija 2.5 Neka su (G, ) i (H, ) grupe. Preslikavanje h : G H se naziva homomorfizam ako važi f(a b) = f(a) f(b), a, b G. Homomorfizam f koji je 1-1 naziva se monomorfizam, koji je na naziva se epimorfizam, a koji je bijekcija naziva se izomorfizam. Sa algebarske tačke gledišta izomorfne grupe smatramo jednakim. 2.21 Dokazati da su grupe G n i (Z n, + n ) izomorfne. 2.22 Pokazati da su grupe (R +, ) i (R, +) izomorfne. 2.23 Dokazati da su je grupa Z izomorfna svojoj pravoj podgrupi nz. 2.24 Dokazati da su grupe C 1 i SO(2) iz Zadataka 2.10 i 2.11 izomorfne. 2.25 Dokazati da su grupe G i aff(r) iz Zadataka 2.12 i 2.13 izomorfne. Postoji li matrična grupa izomorfna ovim dvema grupama? 2.26 Dokazati da je svaka ciklična grupa izomorfna sa Z ili sa Z n za neko n N. ZaDatak 2.1 Naći sve podgrupe grupe Z. 2.27 Neka je f : G H monomorfizam (izomorfizam) grupa. Dokazati da je ord (f(a)) = ord (a). Da li to važi ako je f epimorfizam? ZaDatak 2.2 Da li je grupa svih korena jedinice ciklična? 2.28 Dokazati da postoji epimorfizam grupe Z n na grupu D n. Šta je jezgro tog homomorfizma? Šta dobijamo primenom prve teo- 2.29 Dokazati da postoji epimorfizam grupe (R, +) na grupu C 1. reme o homomorfizmu? 2.30 Dokazati da su grupe S 3 i D 3 izomorfne. Da li im je izomorfna grupa Z 6? 2.31 Koje su od grupa D 4, H i Z 8 izomorfne? 2.1 Neka je (G,, e) grupa. Za svako g G definišimo konjugaciju sa f g (x) := g 1 x g. Dokazati: a) f g je bijekcija; b) f g (x y) = f g (x) f g (y); c) f g (x 1 ) = f g (x) 1 ; d) f g (e) = e. 2.2 Ako u grupi G važi x 2 = e za svako x G tada je ta grupa komutativna. Dokazati. 3 Prsteni i polja 3.1 Dokazati da je struktura (Z n, + n, n), n N prsten. 3.2 Dokazati da je struktura (Z p, + p, p), p N, polje ako i samo ako je p prost broj. 3.3 Da li je struktura (H, +, ) polje?

4 Vektorski prostori Definicija 4.1 Vektorski prostor nad poljem F je struktura (V, +, ) takva da (množenje izostavljamo): (V1) (V, +) je Abelova grupa; (V2) α(u + v) = αu + αv; (V3) (α + β)u = αu + βu; (V4) α(βu) = (αβ)u; (V5) 1u = u, za sve u, v V i sve α, β F. Polje F se naziva polje skalara, a operacija se naziva množenje vektora skalarom. 4.1 Dokazati da za svaki prost broj p i svaki broj n N postoji vektorski prostor nad poljem Z p koji ima tačno p n vektora. Definicija 4.2 Neka je (V, +, ) vektorski prostor nad poljem F. Skup U V je vektorski podprostor prostora V ako je struktura (U, +, ) vektorski prostor. Pišemo U V. 4.2 Neka je P skup svih polinoma p R[x] za koje važi a) p(1) = 0 = p (1); b) p = xp p ; c) p(1) = 0, p (1) = 4. Da li je P podprostor vektorskog prostora R[X]? 4.3 Neka je R N skup svih realnih nizova. Dokazati da je skup A svih nizova (a n ) koji zadovoljavaju relaciju a n+2 = 3a n+1 2a n, n N njegov vektorski potprostor. 4.4 Neka je A M n,n (F) data matrica. Dokazati da je skup Z(A) svih matrica koje komutiraju sa matricom A vektorski podprostor od M n,n (F). Definicija 4.3 Neka su U i V, i = 1,..., n vektorski podprostori prostora V. Suma potprostora U i je skup U 1 +... + U n := {u 1 + u 1 +... + u n u i U i, 1 < i < n}. Suma U = U 1 +... + U n je direktna suma ako je razlaganje u = u 1 + u 1 +... + u n, u i U i, 1 < i < n svakog vektora u U jedinstveno. Tada pišemo U = U 1... U n. Teorema 4.1 Neka je V vektorski postor i U i V, 1 i n. a) Sume U 1 +... + U n i U 1... U n su vektorski potprostori od V. b) Suma U 1 +... + U n je direktna ako sa svako 2 i n važi (U 1 +... U i 1 ) U i = { 0 }. 4.5 Dokazati da su skupovi P svih parnih funcija i N svih neparnih funkcija podprostori vektorskog prostora funkcija R R := {f : R R}. Da li je R R = P A? 4.6 Dokazati da su podskupovi S 2 (F) M 2 (F) svih simetričnih i A 2 (F) M 2 (F) svih antisimetričnih 2 2 matrica nad poljem F vektorski podprostori od M 2 (F). Da li je M 2 (F) = S 2 (F) A 2 (F)? 4.7 Ako su P, U, W potprostori istog vektorskog prostora V i U P dokazati da važi: P (U + W ) = U + (P W ). Uopštiti na slučaj U 1,..., U n V. 4.8 Ako su U, W V tada je U W V ako i samo ako je U W ili W U. 4.9 Dokazati da su skupovi U = {(x 1,..., x n ) R n x 1 +... + x n = 0} i W = {(x 1,..., x n ) R n x 1 =... = x n } vektorski potprostori od R n i da važi R n = U W. 4.10 Suma potprostora U i W vektorskog prostora V je direktna ako i samo ako je preslikavanje π : U V U + V, definisano sa π((u, v)) := u + v izomorfizam vektorskih prostora. Definicija 4.4 Vektori e 1,..., e n V su linearno nezavisni ako iz α 1 e1 +... + α n en = 0, α i F sledi α 1 =... = α n = 0. Lineal (ili linearni omotač) Ω(e) skupa e = { e 1,..., e n } je skup Ω( e 1,..., e n ) = Ω(e) := {α 1 e1 +... + α n en α i F} Ako je Ω( e 1,..., e n ) = V tada n-torku ( e 1,..., e n ) zovemo generatrisa prostora V. 4.11 Da li su vektori a = (6, 2, 3), b = (0, 2, 1) i c = (3, 4, 3) linearno zavisni.

4.12 Neka je a = x 2, b = (x + 1) 2, c = (x + 2) 2. Dokazati da je Ω(a, b, c) = R 3 [x]. 4.13 Neka je V vektorski prostor i A, B V. Dokazati da je Ω(A) = Ω(B) ako i samo ako A Ω(B) i B Ω(A). 4.14 Neka je U V, U V i neka A = V/U. Dokazati da je Ω(A) = V. 4.15 Da li su vektori (1, 0, 7, 4), ( 3, 2, 5, 1), (4, 4, 0, 2), (0, 6, 2, 5) linearno nezavisni u R 4? Ako nisu izraziti jedan od njih preko ostalih. 4.16 Nenula vektori e1,..., e n su linearno nezavisni u vektorskom prostoru V ako i samo ako je suma njihovih linearnih omotača U k = Ω( e k ) direktna. 4.17 Neka su A, B V linearno nezavisni skupvi. Dokazati da je unija A B linearno nezavisna ako i samo ako je Ω(A) Ω(B) = { 0 }. 4.18 Neka je n N i u α = (α + 1,..., α + n) za α F. Dokazati da su svaka 3 od ovih vektora linearno zavisna u F n. 4.19 Ako V vektorski prostor nad poljem F generisan (razapet) jednim vektorom, dokazati da je V = Ω( a ) za svaki nenula vektor a V. 4.20 Dokazati da je svaki aritmetički niz realnih brojeva linearna kombinacija dva linearno nezavisna aritmetička niza iz R N. 4.21 Ako su u = α + x + x 2, v = 1 + αx + x 2, w = 1 + x + αx 2 polinomi u R 3 [x], odrediti sve skalare α za koje su oni linearno nezavisni. 4.22 Dokazati da su vektori (1, a, a 2 ), (1, b, b 2 ), (1, c, c 2 ) linearno nezavisni u F 3 ako i samo ako medju skalarima a, b, c nema jednakih. 4.23 Dati su vektori e 1 = (1, 7, 4, 2), e 2 = (6, 2, 0, 3), f 1 = (9, 19, 12, 9), f 2 = (5, 9, 4, 1) prostora R 4. Dokazati da je Ω( e 1, e 2 ) = Ω( f 1, f 2 ). 4.24 Odrediti bar jednu bazu linearnog otmotača vektora u R[x]: a1 = x 4 +x 3 +x 2 +x, a2 = x 4 +x 3 x 2 x 1, a3 = 2x 4 +2x 3 1, a 4 = x 4 +x 3 +5x 2 +5x+2, a 5 = x 4 x 3 x 2. vektori: 4.25 Neka je e = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) vektorskog prostora V nad poljem R. U odnosu na tu bazu dati su a 1 = e 1 + e 2 + e 3 + e 4, a 2 = e 1 + 2e 2 + 4e 3 + 8e 4, a 3 = e 1 + 3e 2 + 7e 3 + 15e 4 ; b 1 = e 1 2e 3 + 6e 4, b 2 = e 1 e 2 + e 3 e 4, b 3 = e 1 2e 2 + 4e 3 8e 4. Ako je U = Ω(a 1, a 2, a 3 ) i W = Ω(b 1, b 2, b 3 ), odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora: U, W, U + W, U W. 4.26 Neka su U i W vektorski potprostori vektorskog prostora V i neka je e = (e 1,..., e n ) baza prostora U, a f = (f 1,..., f n ) baza prostora W. Dokazati da je skup e f baza prostora V ako i samo ako je V = U W. 4.27 Neka su U, W V. Ako je dim (U + W ) = dim (U W ) + 1, dokazati da je bar jedan od tih potprostora sadržan u drugom. 4.28 Neka su α 1, α 2, α 3 K različiti brojevi i e 1 = (x + α 1 ) 2, e 2 = (x + α 2 ) 2, e 3 = (x + α 3 ) 2 K 2 [x]. Dokazati da polinomi e 1, e 2 i e 3 čine bazu u K 2 [x]. 4.29 Neka su p 0,..., p n polinomi iz K n [x] takvi da je deg (p k ) = k, 0 k n. Dokazati da je (p 0,..., p n ) baza prostora K n [x]. K n [x]. 4.30 Neka je α K fiksiran skalar i f m = (x α) m. Dokazati da je f = (f 0,..., f n ) baza prostora 4.31 Neka je U = {p K 3 [x] p(1) = 0 = p ( 1)}.. Dokazati da je U K 3 [x] i odrediti mu dimenziju i jednu bazu.

4.32 Neka je V vektorski prostor nad poljem K i neka je K = q, dim V = n. Odrediti broj baza prostora V, i opštije, odrediti broj linearno nezavisnih sistema od k vektora za k n. 4.33 Dokazati da su sledeći stavovi ekvivalentni: 1) V je konačne dimenzije. 2) Svaki strogo rastući niz U 1 U 2...... potprostora iz V je konačan. 3) Svaki strogo opadajući iz potprostora je konačan. 4.34 Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konačne dimenzije takvi da je V W. Ako važi U + V = U + W dokazati da je V = W. 4.35 Neka je U V, dim U = n k, n = dim V. Dokazati da postoji k potprostora U 1, U 2,..., U k od V, dim U i = n 1 takvih da važi U = U 1... U k. 4.36 Neka su U, V, W potprostori datog vektorskog prostora konačne dimenzije. Dokazati da je dim (U + V + W ) dim U + dim V + dim W dim (U V ) dim (U W ) dim (V W ) + dim (U V W ) Pokazati primerom da jednakost ne mora da važi. 4.37 Ako su U, W V takvi da važi dim U + dim W > dim V dokazati da suma U + W nije direktna. 4.38 Ako unija U W vektorskih potprostora U, W V sadrži neki vektorski potprostor P V, dokazati da je tada P U ili P W. 4.39 Dokazati da je dim V = n ako i samo ako je V direktna suma n prostora dimenzije 1. 4.40 Odrediti bar jednu bazu linearnog omotača vektora (1, 0, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3) u R 4. 4.41 Odrediti dimenziju i bar jednu bazu prostora U, W, U + W, U W ako je U = Ω(e 1, e 2, e 3 ), W = Ω(f 1, f 2, f 3 ) i: e 1 = 2 5x + 3x 2 + 4x 3, e 2 = 1 + 2x 7x 3, e 3 = 3 6x + 2x 2 + 5x 3 ; f 1 = 2 4x 2 + 6x 3, f 2 = 1 + x + x 2 + x 3, f 3 = 3 + 3x + x 2 + 5x 3 ; 4.42 Odrediti dimenziju i bar jednu bazu vektorskog potprostora prostora R N koji čine svi nizovi (a n ) koji zadovoljavaju a n+2 = 3a n+1 2a n, n N. 4.43 Dokazati da skup svih rešenja sistema jednačina 2x + 3y z + 5t = 0, 3x + y + 2z 9t = 0, x + 5y 4z + 19t = 0, čini vektorski potprostor od R 4 i odrediti jednu bazu tog potprostora. 4.44 Dokazati da je svaki od sistema vektora e = (e 1, e 2, e 3 ), f = (f 1, f 2, f 3 ) baza prostora R 3 i naći veze izmedju koordinata (v) e = (x, y, z) i (v) f = (x, y, z ) ma kog vektora v u te dve baze. e 1 = (1, 2, 1), e 2 = (2, 3, 3), e 3 = (3, 7, 1); f 1 = (3, 1, 4), f 2 = (5, 2, 1), f 3 = (1, 1, 6). 4.45 Vektori e 1, e 2, e 3 u bazi f = (f 1, f 2, f 3 ) imaju koordinate (e 1 ) f = (1, 1, 1), (e 2 ) f = (1, 1, 2), (e 3 ) f = (1, 2, 3). Dokazati da je skup e = (e 1, e 2, e 3 ) i sam baza i izraziti koordinate (v) e vektora v u bazi e ako su mu koordinate u bazi f (v) f = (6, 9, 14).

5 Matrice 5.1 Odrediti broj različitih podmatrica formata (p, q) matrice A M m,n (K). 5.2 Koliko ima različitih blok podela matrici formata (m, n). 1 1 5.3 Neka je A = M 0 1 2 (R). Odrediti A n, n N. Da li formula važi za n Z. 5.4 Odrediti k-ti (k N) stepen dijagonalne matrice A = diag (λ 1,..., λ n ). cos φ sin φ 5.5 Neka je A φ = M sin φ cos φ 2 (R), φ R. a) Dokazati da važi A ( phi + θ) = A φ A θ, φ, θ R. b) Dokazati da je skup SO(2) = {A φ φ R} Abelova grupa u odnosu na množenje matrica. 0 0 16 0 5.6 a) Odrediti sve matrice A M 2 (R) takve da: i) A 2 = ii) A 1 0 2 = 14 0 b) Naći B M 2 (R) tako da A 2 = B ima beskonačno mnogo rešenja. 5.7 Ako matrice A, B M n (K) komutiraju, dokazati jednakost (binomna formula): ( ) ( ) (A + B) n = A n n + A n 1 n B +... + B n 1 n 5.8 Neka je A = 1 0 0 0 1 0 1 2 1. Odrediti A n, n N. 5.9 Odrediti p(a), p(x) = x 2 4x + 3 R[x], A = [ 2 1 1 2 5.10 Dokazati da za svaku matricu A M 2 (R) postoji polinom p R[x], stepena najviše 2, takav da je p(a) = 0. 4 2 5.11 Odrediti A n, n N, gde je A =. 1 3 5.12 Neka je A = 0 2 2 3 1 2 M 3 (R). 3 6 4 a) Dokazati da postoji poinom q R[x], stepena 2, takav da je q(a) = 0. b) Odrediti A n, n N. c) Dokazati daje A invertivilna i odrediti A m m Z. 5.13 Matrica A je jedaka proizvodu BC neke matrice-kolone B i matrice-vrste C ako i samo ako su svake dve njene kolone linearno zavisne. Dokazati. 5.14 Neka su A, B M n (K) takve da je suma komponenata svake od kolona jednaka 1. Dokazati da isto svojstvo važi i za matricu AB. 5.15 Neka je A = 1 0 0 1 0 0 M 3 (R). Odrediti A n, n ZZ. 1 2 1 ] onda one i medjusobno komutiraju. Dokazati. 5.16 Ako matrice A, B M 2 (R) komutiraju sa matricom ]. [ 0 1 1 0 5.17 Izračunati [ 1 1 2 4 ] n, n N nad poljem R.

5.18 Izračunati [ 1 1 2 4 ] n, n Z nad poljem R. 5.19 Odrediti opšti član nizova zadatih rekurentnim formulama: a) a n+1 = 3a n + b n, b n+1 = 6a n + 8b n, a 0 = 1, b 0 = 2 ; b) a n+1 = 3a n + b n, b n+1 = a n + 3b n, a 0 = 0, b 0 = 2; c) a n+2 = 4a n+1 4a n, a 0 = 1, a 1 = 6; d) a n+2 = 4a n+1 4a n, a 0 = 1, a 1 = 6; e) a n+2 = a n+1 + a n, a 0 = 0, a 1 = 1; f) x n+3 = x n+2 + 4x n+1 4x n, x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 6. 1 1 5.20 Dokazati da je matrica A = : 2 4 i) inverzibilna nad Z q ; ii) regularna i nije inverzibilna nad Z; iii) nije regularna nad Z 4 i Z 6. 5.21 Ako je polje K konačno i sa q elemenata, dokazati da je tada i linearna grupa Gl(n, K) konačna i odrediti joj red. 5.22 Naći rang matrice A iz M 3,5 (R): 2 1 3 2 4 A = 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2 5.23 Naći rang matrice A u zavisnosti od λ R : A = 1 λ 1 2 2 1 λ 5. 1 10 6 1 5.24 Dokazati da su relacije ekvivalentnosti matrica i sličnosti matrica, relacije ekvivalencije. 5.25 Dokazati 1 A e B A B. 5.26 Data je matrica A = 1 3 2 1 0 1 5 0. M 3,4 (R). 5 0 2 5 a) Odrediti takve invertibilne matrice P i Q da važi P AQ = A 0, gde je A 0 kanonska matrica matrice A. b) Odrediti B M 3,2 (R) i C M 2,4 (R) tako da važi BC = A. 5.27 Primenom elementarnih operacija odrediti inverz matrice 1 2 7 1 3 9 M 3 (R). 2 3 13 5.28 Odrediti inverz matrice iz M 3 (R) (u zavisnosti od λ R) 3 2 6 a) 5 λ 3 ; b) 0 1 4 3 2 2 0 1 1 1 1 2. 5.29 Neka su A M m,n (K), B M n,p (K) i C = AB. Dokazati a) ρ (AB) ρ (B); b) ρ (AB) ρ (B), gde je sa ρ označen rang vrsta, a sa ρ rang kolona matrice. 1 Matrice A i B su u relaciji e ako se B od A može dobiti elementarnim operacijama vrsta.

5.30 Neka su A, B M m,n (K). Dokazati nejednakosti: ρ(a + B) ρ([a B]) ρ(a) + ρ(b), gde je sa [A B] M m,2n označena matrica dobijena slepljivanjem matrica A i B. 5.31 Dokazati da se svaka matrica ranga k može napisati kao zbir k matrica ranga 1 i ne može se napisati kao zbir manje od k matrica ranga 1. 5.32 Rang matrice jedak je redu njene najveće invertibilne kvadratne podmatrice. 5.33 Neka je A M m,n (K), ρ(a) = r. Dokazati da postoje matrice B M m,r (K) i C M n,n (K) takve da A = BC. 5.34 Neka je A M n (K), ρ(a) = 1. Dokazati da postoji α K takvo da je A 2 = αa. 2 1 5 0 5.35 Ako je A =, D =, dokazati da su matrice A i D slične i dorediti bar jednu 9 2 0 1 matricu X takvu da važi X 3 = A. 5.36 Neka je e 1 = (2, 1, 1), e 2 = (1, 0, 1), e 3 = (0, 0, 1). Dokazati da je e = (e1, e 2, e 3 ) baza prostora R 3 i napisati koordinate vektora u = (1, 2 2) u bazi e. 1 0 1 0 1 1 1 0 5.37 Neka je A 1 =, A 0 1 2 =, A 0 1 3 =, A 0 1 4 =. Dokazati da 1 1 ove matrice čine bazu prostora M 2 (R) i odrediti [ matricu ] prelaska sa kanonske baze ovog prostora na datu bazu, α β a zatim i koordinate prozivoljne matrice X = M γ δ 2 (R) u datoj bazi. 5.38 Ako su p 1 = 2 + x + x 2, p 2 = 1 + x 2, p 3 = x 2 R 3 [x], dokazati da je p = (p 1, p 2, p 3 ) jedna baza prostora R 3 [x]. Naći matricu prelaska sa kanonske baze na bazu p i obratno, a zatim odrediti koordinate vektora u = 1 + 2x 2x 2 u bazi p. 5.39 Dokazati da je kvadratna matrica nad K inverzibilna ako i samo ako poništava bar jedan polinom p takav da je p(0) 0. 5.40 U vektorskom prostoru M n (R) dat je skup U svih matrica čiji je zbir komponenti svake vrste i svake kolone jednak 0. Dokazati da je U M n (R) i odrediti mu dimenziju i bar jednu bazu. 5.41 Dokazati da su A i P 2 linearne kombinacije matrica E i P, a zatim odrediti A n, n N, ako je A = x a a a x a, P = 1 1 1 1 1 1. a a x 1 1 1 5.42 Dokazati da trag matrice ima sledeće osobine: a) tr (A + B) = tr (A) + tr (B); b) tr (αa) = αtr (A); c) tr (AB) = tr (BA); d) Slične matrice imaju isti trag; e) tr ((AB) k ) = tr ((BA) k ). 5.43 Dokazati da jednakost AB BA = E nije ispunjena ni sa koje dve matrice A, B M n (R). 5.44 Ako je B = P 1 AP, A, B, P M n (K), q K[x]. Dokazati da je q(b) = P 1 q(a)p. [ 5.45 Koristeći ] sličnost matrica odrediti A n ako je matrica A : 17 6 a) ; b). 35 12 5.46 Odrediti sve matrice [ iz M] 2 (R) koje komutiraju sa svim matricama: α β a) iz M 2 (R); b) oblika, αβ R. β α 5.47 Ako za matricu A M n (K) važi A n = 0 za neko n N, dokazati da : a) A nije invertibilna b) E ± A jesu invertibilne.

6 Linearna preslikavanja 6.1 Odrediti sve λ K za koje je preslikavanje (α, β) α + λx + βx 2 definiše linearno preslikavanje L : K 2 K[x]. 6.2 Dokazati da je L(α, β, γ) := (α β + 2γ) + (α + β + 2γ)x + γx 2, L : K 3 K 2 [x] linearno preslikavanje. Odrediti matricu A = [L] e,f u odnosu na kanonske baze e, f prostora K 3, K 2, respektivno. 6.3 Ispitati koja od sledećih preslikavanja V W, vektorskih prostora nad poljem R, su linearna i odrediti im matricu u bazama e = (e 1, e 2, e 3 ) i f = (f 1, f 2, f 3 ): a) L(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = (x 1 + x 3 )f 1 + (2x 1 + x 3 )f 2 + (3x 1 x 2 + x 3 )f 3 ; b) G(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = x 1 f 1 + (x 2 + 1)f 2 + (x 3 + 2)f 3 ; c) F (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = (2x 1 + x 2 )f 1 + (x 1 + x 3 )f 2 + x 2 3f 3. 6.4 Dokazati da postoji jedintven linearan operator vektorskog prostora V sa bazom e = (e 1, e 2, e 3 ) koji prevodi vektore a 1 = 2e 1 +3e 2 +5e 3, a 2 = e 2 +2e 3, a 3 = e 1 redom u vektore b 1 = e 1 +e 2 +e 3, b 2 = e 1 +e 2 e 3, b 3 = 2e 1 + e 2 + 2e 3. 6.5 Linearni operator L u bazi e = (e 1, e 2, e 3 ) ima matricu 15 11 5 L = 20 15 8. 8 7 6 Odrediti njegovu matricu u bazi f = (f 1, f 2, f 3 ) ako je f 1 = 2e 1 +3e 2 +e 3, f 2 = 3e 1 +4e 2 +e 3, f 3 = e 1 +2e 2 +2e 3. 2 1 6.6 Preslikavanje Φ u bazi a 1 = ( 3, 7), a 2 = (1, 2) ima matricu, a preslikavanje Ψ u 5 3 bazi b 1 = (6, 7), b 2 = ( 5, 6) ima matricu [ 1 3 2 7 ]. Odrediti matricu operatora Φ Ψ u kanonskoj bazi. 6.7 Neka je f = 1+x+x 2 R 2 [x] = V. Definišimo preslikavanje L : V V sa L(p) = 3p+p(1)f. Dokazati da je L linearno preslikavanje i odrediti mu jezgro, sliku, rang i defekt. 6.8 Odrediti defekt i rang i neke baze jezgra i slike linearnog preslikavanja L : R 4 R 3 čija je matrica u standardnim bazama 2 3 1 4 3 2 6 9. 1 6 4 3 α β 6.9 Dokazati da je množenje sleva matricom M γ δ 2 (K) linearno preslikavanje L : M 2 (K) M 2 (K) i odrediti njegovu matricu u standardnoj bazi. 6.10 Dokazati da su matrice jednog istog linearnog operatora L u dve baze jednake ako i samo ako matrica prelaska jedne od tih baza na drugu komutira sa matricom tog linearnog operatora u jednoj od datih baza. 6.11 Dato je linearno preslikavanje L : R 3 R 3 [x] : L(a, b, c) = (2a + 3b + 7c) + ( 3a + 4b + 2c)x + (4a 2b + 6c)x 2 (3a 2b + 4c)x 3. Odrediti par baza u R 3 i R 3 [x] u kojima preslikavanje ima kanonsku matricu. 6.12 Dokazati da se svako lienarno preslikavanje L : V W ranga k 1 može predstaviti kao suma L 1 +... + L k, k linearnih preslikavanja ranga 1. 6.13 Neka su F i G linearna preslikavanja vektorskih prostora konačnih dimenzija. Dokazati da je Ker(F ) Ker(G) ako i samo ako postoji linearno preslikavanje L takvo da je G = L F. 6.14 Neka su P i Q vektorski potprostori vektorskih prostora V i W redom, takvi da je dim P + dim Q = dim V. Dokazati da postoji linearno preslikavanje L : V W takvo da je ker L = P i ImL = Q.

6.15 Neka je A M n (R) takva da je A 2 = E. Dokazati da važi ρ(e + A) + ρ(e A) = n. ( ) 6.16 Neka je linearno preslikavanje L prostora R 2 u bazi ( a 1 = )(1, 2), a 2 = (2, 3) ima matricu 3 5 4 6, a preslikavanje G u bazi b 4 3 1 = (3, 1), b 2 = (4, 2) ima matricu. Odrediti matricu preslikavanja 6 9 L + G u bazi b 1, b 2. 6.17 a) Dokazati da linearno preslikavanje L : V W ima inverz L 1 ako i samo ako Ker(L) = { 0 }. b) Ako postoji preslikavanje L 1 je takodje linearno. 6.18 Neka su V i W vektorski prostori i L : V W linearno preslikavanje. Dokazati: a) Ako je U V tada je L(U) W. b) Ako je U W tada je L 1 (U) V. c) Ako su U 1, U 2 V tada je L(U 1 + U 2 ) = L(U 1 ) + L(U 2 ) i L(U 1 U 2 ) = L(U 1 ) L(U 2 ). d) Ako su U 1, U 2 W tada je L 1 (U 1 U 2 ) = L 1 (U 1 ) L 1 (U 2 ). d) Da li za U 1, U 2 V važi L(U 1 U 2 ) = (U 1 ) L(U 2 )? 6.19 Neka su V i W vektorski prostori konačnih dimenzija. Pokazati da skup L(V, W ) = {L : V W L je linearno } svih linearnih preslikavanje prostora V u prostor W ima prirodnu strukturu vektorskog prostora. Odrediti neku bazu i dimenziju prostora L(V, W ). 6.20 Neka su U V i W vektorski prostori. Dokazati da je skup L(U, V, W ) svih linearnih preslikavanja L : V W takvih da Ker(L) U, potprostor prostora L(V, W ). važi: 6.21 Neka je dim V = n. Dokazati da za svaki U V i svako linearno preslikavanje L : V W dim (L(U)) + δ(l) = dim (U + Ker(L)). 6.22 Ako su L : U V i G : V W linearna preslikavanja, dokazati da važi a) δ(g L) δ(l) + δ(g); b) ρ(g L) + δ(g) ρ(l) (Silvesterova nejednakost). 6.23 Neka su F, H, G linearna preslikavanja konačnih rangova za koje je definisana kompozicija H G F. Dokazati da tada važi: ρ(g F ) + ρ(h G) ρ(g) + ρ(h G F ). 6.24 Ako su L, G : V W linearna preslikavanja dokazati da je tada a) Im(L + G) ImL + ImG; b) ρ(l) ρ(g) ρ(l + g) ρ(l) + ρ(g). 6.25 Dokazati da za linearna preslikavanja F : U V i G : V W važi: a) Im(G F ) Im(G), b) Ker(F ) Ker(G F ) c) ρ(g F ) ρ(f ), ρ(g). 6.26 Ako je V = R 3 [x], dokazati da je sa L(p) = (1 4x)p + (x + x 2 )p zadato jedno linearno preslikavanje L : V V i odrediti njegovu matricu u odnosu na standardnu bazu prostora V. Da li je L invertibilno? 6.27 Neka je α, β R, β 0, u 1 (x) = e αx cos(βx), u 2 (x) = e αx sin(βx) i U = Ω(u 1, u 2 ) R R. Dokazati da je sa L(u) = u, u U definisano linearno preslikavanje prostora U. Odrediti mu matricu u nekoj bazi i proveriti invertibilnost. Definicija 6.1 Neka je L : V V linearno preslikavanje i U V. Potprostor U je invarijantan u odnosu na L ako je L(U) U.

6.28 Neka je potprostor U V invarijantan u odnosu na linearno preslikavanje L : V V. Neka je e = (e 1,..., e n ) baza potprostora U. a) Odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e 1,..., e n, f 1,..., f k ) prostora V. b) Ako je f = (f 1,..., f k ) baza prostora W V takvog da V = U W i ako je i prostor W invarijantan, odrediti matricu preslikavanja L u bazi (e 1,..., e n, f 1,..., f k ). 6.29 a) Dokazati da je sa L(p) = 3px p x 2 zadato linearno preslikavanje vektorskog prostora R[x]. b) Dokazati da postoji jedinstven prirodan broj n N za koji je potprostor V = R n [x] invarijantan u odnosu na preslikavanje L. c) Ako je L 0 = L V restrikcija preslikavanja L, napisati preslikavanje L 0 u standardnoj bazi prostora V i ispitati njegovu invertibilnost. 6.30 Dat je polinom a = 1 + x + x 2 + x 3. Dokazati da je sa L(p) = 2p + p(1)a definisano linearno preslikavanje L : V V koje poništava neki polinom stepena najviše 2, a zatim odrediti preslikavanje L n, n N. 6.31 Ako je L : V V linearno perslikavanje, dokazati da je n N Ker(L n ) V. 6.32 Neka je V vektorski prostor dimenzije n i L : V V linearno preslikavanje. Dokazati ekviva- lenciju: L 2 = 0, n = 2ρ(L) Ker(L) = Im(L). Definicija 6.2 Linearno preslikavanje L : V V je idempotentno (ili projektor) ako važi L 2 = L. 6.33 Neka je L : V V projektor. a) Dokazati da je i preslikavanje F = Id L projektor. b) Dokazati da je KerF = ImL. c) Dokazati da je V = KerL ImL. 6.34 Ako za linearno preslikavanje L : V V postoji r N takvo da je KerL r+1 = KerL r tada je KerL n = KerL r za svako n r. 6.35 Dokazati da za linearno preslikavanje L : V V važi ImL 2 = ImL ako i samo ako V = KerL + ImL. 6.36 Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V V sledeća tvrdjenja ekvivalentna: a) KerL 2 = KerL; b)kerl ImL = { 0 }; c) V = KerL ImL 6.37 Neka je L : V V linearno preslikavanje ranga 1. Dokazati da postoji neki skalar α K takav da važi L 2 = αl. 6.38 Ako su preslikavanja L i F projektori, dokazati da njihova suma L + F projektor ako i samo ako L F = 0 = F L i da u tom slučaju važi Im(L + F ) = ImL + ImF.

7 Sistemi linearnih jednačina 7.1 Odrediti polinom p stepena 3 sa realnim koeficientima takav da važi: p( 1) = 0, p(1) = 4, p(2) = 3, p(3) = 16. (Rešenje: p(x) = 2x 3 5x2 + 7.) 7.2 Rešiti sisteme jednačina: Rešenje b): (1 i, 1 + i, 1). x + 5y z = 9 2x + y (2 + i)z = 1 2i 2x y + 3z = 3 x + 2y (1 + 2i)z = i 4x + 9y + z = 15 3x + (4 + i)z = 7 2i 7.3 Odrediti rešenja sistema nad Z 5 : Rešenja: a) (1, 2, 3) b) (1, 2, 4). 3x + 4y + z = 4 x + y + 3z = 0 x + 2y + 2z = 1 2x + 4y + 4z = 1 4x + + z = 2 3x + 3y + 2z = 2 7.4 Rešiti sistem jednačina u zavisnosti od parametra: 2x + 2y + 5z + 3t = 5 2x y + 3z t + 2u = 5 6x + y + 5z + 4t = 5 3x + 2y z + 3t + u = 8 4x y + t = λ x + 3y + 4z 4t + u = 3 2x + z + t = 1 7x + 5z + t + 5u = α Rešenja: a) za λ 0 nema rešenja, za λ = 0 dvodimenzioni prostor rešenja; b) za α 18 nema rešenja, za α = 18 dvodimenzioni prostor rešenja. 7.5 Odrediti rešenja sistema u zavisnosti od parametra: x y + z = 1 (λ + 1)x + y + z = 2 λ 4x z = 1 x + (λ + 1)y + z = 2 αx + 2y 5z = 3 x + y + (λ + 1)z = λ λx + y + z + t = 0 x + λy + z + t = 0 x + y + λz + t = 0 x + y + z + λt = 0 Rešenja: a) za λ = 10 sistem nema rešenja, za λ 10 sistem ima jedinstveno rešenje; b) za λ = 0 nema rešenja, za λ = 3 beskonačno mnogo rešenja, za λ 3, λ 0 jedistveno rešenje. c) za λ = 1 trodimenzioni prostor rešenja, za λ = 3 jednodimenzioni prostor rešenja, za λ 3, λ 1 samo trivijalno rešenje.

8 Determinante i njihove primene 8.1 Dokazati da za blok matricu važi [ E 0 P 0 a) det = det P = det 0 P 0 E gde su P i R kvadratne matrice. ] [ P Q b) det 0 R ] = det P det R, 8.2 Neka je A antisimetrična matrica neparnog reda, nad poljem R. Dokazati da je det A = 0. 8.3 Za matricu A odrediti adj A, a zatim proveriti da li je invertibilna i ako je ste odrediti A 1 : a) 1 1 0 1 1 1 b) 1 2 2 3 1 0. 0 2 1 1 1 1 8.4 Dokazati da slične matrice imaju iste determinante. 8.5 Da li je inverzibilno preslikavanje L(x, y, z) := (3x 2z, 5y + 7z, x + y + z)? 8.6 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V V, D(f) := df dt, gde je V = Ω(1, t, t2,..., t n 1 ) R R potprostor prostora funkcija? 8.7 Da li je inverzibilno preslikavanje D : V V, D(f) := f, gde je V = Ω(e t, e 2t, e 3t ) R R potprostor prostora funkcija? 8.8 U zavisnosti od λ R odrediti da li postoji inverz matrice a) 2 1 3 1 0 4 b) 1 2 2 3 1 λ 3λ λ 1 1 1 1 8.9 Rešiti sledeće sisteme jednaǐna Kramerovim pravilom:. αx + y + z = 1, αx + y + z = 1, x + αy + z = 1, x + αy + z = β, x + y + αz = 1; x + y + αz = β 2, 8.10 Dokazati da sistem ima jedinstveno rešenje za α 0, 2, 3 i rešiti sistem u slučajevima α = 0, 2, 3: 2(α + 1)x + 3y + αz = α + 4, (4α 1)x + (α + 1)y + (2α 1)z = 2α + 4, (5α 4)x + (α + 1)y + (3α 4)z = α 1. 8.11 Neka je δ R i neka su λ 1,..., λ n različiti realni brojevi. Rešiti sistem: x 1 +... + x n = 1, λ 1 x 1 +... + λ n x n = δ, λ 2 1x 1 +... + λ 2 nx n = δ 2,.. λ n 1 1 x 1 +... + λ n 1 n x n = δ n 1. 8.12 Ako je A M n (K), λ K dokazati det(λa) = λ n det(a). 8.13 Dokazati da je adj (λa) = λ n 1 adj A za A M n (K)... 8.14 Dokazati a je det(adj A)) = (det A) n 1. 2 2 0 8.15 Ako je adj A = 6 9 1 odrediti matricu A. 8 12 2 8.16 Ako za kvadratne nenula matrice nad poljem K važi ABC = 0, dokazati da determinante bar 2 od tih matrica moraju biti jednake nuli.

9 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori 9.1 Sopstveni vektori koji odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima su linearno nezavisni. 9.2 Dokazati da za linearni operator L vektorskog prostora V konačne dimenzije postoji baza e prostora V takva da je matrica [L] e dijagonalna ako i samo ako postoji baza tog prostora V sastavljena od sopstvenih vektora preslikavanja L. 9.3 Algebarska višestrukost sopstvene vrednosti λ preslikavanja L je uvek veća od odgovarajuće geometrijske višestrukosti. 9.4 Na vektorskom prostoru R 3 dato je preslikavanje L sa L(x, y, z) = (2x+y, y z, 2y+4z). Odrediti sopstvene vrednosti i neke baze sopstvenih potprostora koje odgovaraju tim sopstvenim vrednostima. Odrediti, ako postoji, bazu u kojoj je matrica preslikavanja L dijagonalna. 9.5 Na vektorskom prostoru R 2 [x] dato je preslikavanje L sa L(p) = p + p(1)(1 + 2x + x 2 ). Odrediti sopstvene vrednosti i odgovarajuće sopstvene vektore tog preslikavanja. Da li je L dijagonalizabilan. 9.6 Odrediti karakteristični i minimalni polinom matrice A. Ispitati da li je matrica A slična nekoj dijagonalnoj i ako je odgovor potvrdan naći odgovarajuću matricu prelaska. a) 1 3 3 3 5 3 b) 3 1 1 0 2 0 c) 4 0 1 2 1 1 1 8 4 1 2 0 d) 2 1 1 e) 4 4 7. 6 6 4 1 1 3 1 1 3 2 1 1 8 1 4 Rešenje: a) Dijagonalizabilan, { 2, 2, 4}. b) Ne, { 2, 2, 4} c) Ne, {3, 3, 3} d) Ne, { 2, 2, 0} c) Ne (nad R), {9, 9i, 9i}. 9.7 U zavisnosti od parametra proveriti da li je matrica slična nekoj dijagonalnoj matrici: cos t sin t 0 a) sin t cos t 0 b) 0 0 c 1 0 c cos t sin b) sin t cos t 0 0 1 0 1 1 9.8 Neka je λ sopstvena vrednost linearnog preslikavanja L vektorskog prostora V nad poljem K i neka je p K[x]. Dokazati da je p(λ) sopstvena vrednost operatora p(l). 9.9 Neka je L invertibilno linearno preslikavanje vektorskog prostora V konačne dimenzije i λ njegova sopstvena vrednost. Dokazati da je λ 0 i da je λ 1 sopstvena vrednost preslikavanja L 1. 9.10 (Lema o jezgrima) Neka su su p, q K[x] i L linearno preslikavanje vektorskog prostora V nad K. Dokazati da važi: gde je s = NZS(p, q), r = NZD(p, q). Ker p(l) + Ker q(l) = Ker s(l) i Ker p(l) Ker q(l) = Ker r(l), 9.11 Dokazati da su za linearno preslikavanje L : V V sledeći uslovi ekvivalentni: a) Svaki vektor v V je sopstveni. b) Operator L ima istu matricu u ma kojoj bazi. c) L je skalarni operator, tj. L = αid. 9.12 Neka je L : V V linearno preslikavanje i U V (V je vektorski prostor konačne dimenzije) invarijantan u odnosu na L. Dokazati da karakteristični polinom od L U deli karakteristični polinom od L. 9.13 Odrediti minimalni polinom matrice: 2 8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 1 3 0. 0 0 0 0 5

9.14 Odrediti karakteristični i minimalni polinom kvadratne matrice reda n nad poljem K u kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki α K, a na dijagonali su svi jednaki β K. 9.15 Odrediti karakteristični i minimalni polinom kao i sopstvene vrednosti linearnog preslikavanja L : M 2 (K) M 2 (K) definisanog sa 3 5 6 8 L(X) := AX + XB, A =, B =. 0 2 2 4 9.16 Neka je L : V V fiksirano linearno preslikavanje, dim V = n. a) Dokazati da je sa Φ L (F ) := LF definisano linearno preslikavanje Φ L : L(V ) L(V ) (L(V ) je prostor linearnih preslikavanja od V ). b) Dokazati da preslikavanja L i Φ L imaju iste sopstvene vrednosti. c) Dokazati: L je dijagonalizabilan ako i samo ako Φ L je dijagonalizabilan. 10 Skalarni proizvod 10.1 a) Proveriti da li je preslikavanje : R 2 R 2 R dato sa (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 5x 2 y 2 skalarni proizvod. b) Za koje k R je sa (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 3x 1 y 2 3x 2 y 1 + kx 2 y 2 zadat skalarni proizvod na R 2? 10.2 Dokazati da je na prostoru matrica M 2 (R) sa A B = tr (A T ) zadat skalarni proizvod. ( ) 1 2 10.3 Izračunati intenzitet matrice A = M 3 4 2 (R) kao i ugao koji zaklapaju matrice ( ) ( ) 1 1 1 1 B = i C =, u odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka 10.2 1 1 1 1 10.4 Dokazati da su ortonormirani vektori i linearno nezavisni. 10.5 Pokazati da je na vektorskom prostoru V = R 3 [x] formulom p, q := p(0)q(0) + p (0)q (0) + p(1)q(1) zadat skalarni proizvod, a zatim odrediti bar jednu ortonormiranu bazu ovog prostora u odnosu na dati skalarni proizvod. 10.6 Odrediti neku ortonormiranu bazu potprostora W R 3 [x] svih polinoma p takvih da p ( 1) = 0 u odnosu na skalarni prozvod iz Zadatka 10.5. 10.7 Neka je e = (e 1, e 2, e 3 ) baza vektorskog prostora V nad R. a) Dokazati da je sa (αe 1 + βe 2 + γe 3 ) (ae 1 + be 2 + ce 3 ) := 2αa + αb + 4βb + βa + βc + γb + 2γc zadat skalarni proizvod na V. b) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u odnosu na ovaj skalarni proizvod. Definicija 10.1 Neka je W potprostor realnog vektorskog prostora V i, skalarni proizvod na V. Ortogonalni komplement prostora W je skup W := {v V v, w = 0, za svaki w W }. 10.8 Dokazati: a) W je potprostor prostora V. b) V = W W. c) (W ) = W. 10.9 Odrediti ortogonalnu projekcijuu i ortogonalnu dopunu vektora a = (1, 1, 0, 2) na potprostor U R 4 generisan vektorima u 1 = (9, 7, 4, 6) i u 2 = (5, 5, 8, 8) 10.10 Neka je u 1 = (1, 2, 3, 4) i u 2 = (3, 5, 7, 8) R 4 i W = Ω(u 1, u 2 ). Odrediti neku ortonormiranu bazu prostora W i W u odnosu na standardni skalarni prozivod u R 4. 10.11 Neka je S = {A M 2 (R) A T = A} skup simetričnih i A = {A M 2 (R) A T = A} skup antisimetričnih matrica iz M 2 (R). a) Dokazati da su A i S potprostori od M 2 (R). b) Dokazati da je S = A u odnosu na skalarni prozivod iz Zadatka 10.2. c) Odrediti neku ortonormiranu bazu prostora S.

( 2 0 10.12 Odrediti ugao koji zaklapa matrica X = 2 0 odnosu na skalarni proizvod iz Zadatka 10.2. ) sa potprostorom S simetričnih matrica u 10.13 U vektorskom prostoru polinoma R 3 [x] zadat je skalarni proizvod p, q := p(0)q(0)+p (0)q (0)+ 1 4 p (0)q (0). Odrediti rastojanje polinoma p = 2x + 4x 2 od potprostora U svih polinoma za koje je a(1) + a = 0. 10.14 Odrediti bazu ortogonalnog komplementa W T potprostora W R 4, gde je W = Ω(a 1, a 2, a 3 ), a 1 = (1, 0, 2, 1), a 2 = (2, 1, 2, 3), a 3 = (0, 1, 2, 1). 10.15 Odrediti bar jednu ortonormiranu vazu potprostora od R 4 generisanog vektorima e 1 = (1, 1, 1, 1) i e 2 = 1, 1, 1, 1) i dopuniti je do ortonormirane baze celog prostora R 4. 10.16 Dokazati da za potprostore U, W V važi: a)(u + W ) = U W, b)(u W ) = U + W 10.17 Neka je e = (e 1,..., e n ) baza prostora V sa skalarnim proizvodom,. Definišimo matricu S e = ( e i, ε j ) M n (R). (ona se zove matrica skalarnog proizvoda. Dokazati: a) Matrica S e je simetrična. b) Sve sopstvene vrednosti matrice S e su realne i strogo veće od nule. c) Skalarni proizvod se može zapisati u obliku x, y = [x] T e S e [y] e, (1) gde su [x] e i [y] e kolone koordinata vektora x, y V. d) Ako je f druga baza prostora v i C = C e f matica prelaska, dokazati da je S f = C T S e C. e) S e = E ako i samo ako je e ortonormirana baza. f) det S e 0. 10.18 Ako je skup e = (e 1,..., e n ) samo podskup vektora (ne obavezno baza) prostora V tada se matrica S e iz Zadatka 10.17 zove Gramova matrica skupa e. Dokazati da su vektori e 1,..., e n linearno nezavisni ako i samo ako je det S e 0. 10.19 Dokazati da svaka simetrična matrica S sa strogo pozitivnim realnim sopstvenim vrednostima, formulom (1) definiše skalarni proizvod. 10.20 Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu u kojoj kvadratna forma ima dijagonalni oblik: a) q(v) = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, v = (x, y, z). b) q(v) = 2x 2 + 2y 2 z 2 8xy + 4xz 4yz, v = (x, y, z). Definicija 10.2 Linearno preslikavanje L : V V je simetrično u odnosu na skalarni proizvod, ako važi x, L(y) = L(x), y, za sve x, y V. 10.21 Neke je S e matrica skalarnog proizvoda u bazi e i A = [L] e matrica linearnog preslikavanja u bazi e. Dokazati: a) Preslikavanje L je simetrično ako i samo ako A T S e = S e A. b) Matrica simetričnog preslikavanja u ortonormiranoj bazi e je simetrična. ( ) 2 1 10.22 Neka je L : R 2 R 2 linearno preslikavanje sa matricom A = [L] e = u bazi 2 3 e = (e 1, e 2 ). Ispitati da li na R 2 postoji skalarni proizvod u odnosu na koji je preslikavanje L simetrično. R 3. 10.23 a) Dokazati da je sa p q = p(1)q(1) + p(0)q(0) + 1 4 p (0)q (0) definisan skalarni proizvod na b) Neka je A = [L] e = 1 0 1 α 0 2 0 0 β matrica preslikavanja L : R 3 [x] R 3 [x] u odnosu na kanonsku bazu e = (1, x, x 2 ). Ispitati da li je za neko α, β R to preslikavanje simetrično.

Definicija 10.3 Neka je V realan vektorski prostor sa skalarnim proizvodom,. Linearno preslikavanje L : V V je ortogonalno ako čuva normu, tj. v = L(v), v V. Linearno preslikavanje L : V V je izometrija ako čuva skalarni proizvod, tj. u, v = L(u), L(v) za sve u, v V. 10.24 Dokazati da je preslikavanje L : V V ortogonalno ako i samo ako je izometrija. 10.25 Neka je L : V V i e = (e 1,..., e n ) ortonormirana baza od V. Dokazati da su sledeća tvrdjenja ekvivalentna: a) L je ortogonalan. b) L(e) je ortonormirana baza. c) [L] e je ortogonalna matrica ([L] e [L] T e = E). 10.26 Neka je e = (e 1,..., ε n ) ortonormirana baza prostora V. Dokazati da baza f = (f 1,..., f n ) ortonormirana ako i samo ako je matrica prelaska C = C e f, sa baze e na bazu f, ortogonalna. Definicija 10.4 O(n) := {A M n (R) AA T = E} (ortogonalna grupa); SO(n) := {A O(n) det A = 1} (specijalna ortogonalna grupa). 10.27 a) Dokazati da je ( cos φ sin φ O(2) = { sin φ cos φ ) ( cos φ sin φ φ [0, 2π)} sin φ cos φ ) φ [0, 2π)}. b) Dokazati da u ortonormiranoj bazi, matrice prvog skupa predstavlju rotacije, a matrice drugog skupa refleksije. Nacrtati. c) Pokazati da je matrice prvog skupa čine grupu SO(2), a da matrice drugog skupa uopšte ne cine grupu. 10.28 Dokazati da su sve izometrije vektorskog prostora R 3 koje čuvaju orjentaciju (grupa SO(n)), rotacije oko neke prave za neki ugao. Teorema 10.1 Za svaku izometriju L : V V realnog vektorskog prostora V sa skalarnim proizvodom postoji ortonormirana baza e = (e 1,..., ε n ) takva da je [L] e = R θ1 0 0 0 0... 0 0 0 0 0 0 R θ1 0 0 0 0 0 0 1 0 0... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ( ) cos φ sin φ, R θ := sin φ cos φ za neke uglove θ 1,..., θ k. Matrica [L] e se naziva kanonski oblik izometrije L. 10.29 Odrediti kanonski oblik ortogonalne matrice A i neku bazu u kojoj se on realizuje: a) 3 1 6 1 1 3 6 1 4, b) 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2, c) 3 2 1 1 2 6 6 2 1 2 2 2 2 0. 10.30 a) Odrediti neku matricu A O(3) čija je prva kolona v 1 = 1 3 (1, 2, 2)T. b) Odrediti sve matrice A O(3) čija je prva kolona v 1 = 1 3 (1, 2, 2)T. 10.31 Neka su u, v V vektori jediničnih dužina. a) Dokazati da je skup W = {x V x u = x v } vektorski potprostor od V čija je dimenzija dim W = dim V 1. b) Odrediti W.

10.32 Neka je V = R 3 [x]. a) Dokazati da je sa (f, g) = 1 f(t)g(t)dt zadat skalarni prozivod na V. 0 b) Odrediti bazu potprostora W ortogonalanog na h(t) = 2t + 1. c) Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu prostora V. 10.33 Neka je W R 4 potprostor zadat kao rešenje sistema jednačina: 2x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 0, 3x 1 + 2x 2 2x 4 = 0, 3x 1 + x 2 + 9x 3 x 4 = 0. a) Odrediti baze prostora W i W. b) Predstaviti prostor W kao rešenje sistema jednačina. c) Naći ortogonalnu razlaganje a = a + a vektora a = (1, 1, 0, 2), gde a W, a W.