Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi Nea je X R n i nea x X X Stavimo A x = {h R n (x + h) X}; sup A x je neprazan i 0 A Definicija 1 Funcija f : X R m se naziva diferencijabilnom u tači x X X ao postoje linearno presliavanje L x : R n R m i presliavanje α x : A x R m tava da važi (1) ( h A x ) f(x + h) f = L x (h) + α x (h), pri čemu se pretpostavlja i da je α x (h) = o(h) ada h 0 Ao je presliavanje f diferencijabilno u svaoj tači x X onda se f naziva diferencijabilnim presliavanjem na supu X Definicija Linearni operator L x iz definicije (1) naziva se izvodom funcije f u tači x X i označava sa f Vetor x(h) = (h + x) x = h se naziva priraštajem nezavisno promenljive, a vetor f(x; h) = f(x + h) f priraštajem funcije f oji odgovara priraštaju h nezavisno promenljive Vetor f (x; h) = L x (h) se naziva diferencijalom funcije f u tači x, oji odgovara priraštaju h nezavisno promenljive Može se doazati da važi tvrdjenje: Ao je presliavanje f diferencijabilno u tači x, onda postoji samo jedan linearni operator L x taav da važi (1) Presliavanja L x : R n R m i α x : A x R m iz definicije (1) odredjena su svojim oordinatnim funcijama L xj : R n R m i α xj : A x R m, (1 j m): ( h R n ) L x (h) = (L x,1 (h),, L x,m (h)), ( h A x ) α x (h) = (α x,1 (h),, α x,m (h)) Ao se jednaost (1) napiše u oordinatnom obliu onda se vidi da je ta jednaost evivalentna sistemu jednaosti: () f j (x + h) f j = L x,j (h) + α x,j (h), (1 j m) gde su f j oordinatne funcije presliavanja f S obzirom da su funcije L x,j linearne i da važi jednaost: odatle zaljučujemo da važi sledeće tvrdjenje: ( j {1,, m}) α x,j (h) = o(h), h 0 Domaći zadata studenata II godine u oviru ursa Analize II 1
Teorema 1 Funcija f : X R m je diferencijabilna u tači x X X ao i samo ao su u toj tači diferencijabilne sve oordinatne funcije f j Pri tome je f j = L x,j gde su L x,j, (1 j m) oordinatne funcije izvoda L x funcije f u tači x Definicija 3 Nea je funcija f : X R definisana na supu X R n i nea je x X X Limes f(x 1, x i 1, x i + h i, x i+1,, x n ) f(x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n ), h i o h i ao pos toji naziva se parcijalnim izvodom funcije f po promenljivoj x i u tači x i označava se jednim od simbola: i, i f, f x i Teorema Ao je funcija f : X R definisana na supu X R n i diferencijabilna u unutrašnjoj tači x tog supa onda f u tači x ima parcijalne izvode po svim promenljivim x 1 do x n Pri tome važe jednaosti ( h = (h 1,, h n ) R n ) f h = 1 h 1 + + n h n Primer 1 Posmatrajmo realnu funciju f(x 1, x, x 3 ) = x 1 + x e x1 + x 1 x x 3 definisanu na prostoru R 3 Ona je diferencijabilna ao ompozicija elementarnih funcija, pa u svaoj tači x = (x 1, x, x 3 ) postoje parcijalni izvodi te funcije i važe jednaosti: 1 (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x e x 1 + x x 3, (x 1, x, x 3 ) = 4x e x1 + x 1 x 3, 3 (x 1, x, x 3 ) = x 1 x Odredimo matricu oja predstavlja izvod f presliavanja f : X R m, diferencijabilnog u unutrašnjoj tači x supa X R n Nea su f j : X R, (1 j m) oordinatne funcije presliavanja f Iz teoreme (1) slede jednaosti: ( h R n ) f h = f 1h f mh, a odatle sledi Dale, ( h R n ) f h = f = n i=1 n i=1 1 i h i m i h i 1 = 1 m 1 1 1 1 m 1 n m n 1 n m n h 1 h m
Primer Naći (x, 1) za funciju f(x, y) = x + (y 1) arcsin x y Saglasno definiciji parcijalnog izvoda, važi: f(x + h, 1) f(x, 1) x + h x h (x, 1) h 0 h h 0 h h 0 h = 1 Definicija 4 Matrica (1) se naziva Jaobijevom matricom presliavanja f u tači x X Ao je n = m onda se determinanta te matrice naziva jaobijanom presliavanja f u tači x Teorema 3 Nea je funcija f : U(x 0 ) R definisana u neoj oolini U(x 0 ) tače x 0 R n i nea postoje parcijalni izvodi 1 f,, n f u svaoj tači x U(x 0 ) Ao su sve funcije i f : U(x 0 ) R,(1 j n) nepreidne u tači x 0, onda je funcija f diferencijabilna u toj tači Odnos izmedju diferencijabilnosti, nepreidnosti i parcijalnih izvoda Odnos izmedju nepreidnosti i diferencijabilnosti je isti ao u jednodimenzionom prostoru Iz diferencijabilnosti sledi nepreidnost, ali obrnuto ne mora da važi U slučaju funcije f : X R gde je X R n, a diferencijabilnost funcije u tači x X obezbedjuje egzistenciju svih parcijalnih izvoda u toj tači Obratno ne važi: Iz egzistencije parcijalnih izvoda po svim promenljivim u neoj tači ne sledi diferencijabilnost funcije u toj tači Primer 3 Nea je data funcija f(x, y) = { xy x +y, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) Ispitati njenu diferencijabilnost f(h, 0) f(0, 0) (0, 0) = 0, h 0 h f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = 0 Funcija f je diferencijabilna na R \ {(0, 0)} ao ompozicija elementarnih funcija U tači (0,0) zaljučujemo da postoje njeni parcijalni izvodi, ali ona u toj tači nije diferencijabilna jer nije nepreidna u toj tači 3 Osnovna pravila diferencijabilnosti Teorema 4 Ao su presliavanja f : X R m i g : X R m diferencijabilna u tači x X R n onda je presliavanje (αf + βg) : X R m, (α, β R) diferencijabilno u tači x i vači jednaost: (αf + βg) = αf + βg 3
Teorema 5 Ao su funcije f : X R i g : X R diferencijabilne u tači x X R n onda je: (a) funcija (fg) : X R u tači x i važi jednaost (fg) = gf + fg ; (b) funcija f g : X R diferencijabilna u tači x ao je g 0 na supu X i važi jednaost 4 Parcijalni izvodi višeg reda ( f g ) = gf fg g Definicija 5 Funcija j ( i f) : B R, (broj j ( i f)) naziva se parcijalnim izvodom drugog reda funcije f po promenljivim x i, x j na supu B X (u tači x A), i označava se jednim od simbola: ji f,, x j jx i ( ) f ji f,, x i j jx i i Primer 4 f(x, y, z) = x 5 y z 3 + 4yz + y e yz + 3xz Ova realna funcija ima u svaoj tači (x, y, z) R 3 sve parcijalne izvode, što sledi iz njene diferencijabilnosti u svaoj tači (x, y, z) R 3 : (x, y, z) = 10x4 y z 3 + 3z, z (x, y, z) = 6x5 y z + 4y + y 3 e yz + 3x, (x, y, z) = 0x4 yz 3, (x, y, z) = 4x5 yz 3 + 4z + ye yz + y e yz z, (x, y, z) = 40x 3 y z 3, z (x, y, z) = 30x4 y z + 3, 3 f z (x, y, z) = 60x 4 y z, 3 f 3 (x, y, z) = 10x y z 3 Redosled promenljivih po ojima se vrši diferenciranje ne utiče na vrednost parcijalnog izvoda u opštem slučaju Teorema 6 Ao f C () (X), onda vrednost parcijalnog izvoda f i i1 ne zavisi od poreta promenljivih x i1,, x i po ojima se vrši diferenciranje, tj ista je za svau permutaciju indesa i 1,, i (1 i 1,, i n) Primer 5 Ispitati diferencijabilnost funcije f(x, y) = 3 xy u tači (0, 0) f(h, 0) f(0, 0) (0, 0) h 0 h h 0 f(0, ) f(0, 0) (0, 0) 0 3 h 0 0 = 0, h 3 0 0 = 0 4
Medjutim, funcija nije diferencijabilna u tači (0, 0) jer u toj tači nije ispunjen neophodan uslov diferencijabilnosti: f(x + h, y + ) f(x, y) (x, y) h (x, y) + h 0 Primer 6 Ispitati diferencijabilnost funcije f(x, y) = 3 x 3 + y 3 u tači (0, 0) Nalazimo parcijalne izvode: Proveravamo osnovni uslov diferencijabilnosti: f(h, 0) f(0, 0) h (0, 0) h 0 h h 0 h = 1, f(0, ) f(0, 0) (0, 0) 0 = 1 3 h3 + 3 0 1 h 1 + h 3 h3 + 3 h h + Kao je (za npr pravac h = = t) ovaj es različit od nule, funcija nije diferencijabilna u datoj tači Primer 7 Ispitati diferencijabilnost funcije: { f(x, y) = e 1 x +y, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) Za (x, y) (0, 0) funcija je diferencijabilna ao superpozicija diferencijabilnih funcija Ispitajmo diferencijabilnost u tači (0,0): f(h, 0) f(0, 0) 1 (0, 0) h 0 h h 0 h 1 e h = 0, f(0, ) f(0, 0) 1 (0, 0) 0 1 e = 0; f(h, ) f(0, 0) (0, 0) h (0, 0) = h + e 1 h + 0 0 h 0 = 0 h + Odatle sledi da je funcija diferencijabilna u tači (0, 0) Primer 8 Da li je funcija f(x, y) = 3 x + y diferencijabilna na R? Za x + y 0, funcija f je diferencijabilna ao ompozicija diferencijabilnih funcija U (0, 0) funcija f nije diferencijabilna jer ne postoje parcijalni izvodi: f(h, 0) f(0, 0) h 3 h 0± h h 0± h = ±, 5
f(0, ) f(0, 0) 3 0± 0± = ± Primer 9 Ispitati diferencijabilnost sledeće funcije: f(x 1, x ) = { (x 1 + x ) sin(x 1 + x ) 1, (x 1, x ) (0, 0) 0, (x 1, x ) = (0, 0) Funcija je diferencijabilna u svaoj tači (x 1, x (0, 0)) ao ompozicija elementarnih funcija = x 1 sin(x 1 + x ) 1 x 1 cos(x 1 + x ) 1 1 (x 1 + x ), = x sin(x 1 + x ) 1 x cos(x 1 + x ) 1 (x 1 + x ), f(0 + h, 0) f(0, 0) h sin 1 h (0, 0) 1 h 0 h h 0 h f(, 0) f(0, 0) sin 1 (0, 0) 0 0 = 0 Ao su ovi parcijalni izvodi nepreidni u nuli, funcija će biti diferencijabilna (x sin 1 (x,y) (0,0) x + y x x + y cos 1 x + y ) 0 Iz ovog izraza sledi da parcijalni izvodi nisu nepreidni u (0, 0) Medjutim, to još uve ne znači da funcija nije diferencijabilna u toj tači Ispitajmo dovoljan uslov diferencijabilnosti: = 0, f(h, ) f(0, 0) (0, 0)h (0, 0) = 0 h + Leva strana ove jednaosti jednaa je sledećim izrazima: (h + 1 ) sin h + 0 0 h 0 h + sin h + 1 h + = 0 Kao možemo da zaljučimo da je ispunjen dovoljan uslov diferencijabilnosti u tači (0, 0), poazali smo da je funcija diferencijabilna u toj tači Primer 10 Ispitati diferencijabilnost funcije { e y sin x y f(x, y) = x, x 0 0, x = 0 U tačama (x, y),x 0, funcija f je diferencijabilna ao ompozicija diferencijabilnih funcija: f(h, y) f(0, y) e y sin h y (0, y) h 0 h h 0 h y ey sin h y h 0 h = y e y, y (0, 0) = 0, 6
Funcija f je diferencijabilna ao važi: Doažimo da je ta jednaost tačna Proverimo: e y+ sin h (y+) h f(0, y + ) f(0, y) (0, y) = = 0 f(0 + h, y + ) f(0, y) (0, y) h (0, y) = 0 + h 0 y e y h h + ( e y+ sin h (y + ) h h + ( sin h (y + ) ey h h + y h ) e y (y y) = 0 h + jednaost je tačna pa zaljučujemo da je funcija f diferencijabilna na R Primer 11 Postoji li Ao je (x, y) (0, 0) imamo: Polazeći od definicije izvoda, dobijamo: (0, 0) ao je: { xy f(x, y) = x +y, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)? (x, y) = y(y x ) (x + y ) f(h, 0) f(0, 0) 0 (0, 0) h 0 h h 0 h = 0 y h ) ey = h + Kao es ne postoji, stoga izvod f 0 (0, ) (0, 0) 0 u (0, 0) taodje ne postoji 3 4 7