Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim jednačinama. U diskretnim sistemima, umesto funkcija, javljaju se niovi. Jedna od najvažnijih diskretnih transformacija je -transformacija. Neka je dat ni f n = f 0, f 1,..., f n,... 1 Definicija 1. -transformacija nia 1 definisana je jednakošću F = f n n, 2 pri čemu se pretpostavlja da red u 2 konvergira bar a jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive. Za -transformaciju upotrebljavamo onaku Zf n = F. Slično kao kod Laplaceove transformacije, ni f n naivamo originalom, a F slikom. PRIMER 1. Ni f n čiji su svi članovi jednaki nuli, osim f 0 = 1, ima -transformaciju Zf n = 1. PRIMER 2. Ni f n čiji su svi članovi jednaki nuli a n N ima -transformaciju a to je racionalna funkcija od. Zf n = N 1 f n n, PRIMER 3. Za ni f n = 1, 1, 1,..., čiji su svi članovi jednaki 1, imamo pri čemu se pretpostavlja da je > 1. Zf n = n = 1 1 1 = 1, PRIMER 4. Ni čiji je opšti član f n = e αn ima -transformaciju Ze αn = e αn n = 1 e α n = e α.
2 Kao što se vidi, -transformacija nia f n je potencijalni red po 1/. Zbog toga a osobine reda 2 važe ista pravila kao kod potencijalnih redova. Ako je R poluprečnik konvergencije reda 2, tada je ovaj red konvergentan a svako a koje je > 1/R. U daljem tekstu pretpostavićemo da je taj uslov a uvek ispunjen. Definicija 2. Za ni f n se kaže da je eksponencijalnog tipa ako postoje brojevi M > 0, s 0 0 i n 0 0 takvi da je a svako n n 0 ispunjena nejednakost f n < Me s 0n. Teorema 1. Svaki ni eksponencijalnog tipa ima -transformaciju. Osobine -transformacije Osobine -transformacije proiilae i njene definicije 2. Inećemo samo osnovne osobine. 1 Linearnost. Važi nejednakost gde je Zf k,n = F k. PRIMER 5. Za ni čiji je opšti član imamo videti Primer 4 Zcosh αn = 1 2 PRIMER 6. Ni čiji je opšti član m Z c k f k,m = m c k F k, cosh αn = 1 2 eαn + e αn e α + e α = f n = sin ωn = 1 2 eiωn e iωn cosh α 2 2 cosh α + 1. ima -transformaciju Zsin ωn = 1 2i e iω e iω = sin ω 2 2 cos ω + 1. 2 Translacija nia. Teorema 3. Ako je Zf n = F, tada je Zf n+k = F k f n n 3 Zf n k = k F 4 gde je k N.
3 Doka. Po definiciji je Zf n+k = Ako ovu sumu dopunimo sa f i i, dobijamo i=0 Zf n+k = k + + f n+k n = k f n+k n+k. f n+k n+k + f i i f i. i Pošto je bir prve dve sume -transformacija of f n, dolaimo do jednakosti 3. Da bisno iveli jednakost 4, pod imo od definicione jednakosti 2. Imamo Zf n k = Kako je f k = f 1 k = = f 1 = 0, 5 postaje čime je doka avršen. Zf n k = n=k i=0 i=0 f n k n. 5 + f n k n = k f n k n k = k F, Može se uočiti analogija Teoreme 3 jednakost 4 sa teoremom kašnjenja kod Laplaceove transformacije. n=k PRIMER 7. Nad imo -transformaciju nia čiji je opšti član f n 2 = e αn 2. Ovde se pretpostavlja da je f 2 = f 1 = 0. Primenom formule 4 i reultata u Primeru 4, dobijamo Z e αn 2 = 2 Ze αn = 2 e α = 1 e α. 3 Osobina sličnosti. Teorema 4. Ako je Zf n = F, tada je Za n f n = F, 6 a gde je a 0 kompleksan broj. Doka. Primenom jednakosti 2 imamo Za n f n = a n f n n = f n a n = F a.
4 PRIMER 8. Koristeći se formulom 6 a a = e α i Primerom 6 dobijamo Ze αn sin ωn = /e α sin ω /e α 2 2/e α cos ω + 1 = e α sin ω 2 2e α cos ω + e 2α. 4 Konvolucija niova. Definicija 3. Konvolucija niova f n i g n, u onaci f n g n, je ni čiji je opšti član Na osnovu ove definicije aključujemo da je konvolucija ni f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 f 0,.... n f k g n k. Jednostavno se aključuje da konvolucija niova ima osobinu komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti. Teorema 5. Ako je Zf n = F i Zg n = G, tada je Zf n g n = F G. Primetimo da je ova teorema analogna Borelovoj teoremi o Laplaceovoj transformaciji konvolucije funkcija. 5 Konačne ralike. Definicija 4. Prednja konačna ralika prvog reda nia f n definisana je pomoću Primenom osobine linearnosti dobijamo Na osnovu 3, a k = 1, ilai tako da se 7 svodi na Prema tome, dokaali sledeće tvrd enje: Teorema 6. Ako je Z f n = F, tada je f n = f n+1 fn. Z f n = Zf n+1 Zf n. 7 Zf n+1 = F f 0, Z f n = F f 0 F. Z f n = 1F f 0 8 Važi opštija teorema: Teorema 7. Ako je Zf n = F, tada je m 1 Z m f n = 1 m F 1 m k f 0,
5 pri čemu se a k = 0 uima 0 f 0 = f 0. Napomena. Prednja konačna ralika reda k definiše kao Na primer, konačna ralika drugog reda je PRIMER 9. Za ni f n = n imamo k f n = f n = f n+1 f n, k = 1, 2,.... 2 f n = f n = f n+1 f n = f i+2 2f n+1 + f n. Zn = n n. Kako je f n = n + 1 n = 1, 2 f n = f n+1 f n = 0, sve konačne ralike višeg reda od 1 jednake su nuli. Primenom 8 nalaimo Z1 = 1F. 9 Ranije smo videli da je Z1 =, tako da i 9 dobijamo 1 F = 1 2. U vei sa ovim primerom pomenimo još dve osobine koje su veoma slične teoremi diferenciranja i teoremi integracije slike kod Laplaceove transformacije. 6 Diferenciranje slike. Teorema 8. Ako je Zf n = F, tada je Znf n = df. d Doka ove teoreme se svodi na diferenciranje definicione jednakosti 2. PRIMER 10. Za ni f n = n dobijamo Zn = Zn 1 = d d 1 = 1 2. 7 Integracija slike. Teorema 9. Ako je Zf n = F i f 0 = 0, tada je fn + Z = n F u u du.
6 8 Inverna -transformacija. Slično Laplaceovoj transformaciji, invernu -transformaciju možemo dobiti, u specijalnim slučajevima, primenom osobina te transformacije. U opštem slučaju važi sledeća teorema: Teorema 10. Neka je F analitička funkcija u oblasti > 1/R. Tada postoji jedinstven ni f n a koji je Zf n = F, čiji je opšti član f n = 1 F n 1 d n = 0, 1, 2,..., 2πi C f n = 0 n < 0, gde je C kružna linija poluprečnika r > 1/R sa centrom u koordinatnom početku. Podsećamo da je R poluprečnik potencijalnog reda f n n po 1/. Definicionu jednakost 2 možemo posmatrati kao Taylorov red po 1/, ili kao Laurentov red po. Članovi nia f n su koeficijenti ovih redova. PRIMER 11. Za funckiju F = 1 imamo f n = Z 1 F = 1 2πi C 1 n 1 d, gde je C kružna linija sa centom u koordinatnom početku, koja obuhvata pol prvog reda = 1. Kako je Res =1 primenom Cauchyeve teoreme o ostacima dobijamo Zaista, ranije smo videli da je Z1 = 1. n 1 = 1, f n = 1 2πi = 1. 2πi PRIMER 12. Korišćenjem -transformacije i računa ostataka rešiti diferencnu jednačinu x n+2 3x n+1 10x n = 0 x 0 = 3, x 1 = 1. Rešenje: Neka je Zx n = X. Na osnovu jednakosti 3, a k = 1 i k = 2 imamo Zf n+k = F k f n, n Zx n+1 = F f 0 = F f 0, Zx n+2 = 2 F f 0 f 1 = 2 F 2 f 0 f 1.
7 Primenom -transformacije na datu jednačinu dobijamo odakle je 2 X 3 2 + 3X 3 10X = 0, X = 32 10 2 3 10. Ostaje da se nad e inverna transformacija. Primenom Teoreme 10 nalaimo x n = 1 2πi C 3 2 10 2 3 10 n 1 d, gde je C krug = R dovoljno velikog poluprečnika R da obuhvati polove = 5, = 2 podintegralne funkcije f = X n 1. Ostaci funkcije f u ovim polovima su Res =5 Res = 2 f = lim 5 5 32 10 2 3 10 n 1 = 1 7 5n+1, f = lim 2 + 2 32 10 2 3 10 n 1 = 1 7 2n+4. Prema tome, tj. x n = 1 2πi 2πi 1 7 5n+1 + 1 7 2n+4, x n = 1 7 5 n+1 + 2 n+4.