POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA TEHNIČKE FAKULTETE 000/00. Zdte riješili i grfiči obrdili * IANA i MLADEN SRAGA *
Tehniči-fulteti 000./00. Zdci su uzeti iz mtemtičo fizičog list. Zdte riješili: IANA SRAGA MLADEN SRAGA Grfič obrd: MLADEN SRAGA Mtemtiči slog: MLADEN SRAGA Tis z vlstite potrebe M.I.M.-Srg d.o.o. Svi ovi zdtci su sstvni dio nše zbire zdt pod rednim brojem 0. n http://www.mim-srg.com/teh-f-cijeni.htm postoji dvije vrijnte te zbire duž s ompletno riješeni svim zdtcim od 99.g. p do 005. I rć vrijnt s ompletno riješeni svim zdtcim od 000.g. p do 005. Cijen tih zbiri je o cijen ili st instrucij Štmpnu vrijntu zbiri možete nručiti milom ili telefonom 0-578- Potpunu grnciju n ompletnu sriptu dje: centr z dopisnu poduu M.I.M.-SRAGA -dle sve što vm se čini nejsno rivo ili sumnjivo - zovite 0-578- ili 0-579-0 i tržite dodtne upute i objšnjenj... Ao vm treb još zdt jvite nm se mim-srg@zg.htnet.hr ili www.mim-srg.com Sv prv n prodju ove sriptu potpuno riješenih zdt zdržv centr z dopisnu poduu M.I.M.-SRAGA isljučivo u oviru svog progrm podue i dopisne podue. M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
Tehniči-fulteti 000./00. 000./00.g. M-. Izrz 6 + + + + + + + + 5 jedn je 6 ( ) ( ) ( ) ( + ) + + A. B. C. D. E. + + + + + + + + + 5 + + + + + + + + Krtimo ocste + + ( + ) ( + ) zgrde ( ) ( ) ( ) + + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + b ALGEBARSKI IZRAZI b g b gb g + b + b + b + b+ b b+ bg bb+ g b g b g b g b b b b+ b b bg bb g b bg b+ bg b b + b + b+ b + b b b+ b b b b + b+ b b bgb + bg b g g b g d i b+ bgd b+ b i g m + n p + + RST UW mf nf m n q m + n b RST m n c UW + b + b + c + b + c + b + c + bc p q + + + b + c + m + n + c... M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
M- Tehniči-fulteti 000./00.. Td f ( ) iznosi :. Z vdrtnu funciju f + b + c poznto je d vrijedi f, f 0 i f A. B. C. D. f + b + c f f f + b+ c + b + c b+ c z f 0 f f + b+ c 0 0 0 + b + c 0 + 0 + c c z f f f + b+ c + b + c + b+ c E. Sd riješimo sustv b+ c + b+ c c b+ + + b+ 8 + 0 8 :8 8 b +, b b b + f b c f b : b + + + f () + + 6+ f () P je: M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
M-. Z oje relne brojeve je + Zbog orjen mor biti: + 0 reln broj? Tehniči-fulteti 000./00. A. [, 0 ], B. C. 0, D. E., I + 0 ( ++, ) II (, ) + + 0, 0 0, 0, ± ± + 6, ± 5, 6 + 5 6 6 5 6 0, 6 6 0 [, ],, [ 0 ] 0, 0 [, 0 ], M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 5
( ),, ( gh)? Tehniči-fulteti 000./00. M-. Ao je f, g i h, ond vrijednost funcije f g h u toči iznosi: A. B. C. D. 0 E. f g h f Uvedemo P je sd: f gh f w w g h f ( gh) z 0 www.mim-srg.com M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6
+ y 7 A. B. C. 0 D. E. + y + y M-5. Ao je i, ond je izrz jedn Tehniči-fulteti 000./00. + y + y + y + y + y + y 7 + y sustv: + y + y + y + + y y y y y 6 + y, y 6 6 6 9 6 8 6 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. Trženi izrz: 7 + y + 6
Tehniči-fulteti 000./00. M-6. Ao je log + log b i log log b, ond je izrz b jedn A. 0 B. 0 C. 0 0 D. 00 E. 00 0 log + log b log log b log + log b log logb } + log 5 : 5 log 0 5 Po prvilu z ntilogritmirnje: log A B C B A C log log b, log 5 log b 5 log b log b b 0 5 Po prvilu z ntilogritmirnje: log A B C B A C 5 6 P je: b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 () c log b c b logb logc b 0 log ili log log log log ( b b b + b ) log log log b log b 9 log n b log log log log ( b b ) n b log b b log log ( ) log log y n y n log log log ( 5) n Logritmse nejedndžbe logc > logcb log log log ( 5A) I II o je c > o je 0< c < log ( 6) log ( ) ( 6A) td je > b td je < b log 0 7 log b 8 log b o je td je o je 0 b td je b c log < log b 5 c I II c > < c < < > c M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 8
+ + M-7. Zbroj rješenj jedndžbe 5 + 7 0 iznosi: 5 7 A. B. 0 C. D. E. Tehniči-fulteti 000./00. + + 5 + 7 0 0 5 5 + 7 0 0 5 5 + 7 0 0 5 5 + 7 0 0 5 5 + 0 0 5 7 0 5 7 0,, 7 0 5 5. + 7 0 5 5 5 5 + 7 0 5 uvedemo: t t + t 5 t + 7 0 t t 5 t + 7 t 0 t t t t t + 7 ± 7 5 7± 9 0 5 0 7± 9 7± 0 0 7+ 0 0 0 0 t 5 t 5 5 5 7 0 0 5 5 5 5 5 0 0 Zbroj rješenj je: + 0 + M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 9
M-8. Zbroj 0 uzstopnih prnih prirodnih brojev iznosi 0. Njveći od njih je A. 6 B. 6 C. 66 D. 68 E. 70 Tehniči-fulteti 000./00. Ovdje se rdi o Aritmetičom nizu, jer je d -rzli dvju susjednih prnih brojev... Prvi prni broj oznčimo s - tj broj je prn bez obzir n jer se množi s dv... 0 + + d d + + + d S 0, n 0, d n Sn + ( n ) d 0 0 ( 0 ) + 0 5 ( + 9 ) 5 8 + 58 8 58 : 6 6 Trženi njveći broj je: + 9 d 0 0 + 9. + 58 0 70 Rješenje pod: E n Opći čln Diferencij Zbroj prvih n člnov Interpolcij Aritmetiči niz n + ( n ) d S ( + d ) n n n + b n + d δ n d n n n r + d Sn + ( n ) d n + n+ Opći čln Kvocijent Zbroj prvih n člnov Interpolcij q q b n q Sn n r+ n q q n n q q S n n n+ n n q Geometrijsi niz M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 0
Tehniči-fulteti 000./00. M-9. Priliom rješvnj jednog zdt iz mtemtie, % učeni nije riješilo zdt, % učeni je djelomično riješilo zdt, ostt od učeni je zdt točno riješilo. Kolio je učeni bilo u rzredu? A. B. C. D. E. 5 % nije riješilo zdt % je rješilo dio učeni je riješilo zdt Postot učeni oji je riješio zdt je: 00% % + % 00% % 56% Sd znmo d je učeni 56% od uupnog broj učeni u rzredu. Pišemo: 56% od učeni, uupn broj učeni ili 56% 56 00 00 56 00 56 5 Rješenje pod: E www.mim-srg.com M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
M-0. Površin trout, ojemu je duljin jedne strnice, utovi uz tu strnicu 5 i 60, jedn je Tehniči-fulteti 000./00. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A. E. 6 6 C. 5 D. 8 E. 9 β 5 γ 60 P? α 80 β + γ α 80 5 + 60 α 80 05 α 75 β 5 γ 60 β γ P P P P P P P P sin β sinγ sin ( α + β) sinα cos β + cosα sin β sinα sin 5 sin 60 sin 75 sin 0 + 5 po gornjoj formuli sin 75 sin 0 cos 5 + cos0 sin 5 6 + ( ) ( ) Rješenje pod: A ( ) + + + 8 ( + ) ( + ) + + 8 8 8 + 8 8 8 Adicijse formule sin α + β sinα cos β + cosα sin β sin α β sinα cos β cosα sin β cos α + β cosα cos β sinα sin β cos α β cosα cos β + sinα sin β tg tg ctg ctg + tgα + tg β tgα tgβ ( α β) tgα tg β + tgα tgβ ( α β) ctgα ctg β + ctg β + ctgα ( α β) ctg ctg α β + ctg β ctgα ( α β) M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
Tehniči-fulteti 000./00. M-. Prvoutni ABCD čije strnice imju duljine 6 i 8, podijeljen je dijgonlom n troute ABC i CDA. Udljenost između središt ružnic upisnih u te troute iznosi: A. 5 9 B. 5 C. D. E. Ncrtjmo sliu: D 8 C Treb uočiti prvoutn trout SES - čij je hipotenuz jedn d S, S A ρ ρ ρ E ρ S 8 ρ ρ d S ρ 6 B. Izrčunmo površinu trout ABC 86 P P 6 P + b+ d. d 8 + 6 s 8+ 6+ 0 d 00 s d 0 s. Površin trout jedn je i: S ρ E 8 ρ (, S ) d S S P ρ s ρ ρ ρ uvrstimo sve poznto: ( S ) ρ (. d S, + 8 ρ ( S ) ( ( S ) ( S ) ( S) ( S ) ( S ) ( S ) d S, + 8 d S, + d S, + 6 d S, 0 d S, 0 d S, 5 d S, 5 ) ) M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
Tehniči-fulteti 000./00. M-. olumen usprvne četverostrne pirmide ojoj je bz vdrt strnice duljine, bočne strne ngnute pod utem od 5 u odnosu n bzu iznosi: A. B. C. D. E. 6 Ncrtjmo sicu te pirmide, p izdvojimo prvoutni trout ES... Kut što g ztvr bočn strnic pirmide s bzom je ustvri ( v ) ut oji ztvr visin bočne strnice s bzom... 5 A D v S B v C 5 5 E S E v v Izdvojimo prvoutn trout ES Bv v., B 6 tet nsuprot ut tg tet uz ut v tg 5 v v v : v M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
M-. olumen ugle upisne u stožc polumjer bze r i visine v iznosi: 5 9 A. π B. π C. π D. 5π E. π Tehniči-fulteti 000./00. Ncrtjmo sicu: Treb uočiti slične troute BD i SE s ( v ρ ) ρ ρ S ρ E s v s ( v ρ ) A r D r B D r B E ρ S Ko su trouti BD i SE slični strnice im se odnose: s r v s s s + 9+ 6 5 s 5 + ( ρ ) ( ρ ) s: v r: ρ 5: : ρ 5 ( ρ) ρ ρ ρ ( ρ) 5 ρ 5ρ ρ 5ρ + ρ 8ρ ρ ρ 8 olumen ugle je: M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 5 ρ π π π 9 π 9 π
Tehniči-fulteti 000./00. M-. Tornj viso 0 m vidi se pod utem od 0, iz toče oj leži u rvnini podnožj tornj. Dvostruo viši tornj vidio bi se iz iste toče pod utem od A. 8 ' B. 6 8' C. 9 6' D. 50 ' E. 5 ' Ncrtjmo sicu: 0 0 T. S oznčimo udljenost toče T od tornj... tg 0 0 tg0 0 tg0 0 0 60 60 60 0 0 0 0 0 ϕ ϕ T T Ncrtmo sd dvostruo viši tornj i s ϕ tet nsuprot ut tgϕ tet uz ut 0 tgϕ 0 0 0 tgϕ 0 0,7,6 oznčimo trženi ut... tgϕ,57 tg ϕ 9 06 ϕ 9 6 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6
Tehniči-fulteti 000./00. M-5. U trpezu su poznte duljine osnovic 6 cm i c cm, te duljine rov b cm i d cm. Duljin rće dijgonle trpez iznosi: A. 7 cm B. cm C. 5 cm D. 9 cm E. Ncrtjmo sicu: D c C D c C A d f e b d d b α β α c α β B A E ( c) B. Trnsltirmo strnicu d u vrh C -p dobijemo trout EBC iz ojeg izrčunmo α i β Prem osinusovom teoremu: + cos b d c d c cos + 9 6 6 cosα α 6 cosα : 6 E C d b α ( c) β B cosα 0, 6875 cos α 6 0. b d sin β sinα sin β b sin β sinα d sinα b d sinα sin β b sin 6 0 sin β 0,7685 sin β sin β 0,9686 sin β 75 D. Prvilo že: Nsuprot mnjem utu u troutu nlzi se mnj strnic. Mi immo dv trout ABD i ABC oji ns znimju tj. znimju ns njihove str. e i f o smo izrčunli d je α < β td je i e f prem gornjem prvilu. e d d e e e e < + cosα + 6 6 cos6 6 + 6 8 0,68750 5,0006 9 d e e 9 A α B Z provjeru možete izrčunti: + cosβ f b b M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 7
M-6. Kut pri vrhu rterističnog presje osog ružnog stošc iznosi 60, duljin njdulje izvodnice iznosi 0, njrće. olumen stošc iznosi: A. 676 π B. 05 π C. 55 π D. 5 π E. 55 π Tehniči-fulteti 000./00. Ncrtjmo sicu: 60 s s v ϕ ϕ r. Primjenimo osinusov teorem i odredimo r: ( r) ( r) ( r) r s + s s s cos60 0 + 0 900 + 96 0 676 r 6 r. Još jednom osinusovim teoremom odredimo ϕ : + cosϕ s r s r s 0 + 6 6 cos 900 676 + 96 78 cosϕ 900 676 96 78 cosϕ 8 78 cosϕ 78 cosϕ 8 :78 cosϕ 0,0865 cos ϕ 9 5 ϕ. v B v ϕ + ϕ 80. sinϕ s 5. s ϕ 80 ϕ v s sinϕ r π v sin87 7 5 ϕ 80 9 5 v 0,9996,9896 87 7 5 v π ϕ v,9896 788,08 π 55 π 8 M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
Tehniči-fulteti 000./00. sin + M-7. Zbroj rješenj jedndžbe u intervlu (0, π ) iznosi: sin π 5π π π A. B. C. π D. E. 6 Uvedemo: sin sin sin + sin sin sin sin 0 t t t, + sin sin + + sin t ± ± 9 8 ± Uvjet: nzivni mor biti rzličit od nule, dle: sin 0 sin sin π π + t t rtimo: t sin sin sin π π 5π sin sin + π sin sin + π sin sin + π 6 6 π π 5π + π + π + π 6 6 Zdno je: ( 0, π ), tve -ove dobijemo jedino z 0, z,,... ovi su izvn ( 0,π ) Z 0 π π 5π 6 6 Zbroj rješenj je: π π 5π π + π + 5π 9π π + + + + 6 6 6 6 6 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 9
M- Tehniči-fulteti 000./00. 8. Z oju vrijednost broj površin trout što g omeđuju prvci y, y i y 6 iznosi? 5 6 7 A. B. C. D. E. 5 6 Ncrtjmo sicu: y y y C B y 6 Odredimo toče u ojim se sjeu prvci: y i y y i y 6 y i y 6 supstitucijom y 6 6 dobijemo: 6 6 : ( 0,0 ) (,6,6 ) B 6 0 ( ) 0 :( ) 6 C,6 0 A y y 0 6 A ( 0,0 ) B (,6,6 ) C,6 6 0, y 0 6, y 6, y 6 Zdn je površin trout ojeg ztvrju t tri prvc: P Formul že: Površin trout zdnog s tri toče P ( y y) + ( y y) + ( y y) 6 0 ( 6 6) + 6 ( 6 0) + ( 0 6) 6 6 0+ 6 6+ 6 6 6 6 A uvrstimo sve poznto: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 + 6 6 0 6 + 6 6 6 0 :0 6 6 0 6 6 0 6 6 5 7 6 6 Ko je zdno to otpd, jedino rješenje je 7 5 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 0
Tehniči-fulteti 000./00. ( ) ( y ) M-9. N ružnicu + + povučene su tngente u točm u ojim ružnice sijeu os. Kut među tngentm iznosi: A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 E. 00. Odredimo toče u ojim ružnic sjeće os Sve toče n osi imju y oordintu nult tj. y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + + y, y 0 + + 0 + + + + + ± y y y + + 0 y 0 ( 0,0 ) B (,0 ) A B r S ϕ A. Sd u tim točm odredimo jedndžbe tngenti n ružnicu: ( ) ( y ) + + p q r ( ) Jedndžb tngente u toči T, y ( p) ( p) + ( y q) ( y q) r ( 0,0 ) B (,0 ) A 0 y 0 y 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ( ) ) ( ( ) ) + ( 0 ) ( y ) ( ) y ( + ) + ( ) ( y ) ( + ) ( + ) + ( ) ( y ) + y+ ( + ) y+ p p + y q y q r p p + y q y q r + 0 y y+ y 0 y + y y y. Kut tih tngenti odredimo preo formule: tgϕ + + 0 tgϕ ϕ 90 M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
( ) ( ) (, ), ( 6, ), (, 8 ). Odredimo oordinte težišt: Tehniči-fulteti 000./00. M-0. Koordinte vrhov trout su A,, B 6,, C,8. Udljenost težišt trout od strnice AB iznosi: A. B. C. 6 D. E. 5 A B C y y y T T T + + y + y + y yt + 6 6 + + 8 9 yt y T T (,). Odredimo jedndžbu prvc AB (, ) B ( 6,) A y y y y y y ( ) y ( ) 6 5 y+ ( ) 5 y+ + y+ + 0 + y+ 0 y 0 A, B, C, T,, y.udljenost težišt trout od str. AB d d A + By + C A + B + + d + d d M.I.M.-SRAGA 99./ 00. je:
M-. Prvc t tngir lijevu, njemu prlelni prvc t desnu grnu hiperbole y. Ao ti prvci sijeu os pod utom od 60, ond je njihov međusobn udljenost jedn A. B. C. D. E. Tehniči-fulteti 000./00..Ncrtjmo sliu: t t α.prvci s -osi ztvrju ut od 60 α 60 o znmo d je: tgα y y Odredimo i b, b je oeficjent smjer tngente (prvc) tg 60.Uvjet dodir prvc i hiperbole: b l l l l l ±.Tržene tngente imju jedndžbe: t... y + l t... y + l y + y + y+ 0 y+ 0 A, B, C C 5.Udljenost prlelnih prvc je: d C C d A + B + + d M.I.M.-SRAGA 99./ 00.
Tehniči-fulteti 000./00. M-. Koordinte toč jedno udljenih od središt ružnic + y + y 0 i y y + + 0 zdovoljvju jedndžbu: A. y B. y 0 C. + y D. + y 0 E. y. Odredimo oordinte središt tih ružnic ndopunjvnjem n potpuni vdrt: y y y y + + 0 + + 0 y y y + + + + 0 + + + + 0 ( ) ( y ) ( ) ( y ) + + 0 + + 0 ( ) ( y ) ( ) ( y ) + + + + p q p q p q p q S (, ) S (, ) y y.ncrtjmo sliu: y. Tržimo toče oje su jedno udljene od središt ovih ružnic... S S Polovište dužine SS je sigurno jedno udljeno od obdv središt, i sve toče oje se nlze n prvcu oji je oomit n prvc roz S is i oji prolzi roz polovište dužine SS....Odredim polovište dužine SS y SS + 0 P y + y + 0 y y ( ) p p p p SS ( 0,0 ) y S y P S p... y 0 5. P 0,0, 6.Jedndžb trženog prvc je M.I.M.-SRAGA 99./ 00. p p p... y y y y 0 0 + y 0 y y 0
M-. Pod ojim se utom iz toče T 5, vidi ružnic + y + 6 8y 0? A. 77 ' B. 80 C. 60 D. 75 E. 8 8' Tehniči-fulteti 000./00.. Odredimo oordinte središt i polumjer ružnice...ndopunjvnjem n potpuni vdrt... + + 6 8 0 y y + 6 + 9 9 + 8 + 6 6 0 y y ( ) ( y ) + 9+ 6 0 ( ) ( y ) + + 5 5 p q r p q r 5 S (, ) S r y ϕ T t ( 5, ) t. Zdn je toč T iz oje se gled ružnic, ordinte te toče morju zdovoljvti jedndžbu tngente: T 5, y + l 5+ l 5 y 5 l l 5. Uvjet dodir prvc i ružnice glsi: ( ( ) + ( 5) ) 5 ( + ) ( + + 5) 5 ( + ) p+ q l r +, p q r 5 l 5 ( ) 8 5+ 5 6 5 5 9 5 :9 M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 5 5 5 5 ± 9 9 9 9. Immo oeficjente smjer obdvije tngente p sd smo izrčunmo ut oji ztvrju te dvije tngente- to je trženi ut... tgϕ tgϕ + 5 5 5 5 0 0 0 + 9 9 9 9 9 9 9 90 5 5 5 5 9 5 9 + 9 9 9 9 9 9 90 tgϕ,6078 tg 9 77 5 77 ϕ 5
{ } M-. Sup A, y R : + y 6y+ 7 0 je + y 6y+ 7 0 y y ( y y) ( ) ( y y ) Tehniči-fulteti 000./00. A. elips B. hiperbol C. pr prvc D. prbol E. toč + 6 + 7 0 + + + 7 0 + + + 7 0 ( ) ( y ) + + 7 0 ( ) ( y ) + 6 + 7 0 ( ) ( y ) + + 7 6 0 ( ) ( y ) + 0 I to je to ili to to izgled prijemni ispiti n Teh-fultete su uvije n isti lup li njteži dle trži se sve Ao vm treb još zdt jvite nm se mim-srg@zg.htnet.hr ili ih potržite n www.mim-srg.com Svi ovi zdtci su sstvni dio nše zbire zdt pod rednim brojem 0. n http://www.mim-srg.com/teh-f-cijeni.htm postoji dvije vrijnte te zbire duž s ompletno riješeni svim zdtcim od 99.g. p do 005. I rć vrijnt s ompletno riješeni svim zdtcim od 000.g. p do 005. Cijen tih zbiri je o cijen ili st instrucij Pod rednim brojem 0. Metodič zbir potpuno riješenih zdt Mtemti z prijemne ispite s slijedećih fultet: -Arhitetur, Kemij, FSB, Frmcij, Tehnologij, -FOI, RNG, PMF, Eonomij, Promet i Grđevin Moj svjet: riješite što je više moguće zdt i lše će te položiti prijemni ispit. M.I.M.-SRAGA 99./ 00. 6