Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako da je f ξ) 0. Teorema Lagranžova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b] i f je diferencijabilna na a, b). Tada postoji ξ a, b) tako da je fb) fa) f ξ)b a). Teorema Lopitalovo pravilo) Neka su funkcije f i g definisane i diferencijabilne u nekoj okolini tačke a osim, možda, u samoj tački a), gde je a R. Neka je f) g) 0 ili ± a a i neka je g ) 0 u nekoj okolini tačke a. Tada je f) a g) f ) a g ), ako postoji konačna ili beskonačna granična vrednost sa desne strane. Teorema Tejlorova formula) Neka funkcija f ima konačne izvode do reda n u tački a. Tada važi Tejlorova formula f) fa)+ f a)! a)+ f a)! a) + + f n) a) a) n +R n ), a. n! R n ) je ostatak u Tejlorovoj formuli i R n ) o a) n ) Peanov oblik ostatka). Ako funkcija ima konačne izvode do reda n + u nekoj okolini tačke a ostatak se može prikazati u Lagranžovom obliku R n ) f n+) ξ) n + )! a)n+, ξ a, ) ili ξ, a). Napomena U daljem tekstu podrazumevaćemo da je log log e.

Rolova teorema. Dokazati da za funkciju f) + ) ) + 3) 4) na svakom od intervala 3, ),, ),, 4) postoje lokalni ekstremi. Rešenje: Funkcija f zadovoljava uslove Rolove teoreme na svakom od segmenata [ 3, ], [, ], [, 4] neprekidna je na segmentu, diferencijabilna u unutrašnjim tačkama i u krajevima segmenta uzima istu vrednost - nulu). To znači, na osnovu tvrd enja Rolove teoreme, postoje tačke ξ 3, ), ξ, ), ξ 3, 4) u kojima važi f ξ i ) 0, i,, 3. To su tražene tačke ekstremuma. Lagranžova teorema. Dokazati da je funkcija f konstantna na datom intervalu i odrediti vrednost te konstante ako je a) f) arcsin ) + arctan, za 0, ]; b) f) arctan + arctan, za R; + c) f) arccos arctan, za 0; + d) f) log + ) + + log +, za R. Rešenje: a) Pokazaćemo da je izvod funkcije f jednak nuli za 0, ], čime se, na osnovu posledice Lagranžove teoreme, potvrd uje da je ona jednaka konstanti. Imamo f ) + ) + + ) ) ) Odred ujemo konstantu C f). Za 0, ] imamo b) Odred ujemo izvod funkcije f C f) arcsin 0 + arctan π. 0.

f ) + + + + + + + ) + ) + + ) + + + + ) + + + ) + + + + + + + + + + + + + + + + 0. Na osnovu posledice Lagranžove teoreme funkcija f je konstantna. Vrednost konstante C f) dobijamo ako za uzmemo neku konkretnu vrednost, recimo 0 i odredimo C f0) arctan 0 arctan 0 0. c) Izvod funkcije f je za 0 jednak f ) ) + + ) ) + ) + + ) + ) ) 4 + ) + + ) 4 + ) + + + 0. Funkcija f je konstantna, a vrednost konstante dobijamo za, na primer, 0. Imamo C f0) arccos arctan 0 0. d) Imamo f ) + + + + ) + + ) + + ) + ) + + ) 3 ) + + + + ) + + ) + ) + + + + ) + + + + + + + 0. Funkcija f je konstantna, f) C,. Dokazati da je funkcija ) + ) ) + + C f0) log log 0. f) arctan + arctan + + arctan + + konstantna na intervaa u kojima je definisana. Odrediti konstante C, C i C 3 tako da važi

4 C, < 0, f) C, 0 < <, C 3, <. Rešenje: Funkcija f je definisana za, 0) 0, ), + ). Pokazaćemo da je njen izvod jednak nuli u oblasti definisanosti, čime se, na osnovu posledice Lagranžove teoreme, potvrd uje da je ona jednaka konstanti na svakom od intervala. Imamo f ) + + ) + ) ) ) + + ) + + + + ) ) + + ) ) + + + + + + 0. Odred ujemo konstantu C : C f ) arctan ) + arctan 0 + arctan ) π 4 + 0 π 4 3π 4. Konstanta C je jednaka: C arctan + arctan + 0+ + arctan ) 0 + π 4 + π 5π 4. Odred ujemo konstantu C 3 : C 3 arctan + arctan + + + arctan ) π 4 π + π 4 π 4. 3. Primenom Lagranžove teorema na [, + ], > 0, dokazati log + ) > +. Rešenje: Na osnovu tvrd enja Lagranžove teoreme imamo fb) fa) f ξ)b a), ξ a, b). Lagranžovu teoremu ćemo primeniti na segmentu [, +] za funkciju f) log : Važi i log + ) log, ξ, + ). ξ log + ) log log + 0 < < ξ < + > ξ > + > log + ) > +. log + ) > log + ) log > +

5 4. Primenom Lagranžove teoreme za n N, n, dokazati < loglogn + )) loglog n) < n + ) logn + ) n log n. Rešenje: Lagranžovu teoremu ćemo primeniti na segmentu [n, n + ] za funkciju f) loglog ): Važi loglog + )) loglog ), ξ n, n + ). ξ log ξ n < ξ < n + log n < log ξ < logn + ) n log n < ξ log ξ < n + ) logn + ) n log n > ξ log ξ > n + ) logn + ) n log n > loglog + )) loglog ) > n + ) logn + ). 5. Primenom Lagranžove teoreme dokazati α β cos β tan α tan β α β cos α, 0 < β α < π. Rešenje: Za α β važi jednakost. Primenom Lagranžove teoreme na segmentu [β, α], za funkciju f) tan, slično kao u prethodnom zadatku dokazujemo tvrd enje za slučaj β < α. Lopitalovo pravilo. Naći: log + ) a) + log3 + 3 ) log 0 + ) b) + log + + ; c) + ; d) 3 + Rešenje: a) Odred ujemo L log + ) + log3 + 3 ) ) + 33 3 3 + ) + ) + ) + b) Nalazimo arctan π + log + + 3 + 3 3 3 ) 3 + ) 3. +. 3 3 3 + 3 ) + + )

6 L c) Imamo log 0 + ) + log ) + + ) + 0 + 09 ) + ) + + + + )0 9 ) + 0 + ) + ) + + )0 ) 9 + + ) + 9 0 ) + + )0 ) 9 + + ) + 9 0 ) 5. L + 3 ) + log 3 ) + log 6 ) log 3 +. + 6 d) Dobijamo L + + + arctan π + log + + 0 0 ) + + 4 ) 4 + ) 3 + ) + + + + ) + + + ) ) ) + + ) 3 + ) + ) 3 + ) 3.. Odrediti: a) + ) log + ) ; b) ) tan π ; sin c) log 0. Rešenje: a) Imamo ) L + ) log + ) 0 ) log + + + ) + ) + ) 0. ) + + ) b) Važi L ) tan π 0 ) cotan π c) Dobijamo 0 0 ) sin π π π.

cos sin sin sin log sin 0 L log 0 0 ) 0 0 cos sin 0 0 ) cos sin cos 0 sin 0 4 sin + cos 0 0 0 ) cos 0 cos + cos sin ) 6. 3. Izračunati: a) tan π ) ) /; ; b) π/ cos 0 π arccos c) log e ) ) ; d) 4 )e / 4 ; 0+ + e) log ). Rešenje: a) Računamo L tan π π/. cos ) ) sin π π/ cos sin sin + cos ) 7 0 0 ) sin + cos π/ sin b) Neka je L 0 π arccos ) /. Logaritmovanjem leve i desne strane, dobijamo Sada je L e /π. c) Imamo ) log L 0 log π arccos 0 0 ) 0 π arccos π L 0+ ) log π arccos 0 log e ). Logaritmovanjem leve i desne strane, dobijamo log L 0+ ) 0+ Imamo da je L e. d) Odred ujemo log e log ) 0+ e e e 0+ e π. log log e ) 0 0 ) 0+ e e. e

8 ) L 4 )e / ) 4 + 0) + + 4) 3. 4 e / 4 0 0 ) + e/ 4 3 e / 4 ) e / 4 + 4 4 ) e / + 4 e / 4 + e /) e / e) Imamo L log ) ) log 0 0 ) ) log 0 0 ) + ) 4. Naći granične vrednosti a) 0 cotan ) sin ; Rezultat: a) ; b) ; c). Tejlorova formula. log + ) b) log c) 0+ ) ) 0+.. Za funkciju f) e odrediti Tejlorov polinom drugog stepena u okolini tačke i ostatak u Tejlorovoj formuli u Peanovom obliku. Rešenje: U okolini tačke Tejlorov polinom drugog stepena ima oblik T ) f) + f )! a ostatak u Peanovom obliku je jednak Za datu funkciju f odred ujemo ) + f ) ),! R ) o ) ). f) e, f ) e e e ) f ) f ) e, f ) e ) + e ) e 4 + ) f ) f ) e. Tejlorov polinom je jednak T ) e + e ) e ) e + ).

9. Odrediti Tejlorov polinom stepena dva u okolini tačke 0 za funkciju Odrediti ostatak u Peanovom obliku. f) e. Rezultat: Tejlorov polinom drugog stepena u okolini nule ima oblik T ) f0) + f 0)! a ostatak u Peanovom obliku je R ) o ). Imamo + f 0),! f0), f ) e e f 0) f ) 0, f ) 4 e ) 3 e e e f 0) f ) 0 4 3 4. Sada je T ) f0) + f 0)! + f 0) +! 3 8. 3. Odrediti Tejlorov polinom stepena dva u okolini tačke za funkciju Odrediti ostatak u Peanovom obliku. f) ). Rešenje: Tejlorov polinom drugog stepena u okolini tačke ima oblik T ) f) + f )! a ostatak u Peanovom obliku R ) o ) ). ) + f ) ),! Važi f). Izvod funkcije f odredićemo primenom logaritamskog diferenciranja. Imamo Dobijamo Sada je f) ) / log log f) log ) log f) log ) / f ) log ) + f) f ) f) log ) + ) ) ) ) log ) + ) ). f ) ) log ) + ).

0 f ) ) ) log ) + ) + ) log ) + ) ) log ) + ) + ) ) ). ) Računamo f ) 4. Imamo T ) f) + f )! ) + f ) ) + ) + ).! 4. Odrediti Maklorenov polinom trećeg stepena za funkciju f) log + ) 4 +. Naći ostatak u Peanovom obliku. Rešenje: Maklorenov polinom je Tejlorov polinom u okolini nule. Imamo f) M 3 ) + R 3 ) f0) + f 0)! Odred ujemo f) log + 4 0 + ) 0, + f 0)! f ) + + 4 + ) 4 + 8 + 4 + 4 + 4 + ) / 0, f ) 4 + ) 3/ 8 0, 0 f ) 4 + ) 5/ 8 84 + ) 3/) 0 8. + f 0) 3 + o 3 ). 3! 4 + + ) 4 + Dobijamo M 3 ) 4 3 3. 5. Odrediti Tejlorov polinom stepena dva u okolini tačke za funkciju f) sin log. Odrediti ostatak u Lagranžovom obliku. Rešenje: Tejlorov polinom drugog stepena u okolini tačke ima oblik T ) f) + f )! ) + f ) ),! a ostatak u Lagranžovom obliku R ) f ξ) ) 3. 3! Vrednost funkcije je f) 0. Izvodi funkcije f su jednaki f ) cos log, f ) sin log cos log )

Imamo T ) f) + f )! Nalazimo treći izvod funkcije f ) ) + f ) )! ). sin log + cos log ) cos log cos log + 3 sin log ξ 3 Ostatak u Lagranžovom obliku je jednak sin log ) sin log + cos log ) 4 cos log ξ + 3 sin log ξ ξ 3 R ) cos log ξ + 3 sin log ξ 6ξ 3 ) 3, pri čemu ξ, ) ili ξ, ). 6. Odrediti A, B R tako da važi jednakost A tan + Be sin 4 + + o ), 0. Rešenje: Na osnovu aproksimacije funkcije f Maklorenovim polinomom drugog stepena imamo Neka je Odred ujemo f) f0) + f 0)! + f 0) + o ).! f) A tan + Be sin. f0) B, f ) A cos + Besin cos f 0) f ) A + B, 0 f ) A cos 3 sin ) + Besin cos + e sin sin )) f 0) f ) B. 0 Na osnovu Maklorenove formule i zadatog uslova važi jednakost f) f0) + f 0) + f 0) + o ) B + A + B) +!! B + o ) 4 + + o ). Imamo odakle je A 6, B. B, A + B 4, B,

7. Odrediti a, b, c R tako da važi jednakost e tan + a + b + c o ), 0. Rešenje: Na osnovu Tejlorove formule u okolini nule, za funkciju f imamo Odred ujemo Sada je f) f0) + f 0)! + f 0) + o ).! f) e tan 0, f ) e tan cos, 0 f ) e tan sin ) cos 4 + etan cos 3 0. e tan + + + o ) e tan o ), odakle imamo a /, b, c. 8. Dokazati jednakost + ) 05 05 05 007 o ), 0. Rešenje: Na osnovu Tejlorove formule u okolini nule, za funkciju f) +) 05 imamo Odred ujemo Sada je odakle sledi data jednakost. 9. Dokazati jednakost f) f0) + f 0)! f) + ) 05 0, + f 0) + o ).! f ) 05 + ) 04 0 05, f ) 05 04 + ) 03 0 05 04. + ) 05 + 05 + 05 04 + o ), arctan o 3 ), 0.

Rešenje: Datu jednakost ćemo dokazati na osnovu Tejlorove formule u okolini nule, za funkciju f) arctan. Član o3 ) prepoznajemo kao Peanov oblik ostatka u aproksimaciji funkcije Tejlorovim polinomom trećeg stepena f) f0) + f 0)! + f 0)! Računamo f) arctan 0, 0 f ) arctan + ) 0 + 0, Sada je f ) + + + + ) + f 0) 3 + o 3 ). 3! + + + ) ) 0, f ) + ) + + ) + ) ) + ) 4 + ) + + ) 4 )) 0 + ) 3 0, arctan + o 3 ), odnosno, arctan o 3 ). 0. Primenom Tejlorove formule predstaviti polinom po stepenima ). f) 5 + 3 Rešenje: Na osnovu Tejlorove formule imamo f) T 5 ) + R 5 ) f) + f )! + f 4) ) 4! ) + f )! ) 4 + f 5) ) 5! ) + f ) ) 3 3! ) 5 + f 6) ξ) ) 6. 6! Odred ujemo f) 4 i izvode f ) 5 4 + 6, f ) 0 3 + 6 6, f ) 60 60, f 4) ) 0 0, f 5) ) 0 0. Kako je f 6) ) 0 za svako R, to je R 5 ) 0 i važi f) T 5 ), za R. Sada je f) 4 + ) + 6 ) + 60 6 )3 + 0 4 )4 + 0 )5 0 4 + ) + 3 ) + 0 ) 3 + 5 ) 4 + ) 5. 3 Napomenimo da smo ovde mogli da računamo aproksimaciju Tejlorovim polinomom višeg stepena od 5, ali bi zbog f k) ) 0, R, k 6 koeficijenti uz ) k, k 6 bili jednaki 0.