Numerička analiza - Prof. Aleksandar Ivić

Numerička analiza - Prof. Aleksandar Ivić Osnovi numeričke analize. Teorija interpolacije.. Opšte o problemu interpolacije Neka je dato n + tačaka x 0, x,..., x n (x 0 < x < < x n ), i neka su poznate vrednosti f(x 0 ) = y 0, f(x ) = y,..., f(x n ) = y n neke funkcije u tim tačkama. Opšti problem interpolacije se sastoji u nalaženju neke funkcije F (x) (za koju se pretpostavlja da ima jednostavan oblik i koja se naziva funkcija interpolacije), za koju važi F (x 0 ) = y 0, F (x ) = y,..., F (x n ) = y n. Vrednosti funkcije f(x) (obično u intervalu [x 0, x n ], ali često i van njega) tada se približno izračunavaju preko funkcije interpolacije F (x), tj. uzima se približno f(x) F (x), ili f(x) = F (x)+r(x), gde je R(x) izvesna greška koja se čini prilikom interpolacije. Prilikom interpolacije tako - de se teži i proceni greške R(x), tj. gleda se da se na - de i eksplicitni izraz, odnosno nejednakost za R(x). U opštem slučaju za F (x) nema nekih ograničenja, no u praksi se najčešće uzima da je F (x) polinom stepena ne većeg od n, tj. F (x) = a 0 + a x + + a n x n. Uslov F (x 0 ) = y 0, F (x ) = y,..., F (x n ) = y n jednačina: svodi se tada na sistem linearnih a 0 + a x 0 + + a n x n 0 = y 0, a 0 + a x + + a n x n = y,...... =. () a 0 + a x n + + a n x n n = y n. Ovde ima n+ jednačina sa n+-om nepoznatom a 0, a,..., a n. Determinanta sistema () je x 0 x 0 x n 0 x x D = x n......,. x n x n x n n i poznata je u literaturi pod imenom Vandermondeova determinanta. Njena vrednost je D = (x n x 0 )(x n x 0 ) (x x 0 )(x n x ) (x x ) (x n x n ) = i>j(x i x j ) 0,

jer su po pretpostavci svi brojevi x 0, x,..., x n me - dusobno različiti. Prema tome, ako je barem jedno y j 0, sistem () ima jedinstveno rešenje, te je polinom F (x) = a 0 + a x + + a n x n jednoznačno odre - den. Me - dutim i pored jednoznačne rešivosti, odre - divanje koeficijenata a 0, a,..., a n polinoma F (x) putem determinanti je zametno. Zato su razvijeni razni posebni postupci za odre - divanje forme polinoma F (x), koji nose imena pojedinih matematičara zaslužnih za tu problematiku... Lagranžeov interpolacioni polinom Ovaj interpolacioni polinom je opšteg karaktera. Neka je dato n + tačaka x 0 < x < < x n. Treba formirati polinom P n (x) stepena ne većeg od n tako da bude P n (x i ) = y i, (i = 0,,..., n). Direktnom proverom se ustanovljava da je takav polinom dat preko formule: gde je: Naime važi: n P n = y 0 L 0 (x) + y L (x) + + y n L n (x) = y i L i (x), i=0 L i (x) = (x x 0) (x x i )(x x i+ ) (x x n ) (x i x 0 ) (x i x i )(x i x i+ ) (x i x n ). L i (x j ) = { i = j, 0 i j, (i = 0,,..., n), pa je neposredno P n (x i ) = y i. U razvijenom obliku, na primer, za n = 3 dobija se (x x )(x x )(x x 3 ) P 3 (x) = y 0 (x 0 x )(x 0 x )(x 0 x 3 ) + y (x x 0 )(x x )(x x 3 ) (x x 0 )(x x )(x x 3 ) + (x x 0 )(x x )(x x 3 ) + y (x x 0 )(x x )(x x 3 ) + y (x x 0 )(x x )(x x ) 3 (x 3 x 0 )(x 3 x )(x x 0 ). Ako se stavi R n (x) = f(x) P n (x), onda je R n (x) greška koja se dobija ako se vrednost funkcije zameni vrednošću interpolacionog polinoma u odgovarajućoj tački. Važi procena R n (x) (x x 0)(x x ) (x x n ) (n + )! max f (n+) (x), () x 0 x x n pod pretpostavkom da f ima neprekidan n + -vi izvod u intervalu [x 0, x n ].

..3 Njutnov interpolacioni polinom za nejednake razlike Opet se pretpostavlja da je dat sistem tačaka x 0 < x < < x n koje leže u intervalu [a, b] i vrednosti f(x i ) = y i (i = 0,,..., n). Za izvo - denje Njutnovog interpolacionog polinoma za nejednake razlike potreban je pojam podeljenih razlika, koje se definišu rekurzivno na sledeći način. Naime, podeljene razlike prvoga reda za funkciju f(x) se definišu kao f(x 0 ; x ) = f(x ) f(x 0 ) x x 0, f(x ; x ) = f(x ) f(x ) x x,..., f(x n ; x n ) = f(x n) f(x n ) x n x n. Slično tome se definišu podeljene razlike drugoga reda kao f(x 0 ; x ; x ) = f(x ; x ) f(x 0 ; x ) x x 0, f(x ; x ; x 3 ) = f(x ; x 3 ) f(x ; x ) x 3 x,..., f(x n ; x n ; x n ) = f(x n ; x n ) f(x n ; x n ) x n x n. U opštem slučaju, ako su već poznate podeljene razlike k-tog reda f(x i ; x i+ ;... ; x i+k ), tada se podeljene razlike k + -og reda definišu kao f(x i ; x i ;... ; x i+k ) = f(x i; x i+ ; ; x i+k ) f(x i ; x i ; ; x i+k ) x i+k x i. Indukcijom se lako pokazuje da za podeljenu razliku k-tog reda f(x i, x i+,..., x i+k ) (ona se često označava kao [x i ; x i+ ;... ; x i+k ]) važi formula Tada polinom f(x i ) f(x i ; x i+ ; ; x i+k ) = (x i x i+ )(x i x i+ ) (x i x i+k ) + f(x i+ ) + (x i+ x i )(x i+ x i+ ) (x i+ x i+k ) + f(x i+k ) + (x i+k x i )(x i+k x i+ ) (x i+k x i+k ). P n (x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f(x 0 ; x ) + (x x 0 )(x x + )f(x 0 ; x ; x ) + + + (x x 0 )(x x + ) (x x n )f(x 0 ; x ; ; x n ) 3

ima osobinu P n (x i ) = f(x i ) = y i za i = 0,,..., n, i on predstavlja Njutnov interpolacioni polinom za nejednake razlike, tj. za opšti sistem tačaka x 0 < x < < x n. Ako se slično kao kod Lagranžeovog interpolacionog polinoma formira izraz R n (x) = f(x) P n (x) = (x x 0 )(x x )... (x x n )f(x; x 0 ; x ;... ; x n ), tada se, u slučaju da f ima n + neprekidan izvod u [a, b], dobija primenom teoreme o srednjoj vrednosti da je f(x; x 0 ; x ; ; x n ) = f (n+) (ξ) (n + )!, gde je ξ neka tačka iz intervala koji sadrži sve tačke x, x 0,..., x n. Stoga se za ostatak u Njutnovoj interpolacionoj formuli dobija ista procena kao u prethodnom slučaju, tj. nejednakost (). Interesantan je slučaj kada se tačke x 0, x,..., x n poklapaju. Tada Njutnov interpolacioni polinom prelazi u Tejlorovu formulu f(x) = f(x 0 ) + (x x 0)! f (x 0 ) + + (x x 0) n n! f (n) (x 0 ) + (x x 0) n+ f (n+) (ξ), (n + )! gde je ξ neka tačka iz intervala [x, x 0 ]. Polsednji član u gornjoj formuli je klasičan ostatak u Tejlorovoj formuli, što pokazuje da se Njutnov interpolacioni polinom može upotrebiti i za dokazivanje stavova iz Analize. Primer. Naći polinom P (x) trećeg stepena koji prolazi kroz tačke (0,-4), (,-), (,) i (4,3). Primenom bilo Lagranžeove ili Njutnove interpolacione formule dobija se da je traženi polinom P (x) = x 3 3x + 5x 4...4 Njutnov interpolacioni polinom za jednake razlike Za ovaj oblik interpolacionog polinoma definiše se uopšteni n-ti stepen broja x kao x [n] = x(x h)(x h)... (x (n )h), a po definiciji je x [0] =, gde je h neki fiksni realni broj. Ovde se posmatra funkcija y = f(x) zadata vrednostima y i = f(x i ) na skupu me - dusobno jednako udaljenih tačaka x i (i = 0,,..., n), gde je x i = x i+ x i = h = const. Konačne razlike za zavisno promenljivu y zapisuju se kao y i = y i+ y i, y i = y i+ y i = y i+ y i+ + y i,, ( ) n n y i = n y i+ n y i = y i+n y i+n + ( ) ( ) n n + y i+n + + ( ) n y i, n 4

što se lako pokazuje matematičkom indukcijom. Interpolacioni polinom se zapisuje u obliku P n (x) = a 0 + a (x x 0 ) [] + a (x x 0 ) [] + + a n (x x 0 ) [n], gde je x i = x 0 + ih (i =,,... ), a koeficijenti polinoma a i dati su izrazima a i = i y 0 i!h i (i = 0,,,..., n). Tako se dobija tzv. prvi Njutnov interpolacioni polinom u obliku P n (x) = y 0 + y 0!h (x x 0) [] + y 0!h (x x 0) [] + + n y 0 n!h n (x x 0) [n]. Ako se uvede oznaka q = x x 0, onda gornja formula postaje h P n (x) = y 0 + q y 0 + q(q ) y 0 + +! q(q ) (q n + ) n y 0. n! Isti polinom se može napisati i u drugom obliku, koji se zove druga Njutnova interpolaciona formula. Ona glasi: P n (x) = y n + q y n + q(q + ) y n + +! q(q + ) (q + n + ) n y 0, n! i ona je obično pogodnija ako je x bliže x n, dok je prva Njutnova formula obično pogodnija za vrednosti x bliže x 0...5 Interpolacioni polinom sa središnim razlikama I ovde se radi o interpolacionim polinomima za sistem tačaka koje su jednako udaljene, samo se radi o nešto drukčijem formiranju razlika. Ako je dat n + interpolacioni čvor x n, x (n ),... x, x 0, x,... x n, x n, gde je x i = x i+ x i = h, i = n,, n, onda se traži polinom stepena ne većeg od n za koji je P (x i ) = y i (i = 0, ±, ± n). Takav polinom glasi: q(q ) P (x) = y 0 + q y 0 + (q + )q(q ) y + 3 y + +! 3! (q + n ) (q n + ) + n y (n ) + (n )! (q + n ) (q n + )(q n) + n y n, (n)! gde je q = x x 0 h središne razlike i zove se prvi Gausov interpolacioni polinom. y 0, y, 3 y, 4 y, 5 y, 6 y 3,, Tu se javljaju tzv. 5

dok se kod tzv. drugog Gausovog interpolacionog polinoma javljaju razlike Taj polinom glasi, u razvijenom obliku: y, y, 3 y, 4 y, 5 y 3, 6 y 3, (q + )q P (x) = y 0 + q y + (q + )q(q ) y + 3 y +! 3! (q + )(q + )q(q ) + 4 y + + 4! (q + n ) (q n + ) + n y n + (n )! (q + n)(q + n ) (q n + )(q n) + n y n, (n)! gde je P (x i ) = y i za i = 0, ±,, ±n. Postoji i tzv. Stirlingov interpolacioni polinom koji se formira kao aritmetička sredina Gausovih polinoma, tj. kao ( ) P (x) + P (x). Ako se polazi od parnog broja čvorova, tj. od tačaka x n, x (n ),..., x 0,..., x n, x n, x n+ sa rastojanjem x i = x i+ x i = h i uslovom y i = f(x i ), onda se često formira i Beselov interpolacioni polinom, koji je stepena ne većeg od n +. Dakle Q(x i ) = y i (i = n, (n ),..., n, n + ), pri čemu Beselov interpolacioni polinom ima oblik Q(x) = y ( 0 + y + q ) q(q ) y 0 + y + y 0 + ( ) q q(q ) + 3 q(q )(q + )(q ) y + 4 y + 4 y ( ) 3! 4! q q(q )(q + )(q ) + 5 y + 5! q(q )(q + )(q )(q + )(q 3) + 6 y 3 + 6 y + + 6! q(q )(q + )(q )(q + ) (q n)(q + n ) + (n)! + n y n + n y (n+) + ( ) q q(q )(q + )(q )(q + ) (q n)(q + n ) + n+ y n. (n + )! 6

..6 Inverzna interpolacija Neka je y = f(x) funkcija zadata tablično. Zadatak inverzne interpolacije je da se po zadanoj vrednosti y nade - odgovarajuća vrednost x. Ako su date tačke (x i, y i ) (i = 0,,..., n), y = f(x i ), onda se može konstruisati (Njutnov i Langražeov) interpolacioni polinom po y sa čvorovima u tačkama y i, recimo n P n (y) = x i L i (y), i=0 L i (y) = (y y 0) (y y i )(y y i+ ) (y y n ) (y i y 0 ) (y i y i )(y i y i+ ) (y i y n ). Za dato y sada se može naći x P n (y) kao približna vrednost interpolacionog polinoma P n (y)...7 Interpolacija kod periodičnih funkcija U slučaju kada funkcija f(x) koju interpoliramo nad [a, b] ima osobinu da je f(a) = f(b), prirodno je ograničiti se na aproksimaciju f(x) funkcijama ϕ 0 (x),, ϕ n (x) koje su periodične (sa osnovnim periodom T = b a) i zadovoljavaju ϕ j (a) = ϕ j (b) (j = 0,,..., n). Najprostiji sistem periodičnih funkcija čine funkcije, sin x, cos x, sin x, cos x,, sin nx, cos nx,..., čiji je osnovni period π. Od ovih funkcija se formira tzv. trigonomertijski polinom T n (x) = a 0 + n k= (a k sin kx + b k cos kx), (3) gde su a k, b k realni (ili kompleksni) koeficijenti koje treba odrediti. Osnovna osobina trigonometrijskih polinoma tipa (3), važna za interpolaciju, je sledeća: ako se dva polinoma poklapaju u n + različitih tačaka x 0, x,..., x n, tada su ti polinomi identični. Ako je f(x i ) = y i (i = 0,,..., n), tada se za T n (x) može napisati eksplicitna formula T n (x) = n i=0 sin x x 0 y i sin x i x 0 sin x x i sin x i x i sin x x i+ sin x i x i+ sin x x n sin x i x n. (4) Naime, iz same konstrukcije T n (x) neposredno sledi da važi T n (x) = y i = f(x i ) za i = 0,,..., n, a uz pomoć trigonometrijskih formula sin kx sin lx = [cos(k l)x cos(k + l)x], sin kx cos lx = [sin(k + l)x + sin(k l)x], cos kx cos lx = [cos(k l)x + cos(k + l)x], ustanovljava se da se T n (x), dato preko (4), svodi na trigonomertijski polinom oblika (3). 7

..8 Interpolacija funkcija od dve nezavisne promenljive Interpolacija funkcije z = f(x, y) koja je zadata na sistemu tačaka (x i, y i ) oblika x i = x 0 + ih, y j = y 0 + jk (i = 0,,,..., j = 0,,,... ) može se vršiti na sledeći način. Uvode se oznake z i,j = f(x i, y j ) i formiraju konačne razlike na x z i,j = z i+,j z i,j, y z i,j = z i,j+ z i,j, m+n z i,j = m+n x m y nz i,j = n y n ( m x mz i,j) = m x m ( n y nz i,j ), 0+0 z i,j = z i,j. Za funkciju dveju promenljivih (i slično za funkciju od više promenljivih) postoji Njutnova interpolaciona formula, koja je sasvim slična Njutnovom (običnom) interpolacionom polinomu iz odeljka..4. Sa oznakama p = x x 0 h, q = y y 0, k prvih nekoliko članova te interpolacione formule glasi P (x, y) = z 0,0 + [ ] p +0 z 0,0 + q 0+ z 0,0 +! + [ ] p(p ) +0 z 0,0 + pq + z 0,0 + q(q ) 0+ z 0,0 +! + [ p(p )(p ) 3+0 z 0,0 + 3p(p )q + z 0,0 + 3! 3pq(q ) + z 0,0 + q(q )(q ) 0+3 z 0,0 + + [ p(p )(p )(p 3) 4+0 z 0,0 + 4! 4p(p )(p )q 3+ z 0,0 + 6p(p )q(q ) + z 0,0 + 4pq(q )(q ) +3 z 0,0 + q(q )(q )(q 3) 0+4 z 0,0 ] +..... Numeričko diferenciranje i integracija.. Numeričko (približno) diferenciranje Ovaj problem se sastoji u nalaženju izvoda nekog reda funkcije y = f(x), koja je zadana tablično, ili su izvodi previše složeni analitički da bi računanje izvoda preko eksplicitnih formula imalo praktičnu vrednost. 8

Ako je funkcija zadana na sistemu tačaka sa jednakim razlikama, onda je jedan od načina da se sprovede približno diferenciranje korišćenjem prvog Njutnovog interpolacionog polinoma (v. odeljak..5). Uz oznaku q = x x 0 množenjem sledi h y(x) = y 0 + q y 0 + q q y 0 + q3 3q + q 3 y 0 + + q4 6q 3 + q 6q 4 y 0 +, 4 gde je y = y(x) = f(x) identifikovano sa Njutnovim interpolacionim polinomom. Zbog sledi a slično se nalazi i y = dy dx = dy dq dq dx = dy h dq y (x) = [ y 0 + q y 0 + 3q 6q + 3 y 0 + h 6 + 4q4 8q ] + q 6 4 y 0 +, 4 y (x) = h [ y 0 + 6q 6 6 ] 3 y 0 + q 36q + 4 y 0 +. 4 Analognim postupkom mogu se dobiti i formule za izvode višeg reda. U opštem slučaju, kada tačke x i nisu na jednakom rastojanju, može da se koristi Lagranžeov interpolacioni polinom (v. odeljak..). Naime, uzima se te je onda n y = y(x) = f(x) P n (x) = y i L i (x), i=0 y (k) P (k) n (x) = n i=0 y i L (k) i (x). Nedostatak ovog postupka je što i za malo k, greška koja se čini aproksimacijom y (k) sa P n (k) (x) može da bude jako velika... Numerička integracija Numerička integracija ima za zadatak da razvije postupke za približno izračunavanje integrala I = b a f(x) dx 9 (a < b),

gde je f(x) data integrabina funkcija na [a, b]. Takav postupci su često neizbežni u praksi, kada primitivna funkcija od f(x) ima suviše složen oblik ili ju je nemoguće odrediti preko elementarnih funkcija, kao recimo u slučaju funkcije f(x) = e x, koja je jednostavnog oblika, ali je poznato da se njena primitivna funkcija ne može predstaviti preko elementarnih funkcija u konačnom obliku. Najjednostavniji način numeričke integracije je da se f(x) zameni Lagranžeovim ili Njutnovim interpolacionim polinomom P n (x) stepena n, te da se za približnu vrednost I uzme I b a P n (x) dx, pri čemu je bitno i kakva se greška čini prilikom takvog postupka. Uz oznake onda se dobija gde je y = f(x), h = b a n, x 0 = a, x i = x 0 + ih, y i = f(x i ) (i = 0,,..., n) Uprošćavanjem sledi: A i = x n x 0 x n x 0 n y dx A i y i, i=0 ( )n q[n+] i!(n )!(q i) dx; q = x x 0 h x [n] = x(x h)(x h) (x (n )h). x n n y dx (b a) H i y i, x 0 i=0 H i = ( )n q q [n+] i!(n )!n q i dq. 0 Formule za približnu integraciju (5) zovu se u literaturi Njutn-Kotesove formule. Specijalno za n = i n =, te primenom tih formula za svaki integral x i+ posebno, dobijaju se klasične formule numeričke integracija. To su tzv. trapezna i Simpsonova formula. Trapezna formula za približnu integraciju glasi b a y dx = h [y 0 + y n + (y + + y n )] + R,, x i (5) 0

pri čemu za grešku R važi procena R b a h max y (ξ), ξ [a,b] gde se pretpostavlja da y(x) ima neprekidan drugi izvod u [a, b]. Ako je n = m, h = (b a)/m (paran broj interpolacionih tačaka) onda Simpsonova formula za približnu integraciju glasi b a y dx = h 3 [(y 0 + y m ) + 4(y + y 3 + + y m ) + (y + y 4 + + y m )] + R, pri čemu za grešku R ovde važi procena R b a 80 h4 max y (4) (ξ). ξ [a,b] Ovde se pretpostavlja da y(x) ima neprekidan četvrti izvod u [a, b]. Postoje dva načina procene greške kod Simpsonove metode približne integracije. a) Ukupna greška. Ova greška je jednaka gde je R dato gornjim izrazom, a R + r, r ε k (b a), gde je ε k = 0 k (greška zaokrugljivanja) ako radimo sa k decimala. Način za odre - divanje optimalne vrednosti parametra h (koraka integracije) je upore - divanje sa unapred zadatom greškom. Ukoliko je odre - divanje izvoda koji se javljaju previše komplikovano, onda se može koristiti b) Rungeova ocena greške. Neka je primenjena Simpsonova metoda sa podelom m tj. m, pri čemu je m < m, sa koracima h odnosno h, pri čemu je h < h, tj. druga podela je finija. Tada je ukupna greška po apsolutnoj vrednosti ne premaša I h I h ( ) 4, h h pri čemu I h označava vrednost integrala Simpsonovom metodom kao sume u (.3) sa korakom h. Podela se na ovaj način usitnjuje sve dok konačna greška ne bude manja od unapred zadate. Znači da se uzima b a f(x) dx I h + R,

gde apsolutna vrednost greške R ne premaša gornji izraz. Drugi tip formule za numeričku integraciju predstavljaju tzv. Gausove formule. Pretpostavimo da smo odredili polinom ω n (x), stepena n, za koji je b a p(x)ω n (x)q(x) dx = 0 za sve polinome q(x) stepena ne većeg od n, pri čemu je p(x) data neprekidna funkcija (tzv. težinska funkcija ) nad [a, b]. Ako je f(x) proizvoljan polinom, onda je b a f(x) dx = n i=0 C (n) i f(x i ), (6) gde su x, x,..., x n koreni ω n (x), a C (n) i konstante (koeficijenti) koje ne zavisi od f i koje treba odrediti. U posebno interesantnom slučaju p(x) može se uzeti d n ω n (x) = n! (n)! dx [(x n a)n (x b) n ], (7) pri čemu se uzastopnom primenom Rolove teoreme o srednjoj vrednosti pokazuje da svi koreni polinoma u (7) leže u (a, b). Ako je sada f(x) data neprekidna funkcija nad [a, b], onda se Gausova interpolacija vrši u obliku b a p(x)f(x) dx = n i=0 C (n) i f(x i ) + R(f), (8) gde je R(f) greška koja zavisi samo od funkcije f(x). U slučaju p(x) ostatak u formuli (8) postaje R(f) = (b a)n+ (n!) 4 [(n)!] 3 (n + ) f (n) (ξ) za neko ξ koje zadovoljava a ξ b. Ovde valja napomenuti da interval integracije [a, b] u (8) postaje [, ] pomoću smene promenljive x = (b + a) + (b a)t. Ovo je podesno uvek učiniti da bi se koeficijenti C (n) i računati jednoobrazno, a ne u zavisnosti od intervala [a, b]. Tako se za interpolacionu formulu f(x) dx = n i= C (n) i f(x i ) + n+ (n!) 4 [(n)!] 3 (n + ) f (n) (ξ), (9)

a < ξ < b nalaze sledeće vrednosti za C (n) i : n = n = x = 0, C() =, R = 3 f (ξ), n = 3 n = 4 n = 5 x = x = 0, 57735069..., C() =, R = 35 f (4) (ξ), x = x 3 = 0, 774596669..., x = 0, C(3) = C(3) 3 = 5 8, C(3) = 4 9, R 3 = 5750 f (6) (ξ), x = x 4 = 0, 86363..., x = x 3 = 0, 33998043... = C(4) 4 = 0, 73974..., C(4) C(4) = C(4) 3 = 0, 3607577..., R 4 = 347875 f (8) (ξ), x = x 5 = 0, 90679845..., x = x 4 = 0, 53846930... = C(5) 5 = 0, 846344..., C(5) C(5) = C(5) 4 = 0, 3934335..., R 5 = 3773650 f (0) (ξ). 3

U slučaju kada se za p(x) uzme funkcija p(x) = / x, a za interval integracije (, ), dobija se sledeća formula za približnu numeričku integraciju f(x) dx = n C (n) x i f(x i ) + R(f), i= gde su x i koreni polinoma ω n (x) stepena n, a koji je ortogonalan u odnosu na / x na sve polinome stepena ne većeg od n. Ovakva formula se naziva Hermite-ova formula za numeričku integraciju, a za ω n (x) se može uzeti ω n (x) = cos(n arccos x), n pri čemu nije teško proveriti da je ω n (x) polinom po x stepena n. Tada se može uzeti (i )π x i = cos za (i =,,..., n), te sledi n f(x) x dx = π n n f(x i ) + i= π (n)! n f (n) (ξ i ), (0) x i = cos (i )π. n Sličnog tipa su i formule Markova i formuli Čebiševa, koja je tipa Čebiševa za numeričku intergaciju. Zadržimo se na n p(x)f(x) dx = K f(x i ) + R(f). () i= Problem je da se odrede apscise x, x,..., x n i koeficijent K tako da je R(f) = 0 u () kad je f(x) polinom najvišeg mogućeg stepena. Zatim se za proizvoljnu funkciju f(x) nad [a, b] integral u () aproksimira sumom K n i= f(x i ), što predstavlja numeričku integraciju Čebiševa. Za f(x) koeficijent K u () se lako nalazi preko formule K = n p(x) dx, pri čemu se pretpostavlja da je težinska funkcija p(x) takva da se poslednji integral lako računa. U važnom slučaju f(x) sledi K = /n, a tada se apscisa x i za razne vrednosti 4

n računaju po sledećoj tablici: n =, x = x = 0, 577350..., n = 3, x = x 3 = 0, 70707..., n = 4, x = x 4 = 0, 794654..., x = x 3 = 0, 8759... n = 5, x = x 5 = 0, 83498..., x = x 4 = 0, 37454... x 3 = 0,... n = 6, x = x 6 = 0, 86647..., x = x 5 = 0, 459... x 3 = x 4 = 0, 66635 n = 7, x = x 7 = 0, 88386..., x = x 6 = 0, 59657... x 3 = x 5 = 0, 339 x 4 = 0...3 Približno izračunavanje višestrukih integrala Najjednostavniji način za približno izračunavanje višestrukih integrala je preko ponovljenog izračunavanja jednostrukog (običnog) integrala. Naime, ako je recimo G pravougaonik {a x b, c y d}, onda je I = f(x, y) dxdy = G b a dx d c f(x, y)dy. () Stoga se može prvo izračunati integral po y, po nekoj od približnih formula numeričke integracije, a zatim ponavljanjem postupka i integral po x, Ako se upotrebi Simpsonova formula za numeričku integraciju, onda se za I u () dobija { (b a)(d c) I = f(a, c) + f(a, d) + f(b, c) + f(b, d) + 36 [ ( + 4 f a, c + d ) ( + f b, c + d ) ( ) ( )] a + b a + b + f, c + f, d + ( a + b +6f, c + d )} + R. U ovoj formuli R je ostatak, koji je identički jednak nuli ukoliko je f(x, y) polinom po x i y stepena ne većeg od 3. Ukoliko f(x, y) poseduje neprekidne paecijalne izvode osmoga reda u G, onda se može naći i eksplicitni izraz za ostatak R. On glasi R = (b a)5 (d c) 4 f(ξ, η ) 6 45 6 45 (d c)5 (b a) 5 8 f(ξ 3, η 3 ), 45 x 4 y 4 gde su (ξ, η ), (ξ, η ) i (ξ 3, η 3 ) neke tačke iz G. x 4 (d c)5 (b a) 4 f(ξ, η ) x 4 5

Ukoliko je zadat integral I = b a dx ϕ (x) ϕ (x) f(x, y) dy, gde su ϕ (x) i ϕ (x) zadate krive, onda se može postupiti i na sledeći način. Za izračunavanje I = b a F (x) dx, F (x) = ϕ (x) ϕ (x) f(x, y) dy upotrebljava se neka od formula za približnu integraciju. Tako je Ako se za izračunavanje svakog integrala ϕ n n (x k ) I C k F (x k ) = f(x k, y) dy. k= k= ϕ (x k ) I n = ϕ (x n ) ϕ (x n ) f(x n, y) dy iskoristi podesna formula za numeričku integraciju I k onda se dobija krajnja formula u obliku n k k= C (k) i f(x k, y i ), n n k I C k C (k) i f(x k, y i ). k= i= Navedeni postupci mogu se preneti i na n-tostruke integrale..3 Izračunavanje i aproksimacija funkcija Najjednostavnija funkcija je polinom, koji u opštem slučaju ima oblik P (x) = a 0 x n + a x n + + a n, pri čemu pretpostavljamo da su koeficijenti a, a,..., a n realni brojevi i a 0 0. Problem izračunavanja P (t) za dato t rešava se na sledeći način. Postupno se izračunavaju brojevi b 0 = a 0, b = a + b 0 t, b = a + b t, b 3 = a 3 + b t,..., b n = a n + b n t. 6

Neposrednom proverom sledi da je b n = P (t), štaviše važi gde je P (x) = Q(x)(x t) + b n, Q(x) = b 0 x n + b x n + + b n. U slučaju P (x) = 3x 3 5x + 7x, t =, ovo se može shematski prikazati na sledeći način: 3 5 7 3 9 6 Ovde je u donjem redu b 0 = 3, b =, b = 9, b 3 = P () = 6. Ovaj postupak se naziva Hornerova shema i posebno je pogodan za rad sa računarima. Hornerova shema ima i drugih primena. Njom se, recimo, mogu rešavati jednačine sa celobrojnim koeficientima. Naime, ako algebarska jednačina f(x) = x n + a x n + + a n x + a n = 0 sa celobrojnim koeficijentima a k ima celobrojni koren c, onda taj koren mora c biti delitelj broja a n. Ako su d,, d k svi delitelji (i pozitivni i negativni) broja a n, onda se Hornerovom shemom računa f(d l ), pa ako je ta vrednost za neko l nula, odmah se dobija faktorizacija f(x) = (x d l )g(x), gde je stepen polinoma g(x) sada n. Sada se psotupak može primeniti dalje na g(x) i sl., i na kraju će se f(x) dobiti u faktorisanom obliku f(x) = (x α ) (x α n ), gde su α,, α n celi brojevi, naravno pod pretpostavkom da su svi koreni f(x) celi brojevi. Primer. Rešiti jednačinu x 4 + 3x 3 50x + x 6 = 0. Delitelja 6 ima ukupno 3: od ± do ±6. Lako se nalazi da je Stoga je x = 6 jedan koren jednačine, a važi 3 50 6 6 9 4 36 0 x 4 + 3x 3 50x + x 6 = (x 6)(x 3 50x + x + 36), 7

pri čemu je polinom x 3 50x +x+36 trećeg stepena, te je njegovo faktorisanje, odnosno rešavanje odgovarajuće jednačine jednostavnije od rešavanja polazne jednačine. Na kraju se dobija x 4 + 3x 3 50x + x 6 = (x 6)(x + 9)(x + 4), pa su koreni jednačine x = 6, x = 9, x 3 = i, x 4 = i. Za izračunavanje vrednosti složenijih funkcija najpovoljnije je koristiti Tejlorovu formulu. Ako je f(x) analitička funkcija za x x 0 < R, onda Tejlorova formula glasi gde je za neko < θ < f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + + + f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + R n (x), (3) n! R n (x) = f (n+) (x 0 + θ(x x 0 )) (x x 0 ) n+. (n + )! Vrlo često Tejlorova formula se koristi za x 0 = 0, kada se obično naziva Maklorenova formula i glasi f(x) = f(0) + f (0)! x + f (0)! x + + f (n) (0) x n + R n (x), n! R n (x) = f (n+) (θx) x n+, θ <. (n + )! Za pojedine elementarne funkcije Tejlorova, odnosno Maklorenova formula poprima jednostavan oblik. Tako, na primer, za eksponencijalnu funkciju f(x) = e x važi Tejlorova formula e x = + x + x! + + xn n! + R n(x), R n (x) = eθx x n, θ <. (n + )! U praksi se izračunavanje e x vrši najčešće na sledeći način. Uvek se može napisati x = [x] + r, gde je [x] ceo broj od x (npr. [3, 9] = 3, [ 0, 35] = ), a r zadovoljava 0 r < i predstavlja razlomljeni deo od x. Tada je e x = e [x] e r, pri čemu se e [x] izračunava direktno, koristeći vrednosti e =, 78888459045..., e = 0, 36787944744..., 8

u zavisnosti od toga da li je [x] > 0 ili [x] < 0. Za izračunavanje e r koristi se Maklorenova formula u obliku e r = n j=0 pri čemu se R n (r) može eksplicitno proceniti kao 0 R n (r) < r j j! + R n(r), 3 (n + )! rn+. Odakle se može lako odrediti za koje n će važiti R n (r) < ε za neko zadato ε > 0. Za izračunavanje vrednosti logaritamske funkcije koriste se razvitci u redove ln( + x) = x x + x3 3 x4 4 +, ln( x) = x + x x3 3 + x4 4, koji važe za x <. Kako je njihova konvergencija dosta spora, oduzimanjem se dobija Ako se stavi x + x ln x ( ) + x = x + x3 3 + x5 5 +. z = z, onda je x =, pa se dobija + z [ z ln z = + z + ( )3 z + 3 + z 5 ( ) z 5 + ], + z pri čemu ova poslednja formula važi za 0 < z <, i podesna je za numerička izračunavanja, tj. sada je konvergencija brža nego samo korišćenjem redova ya ln( ± x). Trigonometrijske funkcije, kao i hiperbolične, se računaju, slično kao i eksponencijalne funkcije, preko Maklerenove formule, odnosno Maklerenovog reda. Ti redovi, koji važe za svako x, glase gde je, kao što je uobičajeno, sin x = ( ) j x j+ j=0 (j + )!, cos x = ( ) j xj j=0 (j)!, sh x = ( ) j x j+ j=0 (j + )!, ch x = ( ) j xj j=0 (j)!, sh x = ( e x e x), ch x = ( e x + e x). 9

U opštem slučaju prilikom aproksimacije funkcije f(x) dolazi do sledećih problema.. Data je klasa funkcija R, definisanih na [a, b] i neki podskup R funkcija te klase. Za datu funkciju f(x) R i dato ε > 0 treba odrediti takvu funkciju ϕ(x) R da važi za svako x [a, b]. f(x) ϕ(x) < ε. Za datu funkciju f(x) R odrediti funkciju ϕ 0 (x) R takvu da važi nejednakost max f(x) ϕ 0(x) = inf x [a,b] ϕ R max f(x) ϕ(x). x [a,b] Za R se obično uzima skup funkcija C[a, b] neprekidnih nad [a, b], a za R neki skup algebarskih ili uopštenih polinoma. Za funkciju ϕ 0 (x) iz zadatka, ukoliko postoji, kaže se da je funkcija najbolje ravnomerne aproksimacije za funkciju f(x) u klasi R. Posebno su od interesa aproksimacije u tzv. linearnim normiranim prostorima. Skup R se zove linearni normirani prostor, ako je linearni vektorski prostor nad skupom realnih brojeva Re i ako svakom f R odgovara realan broj f. Taj broj f se zove norma od f i zadovoljava sledeće uslove: a) f 0 i f = 0, ako i samo ako je f 0, b) cf = c f, za proizvoljno c Re, c) f + f f + f. Svaki linearni normirani prostor je ujedno i metrički prostor (prostor sa rastojanjem). Za rastojanje d(f, f ) dva elementa f, f R može se jednostavno uzeti d(f, f ) = f f. U slučaju da je R = C[a, b], skup svih neprekidnih funkcija na [a, b], onda se često uzima f = max f(x). (4) x [a,b] Može se pokazati da u svakom linearnom normiranom prostoru R za proizvoljan element f R postoji element najbolje aproksimacije u R, tj. element Φ 0 R za koji se dostiže inf f Φ. Φ R Da bi se ovo pojasnilo na primeru, uzmimo da je dat polinom Q(x) = x n + a n x n + + a x + a 0. Želimo da vršimo interpolaciju polinoma Q u intervalu [, ] polinomom P (x) stepena n, tako da se maksimalna greška Q(x) P (x) minimizira, što je saglasno sa definicijom 0

datom preko (4). Problem je kako odrediti čvorove interpolacije x 0, x,..., x n i koliko je velika najmanja moguća maksimalna greška? Ako se napiše Q(x) P (x) = L(x) = (x x 0 )(x x ) (x x n ), onda se problem svodi na izbor tačaka x 0, x,..., x n tako da je veličina max (x x 0)(x x ) (x x n ) x minimalna. Ovaj problem je sredinom prošlog veka rešio znameniti ruski matematičar P.L. Čebišev. Za L(x) se uzima (v. tako - de (0)) gde je L(x) = T n(x) = cos(n arccos x), n n T n (x) = cos(n arccos x) tzv. polinom Čebiševa, pri čemu se iz gornje formule može eksplicitno izračunati u = T n(x). Tako - de u = T n (x) zadovoljava sledeću linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda: ( x )u xu + n u = 0. U ovom slučaju interpolacioni čvorovi x 0, x,..., x n dati su onda preko formule ( ) k + x k = cos n π, k = 0,,..., n. Za vrednosti L(x) u intervalu [, ] očito važi L(x) n, te je n maksimalna greška, koja se čini prilikom interpolacije. Recimo da je postavljeno konkretno pitanje koliko se dobro može aproksimirati funkcija f(x) = x + ax + b u [, ] pomoću prave linije? To je slučaj n = prethodne diskusije. Čvorovi interpolacije su tačke x 0 = cos π 4 =, x = cos 3π 4 = Interpolacioni polinom P (x) dat je u ovom slučaju kao. P (x) = f(x 0)(x x) + f(x )(x 0 x) x x 0 = ax + b +. Maksimalna greška je max x + ax + b P (x) = max x x x =,

kao što je i predvi - deno teorijom. U opštem slučaju aproksimacija funkcija može se postaviti pitanje aproksimacije funkcije f(x) funkcijom n T (x) = a 0 + (a j cos jx + b j sin jx), (5) j= gde su a j i b j realni koeficijenti koje treba odrediti. Funkcija u (5) se naziva trigonometrijski polinom stepena n. Za aproksimaciju funkcija trigonometrijskim redom važi tzv. druga Vajerštrasova teorema: ako je f(x) neprekidna periodična funkcija sa periodom π, tada za proizvoljno ε > 0 postoji takav trigonometrijski polinom T (x) oblika (5) da za svako realno x važi f(x) T (x) < ε. Ova teorema omogućava ravnomernu aproksimaciju funkcije f(x) trigonometrijskim polinomom. Ovde valja pomenuti i tzv. prvu teoremu Vajerštrasa o aproksimaciji neprekidnih funkcija, koja glasi: ako je f(x) neprekidna funkcija na [a, b], tada za svako ε > 0 postoji prirodan broj m i polinomom Q m (x) stepena m tako da je f(x) Q m (x) < ε, x [a, b]. Druga vrsta aproksimacija su tzv. srednje-kvadratne aproksimacije. Pod srednjekvadratnim odstupanjem funkcija f(x) i Q(x) na skupu tačaka X = {x, x,..., x n } podrazumeva se veličina n = n f(x i ) Q(x i ). (6) n i= Ako se vrši aproksimacija funkcija pomoću integrala, onda je srednjekvadratno odstupanje dato kao = b f(x) Q(x) dx. (7) b a a Formula (7) se može shvatiti kao granični slučaj formule (6) kad n, ako je a = x, b = x n, x i = x i+ x i = b a, (i =,,..., n ). n

Onda važi n = n n i= f(x i ) Q(x i ) = b f(x) Q(x) dx. b a a Srednjekvadratno odstupanje (7) ima preimućstvo da je neosetljivo na lokalna kolebanja f(x) Q(x) za pojedine veličine x, te daje preciznu sliku o globalnom ponašanju pomenute tačke. Ak se za prostor R uzme skup svih funkcija čiji je kvadrat integrabilan nad [a, b], onda se za f, g R može uvesti skalarni proizvod (f, g) Re kao te norma f preko relacije f = (f, g) = b a (f, f) = f(x)g(x) dx, b f (x) dx. a.4 Približno rešavanje jednačina.4. Približno rešavanje običnih jednačina Ovde se radi o rešavanju jednačine f(x) = 0, (8) gde je f(x) neprekidna nad [a, b]. Pretpostavlja se da su svi koreni gornje jednačine u [a, b] izolovani, tj. f(x 0 ) = 0 za x 0 [a, b], onda postoji okolina od x 0 u kojoj nema drugih korena. Najjednostavnija metoda rešavanja jednačine (8) je tzv. metoda polovljenja. Pretpostavlja se da je f(a)f(b) < 0, tj. da su vrednosti funkcije na krajevima intervala različitog ( znaka. ) Tada zbog neprekidnosti jednačine (8) mora imati koren u [a, b]. Ako je a + b f = 0, onda je ξ = a + b ( ) a + b traženi koren. Ako je f 0, bira se onaj [ od intervala a, a + b ] [ ] a + b,, b na čijim krajevima f(x) ima suprotne znake. Tako se dobija niz intervala [a, b ], [a, b ],..., [a n, b n ],..., pri čemu je f(a n )f(b n ) < 0 i Tada postoji b n a n = b a n. ξ = lim n a n = lim n b n 3

i f(ξ) = 0. Ovaj postupak se može praktično uvek primeniti, i lako se programira na računaru. Nedostatak mu je što se često mora uzeti mnogo članova niza a n, (ili b n ), da bi se dobila dobra aproksimacija korena ξ. Drugi opšti postupak rešavanja jednačina je postupak iteracije (ponavljanja). On se sastoji u tome da se proizvoljno odabere tačka x 0 i zatim konstruiše niz x n = f(x n ), (n =,,... ). (9) Ukoliko niz x n konvergira ka ξ, onda je ξ rešenje jednačine Jednačina (8) i (0) su ekvivalentne; iz (8) sledi i obrnuto, iz (0) sledi x = F (x), F (x) = 0, x = f(x). (0) F (x) = x + f(x), F (x) = x f(x). Može se pokazati da niz (9) konvergira ka rešenju ξ jednačine (0), ako je a) f(x) [a, b] za x [a, b] b) f(x ) f(x ) L (x x ) za neko 0 L < i x, x [a, b]. Uslov b) se naziva Lipšicov uslov, a L Lipšicova konstanta. On je sigurno ispunjen, ako je f (x) < za x [a, b]. Ako su ispunjeni uslovi a) i b), onda je štaviše rešenje ξ jednačine (0) jedinstveno. Naime, ako postoje dva rešenja s i s jednačine (0) i s s, onda je s s = f(s ) f(s ) L(s s ), te deljenjem sa s s > 0 sledi L, što je kontrakcija. U praksi se formira niz (9) i ako uslovi a) i b) nisu ispunjeni, jer su oni samo dovoljni (ali ne potrebni) da bi niz (9) konvergirao ka rešenju jednačine (0). Ukoliko niz x n ipak konvergira, postupak iteracije daje rešenje jednačine (0). Postavlja se pitanje kolika se greška čini, ako je pri postupku iteracije rešenje jednačine (0) ξ zameni sa x n. Matematičkom indukcijom sledi Neka je sad n fiksirano i m > n. Tada je te sledi x n+ x n L n x x 0, (n = 0,,,... ). x m x n = (x m x m ) + (x m x m ) + + (x n+ x n ), x m x n x m x m + x m x m + + x n+ x n ( L m + + L n) x x 0 L n ( + L + L + ) 4 x x 0 = Ln x x 0, L

jer je 0 L <. Ako m, onda x m ξ, gde je ξ koren jednačine (0). Otuda sledi da je x n ξ Ln L x x 0, ukoliko se pretpostavi da važe uslovi a) i b). Poslednja nejednakost onda ustvari predstavlja procenu greške prilikom iteracije. Iz nje se jasno vidi da je greška manja ukoliko je n već e, odnosno L manje. Primer 3. Rešiti jednačinu x = e x. Najzgodnije je prvo nacrtati grafike funkcija y = x i y = e x. Vidi se da postoji samo jedna tačka preseka, čija je apscisa probližno x 0 = 0, 5. Dalje se proverava da je za a = 0, 5 i b = ln ispunjeno i a) i b) iz uslova za primenljivost iteracije, jer je f (x) = e x e / = 0, 6065.... Iteracija daje x 0 = 0, 5 x = e x 0 = 0, 6065306559... x = e x = 0, 54539... x 3 = e x = 0, 579703094... x 4 = e x 3 = 0, 56006467... x 5 = e x 4 = 0, 57749... x 6 = e x 5 = 0, 56486947... x 7 = e x 6 = 0, 568438047... x 8 = e x 7 = 0, 56640945... x 9 = e x 8 = 0, 567559634... x 0 = e x 9 = 0, 566907... x = e x 0 = 0, 5677796... x = e x = 0, 56706735... x 3 = e x = 0, 5678636... x 4 = e x 3 = 0, 5678864... x 5 = e x 4 = 0, 5675743... x 6 = e x 5 = 0, 56735433.... Sledi da je približno rešenje jednačine, na četiri tačna decimalna mesta, x = 0, 567. Prilikom iteracije treba voditi računa da oblik (0) u kojem se rešava jednačina nikako nije jedinstven. Ponekad je dobar izbor oblika (0) presudan, u smislu da od dobrog izbora zavisi da li će proces konvergirati ili ne. Recimo da treba rešiti jednačinu x 3 x = 0, za koju se grafički lako ustanovljava da ima koren u intervalu [, ]. Me - dutim, ako se ta jednačina napiše u obliku x = f(x) = x 3, 5

onda je f (x) = 3x i uslov b) očigledno nije ispunjen na intervalu [, ]. Stoga je podesno jednačinu napisati u obliku Sada je x = f(x) = 3 x +. f (x) = 3 (x + ) 3 te iteracioni niz (9) glasi u ovom slučaju i 3 (x + ) 3 < 3, x 0 =, x =, 444..., x =, 50989..., x 3 =, 597..., x 4 =, 54..., x 5 =, 534..., x 6 =, 537.... Približno rešenje jednačine (na tri tačne decimale) je x =, 5. Postoji čitav niz postupaka za iterativno rešenje jednačine (8), poznat kao Njutnova metoda. U svom najjednostavnijem obliku ta metoda se sastoji u biranju x 0 proizvoljno i konstruisanju niza x n pomoću relacije x n+ = x n F (x n), (n = 0,,,... ). () F (x n ) Ukoliko niz x n, definisan preko (), konvergira, onda sledi lim n F (x n ) = 0, tj. x n konvergira ka rešenju jednačine F (x) = 0. Geometrijski ovaj metod predstavlja aproksimaciju funkciju F u tački x n sa tangentom u toj tački, čija je jednačina y = F (x n ) + (x x n )F (x n ), a presek tangente sa x-osom je upravo x n. Stoga se ovaj metod naziva i metod tangente. Mada je gornja konstrukcija intuitivno veoma privlačna, ništa nam ne govori pod kojim uslovima niz x n iz () konvergira, niti kako se metod može poopštiti na sisteme jednačina. Može se pokazati da niz () konvergira ka (jednom) rešenju jednačine F (x) = 0 u intervalu [a, b] ako su ispunjeni sledeići uslovi: a) F (x) poseduje neprekidan drugi izvod u [a, b]; b) F (x) 0 u [a, b]; c) F (x) je ili pozitivno ili negativno za x [a, b]; 6

d) F (a)f (b) < 0; e) ako je c krajnja tačka [a, b] u kojoj je F (x) manje, tada je F (c) F (c) b a. Jedna od modifikacija Njutnovnog metoda je tzv. metoda sečice ili regula falsa. Tu se za rešavanje jednačine F (x) = 0 umesto () koristi niz x n+ = x n (x n x n )F (x n ) F (x n ) F (x n ). () Geometrijska interpretacija je da se sada mesto funkcije F aproksimira odgovarajućom sečicom. Tada je brzina konvergencije ka traženom rešenju ista kao i kod prve varijante Njutnove metode. Kao primer može se koristiti postupak za odre - divanje kvadratnog korena iz datog broja c > 0. Tu je F (x) = x c, i cilj je da se reši F (x) = 0, tj. da se odredi c. Njutnova metoda poprima oblik x n+ = x n F (x n) F (x n ) = ( x n + c ). x n Ovaj niz prilično brzo konvergira ka c i vrlo je jednostavan za praktična izračunavanja. Za c = 0, x 0 = 3 dobija se x 0 = 3 c/x 0 = 3, 3333333 x = 3, 667 c/x = 3, 746 x = 3, 6 c/x = 3, 6553 x 3 = 3, 67766 c/x 3 = 3, 67766. Otuda je x 4 = x 3 na sedam decimalnih mesta, pa se može uzeti da je približno 0 = 3, 6776. Sličan postupak se može napravitii za iteracioni niz koji konvergira ka kubnom korenu broja c (> 0). On glasi x n+ = ( x n + c ), 3 x n pri čemu postupak konvergira za proizvoljno pozitivno x 0, ali je konvergencija brža ukoliko se uzme da je x 0 bliže c /3, u šta se čitalac sâm može lako na primerima uveriti. Iterativni postupci za rešavanje jednačina mogu se primeniti i na rešavanje sistema jednačina. Uzmimo, jednostavnosti radi, sistem jednačina x = f(x, y), y = g(x, y), (3) gde su f i g funkcije od dve promenljive u nekoj podesnoj oblasti u xoy ravni. Iteracioni postupak se sastoji u tome da se uzme proizvoljna tačka (x 0, y 0 ) (u praksi je poželjno da 7

je ona što bliže tački koja je stvarno rešenje sistema (3)), a zatim se konstruiše niz tačaka (x n, y n ) gde je x n = f(x n, y n ), y n = g(x n, y n ), (n =,,... ). (4) Za konvergenciju ovako konstruisanog niza tačaka (x n, y n ) ka rešenju sistema (3) postoje uslovi slični onima koji su dati za slučaj iteracije na jednačini (0). U praksi niz (4) najčešće konvergira ako je ispunjen uslov max (x,y) R ( f x ) + ( ) f + y ( ) f <, z gde je R podesna oblast u kojoj se nalazi rešenje sistema (3). Postoji i Njutnova metoda za dve promenljive. Ona se sastoji u nalaženju rešenja sistema F (x, y) = 0, G(x, y) = 0, (5) gde F i G imaju neprekidne druge parcijalne izvode u nekom pravougaoniku R u xoy ravni, koji sadrži rešenje sistema (5). Njutnov iterativni postupak se sastoji u konstruisanju niza tačaka x n+ = f(x n, y n ), y n+ = g(x n, y n ), (n = 0,,,... ) (6) gde je (x 0, y 0 ) proizvoljna tačka, a f(x, y) = x + δ(x, y), g(x, y) = y + ε(x, y), δ(x, y) = G F F x F G y y G F y y G x, ε(x, y) = F G G F x x F x G F y y U praksi se obično konstruiše niz (6), i ukoliko on konvergira (tj. u praksi ukoliko se odre - deni broj decimala brojeva x n i y n stalno ponavlja), onda (x n, y n ) teži ka rešenju sistema (5). Kao primer, recimo da imamo sistem F (x, y) = x 0, 7 sin x 0, cos y = 0 G(x, y) = y 0, 7 cos x + 0, sin y = 0. Polazeći od (x 0, y 0 ) = (0, 0) i konstruišući niz (6) nalazi se: n x n y n 0, 66667 0, 58333 0, 5364 0, 50884 3 0, 5656 0, 50793 4 0, 565 0, 5079 5 0, 565 0, 5079. G x. 8

Kako se decimalni zapisi (x 4, y 4 ) i (x 5, y 5 ) poklapaju, može se smatrati da je približno rešenje pomenutog sistema x = 0, 565, y = 0, 5079. Iterativne metode se mogu koristiti i za rešavanje sistema linearnih jednačina. Sistem od n jednačina sa n nepoznatih može se svesti na oblik x = β + α x + α x + + α n x n, x = β + α x + α x + + α n x n,....... x n = β n + α n x + α n x + + α nn x n, (7) gde su x,..., x n nepoznate, a β,..., β n, α,..., α nn dati brojevi ili koeficijenti. U matematičkom obliku ovaj sistem se može zapisati kao x = β + αx, gde je α α... α n β α α... α n α =....., β = β.., x = α n α n... α nn β n x x.. x n Za prvu aproksimaciju (u matričnom obliku) se uzima x (0) = β, a dalje x (k) = β + αx (k ), (k =,,... ). Ako postoji x = lim k x (k), onda će to biti (jedinstveno) rešenje sistema (7). Ako su ispunjeni uslovi ili n α ij <, (i =,,..., n), (8) j= n α ij <, (j =,,..., n), (9) i= onda će niz x (k), konstruisan na gore opisan način, konvergirati ka rešenju sistema (7) i to nezavisno od početne aproksimacije x (0) = β. Ako je determinanta sistema (7) različita od nula, onda se pomoću linearnog kombinovanja početnog sistema (7) može zameniti ekvivalentnim sistemom istog tipa tako da (8) ili (9) bude ispunjeno te se iteracija može uspešno primeniti. 9

Postoji i varijacija ove metode koja se naziva Zajdelova (Seidel) metoda. Ako je dat sistem (7), onda se po toj metodi niz x (k) konstruiše na sledeći način. Početna veličina x (0) se bira proizvoljno, ako je x (k) poznato onda se x (k+) odre - duje preko relacije: x (k+) = β + n j= α j x (k) j, x (k+) = β + n j= α j x (k) j... x (k+) i = β i + i j= α ij x (k+) j... x (k+) n = β n + n j= α nj x (k+) j +α x (k+),. + n j=i α ij x (k),. +α nn x (k) n. Ukoliko konvergira ka rešenju sistema (7), onda niz obično konvergira brže nego malopre - dašni niz, dat preko formule x (k) = β + αx (k ). Primer 4. Rešiti iteracijom sistem linearnih jednačina 4x + 3y + 3z = 9 5x + y z = 4 x + 4y z = 3. Gornji sistem nije podesan za direktnu primenu iteracionog postupka. jednačine oduzme treća, onda se dobija ekvivalentan sistem Ako se od prve Ovaj sistem se onda može napisati u obliku 5x + y z = 4 x + 4y z = 3 3x y + 5z = 6. x = 0, 8 0, y + 0, z y = 0, 75 0, 5x + 0, 5z z = 3, 0, 6x + 0, 8y. Poslednji sistema je podesan za iteraciju, a može se uzeti da je Onda se nalazi da je (približno) (x 0, y 0, z 0 ) = (0, 8, 0, 75, 3, ). (x 3, y 3, z 3 ) = (0, 9989,, 94, 3, 0006). Ovo je već sasvim blizu pravom rešenju x =, y =, z = 3 koje sa lako dobija tačnim rešavanjem gornjeg sistema, recimo Gausovim postupkom. Izborom (x 0, y 0, z 0 ) koji je bliži stvarnim rešenjem dobija se iteracioni niz koji brž e konvergira. 30

.4. Približno rešavanje diferencijalnih jednačina Opšta diferencijalna jednačina prvog reda glasi y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, (30) pri čemu je f(x, y) data neprekidna funkcija dve promenljive u nekoj zatvorenoj oblasti x 0 a x x 0 + a, y 0 b y y 0 + b. Uslov y(x 0 ) = y 0 se naziva početni uslov i u praksi obično proizilazi iz prirode problema, koji se opisuje jednačinom (30). U slučju kada je f(x, y) M u pomenutoj oblasti kao i f(x, y ) f(x, y ) L y y za neko L > 0 (tzv. Lipšicov uslov), tada jednačina (30) ima jedinstveno reševnje y = ϕ(x), definisano i neprekidno za x 0 h x x 0 + h, h = min(a, b ). Ovo je sadržina poznate M Koši-Pikarove teoreme (Cauchy-Picard), koja rešenje daje u konstruktivnom obliku y n = y 0 + x x 0 f(t, y n ) dt, (n =,,..., ). (3) Niz y n = y n (x) je niz funkcija koji uniformno konvergira ka rešenju diferencijalne jednačine (30), te se može iskoristiti za efektivno nalaženje tačnog ili približnog rešenje, ako se vrši aproksimacija y y n, za neko podesno n. Ovde se, me - dutim, javljaju dva problema. Niz (3) se izračunava pomoću uzastopnih integracija, koje mogu biti veoma komplikovane, a osim toga konvergencija ka rešenju jednačine (30) može biti veoma spora. Stoga su se osim ove metode razvile još mnoge druge za približno rešavanje diferencijalne jednačine (30), kao i drugih složenijih jednačina. Ovde će biti samo pregled nekoliko postupaka za približno rešavanje diferencijalne jednačine (30). Jedan od načina približnog rešavanja jednačine (30) je da se rešenje traži u obliku stepenog reda y = y 0 + a x + a x + + a n x n + (3) i da se formalno odrede koeficijenti a n iz uslova jednačine. Potom se ispituje konvergencija dobivenog reda i za približno rešenje uzima njihovih prvih n čvorova. Recimo da se posmatra jednačina (30) sa f(x, y) = xy, koja ima tačno rešenje x y = y 0 e x x + e 0 e t dt, (33) koje nije praktično, jer integral (33) nije elementarna funkcija. Diferenciranjem reda (3) 3

iz uslova jednačine dobija se da je a 0 = y 0 a 4 = y 0 4, a = a 4 = 3 5, te je a = y 0 a 3 = 3 a 6 = y 0 4 6, a 7 = 3 5 7,..., ( ) y = y 0 + x + x4 4 + x6 4 6 + + ( ) + x + x3 3 + x5 3 5 + x7 3 5 7 +. Ovaj red predtavlja tačno rešenje jednačine. On konvergira za svako x, a suma njegovih prvih n članova predstavlja jedno približno rešenje diferencijalne jednačine y = xy +. Druga približna metoda, koja nosi naziv Ojler-Košijeva metoda (Euler-Cauchy), daje približno rešenje jednačine (30) u intervalu [x 0, a], koji je podeljen na n jednakih delova dužine h, tako da je x 0 + nh = a, i x n = x 0 + (n )h. Ako je y n vrednost tačnog rešenja jednačine (30) u tački x n, onda se Ojler-Košijevom metodom dobija približno y n+ = y n + hf ( x n + h, y n + h f(x n, y n ) Pri istoj podeli intervala [x 0, a] kao i malopre, približna rešenja jednačine (30) mogu se dobiti i metodom Runge-Kuta. Tada je približno gde je y n+ = y n + 6 [k + (k + k 3 ) + k 4 ], k = hf(x ( n, y n ), k = hf x n + h, y n + k ), ( k 3 = hf x n + h, y n + k ), k 4 = hf(x n + h, y n + k 3 ). Ova metoda, u opštem slučaju, daje veću tačnost rešenja od Ojler-Košijeve metode. 3 ).

U praksi se često koristi tzv. Adamsova metoda za približno rešavanje jednačine (30). Ta metoda daje y n+ preko formule y n+ = y n + h 4 [55f(x n, y n ) 59f(x n, y n )+ +37f(x n, y n ) 9f(x n 3, y n 3 )]. Na osnovu ove formule vidi se da je za izračunavanje y n+ potrebno znati četiri prethodne vrednosti y. U praksi se to svodi na to da je potrebno znati y, y, y 3, jer je y 0 = y(x 0 ) po pretpostavci poznato. Za odredivanje - y, y, y 3 može se koristiti Ojler-Košijeva ili Runge-Kuta metoda. Parcijalne diferencijalne jednačine Parcijalne diferencijalne jednačine drugog reda sa dve promenljive su jednačine gde se javljaju parcijalni izvodi drugog reda od nepoznate funkcije u = u(x, y). Opšti slučaj takve jednačine drugog reda glasi gde su F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy ) = 0, (34) u x = u x, u y = u y, u xy = u x y u xx = u x u yy = u y, parcijalni izvodi prvog, odnosno drugog reda od u = u(x, y). Svaka funkcija u = u(x, y) koja zadovoljava (34) zove se rešenje parcijalne diferencijalne jednačine. Važan slučaj jednačine (34) je tzv. linearna parcijalna jednačina drugog reda, koja glasi (35) A u x + B u x y + C u y + a u x + b u + cu = F (x, y), (36) y gde su A = A(x, y), B = B(x, y), C = C(x, y), a = a(x, y), b = b(x, y), c = c(x, y) i F = F (x, y) poznate funkcije. Kaže se da je jednačina (36) u nekoj oblasti G u xoy ravni a) eliptična, ako je D = AC B > 0 za (x, y) G, b) parabolična, ako je D = AC B = 0 za (x, y) G, c) hiperbolična, ako je D = AC B < 0 za (x, y) G, d) mešovitog tipa, ako je D = AC B promenljivog znaka za (x, y) G. Grafički rešenje jednačine (34) ili (36) predstavlja površ (v. sliku 8.) u prostoru, koja je definisana u nekoj dvodimenzionalnoj oblasti G u zoy ravni. Obično se u problemima osim same parcijalne diferencijalne jednačine kao poznati javljaju još neki uslovi vezani za u = u(x, y) u oblasti G. To su najčešće: 33

a) početni uslovi Košijevog tipa, ako se zna da je za date funkcije f (x), f (x) i b) granični uslovi u(x, y 0 ) = f (x), u(x 0, y) = F (y), u y (x, y 0) = f (x) u(x, y) = F (y) gde su F (y), F (y) zadate funkcije, a x 0 i x granične tačke promenljive x u odnosu na G.. Pojedini primeri parcijalnih diferencijalnih jednačina Jednačina (36) za A = C =, B = a = b = c = F = 0 glasi u x + u y = 0 (37) i zove se Lapalasova diferencijalna jednačina, koja je eliptična, jer je D = AC B =. Od uslova datih za funkciju u = u(x, y) u oblasti G razlikuju se: a) Dirihleov granični problem, ako se osim (37) zahteva i u(0, y) = g (y), u(x, 0) = f (y), u(l, y) = g (y), u(x, L) = f (x), gde su f, f, g i g date funkcije jedne promenljive. Drugim rečima, poznate su vrednosti funkcije i na stranicama peravougaonika u xoy ravni sa temenima (0, 0), (0, L), (L, 0) i (L, L). b) Nojmanov granični problem, ako se osim (37) zahteva i u(0, y) = α (y), x u(x, 0) = β (x), y u(l, y) = α (y), x u(x, L) = β (x), y gde su α, α, β i β date funkcije jedne promenljive. Drugim rečima, poznate su vrednosti prvih parcijalnih izvoda funkcije i na stranicama peravougaonika u xoy ravni sa temenima (0, 0), (0, L), (L, 0) i (L, L). c) Problem mešovitog tipa, ako se osim (37) zahteva i a u x + a u = a 3, b u y + b u = b 3 za date brojeve a, a,..., b 3 na rubu oblasti G (u posebnom slučaju na stranicama pravougaonika kao u Dirihleovom ili Nojmanovom problemu). 34

Jednačina u y = u a (a poznat broj) (38) x je parabolična jednačina tipa (36) i naziva se jednačina provo - denja toplote. Jednačina u y = u a (a poznat broj) (39) x je hiperbolična jednačina tipa (36) i naziva se jednačina treperenja žice. Egzaktno (tačno) rešenje parcijalne diferencijalne jednačine je u odre - denim slučajevima moguće, no u praksi se vrlo često uspešno koriste razne približne metode. Ovde će biti izložena jedna od tih čestih metoda, koja se zove metoda konačnih razlika.. Konačne razlike U praksi se koristi nekoliko tipova konačnih razlika (za razliku od izvoda, gde se javljaju beskonačno male razlike, tj. granični procesi, ove razlike ne teže nuli i otuda i naziv konačne razlike). To su (delta), (nabla) i p, koje se definišu kao: f(x) = f(x + h) f(x), (operator za razliku unapred) (40) f(x) = f(x) f(x h), (operator za razliku unazad) (4) ( ) ( ) pf(x) = f x + h f x h, (operator centralne razlike). (4) Tako - de je korisno simbolički uvesti operator D, kao operator izvoda Df(x) = f (x) = df(x) dx. (43) Čest slučaj u praksi je kada je x dato preko niza brojeva x n = x 0 + nh (h > 0, n = 0,,,... ). Ako se označi onda važi f n = f(x n ) = f(x 0 + nh), (44) f n = f n+ f n, f n = f n f n. (45) Operatori razlike i izvoda se mogu uzastopce više puta primenjivati, te se tako druge razlike definišu kao f(x) = ( f(x)) = (f(x + h) f(x)) = f(x + h) f(x + h) + f(x), f(x) = ( f(x)) = (f(x) f(x h)) = f(x) f(x h) + f(x h), ( ( ) ( )) p f(x) = p(pf(x)) = p f x + h f x h = f(x + h) f(x) + f(x h). 35