O V V Ime i prezime: Index br:..05.. IZVIJANJE GREDE U ELASIČNOJ OBLASI. EULER-OVI SLUČAJEVI IZVIJANJA EI π (.76) o μ (.77) o abea. Napomena: ako su usovi osanjanja na ajevima grede razičiti u pravcima gavnih osa, onda treba odrediti vrednosti itične sie za obe gavne ravni, a merodavna je ona sia koja je manja: min {, } z EI EI π, z π (.78) z z μ, μ. (.79) z z.5 DIENZIONISANJE GREDE REA IZVIJANJU eastična obast izvijanja E σ π (.8) λ Euer-ova hiperboa pastična obast izvijanja σ σ o σ λ (.85) etmajer-ova prava σ σ K (.86) o λ (.8) i I i (.8) A Sika.6
O V V Ime i prezime: Index br:..05.. IZVIJANJE GREDNOG NOSAČA IZVIJANJE GREDNOG NOSAČA RIERI RIER. Za sobodno osonjen štap poprečnog preseka prema skici, odrediti itičnu siu izvijanja. Ispitati da i je izvijanje u pastičnoj ii eastičnoj obasti. E 0 Ga σ 7,5 a σ 9-0.9λ [a] I min I odnosno
O V V Ime i prezime: Index br:..05. U ovom zadatku posmatranjem poprečnog preseka i zadatih osa zakjučuje se da zadate ose, z gavne centrane ose ( ) I I z I z 5 cm 5 70 cm O 5 50 cm I min 5 + 70 5 70 I ) ( + 50 9 cm Ako se na osnovu postavke zadatka ii na osnovu zadatih podataka ne može direktno zakjučiti da i je izvijanje u eastičnoj ii pastičnoj obasti, uobičajeno je da se do toga u kojoj se obasti dešava izvijanje doazi upoređenjem vrednosti itičnih napona za ove dve obasti i vrednosti σ. Da bi se odredia vrednost vitkosti treba odrediti i sobodnu dužinu izvijanja : F 90 cm i min.8 cm imin 0 Sobodna dužina izvijanja određuje se na osnovu usova osanjanja λ 9.7 0 m vrednosti itič;nih napona: σ σ 0 0 6. 7 0 a 9. 7 E π 9 0. 9λ 9 0. 9 9. 7. a σ 7.5 a. 7 a erodavna vrednost koja određuje i u kojoj obasti je izvijanje je minimana od prethodne trivrednosti što je zakjučeno ratmatranjem dijagrama λ, σ E σ. 7 σ min σ min. 7. 5 σ Izvijanje je u pastičnoj obasti.. a Kada je određen merodavni itični napon određuje se itična sia (sučaj aksijanog naprezanja) σ F 00. 8 0 N 00. 8
O V V Ime i prezime: Index br:..05. RIER. Za štap prikazan na skici, odrediti itičnu siu izvijanja. E 00 Ga σ 00 a σ 0.λ [a] U zadacima ovog tipa zadati su razičiti usovi osanjanja u pravcima gavnih osa. otrebno je ispitati izvijanje oko obe zadate gavne ose. ri izvijanju oko ose izvijanje se dešava u ravni i na osnovu usova osanjanja u toj ravni definiše se o kom od četiri, u teoriji razmatrana sučaja izvijanja, se radi u toj ravni. ri izvijanju oko ose z izvijanje se dešava u ravni i na osnovu usova osanjanja u toj ravni definiše se o kom od četiri, u teoriji razmatrana sučaja izvijanja, se radi u toj ravni. z 5 9 cm 0 50 5 0 5. + I + + 50 5 + 5 0 9095. cm I z + 6687. 5 cm izvijanje oko ose : izvijanje oko ose z: i.56 m iz.5 m 9095. 6687. 5 i. 59 cm i z. 7cm 00 00 λ 8.09 λ. 5 z
O V V Ime i prezime: Index br: 5..05. λ 8.09 max (u ravni x ) σ 50. 6 a 78. 9 a min 00 a a F 00. 8 0 N 000 kn σ RIER. Odrediti da i je za sigurnost na izvijanje štapova datog sistema nepovojnije ako data spojašnja sia ima prikazani smer ii smer koji je suprotan od prikazanog. Za nepovojniji sučaj odrediti najveću vrednost sie pri kojoj je koeficijent sigurnosti na izvijanje n s. E 0 Ga σ 0 a σ 0.λ [a] Kritična sia izvijanja je aksijana sia pri kojoj doazi do izvijanja pritisnutog štapa. Veća itična sia znači da štap može da prihvati siu. Sigurnost na izvijanje nekog aksijano pritisnutog štapa definiše se preko koeficijenta sigurnosti na izvijanje n. n ii n gde N ii S predstavja normanu siu u štapu od zadatog opterećenja što znači da koeficijent sigurnosti na izvijanje zavisi i od itične sie štapa i od normane sie. Veći koeficijent sigurnosti na izvijanje je povojniji po eemenat, manji je nepovojniji U sučaju sistema eemenata (kao u datom primeru) svaki eement u opštem sučaju prima razičitu normanu siu. ogu da se izviju samo štapovi. Ispitivanje na izvijanje štapova u zadacima na ispitima ii kookvijumima bez obzira na pojedine tačno određene eemente u zadatku dovodi do 0 poena u tom zadatku i eventuano dodatnih negativnih poena za ceo ispit ii kookvijum i (ukoiko se uvede preiminarni ispit za one studente kod kojih se na pismenom ispitu uoči drasticno nepoznavanje osnovnih eemenata iz Otpornosti materijaa ii ehanike ) i upućivanje na preiminarni - kvaifikacioni ispit pre sedećeg pismenog ispita
O V V Ime i prezime: Index br: 6..05. U primerima iz Otpornosti materijaa za sisteme štapova koji eže u ravni smatraće se da čvorovi ne mogu da se pomeraju upravno na ravan sistema i treba zakjučivati o kom se sučaju izvijanja radi na osnovu usova po pomeranjima čvorova u datoj ravni. Kod rešetke gde su ajevi štapovi zgobno vezani za svaki od štapova se smatra da se izvija kao Euer-ov sučaj, pa se uzima odgovarajuća dužina izvijanja. U sedećem zadatku se razmatra sučaj sistema gde za pritisnute štapove treba odrediti kom sučaju izvijanja su izoženi. itanje: ukoiko dva eementa imaju istu itičnu siu, a treba da prime razičite normane sie veći koeficijent sigurnosti je veći kod eementa koji prima vecu ii manju normanu siu? Odgovor: itanje: ukoiko dva eementa imaju razičite itične sie, a treba da prime iste normane sie veći koeficijent sigurnosti je veći kod eementa koji ima veću ii manju itičnu siu? Odgovor: itanje: ukoiko više eemenata imaju razičite itične sie, a treba da prime razičite normane sie ukoiko postoji eemenat koji ima najveću itičnu siu i prima najmanju normanu siu on ima najveći ii najmanji koeficijent sigurnosti? Odgovor: itanje: ukoiko više eemenata imaju razčite itične sie, a treba da prime razičite normane sie ukoiko postoji eemenat koji ima najmanju itičnu siu i prima najveću normanu siu on ima najveći ii najmanji koeficijent sigurnosti? Odgovor: --. Ukoiko primenom ovakve anaize može da se dođe do odgovora na postavjeno pitanje u nekom zadatku, nije neophodno do aja sprovesti proračun.. U suprotnom, treba izraziti koeficijent sigurnosti u funkciji zadatih podataka i poređenjem brojnih vrednosti izvesti zakjjučak. a) Za sučaj kada sia deuje u desno (sučaj A) određuju se prvo sie koje primaju pojedini štapovi - njihove normane sie.m.5m.m
O V V Ime i prezime: Index br: 7..05. tg α α.69 sin α 0.557 cos α 0.8 tg β β.8 sin β 0.7 cos β 0. 985 o 0 0 S S sinα sinβ sinα cosβ S cosα + S sinβ S cos α + sin α cos sin β β S S 0. 507 S S 0. 67 S 0. 650 0 -ako sia deuje na desno: -ako sia deuje na evo: S 0. 507 (+) S 0. 67 (-) S 0. 650 (+) S 0. 507 S 0. 67 S 0. 650 -određivanje itične sie izvijanja za štapove,: I (-) (+) (-) cm F 5 cm I z ( ) 87 cm I z [ ] 79 cm
O V V Ime i prezime: Index br: 8..05. + 87 87 I min ( ) + 79 7. 65 cm E E 0 0 0 m σ, π. 60. a λ 85. 67 i min.6 cm σ 0. λ 0. 85. 67 99. a λ 85 67 σ 0 a. σ F.5 kn -određivanje itične sie izvijanja za štap : I min cm F 8 6 08 cm 0 i min. 7 cm 0. m λ 8. 97 08. 7 E E 0 0 σ, π. 60. 58 a λ 8. 97 6 σ F 60. 58 0 08 0 65. 6 kn U prethodnom smo dobii da su sie u štapovima (normane sie) A:ako sia deuje na desno: B:ako sia deuje na evo: S 0. 507 (+) S 0. 67 (-) S 0. 650 (+) S 0. 507 S 0. 67 S 0. 650 (-) (+) (-) o znači da ukoiko sia deuje na desno jedino je pritisnut štap, ako sia deuje na evo pritisnuti štapovi su koeficijent sigurnosti na izvijanje štapa je n S 0. 67 koeficijent sigurnosti na izvijanje štapa je n S 0. 507 Ukoiko uporedimo koeficijent sigurnosti štapa (sučaj A) i samo koeficijent sigurnosti štapa (sučaj_b) sučaj je nepovojniji. koeficijent sigurnosti na izvijanje štapa je n S 65. 6 0. 650 Ukoiko uporedimo koeficijent sigurnosti štapa (sučaj A) i samo koeficijent sigurnosti štapa (sučaj B) sučaj je nepovojniji. Na osnovu prethodnog razmatranja zakjučujemo konačno da je sučaj nepovojniji.
O V V Ime i prezime: Index br: 9..05. akodje samo posmatrajući izraze za n i n koji pripadaju sučaju B koeficijent sigurnosti biti od n i da će za sučaj B. n Umesto ovakvog detajnog zakjučivanja mogi smo da izrazimo koefijente sigurnosti na izvijanje (pri tome opet uzimajući u obzir da se sučaj izvijanja štapa razmatra samo kada sia deuje na desno, a sučaj izvijanja štapova i samo kada sia deuje na evo) 8. 5 n S 0. 67 n n 78. 88 S 0. 507 S 65. 6 0. 650 06. 8 Direktnim uporedjivanjem sve tri vrednosti uočavamo da je pri istoj proizvojnoj vrednosti sie uvek koeficijent sigurnosti koji odgovara sučaju A (za štap ) od koeficijenata sigurnosti za sučaj B (za štapove i ). rema tome nepovojniji je sučaj kada sia deuje u jer je sigurnost na izvijanje nego u suprotnom sučaju. b) Za nepovojniji sučaj (sučaj A) kada sia deuje udesno određivanje sie za koeficijent sigurnosti n s : n S 60.5 kn sia mora biti manja od 60.5 kn kako bi faktor sigurnosti bio veći od. RIER. Odrediti odnos αi / I iz usova da je kojeficijent sigurnosti na izvijanje u eastičnoj obasti za štapove AD i BE isti. Zadato je a,e,i.
O V V Ime i prezime: Index br: 0..05. (osto je u usovu zadatka definisano da se isptuje izvijanje u eastičnoj obasti moguće je direktno koristiti izraz za eastičnu itičnu siu) koeficijenti sigurnosti za štapove AD i BE:, π EI π EI n 6a 8a, π EI π EI n a 8a Usov zadatka je π EI π EI n n 8a 8a odake sedi I α I Sistem se rastavja na eemente, definišu se usovi po pomeranjima na ajevima pritisnutih eemenata i iz usova ravnoteže određuju vrednosti sia veze koje daju normane sie u štapovima AD i BE. Na osnovu veza uočava se da je štap AD a štap BE trećem sučaju izvijanja. i, π EI, π 6a i, π EI, π a RIER 5. (RIER. na stranama - knjige OORNOS AERIJALA (B.Deretić-Stojanović, Š. Dunica) Za dati stub na s...: a) Odrediti odstojanje b tako da koeficijent sigurnosti na izvijanje oko obe ose bude isti.za tako određenu veičinu b: b) Odrediti vrednost itične sie. c) Da i će se i za koiko promeniti vrednost itične sie ako se u tački B dopusti obrtanje i oko ose z? d) Da i će se i za koiko promeniti vrednost itične sie ako se u tački B spreči obrtanje i oko ose Dato je: E0 Ga, σ 0 a, σ 0, 9λ ( a ).
O V V Ime i prezime: Index br:..05.
O V V Ime i prezime: Index br:..05. RIER 6. (RIER. na stranama -5 knjige OORNOS AERIJALA (B.Deretić-Stojanović, Š. Dunica) Odrediti vrednost sie koju dati sistem (s....a) može da nosi sa koeficijentom sigurnosti na izvijanje γ i. oprečni preseci štapova su isti (s....b). Dato je: σ a, E Ga. σ 0, λ [ a],
O V V Ime i prezime: Index br:..05. 5. ELASO-LASIČNA ANALIZA GREDE 5. ELASO-LASIČNA ANALIZA AKSIJALNO NAREGNUE GREDE Sika 5. N σ A (5.) granična (maksimana) sia 5. ČISO RAVO ELASO-LASIČNO SAVIJANJE GREDE 5. ELASO-LASIČNO SAVIJANJE GREDE SILAA Sika 5.5 W σ (5. 5) moment savijanja na pragu tečenja W σ (5.8) granični moment savijanja W S + S A d + Ad Ad (5.7) pastični otporni moment W σ W σ f (5.9) koeficijent obika poprečnog preseka pri savijanju 5.5 RIENA RINCIA VIRUALNIH OERANJA k i m i δξ i i, j δϕ j (5.56) 5.6 GRANIČNA NOSIVOS KOD SAIČKI ODREĐENIH NOSAČA N max,max N σ A σ W (5.58) (5.59)
O V V Ime i prezime: Index br:..05. 5. ELASO LASIČNA ANALIZA GREDE ELASO LASIČNA ANALIZA GREDE RIERI RIER. Za preseke prikazane na skici odrediti vrednost graničnog momenta savijanja. REŠENJE. σ bh σ 6 f. 5 W σ σ R σ W σ W t t σ
O V V Ime i prezime: Index br: 5..05. + 6 cm W + + 0 cm σ 0 σ W h a a h a a A a a h A a a Za a 0 cm a 0 h 7. cm h. 55 cm h 5. 77 cm a 6 0 6 h. 5 cm a 0 a. 5 cm a h a h a 6 S p.5 5.07.55 +.95 5.07.8 +.5.5.08 585.9 cm S p σ 585. 9 σ a h 0 7. I 886.5 cm 6 6 I 886.5 zmax h. 55 cm σ σ 9. 9 σ zmax.55 585.9 σ f. 9.9 σ
O V V Ime i prezime: Index br: 6..05. RIER. Za nosač prikazan na skici, odrediti opterećenje na pragu tečenja q i granično opeterećenje q. REŠENJE. U sučaju kada u sistemu postoje eementi kod kojih dostizanje traženih karakterističnih vrednosti može da se ostvari pri aksijanom naprezanju i eementi kod koji se to ostvaruje pri savijanju moraju se R q mesto maksimane vrednosti momenta na desnom deu - usov (posmatrano sa desne strane) i ta vrednost max ± 0. 8 q 0. q Određivanje opterećenja na pragu tečenja i graničnog opeterećenja za gredni deo na mestu apsouno najvećeg momenta savijanja. 6 0 0 0 0 6 8 kn 8 knm max q q 6. 5 m 6 6 0 0 0 0 9 knm max q q 9 70. 7. 5 kn m Određivanje opterećenja na pragu tečenja i graničnog opeterećenja za prost štap: N N 06 kn N N N max q q 06 0. 5 kn m Konačno, upoređenjem prethodnih vrednosti
O V V Ime i prezime: Index br: 7..05. kn q m m {, 0. 5} m {. 7, 0. 5} q 70 70. 7 RIER. Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja za nosač sa sike. Dato je, R, σ. kn m REŠENJE. a)direktna metoda dijagram momenata W σ R σ b) Korišćenje principa virtuanih pomeranja:,max R σ 8 8 R 9 σ naazi se tražena vrednost 8 RIER. (RIER 5. na stranama 6-7 knjige OORNOS AERIJALA (B.Deretić-Stojanović, Š. Dunica) Odrediti graničnu siu nosača na s..5..a. Dato je: m, σ 0 a.
O V V Ime i prezime: Index br: 8..05. (isti statički sistem kao u prethodnom RIERU, drugačiji poprečni presek) RIER 5. Odrediti graničnu vrednost parametra opterećenja za nosač sa sike. Dato je i. REŠENJE. I način: direkt na metoda (metoda korak po korak) 5 max 9 5 9 max 9 5 II način: primena principa virtuanih pomeranja ehanizam : δϕ δϕ + 5 δϕ δϕ 9 5 ehanizam : δϕ δϕ δϕ δϕ δϕ + δϕ ( δϕ + δϕ ) 9 δϕ δϕ Ostvariće se mehanizam za koji je potrebna vrednost parametra opterećenja (kada se ostvari mehanizam za koji je dovojna sia dostignuta je granična nosivost i nosač ne mođe više da prihvata spojašnje opterećenje) 9 9 9 Konačno: min {, } min, 5 5