Ekonomeijska analiza vemenskih seija Deo II (8) Osnovne sudije Pedavač: Aleksanda Nojković
Ocenjivanje paameaa ARMA modela Sukua pedavanja: - Pimena meoda ONK u ocenjivanju paameaa AR modela - Pimena meoda ONK u ocenjivanju paameaa MA i ARMA modela - Meod NNK - Meode numeičke opimizacije (meod MV) - Meod momenaa
Opša ideja meoda numeičke opimizacije Za odeđivanje paamei u nelineanim specifikacijama najčešće se pimenjuju meode numeičke opimizacije. Ieaivna pocedua koja se sasoji od sledećih koaka:. Izbo inicijalnih vednosi za nepoznae paamee. Obazovanje niza poboljšanih ocena 3. Zavšeak pocedue kada je dalje unapeđenje zanemaljivo malo.
Opša ideja meoda numeičke opimizacije (II) Najčešće se pimenjuje Newon Raphson-ov meod opimizacije. Poebno je naći minimalnu vednos nelineane funkcije f(θ). Neka je θ m vednos za koju daa funkcija dosiže eksemnu vednos. Dau funkciju svodimo na lineanu koišćenjem Tejloovog azvoja u ed (azvoj dugog eda u okolini θ m ): f ' m m 0 f f f f f. m m '' m m m '' m
Opša ideja meoda numeičke opimizacije (III) Iz uslova izjednačavanja pvog uslova sa nulom odeđujemo ocenu θ m : ' ' ' '' f f f m m f m 0 m f '' 0 Odgovaajućom ieaivnom šemom sugeiše se izvođenje ocene θ j u j-oj ieaciji kao: m j (j) f ' (j) f '' (j ) gde je θ (j-) ocena iz pehodne (j-) ieacije. Za konačnu ocenu biamo ocenu θ m, koja se ne azlikuje značajno od ocene u pehodnoj ieaciji.
Gafički pikaz Newon-Raphson-ovog meoda opimizacije
Opša ideja meoda numeičke opimizacije (IV) Ako azmaamo funkciju više nepoznaih paameaa f(θ), obuhvaćene vekoom Θ, ada je odgovaajući azvoj Tejloovog eda (ažene ocene su sadžane u Θ m ) : f ' f ' g ' H. m m Sa g(θ) je označen veko pvih izvoda (veko gadijenaa), a sa H(Θ) maica dugih izvoda (Hesijanova maica). Najčešće se koise Makaov (eng. Maquad) algoiam i BHHH algoiam (engl. Bend, Hall, Hall, Hausman) algoiam. m m m
Meod maksimalne veodosojnosi Koisi se za ocene ARMA modela. Uz peposavku da je geška modela Gausov beli šum, meod MV obezbeđuje konzisenne ocene koje asimposki poseduju nomalnu aspodelu. Meodom uslovne MV uzima se u obzi ezidualna suma kvadaa koja se fomia pema efekivnog skupa podaaka. Ako imamo T podaaka i ocenjujemo (p+q) paameaa ARMA modela. Efekivni uzoak (T-max(p,q)), a boj sepeni slobode (T-max(p,q) p- q).
Meod maksimalne veodosojnosi (II) Tačan meod MV (meod bezuslovne MV) zasniva se na analizi aspoloživih T podaaka. Imajući u vidu da je i boj sepeni slobode T, neophodno je ekonsuisai počene vednosi slučajnih gešaka e 0, e-,, e- +q, i počene vednosi opsevacija 0, -,, -+q, kako ne bi došlo do gubika u boju sepeni slobode pilikom ocena q i p paameaa. Odeđivanje počenih vednosi može se osvaii na dva načina:. Inicijalna vednos sl. gešaka se izjednačava sa nulom. Dok se inicijalne vednosi opsevacija vemenske seije izjednačava sa aimeičkom sedinom (meod MV se svodi na meod NNK pod uslovom da je geška Gausov beli šum).. Nepoznae inicijalne vednosi ocenjuju se na osnovu posupka pognozianja unazad (engl. backfoecasig ili backcasing).
Meod momenaa Najčešće se koisi za dobijanje počenih ocena ARMA modela. Osnovni posupak meoda momenaa:. Usposavlja se veza između eoijskih momenaa i paameaa modela.. Ocene momenaa iz uzoka se izjednačavaju sa eoijskim momenima. 3. Izjednačavaju se ocene momenaa sa eoijskim momenima, koje su funkcija paameaa nepoznai paamei se zamenjuju ocenama.
Posupak ocenjivanja nepoznaih paameaa ) Teoijski momeni = funkcija (nepoznai paamei modela) ) Ocena momenaa = eoijski momeni 3) Ocene momenaa = funkcija (ocena paameaa modela).
Ocena sednje vednosi i vaijanse vemenske seije Na osnovu podaaka,,, T eba ocenii paamee sledećeg ARMA modela: p q e e L L... p L L L q L..., : N0,. Ocena sednje vednosi dobija se pema aimeičkoj sedini: Ocena vaijanse dobija se kao: 0 s
Ocene AR() modela meodom momenaa Model oblika: e, pi čemu su nepoznai paamei, i. U AR () modelu važi: k k, odnosno. Na osnovu ocenjene vednosi aim. sedine možemo dobii ocenu običnog auokoelacionog koeficijena: Ovu ocenu označićemo sa..
Ocene AR() modela meodom momenaa (II) Na osnovu oga dobijamo ocene paamea Φ :
Ocene AR() modela meodom momenaa (III) Poebno je još da ocenimo i vaijansu slučajne geške modela δ :. s s va va s va
Ocene AR() modela meodom momenaa Model oblika:... p p e sa nepoznaim paameima, i,,..., p. Ocene auoegesionih paameaa dobijaju se iz veze: k k k
Ocene AR() modela meodom momenaa (II) Peciznije, paamee Ф i Ф dobijamo iz elacija: 3,, k, k
Ocene AR() modela meodom momenaa (III) Ocena vaijanse AR() modela je:. s s va va s va
Ocene AR(p) modela meodom momenaa Model oblika:... p p e sa nepoznaim paameima, i,,..., p. Ocene auoegesionih paameaa dobijaju se iz Yule- Walke-ovog sisema jednačina: p... p... p............ p p... p
Ocene AR(p) modela meodom momenaa (II) Pi ome, ocene auokoelacionih koeficijenaa se ačunaju kao: k k k k,k,,...,t Ocene vaijanse je: s... p p Pimenom ove meode dobijaju se jednoznačne ocene paameaa AR(p) modela, šo nije slučaj sa klasom MA i ARMA modela.
Ocene MA() modela meodom momenaa Model oblika: sa nepoznaim paameima Usposavljamo sledeći niz jednakosi: Time dolazimo do ocene koja je iz skupa ealnih bojeva ako je ocena, po modulu sogo manja od 0.5., e e. i, 4 II I / 0
Ocene MA() modela meodom momenaa (II) Paamei μ i δ se dobijaju na već objašnjen način. Pi ome, ocena vaijanse slučajne geške u MA() modelu je: va s va va s s.
Ocene MA(q) modela meodom momenaa Pimena ovog meoda kod opšeg MA(q) modela je komplikovana. U odgovaajućem sisemu od q jednačina q nepoznaih paameaa se javljaju na nelineaan način. Kao i kod MA() modela moguće je da dobijene ocene ne ispunjavaju uslov inveibilnosi. Dakle, pimena meoda momenaa nije pogodna za ocenjivanje paameaa MA modela.
Ocene ARMA(,) modela meodom momenaa U modelu: e e poebno je ocenii paamee:,, i. Kako je auokoelaciona funkcija ovog modela: k k k 0 k k.
Ocene ARMA(,) modela meodom momenaa (II) Kako je odakle može da se oceni paamea Ф :., 3
Ocene ARMA(,) modela meodom momenaa (III) Do ocene θ dolazimo na osnovu ešenja jednačine: = Kako je u pianju kvadana jednačina, biamo ocenu po modulu sogo manju od. Vaijansu ačunamo kao:. s s va va s va
Ocene ARMA(p,q) modela meodom momenaa Pimena meoda momenaa može dai vednosi koje nisu u skladu sa uslovom inveibilnosi MA komponene. Upoeba ovog meoda nije sasvim adekvana u oceni ARMA (p,q) modela.